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1. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
Centro de massa
Um sistema mecânico pode ser constituído por um conjunto de diversas partículas
ou poderá ser um único corpo extenso. Podemos considerar, no estudo do movimento de
sistemas mecânicos, toda sua massa concentrada em um único ponto chamado centro de
massa.
Se o sistema físico for um corpo rígido constituído de material homogêneo, o centro
de massa coincidirá com seu centro geométrico.
 Obs.: se o corpo não for homogêneo, o centro de massa
ficará deslocado para a região em que houver a maior
concentração de massa

2. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
 Obs.: o centro de massa nem sempre é um ponto pertencente ao corpo
bumerangue
 Obs.: centro de massa e centro de gravidade são termos praticamente equivalentes, uma
vez que são raros os objetos suficientemente grandes para que a gravidade varie de uma
parte dele para outra. O World Trade Center era tão alto que seu CG estava 1mm abaixo de
seu CM.
 Localização do centro de massa
Considere um sistema formado por duas partículas e um eixo de referência com
origem arbitrária.

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Pode-se demonstrar que:
1 1 2 2
1 2
...
...
n n
CM
n
m x m x m x
x
m m m
  

  
Para o caso particular de dois corpos de massas iguais temos:
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 2 2
CM CM
m x m x mx mx x x
x x
m m m
  
   

 Velocidade do centro de massa
Considere um sistema formado por 2 partículas que se movem com velocidades de direções
coincidentes com o eixo x.

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A expressão da velocidade do centro de massa é dada por:
1 1 2 2
1 2
...
...
n n
CM
n
m v m v m v
v
m m m
  

  
 Quantidade de movimento
   
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
...
...
...
n n
CM CM n n sistema CM
n
m v m v m v
v m v m v m v m v Q m v
m m m
  
       
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
para calcularmos a quantidade de movimento de um sistema podemos supor sua massa
concentrada no seu centro de massa
 Aceleração do centro de massa
Pode-se demonstrar que:
1 1 2 2
1 2
...
...
n n
CM
n
m a m a m a
a
m m m
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
















5. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
 Forças internas e forças externas
   
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
...
...
...
n n
CM CM n n res CM
n
m a m a m a
a m a m a m a m a F m a
m m m
  
       
  
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
trata-se da resultante das forças externas
 Obs.: a aceleração do centro de massa do sistema independe das forças internas
 Obs.: o centro de massa se move como se fosse uma partícula de massa igual à massa total
do sistema e sob ação da força externa resultante
Analogamente temos, para outras direções:
 
i i
CM
m y
y
m



 
i i
CM
m z
z
m




6. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
De maneira geral, as partículas do sistema possuem movimentos com trajetórias
complicadas, porém o seu centro de massa se comporta como se fosse uma única partícula
sujeita à força externa resultante no sistema.
Desprezando a resistência do ar, a resultante das forças externas que atuam no
taco é a força peso, considerada constante durante todo o trajeto.
Sendo a resultante das forças externas constante, então a aceleração do centro de
massa será a mesma, descrevendo uma trajetória parabólica. O bastão cambaleará em torno
desse ponto.
 Trajetória do centro de massa

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O sistema solar também tem um centro de massa; é em torno desse centro de massa que
giram os planetas, e não em torno do centro do Sol (embora o centro de massa do sistema
solar esteja bem próximo do centro do Sol). Da mesma forma, o sistema Terra-Lua tem um
centro de massa (ponto C), e a Lua gira não em torno do centro da Terra, mas sim do CM.
o ponto verde representa o centro da Terra e o vermelho representa o CM do sistema Terra-Lua

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10. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
Um sistema não pode deslocar o seu CM sob a ação puramente de forças
internas. Cyrano de Bergerac, precursor da ficção cientifica com sua obra “Viagem à Lua”, que
data do século XVII, propôs nessa obra, como método de propulsão espacial, sentar-se sobre
uma placa de ferro e lançar “para cima” um ímã muito poderoso, que atrairia a placa, fazendo-
a subir até encontrar-se com ele, quando poderia ser novamente lançado...e assim em diante!

11. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
 Outro exemplo: um projétil lançado obliquamente ao espaço com resistência do ar
desprezível seguirá uma trajetória parabólica. Ao atingir o pico dela, ele explode em
fragmentos idênticos.
O centro de massa do sistema continuará a descrever a trajetória parabólica até que
um dos fragmentos atinja o solo. A explosão da granada produz forças internas ao sistema que
não podem alterar o trajeto do centro de massa.
 Conservação da quantidade de movimento
Quando o sistema estiver isolado (livre da ação de forças externas), a sua quantidade de
movimento total se conserva.
antes depois
Q Q

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

12. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
Considere um sistema formado por 2 blocos, comprimindo uma mola de massa
desprezível e presos por um fio ideal. Considere que o conjunto encontra-se sobre uma mesa
horizontal perfeitamente lisa, livre da ação das forças externas.
Como o conjunto estava em repouso, então era nula a quantidade de movimento inicial. Sendo
o sistema isolado temos:
sistema isolado, logo o CM continua em repouso
0 0 2 . . 2
antes depois A B B B
Q Q Q Q m v m v v v
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        

13. Ciências da Natureza – Física Prof.: Luiz Felipe
 Localizando o centro de gravidade
Experimentalmente podemos determinar o CG da seguinte forma:
1) suspenda o corpo por um ponto e trace uma linha reta vertical;
2) suspenda o corpo por outro ponto e trace outra linha reta vertical;
O centro de gravidade estará na intersecção das retas verticais.