Análise de Curto-Circuitos Simétricos

RESEE 2009/2010
Análise de Curto-Circuitos Simétricos
Carlos Moreira

Curto-Circuitos
Conceitos gerais
 Um Curto-Circuito (CC) corresponde a uma alteração estrutural abrupta num Sistema
Eléctrico de Energia (SEE), caracterizada pelo estabelecimento de um contacto eléctrico
fortuito através de um circuito de baixa impedância entre dois pontos a potenciais
diferentes.
 Ocorrem em:
 Barramentos das Subestações, PT, quadros eléctricos, geralmente devido à acção de
elementos externos;
 Linhas aéreas, devido a sobre-tensões de descargas atmosféricas ou acção de
elementos externos (aves, ramos de árvores, etc.), ruptura de condutores,
isoladores e apoios;
 Cabos subterrâneos, transformadores e máquinas rotativas e aparelhagem de corte,
devidos a falhas de isolamento (aquecimento, efeitos mecânicos, envelhecimento,
campos eléctricos elevados).
 Tem como consequências:
 Correntes elevadas (substancialmente superiores ás correntes de carga verificadas
em condições normais), que se durarem demasiado tempo provocam o
aquecimento dos condutores e a deterioração irreversível do equipamento;
 Correntes elevadas, que provocam esforços electrodinâmicos entre fases dos
elementos condutores dos equipamentos (barramentos, enrolamentos, etc.);
 Variações de tensão, com quedas de tensão muito elevadas em algumas fases e
por vezes com elevações de tensão em outras.

Curto-Circuitos
Conceitos gerais
 O cálculo de CC é necessário para efeitos de dimensionamento dos
equipamentos da rede:
 Os condutores, isoladores e cabos, devem suportar o aquecimento causado
pela corrente máxima do CC, durante o tempo de actuação das protecções.
 Os suportes, barramentos e enrolamentos, devem suportar os esforços
electrodinâmicos para a corrente máxima do CC.
 Os disjuntores, devem ter poder de corte para a corrente máxima do CC.
 Os relés, são ajustados para correntes de CC calculadas em diversos
pontos da rede e para diversos tipos de CC.
 Existem vários tipos de CC:
 CC simétricos, envolvendo as três fases com uma impedância de defeito igual
em todas as fases. Se a impedância for nula designa-se um CC franco.
 CC assimétricos, são os CC que envolvem apenas uma fase (fase-terra) ou duas
fases (fase-fase e fase-fase-terra).

Curto-Circuitos
Correntes de Curto-circuito: Definições e Características
 Define-se Corrente de Curto-Circuito como a corrente que flui através do
defeito enquanto este persiste.
 Os SEE são projectados de forma a ser possível a limitação dos CC à área
mais restrita possível, mediante a utilização de equipamento apropriado que
pode ser operado em condições de CC sem sofrer degradação das suas
condições físicas.
 A forma de onda da corrente de CC depende do valor da onda de tensão no
instante em que ocorre o defeito  ilustração…

'' '' '' ''
arg( )Z Z R j L   
c c cZ R j L     
''
2 2
'' ''
k
U
I
R L


Corrente de CC inicial simétrica
 
'' ''
´´ ''
L X
tg
R R

  
i(0) Pode desprezar-se
Corrente inicial muito
pequena, por ser Z’’ << Zc
iDC componente contínua da
corrente de CC, tende para
zero ao fim de t=5L’’/R’’ (s)
componente estacionária da
corrente de CC, é uma componente
periódica simétrica
Esfasamento da tensão
relativamente ao instante do CC
Existe um instante mais desfavorável para
ocorrer o CC, em que a corrente i(t) é máxima
Carga
Curto-Circuitos
  
´´
´´'' ''
( ) 0 2 ( ) 2 ( )
R
t
L
k ki t i I sen e I sen t    
 
          

Curto-Circuitos
i(t)
u(t)
Situação mais desfavorável:
onda de tensão passa por zero no
momento de ocorrência do cc
(valor máximo da componente
contínua)  possível duplicação
da corrente de pico em relação à
corrente de CC inicial simétrica
Situação mais favorável:
onda de tensão passa pelo valor de pico
(max. ou min.) no momento de ocorrência
do cc (componente contínua é nula).
A corrente de CC não apresenta
componente contínua.
i(t)
u(t)

Curto-Circuitos
 A presença de uma componente DC na corrente de curto-circuito faz com
que esta apresente características de assimetria nos instantes que se
seguem ao aparecimento do CC.
 No exemplo anterior, a impedância foi considerada como invariante no
tempo. No entanto, as máquinas sincronas e cargas do tipo motor (sincrono
ou assíncrono), sendo as principais fontes das correntes de CC,
apresentam um comportamento diferenciado no que respeita à sua
indutância interna em diferentes momentos do tempo
 Não se pode assumir uma impedância constante na análise de CC
 Definem-se então três períodos relativos à variação no tempo da
componente fundamental da corrente de curto-circuito:
 Período sub-transitório: período inicial durante o qual a corrente de cc diminui rapidamente de valor;
 Período transitório: período seguinte, correspondendo a uma diminuição mais lenta da corrente de cc,
até ser atingido o valor permanente desta corrente;
 Período permanente: período em que a corrente de curto-circuito apresenta o seu valor estacionário.
Obviamente, este período não será atingido, dado que o tempo total de isolamento do defeito é muito
inferior.

 Para cada um dos três períodos identificados, é decisiva a
contribuição dos alternadores (geradores síncronos) e motores,
em resultado das variações das respectivas reactâncias:
 Período sub-transitório: reactância sub-transitória Xk’’  para Ik’’
 Período transitório: reactância transitória Xk’
 Período permanente: reactância síncrona Xsk
Sub-transitório
(0,02s a 0,05s)
Transitório
(0,05s a 3s)
Permanente
Curto-Circuitos

Ik’’ – Corrente de CC inicial simétrica: valor eficaz da corrente de curto-circuito simétrica
no instante em que ocorre o curto-circuito. À parte dos restantes compontes da rede, o seu valor
édeterminado tendo em consideração as reactâncias sub-trânsitórias das máquinas presentes no sistema.
ip – Valor de pico da corrente de CC: valor máximo
instantâneo da corrente de cc (depende do instante do ciclo da onda
de tensão em que ocorre o cc)
idc – Componente contínua da corrente de CC
Ik – Corrente de CC permanente
Sk’’ – Potência de CC inicial simétrica ´´ ''
3k n kS U I  
Valor eficaz da corrente de cc simétrica que permanece após
o desaparecimento da fase trânsitória do fenómeno
2 2 kI 
''
22kI
(S.I.)
Curto-Circuitos

CC próximo do alternador
CC afastado do alternador
A corrente de CC inicial simétrica I’’k é praticamente constante durante o cc. Tal
deve-se ao pequeno peso relativo que as máquinas síncronas têm no valor da
impedância equivalente.
A componente alternada simétrica da corrente de CC vai diminuindo desde a corrente
inicial simétrica de cc até à corrente de cc permanente. Este decrescimento deve-se à
variação no tempo da reactância das máquinas síncronas e sua influência na
variação da impedância vista do local de defeito.
Curto-Circuitos

Curto-Circuitos
Variação no tempo da Corrente de CC
 Para determinar o valor de pico da corrente de cc ip, multiplica-se o valor máximo da
corrente da corrente de cc inicial simétrica por um factor empírico associado à
máxima percentagem de componente contínua previsível:
 Este factor traduz a maior ou menor rapidez de decaimento da componente
contínua e é função da razão R/X vista do local de defeito:
''
2p ki I   

''
''
3
1,02 0,98
R
X
e
 
  

Curto-Circuitos Simétricos
Modelo dos componentes do sistema
 Componentes que alimentam o CC:
 Máquinas síncronas
 Máquinas assíncronas
 Componentes que limitam os valores das correntes
de CC:
 Transformadores
 Linhas e cabos
 Os modelos de transformadores, linhas, cabos e
cargas são semelhantes aos utilizados nos trânsitos
de potência.

 As cargas, se passivas, podem ser representadas por impedâncias constantes
 As impedâncias das cargas são muito elevadas em comparação com as
impedâncias dos restantes componentes, em alguns modelos de CC
desprezam-se assumindo erros da ordem de 5% (-5% que o valor com carga).
Se desprezar apenas a parte activa das cargas os erros serão inferiores a (-1%)
 As cargas reactivas, não passivas (motores de indução), podem contribuir para
alimentar o CC no período sub-transitório
S P jQ 
* ** * 2
2
P jQ
S V I VY V V Y Y
V

    
V
Modelos de cargas
1
Z
Y


Modelos de máquina síncrona
~
'' '
ou ou sZ jX jX jX
'' 0 ''
' 0 '
0
=V
=V
=V
i i
i i
i i
E Z I
E Z I
E Z I
 
 
 
• Despreza-se a resistência dos enrolamentos (se não for conhecida)
• Considera-se apenas a frequência fundamental , desprezando-se a freq. dupla
• Usa-se um factor empírico  para ter em conta a componente contínua
• Considera-se um regime quase estacionário (admite-se que a corrente simétrica não
decresce em amplitude) em cada período (sub-transitório, transitório e simétrico)
• Para disjuntores rápidos (RNT: 1,5 a 2 ciclos) usa-se a reactância sub-transitória
• Para disjuntores lentos (Distribuição: 4 a 5 ciclos) usa-se a reactância transitória
• Para cálculo de esforços electrodinâmicos usa-se a reactância sub-transitória
p.u.
X'' 0,1 - 0,2
X' 0,2 - 0,4
Xs 1,0 - 1,3

Equivalentes de rede
Alguns comentários:
• Consiste no equivalente de Thévenin que representa a rede para montante
• Caracterizado por uma potência de curto circuito Scc ou corrente de cc Icc
• Scc máximo da rede quando: as cargas são máximas (pontas; Zcarga mínimo), as contribuições de
produção são máximas, tensões iniciais mais elevadas, configurações de rede mais emalhadas
• Scc mínima da rede quando : as cargas são mínimas (vazio; Zcarga máximo), o número de grupos
ligados é menor, tensões iniciais mais baixas, configurações de rede pouco emalhadas
Ik
’’
k
k
''
kZ
'' ''
3k nk kS V I  
''
''
(SI)
3
nk
k
k
c V
I
Z



''
''
''
''
(pu)
(pu)
k
k
k
k
c
I
Z
c
Z
S


'' ''
(pu)k kS I
Icc_max Icc_min
BT (<1 kV) 1,0 0,95
MT (< 35 kV) 1,1 1,0
AT e MAT 1,1 1,0
Valores iniciais da tensão
a considerar (parâmetro c)
:
,
3
b b nk
b
b
nk
Bases
S V V
S
I
V



Dividindo
por Sb
Dividindo
por Ib

Linhas, Cabos e transformadores
2
12
12_
Cj
Y sh

12_shY
1212
12
1
jXR
Y


• Usa-se o modelo em PI, tal como nos estudos de trânsitos de potência
• Nas linhas aéreas de MT AT e MAT pode desprezar-se R e Ysh, com erros inferiores a 1%
(obtêm-se +1% que com os modelos completos). Em BT ou em redes com cabos já tem
importância (fundamental se R>>X, que é o caso da BT).
• Usualmente os cabos limitam menos as CC que as linhas, por terem reactância X mais baixa
(mas depende do tipo de montagem dos cabos)
• Nos transformadores existem componentes longitudinais que são uma componente de
reactância de fugas Xf e uma resistência pequena que pode ser desprezada. As componentes
transversais são a resistências de perdas no ferro (desprezável) e reactância de magnetização
que é na maior parte dos transformadores muito elevada.
• Para CC assimétricos é necessário ter em conta a configuração de enrolamentos do
transformador, como veremos mais tarde.
1 2

Modelo de máquina assíncrona
• Funciona geralmente como motor, mas nos instantes iniciais do CC passa a
funcionar como gerador.
• Durante o CC deixa de receber a energia reactiva da rede, que necessita para a
excitação, diminuindo rapidamente o fluxo magnético, contribuindo para o CC
apenas durante o período sub-transitório (2 a 4 ciclos).
• A contribuição de corrente para o CC é praticamente igual à corrente de
arranque como motor
~
''
jX
'' 0 ''
=Vi iE Z I 

Metodologia de geral de cálculo
 Objectivo:
 Cálculo da corrente de CC inicial simétrica no nó de defeito
 Cálculo das tensões pós defeito em todos os nós
 Cálculo das correntes pós-defeito em todos os ramos
 Pressupostos:
 A rede é equilibrada e simétrica, antes e após o defeito, as fontes
geram sistemas trifásicos equilibrados de f.e.m., e os defeito é
também simétrico, pelo que se pode fazer uma análise por fase
 Os parâmetros dos componentes são constantes, correspondendo ao
período sub-transitório
 A simulação de defeito consiste na introdução de uma impedância de
defeito Zd entre o nó de CC e a referência do circuito
 Assim, a análise de CC resume-se ao estudo em regime permanente
e simétrico de circuitos lineares.

Metodologia geral cálculo
Exemplo ilustrativo
~50 MVA
10 kV
'' 20%X 
10%fx 
45j 
10 MVA
cos 0,8 ind 
30 MVA
cos 0,8 ind 
1 2
50 MVAbS 
10 kVbGV 
Re 150 kVb deV 
Converter para sistema pu
CC trifásico simétrico
franco no barramento 2
2 150 kVV 
2 1 . .V p u

~
0
0,79/ 36.2ºGI  
0,1j1 2
Passo 1 – Cálculo dos valores pré-defeito de tensões e correntes
usando um trânsito de potências
0
1 1,037/ 2,7ºV 
0
1 0,19/ 34.2ºCI  
0
2 0,60/ 36.9ºCI  
0
2 1,000/0ºV 
0
12 0,60/ 36.9ºI  

Passo 2 – Construção do diagrama unifilar da rede
~
0,1j1 2
1 4,32 3,24CZ j  2 1,34 1,00CZ j 
'' 0,2jX j
0,1fjX j
GE
20
1
1
1 1
C
C C
V
Z
P jQ



Passo 3 – Aplicar o teorema de Thévenin no nó de defeito, para
simular a introdução de um novo ramo no circuito (“o ramo do CC”)
0,1j1 2
1CZ
0dZ 
'' 0,2jX j
0,1fjX j
2CZ
~ 0
2 1,000/0ºTE V 
1. Aplicar uma f.e.m. de Thévenin ET no nó de CC,
correspondente ao valor pré-defeito da tensão nesse ponto
2. Colocar em série com a f.e.m. a impedância de defeito Zd
3. As restantes fontes de tensão são curto-circuitadas, sendo
substituídas pela respectiva impedância interna
1
2
3

0,1j1
1CZ
dZ
''jX
fjX
2CZ
~ 0
2 1,000/0ºTE V 
Passo 4 – Com base no teorema de Thévenin, resolver o circuito
calculando as variações de tensão e variações de corrente devidas à
introdução do ramo de CC.
1 0,743/179,3º
T
V 
1 0,14/142.4º
T
CI 
''
22
T
T dV E Z I  
2 0,60/143,1º
T
CI 
''
2 2,97/ 79,6ºI  
2,48/ 269.3º
T
GI 
12 2,56/ 88,7º
T
I  
0
'' 2
2
eq d
V
I
Z Z


A corrente de CC inicial simétrica fica
calculada neste passo, porque a variação
é igual ao valor final (não existia corrente
inicial por não existir o ramo de CC).
''
22
T
eqV Z I 

0,1j1
dZ
Passo 5 – Segundo o teorema da sobreposição, o valor das correntes e
tensões finais pode ser obtida pela soma algébrica dos valores pré-defeito
com os valores de variação causada pela f.e.m. ET do ramo do CC.
1 0,298/11º
f
V 
3,01/ 78,3º
f
GI  
2 0,000/0º
f
V 
''
2 2,97/ 79,6ºI  
1 0,06/ 25,6º
f
CI  
12 2,97/ 79,6º
f
I  
~
2 0,0/0,0º
f
CI 
1CZ 2CZ
0f T
I I I 
0f T
V V V 

 Análise de resultados do exemplo radial
 As tensões pós-defeito são muito baixas no ponto de CC,
aumentando para nós próximos dos geradores
 As correntes pós-defeito são predominantemente indutivas, em
atraso cerca de 90º relativamente às tensões (trânsitos de reactiva
dos geradores para o defeito)
 A corrente das cargas pós-defeito diminui muito, especialmente
junto do ponto de CC, pelo que é aceitável desprezar as cargas já
que estas pouco significam no cálculo do equivalente te Thévenin.
 A corrente nos ramos aumenta muito relativamente ao valor inicial,
pelo que é aceitável considerar o sistema inicial em vazio, evitando
o cálculo do trânsito de potências inicial.

Metodologia sistemática para cálculo computacional
 SEE genérico com n nós, sendo k o nó onde se pretende simular a
ocorrência de um cc trifásico simétrico
k: nó de defeito

 Vectores (dimensão: n) referentes aos valores das tensões nodais:
 Vector das tensões nodais pré-defeito: obtido mediante a resolução de um problema
de trânsito de potências para as condições de exploração do sistema antes da
ocorrência do defeito
 Vector das variações das tensões nodais (tensões de Thévenin): calculado por
aplicação do Teorema de Thévenin. Para tal considera-se o esquema unifilar da
rede, utilizando os modelos dos diversos componentes referentes aos estudos de
cc, com todas as fontes de tensão curto-circuitadas e substituidas pelas respectivas
impedâncias internas.
Em série com a impedância de defeito Zd ligada entre o nó k e o nó de referência,
considera-se uma fonte de tensão com f.e.m
1
T
T T
k
T
n
V
V V
V
 
 
 
 
  
 
 
 
 
0
1
0 0
0
k
n
V
V V
V
 
 
 
 
  
 
 
 
 
Zd
~ ET=V k
0
k
ET=V k
0

 Vectores (dimensão: n) referentes aos valores das tensões nodais:
 Vector das tensões nodais pós-defeito: por aplicação do teorema da sobreposição,
pode calcular-se o vector das tensões nodais pós-defeito
1
f
f f
k
f
n
V
V V
V
 
 
 
 
  
 
 
 
 
0f T
V V V 

Formulação matricial usando a matriz das impedâncias do diagrama
unifilar da rede de Thévenin: cálculo das tensões de Thévenin (variação
da tensão nos nós)
1 1 1 1
1
1
0
0
T
k k n
T ''
k kk knk k
T n nk nn
n
V Z Z Z
Z Z ZV I
Z Z ZV
                                   
Zd
~ ET=V k
0
kkZ
T ''
kk kkV Z I  Na diagonal i:
Impedância equivalente Zeq a montante do nó i
Fora da diagonal ik:
Impedância que relaciona o efeito da corrente
injectada no nó k com a variação da tensão no nó i
''
kI
''
kI
Zd
k
''
kI
T
T '' k
kk k kkk ''
k
V
V Z I Z
I
     
T
T '' i
ik k iki ''
k
V
V Z I Z
I
     

0 0 0
11 1 1 11 1
0 0 0
0 0
0
0
f T ''
k kk
f T ''
kk kkk k k kk k
Tf nk
n n nn
V V V V V Z IZ
ZV V V V ZV I
ZV V VV
                                                                                              
0
''
k
''
nk kn
I
V Z I
 
 
 
 
 
 
 
   
Cálculo das tensões pós-defeito
0
'' k
k
kk d
V
I
Z Z


Tensões
pré-defeito
Tensões de Thévenin
(variações das tensões nodais)
Tensões
pós-defeito
Corrente de CC
Inicial simétrica
Só a coluna do
nó de defeito
Zd
k
''
kI
f ''
kdkV Z I 

Etapa 1: Condições de operação pré-defeito (p.u.)
0
iV1) Resolução do trânsito de potências:
Etapa 2: Variações provocadas pelo defeito (p.u.)
   Y Z
2.1) Construção do esquema unifilar do equivalente de Thévenin (em p.u.)
2.2) Construção da matriz das impedâncias nodais:
2.3) Cálculo da corrente de defeito:  0''
k kkkI V Z Zd 
Etapa 3: Condições de operação pós-defeito (p.u.)
0 0f T ''
ik ki i i iV V V V Z .I   
f ''
d kkV Z .I
   2f f f f
sh _ijij iji j iI V V z V Y /   
 0
0 0 0
fT
i if T i
g g g g g'' ''
g g
V VV
I I I I I
jx jx

     
3.1) Cálculo da tensão nos nós:
3.2) Cálculo da corrente nos ramos:
3.3) Cálculo das contribuições de
geradores e equivalentes de rede:
no barramento k Restantes barramentos i

Exemplo
~ ''gX
fTx
12 12 12z r jx 
2 2P jQ
1 2
Converter para sistema pu
CC trifásico simétrico
franco no barramento 2
ccS
_12sh
y2 2P jQ

~
0
RI
Passo 1 – Cálculo dos valores pré-defeito de tensões e correntes
usando um trânsito de potências
0
1V
0
1CI
0
2CI
0
2V
0
12I
0
21I
0
gI

Construção do diagrama unifilar da rede
~
1 2
''
gjX
fTjX
GE
1 1
1 20
1
C C
C
P jQ
Y
V


'' 1,1 1,1
R
CC CC
jX j j
S Q
 
2 2
2 20
2
C C
C
P jQ
Y
V


12
_12
2sh
j C
y


12
12 12
1
y
r jx


12
_12
2sh
j C
y


~ 1,1 (p.u.)
Este não é o diagrama equivalente de Thévenin !

1 1
1 20
1
C C
C
P jQ
Y
V


Diagrama unifilar equivalente de Thévenin
Construção da matriz [Y] equivalente de Thévenin
''
gjX
fTjX
''
RjX
 j B j
 
 
 
 
 
 
12 12
1
_122'' 2 20
1
1 C
sh
g fT
Q x
y
X X r xV
   
 
12
_12
2sh
j C
y


12
_12
2sh
j C
y


12 12
2
2'' 2 2_120
2
1 C
sh
R
Q x
y
X r xV
   

12 12
2 2
x
r x
12 12
2 2
x
r x
     Y G j B 
2 2 2 212
12 12 12 12
r x
y j
r x r jx
 
 
2 2
2 20
2
C C
C
P jQ
Y
V



Diagrama unifilar equivalente de Thévenin
''
gjX
fTjX
''
RjX
 G
 
 
 
 
 
 
12 12
1 12
2 2 20
1
CP r
r xV


12
_12
2sh
j C
y


12
_12
2sh
j C
y


12 12
2
2 2 20
1
CP r
r xV


12 12
2 2
r
r x


12 12
2 2
r
r x


     Y G j B 
Geralmente é possível
desprezar [G]
(erros inferiores a 1%)
1 1
1 20
1
C C
C
P jQ
Y
V


2 2 2 212
12 12 12 12
r x
y j
r x r jx
 
 
2 2
2 20
2
C C
C
P jQ
Y
V



 Pode ser obtida por inversão de [Y], trabalhando com complexos.
 Ou mais fácil: invertendo matrizes reais:
 Pode ser obtida por construção directa adicionando sistematicamente os nós e
ramos da rede
Inversão da matriz [Y] para obter a matriz [Z]
   
   
1
G B
B G

 
 
 
   
   
Re Im
Im Re
Z Z
Z Z
 
 
 
     Y G j B 

0 0
11 11 1
0 0
0 0
0
0
f ''
k kk
f ''''
kk kk kk kk k
''f nk
nk kn nn
V V V Z IZ
ZV V Z IV I
ZV V Z IV
                                                                   
dZ
1
f
V 2
f
V
''
2I
~
1CZ 2CZ
Tensões pós-defeito
0
'' k
k
kk d
V
I
Z Z


Corrente de CC

1
dZ
1
f
V
f
GI
2
f
V
''
2I
1
f
CI
12
f
I
~
2
f
CI
1CZ 2CZ
Correntes
Pós-defeito
f
RI12
f
I
 1 2 12
12 1
12 2
f f
sh _f f
V V y
I V
z
  
    
 
0
0 1 1
f
f
g g ''
g fT
V V
I I
jX jX

 

Cálculo da
corrente
nos ramos:
Cálculo das contribuições do
gerador e rede (é necessário usar
valores iniciais de corrente)
Cálculo das correntes
nas cargas
0
0 2 2
f
f
RR ''
R
V V
I I
jX

 
0
0 011 1
1 11
1 1
f T
f
C CC
C C
V V V
I I I
Z Z
 
   
 2 1 12
21 2
12 2
f f
sh _f f
V V y
I V
z
  
    
 
12 12 12z r jx 

Construção da matriz das impedâncias
Construção da matriz das impedâncias a partir da matriz de admitâncias
1
11 1 1
1
1
k n
k kk kn
n nk nn
Y Y Y
Y Y Y
Y Y Y

 
 
 
 
 
 
 
 
_ _ arg _ arg _
2 ''_ 0
_ __ _ _ _
1 1
2
sh linha ik c a i c a i
ii linha ik
k k eq rede ieq gerador i f transformador i
i
y P jQ
Y y
jX jX ZV

    

 
Fora da diagonal (linhas e transformadores):
( )ik ik
Y y i k  
Na diagonal principal:
Linhas e transformadores
ligadas ao nó
Cargas Grupos geradores Equivalentes
de rede
Invertendo complexas com matrizes reais:
     Y G j B 
11 1 1
1
1
k n
k kk kn
n nk nn
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   
   
1
Re Z Im Z G B
Im Z Re Z B G

   
   
       

 Construção directa da matriz das impedâncias
 Em sistemas de grandes dimensões (milhares de nós), o processo de
inversão de uma matriz é numericamente ineficiente
 Por cada alteração topológica no sistema, é necessário repetir o
processo de inversão da matriz de admitâncias
1V
2V
3V
1I

2I

3I

1Z
2Z
3Z
4Z
5Z
1
2
3

 Algoritmo de construção directa da matriz Z
 Passo 1: considerar apenas os ramos da rede estabelecidos entre
qualquer um dos seus nós e o nó de referência (terra)
 No exemplo apresentado, têm-se os ramos com Z4 e Z5
1V
2V
3V
1I

2I

3I

1Z
2Z
3Z
4Z
5Z
1
2
3
 Para os ramos identificados, podem-se
escrever as seguintes equações:
5 1 51 11
44 2 222
Z
V Z I V Z 0 I
V 0 ZV Z I I
      
           
 Regra: identificados os k ramos do
sistema estabelecidos entre qualquer um
dos seus nós e o nó de referência,
construir matriz diagonal de dimensão
(kxk), tendo em cada posição da
respectiva diagonal principal a
impedância de cada um dos ramos

 Passo 2: identificar o ramo da rede que se estabelece entre um dos
nós presentes na equação matricial do Passo 1 e outro nó ainda não
considerado
 A impedância Z2 liga o nó 2 a um novo nó (nó 3)
1V
2V
3V
1I

2I

3I

1Z
2Z
3Z
4Z
5Z
1
2
3
 Para esta situação, podem-se escrever
as seguintes equações:
 
2 33 2
4 2 32
5 11
V V Z I
V Z I I
V Z I
 

 
 
 O conjunto de equações do Passo 1
completa-se da seguinte forma
 
5 11 5 11
4 2 3 4 4 22 2
4 2 4 332 33 2
V Z I V Z 0 0 I
V Z I I V 0 Z Z I
V 0 Z Z Z IV V Z I
      
               
             

 De uma forma geral, a ligação de um ramo de impedância Zr entre o
nó k+1 (nó novo)e o nó j (já existente) conduz à seguinte equação:
 Genericamente
 Substituindo na equação anterior:
 r jj k 1k 1 jV V Z Z I    
jSEE k+1
Zr
k 1I 

j1 1 jj j jk kjV Z I ... Z I ... Z I    
 j1 1 jj j jk k r jj k 1k 1V Z I ... Z I ... Z I Z Z I        
jV
jjZ rZ
k 1I 
Equivalente de Thévenin no nó j
k 1V 

 Actualização do valor da tensão no nó i pertencente ao grupo de nós
1…k já existentes
jSEE k+1
Zr
k 1I 

i
jSEE
k 1I 

i
Equivalente
de Norton
O SEE fica então reduzido ao
sistema já existente, onde
aparece uma nova injecção de
corrente no nó k: k 1I 
11 1i 1 j 1k 11
i1 ii ij ik ii
j1 ji jj jk j k 1j
k1 ki kj kk kk
Z Z Z ZV I
Z Z Z ZV I
Z Z Z ZV I I
Z Z Z ZV I

    
    
    
    
    
     
    
    
    
    
    

 Actualização da matriz de impedâncias para incluir o nó k+1
jSEE k+1
Zr
k 1I 

 
1 j 11
old
kj kk
j1 jk r jj k 1k 1
ZV I
Z
ZV I
Z Z Z ZV I 
    
    
     
    
    
      

 Passo 3: identificar o ramo da rede que se estabelece entre dois nós
já incluídos na estrutura topológica da rede (ou seja, já incluídos na
matriz de impedâncias)
 A impedância Z3 liga o nó 1 ao nó 3: criação de uma malha com
corrente de circulação IL
1V
2V
3V
1I

2I

3I

1Z
2Z
3Z
4Z
5Z
1
2
3
IL

i
SEE
Zr
j
IL
1i 1 j1 11 1
ii iji L ii i
old old
j L jj j
k kk k
Z ZV VI I
Z ZV VI I I
Z Z
ZV VI I I
V VI I
   
         
         
         
          
                       
         
         
               
   
 
      
L
ji jj
ki kj
A
Lold
I
Z
Z Z
V Z I A I
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
r Li jV V Z I 0  

    
   
i1 ik ii ij Li
j1 jk ji jj Lj
V Z Z I Z Z I
V Z Z I Z Z I
  
    
iV Da equação matricial podem ser derivados os valores da tensões e
 A equação da malha definida pela introdução do novo ramo de
impedância Zr pode ser reescrita, de forma a poder calcular a
corrente de circulação nessa mesma malha:
jV
        
   
 
 
r Li j
i1 ik ii ij L j1 jk ji jj L r L
i1 j1 ik jk ij ii jj r L
L i1 j1 ik jk
ij ii jj r
B
V V Z I 0
Z Z I Z Z I Z Z I Z Z I Z I 0
Z Z Z Z I 2Z Z Z Z I 0
1
I Z Z Z Z I
2Z Z Z Z
  
        
         
      

 Modificações sobre a matriz de impedâncias
      
        
        
 
 
  
Lold
old
ij ii jj r
old
ij ii jj r
V Z I A I
1
V Z I A B I
2Z Z Z Z
1
V Z A B I
2Z Z Z Z
A k 1
B 1 k
A B k k
 
 
  
 
      
 
 
 
 
1i 1 j
ii ij
ji jj
ki kj
Z Z
Z Z
A
Z Z
Z Z
 
 
 
 
  
 
 
 
  
  i1 j1 ik jkB Z Z Z Z    

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