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Curso: MAT
2º Ano/1º Semestre
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA I

INTRODUÇÃO: CONCEITOS FUNDAMENTAIS
 A Estatística é um instrumento matemático necessário
para recolher, organizar, apresentar, analisar e interpretar
dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em
qualquer área do conhecimento.
 Áreas da Estatística:
Estatística Descritiva
Estatística Indutiva/Inferência Estatística
 A estatística descritiva é a etapa inicial da análise utilizada
para organizar, resumir e representar os dados.
 A inferência estatística consiste de procedimentos para
fazer generalizações sobre as características de uma
população a partir da informação contida na amostra.
Para isso, é necessário o recurso a Teoria das
Probabilidades na qual a inferência estatística se baseia
fortemente.
Curso: MAT Docente: Saturnino Borges

CONCEITOS FUNDAMENTAIS
População: Conjunto de elementos com alguma
característica em comum a qual se pretende estudar.
Exemplo: Pessoas, animais, plantas…
Aos elementos da população chamamos de unidades
estatísticas.
Uma população pode ser finita ou infinita.Por isso, o
estudo é feito sobre alguns elementos retirados da
população, constituindo aquilo a que se chama uma
amostra.
Dimensão ou tamanho da amostra: é o número de
dados da amostra. Representa-se por n.
N- darepresenta a dimensão População.

Elementos da Estatística Descritiva
 Recolha
 Apresentação
 Análise e interpretação de dados
Através de:
 Quadros
 Gráficos
 Indicadores numéricos
Qual a utilidade?
 Permite descrever e compreender relações entre
variáveis
 Permite a tomada de melhores e mais rápidas
decisões Curso: MAT Docente: Saturnino Borges
ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Principais etapas de um estudo
estatístico
 Identificação do problema
 Recolha de dados
 Tratamento de dados
 Análise e interpretação

APRESENTAÇÃO DOS DADOS:
Alguns tipos de tabelas/quadros e gráficos
Construção de quadros:
 Quadro simples: quadro que apresenta informação relativa a
apenas uma variável.
 Quadro de dupla entrada: apresenta informação respeitante
a duas variáveis ( em simultâneo)
 A construção de quadros deve respeitar os seguintes
princípios:
1. Ter um título indicando de modo preciso e sintético o campo
de informação
2. Ter uma designação para as linhas e colunas
3. Indicar a fonte de informação

Exemplos:
Evolução da População de Cabo Verde, Santiago e S.L.Órgãos

APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Tipos de gráficos
 GRÁFICO DE LINHAS- Os valores da variável
apresentada estão unidos por segmentos de linha. É
muito utilizado para representar a evolução da variável
ao longo do tempo
Distribuição de Precipitação em São Lourenço dos Órgãos, ano 2004 (INMG)

TIPOS DE GRÁFICOS
GRÁFICO DE COLUNAS OU BARRAS – Neste tipo de
gráficos os valores da informação são representados
por uma série de barras. A altura ou comprimento da
barra representa a quantidade.
 Gráfico de barras simples: uma variável à qual está
associada um valor.
Formas de abastecimento de água no concelho

TIPOS DE GRÁFICOS
 Gráfico de barras múltiplas ou sobrepostas-
valores de diferentes variáveis no mesmo período.

TIPOS DE GRÁFICOS
 Gráfico de sectores: são gráficos circulares nos
quais o círculo representa o valor total do
agregado e cada secção representa uma
componente.
Tipo de rega praticada em São Lourenço dos Órgãos

TIPOS DE GRÁFICOS
HISTOGRAMA: é um gráfico formado por um conjunto
de rectângulos justapostos. É um gráfico de barras da
distribuição de frequências e a cada barra está
associada uma classe. No eixo horizontal colocam-se as
classes e no eixo vertical as frequências absolutas ou
relativas.

TIPOS DE GRÁFICOS
 Polígno de Frequências: é um gráfico em linhas,
sendo as frequências marcadas perpendiculares ao
eixo horizontal levantadas pelos pontos médios dos
intervalos das classes.

Dados discretos e contínuos
 Discretos – número finito ou infinito numerável de
valores
 Contínuos – número infinito não mensurável de
valores

VARIÁVEL
Variável- é o conjunto de resultados
possíveis de um fenómeno.
Por exemplo:
- Fenómeno sexo – Masculino ou Feminino
- Fenómeno nº de filhos – 0,1,2,3,4…
- Fenómeno peso – 50,5 kg, 66,7 kg, 35,2 kg

Qualitativas
Valores
expressos por
atributos
Numéricas ou
Quantitativas
Valores
expressos por
números
V
A
R
I
Á
V
E
I
S
NOMINAL
ORDINAL
DISCRETA
CONTÍNUA

NOMINAL
ORDINAL
Não pode ordenar:
Sexo
Religião
Estado civil
Profissão
Pode ordenar:
Escolaridade
Nivel sócio-
econômico

Discreta
Contínua
Medidas
Altura
Peso
Temperatura
Pressão
Contáveis
Nº de extrações
Nº de atendimentos
Idade
Nº de filhos

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: VARIÁVEIS
DISCRETAS
Definição: Considere-se uma população( de
dimensão N) ou uma amostra (de dimensão n) de
indivíduos com característica que apresenta p
modalidades observadas 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑝
Dá-se o nome de distribuição de frequências ao
conjunto de todos os valores ou modalidades de
uma variável.
Chama-se frequência absoluta de 𝒙𝒊, e
representa-se por 𝒇𝒊, ao número de vezes que este
valor é observado.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS:
VARIÁVEIS DISCRETAS
A frequência relativa de 𝒙𝒊, representa-se por 𝒇𝒓𝒊,
é definida pelo quociente entre frequência absoluta
e a dimensão da amostra.
𝒇𝒓𝒊 =
𝒇𝒊
𝒏
, em que 𝑓𝑖 = 𝑛 e 𝑓𝑟𝑖 = 1
As frequências acumuladas são a soma de
número de ocorrências para os valores de variável
inferiores ou iguais ao valor dado.
Frequências acumuladas absolutas
𝐹𝑖 = 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑖
Frequências acumuladas relativas
𝐹𝑟𝑖 = 𝑓𝑟1 + 𝑓𝑟2 + ⋯ + 𝑓𝑟𝑖

DISCRETAS
Tabela de Frequências

EXEMPLO 1:
 Na tabela seguinte apresentam-se o número de
plantas de15 espécies.
 Identifique e classifique a variável em estudo.
 Construa a tabela de frequências.
 Represente graficamente as frequências absolutas.
4 1 2 2 3
3 3 4 1 1
5 5 2 3 2

RESOLUÇÃO
Número_plantas
Frequency Percent Valid Percent Cumulative
Percent
Valid
1,00 3 20,0 20,0 20,0
2,00 4 26,7 26,7 46,7
3,00 4 26,7 26,7 73,3
4,00 2 13,3 13,3 86,7
5,00 2 13,3 13,3 100,0
Total 15 100,0 100,0
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝐅𝒊 𝒇𝒓𝒊 𝑭𝐫𝒊
1 3 3 0,2 0,2
2 4 7 0,27 0,47
3 4 11 0,27 0,74
4 2 13 0,13 0,87
5 2 15 0,13 1
Total 15 - 1 -
A variável em estudo é:
“Número de plantas de 15
espécies”, que é uma
variável quantitativa
discreta.
Tabela de frequências

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS:
VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Como as variáveis contínuas podem tomar um
número infinito não mensurável de valores, então é
aconselhável efectuar um agrupamento de dados em
classe de valores.
 Considerações prévias:
oNúmero de classes
oAmplitude das classes
oLimites das classes
oPonto médio ou centro de classe

CONTÍNUAS
 Regras para a construção das Classes:
- Nenhuma classe deverá ter frequência nula.
- As classes deverão ter amplitudes iguais.
- O extremo superior da última classe deverá ser superior à
maior observação.
- Os limites das classes são definidos de modo a que cada
valor da variável é incluído num e só num intervalo.
 Como determinar o número de classes (de igual amplitude):
1. Número de classes: K=5 para n<25 e K ≈ n para n ≥ 25.
2. Fórmula de Sturges: : k ≈ 1 + 3,22log (n)
3. Fórmula de Sturges original: k tal que 2k ≥ n

CONTÍNUAS
 A amplitude da classe 𝐡 ( para classes de igual
amplitude) pode ser calculada da seguinte forma:
h =
R
K
=
Xmax−Xmin
K
,
onde R- é a diferença entre o máximo de
observações e o mínimo.
K é o número de classes.

CONTÍNUAS
 As classes são da forma: Ci = Ci, Ci+1 , i = 1, . . , k
C1 = Xmin; Xmin + h
C2 = Xmin + h; Xmin + 2h
….
Ck = Xmin + k − 1 h; Xmin + kh
Limite inferior da classe Limite superior da classe
 Ponto médio ou centro médio da classe, determina-se
somando o limite inferior da classe com o limite
superior e dividindo por 2.
𝐶𝑖 =
𝑋𝑖 + 𝑋𝑖+1
2

CONTÍNUAS
Para representar a distribuição de frequências
relativas ou absolutas de uma variável contínua
utiliza-se o histograma. Outra representação que
se pode utilizar é polígono de frequências.
 Para as frequências acumuladas pode traçar-se
um polígono de frequências acumuladas ou
polígono integral.

EXEMPLO 2:
Amostra constituída pelas alturas de umas
plantas de café.
1- Classifique a variável em estudo.
2- Construa uma tabela de frequências.
12.1 8.9 16.2 8.2 9.8 15.1 14.5 13.4
14.7 7.5 8.8 12.4 16.1 15.2 13.5 13.8
14.6 15.5 7.8 12.5 13.2 11.0 10.5

RESOLUÇÃO :
classes 𝒇𝒊 𝐅𝒊 𝒇𝒓𝒊 𝑭𝐫𝒊
[7.5, 9.3[ 5 5 0,22 0,22
[9.3, 11.1[ 3 8 0,13 0,35
[11.1, 12.9[ 3 11 0,13 0,48
[12.9, 14.7[ 6 17 0,26 0,74
[14.7, 16.5[ 6 23 0,26 1
Total 23 1
n=23 R = 16.2 - 7.5 = 8.7
Nº de classes K=5
R
K
=
8.7
5
= 1.75 ≈ 1.8
vamos tomar h=1.8
0
1
2
3
4
5
6
7
[7.5,9.3[ [9.3,11.1[ [11.1,12.9[ [12.9,14.7[ [14.7,16.5[
frequencia
absoluta
Alturas
Alturas das plantas de café

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