Este artigo discute como a modelagem matemática e as seqüências didáticas podem ser usadas de forma complementar no ensino de matemática. Analisa dois exemplos: 1) a modelagem como parte de uma seqüência didática e 2) uma seqüência didática gerada a partir da modelagem de um problema real. Conclui que a combinação de modelagem e seqüências didáticas pode levar a uma aprendizagem mais significativa e integrada dos conceitos matemáticos.
Uma experiência com modelagem matemática para a abordagem de conteúdos de fís...ednilson73
1) O documento discute uma experiência de ensino de física utilizando modelagem matemática com estudantes de licenciatura em matemática.
2) A experiência mostrou que é possível abordar conceitos de física através de atividades de modelagem matemática, mas foi necessária uma complementação com outras atividades para melhorar a compreensão dos estudantes.
3) Há diferentes compreensões sobre o que é modelagem matemática na literatura, variando de enfoque na construção de modelos a ver como um ambiente de aprendizagem, mas
Este documento discute a importância da formação matemática dos professores das séries iniciais do ensino fundamental. Argumenta que a disciplina Didática da Matemática deve preparar melhor esses professores para ensinar matemática de forma significativa e crítica. Também ressalta que é necessário repensar a estrutura dos cursos de licenciatura para fornecer uma formação inicial sólida em matemática e didática da matemática.
Este capítulo discute a história da engenharia e do ensino superior, destacando a necessidade de uma formação pedagógica para os professores e de uma abordagem que valorize o processo de aprendizagem. Também apresenta breve histórico do Curso de Engenharia Civil da UEPG, introduzindo o tema da proposta metodológica da Modelagem Matemática para dinamizar o ensino da matemática nesse curso.
CONTRIBUIÇÕES DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA PARA A COMPREENSÃO DO ...ProfessorPrincipiante
O documento discute as dificuldades de alunos em compreender conceitos matemáticos relacionados ao Sistema de Numeração Decimal e a necessidade de usar diferentes registros de representação semiótica para facilitar a aprendizagem. Os professores confirmam que falta estratégias inovadoras e conhecimento de novas teorias e metodologias, impedindo uma prática docente eficaz. Defende-se o uso de materiais manipuláveis como registro alternativo para tornar os conceitos matemáticos mais concretos para os alunos.
Este documento apresenta o programa de Matemática A para o 10o ano dos cursos científico-humanísticos em Portugal. O programa é organizado por grandes temas como números e geometria, funções reais e análise infinitesimal, e estatística e probabilidades. O objetivo é desenvolver competências matemáticas e atitudes como confiança, espírito crítico e gosto pelo aprendizado.
A DISCIPLINA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MAT...ProfessorPrincipiante
Dentro de um curso de licenciatura, a disciplina de Didática da Matemática visa
aprofundar conceitos sobre a ciência matemática, sua importância em sala de aula,
procurando conhecer, analisar e discutir os aspectos sociais, políticos e culturais dos
conteúdos matemáticos do ensino fundamental e médio. O aluno de licenciatura, futuro
professor, necessita conhecer e analisar os limites e possibilidades dos recursos
tecnológicos, das avaliações, dos planejamentos, além de estabelecer conexões com
outras áreas do conhecimento. Deve fazer parte da formação inicial de um professor de
matemática refletir acerca de seu papel como educador, buscando caminhos produtivos e
inovadores para uma práxis pedagógica transformadora.
Como meio de levar o estudante de licenciatura a conhecer a realidade da escola,
existem as disciplinas de estágio, que os coloca em contato direto com alunos, colegas
professores e comunidade escolar. Para garantir o melhor aproveitamento dessa
experiência de formação pedagógica, é importante que o aluno tenha previamente sido
instrumentalizado com os conhecimentos que o permitam avaliar de modo crítico a
realidade da escola, o cotidiano escolar, as situações didáticas que a ele se apresentam.
Nessa perspectiva, se insere a disciplina de Didática da Matemática. Dentre tantos temas
a serem abordados, estão as Tendências em Educação Matemática.
Modelagem matemática na educação científicaednilson73
1) O documento discute a utilização da modelagem matemática como estratégia pedagógica nas aulas de ciências.
2) A modelagem matemática é definida como um processo que visa analisar situações-problema com foco na aprendizagem de conteúdos científicos e na construção e interpretação crítica de modelos matemáticos.
3) A modelagem matemática é proposta como alternativa ao método tradicional e deve ser desenvolvida em quatro momentos: escolha de tema, formulação de situação-problema,
Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2taiane dias
Este documento discute o uso da modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Ele resume pesquisas que mostram que atividades de modelagem permitem que os alunos conectem matemática a problemas do mundo real de forma significativa. O documento descreve uma atividade na qual grupos de alunos modelaram o crescimento de uma colônia de formigas e discute como abordagens baseadas em modelagem podem envolver os alunos no ensino médio.
Uma experiência com modelagem matemática para a abordagem de conteúdos de fís...ednilson73
1) O documento discute uma experiência de ensino de física utilizando modelagem matemática com estudantes de licenciatura em matemática.
2) A experiência mostrou que é possível abordar conceitos de física através de atividades de modelagem matemática, mas foi necessária uma complementação com outras atividades para melhorar a compreensão dos estudantes.
3) Há diferentes compreensões sobre o que é modelagem matemática na literatura, variando de enfoque na construção de modelos a ver como um ambiente de aprendizagem, mas
Este documento discute a importância da formação matemática dos professores das séries iniciais do ensino fundamental. Argumenta que a disciplina Didática da Matemática deve preparar melhor esses professores para ensinar matemática de forma significativa e crítica. Também ressalta que é necessário repensar a estrutura dos cursos de licenciatura para fornecer uma formação inicial sólida em matemática e didática da matemática.
Este capítulo discute a história da engenharia e do ensino superior, destacando a necessidade de uma formação pedagógica para os professores e de uma abordagem que valorize o processo de aprendizagem. Também apresenta breve histórico do Curso de Engenharia Civil da UEPG, introduzindo o tema da proposta metodológica da Modelagem Matemática para dinamizar o ensino da matemática nesse curso.
CONTRIBUIÇÕES DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA PARA A COMPREENSÃO DO ...ProfessorPrincipiante
O documento discute as dificuldades de alunos em compreender conceitos matemáticos relacionados ao Sistema de Numeração Decimal e a necessidade de usar diferentes registros de representação semiótica para facilitar a aprendizagem. Os professores confirmam que falta estratégias inovadoras e conhecimento de novas teorias e metodologias, impedindo uma prática docente eficaz. Defende-se o uso de materiais manipuláveis como registro alternativo para tornar os conceitos matemáticos mais concretos para os alunos.
Este documento apresenta o programa de Matemática A para o 10o ano dos cursos científico-humanísticos em Portugal. O programa é organizado por grandes temas como números e geometria, funções reais e análise infinitesimal, e estatística e probabilidades. O objetivo é desenvolver competências matemáticas e atitudes como confiança, espírito crítico e gosto pelo aprendizado.
A DISCIPLINA DIDÁTICA DA MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DE MAT...ProfessorPrincipiante
Dentro de um curso de licenciatura, a disciplina de Didática da Matemática visa
aprofundar conceitos sobre a ciência matemática, sua importância em sala de aula,
procurando conhecer, analisar e discutir os aspectos sociais, políticos e culturais dos
conteúdos matemáticos do ensino fundamental e médio. O aluno de licenciatura, futuro
professor, necessita conhecer e analisar os limites e possibilidades dos recursos
tecnológicos, das avaliações, dos planejamentos, além de estabelecer conexões com
outras áreas do conhecimento. Deve fazer parte da formação inicial de um professor de
matemática refletir acerca de seu papel como educador, buscando caminhos produtivos e
inovadores para uma práxis pedagógica transformadora.
Como meio de levar o estudante de licenciatura a conhecer a realidade da escola,
existem as disciplinas de estágio, que os coloca em contato direto com alunos, colegas
professores e comunidade escolar. Para garantir o melhor aproveitamento dessa
experiência de formação pedagógica, é importante que o aluno tenha previamente sido
instrumentalizado com os conhecimentos que o permitam avaliar de modo crítico a
realidade da escola, o cotidiano escolar, as situações didáticas que a ele se apresentam.
Nessa perspectiva, se insere a disciplina de Didática da Matemática. Dentre tantos temas
a serem abordados, estão as Tendências em Educação Matemática.
Modelagem matemática na educação científicaednilson73
1) O documento discute a utilização da modelagem matemática como estratégia pedagógica nas aulas de ciências.
2) A modelagem matemática é definida como um processo que visa analisar situações-problema com foco na aprendizagem de conteúdos científicos e na construção e interpretação crítica de modelos matemáticos.
3) A modelagem matemática é proposta como alternativa ao método tradicional e deve ser desenvolvida em quatro momentos: escolha de tema, formulação de situação-problema,
Um estudo sobre o uso da modelagem matemática2taiane dias
Este documento discute o uso da modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Ele resume pesquisas que mostram que atividades de modelagem permitem que os alunos conectem matemática a problemas do mundo real de forma significativa. O documento descreve uma atividade na qual grupos de alunos modelaram o crescimento de uma colônia de formigas e discute como abordagens baseadas em modelagem podem envolver os alunos no ensino médio.
O documento discute a importância da contextualização no ensino de matemática no nível médio. Aprendizagem significativa ocorre quando os conceitos matemáticos são apresentados em contextos do mundo real, facilitando a compreensão dos alunos e tornando a matemática mais relevante para suas vidas. Exemplos demonstram como exercícios contextualizados podem ser usados para ensinar conceitos matemáticos.
Instrução por modelagem (modeling instruction): percepções docentesednilson73
Este documento discute a Instrução por Modelagem (IM), uma abordagem pedagógica centrada na construção e aplicação de modelos matemáticos. Treze professores participaram de um minicurso sobre IM e perceberam que, apesar dos desafios do contexto educacional brasileiro, a abordagem apresenta possibilidades de aplicação.
Conhecimento da Matemática para o Ensino: um estudo colaborativo sobre número...Carlos Rocha
1. O documento discute o conhecimento de matemática necessário para o ensino, com foco no desenvolvimento profissional de professores.
2. É apresentado um estudo colaborativo sobre números racionais realizado com professores, baseado no modelo de "concept study", para questionar e (re)elaborar seus conhecimentos de matemática.
3. Conclui-se que a discussão colaborativa contribuiu para o desenvolvimento do metassaber dos professores sobre matemática para o ensino.
DEIXE-ME PENSAR: RESGATANDO O ENSINO DA GEOMETRIA NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE...ProfessorPrincipiante
Este documento discute um projeto de pesquisa que visa melhorar o ensino da geometria na formação de professores de matemática. O projeto envolve alunos da licenciatura em matemática da UFPR que participam de atividades como seminários e visitas a escolas para analisar desafios e propor soluções criativas para o ensino da geometria. Exemplos de temas desenvolvidos incluem o uso de tecnologia educacional e abordagens inclusivas para deficientes visuais.
O documento discute a importância da matemática no cotidiano e sua presença desde os tempos mais remotos da humanidade. Ele ressalta que a matemática surgiu para auxiliar o homem a organizar o espaço e resolver problemas práticos da vida diária. Também aborda a necessidade de se considerar o conhecimento matemático adquirido pelos alunos fora da escola e relacioná-lo ao ensino formal.
O ensino de Função Exponencial utilizando fractais e robótica como instrument...Brucki Maria
O presente trabalho se insere nos estudos da utilização da Modelagem Matemática como instrumento de ensino e a robótica estrutural com os fractais como estratégia para o ensino de função exponencial.
No trabalho é desenvolvida uma atividade de modelagem na qual é utilizada como objeto de aprendizagem o material de robótica (Knex) para o reconhecimento do modelo matemático que represente a formação de um modelo de fractal evidenciado na replicação do DNA. A pesquisa é de natureza qualitativa e quantitativa, os sujeitos da pesquisa são alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo. Desenvolvida por meio de observação participante, sendo os dados coletados a partir de atividades contextualizadas com a utilização de modelos existentes na natureza. A abordagem do referencial teórico é baseada nas concepções de modelagem de Jonei Cerqueira Barbosa e a teoria de aprendizagem significativa de David Ausubel.
O material de robótica é utilizado juntamente com a ideia de análise e utilização de um modelo de fractal evidenciado na replicação do DNA, o qual possibilita a construção de um processo de ensino e aprendizagem significativo para o aluno, desenvolvendo um cenário de relações práticas e consciência crítica simultaneamente.
A construção do objeto matemático Função Exponencial se torna algo com significado, podendo ser desenvolvido posteriormente em outras aplicações pelo aluno de forma contextualizada, pois foi efetivamente compreendido.
1) Este documento apresenta o programa de Matemática para cursos profissionais de nível secundário, abordando tópicos como números, geometria, funções, estatística e probabilidades.
2) Os temas são organizados em módulos opcionais A e B, com diferentes níveis de profundidade de acordo com a carga horária do curso.
3) O objetivo é desenvolver competências matemáticas úteis para a vida profissional, focando na resolução de problemas reais e na modelagem matemática de situações do mundo real.
Afetividade no ensino da matemtica explorando perspectivas de estudantes de p...Rosi Whindson
O documento discute a importância da afetividade no ensino da matemática. Uma pesquisa com estudantes de pedagogia mostrou que eles acreditam que a afetividade é importante, mas que sua formação inicial não os prepara para trabalhar com questões afetivas no ensino de matemática. O documento defende que professores devem desenvolver competências para lidar com a dimensão afetiva e transformar as crenças negativas sobre matemática.
Reflexão sobre a história da matemática com o ensinoslucarz
Este documento discute a importância da matemática no currículo escolar e o papel do professor. Defende que a matemática deve ser ensinada de forma a desenvolver o pensamento crítico dos alunos e relacionada à realidade fora da sala de aula. Também discute como o papel do professor deve mudar de transmissor de conteúdo para organizador e mediador da aprendizagem dos alunos.
1) O documento analisa como a probabilidade e estatística são tratadas nos currículos de matemática do ensino fundamental brasileiro.
2) Ele estabelece critérios como concepção, seleção de conceitos, abordagem e finalidades para analisar as propostas curriculares.
3) As propostas de Minas Gerais, São Paulo e Santa Catarina, além dos Parâmetros Curriculares Nacionais, são examinadas segundo esses critérios.
1) O documento discute as expectativas do Ensino Médio segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais versus a realidade encontrada em livros didáticos.
2) É analisada a introdução dos conceitos de juros simples e compostos no Ensino Médio e Superior.
3) O documento defende que os conceitos matemáticos devem ser melhor articulados entre o Ensino Médio e Superior.
1) O documento discute o uso da modelagem matemática no ensino fundamental e médio, argumentando que a matemática deve ser ensinada de forma aplicada e contextualizada.
2) Dados mostram que os estudantes brasileiros têm desempenho ruim em matemática e que os professores não estão preparados, sugerindo mudanças na formação docente.
3) A modelagem matemática representa fenômenos do mundo real com fórmulas, gráficos e outros conceitos matemáticos, e deve ser usada desde cedo no ensino para torn
Este documento discute o uso de Relações Matemáticas como uma estratégia para diminuir o desinteresse dos alunos por matemática. Ele sugere que professores observem situações do cotidiano que envolvam conceitos matemáticos e utilizem esses exemplos em suas aulas para tornar a matemática mais relevante. O documento fornece exemplos como a estrutura de um telhado de supermercado para ensinar geometria.
- O documento discute a modelagem matemática, incluindo sua história, definições, usos e etapas.
- É explorado como a modelagem matemática surgiu e foi usada ao longo da história e como chegou ao Brasil.
- As principais seções abordam o que é a modelagem matemática, por que usá-la, suas etapas e focos principais.
1) O documento discute três projetos de pesquisa sobre as dificuldades dos alunos com matemática e sua relação com a disciplina.
2) Os projetos investigaram como os alunos experienciam a matemática e quais dificuldades surgem nesse processo.
3) Compreender melhor as dificuldades dos alunos pode contribuir para a formação de professores e políticas educacionais.
Artigo: Resolução de problemas associado à comunicaçãoMiguel de Carvalho
Este documento discute como a resolução de problemas e a comunicação matemática podem ser desenvolvidas em sala de aula. O autor realizou uma investigação-ação com alunos entre 6-7 anos para avaliar suas habilidades nessas áreas. Os resultados mostraram que os alunos geralmente conseguiam resolver problemas, mas tinham dificuldades com a compreensão dos enunciados. A comunicação e o uso de múltiplas estratégias também precisam ser melhorados.
1) O documento discute os níveis de conhecimento esperados de estudantes sobre conjuntos, com foco na noção intuitiva. 2) Ele analisa as dificuldades de estudantes em resolver problemas que envolvem conjuntos em diferentes contextos. 3) O documento conclui que é necessário valorizar os conhecimentos prévios dos alunos e introduzir a aprendizagem significativa no ensino de matemática.
O documento apresenta uma análise dos erros cometidos por estudantes do ensino médio em questões de trigonometria. Foram aplicados testes com sete questões a vinte alunos e analisados os acertos, erros e questões não respondidas. As respostas indicaram dificuldades principalmente com conceitos trigonométricos e o sistema posicional.
O artigo discute o que é modelagem matemática na educação, por que deve ser incluída no currículo escolar e como pode ser implementada. A modelagem é definida como um ambiente de aprendizagem onde os alunos investigam e problematizam situações do mundo real usando matemática. Sua inclusão no currículo é justificada por desenvolver a compreensão do papel sociocultural da matemática. Pode ser implementada de diferentes formas, desde problemas fornecidos pelo professor até projetos conduzidos pelos alunos.
Este documento discute as competências matemáticas essenciais que as crianças e jovens devem desenvolver ao longo da educação básica em Portugal. Defende que todas as pessoas devem ter a oportunidade de aprender matemática de forma significativa e que as competências matemáticas vão além da mera habilidade de cálculo, envolvendo também a capacidade de resolver problemas, raciocinar e comunicar usando a matemática.
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tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
O documento discute a importância da contextualização no ensino de matemática no nível médio. Aprendizagem significativa ocorre quando os conceitos matemáticos são apresentados em contextos do mundo real, facilitando a compreensão dos alunos e tornando a matemática mais relevante para suas vidas. Exemplos demonstram como exercícios contextualizados podem ser usados para ensinar conceitos matemáticos.
Instrução por modelagem (modeling instruction): percepções docentesednilson73
Este documento discute a Instrução por Modelagem (IM), uma abordagem pedagógica centrada na construção e aplicação de modelos matemáticos. Treze professores participaram de um minicurso sobre IM e perceberam que, apesar dos desafios do contexto educacional brasileiro, a abordagem apresenta possibilidades de aplicação.
Conhecimento da Matemática para o Ensino: um estudo colaborativo sobre número...Carlos Rocha
1. O documento discute o conhecimento de matemática necessário para o ensino, com foco no desenvolvimento profissional de professores.
2. É apresentado um estudo colaborativo sobre números racionais realizado com professores, baseado no modelo de "concept study", para questionar e (re)elaborar seus conhecimentos de matemática.
3. Conclui-se que a discussão colaborativa contribuiu para o desenvolvimento do metassaber dos professores sobre matemática para o ensino.
DEIXE-ME PENSAR: RESGATANDO O ENSINO DA GEOMETRIA NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE...ProfessorPrincipiante
Este documento discute um projeto de pesquisa que visa melhorar o ensino da geometria na formação de professores de matemática. O projeto envolve alunos da licenciatura em matemática da UFPR que participam de atividades como seminários e visitas a escolas para analisar desafios e propor soluções criativas para o ensino da geometria. Exemplos de temas desenvolvidos incluem o uso de tecnologia educacional e abordagens inclusivas para deficientes visuais.
O documento discute a importância da matemática no cotidiano e sua presença desde os tempos mais remotos da humanidade. Ele ressalta que a matemática surgiu para auxiliar o homem a organizar o espaço e resolver problemas práticos da vida diária. Também aborda a necessidade de se considerar o conhecimento matemático adquirido pelos alunos fora da escola e relacioná-lo ao ensino formal.
O ensino de Função Exponencial utilizando fractais e robótica como instrument...Brucki Maria
O presente trabalho se insere nos estudos da utilização da Modelagem Matemática como instrumento de ensino e a robótica estrutural com os fractais como estratégia para o ensino de função exponencial.
No trabalho é desenvolvida uma atividade de modelagem na qual é utilizada como objeto de aprendizagem o material de robótica (Knex) para o reconhecimento do modelo matemático que represente a formação de um modelo de fractal evidenciado na replicação do DNA. A pesquisa é de natureza qualitativa e quantitativa, os sujeitos da pesquisa são alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo. Desenvolvida por meio de observação participante, sendo os dados coletados a partir de atividades contextualizadas com a utilização de modelos existentes na natureza. A abordagem do referencial teórico é baseada nas concepções de modelagem de Jonei Cerqueira Barbosa e a teoria de aprendizagem significativa de David Ausubel.
O material de robótica é utilizado juntamente com a ideia de análise e utilização de um modelo de fractal evidenciado na replicação do DNA, o qual possibilita a construção de um processo de ensino e aprendizagem significativo para o aluno, desenvolvendo um cenário de relações práticas e consciência crítica simultaneamente.
A construção do objeto matemático Função Exponencial se torna algo com significado, podendo ser desenvolvido posteriormente em outras aplicações pelo aluno de forma contextualizada, pois foi efetivamente compreendido.
1) Este documento apresenta o programa de Matemática para cursos profissionais de nível secundário, abordando tópicos como números, geometria, funções, estatística e probabilidades.
2) Os temas são organizados em módulos opcionais A e B, com diferentes níveis de profundidade de acordo com a carga horária do curso.
3) O objetivo é desenvolver competências matemáticas úteis para a vida profissional, focando na resolução de problemas reais e na modelagem matemática de situações do mundo real.
Afetividade no ensino da matemtica explorando perspectivas de estudantes de p...Rosi Whindson
O documento discute a importância da afetividade no ensino da matemática. Uma pesquisa com estudantes de pedagogia mostrou que eles acreditam que a afetividade é importante, mas que sua formação inicial não os prepara para trabalhar com questões afetivas no ensino de matemática. O documento defende que professores devem desenvolver competências para lidar com a dimensão afetiva e transformar as crenças negativas sobre matemática.
Reflexão sobre a história da matemática com o ensinoslucarz
Este documento discute a importância da matemática no currículo escolar e o papel do professor. Defende que a matemática deve ser ensinada de forma a desenvolver o pensamento crítico dos alunos e relacionada à realidade fora da sala de aula. Também discute como o papel do professor deve mudar de transmissor de conteúdo para organizador e mediador da aprendizagem dos alunos.
1) O documento analisa como a probabilidade e estatística são tratadas nos currículos de matemática do ensino fundamental brasileiro.
2) Ele estabelece critérios como concepção, seleção de conceitos, abordagem e finalidades para analisar as propostas curriculares.
3) As propostas de Minas Gerais, São Paulo e Santa Catarina, além dos Parâmetros Curriculares Nacionais, são examinadas segundo esses critérios.
1) O documento discute as expectativas do Ensino Médio segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais versus a realidade encontrada em livros didáticos.
2) É analisada a introdução dos conceitos de juros simples e compostos no Ensino Médio e Superior.
3) O documento defende que os conceitos matemáticos devem ser melhor articulados entre o Ensino Médio e Superior.
1) O documento discute o uso da modelagem matemática no ensino fundamental e médio, argumentando que a matemática deve ser ensinada de forma aplicada e contextualizada.
2) Dados mostram que os estudantes brasileiros têm desempenho ruim em matemática e que os professores não estão preparados, sugerindo mudanças na formação docente.
3) A modelagem matemática representa fenômenos do mundo real com fórmulas, gráficos e outros conceitos matemáticos, e deve ser usada desde cedo no ensino para torn
Este documento discute o uso de Relações Matemáticas como uma estratégia para diminuir o desinteresse dos alunos por matemática. Ele sugere que professores observem situações do cotidiano que envolvam conceitos matemáticos e utilizem esses exemplos em suas aulas para tornar a matemática mais relevante. O documento fornece exemplos como a estrutura de um telhado de supermercado para ensinar geometria.
- O documento discute a modelagem matemática, incluindo sua história, definições, usos e etapas.
- É explorado como a modelagem matemática surgiu e foi usada ao longo da história e como chegou ao Brasil.
- As principais seções abordam o que é a modelagem matemática, por que usá-la, suas etapas e focos principais.
1) O documento discute três projetos de pesquisa sobre as dificuldades dos alunos com matemática e sua relação com a disciplina.
2) Os projetos investigaram como os alunos experienciam a matemática e quais dificuldades surgem nesse processo.
3) Compreender melhor as dificuldades dos alunos pode contribuir para a formação de professores e políticas educacionais.
Artigo: Resolução de problemas associado à comunicaçãoMiguel de Carvalho
Este documento discute como a resolução de problemas e a comunicação matemática podem ser desenvolvidas em sala de aula. O autor realizou uma investigação-ação com alunos entre 6-7 anos para avaliar suas habilidades nessas áreas. Os resultados mostraram que os alunos geralmente conseguiam resolver problemas, mas tinham dificuldades com a compreensão dos enunciados. A comunicação e o uso de múltiplas estratégias também precisam ser melhorados.
1) O documento discute os níveis de conhecimento esperados de estudantes sobre conjuntos, com foco na noção intuitiva. 2) Ele analisa as dificuldades de estudantes em resolver problemas que envolvem conjuntos em diferentes contextos. 3) O documento conclui que é necessário valorizar os conhecimentos prévios dos alunos e introduzir a aprendizagem significativa no ensino de matemática.
O documento apresenta uma análise dos erros cometidos por estudantes do ensino médio em questões de trigonometria. Foram aplicados testes com sete questões a vinte alunos e analisados os acertos, erros e questões não respondidas. As respostas indicaram dificuldades principalmente com conceitos trigonométricos e o sistema posicional.
O artigo discute o que é modelagem matemática na educação, por que deve ser incluída no currículo escolar e como pode ser implementada. A modelagem é definida como um ambiente de aprendizagem onde os alunos investigam e problematizam situações do mundo real usando matemática. Sua inclusão no currículo é justificada por desenvolver a compreensão do papel sociocultural da matemática. Pode ser implementada de diferentes formas, desde problemas fornecidos pelo professor até projetos conduzidos pelos alunos.
Este documento discute as competências matemáticas essenciais que as crianças e jovens devem desenvolver ao longo da educação básica em Portugal. Defende que todas as pessoas devem ter a oportunidade de aprender matemática de forma significativa e que as competências matemáticas vão além da mera habilidade de cálculo, envolvendo também a capacidade de resolver problemas, raciocinar e comunicar usando a matemática.
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La Universidad Central del Ecuador es una institución de educación superior ubicada en Quito, Ecuador. Fundada en 1826, es la universidad pública más antigua del país y ofrece programas de pregrado, posgrado y educación continua en diversas áreas del conocimiento.
Governo Lula libera licença ambiental para a construção da Usina de Belo 'Mon...Fabricio Rocha
Texto do Mestrando em Educação(UFPa) William Pessoa da Mota Jr., de Belém (PA) sobre a liberação ambiental da usina hidrelétrica de Belo monte e sua ameaça à vida dos povos indígenas.
This document summarizes a project called SuRCaSE (Sustainable River Catchments for the South East) that aims to demonstrate applying the Ecosystem Approach to achieve sustainable water resource management in southeast England. The project will implement initiatives in three catchment areas to address issues like diffuse pollution, sustainable drainage, water efficiency, and quality of life. It will test how the Ecosystem Approach principles can be applied at the catchment scale to help meet the goals of the EU Water Framework Directive and sustainable development more broadly.
Este documento descreve a adoção da "A Portuguesa" como o hino nacional de Portugal após a revolução republicana de 5 de Outubro de 1910. Também discute a eleição da Assembleia Nacional Constituinte em 1911 para estabelecer as bases da nova república, incluindo a abolição da monarquia e a proscrição da família real de Bragança.
Un repositorio es un sitio web donde se almacena y publica información digital. Existen varios tipos de repositorios como repositorios de libros, software, videos, música, diapositivas e imágenes. Algunos ejemplos populares de repositorios son Wattpad, SlideShare, YouTube, Instagram y Tumblr.
Texto de Guilherme Carvalho, Doutor em Ciência do Desenvolvimento Socioambiental pelo Núcleo de Altos Estudos Amazônicos da Universidade Federal do Pará – NAEA/UFPA e coordenador da ONG FASE Programa Amazônia. Trata sobre a politica de desenvolvimento do Governo Dilma, 2014
Este documento apresenta três breves notícias: (1) A venda de um vinil raro da banda Chiclete com Banana por R$1.250,00. (2) A origem da banda em 1980 e seu sucesso. (3) Uma ação judicial movida por um ex-guitarrista solicitando dinheiro e créditos na banda.
Mactac Soignies - Supports adhésifs étiquettes cosmétiquesMactac Europe
Expertise et leadership technologique en étiquetages cosmétiques,
de produits de soins et d’entretien
Le développement de produits cosmétiques et de soins est stimulé par le souci croissant des
consommateurs de se sentir bien dans leur corps.
L’étiquetage doit correspondre aux spécifications techniques telles que la compressibilité, la résistance
à l’eau et aux agents chimiques. Il doit également permettre la différenciation visuelle et véhiculer l’image.
MACtac offre une vaste gamme de solutions auto-adhésives spécifiques à ces segments de marché.
Plusieurs des produits utilisés dans l’étiquetage des cosmétiques et des soins corporels correspondent
aussi parfaitement aux applications d’étiquetage des produits d’entretien, pour lesquels le marché
requiert en plus du film, des variétés d’étiquettes à base de papier.
Le leadership technologique de MACtac est également hautement apprécié dans la plupart
des applications spécifiques comme les étiquettes refermables pour lingettes humides ou pour
désodorisants.
Tous les produits Polyéthylène, Polypropylène et U Coex sont enduits de l’adhésif acrylique MP128N,
reconnu pour ses grandes performances. Ils sont aussi souvent disponibles dans une grande variété
d’autres formules adhésives exclusives développées par MACtac, incluant notamment des adhésifs
hot-melt.
Este documento describe los conceptos de oferta, demanda, monopolio, duopolio y oligopolio. Explica que un monopolio puede fijar precios más altos sin competencia, pero que también puede reducir la eficiencia. Un duopolio tiene dos productores que se afectan mutuamente, mientras que un oligopolio tiene pocos competidores grandes. En cuanto a la demanda, un monopsonio controla los precios del lado de la compra, mientras que un duopolio o oligopolio de demanda tienen pocos compradores.
The "HUL Bridging Cultures-HULBRIC" training courses were successfully held in small towns in Italy from August 27th to September 4th, 2016. The training was coordinated by the Italian National Research Council's Institute for Conservation and Valorization of Cultural Heritage (CNR-ICVBC) in collaboration with WHITRAP. The training utilized the HUL (Historic Urban Landscape) approach and focused on issues related to conservation, valorization, and management of small historic towns. It aimed to connect different cultures, especially by sharing best practices of interdisciplinary Sino-Italian methods. Through in-situ training, workshops, and design studios using selected pilot cases and drawing on Italian experience,
Este documento describe el tejido conjuntivo, incluyendo sus componentes principales como las células fijas, células móviles y sustancia extracelular. Explica los diferentes tipos de tejido conjuntivo como el laxo, denso y adiposo, y describe las funciones y características de las células que lo componen como los fibroblastos, macrófagos y adipocitos. También resume los componentes de la matriz extracelular como las fibras de colágeno y elastina, y los diferentes tipos de colágeno.
Modelagem matemática uma experiência em sala de aula.Jesus Silva
Este documento discute a importância da modelagem matemática no ensino e aprendizagem. A modelagem matemática pode motivar alunos e professores, facilitar a aprendizagem tornando a matemática mais concreta, e preparar os alunos para futuras profissões. No entanto, existem obstáculos como a necessidade de cumprir o currículo e a saída da zona de conforto para os professores. A modelagem matemática valoriza o meio social do aluno e facilita a construção do saber.
Modelagem matemática no ensino de ciências, a visão de futuros professores ed...ednilson73
A modelagem matemática vem configurando-se como uma importante abordagem de ensino de
matemática no Brasil. Considerando que a aprendizagem em ciências movimenta modelos
matemáticos é que levantamos a hipótese de que seja possível usar o ciclo de modelagem para ensinar
ciências. Nesse olhar visamos responder à seguinte questão de pesquisa: na visão de futuros
professores dos anos iniciais é possível ensinar ciências com modelagem matemática? Assim, o
objetivo é avaliar as concepções dos futuros professores dos anos iniciais sobre o uso da modelagem
no ensino de ciências. Intencionamos fazer uma pesquisa de abordagem mista com procedimentos
técnicos do tipo Levantamento. Para gerar dados fizemos uma oficina de modelagem para estudantes
de Pedagogia de uma universidade pública federal. Após a oficina aplicamos um questionário
contendo quatro perguntas abertas para quatorze estudantes escolhidos aleatoriamente dentre os que
participaram da oficina. A interpretação dos dados produzidos foi baseada na análise de conteúdo.
Verificamos que os futuros professores apresentaram três principais concepções de modelagem
matemática: enquanto construção e interpretação crítica modelos matemáticos; enquanto maneira
interdisciplinar de usar a matemática no ensino de ciências e enquanto estratégia diferente para o
ensino de ciências. Obtivemos ainda que os entrevistados a consideraram uma estratégia viável ao
ensino de ciências, mas deve ser observado que necessita ter um bom planejamento para promover a
interdisciplinaridade e ajudar a resolver problemas do cotidiano, bem como favorecer atitudes
investigativas tanto de alunos quanto de professores. Quanto aos obstáculos, os sujeitos alegaram
que a falta de preparação do professor pode comprometer o desenvolvimento da estratégia,
declararam também que os alunos dos anos iniciais não têm habilidade na construção de modelos
matemáticos, que alguns temas podem ser desinteressantes aos alunos e que pode ser difícil lidar
com a interdisciplinaridade entre ciências e matemática em sala de aula.
Modelagem matemática no ensino de ciências, a visão de futuros professores ed...ednilson73
Este documento discute o uso da modelagem matemática no ensino de ciências na visão de futuros professores. Três principais concepções de modelagem matemática são identificadas: como construção e interpretação crítica de modelos, como forma interdisciplinar de usar matemática no ensino de ciências, e como estratégia diferente para ensinar ciências. Os futuros professores consideram a modelagem matemática uma estratégia viável para ensinar ciências, desde que haja bom planejamento e promova interdisciplinaridade e investigação.
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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE FORMA INTERDISCIPLINAR ABORDANDO O TEMA...Augusto Bello
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Currículo referência matemática6º ao 9º anotecnicossme
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O documento discute a modelagem matemática nas séries iniciais do ensino fundamental. A modelagem matemática permite que os alunos correlacionem matemática com sua realidade e resolvam problemas do mundo real, promovendo uma aprendizagem significativa. O documento também diferencia educadores matemáticos de matemáticos e apresenta um estudo de caso sobre modelagem matemática com alunos de 6-7 anos.
Este documento fornece um conjunto de tarefas para explorar a proporcionalidade direta com alunos do 1o e 2o ciclo. Inclui introdução ao conceito de proporcionalidade e raciocínio proporcional, objetivos de aprendizagem, sugestões didáticas e oito tarefas detalhadas com objetivos e estratégias possíveis.
Este documento discute a importância de ensinar matemática com foco na formação de conceitos. Argumenta-se que o desenvolvimento cognitivo e a aprendizagem estão interligados e que o ensino deve levar os alunos a explorar ideias matemáticas e estabelecer relações entre conceitos. Também defende que o ensino deve contextualizar a matemática na vida dos alunos e mostrar a evolução histórica dos conceitos.
Este documento discute a importância da formação de conceitos matemáticos na perspectiva do desenvolvimento cognitivo dos alunos. Ele argumenta que o ensino de matemática deve contextualizar conceitos, mostrar sua evolução histórica e conectá-los a outras áreas. No entanto, as reformas curriculares enfrentam dificuldades na implementação devido à compreensão parcial dos professores e falta de apoio para a mudança metodológica.
1. O documento analisa o uso de recursos didáticos no ensino da geometria na educação básica e busca equilibrar abordagens empíricas e racionais.
2. Há o risco de uma abordagem excessivamente empírica através da manipulação de objetos ou excessivamente racional através de um formalismo absoluto.
3. É necessário encontrar um equilíbrio entre o uso de modelos, desenhos e imagens mentais para representar conceitos geométricos de forma dinâmica.
1. O documento analisa o uso de recursos didáticos no ensino da geometria no nível fundamental, buscando contribuir para uma fundamentação mais consistente dessa utilização.
2. Há o risco de uma abordagem excessivamente empírica ou racionalista dos conceitos geométricos, negando seus valores educativos.
3. É necessário encontrar um equilíbrio entre o uso de modelos, desenhos e imagens mentais para representar conceitos geométricos de forma a valorizar tanto a experiência quanto a reflexão.
1. O documento analisa o uso de recursos didáticos no ensino da geometria no nível fundamental, com o objetivo de contribuir para uma fundamentação mais consistente dessa utilização.
2. Há o risco de uma abordagem empírica restrita à manipulação de objetos ou de um formalismo absoluto, sem considerar valores educativos.
3. É necessário equilibrar o uso de modelos, desenhos e imagens mentais para evitar abordagens redutoras e valorizar a formação de conceitos geométricos.
ENTRE A FORMAÇÃO INICIAL E O DESENVOLVIMENTO PROFISSIONAL: ALGUNS DILEMAS ENF...ProfessorPrincipiante
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1. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 131
Bolema, pp. 131 a 147 147
Modelagem Matemática e Seqüências Didáticas:
uma relação de complementaridade
Mathematical Modelling and Didactics
Sequences: a relationship of complementarity
Pedro Augusto Pereira Borges1
Cátia Maria Nehring2
Resumo
A Modelagem Matemática tem sido apresentada na literatura como uma eficiente forma
de contextualização dos conceitos matemáticos escolares e possibilidade de o aluno
vivenciar a experiência de pesquisador. Porém o uso da modelagem como método de
ensino de Matemática ainda apresenta questões a serem esclarecidas do ponto de vista
educacional. Este artigo discute o ensino gerado pela modelagem, através da análise de
duas formas de uso desta: como parte de uma seqüência didática e como uma seqüência
didática gerada a partir de um problema real. As conclusões consideram que o ensino
gerado por seqüências didáticas de modelagem é: integrador de conceitos e desenvolve
a habilidade de associar os conceitos matemáticos às situações reais; o ensino é, de
modo geral, incompleto com relação à aprendizagem dos conteúdos planejados,
necessitando de outras seqüências didáticas; e a modelagem, complementada com
seqüências didáticas, contribui para uma aprendizagem mais significativa, sem perder
sua característica de investigação de problemas.
Palavras-Chave: Modelagem Matemática no Ensino. Engenharia Didática. Ensino de
Matemática.
1
Mestre em Educação (UNICAMP) e em Modelagem Matemática (UNIJUI); Doutor em Engenharia
Mecânica (UFRGS). Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul/UNIJUI,
DeFEM, Rua São Francisco, 501, C.P. 560 , 98700-000, Ijuí,RS, e-mail.pborges@unijui.edu.br.
2
Mestre e doutora em Educação (UFSC). Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio
Grande do Sul/UNIJUI, DeFEM, Rua São Francisco, 501, C.P. 560 , 98700-000, Ijuí,RS, e-mail.
catia@unijui.edu.br.
2. 132 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
Abstract
The mathematical modelling has been presented in literature as an efficient way of
contextualizing of elementary mathematical concepts, and as a possibility to the students
living a researcher experience. But its use as a mathematic teaching method still presents
questions to be explained from the educational point of view. This article analyses two
kinds of use of modelling on the teaching, and treats the possible teaching results: as a
part of a didactic sequence and as a didactic sequence generated from a real problem.
The conclusions consider that the teaching resultant of didactic sequences of modelling
is: an integrator of concepts and develops the ability to associate the mathematical
concepts to the real situations; the teaching is, in a general analysis, incomplete when
relationed to the learning of planned contents, needing other didactics sequences; and
the modelling, when is complemented with didactic sequences, contributes to a more
significant learning, without losing its characteristic of investigation of problems.
Keywords: Mathematical Modelling at Teaching. Didactic Engineering. Mathematics
Teaching.
Introdução
A Modelagem Matemática no Ensino tem sido discutida por
pesquisadores, tais como D’Ambrósio (1993), Bassanezi (2002), Barbosa
(1999 e 2001), Biembengut (1999) e Bean (2001), e é consenso a sua
eficiência na função de significar os conhecimentos matemáticos escolares,
associando esses a problemas reais e com isso levando os alunos a conhecerem
qualificadamente partes da realidade. Um modo de a Matemática escolar
estar engajada na formação do cidadão de modo geral (e não somente formar
cientistas da área das ciências exatas) é relacionar seus conteúdos com
problemas reais, além dos seus próprios. A Modelagem Matemática dá conta
desse relacionamento. Talvez mais do que isso. D’Ambrósio (1993) enfatiza
a propriedade da Modelagem Matemática (ou da Etnomatemática, pois esta
utiliza a Modelagem Matemática) de qualificar a reflexão sobre a realidade
com o instrumental matemático, tornando a ação do cidadão sobre a sociedade
diferenciada de outras ações. A resolução de problemas reais usando a
Modelagem Matemática como instrumento é um procedimento de pesquisa,
com coleta e análise de dados, avaliações, cálculos, comparação de resultados,
3. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 133
que melhora consideravelmente a qualidade das decisões e das ações do
cidadão sobre a realidade.
A prática da modelagem nas escolas ainda apresenta questões que
necessitam estudos mais detalhados, tais como: a aceitação do método3 pelos
professores (BARBOSA, 2001); as dificuldades em problematizar os objetos
de estudo; a associação da realidade com as estruturas matemáticas; o
relacionamento entre os conteúdos envolvidos no modelo e os do plano de
ensino; a verificação de como o processo de modelagem contribui para a
aprendizagem da matemática; etc. A prática da modelagem no ensino
(BORGES, 2003) mostra claramente que uma seqüência de modelos leva à
repetição de alguns conteúdos e à negligência de outros. Com relação ao
Ensino Fundamental, conforme Borges (2003), os conteúdos associados a
proporções repetem-se demasiadamente, enquanto que os de álgebra e
operações com números irracionais praticamente não aparecem nos modelos
produzidos por alunos da disciplina de Modelagem Matemática de um curso
de licenciatura. Esse fato leva a pensar que a modelagem como único recurso
didático, apresenta dificuldades para ensinar determinados conteúdos e repete
demasiadamente outros, fazendo uso indevido do tempo escolar.
A Modelagem Matemática, como atividade científica, é um método
de pesquisa que objetiva encontrar soluções eficientes para problemas reais.
Os praticantes dessa modelagem são, em geral, pesquisadores pós-graduados
com formações diversas (matemáticos, físicos, engenheiros,...), com razoável
conhecimento matemático para modelar em suas áreas de especialidades,
mas que também precisam investir tempo de estudo em tópicos de matemática
desconhecidos ou relativos ao assunto a ser modelado. A transposição dessa
modelagem para o ensino mantém o mesmo objetivo de investigação e
acrescenta a função de ensinar matemática. Uma pergunta muito comum dos
professores que estão conhecendo a modelagem é: Como os alunos podem
resolver um problema com conteúdos que ainda não sabem? Essa dificuldade
é superada com a pesquisa dos conceitos necessários em alguma fonte: livros,
intervenção do professor, atividades de ensino, etc. É o momento da
3
Neste artigo é admitido que a modelagem é um método de ensino de Matemática, porque o
modelador tem acesso ao conhecimento matemático, cria, revisa, amplia a compreensão e exercita
o uso desses na prática da modelagem.
4. 134 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
intervenção do professor, com a intencionalidade de ensinar um conceito
matemático. Depois do conceito aprendido, ao menos em um nível que
possibilite usá-lo, os alunos voltam aos problemas da modelagem. Dessa forma,
a aprendizagem dos conceitos matemáticos ocorre em atividades de ensino
paralelas às ações da modelagem, o que leva a concluir, provisoriamente, que
na modelagem propriamente não há aprendizagem de matemática. Há apenas
a contextualização. Isso é verdade? Ou a modelagem contribui para o ensino
dos conceitos matemáticos? Nesse caso, quais são as características da
aprendizagem gerada pela modelagem? Essas constatações e questões
mostram a importância de analisar a Modelagem Matemática no ensino,
primeiro quanto à natureza do processo ensino-aprendizagem e, segundo,
quanto ao tipo de aprendizagem decorrente da sua utilização.
A Engenharia Didática é um método de pesquisa que concentra seu
campo de análise nas ações e nos meios da ação sobre o sistema de ensino
como um processo empírico e conduz a investigação sobre as ações de ensino
com particular cientificidade (Chevallard apud ARTIGUE, 1996). Esse método
de pesquisa considera o aluno com sua capacidade cognitiva, os interesses
pessoais, a criatividade e um conjunto de influências sociais e políticas
manifestadas nos conteúdos e procedimentos escolares que conectam escola
e sociedade. Essa compreensão global do processo educacional, segundo
Machado (1999), é considerada ao propor as ações de ensino na forma de
seqüências didáticas que auxiliam os pesquisadores a detalhar os passos do
ensino e a identificar os momentos em que ocorre a aprendizagem. Entendendo
que os procedimentos de pesquisa da Engenharia Didática podem ser usados
no planejamento do ensino de conceitos matemáticos na forma de situações
didáticas, estas podem complementar a modelagem, compondo um processo
de ensino com aprendizagens significativas?
Para resolver essa questão, foram analisados neste trabalho dois
planejamentos de ensino4 que utilizam a modelagem associada às seqüências
didáticas: na primeira, a modelagem de um problema é uma das situações de
4
Esses planejamentos de ensino constituem o objeto de análise da investigação deste trabalho e,
como planejamentos, são teóricos e passíveis de modificações. Portanto, não são o único caminho
para o ensino dos conteúdos propostos. São atividades de ensino que mostram formas possíveis de
utilizar a modelagem.
5. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 135
uma seqüência didática, com a função de contextualizar conceitos introduzidos
com outras situações; na segunda, a modelagem é uma ação dos alunos sobre
um problema, que gera uma seqüência didática com situações de ensino sobre
os conteúdos necessários para resolver o problema modelado. São discutidas
as características dessas seqüências e do que foi ensinado/aprendido sob a
ótica do conceito de aprendizagem significativa de Ausubel (1976).
Engenharia Didática, Aprendizagem Significativa e conteúdos mínimos
de matemática
A Engenharia Didática5 é caracterizada, em Pais (2001), por um
trabalho didático que compreende cinco passos básicos: 1º) A análise
preliminar, que caracteriza os sujeitos, as condições da realidade onde será
realizado o ensino; 2º) A análise a priori, que define as variáveis globais e
locais e a concepção de seqüências didáticas com base nos dados da análise
preliminar e no conhecimento que o professor possui sobre a Matemática e
sobre o processo ensino-aprendizagem; 3º) A aplicação da seqüência
didática, que consiste na ação de ensino, devidamente acompanhada com a
observação da ação dos sujeitos; 4º) A análise a posteriori, que trata das
informações coletadas com as observações da aplicação da seqüência didática
e 5º) A validação, que faz a confrontação entre as análises a priori e a
posteriori.
É importante observar que o momento no qual ocorre a aprendizagem,
dentro do trabalho de Engenharia Didática, é no terceiro passo, quando são
aplicadas as seqüências didáticas. Essas seqüências são compostas por
situações didáticas, que refletem a intencionalidade do professor em fazer
com que os alunos se apropriem de um determinado conhecimento matemático.
Tal intencionalidade se efetiva na forma de atividades organizadas e orientadas
de acordo com a análise a priori. Ou seja, o professor terá que escolher uma
concepção de aprendizagem (diretiva ou não-diretiva, tradicional ou
5
Em Artigue (1996, p.201), o trabalho didático é comparado “[...] ao trabalho do engenheiro que,
para realizar um projeto preciso, se apóia sobre conhecimentos científicos de seu domínio, aceita
submeter-se a um controle tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar objetos
bem mais complexos que os objetos depurados da ciência e portanto a enfrentar praticamente, com
todos os meios que dispõe, problemas que a ciência não quer ou não pode levar em conta”.
6. 136 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
construtivista) e propor atividades que a promovam. A natureza da seqüência
didática organizada em diversas situações didáticas é que caracteriza o tipo
de processo ensino-aprendizagem, e não a Engenharia Didática de modo geral.
Esta garante a efetivação da aprendizagem, quando realizados os passos quatro
e cinco. Seqüências com situações de pesquisa bibliográfica e aulas expositivas
podem levar ao aprendizado do mesmo conceito obtido com seqüências
compostas por situações didáticas que usam materiais concretos, experimentos
e aquisição de conceitos via seminários, ou por aquelas que utilizam estudo
dirigido, desenvolvendo diferentes habilidades lógicas e atitudes diante das
dificuldades inerentes ao aprendizado.
A Engenharia Didática tem, na sua concepção, a objetividade do ato
de ensinar, característico da escola formal6 e seus processos, assegurando
que a aprendizagem se efetive. Como a aprendizagem é o objetivo do ensino,
é necessário definir (e isso deve ser feito na análise a priori da Engenharia
Didática) o que se entende por aprendizagem. Neste trabalho será adotado o
conceito de aprendizagem significativa de Ausubel (1976) como ponto de
partida. Segundo esse autor, uma aprendizagem significativa ocorre quando o
aprendiz atribui algum significado aos conceitos, variáveis e símbolos que lhe
foram ensinados. Ou seja, a aprendizagem significativa é um processo através
do qual uma nova informação (um novo conhecimento) se relaciona de maneira
não-arbitrária e substantiva (não-literal) à estrutura cognitiva do aprendiz. É
no curso da aprendizagem significativa que o significado lógico do material de
aprendizagem se transforma em significado psicológico para o sujeito
(MOREIRA, 1999). Qual é o sentido dessa definição no processo ensino-
aprendizagem da matemática?
A definição de Ausubel (1976) pode ser detalhada qualificando o tipo
de significado a ser atribuído aos conceitos, variáveis e símbolos matemáticos:
significados internos e externos à matemática. Os internos são significados
que os conceitos, variáveis e símbolos possuem em um contexto dentro da
própria Matemática. Por exemplo, as letras “a” e “b” podem ter diferentes
6
O termo “escola formal” é usado neste texto com referência à escola organizada em séries ou
ciclos, com conteúdos separados em disciplinas e o ensino gerenciado por professores. O processo
de ensino-aprendizagem que ocorre na escola formal difere do processo da escola natural, onde o
aluno aprende por observação/convivência com o pai, ou o aprendiz com o mestre-artesão.
7. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 137
sentidos dependendo do contexto: em uma função linear y = ax + b são
coeficientes que definem a posição particular de retas no plano; na fração a/b
são números inteiros que representam a relação entre as partes do inteiro e o
número de partes desse inteiro. Se o aluno reconheceu o sentido dessas letras
em cada estrutura matemática, ele lhes atribuiu significado matemático. Outros
significados internos também estão presentes nesse caso, como o
reconhecimento das estruturas de função e fração, dos símbolos de igualdade
e adição na função e de divisão na fração. Todos esses significados são internos
à Matemática. O significado geométrico da função linear e suas relações com
os parâmetros “a” e “b” também são significados internos, assim como a
verificação da propriedade das frações equivalentes (a n)/(b n) para n natural.
Os significados que os conceitos, variáveis e símbolos possuem em
um determinado contexto fora da Matemática são externos. Por exemplo, ao
associar as variáveis x e y à quantidade (massa) e ao custo final de areia
comprada por um consumidor, respectivamente, temos o parâmetro “a” o
preço de uma tonelada de areia e o parâmetro “b” o frete, obtendo a função
custo da areia y = ax+b. Esses parâmetros e variáveis adquirem um significado
externo à Matemática. O conceito de aprendizagem significativa de Ausubel
(1976), portanto, está fortemente vinculado à atribuição de um sentido lógico
dos conceitos matemáticos aos significados internos ou externos à Matemática.
Ou seja, a aprendizagem só é significativa quando o aluno atribui um sentido
lógico, coerente dentro de um contexto para um símbolo, conceito ou variável.
Na modelagem, os conteúdos ensinados são aqueles presentes nos
modelos trabalhados; por isso, esse processo de ensino não enfoca grande
parte dos conteúdos mínimos planejados para a aprendizagem da matemática
escolar. Em Borges (2003) e Barbosa (1999 e 2001), observa-se que alguns
conteúdos são mais trabalhados do que outros em situações de modelagem.
Isso gera um problema no uso da modelagem na escola, já que esta possui um
currículo pré-definido. A totalidade do conhecimento matemático em relação
aos conteúdos mínimos de cada série é definida pelas orientações dos
professores e dos órgãos de gerenciamento da educação (escolas, secretarias
e coordenadorias) para cada nível de escolaridade. Do ponto de vista da
8. 138 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
socialização do conhecimento, a totalidade é um dos objetivos da educação
formal, pois a formação do aluno ficaria prejudicada se uma das operações
com números racionais, a divisão, por exemplo, não lhe fosse ensinada, mesmo
que essa operação não seja comum em aplicações. Limitar a oferta de
conteúdos às aplicações cotidianas, ou ao modelo estudado, pode causar
problemas na formação dos alunos que seguirão estudando na área das ciências
exatas. Haja vista que a modelagem não consegue cumprir com a propriedade
da totalidade do conhecimento matemático escolar, no sentido descrito acima,
as seqüências de situações didáticas poderiam ser uma possibilidade de resolver
esse problema.
A Modelagem Matemática e a Engenharia Didática
Para analisar a aprendizagem na modelagem e a complementação
com a Engenharia Didática foram desenvolvidas duas seqüências de situações
didáticas, nas quais a modelagem desempenha funções com objetivos didáticos
diferentes. Na primeira, a modelagem é parte de uma seqüência didática, com
a função de contextualizar conceitos introduzidos com outras situações didáticas
e, na segunda, a modelagem é uma seqüência didática gerada a partir da
necessidade de estudar um problema real e complementada com situações
didáticas que resolvem as questões de ensino dos conteúdos associados ao
problema real.
Modelagem matemática como parte de uma seqüência didática
O ensino da função linear para o primeiro ano do Ensino Médio pode
ser proposto (obviamente existem outras tantas alternativas) como uma
seqüência de situações didáticas com vistas a desenvolver a noção de
proporcionalidade, diferenciar variáveis proporcionais de não-proporcionais,
expressar a proporcionalidade como uma função, analisar o efeito dos
coeficientes da função e contextualizar a função linear, associando esta a
variáveis reais.
9. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 139
Situação 1 (S1)
Usando triângulos retângulos semelhantes, meça o comprimento do cateto
adjacente (X) e do cateto oposto (Y). Anote os dados em uma tabela onde as
colunas são os valores de X e Y. Coloque os dados da tabela em um gráfico
cartesiano.
É possível determinar o cateto adjacente de um triângulo retângulo semelhante
aos triângulos usados, sendo que o cateto oposto mede 100 m ?
Situação 2 (S2)
Calcule o perímetro de quadrados de lados x = 2, 4, 6, 8, ... cm. Anote os
dados em uma tabela onde as colunas são os valores de x e do perímetro P.
Coloque os dados da tabela em um gráfico cartesiano.
É possível determinar o perímetro de um quadrado de lado 100 m com base
na análise do comportamento das variáveis x e P?
Situação 3 (S3)
a) Calcule a área dos triângulos da Situação 1. Faça o gráfico do cateto
oposto em função da área.
b) Calcule a área dos retângulos da Situação 2. Faça o gráfico do lado dos
quadrados em função da área.
c) Usando círculos de raios diferentes calcule suas áreas. Faça o gráfico do
raio em função da área dos círculos.
Compare os gráficos obtidos nas Situações 1 e 2 com os da Situação 3.
Experimente criar um conceito de proporcionalidade, juntamente com seus
colegas e professor. Compare o conceito criado com os conceitos encontrados
em livros didáticos de 6ª série.
Situação 4 (S4)
Dados os conjuntos X={1,2,3,4,5,...}, Y1={1,2,3,4,5,...},
Y2={2,4,6,8,10,...} e Y3={3,6,9,12,15,..}
a) Forme pares ordenados com os elementos correspondentes do conjunto
X e do conjunto Y1 e faça um gráfico cartesiano.
10. 140 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
b) Repita o procedimento (a) com os elementos de X e Y2 e com os elementos
de X e Y3.
c) Seria possível prever os elementos dos conjuntos Y1, Y2 e Y3 se o conjunto
X fosse X={9, 11, 13,...}.
d) Existe proporcionalidade entre os elementos dos conjuntos X e Y1, X e
Y2, X e Y3?
Situação 5 (S5)
a) Usando o conceito de proporcionalidade entre duas variáveis, escreva uma
fórmula que relacione duas variáveis proporcionais.
b) Teste sua fórmula com os valores das tabelas das Situações 1, 2 e 4.
Sua fórmula deveria funcionar para as variáveis da Situação 3? Explique sua
resposta.
Situação 6 (S6)
O custo da água potável vem sendo cada vez mais significativo no orçamento
das famílias urbanas. O desperdício de água pode estar em atividades cotidianas,
como lavar carros, calçadas e tomar banho.
Calcule o custo de banhos de 15 minutos para a torneira do chuveiro aberta
com ângulos de 90º, 180º, 270º, 360º e 450º. (A solução deste problema
necessita de experimentos para determinar a vazão de água para cada ângulo
de abertura da torneira).
Situação 7 (S7)
Existe uma relação proporcional entre as variáveis quantidade de água (Q) e
tempo (t)?
Faça fórmulas (funções) para relacionar a quantidade de água (Q) e o tempo
(t) para cada ângulo de abertura da torneira. Coloque as funções no mesmo
gráfico e compare as retas obtidas.
a) O que faz com que as retas tenham inclinações diferentes?
b) Retas horizontais ou verticais teriam sentido no problema?
11. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 141
Figura 1 – Modelagem Matemática como parte de uma seqüência didática.
A Figura 1 ilustra a seqüência de situações didáticas descrita, onde
somente a S6 é de Modelagem Matemática. Essa situação, como foi proposta,
tem características diretivas, indicando as ações do aluno e pré-formulando
um problema a ser investigado. Esse direcionamento é característico da forma
como a situação didática de modelagem é inserida na seqüência didática.
A S6 pode gerar outra(s) seqüência(s) didática(s) (S61 e S62), com a
finalidade de ensinar ou revisar conteúdos necessários para a modelagem
(medidas de ângulos, por exemplo). Neste caso, ter-se-ia uma Engenharia
Didática de seqüências não mais unidirecionais, mas em redes, imitando o
formato do sistema de raízes de uma planta, onde os ramos têm derivações e
intersecções, mesmo mantendo uma direção preferencial. Ou seja, conceitos
e habilidades desenvolvidas em uma seqüência didática podem ser retomados
em outras, formando uma rede integrada, descompartimentalizando o
conhecimento matemático.
A S6, nessa seqüência didática, tem apenas a função de aplicar o
conceito construído nas seqüências anteriores, mesmo que faça muito mais
do que isto: desenvolve a habilidade de trabalhar com experimentos (geração,
organização e análise de dados); aplica unidades de medida de capacidade,
ângulos e tempo; introduz o conceito físico de vazão; e leva o aluno a pensar
sobre um problema real contemporâneo e que, de alguma forma, tem
implicações com suas decisões pessoais. A modelagem, assim aplicada, integra
(do ponto de vista da didática), contextualiza conceitos e, ainda, pode ser
usada para enriquecer as seqüências didáticas.
A segunda parte da S3 e a S5 são situações didáticas sistematizadoras
12. 142 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
das noções desenvolvidas nas situações S1, S2 e S4. Elas provocam o aluno
para tirar conclusões, escrever e testar resultados. É nessas situações que
ocorre a efetiva aprendizagem do conhecimento matemático, pois o aluno
registra as observações feitas nas atividades S1, S2 e S4 na forma de conceitos
escritos em linguagem matemática. Isso caracteriza um processo de
generalização e construção de conhecimento matemático. Na S6 ocorre a
aplicação dos mesmos conteúdos em contextos diferentes dos anteriores. Na
S7 é proposta a análise da relação entre a declividade das retas e o coeficiente
angular. Nesta atividade é feita a sistematização das noções desenvolvidas na
S6. Com isso, observa-se que a Modelagem Matemática também ensina
matemática, mesmo que sua mais forte potencialidade seja a aplicação.
A Modelagem matemática como uma seqüência didática
O ensino da função linear (assim como de outros conteúdos) pode
ser proposto através da Modelagem Matemática de um (ou mais de um)
problema, combinada com situações didáticas criadas especificamente para
ensinar conceitos que o aluno desconhece e que serão necessários para a
resolução dos problemas criados pela modelagem. As ações de estudo
(situações didáticas) vão sendo planejadas e elaboradas pelo grupo (professor
+ alunos) na medida em que há a necessidade de estudar determinado
conteúdo. Formas diretivas da Modelagem Matemática no ensino consideram
problemas já pesquisados e, com isso, o professor pode dispor de uma coleção
de situações didáticas para trabalhar determinados conteúdos que,
previamente se sabe, serão necessários para a modelagem.
A conservação da água é um tema atual e pode ser objeto de discussão
em uma classe de Ensino Médio. Considere-se que, com base em dados
coletados em jornais, internet e revistas, um grupo de alunos observou a
relevância do problema, pois a água é um bem fundamental para uma série de
processos vitais. Observou também que a poluição dos rios tem diminuído a
disponibilidade de água potável do planeta e que lavar carros, calçadas, tomar
banhos demorados, com torneiras abertas ao máximo é um desperdício, além
de um dano ecológico e, de alguma forma, é um problema associado à vida
13. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 143
de todos. Com o intuito de desenvolver ações que contribuam para diminuir o
problema, alunos e professor poderiam encaminhar uma pesquisa da seguinte
forma:
a) Pesquisar informações sobre o tratamento da água potável e sobre o
problema de conservação dos mananciais de água do planeta.
b) Calcular o custo de banhos de 15 minutos para a torneira do chuveiro
aberta com ângulos de 90º, 180º, 270º, 360º e 450º. (A solução deste problema
necessita de experimentos para determinar a vazão de água para cada ângulo
de abertura da torneira).
c) Com os resultados obtidos, programar estratégias para tomar banhos mais
econômicos e ecológicos.
d) Elaborar um problema de interesse da classe sobre o tema “economia da
água potável”, que demande alguma investigação quantitativa.
Com base em dados experimentais sobre a quantidade de água que
sai da torneira por unidade de tempo, pode-se calcular a quantidade de água
para qualquer tempo, usando regra de três ou função. Porém, para isso, os
alunos necessitam do conceito de proporcionalidade, que pode ser introduzido
com as situações didáticas S1 a S5, como ilustra a Fig. 2. Observa-se que,
nesse caso, o trabalho de modelagem é interrompido e os alunos realizam
seqüências didáticas que formarão os conceitos necessários para resolver o
problema do custo do banho de 15 minutos. Terminado o processo de
modelagem, as situações S4 e S7 poderiam ser aplicadas para estudar e
sistematizar o conhecimento sobre proporcionalidade e o coeficiente angular
da função linear.
A atividade de modelagem proposta poderia ser considerada uma
situação didática, porém com características não tão diretivas como as
apresentadas no primeiro exemplo da modelagem como parte de uma
seqüência didática. Uma pesquisa geral sobre o tema foi proposta (item (a))
para que os alunos reconheçam a importância do assunto. A elaboração prévia
de um problema (item (b)) pode ser usada, em modelagem, para objetivar o
estudo na direção de um conceito que se deseja ensinar, sem tolher a iniciativa
14. 144 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
dos alunos, pois outros problemas poderão ser formulados, como sugerem
os itens (c) e (d).
Observa-se que a sistematização da aprendizagem de conhecimento
matemático ocorre efetivamente nas situações didáticas e não necessariamente
no processo de modelagem, mesmo que – como observado anteriormente –
a modelagem preste sua colaboração para a aprendizagem, dando motivação
para aprender proporcionalidade e função linear, produzindo dados sobre as
variáveis e fornecendo elementos para a observação da proporcionalidade.
Nesse exemplo, observa-se que as situações didáticas de sistematização
possibilitam ações de aprendizagem do conhecimento matemático, por isso
são didaticamente fundamentais, pois, durante a modelagem, a prioridade da
ação é a solução dos problemas e não propriamente a aprendizagem de
matemática.
Figura 2 – Passos da Modelagem Matemática associados às situações
didáticas em paralelo.
A complementaridade entre Engenharia Didática e Modelagem
Matemática
A modelagem ensina Matemática na medida em que produz dados
para a construção dos conceitos, exemplifica aplicações e pratica exercícios
(fixação). A modelagem também é um excelente recurso para contextualizar
os conteúdos de matemática e contribui com elementos para que a
aprendizagem significativa ocorra, pois oportuniza a associação dos conteúdos
aos significados externos à Matemática. Esses fatos foram ilustrados nas duas
seqüências apresentadas. No entanto, a modelagem, sem os momentos de
15. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 145
sistematização bem definidos, produz um ensino parcial dos conteúdos
escolares, em relação ao que foi conceituado como totalidade da aprendizagem,
neste artigo. Essa observação só tem sentido se for assumido que a totalidade
é um objetivo da educação democrática (no sentido de socializar o
conhecimento). Admitir como resultado da aplicação da modelagem somente
a aprendizagem do ato de modelar e o conhecimento da realidade (que, se
sabe, é bem limitado com os recursos matemáticos e computacionais
trabalhados na escola de Ensino Fundamental e Médio) é não cumprir com o
objetivo básico do ensino da matemática, que é ensinar Matemática.
Neste trabalho, as situações didáticas foram elaboradas com o objetivo
de suprir a necessidade de conhecimentos demandados pela modelagem.
Outras situações didáticas poderiam ser elaboradas com o objetivo de
aprofundar o conhecimento de propriedades e aplicações da função linear,
tais como paralelismo, perpendicularismo, intersecção de retas, etc., dando
conta da qualidade de totalidade do conhecimento matemático. Essas novas
situações didáticas podem envolver modelagem ou não. No entanto,
dificilmente todos os conteúdos poderão ser aprendidos a partir de uma
investigação, devido aos problemas de tempo e disponibilidade de aplicações
significativas. Nessa concepção de modelagem associada com seqüências
didáticas, o planejamento de algumas situações didáticas mais diretivas
resolveria o problema da totalidade, provavelmente com economia de tempo
escolar.
As situações didáticas resolvem os problemas de ensino-
aprendizagem em um nível microdidático. Ocupam-se das complementações
na construção dos conceitos, das sínteses e das sistematizações necessárias
para a organização do aprendizado escolar, que a modelagem não contempla
totalmente. O desafio do professor é criar uma seqüência didática que leve o
aluno à aprendizagem de determinados conceitos matemáticos. Esta
preocupação não é tão central na modelagem. Entende-se que sua centralidade
é a busca de significação externa para os conteúdos de matemática. Porém,
se a modelagem for complementada com seqüências didáticas adequadamente
planejadas, pode se constituir em um processo de ensino eficiente (no sentido
de ensinar matemática) e abrangente (no sentido de trabalhar aspectos da
16. 146 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
realidade na escola, contribuindo efetivamente para a formação do cidadão).
A modelagem dá uma característica não-linear às seqüências didáticas
na medida em que faz ligações entre diferentes conceitos, provocando a
necessidade de novas seqüências (retomar as Situações S6, S61 e S62). Essa
dimensão interligada de relações conceituais tem característica de rede de
seqüências didáticas, planejadas integradamente com o processo de
modelagem. Como podemos observar em S1, S2 e S3, os conceitos de
geometria são usados para trabalhar proporcionalidade e contribuem para a
sistematização do conhecimento de função linear.
Considerações Finais
As seqüências didáticas apresentadas nesse trabalho mostram que a
modelagem contribui para a aprendizagem, fornecendo elementos para a
construção dos conceitos matemáticos. Porém, sua característica principal no
processo ensino-aprendizagem é a de contextualizar o conhecimento. Ao fazer
isso, ela qualifica a aprendizagem, pois leva o aluno a atribuir significados
reais aos conceitos matemáticos, tornando a compreensão dos conceitos mais
efetiva e abrangente do que em seqüências com significados estritamente
internos à matemática.
A utilização da modelagem no ensino, associada às seqüências
didáticas, pode proporcionar melhores resultados, em relação a sua concepção
original como método essencialmente investigativo, considerando a estrutura
da escola formal (horários, conteúdos mínimos, seriação,...), porque se torna
um método mais diretivo (no sentido que direciona e sistematiza a
aprendizagem) sem perder sua característica investigativa. No entanto, a
redução da Modelagem Matemática a Seqüências Didáticas lineares,
simplesmente com o objetivo de contextualizar conceitos tenderia para simples
ilustrações e se descaracterizaria como processo de modelagem, pois perde
o caráter investigativo. No entanto, se forem admitidas seqüências na direção
dos problemas modelados, forma-se a rede de seqüências, que gera um ensino
integrado (pois vários conceitos serão estudados no mesmo assunto de
modelagem) e uma aprendizagem significativa (pois os significados são dados
17. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147 Modelagem Matemática... 147
pelas próprias situações didáticas e pela associação aos problemas reais
investigados).
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Aprovado em fevereiro de 2008
Submetido em abril de 2007
18. 148 Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 30, 2008, pp. 131 a 147
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