O documento discute resistência elétrica e capacitância. Explica que a resistência depende da geometria e do material condutor e é definida pela relação entre tensão e corrente. Também define capacitância como a relação entre carga elétrica armazenada e a diferença de potencial entre placas condutoras. Fornece exemplos de cálculo de resistência e capacitância para diferentes configurações de condutores e dielétricos.
Avaliação da capacidade dessecante de adsorventes e sua reutilização pós rege...edzeppelin
Este documento descreve um estudo sobre a capacidade dessecante e reutilização de vários adsorventes inorgânicos após regeneração. Foram avaliadas a cinética de adsorção, estabilidade durante 10 ciclos de regeneração e isotermas de adsorção de sílica gel, alumina ativada, zeólita, carvão ativado, carvão vegetal, caulim e metacaulim. Os resultados mostraram que o carvão ativado e zeólita apresentaram as melhores capacidades dessecantes, enquanto caulim
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Bài tập về số tự nhiên lớp 4
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O documento descreve exercícios sobre capacitores com gabarito. Os exercícios envolvem circuitos RC, capacitores associados em série e paralelo, carga e descarga de capacitores, e cálculos envolvendo capacitância, carga e diferença de potencial.
1) O documento discute condutores e capacitores na eletrostática, definindo condutores como materiais que possuem elétrons livres para se movimentar sob campo elétrico e isolantes como aqueles em que os elétrons estão fortemente ligados.
2) Em condutores, as cargas se redistribuem de modo a anular o campo elétrico interno, gerando uma densidade de carga superficial que o polariza.
3) Dois condutores carregados formam um capacitor, onde a diferença de potencial é diretamente pro
O documento descreve conceitos de energia magnética armazenada em um indutor ideal quando uma corrente é aplicada. A energia magnética é igual a 1/2 LI2, onde L é a indutância do indutor e I é a corrente. A densidade de energia magnética no interior de um solenoide longo e fino é dada por B2/2μ0, onde B é o campo magnético e μ0 é a permeabilidade magnética do vácuo.
1) O documento apresenta 14 problemas de física resolvidos, envolvendo conceitos como conservação da quantidade de movimento, energia mecânica, circuitos elétricos e capacitores.
2) Os problemas abordam tópicos como movimento de projéteis, sistemas de partículas, oscilações mecânicas, resistores e capacitores em série e paralelo.
3) As soluções utilizam equações como leis de Newton, conservação da energia e leis de Kirchhoff para circuitos elétricos.
1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta uma carga de 480 Cμ. Isso significa que o corpo perdeu 3 × 1020 elétrons, inicialmente neutro.
2. Quando as duas esferas estão separadas por uma distância d, a força sobre cada uma é F. Quando estão em contato, a força é 4/3F.
3. Dois pontos carregados A e B no vácuo, onde A é fixo e positivo com carga Q+, e B executa movimento circular uniforme ao redor de A com raio r e
Problemas selecionados de eletricidade - PROFESSOR HELANDERSON SOUSADayanne Sousa
O documento apresenta vários problemas de eletrostática e circuitos elétricos. Inclui determinação de resistências equivalentes em circuitos com resistores em série, paralelo e combinações, cálculo de capacitâncias em capacitores com diferentes dielétricos entre as placas, e problemas envolvendo energia armazenada em capacitores.
1) O documento descreve conceitos fundamentais sobre capacitores, incluindo capacitância, carga e descarga de capacitores, e associação de capacitores em série e paralelo.
2) É introduzido o conceito de capacitância para capacitores de placas paralelas e cilíndricos, mostrando que a capacitância depende da área, distância entre as placas e constante dielétrica do material entre as placas.
3) A carga e descarga de um capacitor ligado a um resistor é explicada, mo
1) O documento descreve conceitos fundamentais sobre capacitores, incluindo capacitância, carga e descarga de capacitores, e associação de capacitores em série e paralelo.
2) É introduzido o conceito de capacitância para capacitores de placas paralelas e cilíndricos, mostrando que a capacitância depende da área, distância entre as placas e constante dielétrica do material entre as placas.
3) A carga e descarga de um capacitor ligado a um resistor é explicada, mo
Este documento apresenta um resumo de uma aula sobre capacitância. Aborda os tópicos de introdução à capacitância, cálculo da capacitância para diferentes geometrias de capacitores, capacitores em série e paralelo e energia armazenada em capacitores. Fornece fórmulas para calcular a capacitância e descreve experimentos para carregar capacitores.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre circuitos elétricos e associação de resistores. A lista contém 20 questões que abordam tópicos como determinação de resistência equivalente, cálculo de corrente e potência em diferentes configurações de circuitos. Há também questões sobre associação de lâmpadas e consumo de energia em um circuito residencial.
[1] O documento discute capacitores, incluindo capacidade eletrostática, condutor esférico, energia armazenada em um capacitor, capacitor plano, associação de capacitores e circuitos com capacitores. [2] É introduzido o conceito de capacitor e como ele pode armazenar energia elétrica. [3] São explicados os tipos básicos de capacitor, como planar e esférico, e como capacitores podem ser associados em série ou paralelo para variar sua capacidade equivalente.
1) O documento discute conceitos fundamentais de circuitos elétricos como tensão, corrente elétrica, resistência elétrica e potência elétrica.
2) Inclui exemplos e exercícios sobre esses tópicos, como cálculo de corrente elétrica, velocidade de elétrons em condutores e associação de resistores.
3) Aborda também conceitos como efeito Joule e conversão de energia elétrica em térmica em resistores.
Este documento descreve dois experimentos sobre capacitores realizados em laboratório. O primeiro determina a permissividade elétrica do vácuo e mede a constante dielétrica de acrílico. O segundo mede a capacitância resultante de associações de capacitores em série e paralelo e investiga a redistribuição de carga entre eles.
O documento discute conceitos sobre capacitores e capacitância. Apresenta exemplos numéricos de cálculo de carga, potencial e energia armazenada em capacitores. Também aborda associação de capacitores e introdução de dielétricos entre as placas de um capacitor.
www.aulaparticularonline.net.br - Física - Exercícios Resolvidos de EletricidadeLucia Silveira
As duas esferas condutoras idênticas terão cargas totais de 2q após o contato, portanto a resposta é a.
Dois corpos, A e B, são eletrizados por contato e em seguida C é eletrizado por contato com B, portanto a resposta é a.
Para que a força de atração entre as duas cargas tenha módulo igual a 0,3 N, a distância entre elas deve ser de 0,3m.
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O documento descreve exercícios sobre capacitores com gabarito. Os exercícios envolvem circuitos RC, capacitores associados em série e paralelo, carga e descarga de capacitores, e cálculos envolvendo capacitância, carga e diferença de potencial.
1) O documento discute condutores e capacitores na eletrostática, definindo condutores como materiais que possuem elétrons livres para se movimentar sob campo elétrico e isolantes como aqueles em que os elétrons estão fortemente ligados.
2) Em condutores, as cargas se redistribuem de modo a anular o campo elétrico interno, gerando uma densidade de carga superficial que o polariza.
3) Dois condutores carregados formam um capacitor, onde a diferença de potencial é diretamente pro
O documento descreve conceitos de energia magnética armazenada em um indutor ideal quando uma corrente é aplicada. A energia magnética é igual a 1/2 LI2, onde L é a indutância do indutor e I é a corrente. A densidade de energia magnética no interior de um solenoide longo e fino é dada por B2/2μ0, onde B é o campo magnético e μ0 é a permeabilidade magnética do vácuo.
1) O documento apresenta 14 problemas de física resolvidos, envolvendo conceitos como conservação da quantidade de movimento, energia mecânica, circuitos elétricos e capacitores.
2) Os problemas abordam tópicos como movimento de projéteis, sistemas de partículas, oscilações mecânicas, resistores e capacitores em série e paralelo.
3) As soluções utilizam equações como leis de Newton, conservação da energia e leis de Kirchhoff para circuitos elétricos.
1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta uma carga de 480 Cμ. Isso significa que o corpo perdeu 3 × 1020 elétrons, inicialmente neutro.
2. Quando as duas esferas estão separadas por uma distância d, a força sobre cada uma é F. Quando estão em contato, a força é 4/3F.
3. Dois pontos carregados A e B no vácuo, onde A é fixo e positivo com carga Q+, e B executa movimento circular uniforme ao redor de A com raio r e
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O documento apresenta vários problemas de eletrostática e circuitos elétricos. Inclui determinação de resistências equivalentes em circuitos com resistores em série, paralelo e combinações, cálculo de capacitâncias em capacitores com diferentes dielétricos entre as placas, e problemas envolvendo energia armazenada em capacitores.
1) O documento descreve conceitos fundamentais sobre capacitores, incluindo capacitância, carga e descarga de capacitores, e associação de capacitores em série e paralelo.
2) É introduzido o conceito de capacitância para capacitores de placas paralelas e cilíndricos, mostrando que a capacitância depende da área, distância entre as placas e constante dielétrica do material entre as placas.
3) A carga e descarga de um capacitor ligado a um resistor é explicada, mo
1) O documento descreve conceitos fundamentais sobre capacitores, incluindo capacitância, carga e descarga de capacitores, e associação de capacitores em série e paralelo.
2) É introduzido o conceito de capacitância para capacitores de placas paralelas e cilíndricos, mostrando que a capacitância depende da área, distância entre as placas e constante dielétrica do material entre as placas.
3) A carga e descarga de um capacitor ligado a um resistor é explicada, mo
Este documento apresenta um resumo de uma aula sobre capacitância. Aborda os tópicos de introdução à capacitância, cálculo da capacitância para diferentes geometrias de capacitores, capacitores em série e paralelo e energia armazenada em capacitores. Fornece fórmulas para calcular a capacitância e descreve experimentos para carregar capacitores.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre circuitos elétricos e associação de resistores. A lista contém 20 questões que abordam tópicos como determinação de resistência equivalente, cálculo de corrente e potência em diferentes configurações de circuitos. Há também questões sobre associação de lâmpadas e consumo de energia em um circuito residencial.
[1] O documento discute capacitores, incluindo capacidade eletrostática, condutor esférico, energia armazenada em um capacitor, capacitor plano, associação de capacitores e circuitos com capacitores. [2] É introduzido o conceito de capacitor e como ele pode armazenar energia elétrica. [3] São explicados os tipos básicos de capacitor, como planar e esférico, e como capacitores podem ser associados em série ou paralelo para variar sua capacidade equivalente.
1) O documento discute conceitos fundamentais de circuitos elétricos como tensão, corrente elétrica, resistência elétrica e potência elétrica.
2) Inclui exemplos e exercícios sobre esses tópicos, como cálculo de corrente elétrica, velocidade de elétrons em condutores e associação de resistores.
3) Aborda também conceitos como efeito Joule e conversão de energia elétrica em térmica em resistores.
Este documento descreve dois experimentos sobre capacitores realizados em laboratório. O primeiro determina a permissividade elétrica do vácuo e mede a constante dielétrica de acrílico. O segundo mede a capacitância resultante de associações de capacitores em série e paralelo e investiga a redistribuição de carga entre eles.
O documento discute conceitos sobre capacitores e capacitância. Apresenta exemplos numéricos de cálculo de carga, potencial e energia armazenada em capacitores. Também aborda associação de capacitores e introdução de dielétricos entre as placas de um capacitor.
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As duas esferas condutoras idênticas terão cargas totais de 2q após o contato, portanto a resposta é a.
Dois corpos, A e B, são eletrizados por contato e em seguida C é eletrizado por contato com B, portanto a resposta é a.
Para que a força de atração entre as duas cargas tenha módulo igual a 0,3 N, a distância entre elas deve ser de 0,3m.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre geradores e receptores elétricos.
2) Os exercícios envolvem cálculos de resistência, corrente e potência em circuitos elétricos com geradores e receptores.
3) As questões abordam desde circuitos simples com um gerador e resistor até circuitos mais complexos com múltiplos componentes.
O documento apresenta 20 questões sobre conceitos de eletrostática, campos elétricos e magnéticos, equilíbrio térmico e termodinâmica de gases perfeitos. As questões abordam tópicos como força entre cargas elétricas, campo elétrico produzido por diferentes configurações de cargas, força de Lorentz, torque magnético e primeira lei da termodinâmica aplicada a transformações de gases perfeitos.
Este documento contém 10 questões sobre eletrostática e circuitos elétricos. As questões abordam tópicos como campo elétrico, potencial elétrico, lei de Coulomb, corrente elétrica, potência e energia. O documento fornece dados numéricos e gráficos para que as questões possam ser respondidas por meio de cálculos e aplicação dos conceitos apresentados.
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
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AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
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1. ELETROMAGNETISMO I 66
8 RESISTÊNCIA E CAPACITÂNCIA
8.1 - RESISTÊNCIA E LEI DE OHM
A expressão para a densidade de corrente de condução
r r
J = σE , vista no capítulo 6, descreve
também a lei de Ohm na sua forma pontual. Consideremos a condução de uma corrente I em um
meio de condutividade σ por uma seção transversal e regular S. Tomando então a equação pontual
da lei de Ohm e multiplicando ambos os lados pela área S, teremos:
)A(ESSJ
rr
σ= (8.1)
Em termos de intensidade de corrente, podemos escrever que:
)A(SEI σ= (8.2)
Vimos no capítulo 5 que o campo elétrico é o gradiente negativo da distribuição dos potenciais. Se
admitirmos o campo elétrico como uniforme, seu módulo será o quociente da diferença entre dois
potenciais V distantes de um comprimento L. Então:
I
SV
L
A=
σ
( ) (8.3)
O termo σS / L é apenas dependente da geometria e do meio por onde a corrente passa.
Independente da tensão e da corrente, é ainda o inverso da resistência elétrica R deste meio com
condutividade σ. A corrente I e a resistência R são então:
)(
I
V
R;)A(
R
V
I Ω== (8.4)
Mesmo que os campos elétricos não sejam uniformes, a resistência ainda é definida como a relação
entre V e I, em que V é a diferença de potencial entre duas superfícies equipotenciais no meio
condutivo e I a intensidade de corrente que atravessa estas superfícies: Podemos então, de modo
genérico, escrever que:
)(
SdE
LdE
I
V
R
S
a
bab
Ω
⋅σ
⋅−
==
∫
∫ rr
rr
(8.5)
A resistência elétrica assim definida implica em admitir a corrente percorrendo o meio no sentido
decrescente dos potenciais. Enquanto que o numerador exprime o trabalho realizado contra o
campo por unidade de carga, o denominador desta fração indica o fluxo das linhas de corrente que
cruzam uma determinada secção em um meio de condutividade σ.
É importante ressaltar que a resistência se opõe à passagem da corrente com uma conseqüente
transformação de energia elétrica em térmica, sem armazenamento de energia no campo elétrico que
distribui os potenciais. Repetindo, depende apenas da geometria e do meio ou do material em que
ela é constituída.
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
2. ELETROMAGNETISMO I 67
Exemplo 8.1
Considere um cabo coaxial com dois cilindros condutores concêntricos de raios a m e b m, conforme
a figura 8.1. Uma diferença de potencial aplicada entre eles é responsável por uma corrente de fuga
entre os condutores interno e externo que constituem o cabo. Se a corrente de fuga por unidade de
comprimento for I A/m, e a condutividade do material entre os condutores for igual a σ S/m, calcule o
valor da resistência de fuga da isolação entre os condutores.
Solução
Figura 8.1 Cabo coaxial e corrente radial.
A tensão aplicada define superfícies
equipotenciais cilíndricas em que a corrente
de fuga entre os dois condutores se distribui
radialmente.
Vamos inicialmente calcular a densidade de
corrente
r
J em um ponto genérico, distante r
m do eixo do cabo entre os dois condutores.
Para um metro de cabo, a corrente de fuga
total será então:
)A(SdJI
)r(S
∫ ⋅=
rr
Para uma determinada distância radial r,
observamos que a densidade de corrente tem
seu módulo constante e está alinhada a cada
elemento de área da secção S(r). Daí para um
comprimento unitário vem que:
)A(1.r2JI π=
Logo o vetor densidade de corrente é radial e
vale para cada r
r
J
I
r
a A mr=
2
2
π
. $ ( / )
O campo elétrico em um ponto r será,
portanto:
r
E
r
r
E
J
V m=
σ
( / )
r
E
I
r
a V mr=
2π σ
. $ ( / )
Se a diferença de potencial aplicada entre os
dois cilindros condutores for Vab, teremos:
)V(ldEVVV
a
b
baab ∫ ⋅−=−=
rr
Pelas condições do problema a diferença de
potencial e a corrente consideram apenas a
componente radial do deslocamento, onde
raˆdrld =
r
. Então
V
I
r
dr Vab
b
a
= − ∫ 2π σ
. ( )
Ou seja:
V
I b
a
Vab =
2πσ
ln ( )
Portanto, a resistência de fuga por metro será:
R
V
I
b
a
ab
= =
1
2πσ
ln ( )Ω
Na realidade a corrente é determinada em função de uma dada posição radial r por
r
1
0
2
0
r aˆdzrdaˆJI ∫ ∫
π
φ⋅= , onde r é admitida constante.
a
b
a
b
I
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
3. ELETROMAGNETISMO I 68
Exemplo 8.2
Considere agora que o dielétrico entre os dois condutores seja formado por dois meios distintos,
conforme mostra a figura 8.2. Calcule a resistência de fuga por metro deste cabo coaxial.
Solução
Figura 8.2 Cabo co-axial com 2 dielétricos em
paralelo.
Como no exemplo anterior, a corrente se
distribui radialmente e há dois meios
diferentes sob a mesma tensão elétrica.
Podemos então considerar que a corrente
total é a soma de duas correntes I1 e I2.
I I I A= +1 2 ( )
A diferença de potencial entre os dois
condutores é constante. Portanto:
R
V
I
R
V
I
1
1
2
2
= =( ) ; ( )Ω Ω
)(
II
V
I
V
R
21
Ω
+
==
)(
R
V
R
V
V
R
21
Ω
+
=
Como poderíamos esperar a resistência total
é:
)(
RR
R.R
R
21
21
Ω
+
=
Por analogia com o exemplo anterior podemos
escrever as expressões para R1 e R2:
R
b
a
R
b
a
1
1
2
2
1 1
= =
πσ πσ
ln ( ) ; ln ( )Ω Ω
A resistência (equivalente) será então dada
por:
)(
a
b
ln
)σσ(π
1
R
21
Ω
+
=
Observe que agora para r constante temos e .r
1
0 0
r11 aˆdzrdaˆJI ∫∫
π
φ⋅= r
1
0 0
r22 aˆdzrdaˆJI ∫∫
π
φ⋅=
Exemplo 8.3
Considere agora a configuração mostrada na figura 8.3. Calcular a resistência de fuga.
a σ2σ1
b
Solução
Figura 8.3 Cabo co-axial com 2 dielétricos em
série.
Todas as linhas de corrente são radiais e
passam tanto pelo condutor 1 como pelo
condutor 2. Podemos então assumir que as
correntes nos meios 1 e 2 são iguais e:
σ2
b
c
I I I A= =1 2 ( )
a
Porém a diferença de potencial aplicada entre
os condutores é:σ1
V V V V= +1 2 ( )
V R I V V R I V1 1 2 2= =. ( ) ; . ( )
)V(I.RI.RI.R 21 =+
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
4. ELETROMAGNETISMO I 69
)(RRR 21 Ω+=
)V(rd.EV 1
a
c1
rr
∫−=
)V(
a
c
ln
2
I
V
1
1
πσ
=
)V(rd.EV
c
b 22 ∫−=
rr
V
I b
c
V2
22
=
πσ
ln ( )
R
c
a
R
b
c
1
1
2
2
1
2
1
2
= =
πσ πσ
ln ( ) ; ln ( )Ω Ω
)(
c
b
ln
σ
1
a
c
ln
σ
1
π2
1
R
21
Ω⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
8.2 - CAPACITÂNCIA
Sejam dois condutores imersos em um meio dielétrico homogêneo, conforme ilustra a figura 8.4. O
condutor M1 possui uma carga positiva de Q coulombs e o condutor M2 uma carga de mesma
magnitude, porém de sinal contrário. Podemos dizer então que existe, pois, uma diferença de
potencial V (V1 em M1 maior do que V2 em M2) entre esses dois condutores, exprimindo a idéia de
capacitância.
A capacitância C deste sistema é definida como:
)F(
V
Q
C= (8.6)
Considerando uma carga elétrica livre Q em valor absoluto presente em cada condutor, podemos,
empregando ∫ ⋅=
S
SdDQ
rr
, escrever que:
)F(
Ld.E
Sd.E
C
1
2
M
M
S
∫
∫
−
ε
= rr
rr
(8.7)
E
M1 M2
Figura 8.4 Dois condutores carregados, imersos em um meio dielétrico.
Podemos notar que tanto a carga Q com a diferença de potencial V entre os condutores, são obtidas
em função do campo que se estabelece no dielétrico. Lembre que cargas positivas determinam
potenciais positivos e cargas negativas determinam potenciais negativos ao estabelecer os extremos
de integração na equação (8.7).
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
5. ELETROMAGNETISMO I 70
Exemplo 8.4
Considere o capacitor da figura 8.5 com duas placas paralelas iguais de área S, separadas por uma
distância d. O dielétrico entre elas tem permissividade ε. Calcular a capacitância C deste arranjo.
Solução
Figura 8.5 Capacitor de placas paralelas.
Pela definição de capacitância:
C
Q
V
F)= (
Como a carga se distribui na superfície plana
e condutora de cada placa
Q Ss= ρ . (C)
Vemos que esta distribuição de cargas
superficiais gera um campo no dielétrico e
conseqüentemente uma tensão elétrica dada
por:
V E dL dzs
d
= − = − ∫∫
r r
. .
inf
sup ρ
ε
0
V( )
Os extremos de integração foram
determinados segundo a orientação do eixo z.
No caso, foi desprezado o efeito das bordas
para o campo elétrico. Assim:
V
d
Vs
=
ρ
ε
( )
Daí:
( )
C
S
d
S
d
F)s
s
= =
ρ
ρ ε
ε
(
Independente de Q e V.
Conhecendo a configuração do campo no dielétrico, podemos determinar tanto a carga como a
diferença de potencial, exigidas para o cálculo da capacitância.
Exemplo 8.5
Suponha agora que o dielétrico tenha a configuração mostrada na figura 8.6. Calcular a capacitância
C.
Solução
Figura 8.6 Capacitor com 2 dielétricos em paralelo.
d VE
z
+ σ ds
σs
E
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
6. 71
O campo elétrico neste caso possui somente
a componente tangencial na interface entre
os dielétricos. Pelas condições de fronteira
entre os dielétricos:
E Et t1 2=
r r
E E E1 2= =
r
r r r
D E E C m1 1 1 1
2
= =ε ε ( / )
r r r
D E E C m2 2 2 2
2
= =ε ε ( / )
Pela lei de Gauss:
r r
D dS Q C
s
. (∫ = )
r r
D dS Q C
s
1 1
1
. (∫ = )
r r
D dS Q C
s
2 2
2
. (∫ = )
Q Q Q C= +1 2 ( )
r r r r
D dS D dS Q C
s s
1 2
1 2
. .∫ ∫+ = ( )
D S D S Q C1 1 2 2+ = ( )
ε ε1 1 2 2E.S E.S Q C+ = ( )
( )ε ε1 1 2 2S S
V
d
Q C+ = ( )
ε ε1 1 2 2S
d
S
d
Q
V
F)+ = (
C C C F1 2+ = ( )
Exemplo 8.6
Tendo o dielétrico entre as placas a configuração da figura 8.7, calcular a capacitância C.
Solução
Fig. 8.7 - Capacitor com 2 dielétricos em série
O campo elétrico neste caso possui somente
a componente normal na interface entre os
dielétricos. Pelas condições de fronteira entre
os dielétricos:
D Dn n1 2= = D
ε ε1 1 2 2
2
E E C m= ( / )
V E d V V E d V1 1 1 2 2 2= =( ) ; ( )
V V V V= +1 2 ( )
V
D
d
D
d V= +
ε ε1
1
2
2 ( )
Pela lei de Gauss:
r r
D dS Q C. (=∫ )
D S Q C D
Q
S
C m. ( ) ( /= ⇒ = 2
)
V Q
d
S
Q
d
S
V= +1
1
2
2ε ε
( )
V
Q
d
S
d
S
= +1
1
2
2ε ε
1 1 1
1
1 2C C C
F)= + ( /
V2
D Vd
V1
7. ELETROMAGNETISMO I 72
EXERCÍCIOS
1) Mostre que a resistência elétrica de qualquer material com condutividade σ vale R = L / (σA),
admitindo-se que uma distribuição uniforme de corrente atravessa uma secção reta de área
constante A ao longo do seu comprimento L.
2) Determine a resistência que existe entre as superfícies curvas, interna e externa de um bloco
de prata, definido por raios de curvatura com 0,2 m e 3,0 m respectivamente, uma abertura
angular de 5º e espessura de 0,05 m. Dado: condutividade da prata σ = 6,17 x 107
S/m.
3) Uma dada chapa de alumínio possui 1,0 mil de espessura, 5,0 cm de lado e condutividade
38,2 MS/m. Calcule a resistência elétrica desta chapa (a) entre os lados que se opõem às
faces quadradas e (b) entre as duas faces quadradas.
4) Calcule a resistência de isolação de um cabo coaxial de comprimento l e raios interno e
externo ra e rb respectivamente.
5) Determine a resistência oferecida por um condutor de cobre ao longo de 2 m de comprimento
por uma secção reta circular de raio de 1 mm em uma extremidade e que vai aumentando
linearmente até um raio de 5 mm na outra. A condutividade do cobre é 58 MS/m.
6) Mostre que a energia armazenada entre as armaduras de um capacitor é maior quando
existe um dielétrico, comparativamente ao espaço-livre. Demonstre também que a energia
armazenada por um capacitor quando este se encontra carregado com uma carga Q e
submetido a uma tensão V é dada por CV2
/2.
7) Calcule a capacitância que existe entre duas placas paralelas, uma superior com carga + Q e
uma inferior com carga – Q, existindo entre elas um dielétrico de permissividade ε. Despreze
o espraiamento do campo elétrico nas bordas das placas condutoras.
8) Determine a capacitância de um cabo coaxial de comprimento finito L, onde o condutor
interno tem raio a e o externo raio b, tendo entre eles um dielétrico de permissividade ε.
9) Calcule a capacitância que existe entre duas placas planas que formam um ângulo de 5º
definidas por raios de curvatura com 1 mm e 30 mm respectivamente e uma altura de 5 mm,
cuja região entre elas encontra-se preenchida por um dielétrico de permissividade relativa
4,5.
10) Retomando o problema anterior, qual a separação d que leva à mesma capacitância quando
as placas encontram-se paralelas?
11) Calcule a resistência por unidade de comprimento entre duas superfícies curvas
concêntricas, uma de raio r = 0.2 m, outra de raio 0.4 m, limitadas por um ângulo de 30º. O
material entre elas possui uma condutividade σ = 6,17×107
S/m.
12) Calcule a resistência de um condutor de alumínio com condutividade 35 MS/m, de 2 m de
comprimento, seção reta quadrada de 1 mm2
em uma extremidade, aumentando linearmente
para 4 mm2
na outra extremidade.
13) Por um defeito de fabricação, um cabo coaxial possui um deslocamento entre os centros dos
condutores interno e externo conforme mostrado na figura a seguir. Tendo o dielétrico uma
condutividade de 20 µS/m, determine a resistência de isolação por metro desse cabo.
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
8. ELETROMAGNETISMO I 73
Figura para o problema 13
14) Resolver o problema anterior, considerando agora os cabos concêntricos. Compare os
resultados.
15) Encontre a capacitância entre as superfícies condutoras do capacitor mostrado na figura
abaixo, preenchido por um dielétrico de permissividade relativa 5,5.
Figura para o problema15
16) Calcule a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico de 6 cm de
diâmetro e um plano condutor, paralelo ao eixo desse cilindro, distante 10 m do mesmo.
17) Um capacitor de placas paralelas com área de 0,30 m2 e separação 6 mm contém três
dielétricos assim distribuídos : εr1 = 3.0, com espessura de 1 mm. εr2 = 4.5 com espessura de
2 mm e εr3 = 6,0 com espessura de 3 mm. Aplicando-se uma ddp de 1200 V sobre o
capacitor, encontre a diferença de potencial e o gradiente do potencial (intensidade do campo
elétrico) em cada dielétrico.
18) A figura a seguir mostra um cabo coaxial cujo condutor interno possui raio de 0,6 mm e o
condutor externo raio de 6 mm. Calcule a capacitância por unidade de comprimento incluindo
os espaçadores como indicado com constante dielétrica 6,0.
4 cm
0.8 cm
2 cm
εr = 5,5
30º
60 mm
5 mm
4 mm
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9. ELETROMAGNETISMO I 74
12.5mm
50 mm
Figura para o problema 18
19) Um cabo de potência blindado opera com uma tensão de 12,5 kV no condutor interno em
relação à capa cilíndrica. Existem duas isolações: a primeira tem permissividade relativa igual
a 6,0, e é do condutor interno em r = 0,8 cm a r = 1,0 cm, enquanto que a segunda tem
permissividade relativa igual a 3,0 e vai de r = 1,0 cm a r = 3,0 cm, que corresponde à
superfície interna da capa externa. Encontre o máximo gradiente de tensão em cada isolação
empregada.
20) Um certo cabo de potência blindado tem isolação de polietileno para o qual εr = 3,26 e rigidez
dielétrica 18,1 MV/m. Qual é o limite superior de tensão sobre o condutor interno em relação
à blindagem quando o condutor interno possui raio de 1 cm e o lado interno da blindagem
concêntrica apresenta raio de 8,0 cm ?
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino