O documento discute o custo do tratamento de esgoto na cidade de São João do Ivaí no Paraná. A construção da estação de tratamento de esgoto está em andamento e tem como objetivo melhorar a qualidade de vida da população. A obra tem um orçamento total de aproximadamente R$ 2,350 milhões e irá atender 30% da população da área urbana com 586 ligações residenciais e comerciais e uma rede de esgoto de 12.500 metros.

1. MODELAGEM MATEMÁTICA: O CUSTO DO TRATAMENTO DE
ESGOTO EM SÃO JOÃO DO IVAÍ
Sotero Napoleão Souza Cassiano
Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari
soter_o@hotmail.com
Claudia Carreira da Rosa
Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari
claudiacarreiradarosa@gmail.com
RESUMO
Neste artigo, apresentamos uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida no âmbito
de uma disciplina de Modelagem Matemática na graduação em Matemática. O problema diz
respeito ao custo do saneamento básico (esgoto) na cidade de São João do Ivaí. Os conteúdos
matemáticos envolvidos são principalmente função linear e função definida por várias
sentenças. Procuramos evidenciar que algumas situações podem promover reflexões acerca do
uso de funções matemáticas no contexto social, além de permitir uma análise da natureza dos
modelos matemáticos e seu papel na sociedade.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Tarifa de Saneamento Básico; Função.
1. INTRODUÇÃO
Um dos objetivos da Matemática é desenvolver no ser humano a capacidade de
raciocínio e de tomadas de decisões do mundo real. A Matemática está constantemente
presente em nossa vivência e podemos aplicá-la para resolver questões de outras áreas
como, por exemplo, na Física e na Química.

2. 2
Para Bassanezi (2002, p. 18) o termo aplicação de Matemática denota o
fato de utilizá-la para compreender fenômenos do mundo real e o objetivo de se usar de
conceitos matemáticos é para se extrair a parte fundamental de uma situação-problema
formalizando-a em um contexto abstrato onde se pode ter uma economia de linguagem.
Assim, segundo o autor “a Matemática pode ser vista como um instrumento intelectual
capaz de sintetizar idéias concebidas em situações empíricas que estão quase sempre
camufladas num emaranhado de variáveis de menor importância” (Bassanezi, 2002, p.
18).
A realidade nos faz presenciar e interpretar a Matemática de maneira mais
objetiva e compreensível. Segundo D’Ambrósio (1999, p. 2) “o ciclo de aquisição de
conhecimento é deflagrado a partir da realidade, que é plena de fatos que informam o
indivíduo”. Com esse propósito a Modelagem Matemática torna-se um meio de estudar
fenômenos do dia-a-dia, e assim adquirir e formalizar um conhecimento próprio.
De acordo com Bassanezi (2002, p. 16) a Matemática não deve ser considerada
importante apenas por obter definições que podem ser aplicadas em determinadas
situações, mas sim considerada importante por poder ser atraente e interessante. Assim
podemos articular a Modelagem Matemática como um método de tornar a Matemática
uma ciência mais prazerosa e compreensível, trabalhando a realidade e o auto-
conhecimento.
Segundo Biembengut e Hein (2002, p. 17) no dia-a-dia, o processo que envolve
Modelagem Matemática está constantemente presente, basta ter um problema exigindo
criatividade, intuição e a Matemática.
Nesse sentido, iremos usar a Modelagem Matemática para trabalhar uma
situação real que trata sobre o saneamento básico em São João do Ivaí.
Para Teixeira e Guilhermino (2003, p. 277) os serviços de saneamento, como o
tratamento de esgoto, são de vital importância para proteger e tornar a população mais
saudável, diminuindo os problemas da pobreza e protegendo o meio ambiente.
Partindo de uma situação real e vivenciada, procuramos construir um modelo
usando conteúdos matemáticos, o que coincidiu com as ideias de Bassanezi (2002, p.
24), quando este diz que ao nos conscientizarmos de que devemos trabalhar
aproximações da realidade, a Modelagem Matemática terá melhores resultados.

3. 3
2. MODELAGEM MATEMÁTICA
Segundo Almeida (2007, p. 3) na Educação Matemática, a Modelagem
Matemática teve diversos avanços nas últimas décadas, mostrando-se um campo social
de produção de conhecimento, um espaço de relações objetivas, com lógicas e
necessidade bem definidas.
De acordo com Silveira e Ribas (2004, p. 2) “a Modelagem Matemática é acima
de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável e o inimaginável”.
Entre as muitas definições de Modelagem Matemática, Bassanezi (2002) coloca
que a:
Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da
realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas
solução na linguagem do mundo real.
(BASSANEZI, 2002, p. 16)
Na literatura, encontramos diferentes caracterizações para Modelagem
Matemática no âmbito da Educação Matemática.
Bassanezi (2002, p. 181) considera a Modelagem Matemática uma atividade
humana cujo desenvolvimento está intrínseco nos problemas da vida social e seu
principal enfoque é procurar um equilíbrio harmonioso entre a teoria e a prática,
fazendo com que a Matemática se torne uma ferramenta para outras áreas do
conhecimento.
No âmbito da Educação Matemática, D’Ambrosio (1986) considera a
Modelagem Matemática como uma forma de interação do conteúdo de sala de aula com
questões reais. De acordo com o autor a
Modelagem Matemática é um processo muito rico de encarar
situações reais, e culmina com a solução efetiva do problema real e
não uma simples resolução formal de um problema artificial.
(D’AMBROSIO, 1986, p.121).

4. 4
Neste trabalho consideramos a Modelagem Matemática como
apresentada por Almeida e Brito (2005, p. 487), em que os autores consideram-na como
uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática,
de um problema não essencialmente matemático. Neste contexto, os autores defendem
que a modelagem permite uma compreensão mais global acerca da situação investigada,
buscando uma resposta para um problema cuja origem não está, de modo geral, na
própria Matemática.
Levando em consideração algumas ‘definições’ sobre Modelagem Matemática,
de um ponto de vista particular entendo-a como um ato (e não o ato) de articular
problemas reais com a Matemática, resolvendo-os em linguagem formal e respondendo-
os em linguagem informal, algo presente no dia-a-dia do ser humano, que todos
possuem possibilidades de interpretar e entender, não unicamente os matemáticos.
Bassanezi (2002, p. 173), afirma que quando se procura agir e refletir sobre a realidade,
tentando explicá-la, compreendê-la e modificá-la, o processo é selecionar argumentos
essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial, chamado de Modelo.
Entre as perspectivas que envolvem a Modelagem Matemática, queremos
salientar no presente trabalho, a perspectiva pragmática e a perspectiva realística, por
serem mais chamativas e harmoniosas nessa pesquisa.
De acordo com Kaiser e Sriraman (2006, p. 302) a perspectiva pragmática é
aquela focada em objetivos utilitários, colocando a habilidade em aplicar a Matemática
em problemas práticos. A perspectiva realística tem como objetivo resolver e
compreender problemas do mundo real.
Também merece destaque a perspectiva sócio-crítico:
Esta perspectiva enfatiza o papel da Matemática na sociedade e
reivindica a necessidade de suportar o pensamento crítico sobre o
papel e a natureza dos modelos matemáticos e a função da
Matemática e nossa sociedade.
(KAISER E SRIRAMAN, 2006, p. 309).
Dessa maneira, a utilização da Modelagem Matemática pode manifestar nos
indivíduos um aspecto sócio-cultural mais compreensível, capazes de analisar a forma

5. 5
como a Matemática está presente na sociedade, por ser um ambiente associado
à problematização e investigação.
Em geral o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática segue
uma sequência de procedimentos: a identificação do problema, a identificação e seleção
das variáveis, a formulação de hipóteses, a dedução e a validação do modelo. Esses
procedimentos podem ser chamados de etapas ou rotas de uma atividade de Modelagem
Matemática, dependendo do autor e da abordagem com que a mesma é compreendida.
Apresentamos na figura 1 um esquema de Modelagem Matemática envolvendo
as várias etapas para o desenvolvimento de uma atividade, embora a ordem dessas
etapas possa variar, uma vez que esse processo não é linear. A ênfase no esquema reside
na transição. Dependendo do enfoque a que se pretende dar ênfase durante o
desenvolvimento da atividade, as etapas apresentadas no esquema podem ser menos
enfatizadas ou mais enfatizadas.
2 - Simplificação e 3 - Dedução do
1 - Definição do problema
formulação de hipóteses modelo
4 - Resolução
Modelo não válido
do problema
Modelo Interpretação da
6 - Aplicação do
válido 5 - Validação solução
modelo
Figura 1: Etapas sugeridas para se realizar um processo de Modelagem Matemática
(In: Ferruzi, Almeida e Gonçalves, p. 3)
Assim, podemos ver uma atividade de Modelagem Matemática como um ciclo,
que parte da realidade, passa pelos procedimentos matemáticos, pela validação do
modelo e volta para mesma realidade inicial.

6. 6
3. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
De acordo com Zoratto (2003, p. 3) as transformações desenvolvidas pela
evolução da humanidade, principalmente no século XX, mudaram a vida do ser
humano, como a saúde e a expectativa média de vida terem aumentado para 65 anos.
Saneamento Básico não é um problema novo, e sua importância é conhecida
desde as culturas antigas, como podemos ver de acordo com Heller (1997):
O RECONHECIMENTO da importância do saneamento e de sua
associação com a saúde do homem remonta às mais antigas culturas.
Ruínas de uma grande civilização, que se desenvolveu ao norte da
índia há cerca de 4.000 anos atrás, indicam evidências de hábitos
sanitários, incluindo a presença de banheiros e de esgotos nas
construções, além de drenagem nas ruas.
(Heller, 1997, p. 17)
No entanto, a falta de saneamento básico ainda é um sério e praticamente um
problema desprezado pelos cidadãos.
Segundo com Teixeira e Guilhermino (2003, p. 278) essa falta pode gerar várias
doenças como hepatite, cólera, parasitoses intestinais, febre tifóide, entre outras e a
intervenção no tratamento pode diminuir a morbidade ocasionada por estas.
Para Heller (1997, p. 11) a diarréia é a doença que mais aflige a humanidade,
ocasionando mais de quatro bilhões de casos por ano. Sendo que para Oliveira e
Fernandez (2004, p. 7) essas doenças são provocadas, pois três quartos de todo o esgoto
produzido pelos brasileiros vão parar diretamente na própria água que consumimos.
Percebemos que muitas doenças podem ser evitadas unicamente com o devido
tratamento da rede de esgoto, que infelizmente não está presente em nossa vivência.
Segundo Zoratto (2006, p. 2) uma pesquisa realizada pelo IBGE (Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística), 52% dos municípios brasileiros não possui esse tipo de
tratamento.
A falta de interesse objetivando aliviar a falta de tratamento de esgoto é absurda
e praticamente imutável, já que “em 1992, 36,02% da população tinha acesso ao

7. 7
esgoto tratado. Esse índice passou para 46,77% em 2006”, (Folha Online,
2007), o que foi praticamente uma mudança insignificante.
Segundo Cid (2007) se o ritmo lento dos investimentos continuarem, os
brasileiros terão que esperar até 2122 para ter acesso a um serviço básico, como a rede
de esgoto.
Quem mais sofre com o desprezo do saneamento básico é as crianças, o que é
um equívoco, “pois gasta-se muito mais para remediar do que prevenir. É claro que
não podemos esperar que o governo público faça tudo. Temos que mobilizar a
sociedade civil para conhecer a situação e fazer pressão” (Cid, 2007).
O tratamento de esgoto é importante, mas não é um tema discutido. Esse tipo de
saneamento é algo invisível para os olhos, pois é um serviço que permanece enterrado e
não causa peso político, já que ninguém discute algo que nem sabe a importância. O que
podemos fazer como cidadãos é conscientizar-nos da imensa importância de ter acesso
ao tratamento de esgoto e reivindicar nossos direitos, “a implantação de medidas de
saneamento dependem de decisão política neste mundo de jogo de interesses e a
decisão política ou políticas dependem da força popular (Cynamon, 1997, p. 352)”.
Na cidade de São João do Ivaí - PR, está ocorrendo à construção da estação de
tratamento de esgoto sanitário, organizada pela Sanepar - Companhia de Saneamento e
Esgoto do Paraná - e contando com recursos do Governo Federal.
Segundo o gerente regional da Sanepar, Antonio Mauro, o objetivo dessa obra é
melhorar a qualidade de vida da população, que é um dos focos do governo estadual. A
obra está sendo realizada pela Gennan Construtora de Obras da cidade de Curitiba,
sendo utilizado o PVC ocre para a construção. A ligação dos tubos PVC e a
reconstrução da calçada terão um custo de R$ 90,00 por metro, assim, a obra tem como
orçamento total aproximadamente 2,350 milhões de reais. O esgoto está contando com
586 ligações residenciais e comerciais, a rede de esgoto terá 12.500 m, atendendo 30%
da população da área urbana. Lembrando que a obra está apenas em desenvolvimento,
quando finalizada à capacidade de tratamento que será de 10 litros de esgoto por
segundo. Além disso, está garantindo 260 empregos novos, diretos e indiretos. A obra
terá duração média de 18 meses (Paraná Centro, 2009).

8. 8
No site da Sanepar estão presentes todas as tarifas que são cobradas pelo
saneamento. Estão presentes as tarifas cobradas em Maringá e Curitiba, e nas demais
localidades. Segundo o site da Sanepar, as tarifas são divididas em: tarifa normal
(residencial), tarifa normal (micro e pequeno comércio) e tarifa normal
(comercial/industrial e utilidade pública). A tabela 1 mostra as tarifas cobradas pela
Sanepar .
Tabela 1: Tabela de tarifa de Saneamento Básico
CATEGORIAS ATÉ 10 m³ R$ + R$/m³ R$ + R$/m³
Excedente a 10m³ Excedente a 30m³
Esgoto residencial 13,08 13,08 + 1,96/m³ 52,28 + 3,34/m³
Esgoto micro e
13,08 13,08 + 2,65/m³ X
pequeno comércio
Esgoto comercial /
industrial / 23,52 23,52 + 2,65/m³ X
utilidade pública
FONTE: Sanepar
3.1 Descrição do problema investigado
De acordo com as informações obtidas e levando em consideração a tarifa
residencial e a tarifa micro e pequeno comércio, pretendemos verificar a partir de
quantos m³ de esgoto utilizado compensaria financeiramente para o consumidor
residencial pagar a tarifa micro e pequeno comércio.
3.2 Dedução do modelo matemático
Com o objetivo de obter uma resposta para o problema, foram definidas as
seguintes variáveis:

9. 9
(e) → Esgoto residencial - (utilizado em m³)
( T1 ) → Tarifa residencial - (cobrada em reais)
( T2 ) → Tarifa micro e pequeno comércio - (cobrada em reais)
( T3 ) → Tarifa comercial, industrial e utilidade pública - (cobrada em
reais)
Em seguida, construímos uma tabela para verificar o comportamento dos dados.
Tabela 2: Valor das tarifas de esgoto (R$)
( T1 ) - Tarifa ( T3 ) - Tarifa
( T2 ) - Tarifa micro
(e) - Esgoto gasto comercial, industrial
residencial e pequeno comércio
(m³) e utilidade pública
(R$) (R$)
(R$)
1 13,08 13,08 23,52
5 13,08 13,08 23,52
10 13,08 13,08 23,52
15 13,08 + 1,96 ⋅ (5) 13,08 + 2,65 ⋅ (5) 23,52 + 2,65 ⋅ (5)
20 13,08 + 1,96 ⋅ (10) 13,08 + 2,65 ⋅ (10) 23,52 + 2,65 ⋅ (10)
25 13,08 + 1,96 ⋅ (15) 13,08 + 2,65 ⋅ (15) 23,52 + 2,65 ⋅ (15)
30 13,08 + 1,96 ⋅ (20) 13,08 + 2,65 ⋅ (20) 23,52 + 2,65 ⋅ (20)
35 55,28 + 3,34 ⋅ (5) 13,08 + 2,65 ⋅ (25) 23,52 + 2,65 ⋅ (25)
40 55,28 + 3,34 ⋅ (10) 13,08 + 2,65 ⋅ (30) 23,52 + 2,65 ⋅ (30)
45 55,28 + 3,34 ⋅ (15) 13,08 + 2,65 ⋅ (35) 23,52 + 2,65 ⋅ (35)
Portanto, podemos escrever:
13,08 se 0 < e ≤ 10

T1 = 1,96e − 6,52 se 10 < e ≤ 30 , onde e ∈ IR +
*
 3,34e − 44,92 se e > 30

 13,08 se 0 < e ≤ 10
T2 =  , onde e ∈ IR +
*
2,65e − 13,42 se e > 10

10. 10
23,52 se 0 < e ≤ 10
T3 =  , onde e ∈ IR +
*
 2,65e − 2,98 se e > 10
As funções são representadas graficamente nas figuras 2, 3 e 4, respectivamente:
Figura 2: Esboço do gráfico da função
Tarifa residencial ( T1 )
1
6 .4
11
. 01
97
Y Axis (units)
. 61
77
. 21
58
. 80
38
. 40
19
0
0 .0
0 .0 8 .3 1 6 .5 2 4 .8 3 3 .0 4 1 .3 4 9 .5
X A xis (units)
4
5 .5
12
Figura 3: Esboço do gráfico da função
9
6 .9
10
Tarifa micro e pequeno comércio ( T2 )
Y Axis (units)
.4 4
88
. 89
69
. 34
51
. 79
32
. 24
14 0 .1 8 .3 1 6 .5 2 4 .7 3 3 .0 4 1 .2 4 9 .4
X Axis (units)

11. 11
Figura 4: Esboço do gráfico da função
Tarifa comercial, industrial e utilidade pública ( T3 )
A validação dos modelos encontrados é mostrada na tabela 3.
Tabela 3: Validação do modelo matemático encontrado
( T3 )
( T2 ) ( T3 )
( T1 ) ( T2 )
( T1 ) Tarifa
Tarifa Tarifa
(e) Tarifa Tarifa comercial,
micro e comercial,
Tarifa residencial micro e industrial e
Esgoto pequeno industrial e
residencial pequeno utilidade
gasto (m³) (R$) comércio utilidade
comércio pública
(R$) (R$) pública
MODELO (R$) (R$)
MODELO (R$)
MODELO
1 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52
5 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52
10 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52
15 22,88 22,88 26,33 26,33 36,77 36,77
20 32,68 32,68 39,58 39,58 50,02 50,02
25 42,48 42,48 52,83 52,83 63,27 63,27
30 52.28 52.28 66.08 66.08 76,52 76,52
35 71,98 71,98 79.33 79.33 89.77 89.77
40 88.68 88.68 92.58 92.58 103,02 103,02
45 105,38 105,38 105,83 105,83 116,27 116,27
Como podemos concluir pela validação, o modelo encontrado realmente
representa a tarifa de esgoto cobrada pela Sanepar.

12. 12
Para responder a questão do problema investigado basta fazer T1 = T2
e encontramos o valor: e = 45,65 m³, que acarretaria para o consumidor um valor de R$
107,55 em sua conta. A partir de uma quantidade maior de 45,65 m³ de esgoto utilizado,
o consumidor residencial teria uma economia maior se utilizasse a tarifa micro e
pequeno comércio.
4. Considerações finais
Ao construir um modelo que represente uma situação real, muitos aspectos são
abordados, muito se discute e se reflete sobre os conteúdos matemáticos e o próprio
contexto que originou a investigação.
A elaboração de um modelo matemático depende do conhecimento de
Matemática que se tem, o modelador precisa ter criatividade, saber interpretar o
contexto da situação, saber discernir qual conteúdo matemático que melhor se adapta e
ser capaz de definir as variáveis envolvidas.
Consideramos a construção de um modelo matemático essencial na atividade de
Modelagem Matemática, embora não o consideramos o ‘mais importante’, mas sim, o
consideramos como uma alternativa capaz de permitir uma compreensão mais global na
busca de uma resposta para a situação estudada.
Nesse estudo, particularmente usamos de conceitos básicos de funções. Nesse
percurso foram utilizados vários registros de representação, dentre eles, o algébrico,
tabular, o gráfico, possibilitando o contato do modelador com diferentes características
do objeto matemático em estudo.
Consideramos que ao usarmos a Modelagem Matemática como estratégia de
ensino e de aprendizagem, possibilitamos aos estudantes usar de conhecimentos que já
se tem e também de buscar outros conhecimentos necessários para a resolução do
problema proposto. Isso pode influenciar na relação do estudante com o objeto de
estudo, possibilitando uma aprendizagem mais satisfatória.

13. 13
Esta atividade poderia ser utilizada para trabalhar o conteúdo função
no primeiro ano do Ensino Médio, tanto para introduzir o conceito de função linear ou
ainda como uma forma de motivar a elaboração de funções definidas por sentenças.
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