1. O documento discute conceitos fundamentais de funções reais de duas variáveis reais, incluindo domínio, continuidade, derivadas parciais, pontos críticos e máximos/mínimos relativos. 2. É explicado como calcular limites, derivadas parciais e derivadas parciais de ordem superior de funções de duas variáveis. 3. Os conceitos-chave são ilustrados com exemplos numéricos de cálculo de derivadas parciais, verificação de continuidade, identificação de pontos críticos e nature

1. numerosnamente 1
FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS REAIS
Domínio de funções reais de duas variáveis reais
No cálculo do domínio de funções com duas variáveis, as regras do cálculo do domínio para
funções de uma variável são as mesmas que se vão aplicar às funções de duas variáveis.
Cada par ordenado de valores pertencente ao domínio de validade , vai corresponder
uma imagem que se designa por contradomínio.
Por exemplo:
Considere a função . Calcule o seu domínio.

Limites de funções reais com duas variáveis reais
Uma função real de duas variáveis reais, definida no seu domínio , e , então o
limite de quando  é o valor .

Por exemplo:
Calcule







Continuidade de funções reais com duas variáveis reais
Uma função real de duas variáveis reais é continua num ponto
, se:
-
- O limite da função deve existir nesse ponto
-

2. numerosnamente 2
Note que as funções tipo polinomiais, seno, co-seno, logaritmo, exponencial,…, bem como as
composições destas funções, são funções continuas em todos os pontos do seu domínio.
Por exemplo:
Considere a função { Estude a sua continuidade.
Vamos assim estudar a continuidade no ponto e pela expressão de o ponto
omínio.
Temos de calcular os limites laterais para   e isto faz-se na vizinhança de ,
que na expressão é no ramo
…temos de fazer o estudo por caminhos diferentes para ver se a função é
continua no ponto . Assim, se , na expressão tem-se:
 . Se , na expressão tem-se:

Assim o estudo feito por dois caminhos deferentes deu um resultado diferente, logo esta
função não é continua no ponto
- Derivadas Parciais de funções reais com duas variáveis reais
São necessárias para compreender o comportamento de uma função num dado ponto. Esse
comportamento pode ser um máximo, um mínimo, etc.
Por outro lado para obter a taxa de variação (ou o perfil topológico) de uma função na
vizinhança de um determinado ponto com as suas coordenadas conhecidas segundo uma
dada direcção, calculamos então a derivada direccional da função nesse ponto segunda essa
direcção. Estas derivadas direccionais são as derivadas parciais.
Na prática, é só derivar em relação à variável em questão, pensando que as outras variáveis
são constantes.
Por exemplo:
Considere a função . Calcule .
 
 

3. numerosnamente 3

é a derivada parcial em ordem a “ ”.
é a derivada parcial em ordem a “ ” .
Nas funções que estão definidas por ramos, temos de usar a definição de derivadas parciais,
isto é, calcular limites para onde tende cada ramo. Temos também de ter em atenção, que
uma função é diferenciável se as derivadas parciais num ponto admitem o mesmo valor, e
sendo assim é contínua nesse ponto.
Por exemplo:
Considere a função { Calcule as derivadas da função no
ponto (0,0).
;
Derivadas Parciais de Ordem Superior
Dado que as derivadas parciais de uma função são elas próprias funções de , é
possível calcular as derivadas parciais de ordem superior, de um modo inteiramente análogo
ao definido para as primeiras derivadas.

4. numerosnamente 4
Teorema de Schwarz
Seja a função 
numa vizinhança centrada em ( , sendo contínuas em ; então também
existe em verificando-se
Por exemplo:
Considere a função Verifique se é aplicável o teorema de Schwarz.
Verifica-se
Derivação em cadeia
Temos uma função real de duas variáveis reais, Se cada uma das variáveis e , por
sua vez, forem uma função real de uma variável real (por exemplo ), então a função pode
ser vista como uma função real de variável e verifica-se que satisfaz:
Por exemplo:
Seja com e . Calcule

5. numerosnamente 5
Derivadas Parciais: Regra dos pequenos acréscimos
Seja a função  e ; consideremos pequenas variações
em torno de , então a variação é dada por:
Por exemplo:
Considere uma barra de secção transversal rectangular com uma área de 4 x 2 , sofre
uma variação da sua secção por ação de uma força. Assim tem uma variação segundo o seu
comprimento de 0,005 cm e uma variação segundo a sua largura de -0,001 cm. Calcule a nova
área, usando a formula dos acréscimos.
- Área
- ;
-
-
Então, tem-se:
-
- A área final = 
Pontos críticos de funções reais com duas variáveis reais
Um ponto pertencente ao domínio de uma função real de duas variáveis reais no qual
as primeiras derivadas parciais de se anulem, diz-se ponto crítico de .
Se uma função tem ponto crítico em , então essa função tem um extremo relativo em
Logo se esta condição acontecer, é porque existem derivadas parciais da função .
Um extremo pode ser:
- Máximo
- Mínimo
Um ponto crítico também pode ser um ponto sela ou outra coisa.

6. numerosnamente 6
Nos pontos críticos temos sempre que fazer o teste da segunda derivada de para depois
fazer o estudo pelo seu discriminante.
O ponto , pode ser:
-  a função tem um extremo relativo em
Se  a função tem um mínimo relativo em
Se  a função tem um máximo relativo em
-  a função tem um ponto sela em
-  o teste é inconcludente (nada se pode concluir através da 2ª derivada).
Resumindo:
-  Mínimo relativo em

7. numerosnamente 7
-  Máximo relativo em
-
Para , nada se pode concluir sobre o ponto
Por exemplo:
Considere a função . Verifique se existem pontos críticos e em
caso afirmativo, indique a sua natureza.
-
-
- 
 , substituindo na outra expressão:
  
- Para  , obtemos o ponto
- Para  , obtemos o ponto
-
-
-

8. numerosnamente 8
-
Para o ponto
; ; ;
 
O ponto é um ponto sela.
Para o ponto
( ) ; ; ;
   …temos um extremo relativo no
ponto . Como ( ) então o ponto é um ponto mínimo
relativo.