Ebook matematica basica

Matemática Básica 3
Material didático elaborado pelos professores:
Professor Mestre Anderson Dias Gonçalves
Professora Mestre Daniela Cristina Ribeiro Elói
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS – Este material foi desenvolvido com o objetivo único e
exclusivo para o uso nas aulas ministradas pelo Professores autores, Anderson Dias Gonçalves e
Daniela Cristina Ribeiro Elói.
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danielamatematica@gmail.com
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Copyright© Anderson Dias Gonçalves 2012.

Matemática
4 Matemática Básica
Sumário
CONJUNTOS.....................................................................................................................................6
1. Introdução ......................................................................................................................................6
2. Noções de conjuntos....................................................................................................................6
3. Principais Conjuntos Numéricos ................................................................................................7
4. O Conjunto dos números reais...................................................................................................9
6. Subconjuntos...............................................................................................................................10
7. Operações entre conjuntos .......................................................................................................10
8. Número de elementos de um conjunto ...................................................................................11
9. Intervalos......................................................................................................................................12
EXPRESSÕES NUMÉRICAS .......................................................................................................13
1. Introdução ....................................................................................................................................13
2. Expressões numéricas...............................................................................................................13
4. Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c) .............................................................................................14
5. Máximo Divisor Comum (m.d.c) ...............................................................................................14
6. Frações ordinárias......................................................................................................................15
7. Propriedades de Frações ..........................................................................................................16
8. Potências......................................................................................................................................19
9. Propriedades de Potências .......................................................................................................19
10. Radicais......................................................................................................................................22
11. Operações algébricas..............................................................................................................25
NÚMEROS E GRANDEZAS PORPORCIONAIS.......................................................................29
1. Introdução ....................................................................................................................................29
2. Números e Grandezas Proporcionais .....................................................................................29
3. Grandeza Diretamente Proporcional .......................................................................................29
4. Grandeza Inversamente Proporcional.....................................................................................29
5. Razão e proporção .....................................................................................................................30
6. Propriedades das proporções...................................................................................................31
7. Regra de três simples ................................................................................................................34
8. Regra de três composta ............................................................................................................35
9. Porcentagem ...............................................................................................................................39
10. Fator de multiplicação..............................................................................................................40
11. Ponto percentual.......................................................................................................................41

EQUAÇÕES E SISTEMAS............................................................................................................42
1. Introdução ....................................................................................................................................42
2. Equações de 1º grau..................................................................................................................42
3. Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas..........................................................43
4. Método de solução para um sistema.......................................................................................44
5. Equações do 2º grau..................................................................................................................46
6. Equações irracionais..................................................................................................................48
7. Inequações do 1º grau...............................................................................................................49
FUNÇÕES........................................................................................................................................51
1. Introdução ....................................................................................................................................51
2. Conceito de função.....................................................................................................................51
3. Determinando o domínio de uma função................................................................................52
4. Representação gráfica de uma função ...................................................................................53
5. Marcando os pontos no plano cartesiano...............................................................................54
6. Gráficos de uma função.............................................................................................................54
FUNÇÃO LINEAR ...........................................................................................................................59
1. Introdução ....................................................................................................................................59
2. Modelos lineares.........................................................................................................................59
3. Inclinação e taxa de variação ...................................................................................................62
4.Função linear geral......................................................................................................................63
5. Obtenção de uma função linear ...............................................................................................63
FUNÇÃO QUADRÁTICA ...............................................................................................................70
1. Introdução ....................................................................................................................................70
2. Um modelo de função quadrática ............................................................................................70
3. Caracterização de uma função quadrática.............................................................................72
4. Vértice da parábola de uma função quadrática.....................................................................74
5. Principais pontos de uma parábola. ........................................................................................75
6. Imagem de uma função quadrática – valor máximo e valo mínimo ...................................75
7. Crescimento e decrescimento de uma função quadrática...................................................76
Referência Bibliográfica .................................................................................................................79

Matemática
Capítulo 1
CONJUNTOS
A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não
só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e
poupar trabalho aos homens.
Renné Descartes
1. Introdução
Introduziremos nesse capítulo a linguagem de Conjuntos que será utilizada
sistematicamente nos capítulos posteriores. Todo o estudo sobre funções está solidificado sobre a
teoria dos conjuntos.
Por esta razão vamos dar uma atenção especial na linguagem utilizada para
representação e operações de Conjuntos.
2. Noções de conjuntos
A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois a partir dela
podemos expressar todos os conceitos matemáticos.
Um conjunto (ou coleção) é formado de objetos, chamados os seus elementos. A relação
básica entre um objeto e um conjunto é a relação de pertinência. Quando um objeto x é um dos
elementos que compõem o conjunto A , dizemos que x pertence a A e escrevemos: 1
Ax
Se, porém x não é um dos elementos do conjunto A , dizemos que x não pertence a A e
escrevemos:
Ax
Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra
que permita decidir se um objeto arbitrário x pertence ou não a A .
Podemos definir Conjuntos de diversas maneiras, entre elas:
 Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por
vírgula ou ponto-e-vírgula.
}5,3,1{A
 Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos.
sete}quemenorímparnúmeroumé/{ xxB 
 Através de Diagramas (diagrama de Venn).
1
Curso de Análise – Elon Lages Lima
•1
•3
•5

3. Principais Conjuntos Numéricos
O conjunto dos números naturais ,...3,2,1 será representado pelo símbolo N . Portanto
temos:
,...}3,2,1{N
O conjunto dos números inteiros (positivos, negativos e zero) será representado pelo
símbolo Z . Assim temos:
,...}3,2,1,0,1,2,3{..., Z
O conjunto Q , dos números racionais, é formado pelas frações
q
p
, onde p e q pertencem
a Z , sendo 0q . Em símbolos temos:






 0,,/ qZqZp
q
p
Q
Os números racionais podem ser representados dos seguintes modos:
1 - Decimal finito:
75,1
4
7

2 - Decimal infinito
....3333,0
3
1

No segundo modo temos as chamadas dízimas periódicas. Números racionais que
expressos na forma de decimal resultam em números com casas decimais infinitas.
Efetuar a divisão e encontrar dízimas periódicas não há dificuldades; porém fazer a
operação inversa requer um pouco mais de trabalho. A fração que dá origem a uma dízima
periódica recebe o nome de fração geratriz. Veja os exemplos abaixo:
Exemplo1. Encontre a fração geratriz da dízima ...555,0 .
Seja ...555,0x então x é uma fração geratriz na forma
q
p
. Algebricamente podemos realizar
sem perda de generalidade algumas operações com x . Vejamos:
...555,0x (multiplicando os dois termos por 10)
...555,510 x (podemos separar a parte inteira, da parte decimal)
...555,0510 x (sabemos que ...555,0x )
9
5
59
510
510



xx
xx
xx

Matemática
A fração geratriz da dízima periódica ...555,0 é
9
5
.
Uma dízima periódica possui períodos, podendo ser simples ou composto. Veja o exemplo
abaixo com os principais elementos de uma dízima.
Exemplo 2. Seja o número ...4565656,3 . Temos o seguinte:
3 : representa a parte inteira da dízima (I);
4 : representa o anti-período da dízima, ou seja, a parte que não se repete aos a vírgula (A);
56 : representa a parte periódica composta da dízima, nesse caso, período dois (2). No exemplo
1 o período da dízima é simples (1).
Vamos encontrar a fração geratriz da dízima ...4565656,3 . De forma análoga ao exemplo 1,
temos:
...4565656,3x (multiplicando por 10 os dois termos)
...565656,3410 x (I) (multiplicando por 100 os dois termos)
...5656,34561000 x (II) (vamos agora resolver o sistema linear formado por (I) e (II))





)...(5656,3410
)...(5656,34561000
Ix
IIx
(subtraindo II de I)
3422990 x
495
1711
990
3422
x que é a fração geratriz da dízima ...4565656,3
Regra prática para encontrar a fração geratriz
..00...999
IAIAP 
(1)
onde:
I : parte inteira da dízima periódica;
A :anti-período da dízima periódica;
P :parte periódica da dízima;
...999 : um(1) nove para cada período;
...00 : um(1) zero para cada ante-período.
Exemplo 3. Encontre a fração geratriz da dízima dada por ...4565656,3
3I
4A
56P
Aplicando a fórmula (1) temos:
495
1711
990
3422
990
563456
..00...999



 IAIAP
Assim como existem números decimais que podem ser transformados em fração, com
numerador e denominador inteiros, há os que não admitem tal representação.
O número cuja representação não pode ser transformada em uma fração é um número
irracional, e seu conjunto é representado por  .
Veja alguns exemplos:

 O número 1....0,21211211 não é uma dízima periódica, pois os algarismos depois da
vírgula não se repetem.
 Os números ...4142136,12  , ...7320508,13  e ...141592,3 , por não
apresentarem representação infinita periódica, também são números irracionais.
Os conjuntos numéricos N , Z e Q cumprem as relações de inclusão ZN  e QZ  .
Abreviadamente, temos QZN  .
4. O Conjunto dos números reais
O conjunto formado pelos números racionais  Q e irracionais   é chamado de conjunto
dos números reais, e é representado por R . Em outras palavras podemos dizer que:
 QR
Podemos representar o conjunto dos Reais em uma reta que chamamos Reta Real, veja a
figura abaixo. Nela podemos representar todo e qualquer número real.
5. Exercícios propostos
1) Complete com  ou 
a) N___7 b) Q___2
c) ___
2
1
d) Q___
4
9
e) Q___....16666,0 f) R___64
g) Q___232,3 h) Z___273

2) Determine, por extensão, os seguintes conjuntos:
a)  41/  xNx
b)  33/  xZx
c)  50/  xZx
d)  3/  xNx
e)  40/  xZx
3) Encontre as frações geratrizes para cada uma das dízimas abaixo.
a) ...4333,2
b) ...144,0
c) ...31,5343434
d) ..0,2919191.
e) ...4676767,3

Matemática
4) Seja
b
a
a fração geratriz da dízima ...363636,1 . Qual a dízima periódica equivalente à fração
a
b
?
6. Subconjuntos
Dados dois conjuntos A e B , dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento
de A é também elemento de B . Para indicar este fato, usa-se a notação2
BA 
Quando BA  , diz-se também que A é parte de B , que A está incluído em B , ou
contido em B . A relação BA  chama-se relação de inclusão.
A relação de inclusão BA  é
Reflexiva - BA  , seja qual for o conjunto A;
Anti-simétrica – se BA  e AB  , então BA  ;
Transitiva – se BA  e CB  , então CA  .
7. Operações entre conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto, designado por BA , formado por todos os
elementos que pertencem a A ou B . Em outras palavras:
 BxAxxBA  ou/
Exemplo 4. Sejam os conjuntos {1,2,3,5}=A e {3,4,5,7}=B , então ,7}{1,2,3,4,5=BA  .
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto designado por BA , formado pelos
elementos comuns a A e B . Assim, afirmar que BAx  significa dizer que se tem, ao mesmo
tempo, Ax e Bx . Em outras palavras:
 BxAxxBA  e/
Exemplo 5. Sejam os conjuntos {1,2,3}=A e }{2,3,4,5,6=B então {2,3}=BA  .
Quando a interseção entre os conjuntos A e B é um conjunto vazio, ou seja,   BA ,
A e B é chamado de conjuntos disjuntos.
Exemplo 6. Sejam os conjuntos {1,2,3}=A e {4,5,6}=B então {}=BA  .
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto BA , formado pelos elementos de A
que não pertencem a B . Em outras palavras:
 BxAxxBA  e/
2
Curso de Análise – Elon Lages Lima

Exemplo 7. Sejam os conjuntos }{1,2,3,6,7=A e }{2,3,4,5,6=B então {1,7}=BA  .
Quando se tem AB  , a diferença BA chama-se complementar de B em relação à A
, e escreve-se:
BCBA A
Exemplo 8. Sejam os conjuntos ,9}{1,2,3,5,7=A e {3,5,9}=B então  9,2,1 BCBA A .
8. Número de elementos de um conjunto
Se A é um conjunto finito, designamos por )(An o número de elementos de A . Por
exemplo, se  5,1,0A , então 3)( An .
Para determinar o número de elementos da reunião de dois conjuntos A e B dividimos o
problema em dois casos:
1º caso: Os conjuntos A e B são disjuntos. Neste caso, é claro que:
)()()( BnAnAUBn 
2º caso: Os conjuntos A e B não são disjuntos. Neste caso, quando somamos )(An com )(Bn
contamos os elementos de BA duas vezes. Portanto:
)()()()( BAnBnAnAUBn 
3º caso: Os conjuntos A , B e C não são disjuntos. Neste caso, quando somamos )(An , )(Bn e
)(Cn temos:
)()()()()()()()( CBACBnCAnBAnCnBnAnCAUBn 
Exercícios propostos
5) Sejam  4,3,2,1A e  7,5,3,2B . Determine:
a) BA
b) BA
c) BA
d) AB 
6) Sejam  5,3,2,1,0A e  4,3,2,1B . Determine:
a) )( BAn 
b) )( BAn 
c) )( BAn 
d) )( ABn 
7) Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas,
constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não
consomem nem A nem B. Pergunta-se: quantas pessoas dessa população consomem tanto o
produto A quanto o produto B?

Matemática
8) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte
(E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses
programas.
Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x
9. Intervalos
Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados
dois números reais a e b , com ba  , temos:
1 - Intervalo aberto:    bxaRxba  /,
2 - Intervalo fechado:    bxaRxba  /,
3 - Intervalo semi-aberto à direita:  bxaRxba  /],(
4 - Intervalo semi-aberto à esquerda:  bxaRxba  /),[
5 - Intervalos infinitos
}/{),( axRxa 
}/{),[ axRxa 
}/{),( axRxa 
}/{],( axRxa 
Observação: R ),(
Exercícios propostos
9) Se  52/  xRxA e  83/  xRxB , determine BA BA e BA .
10) Se  02/  xRxA e  32/  xRxB , determine BA BA e BA .
11) Determine BA BA e BA quando:
a)  30/  xRxA e  51/  xRxB
b)  14/  xRxA e  32/  xRxB
c)  22/  xRxA e  0/  xRxB
12) Determine em termos de desigualdades os seguintes intervalos:
a)  5,10
b)  6,3
c)  9,0
d)  8,4
e)   ,5

_____ Capítulo 2
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
"No que diz respeito ao desempenho, ao compromisso, ao
esforço, à dedicação, não existe meio termo. Ou você faz uma
coisa bem-feita ou não faz."
Ayrton Senna
1. Introdução
Nesse capítulo, você estudará as expressões numéricas, conceitos básicos para resolver
equações, sistemas e funções.
2. Expressões numéricas
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as operações de multiplicação e
divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em
expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ], colchetes e { }, chaves, efetuam-
se as operações eliminando-se, na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais
interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da reunião eliminado estiver o sinal
negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos.
Exemplo:
a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2 ] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
3. Decomposição de um número em um produto de fatores primos
A decomposição de um número em um produto de fatores primos é feita por meio do
dispositivo prático que será mostrado nos exemplos a seguir.
Exemplos:
Observação: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e pelo número 1.
30
5
3
2
1
5
15
30
30 = 2 * 3 * 5
21
7
3
1
7
21
21 = 3 * 7

Matemática
4. Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c)
Um número inteiro é mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre dois ou mais números inteiros
se, e somente se, ele for o menor número positivo obtido na interseção dos conjuntos do múltiplos
desses números. Assim por exemplo para obter o m.m.c entre os números 36 e 24, podemos
determinar os múltiplos deles.
 (36) 0, 36, 72, 108,...m    
 (24) 0, 24, 48, 72, 96,...m     
Assim, temos que:
m.m.c (36,24)=72.
Outro método de obter o m.m.c é através da multiplicação de fatores primos com maiores
expoentes. Veja o exemplo abaixo:
Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45
212 12 45
206 08 45
203 04 45
203 02 45
2
303 01 45
301 01 15
501 01 05
01 01 01 720
4 2
.3 .5 720
O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720
a) m.m.c. (4; 3) = 12
b) m.m.c. (3; 5; 8) = 120
c) m.m.c. (8; 4) = 8
d) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60
5. Máximo Divisor Comum (m.d.c)
Um número inteiro é um máximo divisor comum dentre dois ou mais números inteiros se, e
somente se, ele for o maior número obtido da interseção dos conjuntos dos divisores desses
números. Assim, por exemplo, para obter a máximo divisor comum entre 36 e 24, podemos
determinar os divisores deles.
 (36) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36d          
 (24) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24d         
Assim, temos que:
m.d.c(24,36)=máximo  (36) (24)d d =12
m.d.c(24,36)=12

Um segundo modo de se obter o m.d.c é multiplicando-se os fatores primos comum com os
menores expoentes.
2 2
3 1
2 1
36 2 .3
24 2 .3
(36,24) 2 .3 12mdc


 
6. Frações ordinárias
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o
denominador.
“As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um inteiro, e ao dividir formam as
frações”
2
1
=0,5
4
3
=0,75 4
1
=0,25
8
1
=0,125
8
7
= 0,875
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador:
2
1
,
5
3
,
210
120
, etc.
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível
representá-la por um número misto e reciprocamente.
Exemplos:
a)
7
10
= 1
7
3
pois
7
10
possui resto 3
b)
5
28
= 5
5
3
pois
5
28
possui resto 3
c)
3
11
= 3
3
2
d) 2
3
1
=
3
7
e) -1
4
1
= -
4
5

Matemática
7. Propriedades de Frações
P1: Multiplicação por um número real
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um número diferente de zero obtém-se
uma fração equivalente à inicial.
Exemplos:
a)
4
2
2*2
2*1
2
1

b)
20
15
5*4
5*3
4
3

c)
3
2
10:30
10:20
30
20

d)
2
1
-
4:8
4:4
-
8
4
- 
P2: Soma algébrica de frações
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se algebricamente os numeradores.
Observação: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
a)
6
5
6
23
6
2
6
3
3
1
2
1



b)
3
2
6
4
6
4-53
6
4
-
6
5
6
3
3
2
-
6
5
2
1



c)
3
1
1-
3
4
-
12
16
-
12
24-169-1
12
24
-
12
16
12
9
-
12
1
2-
3
4
4
3
-
12
1



d)
12
5
-
12
48-1528
12
48
-
12
15
12
28
4-
4
5
3
7
4-
4
1
1
3
1
2 


P3: Multiplicação de frações
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se faz com os denominadores.
Exemplos:
a)
10
3
5
3
*
2
1

b)
8
1
-
2
1
*
4
1







c)
15
2
5
2
*
3
1













d)  
14
3
-
7
2
*
4
1
*3 












P4: Divisão de frações
Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora.
Exemplos:
a)
2
1
1
2
3
1
3
*
2
1
3
1
2
1


b)
 
3
1
1-
3
4
-
1
2
*
3
2
-
2
1
3
2








c)
6
1
3
1
*
2
1
3
2
1

d)
2
1
7
2
15
2
3
*
1
5
3
2
5

e)
    27
25
1-
27
52
-
9
4
*
3
13
4
9
3
13
4
12
3
14










Exercícios de fixação
1) Transforme em número misto:
a)
2
3
=
b)
5
12
=
c)
3
100
=
2) Transforme em fração ordinária:
a)
5
1
1 =
b)
4
3
2 =
c)
10
1
10 =
3) Comparar as frações (sugestão: reduzi-las ao menor denominador e comparar os
numeradores).
OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
a > b lê-se “a é maior do que b”
a)
2
1
,
3
2
b)
3
2
,
6
5
c)
7
4
,
8
3
4) Resolva as operações com frações
a) 
10
1
5
1
b) 
3
4
-
3
2

Matemática
c) 
6
1
3
1
-
2
1
d)  5-
2
1
3
3
2
2
e) 
5
2
*
3
1
f) 
5
2
*
3
1
*
7
3
g) 











5
2
-*
6
1
-
h) 





3
1
1-*
5
1
2
i) 
2
1
3
1
j) 





5
1
-:
3
2
k) 
4
1
*
3
2
:
2
1
l) 
5
1
1:
5
2
2
m) 






2
1
:
4
2
3
1
n) 

3
3
11
o) 


2
1
2
2
11
1
p) 

3
13:
4
12
5
21*
7
51
-
4
31-
8
52
4
11
8
13

8. Potências
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n fatores iguais a A.




grau.seuodeterminaquepotência,daexpoenteoén
potência;dabaseaéA
...*A*A*A*A*AA
vezesn
n
  
Assim:
2³ = 2 * 2 * 2 = 8  2³ = 8
(- 1)4
= (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1  (- 1)4
= 1
CASOS PARTICULARES:
a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base:
A1
= A; 21
= 2
b) Toda potência de 1 é igual a 1:
1² = 1; 1³ = 1
c) Toda potência de 0 é igual a 0:
0² = 0; 0³ = 0
d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4
= 16; 24
= 16; (- 3)² = 9; 3² = 9
e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
25
= 32 ; (- 2)5
= - 32
9. Propriedades de Potências
P1: Multiplicação de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
.m n m n
b b b 

Exemplo:
5² * 57
= 59
= 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125
P2: Divisão de potências de mesma base
Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.
m
m n
n
b
b
b


Exemplo: 37
: 33
= 34
= 3 * 3 * 3 * 3 = 81
P3: Potência de uma potência
Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
.
( )n m n m
b b
Exemplo: 3 2 6
(5 ) 5
Observação:
2
3 2 3
(5 ) 5
De modo geral temos que: ( )
m
n m n
b b

Matemática
P4: Potência de um produto
Elevam-se cada fator desse produto ao mesmo expoente.
( . ) .m m m
ab a b
Exemplo: 2 2 2
(5.3) 5 .3
P5: Potência de um quociente
Elevam-se o numerador e o denominador ao mesmo expoente. Para n inteiro e 0b  , tem-se:
n n
n
a a
b b
 
 
 
Exemplo:
2 2
2
5 5
3 3
 
 
 
Observação: Expoente nulo
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual a unidade.
Realmente: 1a
1a:a
aaa:a 0
44
04-444







Exemplo: (- 5)0
= 1
P6: Expoente negativo
Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo é igual a uma fração cujo
numerador é a unidade e cujo denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo
expoente com o sinal positivo.
1n
n
b
b


Exemplo:
25
1
5*5
1
5
1
5
2
2

P7: Potências de 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as
unidades do expoente.
Exemplos:
a)10² = 100
b)107
= 10 000 000
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10²
d)4000 = 4 * 10³
e)300 000 = 3 * 105
f) 3 * 108
= 300 000 000
P8: Números decimais
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um fator é o número escrito como inteiro,
e outro é uma potência de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas
são as ordens decimais.
Realmente: 4-
4
10*25
10
25
00010
25
0025,0 

Exemplos:
a)0,001 = 10-3
b)0,002 = 2 * 10-3
c) 0,00008 = 8 * 10-5
d)1,255 = 1255 * 10-3
e)2 * 10-3
= 0,002
1) Resolva as potências abaixo
a) (- 4)³ =
b)(- 2)4
=
c) (- 4)4
=
d)2³ * 25
=
e)3² * 3 * 35
=
f) 35
: 34
=
g)34
: 3² * 35
=
h)24
* 54
=
i) (- 35
) * (- 55
) =
j) 153
: 33
=
k) (- 46
) : 26
=
l) (3³)2
=
m) (2³)5
=
n)3³2
=
o)[ (3³)² ]² =
p)(2 * 3)³ =
q)(3² * 5 * 2)4
=
r)
5
3
5






=
s)
3
4
3
2






=
t)
2
3
32
5
3*2








=
u)2 * 3-1
=
v)
4
3
2

=
w) (2-3
* 5-2
)-4
=
x) 2x + 1
* 4x
=
y) 32x
* 24x
=
z) 54x
: 252x
=
2) Exprimir, utilizando potências de 10:
a) 20 000 =
b) 4 800 000 =
c) 0,01 =
d) 0,000045 =
3) Efetuar, utilizando potência de 10:

Matemática
a)
80
00048*0002
=
b)
00002,0
0,000032*28
=
10. Radicais
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de a , ao número ou expressão que,
elevado à potência n reproduz a .
Observação: Representa-se a raiz pelo símbolo
n - índice da raiz
a - radicando
- radical
n
a





Assim:
a) 416  porque 4² = 16
b) 283  porque 2³ = 8
c) 3814  porque 34
= 81
P1: Extrair do radical
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o expoente do radicando pelo índice
do radical.
Exemplos:
a) 323*212 2

b) 5653*253*2180 22

c) 424 48
25*32*5*3 
d) 24:84 8
333 
Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice
do radical. Assim:
3 33 2*323 
P2: Adição e subtração de radicais semelhantes
Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes. Na adição e subtração de
radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical.
Exemplos:
a) 22-210-28210-2523 
b) 3333333 2326-292-25-2623 

P3: Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto (quociente) o índice comum.
Exemplo:
a) 63*23*2 
b) 3
2
6
2
6

c) 302*5*32*5*3 
d) 4
4
4
4
44
2
15
2
15
2
3*5

P4: Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.
Exemplo:
a)   44 334 2733 
b)   5 245 22
2
5 2
3*23*23*2 





P5: Radiciação de radicais
Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
Exemplos:
a) 42*2 333 
b) 243 4 33 
P6: Expoente fracionário
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida numa raiz, cujo radicando é a base, o
índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
m
n m n
a a
Exemplos:
a)
q pq
p
aa 
b) aa 2
1

c) 33 23
2
422 
d) 4
34 3
66 
P7: Racionalização de denominadores
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o
numerador e o denominador da fração.
Exemplo:
a)
2
2
4
2
2*2
2*1
2
1

b)
6
3
3*2
3
92
3
3*32
3*1
32
1


Matemática
c)
3
6
9
6
3*3
3*2
3
2

d)
15
12
30
122
6*5
122
365
122
6*65
6*22
65
22

2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois termos em que um deles, ou ambos,
são radicais do 2º grau. Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão
conjugada do denominador.
Observação: A expressão conjugada de a + b é a – b.
Na racionalização aparecerá no denominador um produto do tipo:
(a + b) * (a – b) = a² - b²
Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
Exemplos:
a)
 
        3
2-5
2-5
2-5
2-5
2-5
2-5*25
2-5*1
25
1
22




b)  
   
 
 
     3-2*5
1
3-2*5
3-4
3-2*5
3-2
3-2*5
3-2*32
3-2*5
32
5
22




1) Efetue as operações abaixo:
a)  51052-5
b)  8-2332
c)  729-333 4
d) 6*3
e)    4-*2- 33
f) 
2
8
4
4
g)   2
63
h) 




 3*2
2
3 2
i) 33 3
j) 23
k) 223
l) 2223 3 3
2) Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
a) 4
3
2 =
b) 2
1
2

=

c)
2
1
2
1
2 





=
d)   6
1
3*2 =
3) Racionalizar o denominador das frações seguintes:
a)
5
1
=
b)
7
3
=
c)
22
3
=
d)
2-5
2
=
e)
11-4
5
=
4) Simplifique:
a)
2
8-50
=
b) 2352 =
c)
12
1
-
2-1
1

=
11. Operações algébricas
Expressões algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
Exemplos:
a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b
Observação: No exemplo “c”, onde não aparece indicação de soma ou de diferença, temos um
monômio em que 7 é o coeficiente numérico e a²b é a parte literal.
Operações com expressões algébricas
1) Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes (monômios que possuem a mesma
parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos semelhantes) repete-se
a parte literal e opera-se com os coeficientes.
Exemplo:
3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²

Matemática
2) Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator e reproduzem-sos
termos semelhantes.
Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y²
3) Divisão
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente numérico do dividendo pelo 1º coeficiente
do divisor, e a parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as regras para divisão de
potências de mesma base.
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se cada termo do dividendo pelo monômio
divisor.
Exemplo:
(42a³bx4
) : (7ax²) = 6a²bx²
4) Produtos notáveis
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância, devem ser conhecidos desde logo.
Vejamos alguns deles:
a) Quadrado da soma de dois termos:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto
do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²
b) Quadrado da diferença de dois termos:
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
c) Produto da soma de dois termos por sua diferença:
“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao quadrado do primeiro menos o
quadrado do segundo.”
Exemplo:
(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2
5) Fatoração
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto indicado. Fator comum dos termos
de um polinômio é o monômio cujo coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos
coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é formada pelas letras comuns com os
menores expoentes.
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito como o produto de dois fatores: o 1º
é o fator comum e o 2º é obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b) * (a – b) = a - b

Exemplos:
a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
 a²4ax²2x2ax
2ax
x³a2
2ax
³x²a8
2ax
²ax4
2axx³a2³x²a8²ax4 






b) Fatorar: 5x²y + x4
y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4
y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)
1) Efetuar:
a) 2222
4b-3ab5a-4b7ab-a3  =
b)    223322
3xyy8x-2y-3yy7x-xy3  =
c)      xy*y8x-*xy7 22
=
d)    b-a*cba  =
e)    y-x*xy3x-x 223
 =
f)   2x:2x-2x4x-x6 2452
 =
g)   abc:abccb3abc2a 2332
 =
h)    22
3-3x2x  =
i)  22
8axy3  =
j)    3cab5*3cab5  =
2) Fatores as expressões seguintes usando a fatoração por agrupamento
a) 2
2 4 3 6x x xy y  
b) 2
a a ab b  
c) 2
x xy x y  
d) 3 7 21ab b a  
3) Simplifique as expressões algébricas
a)
2
6 9
15
x x
x

b)
2
2
25
10 25
x
x x

 
c)
3 2
2 2
20
35
x yz
xy z
d)
2 2
2
2
3 3
x xy y
x xy x y
 
  
e) 3
6
36
x
x x


4) Simplifique as expressões a seguir.
a)
4
162


x
x

Matemática
b)
5
25102


x
xx
5) Efetue as operações com expressões algébricas, reduzindo os resultados à forma mais
simples:
a) 2
(3 2 9) (3 1)( 4)x x x x    
b)
4 6 2
( 1)
2
a b
a a b
 
  
c) 2 2 2
( 4) 2( 3) ( 5)x x x    
d) ( 6)( 2) ( 4)( 4)x x x x    
e)
6( 1)( 2)
(2 5) 2( 1)
x x
x x
 
  
6) Desenvolva:
a) 2
( 5)a 
b)
2
1
3
y
 
 
 
c)
2
1
5
2
y
 
 
 
d) 2
(4 7)x 

__________ ______________ Capítulo 3
NÚMEROS E GRANDEZAS PORPORCIONAIS
A imaginação é mais importante que a ciência, porque a ciência é
limitada, ao passo que a imaginação abrange o mundo inteiro.
Albert Einstein
1. Introdução
Neste capítulo, você analisará as questões relacionadas com Números e Grandezas
Proporcionais, bem como razão e proporção. Serão mostradas as definições técnicas deste tema,
e realizados exemplos e aplicação de propriedades sobre Números e Grandezas Proporcionais.
2. Números e Grandezas Proporcionais
Grandeza é todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a
variação de um, como conseqüência o outro varia também.
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo:
quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com
grandezas que estão relacionadas entre si.
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor
dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo
depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída
o que se deseja concluir.
A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada,
pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.
3. Grandeza Diretamente Proporcional
É definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente
proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma
proporção, mesma direção e sentido.
Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela
pagará “02 y”.
Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar
20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.
4. Grandeza Inversamente Proporcional
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica
necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção
contrários.
Exemplo: Velocidade e tempo.

Matemática
Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos.
Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os
mesmos 10 metros.
5. Razão e proporção
A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre
diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.
Exemplo:
a razão de 9 para 12 =
9
12
5
10
6
18
Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º
número é conseqüente.
Então: cinco está para dez, sendo 5 o antecedente e 10 o conseqüente.
seis está para dezoito, sendo 6 o antecedente e 18 o conseqüente.
PROPORÇÃO é a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.
a c
b d
 , Lê-se: „a” está para “b”, assim como “c” está para “d”.
Exemplo:
2 4
5 3

Obs.: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º
termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e
que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os
extremos.

6. Propriedades das proporções
P1: Propriedade Fundamental
Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.
2 4
2.10 4.5
5 10
  
P2: Composição
Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim
como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.
a c a b c d a b c d
b d a c b d
   
    
Aplicação:
A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses
números.
a = menor
b = maior
Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.
P3: Decomposição
Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o
segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.
a c a b c d a b c d
b d a c b d
   
    
Aplicação:
Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48.
a = maior
b = menor

Matemática
a – b = 48
Portanto,
Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36
P4: Soma dos termos
Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como
qualquer antecedente está para seu conseqüente.
a c a c a c
b d b d b d

   

Aplicação:
Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4
Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.
P5: Diferença dos termos
Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes,
assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.
a c a c a c
b d b d b d

   

P6: Multiplicação dos termos
Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes,
assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.
2 2
2 2
.
.
a c a c a c
b d b d b d
   
Aplicação:
A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar
essas medidas.
a = largura b = comprimento
a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10

a = largura = 10m, b= comprimento = 15m
1) Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e
responda:
Número de acertadores Prêmio
3 R$ 200.000,00
4 R$ 150.000,00
a) Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 para o prêmio de
R$150.000,00?
b) Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores?
c) O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?
2) Diga se é diretamente ou inversamente proporcional:
a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumir.
b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante.
c) Número de erros em uma prova e a nota obtida.
d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.
e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago.
3) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e
y.
4) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine
os números a, b e c.

Matemática
7. Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro
valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos
três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2
, uma lancha com motor movido a
energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para
1,5m2
, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2
) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras
correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Assim sendo, temos:
1,2 400
1,2 400.1,5
1,5
400.1,5
500
1,2
x
x
x
  
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso
em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de
480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são
contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Quando temos grandezas inversamente proporcionais, para sua resolução
invertemos uma das duas frações e resolvemos como se fosse diretamente proporcional. Veja
abaixo:
480 3
400 x

3.400
2,5
480
x  
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
8. Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3
de areia. Em 5 horas, quantos caminhões
serão necessários para descarregar 125m3
?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em
cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o “x”.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões.
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
Devemos igualar a razão que contém o termo “x” com o produto das outras razões “TODAS”
relacionadas de forma diretamente proporcional.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
20 160 5
.
125 8x

Invertermos os termos.
Invertermos os termos.

Matemática
20.125.8
25
160.5
x  
Logo, serão necessários 25 caminhões.
1) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas
do mesmo tipo e preço?
2) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias.
Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o
mesmo trabalho?
3) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos
serão montados por 4 homens em 16 dias?
4) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros
e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
5) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para
encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
6) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for
aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
Resposta: 35 dias.
7) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um
muro de 225m? Resposta: 15 dias.
8) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade
média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias,
a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
9) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura
em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam
produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Exercícios Complementares
1 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes.
Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
2 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma
substância ?
3 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias
para escavar esse túnel em um dia e meio ?
4 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e
meia ?
5 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para
obter 385 bombons ?
6 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas,
mantendo a mesma velocidade média ?
7 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina
gastará para percorrer 120 km ?
8 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher
um reservatório de 4m3 de volume?
9 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova
foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
10 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça
14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
11 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A
piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água
da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
12 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A
quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?
13 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante,
um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
14 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a
altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
15 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a
massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine
a área da peça quadrada ).
16 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados
180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho
estará terminado?

Matemática
17 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro.
Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído
o restante do muro?
18 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço
diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de
calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
19 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8
datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
20– Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários
levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de
altura e 25 m de comprimento ?
21 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer
certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto
tempo ele faria o mesmo percurso?
22 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por
vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir
e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
23 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts.
Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas
por dia?
24 – Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas
máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
25 – Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão
serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
26 – Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80
metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90
metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
27 – Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas
dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão
retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
28 – Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com
velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas
mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h
?
29 – Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas
famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
30– Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares
de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

9. Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
 A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal: Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos:
 Calcular 10% de 300.
 Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

Matemática
Exercícios Resolvidos
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols
8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa
percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
10. Fator de multiplicação
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo
valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for
de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto Fator de Multiplicação
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

11. Ponto percentual
Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença
entre quaisquer pares de porcentagens.
Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se
dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve
redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12%
menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%.
O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso
exemplo, é correto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros.
1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o
valor pago em reais?
2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% sobre o
seu preço. Quanto ele passou a custar?
3. Uma impressora a laser custou R$ 18800,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela
apresentou um lucro de R$ 120,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de compra?
4. Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certo
período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o
preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor
(preço de tabela)?
5. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa
percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.
6. Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a
custar?
7. Certa mercadoria, que custava R$24,00, passou a custar R$30,00. Calcule a taxa percentual do
aumento.
8. Qual o preço de uma mercadoria que custa R$50,00 após dois aumentos sucessivos de 25% e
20%, respectivamente?
9. Qual o preço da mercadoria que custa R$100,00 após dois descontos sucessivos, de 30% e de
20%.
10. Um comerciante aumenta o preço original P de certa mercadoria em 80%. Em seguida
anuncia essa mercadoria com desconto de 20%, resultando um preço final de R$ 72,00. Calcule o
valor do preço original P.

Matemática
_______ Capítulo 4
EQUAÇÕES E SISTEMAS
O maior desafio para qualquer pensador é enunciar o
problema de tal modo que possa permitir uma solução.
Bertrand Russell
1. Introdução
Nesse capítulo, você analisará as equações de 1º e 2º grau suas soluções. Estudará também os
sistemas lineares de duas variáveis, entendendo os métodos e resolução e suas aplicações.
2. Equações de 1º grau
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras (que
se denominam incógnitas).
Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um problema; aquilo que é
desconhecido e se procura saber; enigma; mistério.
Exemplo:
a) 
membro2ºmembro1º
52-x  só é verdade para x = 7
b) 3 7x y  só é verdade para alguns valores de x e y, como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e
y = 4.
Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-se raízes
da equação.
Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior expoente dessa incógnita for 1 então a
equação é dita equação do 1º grau a uma incógnita.
1) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma equação do 1º grau a uma
incógnita, consegue-se resolve-la isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se
para o 2º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação
inversa (as operações inversas são: adição e subtração; multiplicação e divisão;
potenciação e radiciação).
Exemplos:
a) x + 2 = 7  x + 2 – 2 = 7 – 2  x = 5
b) x – 3 = 0  x – 3 + 3 = 0 + 3  x = 3
c) 4x
2
8
2
2x
8x2 
d) 15x5*3
3
x*3
5
3
x


Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição ou subtração, o primeiro passo
será eliminar os denominadores, o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra:
Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:
5
6-4x
3
13x
-
2
2-3x


1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver:
m.m.c. (2; 3; 5) = 30
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6)
2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as multiplicações indicadas:
45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36
3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o 1º membro, e os
independentes (os que não contém a incógnita) para o 2º, efetuando as operações necessárias:
45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4
5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está sendo multiplicado, desta maneira
isola-se a incógnita:
9-
4
9
x9



6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração passa a ser negativa também:
9
4
-x 
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores numéricos
devem ser iguais
3. Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas
A forma genérica de um sistema é:





pnymx
cbyax
onde a, b, c, m, n, p   (Reais)
1) Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas incógnitas admite infinitas soluções. Por
exemplo, a equação 2x – y = 4 é verificada para um número ilimitado de pares de valores de x e
y; entre estes pares estariam:
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc.
2) Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um sistema de suas equações a duas
incógnitas é determinar os valores de x e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações.
Por exemplo o sistema:










1y
3x
parasoluçãotem
3y3x2
16yx5
Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às duas igualdades. (Verifique!)
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c. encontrado por cada um dos
denominadores e multiplicam-se os resultados pelos respectivos numeradores.

Matemática
4. Método de solução para um sistema
M1. Substituição
1º) Seja o sistema:





2equação1y2x5
1equação8y3x2
2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo, o valor de x na equação 1:
3equação
2
y38
x
y38x2
8y3x2




3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
4equação1y2
2
3y-8
*5 





4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y:
 
2y
38y19
2y4y1540
2y4y38*5




5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está isolado) e determina-se x:
 
1x
2
68
x
2
2*38
x





6º) A solução do sistema é:
 1,2S 
M1. Comparação
1º) Seja o sistema:





7y2x5
33y3x7
2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:
7
y333
x

 e
5
y27
x


3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são iguais (x = x):
5
y27
7
3y-33 

4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
   
4y
16y29
y1449y15165
y27*7y333*5





5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está isolado e determina-se o valor
de x:
 
3x
7
21
7
1233
7
4*333
7
3y-33
x






6º) A solução do sistema é:
 3,4S 
M1. Adição
Este método consiste em somar, membro a membro, as duas equações com o objetivo de, nesta
operação, eliminar uma das incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma das
incógnitas serem simétricos.
Exemplos:
a)





2equação0yx
1equação4yx
Somando, membro a membro, vem:
2x4x2 
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica a critério do aluno), vem:
2y4y2 
b)











62y-10x
72y3x
(2)*3yx5
7y2x3
Somando, membro a membro, vem:
1x13x13 
Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a critério do aluno), vem:
2y42y72y372y1*3 
1) Resolver as seguintes equações:
a) 8x4 
b) 10x5 
c) 8x7 
d) 7x23 
e) 12x4x416 
f) x527x13x78 
g)
4
3
3
x2

h)
10
x3
4
1

i)   3x45x42x9 
j)     5x410x27*5x2*3 
k) 1
4
36x5
2
x12
3
2x






l)
6
x59
2
31
2
x
3
x43
8
3x5 





Matemática
2) Resolver os seguintes sistemas de equações:
a)





24yx3
12yx
b)





1y2x7
19y6x5
c)





2y4x3
12y5x
d)











2
2
3y
3
1x2
2
5
y
4
x
5. Equações do 2º grau
Uma equação do 2º grau na incógnita x , é toda igualdade do tipo:
Onde , ,a b c são números reais e 0a  .
A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à incógnita x apresentar o maior expoente
igual a 2.
Se tivermos b  0 e c  0 teremos uma equação completa.
Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
Resolvendo Equações de 2º Grau
Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é bastante simples, veja:
1º caso: b = 0 e c = 0; temos então: 2
0ax 
Exemplo:
3 x² = 0  x² = 0  x = 0  S = {0}
2
0ax bx c  

2º caso: c = 0 e b  0; temos então: 2
0ax bx 
Exemplo:
3 x² - 12 x = 0  x . (3 x – 12) = 0  x = 0 ou 3 x – 12 = 0  3 x = 12  x = 4  S = {0; 4}
3º caso: b = 0 e c  0; temos então: 2
0ax c 
Exemplo:
x² - 4 = 0  x² = 4  x = 4  x‟ = 2 e x‟‟ = -2   S = {-2; 2}
A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula resolutiva do 2º
grau:
2
b
x
a
  

Onde: 2
4b ac  
 > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes
 = 0 têm-se duas raízes reais e iguais
 < 0 têm-se duas raízes imaginárias
1) Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
a) 06x7x2

b) 028x3x2

c) 02x5x3 2

d) 03x16x16 2

e) 016x4 2

f) 018x2 2

g) x5x3 2

h) 0x8x2 2

i)    22
3x43x2 
2) Prever a natureza das raízes das equações:
a) 01x3x2 2

b) 03xx2

c) 02x4x2 2


Matemática
6. Equações irracionais
Definição: Uma equação é denominada irracional quando apresenta incógnita sob radical ou
incógnita com expoente fracionário.
Resolução de uma equação irracional
Durante o processo de solução de uma equação irracional com índice do radical igual a 2 (ou
outro qualquer) é necessário elevar ao quadrado (ou em caso de expoente diferente de 2, eleva-
se ao que se fizer necessário) ambos os membros da equação e esta operação pode provocar o
aparecimento de raízes estranhas, isto é, valores que realmente não verificam a equação original.
Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser verificada na equação original e verificando a
igualdade.
Exemplos:
a) Determinar as raízes da equação: 045x 
Isola-se o radical em um dos membros:
45x 
Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para eliminar a raiz:
  22
45x 
165x 
Determina-se x e verifica-se na equação original.
21x 
b) Determinar as raízes da equação: x24x 
Isolando o radical no 1º membro:
2x4x 
Elevando-se ambos os membros ao quadrado:
   
0x3x
4x4x4x
2x4x
2
2
22



As raízes da equação do 2º grau são:
 
-3x0x
03xe03xx
21 

Verificando as raízes na equação irracional:
Para x1=0
00
022
0240
x24x




Para x2=-3
31
321
3243



Observe que apenas x=0 verifica a igualdade, assim a raiz da equação original é 0.

Resolva as equações abaixo
a) 04x 
b) 02x 
c) 021x 
d) 15x2x 
e) x247x2 
f) 9x24x1x 
g) 12x2x 
h) 3x9x 2

7. Inequações do 1º grau
Símbolos de desigualdades
São símbolos que permitem uma comparação entre duas grandezas.
Exemplos:
a) 7 > 5 (7 é maior do que 5).
b) 3 < 6 (3 é menor do que 6).
c) x  1 (x é menor ou igual a 1).
d) y 4 (y é maior ou igual a 4).
e) 1 < x  4 (x é maior do que 1 e menor ou igual a 4).
Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em que a incógnita é de 1º grau.
Exemplo:
2x > 4
A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x. Observa-se que o 1º membro será
maior do que o 2º membro quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:
x > 2
x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da inequação. Para determinar-se o
conjunto-solução de uma inequação do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à solução de
uma equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar ou dividir a inequação por um número
negativo, inverte-se o sinal da desigualdade.
Exemplos:
a)
2x
2x
42x
2x4




a > b (a é maior do que b)
a < b (a é menor do que b)
a b (a é maior ou igual a b)
a b (a é menor ou igual a b)

Matemática
b)
0x
0x2
11x2
11x2




1) Resolver as seguintes inequações:
a) 11x2 
b) 2xx3 
c) 16x5x 
d)   x75x31x2 
e) 1
5
x4
2
1
x
5
2

f)
3
2
x7
3
x7

g) 4
7
x2
9
4
x3


Capítulo 5
FUNÇÕES
Para Tales...a questão primordial não era o que sabemos, mas como
sabemos.
Aristóteles
1. Introdução
Nesse capítulo, você notará como muitas situações práticas nas áreas de administração,
economia e ciências contábeis podem ser representadas por funções matemáticas. Nas análises
iniciais dessas funções, serão ressaltados conceitos como conceito de função, valor de uma
função, domínio de uma função, operações com funções e representação gráfica, sempre
associada a aplicações nas áreas administrativas, econômica e contábil.
O conceito de função é verdadeiramente fundamental em matemática. No linguajar do
dia-a-dia dizemos “o comportamento do mercado de ações é uma função da confiança do
consumidor” ou “a pressão arterial do paciente é uma função dos medicamentos que lhe foram
prescritos”. Em cada caso, a palavra função expressa a idéia de que o conhecimento de um fato
nos informa de outro fato. Em matemática, as funções mais importantes são tais que, conhecendo
um número, obtemos outro número.
A parte da Matemática moderna gira em torno dos conceitos de função, limite, cálculo
diferencial e integral, e ocupa lugar de destaque em vários eixos temáticos dela, bem como em
outras áreas de conhecimento.
2. Conceito de função
Referência Histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e
matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e
Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a
idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo )(xf para representar
uma função de x . Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.
Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua empresa está relacionado com o
nível de produção; um biólogo gostaria de saber como o tamanho da uma população de certa
cultura de bactérias mudará ao longo do tempo; um psicólogo gostaria de conhecer a relação
entre o tempo de aprendizado de um indivíduo e o tamanho do seu vocabulário; e u químico
gostaria de saber como a velocidade inicial de uma reação química está relacionada à quantidade
de substrato utilizada. Em cada uma dessas situações estamos preocupados com a mesma
questão; como uma quantidade depende da outra? A relação entre duas quantidades é
convenientemente descrita em matemática pelo uso do conceito de função.
Definição: Uma função BAf : consta de três partes: um conjunto A , chamado de
domínio da função (ou conjunto onde a função é definida), um conjunto B , chamado de
contradomínio da função, ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra que permite
associar, de modo bem determinado, a cada elemento Ax , um único elemento Bxfy  )( ,
chamado o valor que a função assume em x .
Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de
um conjunto B.

Matemática
Exemplo 1 - Um exemplo de função é dado pela conhecida relação entre a área de um círculo e
seu raio. Denotando por x e y o raio e a área de um círculo, respectivamente, sabemos da
geometria elementar que:
2
xy 
Essa equação define y como uma função de x , já que a cada valor admissível de x (isto é, a
cada número não-negativo representando o raio de certo círculo) corresponde precisamente a um
número 2
xy  que fornece a área do círculo. A regra definindo está “função área” pode ser
escrita como:
2
)( xxf 
Para calcular a área de um círculo de raio cm5 , simplesmente substituímos x na função acima
pelo número 5. Assim, a área do círculo é dada por:
22
255)5( cmf  
De modo geral, para calcularmos uma função num valor específico de x , substituímos x por tal
valor.
Exemplo 2 - Considere a função f definida pela regra 12)( 2
 xxxf . Calcule:
a) )1(f
21121)1()1(2)1( 2
f
b) )( haf 
12421)2(21)()(2)( 22222
 hahahahahahahahahaf
3. Determinando o domínio de uma função
Suponhamos que nos é dada a função )(xfy  . Então a variável x é chamada de
variável independente. A variável y , cujo valor depende de x , é chamada de variável
dependente.
Para determinarmos o domínio de uma função, precisamos encontrar quais restrições
devem ser colocadas sobre a variável independente x , caso existam.
Em geral, se uma função é definida por uma regra relacionando x a )(xf sem menção
explícita de seu domínio, entende-se que o domínio consistirá em todos os valores de x para os
quais )(xf é um número real. Como relação a isso, você deve ter em mente que (1) divisão por
zero não é permitida e (2) a raiz quadrada (ou de ordem par) de um número negativo não está
definida.
Exemplo 3 – Determine o domínio de cada uma das funções abaixo.
a) 1)(  xxf
Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida no conjunto dos números reais,
temos a restrição de que 01x , resolvendo a desigualdade encontramos 1x . Logo, o
domínio de f é o intervalo  ,1 , ou ainda,  1/  xRxD .

b)
4
1
)( 2


x
xf
A única restrição em x é que 42
x seja diferente de zero, uma vez que a divisão por zero não é
permitida. Dessa forma temos que:
042
x 42
x
4x 2x
Logo, domínio de f , nesse caso, consiste em todos os números reais diferentes de 2 e 2 , ou
seja,  2/  xRxD .
c) 3)( 2
 xxf
Nesse exemplo, qualquer número real satisfaz a equação, e, portanto o domínio de f é o conjunto
dos números reais, ou seja, RD 
4. Representação gráfica de uma função
Referência Histórica: Ao desenvolver o plano cartesiano, no início do século XVII, René
Descartes revolucionou a maneira de encarar a matemática. Anteriormente a Descartes, a
álgebra e a geometria constituíam ramos separados da matemática, com a pequena
superposição. Introduzindo as coordenadas na geometria, Descartes abriu aos matemáticos a
possibilidade de resolver problemas algebricamente e graficamente. Nos anos de 1980, a
introdução de instrumentos gráficos de fácil manejo, acarretou outra revolução na forma de
estudar matemática. Com esta nova tecnologia, podemos estabelecer a analisar modelos
matemáticos de forma muito mais simples do que anteriormente.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares (ângulo
reto) entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo Ox ) e o
eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo Oy ). Associando a cada um dos eixos o conjunto de
todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal. Cada ponto ),( baP  do plano
cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e
a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
O plano cartesiano

Matemática
5. Marcando os pontos no plano cartesiano
A beleza do sistema cartesiano reside no fato de permitir visualizar relações entre duas
variáveis. Para marcar os pontos no plano, procedemos da seguinte maneira:
Seja o ponto )4,3(P , o número 3 é a coordenada da abscissa, ou seja deve ser
marcada no eixo x , já o número 4 é a coordenada da ordenada e deve ser marcado no eixo y ;
imagine se você pudesse traçar uma reta perpendicular a cada um dos eixos nos pontos
marcados, teríamos a seguinte figura.
Marcação de pontos.
6. Gráficos de uma função
Se f é uma função com domínio A , então cada número real x de A está associado
precisamente um número real )(xf . Podemos também expressar este fato utilizando pares
ordenados de número reais. Desta forma obtemos um par ordenado ))(,( xfx para cada x em A .
Como pares ordenados de números reais correspondem a pontos no plano, encontramos assim
uma maneira de exibir uma função graficamente.
GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO DE UMA
VARIÁVEL
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos ),( yx n plano
cartesiano xy tal que x está no domínio de f e )(xfy 
A figura abaixo nos mostra o gráfico de uma função. Observe que o domínio de f é o conjunto
dos números reais do eixo x , enquanto a imagem f se encontra sobre o eixo y .
O gráfico de f

Representação gráfica de uma função
Vamos agora construir gráficos de funções determinadas por leis de formação )(xfy 
em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Para construir o gráfico de uma função
dada por )(xfy  , com Dx , no plano cartesiano, devemos:
 Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com valores
correspondentes para )(xfy  ;
 A cada par ordenado  yx, da tabela associar um ponto no plano cartesiano;
 Marcar um número suficiente de pontos, até que se tenha uma idéia do gráfico da função
(esboço do gráfico).
Exemplo 4 – Construa o gráfico da função dada por 12)(  xxf .
Inicialmente escolhemos alguns números aleatórios no domínio da função dada para colocarmos
na tabela. Como nesse caso temos como domínio o conjunto dos números reais, podemos
escolher qualquer um. Veja a tabela abaixo.
x 12)(  xxfy Pontos
-2 31)2(2)2( f )3,2( 
-1 11)1(2)1( f )1,1( 
0 11)0(2)0( f )1,0(
1 31)1(2)1( f )3,1(
2 51)2(2)2( f )5,2(
Agora, colocamos no plano cartesiano os pares ordenados encontrados na tabela acima. Desta
forma, temos um esboço do gráfico da função dada por 12)(  xxf .
Pontos no plano cartesiano
Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a
representação desses pontos?
Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma reta. Veja a figura 2.5.

Matemática
O gráfico de 12)(  xxf
Exemplo 5 – Construa o gráfico da função dada por 32)( 2
 xxxf
x 32)( 2
 xxxfy Pontos
-2 53)2(2)2()2( 2
f )5,2(
-1 03)1(2)1()1( 2
f )0,1(
0 33)0(2)0()0( 2
f )3,0( 
1 43)1(2)1()1( 2
f )4,1( 
2 33)2(2)2()2( 2
f )3,2( 
3 03)3(2)3()3( 2
f )0,3(
4 53)4(2)4()4( 2
f )5,3(
Pontos no plano cartesiano
Com base nos pontos plotados do gráfico acima que tipo de gráfico seria mais adequado para a
representação desses pontos?
Vemos que a melhor aproximação para esse conjunto de pontos é uma parábola.

O gráfico de 32)( 2
 xxxf
1) Seja f definida por
x
x
xf
1
)(

 .
a) Determine o domínio de f
b) Calcule )3(f
c) Calcule )( haf 
2) Calcule o domínio de cada uma das funções abaixo
a)
82
1
)(



x
x
xf b)
5
3
)(


x
xf
c)
9
310
)( 2



x
x
xf d) 4)(  xxf e) 410)( 2
 xxxf
3) Seja RRf *
: uma função definida por
x
xxf
2
)(  .
a) Calcule )3(f b) Calcule 





2
1
f c) Calcule  1Kf
4) Sejam as funções definidas por 32)(  xxf e axxg  3)( . Determine o valor de a
sabendo que 8)2()2(  gf .
5) Marque no plano cartesiano os pontos abaixo
a) )1,3( b) )5,5( c) )6,2( d) )4,0( e) )0,3(
6) O gráfico de uma função f é mostrado na figura abaixo. Com base nessa figura responda:
a) Qual o valor aproximado de )5(f ? E o valor de )1(f ?
b) Qual o domínio de f ?
c) Qual a imagem de f ?

Matemática
7) Seja f a função definida por 65)(  xxf . Calcule )3(f , )3(f , )( af  e )3( af .
8) Seja f a função definida por








1se,12
1se,3
2)(
2
2
xx
x
x
xf , calcule )1(f , )0(f , )1(f e )2(f .
9) Considere o gráfico da função f mostrado na figura a seguir:
a) Determine o valor de )0(f .
b) Determine os valores de x para os quais )(i 4)( xf e )(ii 0)( xf
c) Determine o domínio de f .
d) Determine a imagem de f .
10) Seja a função f definida pela regra 6)( 2
 xxxf .
a) Determine o domínio de f
b) Calcule )(xf para 3,2,1,
2
1
,0,1,2,3 x
c) Use os resultados obtidos em (a) e (b) para esboçar o gráfico de f .

Capítulo 6
FUNÇÃO LINEAR
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que
não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo
real.
Lobachevsky
1. Introdução
Nesse capítulo, você analisará as funções constantes, linear e suas aplicações estudando
conceitos como taxa de variação; função receita, custo, lucro, demanda, oferta e break-even point
(ponto de equilíbrio). Você estudará também diferentes maneiras de obter e interpretar
graficamente a função linear e a obtenção de uma equação linear que passa por dois pontos.
2. Modelos lineares
Analisaremos agora as funções lineares (1º grau); estas representam um dos tipos de
funções mais simples e de grande utilização.
Função Linear
No exemplo a seguir, a tabela traz o custo para a produção de camisetas.
Quantidade (q) 0 5 10 20 50 100
Custo (R$) 100 110 120 140 200 300
Notamos que, quando há um aumento de 5 unidades produzidas, o custo aumenta
00,10$R ; se há um aumento de 10 unidades, o custo aumenta em 00,20$R . Concluímos que
uma variação na variável independente gera uma variação proporcional na variável dependente. É
isso o que caracteriza uma função linear.
Para um maior entendimento da função linear desse exemplo, podemos calcular a taxa de
variação média, ou simplesmente taxa de variação da variável dependente, C , em relação à
variável independente, q , pela razão:
2
5
10
05
100110
qemvariação
Cemvariação
horizontalVariação
verticalVariação
inclinação 


m
2
5
10
510
110120



m
Nesse exemplo, a razão 2m dá o acréscimo no custo correspondente ao acréscimo de
1 unidade na quantidade.
Notamos ainda que, mesmo se não forem produzidas camisetas, haverá um custo fixo de
00,100$R . Tal custo pode ser atribuído à manutenção das instalações, impostos, despesas com
pessoal etc.
De modo geral, podemos dizer que a função custo é obtida pela soma de uma parte
variável, o Custo Variável, com uma parte fixa, o Custo Fixo. Em outras palavras temos:
VF CCC 

Matemática
Para nosso exemplo, podemos modelar a função custo pela relação:
1002)(  qqC
O gráfico da função linear é uma reta, onde 2m nos dá a inclinação da reta e termo
independente 100 representa o ponto em que a reta intersecta o eixo vertical )(y .Observe o
gráfico abaixo.
Produção de camisetas
Dada a função custo para a produção das camisetas, vamos analisar agora a função
Receita obtida com a comercialização das unidades.
Para um produto, a receita R é dada pela multiplicação do preço unitário, p , pela
quantidade, q , comercializada, ou seja, qpR . .
Supondo por exemplo que o preço para a comercialização de cada camiseta seja de
00,7$R , obtemos a função Receita, que é dada por:
qqR 7)( 
O gráfico para essa função é uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados. Veja o
gráfico abaixo.
Função Receita
Das funções Custo e Receita é natural que passemos a questionar sobre o a função
Lucro. De modo geral, podemos expressar a função Lucro fazendo "Receita menos Custo", ou
seja:
Custo-ReceitaLucro 
200
140
100
20 50 q
C
C=2q+100
variação em C=60
variação em q=30
280
70
10 40 q
R R=7q
variação em R=210
variação em q=30

Para nosso exemplo, se chamarmos L o lucro e supondo que as quantidades produzidas
de camisetas são as mesmas comercializadas, então temos:
1005)(
)1002(7)(



qqL
qqqL
CRL
Nesse caso, notamos que a função Lucro também é uma função linear, cujo gráfico é uma reta de
inclinação 5m e que corta o eixo da vertical em -100. Veja o gráfico abaixo.
Função Lucro
Podemos observar pelo gráfico que a reta que corta o eixo horizontal em 20q . Na verdade,
podemos obter facilmente esse valor fazendo 0)( qL , ou seja:
20
1005
01005
0)(




q
q
q
qL
Podemos fazer a seguinte análise:
 se 20q , temos lucro negativo
 se 20q , temos lucro positivo
Na verdade, podemos obter a quantidade que resulta em lucro zero fazendo Receita=Custo, ou
seja,
)()(
0)()(
0)(
qCqR
qCqR
qL



Graficamente, o ponto em que a receita é igual ao custo é chamado de break-even pointi
(ponto de equilíbrio) e é dado pelo encontro das curvas que representam a Receita e o Custo. Em
nosso exemplo, é dado pelo encontro das retas qqR 7)(  e 1002)(  qqC . A interpretação do
break-even point é mostrado nos gráficos abaixo.
20 40 q
L
100
-100
L=5q-100

Matemática
Ponto de Equilíbrio
Como podemos observar, a função linear pode ser útil para representar o custo, a receita e o lucro
na comercialização de um determinado produto.
3. Inclinação e taxa de variação
Vamos utilizar o símbolo  (a letra grega delta maiúscula) para indicar “variação em”, onde
x significa variação em x e y variação em y .
A inclinação de uma função linear )(xfy  pode ser calculada a partir de valores da
função em dois pontos, 1x e 2x , por meio da seguinte fórmula:
12
12 )()(
horizontalVariação
verticalVariação
inclinação
xx
xfxf
x
y
m





A quantidade
12
12 )()(
xx
xfxf


é chamada de quociente das diferenças, pois isto é exatamente o
que ela é. Como a inclinação =
x
y


, a inclinação representa a taxa de variação de y em relação a
x . As unidades da inclinação são as unidades de y divididas pelas unidades de x .
Coeficiente de inclinação
100
140
20
20
-100
0
q
q
R,C
L
R=7q
C=2q+100
L=5q-100
b reak-even point

4.Função linear geral
Uma função linear é dada por:
bmxxfy  )(
Seu gráfico é uma reta tal que:
 m é a inclinação ou taxa de variação, ou ainda coeficiente angular;
 b é chamado de coeficiente linear que é a interseção da reta com o eixo vertical, ou o valor
de y quando x é zero;
Graficamente m , dá a inclinação da reta que representa a função.
Como já foi dito, m no dá a taxa de variação da função, que representa se a função está
crescendo ou decrescendo e, graficamente, m representa a inclinação da reta, sendo mais ou
menos inclinada positiva ou negativamente.
Se 0m , temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será inclinada
positivamente e, quanto maior for o valor de m , maior será o crescimento de y a cada aumento
de x , tendo a reta maior inclinação positiva.
Se 0m , temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta será
inclinada negativamente.
5. Obtenção de uma função linear
Trabalhando com fenômenos que permitem a representação do modelo matemático por
meio de uma função linear, é importante a obtenção correta da expressão que representa tal
função. Em outras palavras, se pudermos representar o modelo por meio de uma expressão do
tipo bmxy  , é importante obtermos de maneira correta os parâmetros m e b .
Para a obtenção de m (coeficiente de inclinação), devemos estar atentos para as
informações que dizem respeito às taxa de variação, ou seja, qual a variação da variável
dependente em relação à variável dependente, assim podemos utilizar a equação:
x
y
m



Para a obtenção do valor de b , utilizaremos um valor de x , seu correspondente y e o valor de
m obtido anteriormente, substituindo tais valores em bmxy  , desta forma obteremos o valor
de b .
Exemplo 1: Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é
diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em
que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês em que são feitas 20
horas extras, o salário é de R$1000,00. Obtenha a relação que dá o salário em função das horas
extras.
Solução:
Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão bmxy  , onde y representa o
salário e x o número de horas extras, então teremos as correspondências:
100020
84012


yx
yx

Matemática
Obteremos o coeficiente de inclinação da seguinte maneira:
20
8
160
1220
8401000




x
y
m


Para encontrarmos o valor de b substituiremos o valor de 20m na equação bmxy  e um
dos pares de x e y dados, como por exemplo, )840;12();( yx , desta forma temos o seguinte:
600
)12(20840
20



b
b
bxy
Assim, a função do salário é dada por 60020)(  xxfy .
Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos e (5,30) e (15,10).
Solução:
Pelo enunciado, a função pode ser obtida pela expressão bmxy  . Obteremos o coeficiente de
inclinação da seguinte maneira:
2
10
20
515
3010






x
y
m


Para encontrarmos o valor de b substituiremos o valor de 2m na equação bmxy  e um
dos pares de x e y dados, como por exemplo, )30;5();( yx , desta forma temos o seguinte:
40
)5(230
2



b
b
bxy
Assim, a função do salário é dada por 402)(  xxfy .
6. Retas paralelas e retas perpendiculares
O coeficiente de inclinação de uma reta constitui um recurso conveniente para determinar
se duas retas são paralelas ou perpendiculares.
1. Duas retas distintas não-verticais são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares
são iguais, ou seja,
21 mm 
2. Duas retas distintas não-verticais são perpendiculares se e somente se o produto de seus
coeficientes angulares for igual a -1, ou seja,
1. 21 mm
Exemplo 3: Determine a equação de reta que passa pelo ponto )1;2(  e é:
a) Paralela à reta 532  yx ;
b) Perpendicular à reta 532  yx ;
Solução:
Inicialmente, vamos colocar a equação linear da forma reduzida.
3 2 5 (-1)y x   

3 2 5
2 5
3 3
y x
y x
 
 
Assim, temos que
3
2
m .
a) A equação de reta tem de passar pelo ponto )1;2(  e ser paralela à equação
3
5
3
2
 xy que
apresenta
3
2
m . Pela definição acima, vemos que duas retas são paralelas se e somente se,
apresentarem o mesmo coeficiente de inclinação. Desta forma a reta que passa pelo ponto )1;2( 
também deve ter o coeficiente de inclinação igual à
3
2
. Assim, temos o seguinte:
bxy
bmxy


3
2
Substituindo o ponto )1;2(  , na equação acima encontramos o valor de b .
3
7
)2(
3
2
1
3
2



b
b
bxy
Logo, temos que
3
7
3
2
 xy é a equação de reta que passa pelo ponto )1;2(  e é paralela à
equação de 532  yx .
b) Agora queremos encontrar uma reta que passe pelo ponto )1;2(  , porém que seja
perpendicular à equação de reta dada por 532  yx . Sabemos que
3
2
m , e ainda, duas retas
são perpendiculares se seus coeficientes quando multiplicados resulta em 1 .
2
3
1
3
2
.
1
1


m
m
A equação da reta que passa pelo ponto )1;2(  e é perpendicular à reta de equação 532  yx
apresenta
2
3
m . Sendo assim temos:
bxy 
2
3
Substituindo o ponto )1;2(  , na equação acima encontramos o valor de b .
3
2
y x b  

Matemática
3
( 1) (2)
2
2
b
b
   

Logo, temos que 2
2
3
 xy é a equação de reta que passa pelo ponto )1;2(  e é
perpendicular à equação de 532  yx .
7. Intersecções de retas
Finalmente, lembramos que, quando trabalhamos simultaneamente com duas ou mais
funções lineares, podemos investigar se tais funções têm valores em comum, ou seja, se há
encontro das retas que representam as funções.
Uma aplicação comum em administração, economia e contábeis, que envolve os pontos de
intersecção, é a análise do ponto de equilíbrio (break-even point). O lançamento de um novo
produto exige tipicamente um investimento especial. Uma vez vendido um número suficiente de
unidades, de modo que a receita total passe a superar a custo total, a venda do produto atinge
seu ponto de equilíbrio. O custo total da produção de x unidades é representado por C e a
receita total da venda de x unidades do produto é representada por R . Podemos então achar o
ponto de equilíbrio igualando o custo C à receita R ,(como já foi mostrado anteriormente) e
resolvendo a equação em função de x . Matematicamente, isso significa dizer que estamos
resolvendo um sistema de equação linear.
Para investigação dos pontos comuns de duas retas diferentes, basta resolvermos o
sistema formado por elas, ou seja, resolver o sistema:






22
11
bxmy
bxmy
S
Observações:
Se S tiver apenas uma solução, notamos que as retas se encontram em um único ponto comum,
dizemos que tal sistema é possível e determinado;
Se S não tiver solução, notamos que as retas não se interceptam, ou seja, são paralelas e
dizemos que o sistema é impossível.
Interpretação gráfica da solução de um sistema.

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