Geometria indígena

t
Matemática
Linos Galdonne
Projeto Apoema
6
Matemática
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Matemática
Projeto Apoema
6
Matemática
Linos Galdonne
Licenciado em Matemática
Doutor em Educação – linha de pesquisa em Educação Matemática
Professor da rede particular de ensino
2a
edição
São Paulo, 2015
PROJETO APOEMA MATEMÁTICA 6 ANO a
pom6_001_009_impresso.indd 1 5/17/15 3:41 PM

© Editora do Brasil S.A., 2015
Todos os direitos reservados
Direção executiva: Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz
Direção editorial: Cibele Mendes Curto Santos
Gerência editorial: Felipe Ramos Poletti
Supervisão editorial: Erika Caldin
Supervisão de arte, editoração e produção digital: Adelaide Carolina Cerutti
Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes
Supervisão de controle de processos editoriais: Marta Dias Portero
Supervisão de revisão: Dora Helena Feres
Consultoria de iconografia: Tempo Composto Col. de Dados Ltda.
Coordenação editorial: Valéria Elvira Prete
Consultoria técnica: Cristiane Boneto
Edição: Rodrigo Pessota
Assistência editorial: Edson Ferreira de Souza
Auxílio editorial: Paola Olegário da Costa
Apoio editorial: Marilda Pessota Lima
Coordenação de revisão: Otacilio Palareti
Copidesque: Gisélia Costa e Ricardo Liberal
Revisão: Alexandra Resende, Andréia Andrade e Maria Alice Gonçalves
Coordenação de iconografia: Léo Burgos
Pesquisa iconográfica: Elena Ribeiro
Coordenação de arte: Maria Aparecida Alves
Assistência de arte: Samira de Souza
Design gráfico: Alexandre Gusmão, José Hailton Santos e Regiane Santana
Capa: Patrícia Lino
Ilustrações: Alex Argozino, Carlos Caminha, DAE (Departamento de Arte e Editoração),
Eduardo Belmiro, Ilustra Cartoon, Marcio Levyman, Paulo César Pereira, Ronaldo Barata,
Waldomiro Neto e Zubartez
Produção Cartográfica: Sonia Vaz, DAE (Departamento de Arte e Editoração),
Simone Soares de Andrade
Coordenação de editoração eletrônica: Abdonildo José de Lima Santos
Editoração eletrônica: Estação das Teclas
Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini
Coordenação de produção CPE: Leila P. Jungstedt
Controle de processos editoriais: Beatriz Villanueva, Bruna Alves, Carlos Nunes
e Rafael Machado
2a
edição, 2015
Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001
Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583
www.editoradobrasil.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Galdonne, Linos
ProjetoApoema matemática 6 / Linos Galdonne. – 2. ed. – São Paulo:
Editora do Brasil, 2015. – (Projeto Apoema ; v. 6)
Suplementado pelo manual do professor.
ISBN 978-85-10-05901-5 (aluno)
ISBN 978-85-10-05902-2 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. II. Série.
15-03460 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Hélio Oiticica (1937-1980) nasceu e viveu grande parte da
vida na cidade do Rio de Janeiro. Sua obra foi marcada
pela inovação e experimentação. Começou a estudar
pintura com Ivan Serpa, no Museu de Arte Moderna
do Rio de Janeiro, em 1954 e, no ano seguinte, iniciou
a criação de pinturas geométricas abstratas. As obras
Invenções, de 1959, assinalam a transição do artista
da tela para o espaço ambiental. Tropicália, de 1967,
deu nome ao movimento musical e cultural do mesmo
período, o Tropicalismo. Durante a década de 1970 viveu
em Nova York, retornando ao Brasil em 1978. Após seu
falecimento, em 1980, foi criado o Projeto Hélio Oiticica.
Foto:
César
Oiticica
Filho
Hélio Oiticica. Grupo Frente, 1956. Óleo sobre madeira,
67,8 × 117,2 cm.
Imagem de capa
Projeto APOEMA matemática 6 ano a

Queremos convidá-lo a estudar Matemática não como uma ciência completamente
alheia à realidade e parada no tempo.Ao contrário,o estudo que aqui propomos é dinâ-
mico e pensado para aqueles que desejam de fato compreender como os conceitos e as
teorias relacionados a essa disciplina foram elaborados e aplicados.
As regras e fórmulas matemáticas que usamos são consequências do estudo dos fe-
nômenos que nos cercam.A Matemática está presente na natureza como a simetria em
uma borboleta,no casulo hexagonal de uma colmeia ou na forma poligonal de uma flor.
Está,também,nas construções realizadas pelo homem,como nas Pirâmides do Egito,nas
estruturas triangulares e até mesmo no uso da tecnologia. Usamos a Matemática quan-
do contamos, fazemos estimativas de medidas ou mesmo em uma simples observação
sobre as letras e os algarismos da placa de um automóvel. Compreendê-la, portanto, é
ampliar a percepção do mundo que já conhecemos.
Esperamos que a vontade de compreender essa ciência,aliada ao desejo de investiga-
ção, sejam motivos suficientes para conduzi-lo ao estudo que aqui propomos.Desejamos
que, no final, você perceba a Matemática como uma atividade humana repleta de signifi-
cados e aplicações.
Bom estudo!
O autor
Apresentação
Projeto APOEMA matemática - 6 ano a

cOnHeça O seu livrO
Agora é com você
Nessa seção que aparece ao longo de cada
capítulo, você encontrará exercícios de fixação
relativos aos conteúdos desenvolvidos.
Trabalho em equipe
Nessa seção você e os colegas são convida-
dos a, juntos, realizar uma tarefa, resolver
um problema, refletir sobre questões pro-
postas etc.
A“artemática”indígena
Observe as imagens a seguir.Você já viu objetos parecidos com estes? Lembra-se de onde foi?
Esses cestos foram construídos por indígenas do grupo guarani-mbyá,que utilizam tiras de bam-
bu para criar motivos geométricos, entrelaçando várias tiras coloridas.
São representadas, nos cestos, diferentes formas geométricas, como losangos, paralelogramos,
quadrados ou apenas linhas paralelas,revelando o máximo de cuidado e exatidão no entrelaçamen-
to das tiras, de modo que as figuras fiquem o mais semelhante possível.
Observando com atenção, percebemos que em um mesmo cesto há a repetição de uma mes-
ma forma, ou seja, os mbyás representam motivos geométricos semelhantes em um cesto, mas os
diferenciam em outros.
É comum utilizarem sempre segmentos paralelos
nas construções e,se o desenho escolhido for um losan-
go, por exemplo, ele será feito dentro de outro losango,
que estará dentro de outro e assim por diante. Se a for-
ma escolhida for o paralelogramo, criarão um paralelo-
gramo ao lado de outro, obtendo um paralelismo dos
lados dos polígonos, com uma visualização de ângulos
congruentes. Um detalhe importante é que não usam
nenhum instrumento de medida de ângulos.
Depois de confeccionada a base do cesto, quando
as tiras já estão perpendiculares, entrelaçam uma tira
colorida entre elas. O entrelaçamento é feito pela con-
tagem de tiras verticais, que devem passar por cima ou
por baixo, de acordo com o desenho escolhido. Come-
çando da primeira tira horizontal,os vértices do quadra-
do vão ficando arredondados até que cada volta passa
a ter a forma aproximada de uma circunferência.As tiras
vão sendo entrelaçadas em espiral até chegar à altura
desejada para a conclusão do cesto.
Você acha que este grupo indígena utiliza conheci-
mentos matemáticos?
Fabio
Colombini
Fabio
Colombini
cOneXões
Cestos indígenas com
motivos geométricos
confeccionados pela
aldeia guarani-mbyá.
Mulher produzindo artesanato
na aldeia guarani-mbyá.
88
Conexões
Nessa seção, que aparece ao longo dos ca-
pítulos, você terá textos relacionados à his-
tória da Matemática, assuntos da realidade,
aprofundamento da teoria ou curiosidades
geométricas, algébricas e numéricas.
Propriedades da adição de números naturais
Toda adição de números naturais está fundamentada em três propriedades: associativa,
comutativa e existência do elemento neutro.
Sejam quaisquer números a, b e c, que pertençam ao conjunto dos números naturais, temos:
trabalHO em equipe
1 Considerem que as letras a e b representam dois números naturais. Atribuam seis núme-
ros naturais para a e seis números naturais para b, completando a tabela com os resulta-
dos a b e b a.
a b a 1 b b 1 a

Agora respondam às questões
a) O que acontece quando mudamos a ordem das parcelas numa adição de dois números
naturais?
b) Se o zero for uma das parcelas da adição, o que ocorrerá?
2 Atribuam seis valores para x, seis valores para y e seis para z. Os valores deverão ser
maiores que o número 100. Utilize uma calculadora para obter os resultados das adi-
ções. Calcule primeiro a adição indicada dentro dos parênteses.
x y z x 1 (y 1 z) (x 1 y) 1 z

Agora respondam à questão a seguir.
Qual é a conclusão de vocês a respeito dos resultados de x (y z) e de (x y) z?
1. Propriedade associativa da adição:
a + (b + c) (a + b) + c
2. Propriedade comutativa da adição:
a + b b + a
3. Elemento neutro da adição:
a + 0 0 + a a
Na adição de três números naturais quaisquer,
podemos associar as parcelas em ordem diferente
que o resultado será o mesmo. Exemplo:
15 + (20 + 13) (15 + 20) + 13
15 + 33 35 + 13
48 48
Quando se inverte a ordem das parcelas de
uma adição, o resultado não se altera. Exemplo:
121 + 79 79 + 121
200 200
Quando se adiciona o número zero a qualquer
valor natural, o resultado será o mesmo valor na-
tural, ou seja, o zero não influencia na adição de
dois números naturais. Exemplo:
308 + 0 0 + 308
308 308
Registre no
caderno
34
Unidade
No início de cada unidade, há um texto intro-
dutório e perguntas que o motivam a estudar
o assunto.
unidade 4
Formasgeométricas
planas
Com base nas posições dos ponteiros de um relógio, po-
demos obter a noção de ângulo. Associamos essa ideia
também com a mudança de direção. Aspectos impor-
tantes da Geometria Plana estão relacionados ao
conceito de ângulo.
Anyunos/Shutterstock
1 O que significa dizer que a bola foi “bem no ân-
gulo” quando um jogador faz um gol?
2 Quantos graus tem um ângulo reto?
3 Quando duas retas são perpendiculares?
Capítulo
Cada capítulo é iniciado com uma situação do
cotidiano ou de uma área do conhecimento
relacionada com o conteúdo matemático a
ser estudado.
capítulO X
Título título título título
capítulO 2
O uso dos números
Você já olhou com atenção o painel de um automóvel?
Nele podemos observar diversas luzes,
vários comandos e informações importan-
tes que são representados por números.
Os números ainda estão presentes na
identidade e na carteira de habilitação do
motorista do carro. Além disso, eles fazem
parte da placa dos veículos.
Números que indicam
a quantidade de
combustível no
tanque.
Números que
indicam o horário.
Números que indicam a
quantidade de quilômetros
percorrida pelo carro.
Léo
Burgos
a velocidade do carro.
as rotações do motor.
©
DAE
Zubartez
Esses são apenas alguns exemplos de utilização dos números. Eles são empregados com
finalidades diversas, como veremos a seguir.
Contagens, ordenações e códigos
Desde criança, utilizamos os números para fazer contagens. Para tanto, empregamos os nú-
meros naturais. Além disso, fazemos comparações entre quantidades.
4 3
Omkr/Dreamstime.com
Martinlee58/Dreamstime.com
Trópico de Capricórnio
50°O
OCEANO
ATLÂNTICO
MATO GROSSO
DO SUL
SÃO PAULO
PARANÁ
SANTA CATARINA
SANTA CATARINA
Curitiba
Capital de estado
Arapongas
Fonte: Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 175.
N
S
L
O
0 105 210 km
20
A brasileira Sarah Menezes ficou em 1o
lugar na
competição de judô nas Olimpíadas de 2012,
em Londres.
Quando queremos indicar posição, utilizamos os
números ordinais, por exemplo, João está em pri-
meiro (1o
) lugar; Maria, em segundo (2o
) lugar, e as-
sim por diante.
No quadro abaixo, indicamos alguns números ordinais:
Cameron
Spencer/Getty
Images
As réguas para uso escolar, em geral, têm um conjunto de números naturais que expres-
sam comprimento. Observe a imagem da régua e note que os números representam valores
em centímetros, que é uma unidade de medida.
Natalia
Siverina/
Dreamstime.com
Dalibor
Sevaljevic/Shutterstock
1o
(primeiro) 20o
(vigésimo) 300o
(tricentésimo)
2o
(segundo) 30o
(trigésimo) 400o
(quadringentésimo)
3o
(terceiro) 40o
(quadragésimo) 500o
(quingentésimo)
4o
(quarto) 50o
(quinquagésimo) 600o
(sexcentésimo)
5o
(quinto) 60o
(sexagésimo) 700o
(setingentésimo)
6o
(sexto) 70o
(septuagésimo) 800o
(octingentésimo)
7o
(sétimo) 80o
(octogésimo) 900o
(noningentésimo)
8o
(oitavo) 90o
(nonagésimo) 1000o
(milésimo)
9o
(nono) 100o
(centésimo) 1000000o
(milionésimo)
10o
(décimo) 200o
(ducentésimo) 1000000000o
(bilionésimo)
Ao criarmos uma senha, podemos escolher um
conjunto de caracteres como letras, sinais e núme-
ros. Neste caso, o número tem a finalidade específi-
ca de codificar. Outros exemplos de números usa-
dos como código são os de documentos pessoais,
telefone, Código de Endereçamento Postal (CEP),
código de barras etc. Empregamos os números com
diversas finalidades.
Você conhece outras unidades de medida? Quais?
Estudaremos outras unidades de medida mais adiante.
Teclado do caixa eletrônico de um banco.
21
agOra é cOm vOcê
1 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir:
a) mmc (4; 12)
b) mmc (18; 60)
c) mmc (12; 36; 48)
d) mmc (8; 16; 64)
e) mmc (15; 24; 60)
f) mmc (210; 462)
2 Considere os números 18 e 27. Determine os cinco menores múltiplos comuns que são
diferentes de zero.
3 Resolva os seguintes problemas:
a) Dois ciclistas levam, respectivamente, 30 segundos e
35 segundos para completar uma volta numa arena
esportiva. Após a largada, quantos segundos serão
necessários para que esses ciclistas se encontrem
novamente no ponto de partida, se mantidas as suas
velocidades?
b) Em relação ao problema anterior, responda: Quantas
voltas terá completado cada um desses ciclistas?
c) No final do ano, duas torres foram construídas com
lâmpadas coloridas. Numa delas, as lâmpadas pis-
cam a cada 4 segundos, enquanto que, na outra, a
cada 6 segundos. Se uma pessoa observa agora que
as lâmpadas das duas torres estão piscando juntas,
depois de quanto tempo elas piscarão juntas nova-
mente pela primeira vez?
d) Um caixa eletrônico foi programado para fornecer
quantias menores que 49 reais, mas em um tipo
de cédula apenas: cédulas de 2 reais ou de 5 reais.
Quais são as quantias que podem ser retiradas
com somente um tipo de cédula, entre os dois tipos
citados?
e) Com relação ao problema anterior, responda: Qual é
a menor quantia que pode ser retirada nas condições
do problema? E qual é a maior quantia?
f) Depois de examinar um paciente, a médica receitou
dois remédios:
remédio A 1 comprimido a cada 4 horas;
remédio B 1 comprimido a cada 8 horas.
Se o paciente tomou os dois comprimidos juntos pe-
la primeira vez ao meio-dia de hoje, daqui a quantas
horas ele tomará novamente os dois comprimidos
juntos?
4 Escreva todos os múltiplos de 7 que são menores que 100.
5 Um relógio eletrônico dispara um alarme a cada 120 minutos. Outro relógio dispara um
alarme a cada 150 minutos. Os dois relógios soaram juntos às 14 horas. Quando eles
voltarão a tocar juntos?
Waldomiro
Neto
Waldomiro
Neto
Eduardo
Belmiro
©
Banco
Central
do
Brasil
Registre no
caderno
123
123
6 Considere os números que estão indicados na tabela a seguir:
12 99 24 36 45 72
32 15 75 25 40 81
50 60 18 28 48 64
30 80 66 0 98 100
Escreva os números dessa tabela que são múltiplos de:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
f) 8
g) 9
h) 10
i) 11
7 Obtenha o mínimo múltiplo comum dos números a seguir.
a) mmc (4; 6)
b) mmc (8; 12)
c) mmc (12; 16)
d) mmc (7; 12)
e) mmc (10; 25)
f) mmc (6; 12; 18)
g) mmc (10; 15; 30)
h) mmc (24; 12; 16)
8 Copie a tabela em seu caderno e faça
o que se pede.
a) Pinte de azul todos os quadrinhos
quecontêmnúmerosquesãomúlti-
plos de 4.
b) Marque um X nos quadrinhos que
contêm números que são múlti-
plos de 9.
c) Escreva os números que estão
nos quadrinhos coloridos de azul
e marcados com X.
d) O que indicam esses números?
e) Qual é o mmc (4; 9)?
9 Responda.
a) Quando o mínimo múltiplo comum de dois números diferentes de zero e distintos en-
tre si é um dos números?
b) Qual é o mínimo múltiplo comum dos números 1 e 17?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Registre no
caderno
124
PROJETO APOEMA MATEMÁTICA a

com a palavra, o especialista
“Em entrevista exclusiva à Revista E, o artista plástico Luiz Sacilotto fala da apropriação da arte pela
televisão e prevê que a estética concreta está longe de conhecer seu fim.
O artista plástico Luiz Sacilotto,considerado
um dos principais expoentes da arte concreta
brasileira, fala nesta entrevista exclusiva sobre a
motivação de suas criações,contando a gênese
de sua arte, além de avaliar seus companheiros
de viagem pictórica. Sacilotto comenta o racha
que originou o movimento neoconcreto,as his-
tórias envolvendo disputas de poder no mun-
do artístico e de como a arte concreta acabou
influenciando outros meios. Fala ainda dos painéis que realizou no recém-inaugurado Sesc Santo
André, cidade onde nasceu e mora até hoje.
Qual foi a base de inspiração para os seus trabalhos criados para o Sesc Santo André?
Eles fazem parte de uma obra que já venho desenvolvendo. Quando me pediram um projeto,
pensei em algo que agradasse o público,que tivesse o elemento-surpresa,que parecesse uma coisa e
fosse outra,que se revezasse.Os painéis,principalmente aquele que dá para o grande salão,são de um
jeito à primeira vista, mas depois se revertem. Há uma ambiguidade que constitui a essência da obra,
algo que cada pessoa percebe de um jeito. Algumas olham e não percebem nada, outras percebem
mais ou menos...Isso me interessa muito e parece-me que esse resultado foi obtido.
Como é criar uma obra“pública”
, no sentido de ela estar num lugar onde será vista, obser-
vada e admirada por muitos?
É diferente de um quadro que vai para um museu ou para um colecionador particular?
Como é a concepção de linguagem que deve ser aplicada, na sua opinião?
Não importa se faço uma obra pública ou para um museu.Quando exponho numa galeria,os colecio-
nadores também vão e veem.No caso do trabalho para o Sesc,a diferença é que se trata de uma obra que
não será vendida.Mas a finalidade é a mesma:faço para agradar.Já tive umas dez experiências em escolas,
nas quais eu levava material e começava a pintar.Na primeira vez,foi uma algazarra terrível;na segunda,o
barulho já tinha diminuído; na terceira, ouvi os suspiros de admiração das crianças; no final, elas queriam
mais.Essa experiência foi a mais gratificante.Ou seja,devemos perceber que a nossa arte não deve ser feita
apenas para o crítico, mas sim para todos, para quem entende e para quem não entende. Quando a TV
Cultura esteve aqui,a entrevistadora perguntou para um senhor o que ele achava de uma escultura minha,
localizada em uma das ruas de Santo André. O senhor olhou para ela admirado e respondeu“Ah, é uma
escultura?! Acho fantástica!”
. Ele nem sabia que aquilo era uma escultura e muito menos de quem era.
Qual foi o estalo que o fez deixar de ser figurativo e passar para as figuras geométricas?
Qual foi a inspiração?
Eu não acredito em inspiração.Era figurativo por causa da minha formação acadêmica,mas depois,
na década de 1940 – quando não havia possibilidade de livre formação –,comecei a sentir que alguma
coisa não estava certa.Por que copiar a natureza? Por mais que eu me esforçasse nunca seria igual.Então,
um dia, desenhando enquanto estava ao telefone, fiz abstrações de forma inconsciente e isso me des-
pertou uma grande vontade de fazer aquelas abstrações de forma consciente. Daí, aprimorei a técnica
dentro da linguagem que eu queria.Minha profissão também me ajudou.Fui desenhista de arquitetura,
Quem
Luiz Sacilotto.
Especialidade
Artes plásticas.
Área de pesquisa
Arte concreta brasileira.
Coleção
Sacilotto
153
Pedro explica que outros elementos permitem explorar o tema. ”As formas geométricas estão nas
asas de uma borboleta ou no casco das tartarugas.“ Até mesmo, ele lembra, na imagem presente no
núcleo de todas as células vivas,a dupla hélice de ácido desoxirribonucleico,mais conhecida por DNA.
Pintura corporal
Durante a visita aos índios Javaés,os estudantes puderam conhecer e valorizar as manifestações cul-
turais daquele povo.
Exploraram o padrão de pintura corporal e das cerâmicas e continuaram o estudo de ângulos.Tudo
foi fotografado. Um bate-papo com os artesãos esclareceu a ideia que os índios têm sobre o assunto.
Nosso trabalho e nossa vida giram em torno da natureza e dos desenhos dela. Os animais são a maior
fonte de inspiração, conta o cacique José Tehabi Javaé.A essa altura do projeto, a interferência de Pedro
foi mínima,pois os alunos já sabiam reconhecer as figuras poligonais.
Mas as aulas extrapolaram o tema inicial:Pedro aproveitou a oportunidade para discutir os estereóti-
pos e o preconceito.O momento de maior descontração aconteceu quando os jovens,e também o pro-
fessor,foram pintados com jenipapo por um índio.O mesmo ritual acontece na aldeia em dias de festa.
Avaliação pela leitura de fotos
O que foi feito das fotografias tiradas pela turma? Foram parar nas telas do computador. As cenas
captadas pelas lentes das câmeras digitais ajudaram a repassar e fixar conceitos e, principalmente, servi-
ram de material de avaliação para Pedro. Nas aulas de Informática, os alunos selecionaram imagens para
cada propriedade de ângulos e polígonos.Na internet,eles pesquisaram a geometria presente em outros
objetos e campos do conhecimento,como a arte,a arquitetura e a astronomia.Para finalizar,Pedro enco-
mendou um texto livre sobre as imagens.”
Fonte: BENCINI, Roberta. Com a Geometria na pele. Professor diversifica aulas de Geometria e ensina ângulos e
polígonos através de pinturas corporais. Publicado na revista Nova Escola, ed. 169, jan. 2004, p. 3#37. São Paulo:
Abril comumicações S/A. Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/
geometria-pele-427471.shtml Acesso em: maio 2013.
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89
Com a palavra,o especialista
Essa seção traz entrevistas com especialistas
de áreas da Matemática.
diversificandO linguagens
1 Por que o personagem relaciona a sequência numérica com a família dele?
2 Faça uma pesquisa sobre a palavra primo e descreva o porquê de sua utilização como
classificação de alguns números e como grau de parentesco.
3 Escreva a sequência dos números primos até o número 50.
4 Escreva o número 324 como um produto de números primos.
5 Você conhece algum método para determinar os números primos que estão no intervalo
de 101 a 200?
6 Em dupla, copie a tabela e, com o auxílio de uma calculadora, juntos determinem os
números primos que estão no intervalo de 101 a 150. Dica: utilizem os múltiplos dos
números primos e os critérios de divisibilidade.
7 Descreva o procedimento usado para determinar os números primos na tabela acima.
Ilustra
Cartoon
2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
... 17, 19 e ... Preciso visitar
mais a minha família,
só conheço 8 primos.
Registre no
caderno
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
126
Situação
muito abaixo da massa
abaixo da massa
massa normal
acima da massa
obesidade I
obesidade II (severa)
obesidade III (mórbida)
CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL
TAMANHO DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL É FATOR DE RISCO CARDIOVASCULAR
Engana-sequempensaquemedirumacircunferênciaésócoisadematemático!Estudoscomprovamqueo
aumentoexcessivodacircunferênciaabdominalpodecontribuirparaosurgimentodedoençascardiovasculares,
comodiabetesehipertensão.Alémdisso,tambéméimportantedescobrirseestamoscomamassacorporal
adequada.Paraisso,usamosasunidadesdemedidas,assuntoestudadonessaunidade.
As doenças cardiovasculares
matam mais de
no mundo por ano. No Brasil,
esse tipo de doença é
responsável pelo maior número
de mortes.
17milhões de pessoas
Na tabela ao lado, estão
os valores considerados
ideais para a circunferência
abdominal, segundo
a Associação Brasileira
para o Estudo da Obesidade
e da Síndrome Metabólica.
Para redução da gordura abdominal,
devemos praticar atividade física
aeróbica, como caminhar, correr, pedalar,
nadar etc., e evitar alimentos calóricos,
principalmente os muito gordurosos.
COMO MEDIR A
CIRCUNFERÊNCIA
ABDOMINAL
1.Posicione a fita métrica entre a
borda inferior das costelas e a borda
superior do osso do quadril.
2. Relaxe o abdômen e expire no
momento de medi-lo.
3. Registre a medida.
Obs.: pode-se obter um resultado
mais preciso se a medição for feita
sem vestimentas.
VALOR IDEAL DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL (CM)
TABELA IMC
CALCULANDO O IMC
Você já ouviu falar em IMC?
O Índice de Massa Corporal classifica
as diferentes faixas de massa das
pessoas. Por meio de seu resultado,
podemos descobrir se estamos
abaixo, dentro ou acima da massa
ideal recomendada.
O cálculo é feito por meio da fórmula:
IMC = , em que:
M = massa em kg
A = altura em m
Depois de obter o valor,
consulta-se a tabela ao lado.
Calcule seu IMC e descubra em qual
faixa de massa você está.
Caso o valor obtido não esteja localizado no
intervalo de massa normal, pesquise quais
medidas devem ser tomadas para que seu IMC
reflita uma vida saudável.
artéria normal
artéria
aorta
excesso de
colesterol
placa de
colesterol
em estágio
avançado
CORAÇÃO
Faixa ideal
80 80 — 88 88
94
Mulher
Homem 94 — 102 102
Risco aumentado Risco muito aumentado
IMC
abaixo de 17
entre 17 e 18,49
entre 18,5 e 24,99
entre 25 e 29,99
entre 30 e 34,99
entre 35 e 39,99
acima de 40
M
A2
As dimensões das estruturas
representadas estão fora de escala;
as cores usadas não são reais.
bagagem cultural
A medida de circunferência abdominal é utilizada e aceita pela
comunidade médica em adultos na avaliação de riscos de doenças.Em
crianças e adolescentes,essa medida não deve ser utilizada a não ser
em casos específicos,por apresentar variações por conta do crescimento.
Logo,as faixas ideais e de risco teriam de ser diferentes para cada faixa
etária.Hoje ainda há poucos estudos sobre esse assunto.
Ilustrações:
Alex
Argozino
Iakov
Filimonov
/
Dreamstime.com
280
Situação
muito abaixo da massa
abaixo da massa
massa normal
acima da massa
obesidade I
obesidade II (severa)
obesidade III (mórbida)
CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL
TAMANHO DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL É FATOR DE RISCO CARDIOVASCULAR
Engana-sequempensaquemedirumacircunferênciaésócoisadematemático!Estudoscomprovamqueo
aumentoexcessivodacircunferênciaabdominalpodecontribuirparaosurgimentodedoençascardiovasculares,
comodiabetesehipertensão.Alémdisso,tambéméimportantedescobrirseestamoscomamassacorporal
adequada.Paraisso,usamosasunidadesdemedidas,assuntoestudadonessaunidade.
As doenças cardiovasculares
matam mais de
no mundo por ano. No Brasil,
esse tipo de doença é
responsável pelo maior número
de mortes.
17milhões de pessoas
Na tabela ao lado, estão
os valores considerados
ideais para a circunferência
abdominal, segundo
a Associação Brasileira
para o Estudo da Obesidade
e da Síndrome Metabólica.
Para redução da gordura abdominal,
devemos praticar atividade física
aeróbica, como caminhar, correr, pedalar,
nadar etc., e evitar alimentos calóricos,
principalmente os muito gordurosos.
COMO MEDIR A
CIRCUNFERÊNCIA
ABDOMINAL
1.Posicione a fita métrica entre a
borda inferior das costelas e a borda
superior do osso do quadril.
2. Relaxe o abdômen e expire no
momento de medi-lo.
3. Registre a medida.
Obs.: pode-se obter um resultado
mais preciso se a medição for feita
sem vestimentas.
VALOR IDEAL DA CIRCUNFERÊNCIA ABDOMINAL (CM)
TABELA IMC
CALCULANDO O IMC
Você já ouviu falar em IMC?
O Índice de Massa Corporal classifica
as diferentes faixas de massa das
pessoas. Por meio de seu resultado,
podemos descobrir se estamos
abaixo, dentro ou acima da massa
ideal recomendada.
O cálculo é feito por meio da fórmula:
IMC = , em que:
M = massa em kg
A = altura em m
Depois de obter o valor,
consulta-se a tabela ao lado.
Calcule seu IMC e descubra em qual
faixa de massa você está.
Caso o valor obtido não esteja localizado no
intervalo de massa normal, pesquise quais
medidas devem ser tomadas para que seu IMC
reflita uma vida saudável.
artéria normal
artéria
aorta
excesso de
colesterol
placa de
colesterol
em estágio
avançado
CORAÇÃO
Faixa ideal
80 80 — 88 88
94
Mulher
Homem 94 — 102 102
Risco aumentado Risco muito aumentado
IMC
abaixo de 17
entre 17 e 18,49
entre 18,5 e 24,99
entre 25 e 29,99
entre 30 e 34,99
entre 35 e 39,99
acima de 40
M
A2
Ilustrações:
Alex
Argozino
Joao
Virissimo/Shutterstock
281
Bagagem cultural
Apresenta infográficos que possibilitam explo-
rar a interdisciplinaridade entre a Matemática
e outras disciplinas.
matemática e cidadania
Será que nós, brasileiros, conhecemos de fato nosso país
e sua população?
Indígenas kalapalo
da aldeia Aiha
no Parque
Indígena do Xingu,
Querência, MT.
Para uma pergunta como essa, não temos prontamente uma resposta. Por exemplo, se falarmos
que os indígenas estão desaparecendo na população brasileira, será uma afirmação completamente
equivocada.
No último censo populacional feito no Brasil,descobriu-se que há cerca de 270 línguas indígenas.
Como essas informações são levantadas? O
que significa censo? É então que fica clara a im-
portância de fazer pesquisas. A cada 10 anos é
feito um censo no país, ou seja, uma grande pes-
quisa que objetiva levantar as informações mais
importantes a respeito do Brasil. Essas informa-
ções são analisadas e, com base nelas, decisões
importantes são tomadas.
Muitos gráficos são elaborados com os resul-
tados da coleta de informações, como o gráfico
ao lado,que mostra a evolução da população resi-
dente em nosso país de 1872 até 2010.
Agora faça o que se pede.
1 Observando o gráfico acima, responda: Qual foi o crescimento, em milhões de pessoas,
ocorrido entre 1872 e 2010?
2 Pesquise o crescimento populacional de indígenas no Brasil entre os anos 1991 e 2010 e
responda:
a) Qual foi a taxa percentual de crescimento, de acordo com Censo 2010?
b) De acordo com o Censo 2010, existem 896900 indígenas no Brasil. Se em 2020 o aumento
for de 15% em relação ao ano de 2010, qual será a quantidade de indígenas ao todo que
teremos nesse ano?
3 Além do censo, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) traz outras informa-
ções importantes para nossa vida. Pesquise e escreva o nome de outras pesquisas que o
IBGE faz em nosso país.
Delfim
Martins/Pulsar
Imagens
Evolução da população
residente no país
(em milhões de pessoas)
9,9
14,3
17,4
30,6
41,1
51,9
70,0
93,1
119
146,8
169,8
190,755
1
8
7
2
1
8
9
0
1
9
0
0
1
9
2
0
1
9
4
0
1
9
5
0
1
9
6
0
1
9
7
0
1
9
8
0
1
9
9
1
2
0
0
0
2
0
1
0
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2010.
Registre no
caderno
DAE
241
Matemática e cidadania
Por meio dos textos dessa seção, você saberá
como a Matemática é importante no exercício
da cidadania.
Diversificando linguagens
Em alguns capítulos, você conhecerá um jeito dife-
rente de “ler a Matemática”, por exemplo, por meio
de histórias em quadrinhos ou tirinhas, mapas etc.

Explorando
Essa seção apresenta, no final de cada
unidade, sugestões de livros, sites, filmes,
vídeos, jogos etc. para você continuar explo-
rando o assunto. Aqui, você conta também
com alguns códigos QR, ferramenta que
possibilita o acesso direto a recursos da
web por meio de dispositivos móveis.
Superando desafios
Ao final de cada unidade, você é convidado a
aprendermaispormeiodequestõesqueopre-
paramparavestibulares,concursoseavaliações
do governo.
superandO desafiOs
1 (Saresp)
Melissa fez uma caixinha para guardar seus brincos. A planificação da caixinha está representada
na figura abaixo.
Como ficou a caixinha de Melissa depois de colada?
a) c)
b) d)
2 (Saresp)
Em qual das alternativas abaixo a figura é a planificação de um cubo?
a) c)
b) d)
Explorando
geometria na amazônia
Autor: Ernesto Rosa
Editora: Ática
112 páginas
André e sua irmã, Isabela, embarcam em um
monomotor que sofre uma pane, deixando os dois
perdidos em plena floresta amazônica. Para tentar
escapar com vida, os dois usam a Geometria e ganham
novos amigos.
Editora
Ática
maurits cornelis escher
http://www.mcescher.com/
indexuk.htm
Homepage oficial de M. C. Escher, artista
gráfico holandês famoso pelos efeitos de
ilusões de ótica de suas obras. É possível
encontrar imagens das obras e toda a
biografia do artista. Site em inglês.
M.C.
Escher
“Man
with
Cuboid”
©
2013
The
M.C.
Escher
Company-
The
Netherlands.
All
rights
reserved.
www.mcescher.com
Registre no
caderno
Ilustrações:
DAE
90
Fotos:
Fernanda
Gomes
Você já ouviu falar em programas cuja função é criar planilhas de cálculo? Você já teve a
oportunidade de explorá-los?
Esse tipo de programa é muito utilizado para várias finalidades e em diferentes situa-
ções. Eles nos possibilitam criar tabelas, automatizar cálculos, analisar dados e até cons-
truir gráficos para melhor visualizar os dados.
Primeiro, observe a estrutura de uma “página” nova da planilha. Cada um dos “retângu-
los” recebe o nome de célula. Cada célula tem um endereço, que é a intersecção da coluna
com a linha onde ela se encontra. Por exemplo, na figura a seguir a célula selecionada está
na coluna A e na linha 1, ou seja, é a célula A1:
Para criar uma tabela, pri-
meiro digite em cada célula a in-
formaçãodesejada.Porexemplo:
Em seguida, clique no botão Formatar como
tabela e escolha o estilo de tabela que deseja.
tecla_matemática
242
resgatandO cOnteúdOs
1 O número 0,25 corresponde a quantos
centésimos da unidade?
a) 2 b) 5 c) 20 d) 25
2 Mentalmente, faça as seguintes adições:
a) 10 0,25
b) 12,89 20
c) 220,02 0,002
d) 4,5 0,35
e) 9,88 0,2
f) 2,22 0,78
3 O número 0,4 pode ser representado por:
a) 4
100
b) 3
5
c) 2
5
d) 5
8
4 A metade de um décimo pode ser escrita
como:
a) 0,5 b) 0,05 c) 0,2 d) 0,01
5 Quantas moedas iguais à reproduzida a
seguir são necessárias para trocar por
uma cédula de 2 reais?
a) 10 c) 20
b) 5 d) 15
6 No gráfico de setores a seguir, estão in-
dicados os percentuais correspondentes
a A, B, C e D. Qual desses percentuais
poderá ser representado pela fração de-
cimal 1
10
?
A
15%
B
40%
C
35%
D
10%
a) 15%
b) 40%
c) 35%
d) 10%
7 Qual é a alternativa que indica a forma
correta de ler o número 0,32?
a) Trinta e dois.
b) Trinta e dois décimos.
c) Trinta e dois centésimos.
d) Trinta e dois milésimos.
©
Banco
Central
do
Brasil
Setup
8 Quatrocentos inteiros e quarenta e um cen-
tésimos podem ser representados por:
a) 400,401
b) 40,41
c) 4,41
d) 400,41
9 Qual é a alternativa que contém uma
sentença matemática verdadeira?
a) 2 2,001
b) 2,02 2,1
c) 2,01 2,009
d) 2,002 2,01
10 Cada pão estava sendo vendido na pani-
ficadora por R$ 0,25. Marcos comprou
3 pães e pagou com uma cédula de
R$ 2,00. Quanto ele recebeu de troco?
a) R$ 1,15
b) R$ 0,75
c) R$ 0,25
d) R$ 1,25
11 Qual das divisões indicadas nas alterna-
tivas tem o mesmo resultado da divisão
0,5 0,2?
a) 0,05 0,02
b) 0,5 0,02
c) 0,05 0,2
d) 0,05 0,002
12 Observando a sequência numérica, po-
demos afirmar que o número que deverá
ser escrito no último quadro é:
5499,214
549921,4 54,99214
a) 1,5499214
b) 0,5499214
c) 0,05499214
d) 00,005499214
13 No quadro está indicada a quantia que
Rubens conseguiu juntar hoje.
Qual é a alternativa que indica correta-
mente esse valor?
a) R$ 46,00
b) R$ 0,46
c) R$ 4,60
d) R$ 0,75
Jiri
Hera/Shutterstock
Fotos:
©
Banco
Central
do
Brasil
Registre no
caderno
245
245
Tecla_Matemática
A tecnologia e a Matemática estão cada vez
mais juntas e, por meio de programas de in-
formática, você descobrirá um novo universo
e aprenderá os conteúdos de forma divertida.
Resgatando conteúdos
Ao final de cada unidade, há uma proposta de
“resgate” dos conteúdos abordados nela por
meio de exercícios que servem também de
autoavaliação.

Sumário
CAPÍTULO 1 -Os números naturais...........................12
V
V Um pouco da história dos números.................13
V
V Números naturais e sequências numéricas.....15
V
V Números consecutivos.....................................15
V
V Noções de conjunto .........................................18
V
V O conjunto dos números naturais....................18
CAPÍTULO 2 -O uso dos números...............................20
V
V Contagens, ordenações e códigos...................20
V
V Os números e o nosso dinheiro........................23
CAPÍTULO 3 -Sistema de numeração decimal...........25
V
V Arredondamentos.............................................29
CAPÍTULO 4 -Adição e subtração..............................32
V
V Adição com números naturais ........................33
V
V Propriedades da adição de números naturais .34
V
V Subtração com números naturais...................36
V
V Expressões numéricas ....................................38
V
V Cálculo mental .................................................39
CAPÍTULO 5 -Multiplicação e divisão.......................41
V
V Multiplicação com números naturais..............41
V
V
Propriedades da multiplicação de números
naturais e expressões numéricas....................45
V
V Divisão com números naturais........................48
V
V Divisão com resto.............................................52
V
V Expressões numéricas.....................................52
CAPÍTULO 6 -Potenciação e radiciação....................55
V
V Potenciação.......................................................55
V
V Radiciação.........................................................56
V
V Expressões numéricas.....................................58
CAPÍTULO 7 -Tratamento da informação: organiza-
ção de dados em tabelas..............................................59
V
V Tecla_Matemática..........................................63
V
V Superando desafios.......................................65
V
V Explorando.....................................................65
V
V Resgatando conteúdos..................................66
UNIDADE1 Númerosesistemasdenumeração 10
CAPÍTULO 8 -Percebendo a geometria .....................70
V
V Conhecendo a história......................................71
V
V Algumas noções de Geometria........................75
V
V Bagagem cultural.............................................78
CAPÍTULO 9 -Formas geométricas planas e não
planas...........................................................................80
V
V Paralelepípedo ou bloco retangular.................81
V
V Cubo..................................................................81
V
V Vistas diferentes de um mesmo objeto...........83
V
V Observando formas geométricas planas.........85
V
V Superando desafios.......................................90
V
V Explorando.....................................................90
V
V Resgatando conteúdos..................................91
UNIDADE2 Geometria:primeirasnoções 68
Projeto APOEMA matemática a

CAPÍTULO 10 -Divisibilidade e números primos.......98
V
V Noções de divisibilidade...................................99
V
V Critérios de divisibilidade...............................101
V
V Números primos.............................................103
V
V Reconhecendo um número primo.................103
V
V Crivo de Eratóstenes......................................104
V
V Decomposição em fatores primos.................106
CAPÍTULO 11 -Divisores de um número natural....110
V
V Máximo divisor comum..................................114
CAPÍTULO 12 -Múltiplos de um número natural...118
V
V Os múltiplos de um número...........................118
V
V Mínimo múltiplo comum................................122
CAPÍTULO 13 -Tratamento da informação: contagem
e estimativa.................................................................127
V
V Primeiros procedimentos de contagem........127
V
V Árvore de possibilidades.................................127
V
V Estimativa........................................................129
V
V Superando desafios.....................................130
V
V Explorando...................................................131
V
V Resgatando conteúdos................................132
UNIDADE3 Múltiplosedivisores 96
CAPÍTULO 14 -A ideia de ângulo..............................136
V
V Noção de ângulo ............................................137
V
V Classificação de ângulos................................140
V
V Posição relativa entre retas............................143
CAPÍTULO 15 -Polígonos.........................................147
V
V Linha poligonal...............................................148
V
V Polígonos........................................................148
V
V Polígonos regulares........................................151
V
V Com a palavra, o especialista........................153
V
V Quadriláteros..................................................155
V
V
V Explorando...................................................160
V
UNIDADE4 Formasgeométricasplanas 134
CAPÍTULO 16 -A ideia de fração..............................166
V
V Noções iniciais ...............................................166
V
V Tipos de fração...............................................171
V
V Fração de quantidade.....................................174
CAPÍTULO 17 -Equivalência e comparação entre
frações.......................................................................176
V
V Frações equivalentes......................................177
V
V Simplificação de frações................................181
V
V Comparação de frações.................................185
CAPÍTULO 18 -Adição e subtração de frações.......189
V
V
Adição e subtração de frações com o mesmo
denominador...................................................190
V
V
Adição e subtração de frações com denomina-
dores diferentes..............................................192
CAPÍTULO 19 -Fração de fração.............................195
V
V Multiplicação de frações................................195
V
V Divisão de frações...........................................198
V
V
V Explorando...................................................201
V
UNIDADE5 Frações 164

CAPÍTULO 20 -Frações decimais e números
decimais......................................................................208
V
V Número decimal e fração decimal................209
V
V Frações centesimais.......................................214
V
V
Multiplicação de decimais por
potências de 10...............................................214
V
V Divisão de decimais por potências de 10.......215
V
V Comparações entre números decimais........217
CAPÍTULO 21 -Operações com números decimais..219
V
V Adição com números decimais......................219
V
V Subtração com números decimais................221
V
V Multiplicação com números decimais...........223
V
V
Divisão entre números naturais:
quociente decimal..........................................225
V
V Divisão com números decimais.....................230
CAPÍTULO 22 -Tratamento da informação:
noção de porcentagem, gráficos e tabelas..............233
V
V Porcentagem...................................................234
V
V Descontos e acréscimos................................235
V
V Pesquisas, tabelas e gráficos........................237
V
V Matemática e cidadania...............................241
V
V Tecla_Matemática........................................242
V
V
V Explorando...................................................244
V
UNIDADE6 Númerosdecimais 206
CAPÍTULO 23 -Unidades de comprimento
e de massa...................................................................250
V
V Unidades de comprimento.............................251
V
V Perímetros de figuras geométricas planas...254
V
V Unidades de massa........................................256
CAPÍTULO 24 -Unidades de área..............................258
V
V Unidades de área............................................259
V
V Áreas de figuras geométricas planas............263
CAPÍTULO 25 -Unidades de volume e de
capacidade..................................................................267
V
V Unidades de volume.......................................267
V
V Volumes do cubo e do paralelepípedo...........270
V
V Unidades de capacidade.................................273
CAPÍTULO 26 -Medida de tempo...............................275
V
V Matemática e cidadania...............................278
V
V Bagagem cultural........................................280
CAPÍTULO 27 -Tratamento da informação:
probabilidade e média aritmética.............................282
V
V Noções de probabilidade................................282
V
V
Noções sobre o conceito de
média aritmética.............................................284
V
V
V Explorando...................................................285
V
UNIDADE7 Grandezasemedidas 248
Gabarito 291
Referências 304
ManualdoProfessor 305

UNIDADE 1
Númerosesistemas
denumeração
Uma das primeiras noções que adquirimos sobre os nú-
meros está relacionada à ideia de contagem. Assim como
utilizamos os números para contar, também os empre-
gamos para ordenar, medir e comparar. Dessa forma,
temos as operações aritméticas: adição, subtra-
ção, multiplicação, divisão, potenciação e radi-
ciação. Tais operações são facilitadas quando
empregamos as propriedades de nosso
sistema de numeração decimal.
APOEMA Matemática 6 a
pom6_010_067_u1.indd 10 5/17/15 2:58 PM

Dreamzdesigner/Dreamstime.com
1 Quantos algarismos utilizamos na escrita dos
números no sistema de numeração decimal?
2 A adição de dois números naturais sempre re-
sulta em um número natural?
3 Como você lê o número ordinal 89o
?
pom6_010_067_u1.indd 11 5/17/15 2:58 PM

Capítulo 1
Os números naturais
Em 1514, o pintor, gravador e ilustrador Albrecht Dürer (1471-1528) fez uma gravura chama-
da Melancolia I. Próximo ao canto superior direito da obra há um quadrado mágico, que está
destacado a seguir.
Albrecht Dürer. Melancolia I, 1514. Gravura em
cobre, 23,9 3 18,8 cm.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Albrecht
Dürer/Museen
der
Stadt
Nürnberg,
Alemanha
Albrecht
Dürer/Museen
der
Stadt
Nürnberg,
Alemanha
Esse é um dos mais famosos quadrados mágicos conhecidos. Ele é formado por 16 nú-
meros distribuídos em 4 linhas e 4 colunas. À primeira vista, parece uma tabela comum, mas
verifique que:
• a soma dos números em cada linha é 34;
• a soma dos números em cada coluna é 34;
• a soma dos números em cada uma das duas diagonais é 34;
• a soma dos números que estão nos quatro cantos também é 34.
E há mais uma curiosidade que você pode descobrir: basta observar os tracejados no qua-
drado mágico abaixo. Note que a soma dos quatro números envoltos pelo tracejado, dentro
dos quadrados menores, também é 34.
A história da Matemática tem muitas curiosidades, princi-
palmente quando falamos do surgimento dos números. Co-
nhecer esse contexto histórico nos auxilia na compreensão
de conceitos, propriedades e aplicações matemáticas.
Respostas da página anterior:
1. 10
2.
Sim, dizemos que o conjunto dos números
naturais é “fechado” para a adição.
3. Octogésimo nono.
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
12
pom6_010_067_u1.indd 12 5/17/15 2:58 PM

Um pouco da história dos números
Quando teriam surgido os números?
A história dos números se confunde com a his-
tória de nossa evolução. Sendo assim, torna-se mui-
to difícil estabelecer sua origem. Sabemos que, em
algum momento, devido à necessidade de contar
quantidades, os números foram ganhando espaço
na mente do ser humano.
O berço dessa grande ideia parece estar ligado a
três rios. No Vale do Rio Nilo estabeleceu-se a civiliza-
ção egípcia, enquanto nos vales dos rios Tigre e Eufra-
tes formaram-se várias civilizações, além da impor-
tante civilização babilônica.
A observação de diferentes fontes e registros dessas civilizações indi-
ca, entre outros costumes, o uso dos números. Mesmo assim, responder
à pergunta anterior parece uma tarefa impossível. Tudo o que temos são
indícios que levam os historiadores a fazer conjecturas sobre o assunto.
Esses indícios mostram que o surgimento dos números está rela-
cionado com a necessidade de o ser humano contar coisas. A ima-
gem de um pastor criando as ovelhas e associando cada uma delas
a uma pedra possibilitou a ele um mecanismo de contagem muito
simples. Talvez não tenham sido pedras. Poderia ter sido uma corda
com vários nós, em que cada nó corresponderia a uma ovelha.
Em meados do século XX, no Congo, foi encontrado um osso com entalhes datado de
cerca de 20000 a.C. Historiadores acreditam que pode ser um dos mais antigos registros do
conhecimento matemático. Os entalhes registrados no osso levam a crer que se tratava de
algum tipo de marcação de quantidades.
Para ter uma ideia da evolução do número, observe a seguir um quadro contendo algaris-
mos indo-arábicos, com os quais escrevemos os números. Neste quadro é possível perceber
como os símbolos usados para grafar os
números foram mudando ao longo do
tempo até chegarem à forma como os
escrevemos atualmente.
No ano 1455, o alemão Johannes
Gutemberg imprimiu 200 Bíblias tipo-
graficamente. Era a invenção da impren-
sa. Antes dessa revolucionária invenção,
os livros eram copiados um a um, ma-
nualmente. Assim, letras e algarismos
foram, naturalmente, sofrendo transfor-
mações ao longo do tempo.
Observando a última linha dessa ta-
bela, podemos ver como os algarismos
eram escritos no século XV, na Europa.
Desse período para cá, eles praticamente
mantiveram a mesma forma de escrita.
As pirâmides de Gizé durante um período de
cheia do Rio Nilo, no Egito, c. 1890.
O osso Ishango, pro-
vavelmente de um leão.
Institut
Royal
des
Sciences
Naturelles
de
Belgique
Popperfoto/Getty
Images
Marcio
Levyman
século VI
(indiano)
século IX
(indiano)
século X
(árabe oriental)
século X
(europeu)
século XI
(árabe oriental)
século XII
(europeu)
século XIII
(árabe oriental)
século XIII
(europeu)
século XIV
(árabe oriental)
século XV
(árabe oriental)
século XV
(europeu)
digital
Objeto
educacional
13
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AGORA É COM VOCÊ
1 Escreva os números a seguir utilizando nosso sistema de numeração.
a) Número que indica o último dia do mês de janeiro.
b) Maior número natural formado por três algarismos.
c) Menor número natural formado por três algarismos.
2 Com base em sua leitura, escreva cada número a seguir.
a) Nove mil oitocentos e setenta e quatro.
b) Trezentos e cinquenta e oito mil novecentos e noventa e nove.
c) Dois milhões, quatrocentos e noventa e cinco mil duzentos e oito.
3 Observe ao lado o quadrado dividido em três linhas e três colu-
nas e responda:
a) Quais números estão escritos neste quadrado?
b) Esse quadrado também é mágico? Explique.
4 Observe ao lado o quadrado formado por nove números, dispos-
tos em três linhas e três colunas. Responda:
a) Qual é a soma dos números de cada linha?
b) E de cada coluna?
c) E de cada uma das diagonais?
5 Complete a tabela com algarismos indo-arábicos.
Romanos I V X L C D M
Indo-arábicos
Agora faça o que se pede.
a) Escreva os números de 1 a 20 utilizando apenas algarismos roma-
nos.
b) Descubra em que ano começou o século XXI.
31
999
100
9 874
358 999
2 495 208
2 9 4
7 5 3
6 1 8
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Sim, a soma dos números de cada linha, coluna e diagonal é 15.
23 28 21
22 24 26
27 20 25
72
72
72
1 5 10 50 100 500 1 000
Marcio
Levyman
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII,
XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX.
2 001
Trabalho em equipe
Quadrado mágico 5 3 5
Em grupo, faça o que se pede.
1 Preencha as 9 casas centrais (quadrado 3 3 3) do quadrado má-
gico ao lado, com os números 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17, de
modo que a soma das linhas, colunas e diagonais seja 39.
Dica: o número central é o 13.
2 Complete o restante das casas com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25, de modo que a soma das linhas,
colunas e diagonais do quadrado 5 3 5 seja 65.
3 Faça um resumo das estratégias utilizadas pela equipe nas ati-
vidades 1 e 2.
5 20 18 3 19
25 10 15 14 1
24 17 13 9 2
4 12 11 16 22
7 6 8 23 21
Registre no
caderno
Registre no
caderno
14
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Números naturais e sequências numéricas
Uma das sequências numéricas que mais utilizamos está ligada à
contagem do tempo. Qualquer folha de calendário é organizada em
linhas e colunas para que possamos visualizar melhor os dias do mês e
da semana.
Normalmente, a primeira sequência de números que conhecemos, an-
tes mesmo de entrar na escola, é a sequência dos números naturais.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Nessa sequência, cada número, a partir do zero, que é o primeiro, é igual ao anterior mais 1.
Temos aí a ideia de sucessor e antecessor de um número natural.
1 5 0 1 1 1 é o sucessor de 0 (0 é o antecessor de 1)

4 999 5 4 998 1 1 4 999 é o sucessor de 4 998 (4 998 é o antecessor de 4 999)
Exemplo 1:
Escreva uma sequência formada por todos os números naturais pares que sejam compos-
tos de dois algarismos.
Resolução:
O menor número par com dois algarismos é o 10. Então, a partir dele, basta ir adicionando
2 para obter os demais. Observe:
10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54,
56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98
Desses números, o maior é o 98.
Exemplo 2:
Descubra o padrão numérico da sequência 1, 4, 9, 16, 25, ...
Resolução:
Note que a sequência é formada pela multiplicação de um número natural por si mesmo,
começando do número 1.
1 3 1 5 1; 2 3 2 5 4; 3 3 3 5 9; 4 3 4 5 16; 5 3 5 5 25; ...
Ou pode-se, a partir do número 1, adicionar os números 3, 5, 7, 9, ... a cada termo obtido,
para determinar os demais termos da sequência.
1; 1 1 3 5 4; 4 1 5 5 9; 9 1 7 5 16; 16 1 9 5 25; ...
Números consecutivos
Nas sequências numéricas, os números que se seguem uns aos outros do menor para o
maior e sem lacunas são chamados de consecutivos. Veja os exemplos a seguir:
• 4 e 5 são consecutivos na sequência dos números naturais;
• 12, 14, 16, 18 são consecutivos na sequência dos números pares;
• 3 e 7 não são consecutivos na sequência dos números ímpares, mas são consecutivos
na sequência 3, 7, 11, 15, ...
Zubartez
15
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AGORA É COM VOCÊ
1 Considere o número 299. Escreva os próximos quatro números naturais maiores que 299.
2 Observe a tabela abaixo. Descubra o padrão numérico aplicado a ela e informe quais
números deverão ser colocados no lugar das letras que estão na segunda linha.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 5 10 15 A B C 35 40 45
3 Escreva a sequência dos dez primeiros números naturais ímpares.
4 É correto dizer que todo número natural tem um antecessor?
5 Observe a tabela abaixo. Descubra o padrão numérico aplicado a ela e informe quais
números deverão ser colocados no lugar das letras que estão na segunda linha.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 6 12 18 A B C D E F
6 Na tabela a seguir aparecem os quatro primeiros números triangulares. Determine qual
é o próximo número triangular.
1 3 6 10
7 Observe na tabela a seguir os chamados números quadrados. Essa denominação é feita
pela disposição dos pontos ao longo de quadrados. Determine qual é o próximo número
quadrado.
1 4 9 16
8 Escreva cinco números naturais e consecutivos que são maiores que 10 e menores que 20.
9 Alisson escreveu no caderno cinco números naturais e consecutivos, sendo 4 001 o maior
deles. Quais são os cinco números escritos por Alisson?
300, 301, 302, 303
De 5 em 5. A 5 20, B 5 25, C 5 30.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
Não, pois 0 é um número natural que não tem antecessor.
De 6 em 6. A 5 24, B 5 30, C 5 36, D 5 42, E 5 48, F 5 54.
15
25
Resposta pessoal. Resposta possível: 12, 13, 14, 15 e 16 .
3 997, 3 998, 3 999, 4 000, 4 001.
Registre no
caderno
16
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10 Escreva o sucessor e o antecessor de cada um dos números naturais seguintes.
a) 99
b) 908
c) 9 019
d) 1 000 000
11 Observe no quadro ao lado a sequência formada pelas
cidades onde algumas olimpíadas foram sediadas e o
ano em que cada uma ocorreu.
a) Como foi formada a sequência dos anos correspondentes às olimpíadas?
b) Observando a data da última olimpíada indicada na tabela, quando ocorrerão as próxi-
mas cinco olimpíadas? É possível saber onde? Por quê?
c) Escreva cinco anos, antes de 1980, em que houve Olimpíadas.
12 Determine o padrão numérico das sequências e escreva os próximos cinco termos de
cada uma delas.
a) 20, 40, 60, 80, ... Adiciona-se 20 para obter o próximo termo: 100, 120, 140, 160, 180.
b) 10, 25, 40, 55, ... Adiciona-se 15 para obter o próximo termo: 70, 85, 100, 115, 130.
c) 980, 900, 820, 740, ... Subtrai-se 80 para obter o próximo termo: 660, 580, 500, 420, 340.
d) 2010, 2006, 2002, 1998, ... Subtrai-se 4 para obter o próximo termo: 1994, 1990, 1986, 1982, 1978.
13 Escreva cada uma das sequên
cias numéricas indicadas a seguir.
a)
O primeiro número é 100. A partir do segundo número, inclusive, cada número é
igual ao anterior mais 10 unidades.
b)
O primeiro número é 999. A partir do segundo número, inclusive, cada número é
igual ao anterior menos 10 unidades.
14 Responda:
a) Quanto é a diferença entre dois números naturais e consecutivos?
b) E entre dois números naturais e consecutivos pares?
c) E entre dois números naturais e consecutivos ímpares?
100 e 98
909 e 907
9 020 e 9 018
1 000 001 e 999 999
De 4 em 4 anos.
b) 2020, 2024, 2028, 2032 e 2036. A Olimpíada de 2020
será em Tóquio. Não se sabe ainda as cidades-sede das
próximas olimpíadas, pois o comitê olímpico determina o
local aproximadamente sete anos antes de sua realização.
100, 110, 120, 130, 140, 150, ...
999, 989, 979, 969, 959, 949, ...
1
2
2
Ano Local
1980 Moscou
1984 Los Angeles
1988 Seul
1992 Barcelona
1996 Atlanta
2000 Sydney
2004 Atenas
2008 Pequim
2012 Londres
2016 Rio de Janeiro
Registre no
caderno
OCEANO GLACIAL ÁRTICO
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ÍNDICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Equador
Círculo Polar Antártico
Círculo Polar Ártico
Trópico de Câncer
OCEANO PACÍFICO
0° 60°L 120°L
60°O
120°O
0°
Meridiano
de
Greenwich
OCEANO GLACIAL ANTÁRTICO
Sydney
Moscou
Seul
Barcelona
Atenas
Pequim
Londres
Los Angeles
Atlanta
Rio de Janeiro
Sedes olímpicas
©
DAE/Sonia
Vaz
• Sedes olímpicas
N
S
L
O
0 6 722 13 444 km
1960, 1964, 1968, 1972, 1976.
17
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Noções de conjunto
Um conjunto pode ser entendido como uma coleção de objetos. Um exemplo é o con-
junto de todas as moedas de nosso sistema monetário.
Podemos representar um conjunto listando seus elementos entre chaves e separando-os
com vírgulas.
Assim, a representação do conjunto das moedas do nosso sistema monetário pode ser:
M 5 {1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, 50 centavos, 1 real}
Em geral, o nome do conjunto é representado por uma letra maiúscula.
• O conjunto que tem apenas um elemento é chamado de conjunto unitário.
Exemplo:
Seja A o conjunto dos dias da semana cujos nomes começam com a letra d. Só temos o
domingo que começa com d. Portanto, A é um conjunto unitário e pode ser representado por:
A = {domingo}
• O conjunto que não tem elementos é chamado de conjunto vazio.
Exemplo:
Seja B o conjunto dos meses que têm 40 dias. Como não há mês com essa quantidade de
dias, o conjunto B é vazio. Podemos representar esse conjunto por:
B =  ou B 5 { }
O conjunto dos números naturais
A sequência dos números naturais é infinita e começa do zero: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Este conjunto é identificado pelo símbolo , logo, o conjunto dos números naturais pode
ser escrito como:
  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
As reticências indicam que o conjunto é infinito.
Perceba que, da mesma maneira que todo número natural n tem um sucessor que pode
ser descrito como n  1, todo número natural n, com exceção de 0, tem um antecessor que
pode ser descrito como n  1.
É possível também representar o conjunto dos números naturais em uma reta numérica,
como a reta a seguir.
A disposição dos números nessa reta indica que eles aumentam da esquerda para a direita.
Assim, um valor é maior do que cada um dos valores que estão à sua esquerda.
Exemplos:
3  4

5  1

8  7
Lembre-se: o sinal significa maior que e o sinal significa menor que.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
18
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AGORA É COM VOCÊ
1 Escreva cinco números que fazem parte de seu dia a dia e são usados para contar, medir,
ordenar, fornecer uma informação ou um código. Resposta pessoal.
2 Larissa e Maria, sua amiga, estavam brincando de karaoke. Larissa obteve 15 pontos, e
Maria alcançou, em sua pontuação, o sucessor dos pontos de Larissa. Qual foi a soma
de pontos das duas? 31 pontos
3 Chiquinho tem 2 irmãos. O número de irmãos de Maria é igual ao dobro da quantidade de
irmãos de Chiquinho. O número de irmãos de Camila é igual ao antecessor do número
de irmãos de Maria. Quantos irmãos tem Camila? Camila tem três irmãos.
4 Escreva o conjunto de cada item.
a) Números naturais ímpares menores que 4. {1, 3}
b) Números naturais maiores que 1 e menores que 9. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
c) Números naturais pares maiores que 7. {8, 10, 12, 14, 16, ...}
d) Números naturais menores ou iguais a 10. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
5 Em um trimestre Carina obteve três notas com valores naturais e consecutivos, e a me-
nor delas foi 7. Qual foi a maior nota que Carina obteve no trimestre? A maior nota foi 9.
6 Escreva em ordem crescente os números a seguir.
a) 22, 4, 90, 5, 13, 1, 99 1, 4, 5, 13, 22, 90, 99
b) 567, 452, 453, 888, 1 019, 1 009 452, 453, 567, 888, 1 009, 1 019
7 Pense em um conjunto qualquer e represente-o com a notação matemática que você
aprendeu. Resposta pessoal.
8 Determine os números dos itens a seguir.
a) O antecessor de 100. 99
b) O sucessor de 23. 24
c) O sucessor do sucessor de 31. 33
d) O sucessor do antecessor de 31. 31
e) O antecessor do sucessor de 31. 31
9 Em uma família com três filhos, o mais velho tem 6 vezes a idade do caçula e este, por
sua vez, tem um quinto da idade do filho do meio. Determine a soma das idades dos ir-
mãos, sabendo que o filho mais novo tem 3 anos. 36 anos (18 1 15 1 3 5 36)
10 Uma soma com 4 parcelas é igual a 132. Subtraindo 5 da primeira parcela e 41 da se-
gunda e adicionando 12 e 60 na terceira e quarta parcelas, respectivamente, qual será o
novo resultado da soma? 132 2 5 2 41 1 12 1 60 5 158
11 Escreva o conjunto formado pelas cédulas do nosso sistema monetário.
A = {2 reais, 5 reais, 10 reais, 20 reais, 50 reais, 100 reais}
12 Responda:
a) Qual é o número de elementos de um conjunto unitário? 1
b) Qual é o número de elementos de um conjunto vazio? Zero.
Registre no
caderno
19
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Capítulo X
Título título título título
Capítulo 2
O uso dos números
Você já olhou com atenção o painel de um automóvel?
Nele podemos observar diversas luzes,
vários comandos e informações importan-
tes que são representados por números.
Os números ainda estão presentes na
identidade e na carteira de habilitação do
motorista do carro. Além disso, eles fazem
parte da placa dos veículos.
a quantidade de
combustível no
tanque.
Números que
indicam o horário.
Números que indicam a
quantidade de quilômetros
percorrida pelo carro.
Léo
Burgos
a velocidade do carro.
as rotações do motor.
©
DAE
Zubartez
Esses são apenas alguns exemplos de utilização dos números. Eles são empregados com
finalidades diversas, como veremos a seguir.
Contagens, ordenações e códigos
Desde criança, utilizamos os números para fazer contagens. Para tanto, empregamos os nú-
meros naturais. Além disso, fazemos comparações entre quantidades.
4  3
Omkr/Dreamstime.com
Martinlee58/Dreamstime.com
50°O
OCEANO
ATLÂNTICO
MATO GROSSO
DO SUL
SÃO PAULO
PARANÁ
SANTA CATARINA
SANTA CATARINA
Curitiba
Capital de estado
Arapongas
N
S
L
O
0 105 210 km
APOEMA MATEMÁTICA 6 a
20
pom6_010_067_u1.indd 20 5/17/15 2:58 PM

A brasileira Sarah Menezes ficou em 1o
lugar na
competição de judô nas Olimpíadas de 2012,
em Londres.
Quando queremos indicar posição, utilizamos os
números ordinais, por exemplo, João está em pri-
meiro (1o
) lugar; Maria, em segundo (2o
) lugar, e as-
sim por diante.
No quadro abaixo, indicamos alguns números ordinais:
Cameron
Spencer/Getty
Images
As réguas para uso escolar, em geral, têm um conjunto de números naturais que expres-
sam comprimento. Observe a imagem da régua e note que os números representam valores
em centímetros, que é uma unidade de medida.
Natalia
Siverina/
Dreamstime.com
Dalibor
Sevaljevic/Shutterstock
1o
(primeiro) 20o
(vigésimo) 300o
(tricentésimo)
2o
(segundo) 30o
(trigésimo) 400o
(quadringentésimo)
3o
(terceiro) 40o
(quadragésimo) 500o
(quingentésimo)
4o
(quarto) 50o
(quinquagésimo) 600o
(sexcentésimo)
5o
(quinto) 60o
(sexagésimo) 700o
(setingentésimo)
6o
(sexto) 70o
(septuagésimo) 800o
(octingentésimo)
7o
(sétimo) 80o
(octogésimo) 900o
(noningentésimo)
8o
(oitavo) 90o
(nonagésimo) 1000o
(milésimo)
9o
(nono) 100o
(centésimo) 1000000o
(milionésimo)
10o
(décimo) 200o
(ducentésimo) 1000000000o
(bilionésimo)
Ao criarmos uma senha, podemos escolher um
conjunto de caracteres como letras, sinais e núme-
ros. Neste caso, o número tem a finalidade específi-
ca de codificar. Outros exemplos de números usa-
dos como código são os de documentos pessoais,
telefone, Código de Endereçamento Postal (CEP),
código de barras etc. Empregamos os números com
diversas finalidades.
Você conhece outras unidades de medida? Quais?
Estudaremos outras unidades de medida mais adiante.
Teclado do caixa eletrônico de um banco.
21
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AGORA É COM VOCÊ
Cesar
Diniz/Pulsar
Imagens
O Código de Endereçamento Postal (CEP) é uma sequência
numérica utilizada para orientar e acelerar o encaminha-
mento de correspondências.
Resposta pessoal. Oriente os alunos a buscar informações para
a pesquisa no site dos Correios.
1 Escreva por extenso cada um dos seguintes números ordinais:
a) 224o
b) 75o
c) 139o
d) 762o
2 Houve um acidente e o veículo que o causou fugiu logo de-
pois. Uma testemunha memorizou apenas as três letras da
placa e os três primeiros algarismos.
a) Quais são as possíveis placas que esse veículo pode ter?
b) E se a testemunha tivesse anotado a placa faltando apenas a última letra, quantas
seriam as possíveis placas do veículo?
3 Numa corrida em um fim de semana, 93 pessoas chegaram antes de você. Qual foi a
sua posição de chegada?
4 Para fazer o que se pede nos itens a seguir você pode ir a uma agência dos Correios
de sua cidade ou consultar o site ‹www.correios.com.br›.
a) O que é CEP?
b) Qual é o CEP de seu endereço?
c) O seu CEP é o mesmo que o de seus colegas?
d) Faça com um colega uma pesquisa sobre o significado
dos algarismos na estrutura do CEP e apresente-a na
sala de aula.
5 Como determinar os dígitos verificadores do CPF?
Se o CPF de uma pessoa tem os 9 primeiros dígitos 087.342.524, quais serão os dois
dígitos verificadores?
Cálculo do primeiro dígito de controle:
CPF 0 8 7 3 4 2 5 2 4
Posição 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Devemos multiplicar o algarismo do CPF pelo número que corresponde à sua posição e
somar os nove resultados, como a seguir.
0 3 1 1 8 3 2 1 7 3 3 1 3 3 4 1 4 3 5 1 2 3 6 1 5 3 7 1 2 3 8 1 4 3 9 5 168
Feito isso, dividimos o resultado por 11. O resto da divisão, que neste caso é 3, é o pri-
meiro dígito verificador.
Agora, para determinar o segundo dígito verificador, acrescentamos o décimo número,
que acabamos de calcular, e usamos como posição os números de 0 a 9. Verifique:
CPF 0 8 7 3 4 2 5 2 4 3
Posição 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 3 0 1 8 3 1 1 7 3 2 1 3 3 3 1 4 3 4 1 2 3 5 1 5 3 6 1 2 3 7 1 4 3 8 1 3 3 9 5 160
Novamente, dividimos o número obtido por 11 e obtemos resto igual a 6, que é o segundo
dígito verificador.
Assim o CPF completo seria: 087.342.524–36.
Agora, em dupla, verifique essa regra utilizando seu CPF ou o CPF de um parente ou colega.
ducentésimo vigésimo quarto septuagésimo quinto centésimo trigésimo nono
setingentésimo sexagésimo segundo
Zubartez
São 10 placas suspeitas: PLM-5740 ou com o último algarismo sendo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.
26
94o
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Registre no
caderno
22
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Os números e o nosso dinheiro
Observe reproduções das cédulas do real (representado pelo R$), a moeda que circula em nosso país.
Exemplo 2:
Raul foi à cantina da escola e comprou um pão de queijo, um suco e um lanche natural.
Observe a tabela de produtos e seus valores existentes na cantina.
pão de queijo R$ 2,00
coxinha R$ 4,00
croissant R$ 3,00
mini pizza R$ 5,00
lanche natural R$ 5,00
refrigerante R$ 4,00
suco R$ 5,00
a) Com base na tabela de preços, quanto Raul gastou? Raul gastou R$ 12,00.
b) Ele entregou duas notas de R$ 10,00 para o vendedor. Haverá troco? Se sim, de quanto
será o troco? Por quê? 20 2 12 5 8 O troco será de R$ 8,00.
©
Banco
Central
do
Brasil
Note que as cédulas têm tamanhos diferentes. É importante conhecer bem os valores des-
sas cédulas para fazer compras, compreender quanto se recebe de troco etc. Leia as situações
a seguir a fim de compreender o uso do dinheiro.
Exemplo 1:
Um feirante precisava trocar uma cédula de 100 reais. Foi ao caixa de um banco e recebeu
1 cédula de 50 reais e outras cédulas de valores diferentes de 50 reais. Quais são os valores
possíveis dessas cédulas, sabendo que elas têm o mesmo valor?
Resolução:
Como o caixa deu 1 cédula de 50 reais, as outras cédulas devem totalizar 50 reais. Preci-
samos então determinar quais são as possibilidades de juntar cédulas de mesmo valor que
totalizem 50 reais:
• 1a
possibilidade: 5 cédulas de 10 reais;
• 2a
possibilidade: 10 cédulas de 5 reais;
• 3a
possibilidade: 25 cédulas de 2 reais.
São apenas essas as possibilidades, já que as cédulas devem ter o mesmo valor.
Registre no
caderno
23
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1 Além das cédulas, há moedas em circulação no
Brasil.
Marta conseguiu juntar um total de 2 reais com moe-
das de mesmo valor. Qual é o número de moedas
que ela pode ter juntado?
2 Veja na tabela a seguir a quantia que Júlia, Mauro e Tânia possuem. Nas colunas estão
indicadas quais cédulas cada um tem e seus valores.
Cédula
Nome
Júlia 1 2 1 2
Mauro 2 2 2 2
tânia 1 4 2 4
Fotos:
©
Banco
Central
do
Brasil
Escreva a quantia em reais que cada um deles tem.
3 Maria e seu irmão organizaram um evento para auxiliar na compra de material escolar
para crianças de uma comunidade. A tabela a seguir mostra o total arrecadado. Obser-
ve-a e calcule quantos reais eles conseguiram arrecadar. R$ 397,00
4 O cadeado de uma mala de viagem contém uma senha composta de quatro algarismos.
O dono da mala se lembra dos três primeiros e esqueceu apenas o último algarismo.
Quais são as possíveis senhas desse cadeado?
8 6 4 ?
5 Escreva a quantia total correspondente a:
a) 4 cédulas de 20 reais;
b) 3 cédulas de 100 reais;
c) 5 cédulas de 5 reais;
d) 8 cédulas de 2 reais;
e) 10 cédulas de 10 reais.
6 Copie e complete a tabela com os va-
lores que faltam. Note que a primeira
linha da tabela está completa.
©
Banco
Central
do
Brasil
Ela juntou 200 moedas de 1 centavo, ou
40 de 5, ou 20 de 10, ou 8 de 25, ou 4 de 50 ou 2 moedas de 1 real.
Júlia: 240 reais, Mauro: 360 reais e Tânia: 380 reais.
8640, 8641, 8642, 8643, 8644, 8645, 8646, 8647,
8648 ou 8649
80 reais
300 reais
25 reais
16 reais
100 reais
aGoRa É CoM VoCÊ
4 moedas
de R$ 0,25
6 moedas
de R$ 0,50
3 moedas
de R$ 1,00
2 cédulas
de R$ 10,00
1 cédula
de R$ 20,00
3 cédulas
de R$ 50,00
2 cédulas
de R$ 100,00
Valor da compra
(reais)
quantia dada
(reais)
troco recebido
(reais)
75 100 25
130 140
200 40
320 30
920 950
160
Registre no
caderno
350
10
30
24
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Por volta do ano 500, matemáticos indianos desenvolveram o sistema de notação posicio-
nal dos números. Atualmente, o denominamos sistema de numeração decimal ou sistema de
numeração indo-arábico. Esta última denominação informa que o sistema foi criado pelos
indianos (“indo”) e sua divulgação foi feita pelos árabes (”arábico“) .
AFEGANISTÃO
PAQUISTÃO
NEPAL
CHINA
BUTÃO
BANGLADESH
MIANMAR
SRI LANKA
Golfo de
Bengala
OCEANO
ÍNDICO
Í N D I A
Is. Lacadivas
(IND)
Is. Andaman
(IND)
Is. Nicobar
(IND)
80° L
Trópico de Câncer
Nova
Délhi
Índia - Político
Capital de país
índia - político
336
0 672 km
1: 33600000
©
DAE/Simone
Soares
de
Andrade
Fonte: Atlas geográfico escolar. 5. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012, p. 47.
M
a
r
c
i
o
L
e
v
y
m
a
n
Para escrever um número no sistema de numeração decimal, utilizamos 10 símbolos,
chamados de algarismos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O sistema tem base 10, isto quer dizer que, os agrupamentos são feitos de 10 em 10 uni-
dades. É posicional, ou seja, o valor de um algarismo depende de sua posição no número. Por
exemplo, no número 333 o algarismo da direita equivale a 3 unidades, o algarismo do centro
equivale a 3 dezenas e o da esquerda equivale a 3 centenas.
Neste capítulo, estudaremos um pouco mais sobre o sistema de numeração decimal.
Capítulo 3
Sistema de numeração
decimal
N
S
L
O
25
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No sistema de numeração decimal, cada número é composto, da direita para a esquerda,
pela quantidade de unidades, de dezenas, de centenas, de unidades de milhar, de dezenas de
milhar, de centenas de milhar, de unidades de milhão etc.
Classe Milhares de milhão Milhões Milhares Unidades
Ordem
Centena
de
milhar
de
milhão
Dezena
de
milhar
de
milhão
Unidade
de
milhar
de
milhão
Centena
de
milhão
Dezena
de
milhão
Unidade
de
milhão
Centena
de
milhar
Dezena
de
milhar
Unidade
de
milhar
Centena
Dezena
Unidade
Exemplo 1:
• 3 782 456 5 3 000 000 1 700 000 1 80 000 1 2 000 1 400 1 50 1 6
Lê-se: três milhões, setecentos e oitenta e dois mil quatrocentos e cinquenta e seis.
• 92 446 902 5 90 000 000 1 2 000 000 1 400 000 1 40 000 1 6 000 1 900 1 2
Lê-se: noventa e dois milhões, quatrocentos e quarenta e seis mil novecentos e dois.
Exemplo 2:
Em revistas e jornais é muito comum os números muito grandes serem escritos de ma-
neira um pouco diferente, por exemplo, a população brasileira, conforme o Censo 2010, era
de aproximadamente 191 milhões.
Escreva essa quantidade de habitantes somente com algarismos, conforme o sistema de
numeração decimal.
Resolução:
191
191 mil 5 191 000
191 milhões 5 191 000 000
Exemplo 3:
Faça a decomposição e escreva como se lê cada um dos seguintes números.
a) 9 345 629
Resolução:
9 345 629 5 9 000 000 1 300 000 1 40 000 1 5 000 1 600 1 20 1 9
Nove milhões, trezentos e quarenta e cinco mil seiscentos e vinte e nove.
b) 24 999 523
Resolução:
24 999 523 5 20 000 000 1 4 000 000 1 900 000 1 90 000 1 9 000 1 500 1 20 1 3
Vinte e quatro milhões, novecentos e noventa e nove mil quinhentos e vinte e três.
c) 342 789 421
Resolução:
342 789 421 5 300 000 000 1 40 000 000 1 2 000 000 1 700 000 1 80 000 1 9 000 1
1 400 1 20 1 1
Trezentos e quarenta e dois milhões, setecentos e oitenta e nove mil quatrocentos e
vinte e um.
26
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aGoRa É CoM VoCÊ
1 Observe a tabela. Com base nas informações sobre a Região Norte do Brasil, responda
às questões.
estado
No
de
habitantes
Rondônia 1560501
Acre 732793
Amazonas 3480937
Roraima 451227
Pará 7588078
Amapá 668689
Tocantins 1383453
a) Quais são os estados dessa região que têm a população maior que 1 milhão de habi-
tantes?
b) Determine a soma da população dos estados da Região Norte. Escreva esse número
como se lê. 15865678; quinze milhões, oitocentos e sessenta e cinco mil, seiscentos e setenta e oito
2 Faça a composição de cada um dos seguintes números:
a) 9000000 1 80000 1 600 1 4 b) 20000000 1 30000 1 500 1 1
3 Considere o número 2 milhões, isto é, 2000000. Neste número, quantas são as:
a) unidades?
b) dezenas?
c) centenas?
d) unidades de milhar?
e) dezenas de milhar?
f) centenas de milhar?
4 Em um número o algarismo da dezena é 5, o das centenas é 4 e o do milhar é 3. Sa-
bendo-se que este número natural é par e menor que 3500, escreva todos os possíveis
números que atendem a essas condições. 3450, 3452, 3454, 3456, 3458
5 Escreva com algarismos cada um dos seguintes números.
a) Trezentos e nove mil quatrocentos e oitenta e oito.
b) Nove milhões, quatrocentos e cinquenta e dois mil.
6 Responda:
a) Qual é o sucessor do número 10999?
b) Qual é o antecessor do número 100900?
Rondônia, Amazonas, Pará e Tocantins.
9080604 20030501
2000000
200000
20000
2000
200
20
309488
9452000
11000
100899
Equador
OCEANO
ATLÂNTICO
60° O
0°
Boa Vista
Macapá
Belém
Manaus
Porto Velho
Palmas
Rio Branco
COLÔMBIA
PERU
BOLÍVIA
RORAIMA
AMAPÁ
A M A Z O N A S P A R Á
ACRE
TOCANTINS
RONDÔNIA
BAHIA
GOIÁS
MATO GROSSO
PIAUÍ
MARANHÃO
VENEZUELA
GUIANA
SURINAME
GUIANA
FRANCESA
(FRA)
Capital de estado
Limites estaduais
Limites internacionais
331
0 662 km
1: 33100000
©
DAE/Simone
Soares
de
Andrade
Norte (IbGe) — Divisão política
Registre no
caderno
N
S
L
O
27
pom6_010_067_u1.indd 27 5/17/15 2:58 PM

7 Faça a decomposição de cada um dos seguintes números:
a) 74576
b) 932775
c) 3456829
d) 44758223
8 Escreva o número correspondente a:
a) 44 centenas;
b) 57 unidades de milhar;
c) 3 dezenas de milhar;
d) 9 dezenas de bilhão.
9 A figura abaixo representa um ábaco. Cada conta colorida significa uma unidade da cor-
respondente ordem indicada.
Zubartez
Responda:
a) Que número está indicado no ábaco?
b) Que número cada conta vermelha está representando?
c) Que número cada conta amarela está representando?
10 Conforme o Censo Demográfico 2010, confira a população dos estados que compõem a
Região Nordeste:
estado No
de habitantes
Maranhão 6569683
Piauí 3119015
Ceará 8448055
Rio Grande
do Norte 3168133
Paraíba 3766834
Pernambuco 8796032
Alagoas 3120922
Sergipe 2068031
Bahia 14021432
Responda:
a) Quais estados apresentam a maior e a menor população? Bahia e Sergipe.
b) Qual é o total da população do Nordeste? 53078137
c) Escreva por extenso o número obtido no item b.
70000 1 4000 1 500 1 70 1 6
900000 1 30000 1 2000 1 700 1 70 1 5
3000000 1 400000 1 50000 1 6000 1
1 800 1 20 1 9
40000000 1 4000000 1 700000 1 50000 1
1 8000 1 200 1 20 1 3
4400
57000
30000
90000000000
456789
100000
100
10° S
40° O
São Luís
Fortaleza
Teresina
Natal
João Pessoa
Recife
Maceió
Aracaju
Salvador
ES
PARÁ
TOCANTINS
GOIÁS
DF
MINAS GERAIS
MARANHÃO
CEARÁ
RIO GRANDE
DO NORTE
PA R A Í B A
PIAUÍ
P E R N A M B U C O
ALAGOAS
SERGIPE
BAHIA
OCEANO
ATLÂNTICO
Atol das Rocas
Fernando de
Noronha (PE)
Capital de estado
Nordeste (IbGe) – Divisão política
257
0 514 km
1: 25700000
©
DAE/Simone
Soares
de
Andrade
Cinquenta e três milhões, setenta e oito mil
cento e trinta e sete.
N
S
L
O
28
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Arredondamentos
A população do estado de Pernambuco no Censo 2000 era de 7 918 344 habitantes. Já no
Censo 2010, essa população passou a 8 796 032 habitantes. Conforme site do IBGE.
8º S
38º O
OCEANO
ATLÂNTICO
PIAUÍ
BAHIA
SERGIPE
ALAGOAS
PERNAMBUCO
Recife
CEARÁ
PARAÍBA
RN
-3º50’
-32º25’
ARQUIPÉLAGO DE
FERNANDO DE NORONHA
Pernambuco - Divisão municipal
Capital de estado
De maneira mais simples, poderíamos dizer que a população era de aproximadamente
7 900 000 e passou a 8 800 000 habitantes. Fizemos um arredondamento para a centena de
milhar mais próxima, isto é:
Arredondamos 7 918 344 para 7 900 000:
Note, na reta, 7 918 está mais próximo de 7 900 (centena de milhar mais próxima).
Arredondamos 8 796 032 para 8 800 000:
Note, na reta, 8 796 está mais próximo de 8 800 (centena de milhar mais próxima).
Os arredondamentos para a centena de milhar mais próxima foram arbitrários. Po-
deríamos ter arredondado para a unidade de milhão mais próxima ou para a unidade de
milhar mais próxima, conforme a conveniência. Exemplos:
• 7 918 344 (arredondamento para a unidade de milhar mais próxima): 7 918 000;
• 8 796 032 (arredondamento para a unidade de milhar mais próxima): 8 796 000.
As aproximações facilitam a comunicação e, por isso, esse recurso é muito usado
pelos meios de comunicação. O arredondamento permite que o leitor, telespectador ou
ouvinte tenha uma ideia aproximada das quantidades e valores mencionados nas repor-
tagens. Além disso, quando queremos saber, por exemplo, quanto gastaremos, aproxima-
damente, numa compra, podemos fazer arredondamentos para os valores dos produtos
que precisamos, para, então, calcular o total.
7000
7918
7900
8000
8000
8800
8796
9000
©
DAE/Simone
Soares
de
Andrade
52
0 104 km
1:5200000
pernambuco – Divisão municipal
Ilustrações:
Setup
N
S
L
O
29
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AGORA É COM VOCÊ
1 Arredonde cada número para a centena mais próxima.
a) 7 077 b) 82 781 c) 45 432
2 Considerando-se os mesmos números anteriores, faça agora arredondamentos para a
unidade de milhar mais próxima.
3 Observe o valor de alguns eletrodomésticos descritos no quadro ao lado e responda às
questões.
a) Se você precisar calcular rapidamente o valor da
compra de todos esses itens, é útil fazer arredon-
damentos? Por quê? Resposta pessoal.
b) Que cálculos aproximados você pode fazer? Que
valor estima para essa compra?
c) Verifique com os colegas se os valores que eles estimaram foram iguais aos seus. Se-
rá que há apenas uma estimativa possível? Resposta pessoal, porém espera-se que o aluno responda
que podemos ter estimativas diferentes, conforme arredondamentos ou aproximações feitas.
4 Luiz Antônio fez uma viagem de carro. Ele saiu de Belo Horizonte e foi para Brasília, que
está a 716 quilômetros de distância. Logo depois, ele partiu de Brasília e foi a Campo
Grande, distante 1 134 quilômetros. Finalmente, após alguns dias em Campo Grande,
Luiz voltou para Belo Horizonte, percorrendo então 1 453 quilômetros.
7 100 82 800 45 400
7 000; 83 000; 45 000
Resposta pessoal.
Fogão com 4 bocas
Micro-ondas
Geladeira
Máquina de lavar
R$ 531,00
R$ 369,00
R$ 917,00
R$ 876,00
a) Obtenha a distância aproximada de Belo Horizonte a Brasília (arredonde para a dezena
mais próxima).
b) Obtenha a distância aproximada de Brasília a Campo Grande (arredonde para a deze-
na mais próxima).
c) Obtenha a distância aproximada de Campo Grande a Belo Horizonte (arredonde para a
dezena mais próxima).
d) Em sua opinião, Luiz Antônio percorreu toda a viagem em linha reta, como ilustrado no
mapa? Por quê? Não, pois as estradas não têm a trajetória reta como ilustrado no mapa.
720 quilômetros
1 130 quilômetros
1 450 quilômetros
Registre no
caderno
OCEANO
PACÍFICO
Equador
60°O
OCEANO
ATLÂNTICO
0°
VENEZUELA
GUIANA
SURINAME
Guiana
Francesa
(FRA)
PERU
BOLÍVIA
PARAGUAI
URUGUAI
ARGENTINA
20°S
40°O
CHILE
COLÔMBIA
RORAIMA AMAPÁ
AMAZONAS
ACRE
PARÁ
RONDÔNIA
MATO GROSSO
DISTRITO
FEDERAL
MARANHÃO
PIAUÍ
RIOGRANDE
DONORTE
ALAGOAS
SERGIPE
MINAS
GERAIS
BAHIA
SÃO PAULO
PARANÁ
RIO
GRANDE
DO SUL
PARAÍBA
RIO DE JANEIRO
MATO GROSSO
DO SUL ESPÍRITO SANTO
Manaus
Rio Branco
Boa Vista
Porto
Velho
Belém
Cuiabá
Campo Grande
Brasília
Macapá
São Luís
Fortaleza
Salvador
Goiânia
Palmas
Teresina
Belo Horizonte Vitória
Florianópolis
Porto Alegre
Curitiba
SANTA
CATARINA
Rio de Janeiro
São Paulo
Maceió
Aracaju
Recife
Natal
João Pessoa
GOIÁS
TOCANTINS
PERNAMBUCO
CEARÁ
Arq. de
Fernando
de Noronha
Capital de estado
Capital de país
Limites
estadual
internacional
Brasil – Político
©
DAE/Sonia
Vaz
N
S
L
O
0 494 988 km
1 : 49 400 000
30
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5 Considerando-se o número 788 439, indique com V as afirmações que são verdadeiras e
com F aquelas que são falsas.
a) Os dois algarismos 8 têm o mesmo valor relativo.
b) O valor relativo do algarismo 7 é 700 000.
c) O algarismo 7 é o de maior valor posicional.
d) O número 788 440 é seu antecessor.
6 Copie e complete a tabela com os arredondamentos solicitados.
Número Arredondamento para dezena Arredondamento para centena
Arredondamento para
unidade de milhar
95 273
103 459
77 488
91 311
13 419
95 270 95 300 95 000
103 460 103 500 103 000
77 490 77 500 77 000
91 310 91 300 91 000
13 420 13 400 13 000
7 Na tabela a seguir, estão indicados os valores em reais de alguns gastos que Felipe fez
ao longo de uma semana.
a) Faça o arredondamento desses valores para a dezena mais próxima.
b) Obtenha, com base nesses arredondamentos, o valor aproximado do gasto de Felipe na
semana.
8 Para responder às perguntas a seguir, faça arredondamentos para a dezena mais próxima.
a) Uma pessoa caminha, todos os dias, 3 503 metros. Quantos metros, aproximadamente,
ela terá caminhado ao final de dois dias?
b) Duas parcelas de R$ 48,00 correspondem a quantos reais, aproximadamente?
c) Gastei a quantia de R$ 74,00 pela manhã e R$ 97,00 à tarde. Quanto gastei, aproxima-
damente?
d) Três pessoas entraram no elevador: uma, de 68 quilogramas; outra, de 71 quilogramas;
e a terceira, de 46 quilogramas. Qual é a massa total das três pessoas?
9 Aproxime cada número a seguir para a centena mais próxima.
a) 93 454 b) 10 371 c) 42 098 d) 95 333
10 Aproxime cada número a seguir para dezena mais próxima.
a) 93 454 b) 10 371 c) 42 098 d) 95 333
F
V
V
F
90; 160; 30;
270; 70
R$ 620,00
7 000 metros
R$ 100,00
R$ 170,00
190 quilogramas
93 500 10 400 42 100 95 300
93 450 10 370 42 100 95 330
Gastos com Quantia gasta (R$)
Gasolina 91,00
Comida 157,00
Cinema 33,00
Supermercado 272,00
Farmácia 71,00
Explique aos alunos a diferença entre massa e peso. No dia a dia é comum utilizar essas palavras com o mesmo sentido.
Comente que massa é a quantidade de matéria de um corpo, e peso é a força
com que a Terra atrai determinada massa.
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José é engenheiro e Rodolfo é arquiteto. Juntos, eles vão construir um estádio de futebol
para sediar os jogos dos times da cidade onde moram.
Para saber quanto terão de investir na construção, eles decidiram elaborar a tabela a seguir
com a previsão dos gastos:
Obras gerais R$ 220.500.000,00
Implantação do gramado R$ 69.200.000,00
Arquibancada e camarotes R$ 100.000.000,00
Show de inauguração R$ 1.800.000,00
Valor total R$ 500.000.000,00
Para obter o total desses valores, tivemos de fazer uma adição, isto é:
220 500 000 1 69 200 000 1 100 000 000 1 1 800 000 5 391 500 000
Se José e Rodolfo optarem por não contratar o show para a inauguração do estádio, de-
vemos tirar essa quantia do total dos gastos para descobrirmos o novo valor total, ou seja:
391 500 000  1 800 000 5 389 700 000
Nesse caso, efetuamos uma subtração. Essas duas operações aritméticas serão estudadas
ao longo deste capítulo.
Capítulo 4
Adição e subtração
Ilustra
Cartoon
32
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Adição com números naturais
O significado de adicionar está ligado à ideia de juntar, reunir, acrescentar.
Os números que são adicionados são chamados de parcelas, e o resultado obtido da adi-
ção recebe a denominação de soma ou total.
soma ou total
120 1 760 5 880
parcelas
Para resolver uma adição podemos utilizar diferentes estratégias, por exemplo, decom-
pondo as parcelas. Veja o exemplo:
120 1 760 5 100 1 20 1 700 1 60
120 1 760 5 100 1 700 1 20 1 60
120 1 760 5 800 1 80
120 1 760 5 880
Que estratégias você utiliza para resolver uma adição? Resposta pessoal.
Exemplo 1:
Efetue a adição 9 543 1 2 725 pela decomposição das parcelas.
Resolução:
Pela decomposição, cada uma das parcelas é separada em unidades, dezenas, centenas e
unidades de milhar:
9 543 1 2 725 5 (9 000 1 500 1 40 1 3) 1 (2 000 1 700 1 20 1 5)
9 543 1 2 725 5 (9 000 1 2 000) 1 (500 1 700) 1 (40 1 20) 1 (3 1 5)
9 543 1 2 725 5 11 000 1 1 200 1 60 1 8
9 543 1 2 725 5 12 200 1 68
9 543 1 2 725 5 12 268
Os parênteses indicam os agrupamentos de parcelas.
Exemplo 2:
O quadro ao lado apresenta a
quantidade de habitantes dos três es-
tados da Região Sul do Brasil, confor-
me Censo 2000 e Censo 2010.
a) Qual era a população dessa re-
gião, conforme o Censo 2000?
b) E conforme o Censo 2010?
Resolução:
Para responder às duas perguntas, precisamos efetuar as duas adições. Vamos colocar as
parcelas uma embaixo da outra e fazer as adições.
a) 9 563 458 b) 10 439 601
5 356 360 6 249 682
1 10 187 798 1 10 695 532
25 107 616 27 384 815
Número de habitantes
Estado Censo 2000 Censo 2010
Paraná 9 563 458 10 439 601
Santa Catarina 5 356 360 6 249 682
Rio Grande do Sul 10 187 798 10 695 532
Fonte: IBGE. Censo Demográfico 2000 e Censo Demográfico 2010.
Registre no
caderno
33
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Propriedades da adição de números naturais
Toda adição de números naturais está fundamentada em três propriedades: associativa,
comutativa e existência do elemento neutro.
Sejam quaisquer números a, b e c, que pertençam ao conjunto dos números naturais, temos:
Trabalho em equipe
1 Considerem que as letras a e b representam dois números naturais. Atribuam seis núme-
ros naturais para a e seis números naturais para b, completando a tabela com os resulta-
dos a 1 b e b 1 a.

a b a 1 b b 1 a
   
Agora respondam às questões
a) O que acontece quando mudamos a ordem das parcelas numa adição de dois números
naturais?
b) Se o zero for uma das parcelas da adição, o que ocorrerá?
2 Atribuam seis valores para x, seis valores para y e seis para z. Os valores deverão ser
maiores que o número 100. Utilize uma calculadora para obter os resultados das adi-
ções. Calcule primeiro a adição indicada dentro dos parênteses.
x y z x 1 (y 1 z) (x 1 y) 1 z
    
Agora respondam à questão a seguir.
Qual é a conclusão de vocês a respeito dos resultados de x 1 (y 1 z) e de (x 1 y) 1 z?
1. Propriedade associativa da adição:
a + (b + c) 5 (a + b) + c
2. Propriedade comutativa da adição:
a + b 5 b + a
3. Elemento neutro da adição:
a + 0 5 0 + a 5 a
Na adição de três números naturais quaisquer,
podemos associar as parcelas em ordem diferente
que o resultado será o mesmo. Exemplo:
15 + (20 + 13) 5 (15 + 20) + 13
15 + 33 5 35 + 13
48 5 48
Quando se inverte a ordem das parcelas de
uma adição, o resultado não se altera. Exemplo:
121 + 79 5 79 + 121
200 5 200
Quando se adiciona o número zero a qualquer
valor natural, o resultado será o mesmo valor na-
tural, ou seja, o zero não influencia na adição de
dois números naturais. Exemplo:
308 + 0 5 0 + 308
308 5 308
Registre no
caderno
Professor, o objetivo das duas atividades a seguir é levar o
aluno a sistematizar as propriedades comutativa e asso-
ciativa da adição. São atividades para fazer em duplas ou
grupos de até três alunos.
Professor, oriente os alunos a utilizarem a calculadora nesta atividade.
A soma é a mesma.
São iguais.
Qualquer número natural ao ser adicionado ao número zero é também o valor da soma.
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AGORA É COM VOCÊ
1 Resolva as seguintes adições:
a) 9 364 1 12 388
b) 102 455 1 390 675
c) 9 034 1 100 346
d) 32 810 1 44 290
e) 72 459 1 102 240
f) 144 832 1 700 444
g) 9 543 1 3 459
h) 20 450 1 45 204
2 Resolva as seguintes adições por meio da decomposição das parcelas:
a) 934 1 128
b) 102 1 675
c) 234 1 546
d) 810 1 290
e) 2 422 1 2 240
f) 4 835 1 2 424
g) 943 1 309
h) 451 1 454
3 Calcule a soma dos números 453, 107 e 232, efetuando, primeiro, a adição indicada entre
parênteses.
a) 453 1 (107 1 232) b) (453 1 107) 1 232 c) (453 1 232) 1 107
4 Resolva os problemas a seguir.
a) Pela manhã, as vendas em um supermercado arrecadaram R$ 9.574,00. Já no perío
do
da tarde o valor foi de R$ 5.370,00 e, à noite, R$ 4.550,00. Qual foi a arrecadação total
desse supermercado?
b) A tabela a seguir apresenta a quantidade de refeições que o restaurante de uma gran-
de indústria serviu a seus funcionários, de segunda a sexta‑feira, no horário do almo-
ço e do jantar, em determinada semana:
Dia da semana segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira
Almoço 1 250 1 112 990 1 030 1 120
Jantar 660 452 345 552 463
• Em qual dia da semana foram servidas mais refeições? Quantas?
• Em qual dia da semana foram servidas menos refeições? Quantas?
• Quantos almoços foram servidos durante a semana?
• E quantos jantares?
• Em sua opinião, por que a quantidade de refeições servidas é diferente em cada dia
da semana? Por que a quantidade de jantares servidos é menor que a quantidade de
almoços? Resposta pessoal. Sugestões para respostas: Os funcionários podem levar comida preparada em casa e
não comer no restaurante alguns dias da semana; ou os funcionários talvez trabalhem em turnos e dias alternados etc.
c) Gabriel viajou, de carro, de Salvador pa-
ra Aracaju e percorreu 356 quilômetros.
Depois, foi de Aracaju a Maceió, percor-
rendo uma distância de 294 quilômetros.
Finalmente, percorreu 285 quilômetros
de Maceió até Recife. Ele passou uma
semana em Recife, então fez todo o ca-
minho de volta passando pelas mesmas
estradas da ida. Qual foi a distância total
percorrida?

21 752
493 130
109 380
77 100
174 699
845 276
13 002
65 654
1 062
777
780
1 100
4 662
7 259
1 252
905
453 1 339 5 792 560 1 232 5 792 685 1 107 5 792
R$ 19.494,00
segunda-feira; 1 910 refeições.
quarta-feira; 1 335 refeições.
5 502 almoços.
2 472 jantares.
Casarios históricos no
Pelourinho, Salvador (BA).
1 870 quilômetros.
Rogério
Reis/Pulsar
Imagens
Registre no
caderno
35
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Subtração com números naturais
O significado de subtrair está ligado à ideia de diminuir, tirar (quanto sobra), completar
(quanto falta), comparar (quanto a mais ou a menos).
Os termos da subtração são chamados de minuendo e subtraendo, como você pode ver
a seguir. O resultado obtido da subtração recebe a denominação de diferença.
diferença
920 2 360 5 560
minuendo subtraendo
Para saber se uma subtração está correta, basta adicionar a diferença ao subtraendo e ve-
rificar se o resultado é o minuendo.
Assim, no exemplo: 920 2 360 5 560, fazemos: 560 1 360 5 920.
Exemplo:
Numa maratona, cada atleta deve percorrer 42
195 metros. Quem participa sabe que é
necessário treinar bastante para completar a prova. Marcos se preparou muito, porém, quan-
do faltavam 3 432 metros, precisou parar. Qual foi a distância que ele percorreu na maratona?
Resolução:
Como faltavam 3 432 metros para completar 42 195 metros, devemos efetuar uma subtração:
42 195 2 3 432 5 38 763
Portanto, Marcos percorreu 38 763 metros.
Waldomiro
Neto
Trabalho em equipe
Será que as mesmas propriedades da adição (associativa, comutativa e elemento neutro) se apli-
cam à subtração? Vamos descobrir!
Em trio, teste as propriedades da adição estudadas em subtrações. Vocês devem apresentar uma
decisão à turma dizendo se as mesmas propriedades são válidas ou não para as subtrações. Justifi-
quem as decisões com exemplos (quando possível).
Registre no
caderno
Resposta pessoal. Consulte o Manual do Professor.
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