1) O documento discute conceitos preliminares de trigonometria, incluindo o número π, medidas de ângulos e classificação de triângulos.
2) É apresentado o Teorema de Pitágoras para triângulos retângulos e as definições das seis razões trigonométricas.
3) Valores de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 30°, 45° e 60°. Algumas identidades trigonométricas também são mostradas.
1. Este é um documento que apresenta o projeto educativo de uma escola para o período de 2009 a 2012.
2. O documento começa descrevendo o contexto da escola e sua caracterização.
3. Em seguida, apresenta uma análise diagnóstica com pontos fortes, áreas de melhoria e constrangimentos da escola.
4. Defini objetivos e metas para quatro dimensões: pedagógica, organizacional, financeira e de auto-regulação.
5. Por fim, propõe estratégias para atingir os
O Réveillon na Esplanada dos Ministérios foi muito bem representado por grandes artistas da cidade. A revista fornece dicas para passar em provas de aptidão física em concursos públicos e sugere diversas opções de passeios e cachoeiras para aproveitar as férias de janeiro em Brasília em contato com a natureza.
O documento discute três principais tópicos: 1) a comemoração do Dia Internacional da Mulher e eventos relacionados; 2) uma viagem para a República Tcheca, destacando castelos, vilarejos, termas luxuosas e cerveja; 3) os benefícios do exercício físico para combater o cansaço e melhorar a disposição.
Este documento apresenta uma tabela com números e palavras em diferentes posições, sem um texto explicativo. A tabela parece conter informações sobre colunistas e seções de uma publicação periódica, incluindo nomes, títulos de colunas e números que podem indicar páginas ou outras informações.
1) O documento discute as leis e regulamentos relacionados à aplicação da lei e da justiça.
2) Ele fornece detalhes sobre os procedimentos legais e os papéis de diferentes funcionários do governo no sistema judicial.
3) O documento também menciona os direitos dos cidadãos durante processos legais e como as leis devem ser aplicadas de forma justa e igualitária.
A revista comemora os 15 anos da empresa Vert com um jantar animado pela cantora Marina Lima. A publicação também discute os benefícios do alho para a saúde, as adaptações fisiológicas proporcionadas pela corrida e entrevista Marina Lima sobre seu novo livro e carreira musical.
Este documento fornece modelos para copiar os números de 0 a 9, mostrando cada número escrito várias vezes em uma grade para que os alunos possam praticar a escrita dos números.
1. Este é um documento que apresenta o projeto educativo de uma escola para o período de 2009 a 2012.
2. O documento começa descrevendo o contexto da escola e sua caracterização.
3. Em seguida, apresenta uma análise diagnóstica com pontos fortes, áreas de melhoria e constrangimentos da escola.
4. Defini objetivos e metas para quatro dimensões: pedagógica, organizacional, financeira e de auto-regulação.
5. Por fim, propõe estratégias para atingir os
O Réveillon na Esplanada dos Ministérios foi muito bem representado por grandes artistas da cidade. A revista fornece dicas para passar em provas de aptidão física em concursos públicos e sugere diversas opções de passeios e cachoeiras para aproveitar as férias de janeiro em Brasília em contato com a natureza.
O documento discute três principais tópicos: 1) a comemoração do Dia Internacional da Mulher e eventos relacionados; 2) uma viagem para a República Tcheca, destacando castelos, vilarejos, termas luxuosas e cerveja; 3) os benefícios do exercício físico para combater o cansaço e melhorar a disposição.
Este documento apresenta uma tabela com números e palavras em diferentes posições, sem um texto explicativo. A tabela parece conter informações sobre colunistas e seções de uma publicação periódica, incluindo nomes, títulos de colunas e números que podem indicar páginas ou outras informações.
1) O documento discute as leis e regulamentos relacionados à aplicação da lei e da justiça.
2) Ele fornece detalhes sobre os procedimentos legais e os papéis de diferentes funcionários do governo no sistema judicial.
3) O documento também menciona os direitos dos cidadãos durante processos legais e como as leis devem ser aplicadas de forma justa e igualitária.
A revista comemora os 15 anos da empresa Vert com um jantar animado pela cantora Marina Lima. A publicação também discute os benefícios do alho para a saúde, as adaptações fisiológicas proporcionadas pela corrida e entrevista Marina Lima sobre seu novo livro e carreira musical.
Este documento fornece modelos para copiar os números de 0 a 9, mostrando cada número escrito várias vezes em uma grade para que os alunos possam praticar a escrita dos números.
O Réveillon na Esplanada dos Ministérios foi muito bem representado por grandes artistas da cidade. A revista dá dicas para passar em provas de aptidão física em concursos públicos e lista opções de passeios nas férias de janeiro em Brasília, com ênfase em contato com a natureza.
O documento resume as principais atrações e eventos de janeiro em Brasília, incluindo o Réveillon na Esplanada dos Ministérios, dicas para passar em provas de aptidão física em concursos públicos, e sugestões de passeios e cachoeiras nas regiões próximas a Brasília para aproveitar as férias de verão.
O Réveillon na Esplanada dos Ministérios foi muito bem representado por grandes artistas da cidade. A revista fornece dicas para passar em provas de aptidão física em concursos públicos e sugere diversas opções de passeios e cachoeiras em Brasília e entorno para aproveitar as férias de janeiro em contato com a natureza.
O documento é uma revista com as seguintes seções: comemoração do Dia Internacional da Mulher, destino turístico na República Tcheca, benefícios do exercício físico, e publicidade de uma empresa de mezaninos. A revista também apresenta colunistas e seus respectivos temas como viagens, moda e estilo de vida.
A revista comemora 15 anos da Vert com um jantar ao som de Marina Lima. O fim de ano é uma época para retomar sonhos e fazer novos projetos. A revista oferece dicas para começar a correr e viver de forma ecológica, além de opções para o Réveillon.
A revista comemora 15 anos da empresa Vert com um jantar animado pela cantora Marina Lima. A publicação também destaca os benefícios do alho para a saúde, as adaptações fisiológicas proporcionadas pela corrida e uma entrevista com Marina Lima onde ela fala sobre seu novo livro e carreira musical.
Este documento celebra os 3 anos da revista Posiatividade, destacando sua qualidade e conteúdo positivo ao longo deste tempo. A edição especial conta com artigos de colunistas regulares abordando temas como agroecologia, corrida, beleza feminina e estilo de vida.
Este documento é uma edição especial comemorativa dos 3 anos da revista Posiatividade. A revista contém vários artigos sobre temas positivos como qualidade de vida, estilo de vida, alimentação saudável e autoajuda. A edição especial celebra o sucesso de 3 anos da revista promovendo a positividade.
Este documento é uma edição especial da revista Posiatividade que celebra 3 anos de publicação. Contém vários artigos sobre temas como agroecologia, estresse térmico na corrida, conceito de corpo perfeito para mulheres e dicas de exercícios e alimentação.
Este documento celebra os 3 anos da revista Posiatividade, destacando sua qualidade e conteúdo positivo ao longo deste tempo. A edição especial também reconhece os colaboradores que contribuíram para o sucesso da publicação.
Este documento celebra os 3 anos da revista Posiatividade, destacando sua qualidade e conteúdo positivo ao longo desse período. A página 22 traz mensagens de parabéns pela revista e lista a equipe responsável por sua produção.
O documento resume as principais informações sobre a 36a edição da revista Posiatividade de fevereiro de 2012, incluindo artigos sobre investimento em reflorestamento, corrida de rua e a inauguração de uma nova loja da rede Fit4 em Brasília.
O documento apresenta uma lista de tópicos variados sobre estilo de vida saudável em 3 frases ou menos, incluindo tópicos como alimentação positiva, exercícios, autocuidado e atividades ao ar livre.
O documento apresenta informações sobre diversos assuntos como:
1) Uma sugestão de investimento em plantio de árvores nativas para aposentadoria ou poupança a longo prazo;
2) A inauguração de uma nova loja de equipamentos de ginástica em Brasília;
3) Detalhes sobre uma corrida de rua com etapas progressivas em diversas cidades brasileiras.
O documento apresenta uma lista de tópicos variados sobre estilo de vida saudável em 3 frases ou menos, incluindo tópicos como alimentação positiva, exercícios, autocuidado e atividades ao ar livre.
O documento resume as principais informações sobre a 36a edição da revista Posiatividade de fevereiro de 2012, incluindo artigos sobre investimento em reflorestamento, corrida de rua e a inauguração de uma nova loja da rede Fit4 em Brasília.
Este documento discute:
1) A corrida como um mecanismo importante na evolução humana que levou ao desenvolvimento do cérebro e da inteligência;
2) Os benefícios da corrida para a saúde cardiovascular, pressão arterial, composição corporal e força muscular;
3) A importância dos exercícios físicos regulares para prevenir quedas e fraturas em idosos, melhorando a densidade óssea, força muscular e equilíbrio.
Este boletim apresenta:
1) Uma edição de aniversário de uma revista sobre atividade física e saúde
2) Informações sobre uma jornada científica sobre atividade física e saúde que ocorrerá em Brasília
3) Vários artigos sobre temas relacionados a atividade física, saúde e bem-estar
Este boletim apresenta:
1) Uma edição de aniversário de uma revista sobre atividade física e saúde
2) Informações sobre uma jornada científica sobre atividade física e saúde que ocorrerá em Brasília
3) Vários artigos sobre temas relacionados a atividade física, saúde e bem-estar
Este documento é uma revista com 49 páginas que inclui artigos sobre exercícios físicos e saúde, uma jornada científica sobre atividade física e saúde em Brasília, e uma matéria sobre a cantora Ellen Oléria. A revista também contém colunistas regulares sobre diversos tópicos relacionados a estilo de vida saudável.
O documento discute três tipos de transformações geométricas na reta: translação, simetria central e homotetia. A translação é uma transformação que conserva distâncias, enquanto a composição de simetrias resulta em uma translação. A homotetia é outro tipo de transformação afim na reta.
O documento define termos e conceitos relacionados a sistemas lineares, incluindo: 1) equações lineares e não lineares; 2) solução de equações e sistemas lineares; 3) sistemas normais, possíveis, determinados e indeterminados. Ele também descreve métodos para resolver e classificar sistemas lineares, como a regra de Cramer e o escalonamento da matriz.
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2) A inauguração de uma nova loja de equipamentos de ginástica em Brasília;
3) Detalhes sobre uma corrida de rua com etapas progressivas em diversas cidades brasileiras.
O documento apresenta uma lista de tópicos variados sobre estilo de vida saudável em 3 frases ou menos, incluindo tópicos como alimentação positiva, exercícios, autocuidado e atividades ao ar livre.
O documento resume as principais informações sobre a 36a edição da revista Posiatividade de fevereiro de 2012, incluindo artigos sobre investimento em reflorestamento, corrida de rua e a inauguração de uma nova loja da rede Fit4 em Brasília.
Este documento discute:
1) A corrida como um mecanismo importante na evolução humana que levou ao desenvolvimento do cérebro e da inteligência;
2) Os benefícios da corrida para a saúde cardiovascular, pressão arterial, composição corporal e força muscular;
3) A importância dos exercícios físicos regulares para prevenir quedas e fraturas em idosos, melhorando a densidade óssea, força muscular e equilíbrio.
Este boletim apresenta:
1) Uma edição de aniversário de uma revista sobre atividade física e saúde
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Este boletim apresenta:
1) Uma edição de aniversário de uma revista sobre atividade física e saúde
2) Informações sobre uma jornada científica sobre atividade física e saúde que ocorrerá em Brasília
3) Vários artigos sobre temas relacionados a atividade física, saúde e bem-estar
Este documento é uma revista com 49 páginas que inclui artigos sobre exercícios físicos e saúde, uma jornada científica sobre atividade física e saúde em Brasília, e uma matéria sobre a cantora Ellen Oléria. A revista também contém colunistas regulares sobre diversos tópicos relacionados a estilo de vida saudável.
O documento discute três tipos de transformações geométricas na reta: translação, simetria central e homotetia. A translação é uma transformação que conserva distâncias, enquanto a composição de simetrias resulta em uma translação. A homotetia é outro tipo de transformação afim na reta.
O documento define termos e conceitos relacionados a sistemas lineares, incluindo: 1) equações lineares e não lineares; 2) solução de equações e sistemas lineares; 3) sistemas normais, possíveis, determinados e indeterminados. Ele também descreve métodos para resolver e classificar sistemas lineares, como a regra de Cramer e o escalonamento da matriz.
Relações métricas no triângulo retângulocon_seguir
O documento apresenta as definições e propriedades geométricas do triângulo retângulo. Ele define o triângulo retângulo, apresenta suas partes e relações métricas, como o Teorema de Pitágoras. O documento também fornece exemplos resolvidos de problemas que aplicam essas propriedades para calcular medidas desconhecidas em triângulos retângulos.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
O documento descreve os conceitos fundamentais de poliedros e pirâmides. Define poliedro como um sólido limitado por planos e delimitado por faces poligonais. Explora os elementos que compõem poliedros e pirâmides, como vértices, arestas e faces. Apresenta exemplos de poliedros regulares e classificações de pirâmides.
1. O documento apresenta a representação trigonométrica de números complexos na forma z = r(cosθ + isenθ), onde r é o módulo e θ é o argumento. Também mostra como multiplicar e elevar à potência números nessa forma, além de explicar como encontrar raízes complexas.
2. Exemplos resolvidos mostram como aplicar as fórmulas apresentadas para multiplicar e encontrar raízes de números complexos.
3. Exercícios propostos pedem para aplicar as mesmas operações em outros números complexos.
O documento discute números complexos, definindo-os como pares ordenados (x,y) onde x pertence aos números reais e y também pertence aos números reais. z é representado da forma x + y.i, onde i = √-1. As operações como adição, subtração, multiplicação e divisão com números complexos seguem regras específicas.
1) O documento discute resolução de equações do primeiro grau, incluindo propriedades de igualdades e operações para isolar a variável.
2) É dado o exemplo de resolver a equação 3x - 5 = 0 passo a passo.
3) Brevemente discute-se conceitos de raiz, conjunto solução e resolver equações.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
1) O documento apresenta os principais conceitos de geometria plana, incluindo definições de polígonos, triângulos, quadriláteros e seus elementos.
2) É descrito o teorema de Tales, que estabelece que um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais determinam segmentos proporcionais.
3) Também é explicado o teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo, que afirma que a bissetriz divide o lado oposto ao ângulo em part
1) O documento apresenta os fundamentos da geometria espacial, incluindo conceitos como ponto, reta, plano, paralelismo, perpendicularismo e poliedros.
2) É descrito o cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas espaciais como prisma, piramide e cilindro.
3) O documento contém exercícios resolvidos sobre os tópicos apresentados.
Este documento apresenta os fundamentos de funções afins, quadráticas, exponenciais e logarítmicas. Inclui definições dessas funções, propriedades, gráficos e resolução de equações envolvendo essas funções. O documento é dividido em seções tratando separadamente de funções afins e quadráticas, funções exponenciais e funções logarítmicas. Exercícios são fornecidos no final de cada seção para aplicação dos conceitos apresentados.
1. O documento discute os fundamentos da matemática, abordando o estudo de funções e suas aplicações na economia. É dividido em dois blocos principais.
2. O primeiro bloco trata do estudo de funções do 1o e 2o grau e suas aplicações econômicas, como funções de custo, receita e lucro. Também apresenta funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
3. O segundo bloco será dedicado ao estudo do cálculo diferencial e suas implicações econômicas.
1. O documento apresenta os fundamentos de geometria plana, incluindo geometria axiomática, segmentos de reta, ângulos, triângulos, paralelismo e polígonos.
2. É dividido em dois blocos principais, abordando conceitos básicos como segmentos, ângulos e triângulos no primeiro bloco, e paralelismo e polígonos no segundo.
3. Inclui definições, teoremas e exercícios sobre cada um dos tópicos apresentados.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre operações com intervalos, funções polinomiais do primeiro grau e suas características.
2) São descritas as operações de união, intersecção e diferença entre intervalos, bem como exemplos ilustrativos.
3) As funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins, são definidas e exemplificadas, mostrando casos especiais e como representá-las graficamente.
Este documento apresenta uma coleção de problemas de eletromagnetismo e óptica para o mestrado em engenharia eletrotécnica no Instituto Superior Técnico. Inclui seções sobre eletrostática, corrente elétrica estacionária, magnetostática, movimento de partículas em campos, campo magnético variável, circuitos elétricos, equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas, e óptica, com problemas propostos e resolvidos para cada tópico, além de constantes físicas e f
Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre a construção de polígonos regulares, incluindo hexágonos, pentágonos, heptágonos e outros, usando técnicas geométricas como circunferências, mediatrizes e triângulos equiláteros. Ela também fornece uma tabela sobre as propriedades dos polígonos regulares.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano. Ele define o que é coeficiente angular e apresenta três métodos para determiná-lo. Também explica as três formas de representar uma reta através de equações: reduzida, segmentária e paramétrica. Por fim, demonstra dois métodos para determinar a equação de uma reta, seja por dois pontos distintos nela ou por um ponto e o coeficiente angular.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
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Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
1. Capítulo 1
Trigonometria
1.1 Conceitos preliminares
O número π
Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número π é denido como a razão do comprimento C da
circunfeência pelo seu diâmetro d, isto é,
C C
π= = (1.1)
d 2r
O comprimento de uma circunferência
Pela denição do número π na equação (1.1) observamos que o comprimento da circunferência é dado por
C = πd = 2πr (1.2)
Medida de ângulos
Existem 3 unidades para a medida de ângulos.
1
• Grado: 1 grado é um ângulo correspondente a 400 de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente,
a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 400 grados - Figura 1.1(a).
1
• Grau: 1 grau, denotado 1o , é um ângulo correspondente a 360 de uma volta completa da circunferência. Conse-
qüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360o - Figura 1.1(b).
• Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do raio da
circunferência - Figura 1.1(c).
100 90o
q
........................................ q
...................................... ........................................
.......... ....... ........... ....... .......... .....q.
....... ...... ....... ...... ....... .....
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.. .. 400
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..... .... ..... .... ..... ....
..... ..... ..... ..... ..... .....
....... ..... ....... ..... ....... .....
......... ...... ......... ...... ......... ......
...........................................
q ...........................................
q o ...........................................
300 270
(a) A denição de grado (b) A denição de grau (c) A denição de radiano
Figura 1.1: Medidas de ângulo
1
2. O comprimentro de um arco
Em uma circunferência de raio r a denição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco de
comprimento r. Logo um ângulo de θ radianos compreende um arco de comprimento s - Figura 1.2(a). O valor s é
dado por
1 rad θ rad
= ∴ s = rθ
r s
Conversão grau-radiano
De modo análogo, um arco de comprimento r compreende um ângulo de 1 radiano. A circunferência completa, um
arco de comprimento 2 π r, compreende um ângulo θ dado por
r 2πr
= ∴ θ = 2 π rad
1 rad θ rad
Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida 2 π radianos - Figura 1.2(b).
90o = π rad
................................................ ................q.......................
. 2
............. .......... s = r θ .......... .......
....... .... ....... ......
...... . ... ...... .....
...q
. ......
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.......... ..............
θ rad ......... ...
....
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.
. ..
.. ..
.. .
. 180o = π rad θ .
.
. o
. ..
..q .
.q .
.q 0 = 0 rad ou 360 = 2 π rad
.
.
. . .. .
. .
. o
.
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. .
.
.
. r .. ..
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........ ...... ........ ......
............
................................. ........ ............
..................................
.......
q
270 = 3π rad o
2
(a) Comprimento de arco (b) Conversão grau-radiano
Figura 1.2: Comprimento de arco e a conversão grau-radiano
Assim, dado um ângulo θ radianos, sua medida x em graus é dada por
π rad θ rad 180
= ∴ x= θ
180o x π
Exemplo 1.1 Determine a medida do ângulo 3 π rad em graus.
4
3
π rad 4π rad 180 3
= ∴ x= π = 135o
180o x π 4
Exemplo 1.2 Determine a medida do ângulo 155o em radianos.
π rad x rad 155 31
= ∴ x= π= π rad
180o 155o 180 35
Classicação de triângulos
Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classicá-los de duas maneiras:
• quanto aos tamanhos dos lados:
equilátero - 3 lados de mesmo comprimento,
isóceles - 2 lados de mesmo comprimento,
escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes;
2
3. • quanto às medidas dos ângulos:
acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90o graus),
retângulo - 1 ângulo reto (90o graus),
obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90o graus).
1.2 Triângulo retângulo
1.2.1 Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo, Figura 1.3(a), os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto
ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema
de Pitágoras
a2 = b2 + c2 . (1.3)
b c
¨¨e
c ¨¨ e
¨¨ a e
¨ b
¨ ae
a ¨ ¨¨ e
e
¨ e
c e
¨¨ b e e
¨¨ e a
a ¨¨
¨
b e ¨ c
e ¨¨
e¨
c b
(a) Um triângulo retângulo. (b) O Teorema de Pitágo-
ras.
Figura 1.3: Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 1.3(b): a área do quadrado
externo é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos 4 triângulos retângulos, isto é:
bc
a2 + 4 = (b + c)2 ∴ a2 + 2bc = b2 + 2bc + c2 ∴ a2 = b2 + c2 .
2
1.2.2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo dene-se 6 razões trigonométricas (conhecidas como seno, cosseno,
tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira
cateto oposto cateto oposto hipotenusa
• seno = hipotenusa • tangente = cateto adjacente • secante = cateto adjacente
cateto adjacente cateto adjacente hipotenusa
• cosseno = hipotenusa • cotangente = cateto oposto • cossecante = cateto oposto
A Figura 1.4 ilustra as 6 razões trigonométricas para os ângulos α e β de um triângulo retângulo.
3
4. c b
seno: sen(α) = a sen(β) = a
b c
cosseno: cos(α) = cos(β) =
....¨ a a
¨¨..........
..
tangente: c b
¨¨ tg(α) = tg(β) =
a β b c
¨¨
c
b c
¨
..... cotangente: ctg(α) = ctg(β) =
¨¨ .... α
c b
a a
b secante: sec(α) = b sec(β) = c
a a
cossecante: csc(α) = c csc(β) = b
Figura 1.4: As razões trigonométricas.
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis
Na Figura 1.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado a e então determinamos as razões trigonométricas para
o ângulo de 45o obtido:
√ √
o a 1 2 o a 1 2 a
cos(45 ) = √ = √ = , sen(45 ) = √ = √ = , tg(45o ) = = 1.
a 2 2 2 a 2 2 2 a
Na Figura 1.5(b) traçamos a altura de um triângulo equilátero de lado a e então determinamos as razões trigonométricas
para os ângulos de 30o e 60o obtidos:
√ √ √
o a 3/2 3 o a/2 1 o a/2 1 3
cos(30 ) = = , sen(30 ) = = , tg(30 ) = √ =√ = .
a 2 a 2 a 3/2 3 3
√ √ √
o a/2 1 o a 3/2 3 o a 3/2 √
cos(60 ) = = , sen(60 ) = = , tg(60 ) = = 3.
a 2 a 2 a/2
A tabela 1.1 resume estes resutados.
ângulo 30o 45o
√
60o
√
sen √
1
2 √2
2
2
3
cos 2
3
2
2 1
2
√ √
tg 3
3
1 3
Tabela 1.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30o , 45o e 60o .
1.3 Algumas identidades trigonométricas
Na Figura 1.4 temos que b = a cos(α) e c = a sen(α); obtemos então as seguintes identidades:
c a sen(α) sen(α)
tg(α) = = ∴ tg(α) = (1.4a)
b a cos(α) cos(α)
b a cos(α) cos(α)
cotg(α) = = ∴ cotg(α) = (1.4b)
c a sen(α) sen(α)
a a 1
sec(α) = = ∴ sec(α) = (1.4c)
b a cos(α) cos(α)
a a 1
csc(α) = = ∴ csc(α) = (1.4d)
c a sen(α) sen(α)
4
5. ¡e
¡e
...
¡........ e
¡30o e
√ ¡ e
a 2
a ¡ √
a 3
e
a¡ 2 e c
¡ e
¡ e
45o
......
.
¡.
......
60 o e
.
.
.
. ¡ .... e
a a/2 a/2
(a) Ângulo de 45o . (b) Ângulos de 30o e 60o .
Figura 1.5: Ângulos notáveis.
Usando o Teorema de Pitágoras obtemos
b2 + c2 = a2 ∴ a2 cos2 (α) + a2 sen2 (α) = a2 ∴ a2 cos2 (α) + sen2 (α) = a2
donde
cos2 (α) + sen2 (α) = 1 (1.4e)
A identidade (1.4e) é chamada de identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno de qualquer
ângulo é sempre igual a um. A partir da identidade fundamental obtemos outras duas importantes identidades:
cos2 (α) + sen2 (α) 1 sen2 (α) 1
= ∴ 1+ = ∴ 1 + tg 2 (α) = sec2 (α) (1.4f)
cos2 (α) cos2 (α) cos2 (α) cos2 (α)
cos2 (α) + sen2 (α) 1 cos2 (α) 1
2 (α)
= 2 (α)
∴ +1= ∴ cotg 2 (α) + 1 = csc2 (α) (1.4g)
sen sen sen2 (α) sen2 (α)
Exemplo 1.3 Para um dado ângulo θ sabe-se que cos(θ) = 1 . Determine as outras razões trigonométricas para θ.
5
Da identidade fundamental obtemos
2 √
1 2 2 1 24 2 6
+ sen (θ) = 1 ∴ sen (θ) = 1 − ∴ sen(θ) = = .
5 25 25 5
Logo:
√
2 6/5
√
2 6 5
√
• pela identidade (1.4a): tg(θ) = 1/5 = 5 1 = 2 6;
√
1/5 1 √5 6
• pela identidade (1.4b): cotg(θ) = √
2 6/5
= 5 2 6 = 12 ;
1
• pela identidade (1.4c): sec(θ) = 1/5 = 5;
• pela identidade (1.4d): csc(θ) = √1 = 5
√ .
2 6/5 2 6
1.4 Triângulos quaisquer
1.4.1 A Lei dos Cossenos
Vimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Para
triângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 1.6).
5
6. Para o ângulo α: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
a ¨..¨..d
........ ......
.. ..
¨
¨ β d c Para o ângulo β : b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β )
.. ¨
¨.. γ ...
..
α.d
..
¨¨ ...
.
. d
. Para o ângulo γ : c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ )
b
Figura 1.6: A Lei dos Cossenos.
A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ pode ser obtida a partir da Figura 1.7. No triângulo retângulo
da esquerda temos
x
cos(γ) = ∴ x = acos(γ) (1.5a)
a
a2 = x2 + H 2 ∴ H 2 = a2 − x2 . (1.5b)
No triângulo retângulo da direita temos
c2 = H 2 + (b − x)2 = H 2 + b2 − 2bx + x2 (1.5c)
Substituindo (1.5a) e (1.5b) em (1.5c) obtemos
c2 = a2 − x2 + b2 − 2ab cos(γ) + x2
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
que é a Lei dos Cossenos para o ângulo γ .
¨
¨¨ d
a
¨ d c
¨..¨
..
..
γ
H d
¨¨ .
.
.
. d
x
b
Figura 1.7: A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ .
1.4.2 A Lei dos Senos
Outra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura 1.8),
cuja demonstração ca a cargo do leitor (Problema Teórico 1.1).
¨ ...
....
¨¨ ........dd c
a
.. .....
sen(β) sen(α) sen(γ)
.. ¨
¨ β b = a = c
¨.. γ ...
..
α.d
..
¨¨ ...
.
. d
. d
b
Figura 1.8: A Lei dos Senos.
1.5 Círculo Trigonométrico e Funções Circulares
Círculo trigonométrico é o circulo1 de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 1.9(a).
1 Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado na
literatura e vamos mantê-lo.
6