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Se llama Matriz a un conjunto de numeros colocados entre parentesis en forma de filas
y columnas y son presentadas en letras mayusculas como se ve abajo
M
numero de filas numero de columnas
Dimension
Decimos que la
a la matriz M de m n se le llama tambien matriz M de orden m n M
m n se suele poner en la parte derecha de la parentesis de la matriz
su forma abreviada es a
siendo a un elemento cualesquiera de la matriz que esta en la fila i y columna j
es una matriz de de orden
filas y columnas
ya que tiene
es una matriz que tiene solamente una fila
es una matriz que tiene solamente una columna
es una matriz que su numero de filas es a numeros de columnas
es una matriz que su numero de filas es igual a numeros de columnas
A aqui A B aqui B
es la que esta definida por
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siendo i j n siendo n de la matriz
es una matriz cuadrada que debe de cumplirse
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- 1. 01
- 2. ; : ; : : : : : : : : : : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dimension inferior dim dim dim Rectangular dimension dim X X X X X X X Se llama Matriz a un conjunto de numeros colocados entre parentesis en forma de filas y columnas y son presentadas en letras mayusculas como se ve abajo M numero de filas numero de columnas Dimension Decimos que la a la matriz M de m n se le llama tambien matriz M de orden m n M m n se suele poner en la parte derecha de la parentesis de la matriz su forma abreviada es a siendo a un elemento cualesquiera de la matriz que esta en la fila i y columna j es una matriz de de orden filas y columnas ya que tiene es una matriz que tiene solamente una fila es una matriz que tiene solamente una columna es una matriz que su numero de filas es a numeros de columnas es una matriz que su numero de filas es igual a numeros de columnas A aqui A B aqui B es la que esta definida por es la que esta definida por siendo i j n siendo n de la matriz es una matriz cuadrada que debe de cumplirse n n m m Matriz Fila Matriz columna Matriz Matriz cuadrada Diagonal principal Diagonal segundaria Matriz Simetrica Toda Matriz cuadrada esta constituida por dos diagonales Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo a color morado a a Ejemplo a color verde de M M m n numero de filas numero de columnas a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 3 4 2 2 3 1 5 2 4 2 4 2 3 1 4 5 6 2 4 1 1 2 7 2 2 0 1 5 1 5 3 0 2 1 2 1 3 0 5 5 7 0 3 1 1 2 2 4 1 2 3 2 4 5 3 5 7 1 0 1 8 0 3 9 4 1 9 5 1 8 4 1 0 X X X X X X ii ij m m m n n n n m n ij ij X X X X n n m m ij ji 1 41 31 21 11 2 42 32 22 12 3 43 33 23 13 4 3 2 1 1 5 4 1 2 4 2 2 3 3 2 2 3 3 4 4 $ U U U U U U U U ! = = - = = = = + = + = = = = = l l l l l l l l l l l l l l J L K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ^ e e e e ^ d ] N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O N P O O O O O O O o o o o h h n g 02
- 3. . . . . : : : : : : : : : : : : : : : : : : estan inferior y superior intercambia superior inferior dim dim X X es una matriz cuadrada que debe de cumplirse es una matriz cuadrada que debe de cumplirse que todos los elementos que no en la diagonal principal son ceros es una matriz cuadrada que debe de cumplirse que todos los elementos que pertenecen a la diagonal principal son iguales y el resto son ceros es una matriz cuadrada que debe de cumplirse todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son ceros todos los elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son ceros es a la vez una matriz triangular Sean dos matrices A y B se representa por M o bien por M y se lee Matriz traspuesta si la matriz M es de orden m n su traspuesta M es de orden n m es decir se las filas por columnas o columnas por filas si M M a a M es una matriz simetrica M M A A A B A B A A A B B A Igualdad de Matrices Propiedades de la Matriz Traspuesta Matriz AntiSimetrica Matriz diagonal Matriz Escalar Matriz unidad o identidad a Matriz triangular Matriz triangular Matriz diagonal A B a b A B Matriz Traspuesta a a Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Observacion Ejemplo 1 2 2 4 1 2 3 2 4 5 3 5 7 1 0 0 3 1 0 0 0 2 0 0 0 9 3 0 0 3 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 4 4 1 0 0 3 2 0 2 6 7 1 3 0 4 1 2 0 0 2 4 0 0 7 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 R X X X X X X X X X X X X t ij ji ii ij ij t t t ij ji a b 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 ij ij , $ , , U U U U U U U UU U U ! m m m - - - - = = = = = + = + = = = = = = =- l l l l l l l l l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] e e e e e e ] ] ^ ] ^ ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g o o o o o o g g h g h h ' T T 03
- 4. . , , . . , . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . , . . , . . . . , . . , . . . : : dimensiones a a Antes de nada las matrices deben de tener las mismas sean las matrices A B y C A B a b A B C A B C Opuesto de A es A Matriz nula es O todos sus elementos son ceros de matriz opuesta y matriz O A su opuesta es A O A A B A B sean y dos numeros reales A A A A A A B existe si y solo si el numero de columnas de A coincide con el numero de filas de B Deben ser iguales para que pueda realizarse el producto de matrices veamos como es el producto de matrices con un ejemplo para entenderlo Sean dos matrices A y B A B B A A B O A O o B O A B C A B C A B C A C B C k A B k A B k A I I A A I es la matriz unidad Propiedades de Suma de Matrices Producto de un numero real por una matriz Producto de Matrices Propiedades de producto de matrices Ejemplo Ejemplo A B C 1 4 2 3 2 3 5 5 1 1 4 2 3 2 3 5 5 1 0 0 0 0 2 2 5 3 4 2 4 3 7 5 1 2 5 3 4 2 4 3 7 5 1 28 14 47 23 25 17 5 4 4 2 28 5 7 4 3 47 5 1 4 5 25 2 4 3 2 14 2 7 3 3 23 2 1 3 5 17 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 R R X X ij ij ij ij X X X a b c a b c m k m k n n 2 2 2 3 ij ij ij ij ij ij $ ( d d U U U U ! m m m m m m n m n m n m n m n m + = + + + = + + - = - = - = - - - - - - - - - = = + = + + = + = = = = = = + = + = = = + = + = + = + = + = + = = + + + + l l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K e ^ ] ] b ^ ^ ] ] b ^ ] e ] ] ^ b ^ ] ] e ^ ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O o h g g h g l g h h l g o g g h l h o g g h h < F 1 2 3 444444 444444 1 2 3 444444 444444 04
- 5. . , , . . , . . . : . . , ? . . . . . . . . . . . . , , , . . . , . . . . : : determinante determinante determinante dim resultante singular up s Se dice que una matriz A es invertible inversible si y solo si existe una matriz B tal que A B B A I en tal caso a la matriz B se le llama matriz inversa de A y se designa por A es decir que A A A A I Existe matriz inversa solamente para matrices cuadradas es cuadrada y su es se dice que A es una matriz regular esto significa que A es una matriz cuadrada apartir de la cual podemos obtener una matriz inversa Ejercicio Sea A halla su inversa Sea B a c b d la inversa de A A B I a c b d b d a c a c b d d b a c a c a a a c b d b b b d asi que la inversa de A es B El de una matriz cuadrada A es un numero real y se designa de la forma A como se calcula el de una matriz Desarrollo por la fila i de la matriz A siendo A la matriz la matriz de ension n al rimir la fila i y la columna j veamos una matriz de X para entenderlo a a a a a a a a a a a a a a a a a a Desarrollo por la fila j de la matriz A lo mejor es desarrollar por fila o columna que tenga ceros para un rapido calculo X X X X X X X X X X X X X X X A B A B A A A B A B A A A A k A k A se dice que A es regular A A es A a a Regla de Laplace Propiedades Matriz regular A a A a a A a A a a Observacion Ejemplo 0 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 0 2 0 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 3 1 1 1 4 1 2 6 7 8 1 2 6 7 8 1 4 1 7 8 1 4 1 2 6 2 1 2 6 7 8 3 1 4 1 7 8 5 1 4 1 2 6 0 0 2 2 1 2 3 4 5 6 1 1 3 3 5 5 X X X ij ij j n i j ij ij i n i j ij n n t n n n n n n n 21 31 22 32 23 33 1 1 1 11 1 1 1 1 22 32 23 33 21 31 23 33 21 31 22 32 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 12 12 1 2 11 1 1 13 13 1 3 , , ( $ $ & & ( & & & , , U U U ! ! = = = = = = + = + = =- + = =- + = + = - = = =- + = - = =- = - - - = - + - + - = - + - + - = - + - + - = = + + = = = = = = - = - - - = + = + - - - + + + + + + + + + l l l l Y e e ^ ] ] ] e ] e ] ] e ] e ] ] ] ] ] o o g g g o g g o g o h g o g g g g g Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] / / 05
- 6. . , , . . . . . . . . . . . . , , . , . : : . determinantes determinante determinante sin determinante dimension resultante suprimir para resolver de orden a a a a a a a a a a a a a a a a a a un que tiene dos filas o dos columnas iguales es nulo un es nulo si los elementos de una fila o columna son proporcionales a los elementos de una paralela a ella si se cambian entre si dos filas o dos columnas alterar el orden relativo de los elementos de cada una el valor absoluto del no varia pero cambia de signo A x y z x y z x y z a a a b b b x x x a a a b b b y y y a a a b b b z z z a a a b b b La matriz adjunta de A se denota como adjA siendo A la matriz de n al la fila i y la columna j veamos un ejemplo para entenderlo mejor sea A a a a a a a a a a adjA a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Metodo de sarrus TERMINOS NEGATIVOS vea las imagenes de abajo Ejemplo TERMINOS POSITIVOS Matriz Adjunta adj A A 3 1 0 1 2 1 2 3 2 1 1 0 1 2 1 2 3 2 1 1 0 4 3 4 0 2 2 1 2 1 0 1 3 2 1 0 3 4 0 4 1 2 1 0 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 0 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ij ij i j ij 11 13 12 21 22 23 31 32 33 11 22 33 21 32 13 23 12 31 13 22 31 23 32 11 21 12 33 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 22 32 23 33 12 32 13 33 12 22 13 23 21 31 23 33 11 31 13 33 11 21 13 23 21 31 22 32 11 31 12 32 11 21 12 22 1 1 1 3 1 2 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 U U U U U U + + - + + = + + - - - =- = + + - - - = = - + + + + + + = + + - = = - - - - - - - - - = - + + + + + + + + + + c l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K K K K K K K ] ] ] ] ] ^ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ^ ] ] N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O O O O O O O g g g h g g g g g g g g g g g h g g 06
- 7. . . , . , , , , , : : : . : : eliminar dimension determinante distinto det det inferior det X La matriz inversa de A se designa por A y cumple A A A A I matriz unidad Matriz adjunta se designa por adjA A A matriz traspuesta se designa por A A donde A es la matriz que se obtiene al la fila i y la columna j de la matriz A Una matriz cuadrada A se llama ortogonal si A A A o bien El rango de una matriz es la de la mayor submatriz cuadrada cuyo es de cero y es designado por rango de A RagA rgA calcula el rango de la matriz A la matriz A no es una matriz cuadrada asi que buscaremos una submatriz dentro de A A de aqui la mayor submatriz que podemos despejar es de asi que rango de A rgA la submatriz cuadrada su calcula el rango de la matriz A la matriz A es cuadrada por seguiente hallemos su rag de A es a la mayor submatriz A puede ser basta en coger una de ellas y vemos que es sea esa submatriz su asi que rgA ax a x a x by b y b y cz d c z d c z d dos matrices de aqui despejaremos A a a a b b b c d c d c d ampliada se llama matriz A a a a b b b c c c coeficiente se llama matriz Si A x A d d d b b b c c c y A a a a d d d c c c z A a a a b b b d d d Ejercicio Ejercicio Matriz Inversa A A adjA A adj A adjA A Matriz Ortogonal Recuerda 1 1 1 1 2 2 3 6 1 1 2 2 3 6 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 0 4 6 2 3 4 6 2 3 12 12 0 2 4 2 6 3 0 4 4 4 0 1 0 1 * * X X X d t ij t t i j ij t 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( $ ( $ U U ! ! ! ^ = = = = = = = - = = = = = = - =- = - = = = + + + + + + = = = = = = = = = - - - - - - + l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K e e ] e ] ] ] e e ] ] ] ^ ] ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O o o g g g o g o g g o g g h h 7 A Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] * 07
- 8. , , , , , , , : : : : : : : : : : : superior Este metodo consiste en transformar la matriz coeficiente en matriz triangular Sea A b c c d d d es anular usando diagonal principal es anular y usando diagonal principal es anular y usando diagonal principal para mejor entenderlo vea el ejercicio de abajo x y z x y z x y z A z z y z y z y x y z x y z Solucion del sistema es x y z sea la matriz A a b c d es anular usando b a la diagonal principal es anular y usando c a la diagonal principal es anular y usando d a la diagonal principal es anular usando c diagonal principal es anular y usando b diagonal principal es anular y usando a diagonal principal para mejor entenderlo vea el ejercicio de abajo x y z x y z x y z A z y x z y x Metodo de Gauss a a a Paso a a a Ejercicio Metodo de Gauss Jordan Ejercicio Este metodo consiste en transformar la matriz coeficiente en matriz Diagonal Paso c c b b Paso b b b b Paso b b c Paso c c Paso c a b c d c b a d d d Paso d d d a a a Paso a a a c c b Paso b 0 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 2 1 2 3 5 2 2 1 0 0 1 1 0 1 2 3 5 4 8 4 8 2 3 5 3 5 1 2 2 1 1 1 2 0 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 2 1 2 3 5 2 2 1 0 0 1 1 1 1 2 3 5 1 1 1 0 0 1 1 0 1 2 3 5 2 4 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 4 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 2 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 5 2 2 3 3 4 1 6 , cambiar F por F cambiar F por F F dividir F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 2 3 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 * * 2 1 2 1 3 3 1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3 1 1 2 1 $ ( ( ( ( ( $ ( , $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ d d d d d d d d d U U = - + + = + + = + - =- - - - - - - - - - - - - - - - - - - =- = - - =- =- + =- + + = = - - = = - = - + + = + + = + - =- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - =- - = = = =- = - + - + + - + - + + c c c c c c c c c l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ^ ^ N P O O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O h h Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] * * * 08
- 9. . : , , , . . . . . . . . . determinado infinitas indeterminado dimension algebraica algebraica algebraica algebraica Sea un sistema de ecuaciones con la matriz coeficiente A y la matriz ampliada A Si rgA rgA n de incognitas es decir que tiene una unica solucion sistema de ecuaciones es compatible y Si rgA rgA n de incognitas es decir que tiene solucion sistema de ecuaciones es compatible y Si rgA rgA es decir que no tiene soluciones sistema de ecuaciones es incompatible Para Diagonalizar una matriz A se sigue los seguientes pasos Hallar el siendo I de misma que A Hallar llamado tambien auto valor para ello resolver Buscando los valores de si multiplicidad multiplicidad multiplicidad Hallar llamado tambien auto vectores para cada valor de calculamos vector nulo de aqui hallaremos imaginamos que en el apartado y hemos hallado dos valores propios y dos vectores propios con P D y se pone en la segunda columna de la matriz D entonces se pone en la primera columna de la matriz D y se pone en la segunda columna en la matriz P si se pone en la primera columna en la matriz P hay que conservar orden para entenderlo mejor vea el ejercicio que hay mas adelante Teorema de Rouche Una matriz es diagonizable si el n de auto vectores coincide con su multiplicidad polinomio caracteristico P A I valores propios P solucion triple M A solucion doble M A solucion simple M A vectores propios A I A P D P una matriz simetrica siempre es diagonizable v v v v v v v v v v v v v v 2 3 1 2 3 4 0 0 3 2 1 0 0 * * * * a b c d a b c d 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 ( ( ( $ $ $ $ $ $ U U 1 ^ m m m m m m m m m m m m m = = = = = = = = - = = = = - = = - c c c l l l l l l l l l e ] e ^ ^ ^ ^ ] ] ] o o g h h h h g g g Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ( ( ( 09
- 10. , : . . . . . . . . . ? . . . . ? ? . . , . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . determina Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio n n n n n n Dadas las matrices A B y C calcula k A siendo k A B C A C A B A A B B C C A B A B A B Calcula si es posible el producto de las tres matrices son iguales las dos matrices y justifica la respuesta dadas las matrices A y B compueba que A B A B y k A k A y A B B A Se considera la matriz A x x x calcula los valores de x para los que no existe la inversa de A para x calcule si es posible A dada la matriz A a a halla el valor de a para que A O dada la matriz M calcula la matriz M M Sean las matrices A y B calcula A B A B la matriz X tal que A B X I Sean las matrices A B y C Calcule A I B halla B calcule si es posible B A Calcule la matriz X que verifica A X B C a b c d e f g a b c a b a b a b a b c 1 2 3 4 5 6 2 7 4 1 3 5 1 2 3 2 0 2 2 3 2 2 1 2 3 3 2 1 1 4 2 2 1 1 2 3 3 2 1 1 4 0 2 1 3 3 1 6 1 3 2 1 5 1 3 6 7 1 1 1 1 1 0 3 1 0 1 1 2 1 1 0 2 1 0 2 1 4 2 3 1 1 0 2 1 1 0 0 1 2 0 1 1 1 2 1 R t t t t t t t t t t t 2 2 2 1 1 2 d - - - - - - + + + - - + - - - - - - - - + = + = = - = = - + - + = - - - - - - - + = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c c c c c J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] ] ] ] ] e e e e e ] e ] e ] e f ] ] ] e e ] ] b N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g g g o o o o o g o g g o p g o g g o g g o l 10
- 11. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio n n n n n n n a b c a b a b Dada la matriz A prueba que A I O y calcula A Dada la matriz B calcula B Sea C calcula C Dada la matriz A calcula su potencia n esima Hallar la potencia n esima de A Hallar la potencia n esima de B Hallar la potencia n esima de la matriz A Hallar la potencia n esima de la matriz B Resuelse el sistema de ecuaciones utilizando Gauss Jordan x y z x y z x y z Resuelse por Gauss Jordan x y z x y z x y z Estudiar segun los valores de a el sistema de ecuaciones x y z a y z x z y z a 7 8 9 10 11 12 13 0 1 1 3 4 3 4 5 4 4 3 3 5 4 4 1 1 0 1 0 0 3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 2 6 2 9 1 2 3 2 4 6 3 2 11 2 1 1 2 1 1 2 2 3 4 1 2 5 1 1 1 1 1 4 n 3 10 12 - - - + = - - - - - - - - - - - + + =- + = = - - + + = = = + - = + = - = - = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c c c c c c l l l l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K e e e N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O o o o Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] 11
- 12. ? . . ? , ? ? ? . ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determina Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio n n n n n n n Estudia el sistema de ecuaciones ax x x y ay y z z az Diagonalizar la matriz A Diagonalizar la matriz A Sea la matriz A a Hallar la potencia n esima de A Hallar A A A Sea la matriz A m m m m para que valores de m la matriz A es regular Sea la matriz A Comprueba que verifica que A I O Calcula A Halla la matriz X que verifica la igualdad A X I A Sea la matriz A Encuentre las matrices B cuyo producto con A verifique la propiedad AB BA Calcula A a b a b c a b 14 15 16 17 18 19 20 1 1 1 3 0 2 1 2 2 2 0 2 4 0 0 1 1 2 1 3 2 1 0 1 12 2 1 1 2 1 0 1 1 1 0 2 2 1 2 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 R n 22 2 3 13 2 ! + + + + = + = + = - - - - = - - + = = - - - - - - = + = = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c c c c c c l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K e N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O o Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] 12
- 13. , . . . , : : , ? , , ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determina Determina Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio Ejercicio n n n n n n Sean las matrices A B a b Calcula los valores de a y b para que A B B A Para a y b Resuelve la ecuacion Matricial X B A I Sean las matrices A B x x y C Encuentra el o los valores de x de forma que B A Igualmente para que B C A x para que A B C I la matriz X en la seguiente Ecuacion matricial E A X A BC A B y C Sea la matriz A m m con m averigua para que valores del parametro m la matriz A no tiene inversa Calcula si es posible la matriz inversa de A para m Sea la Matriz M x x x x x x x x Calcula el rango de M en funcion del valor de x Calcula la inversa de M en el caso de x Diagonalizar la seguiente Matriz A a b a b c a b a b 21 22 23 24 25 26 0 3 2 0 6 1 1 0 2 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 2 0 1 1 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 6 2 1 0 4 0 1 1 3 2 1 2 1 1 2 0 2 1 0 4 4 3 R 1 2 2 ! = = = = = - = = = = - - = + = + + = = + = = - = - = - - = = - - =- = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c c c c c l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K e ] e e e e e e N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O o g o o o o o o 13
- 14. , , . . . . . . . . . . ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ? . . . . . . . . . . . ? . . . ? . . : . . . . , : . . . . . . . : : : : asin que k A k k k k k asin que A B C A B C A C A B A B C A C A B A C A B A A B B C C A A B B C C A A B B C C A B A B A B A AB B porque A B A AB BA B A B A B A B A B A B A B A B Ejercicio n Respuesta A a A B a b para calcular el producto de dos matrices deben de coincidir el n de columnas de la primera con el n de filas de la segunda A B B A a b c d e f g a b c d e f g Dadas las matrices A B y C calcula k A siendo k A B C A C A B A A B B C C A B A B A B Recuerda Recuerda Recuerda Recuerda 2 7 4 1 2 7 4 1 2 3 2 7 4 1 2 3 5 1 2 3 3 2 0 2 2 3 2 7 4 1 6 10 2 4 9 6 0 6 2 6 9 7 10 6 4 2 0 1 4 6 1 3 2 3 2 2 7 4 1 3 5 1 2 3 2 0 2 2 7 4 1 3 2 0 2 2 3 4 2 7 3 1 2 2 0 4 2 7 0 1 2 2 23 8 2 2 2 2 7 4 1 3 5 1 2 4 14 8 2 3 5 1 2 12 40 42 10 4 16 14 4 28 52 12 18 2 2 23 8 2 28 52 12 18 30 75 20 20 2 7 4 1 2 7 4 1 4 28 14 7 8 4 28 1 32 7 4 29 3 5 1 2 3 5 1 2 9 5 15 10 3 2 5 4 14 25 5 9 3 2 0 2 3 2 0 2 9 0 6 4 0 0 0 4 9 10 0 4 32 7 4 29 14 25 5 9 9 10 0 4 32 14 9 7 25 10 4 5 0 29 9 4 37 8 1 34 2 2 7 4 1 2 3 5 1 2 2 7 4 1 6 10 2 4 12 40 42 10 4 16 14 4 28 52 12 18 2 2 7 4 1 3 5 1 2 2 7 4 1 3 5 1 2 1 12 5 3 1 12 5 3 1 12 5 3 1 12 5 3 61 48 20 69 2 7 4 1 3 5 1 2 2 7 4 1 3 5 1 2 5 2 3 1 5 2 3 1 31 12 18 7 1 2 7 4 1 3 5 1 2 3 2 0 2 2 3 2 2 R AB BA ij ij ij 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d ! ! m m = = - = - - + = - - - - + - - - + = - + - - + - - = + - - + - + - + - = - - + = - - - - - = - - - = - + - + - + - + - - = - - = - - - = - - - = - + - - - + = - - + = - - + - - = - - + - - - = + - - + = = - - - - = + - - - - + = - - = - - - - = + - - + + = - + - = + - - - - = + - + - - - + - - + - = - - - = - - - - = - - - = - + - + - - = - - + + + + + = + + + + = + + = - + - - - + - - = = - - - - = - - - - = - - - - = - - = - - - - - - - - = = = = + = + - - - - - - + + + - - + - ! c c c ] ] ] ] ] ] e e e e e ] ] e e e e e e e e e e e e ] ] e e e e e e e e e e e ] e e ] e e e e e ] ] e e e e e e e e e e e e e ] e e e e e e e e ] ] e e ] e e e e ] e e e e ] ^ ^ ] e ] e ] e g g g g g g o o o o o o g g o o o o o o o o g g o o o o o o o g g oo o o o o o o g g o o o o o o o o o o o o o o o g o o o o o g g o o o o g o o o o o g o o o o o g o o o h h g o g o g o = = = = G G G G 6 7 8 4444 4444 14
- 15. . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . 2 : . . ? . . . . : dim dim dim dim X X para poder calcular el producto de matrices deben de coincidir las columnas de la con las filas de la Sea A el requisito asin que calculemos como se ve en las bases cumple con A las matrices y no son iguales ya que y Comprobar que A B A B k A k A y A B B A A B A B A B A A B B A B A B comprobar que k A k A k A k k k k k k k k k k k A k k k k k k k k k k k A Comprobar que A B B A A B A B en los apartados de arriba A B B A en conclusion A B B A Ejercicio n Respuesta A B a b A B Calcula si es posible el producto de las tres matrices son iguales las dos matrices y justifica la respuesta dadas las matrices A y B compueba que A B A B y k A k A y A B B A a b c a b c Recuerda 1 2 1 2 3 3 2 1 1 4 2 2 1 1 4 2 1 3 3 1 2 2 1 3 2 2 1 3 6 2 1 3 12 15 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 3 2 1 3 1 1 4 0 2 1 3 3 1 6 1 3 2 1 5 1 3 6 7 0 7 2 1 4 4 0 7 13 0 1 0 7 4 7 2 4 13 1 4 0 2 1 3 3 1 6 1 2 3 4 1 1 0 3 6 1 3 2 1 5 1 3 6 7 1 1 3 3 5 6 2 1 7 1 2 3 4 1 1 0 3 6 1 1 3 3 5 6 2 1 7 0 1 0 7 4 7 2 4 13 1 4 0 2 1 3 3 1 6 1 4 0 2 1 3 3 1 6 1 2 3 4 1 1 0 3 6 1 2 3 4 1 1 0 3 6 1 4 0 2 1 3 3 1 6 1 3 2 1 5 1 3 6 7 1 6 6 4 3 2 0 9 12 1 10 3 4 5 1 0 15 6 3 12 21 12 6 7 0 18 42 1 5 21 6 8 21 6 13 60 1 6 6 5 8 13 21 21 60 1 2 3 4 1 1 0 3 6 1 1 3 3 5 6 2 1 7 1 1 3 3 5 6 2 1 7 1 2 3 4 1 1 0 3 6 1 6 6 1 10 3 3 12 21 4 3 2 4 5 1 12 6 7 0 9 12 0 15 6 0 18 42 1 6 6 5 8 13 21 21 60 1 2 3 3 2 1 1 4 2 2 1 1 2 3 3 2 1 1 4 0 2 1 3 3 1 6 1 3 2 1 5 1 3 6 7 X X X X X X X X ij ij t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 1 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( & & & & , = - - - = + + - + - + - = - - = = - - = - = = + = + = = - - - - + = + = - - - - - - - - + = - - + - - = = + = = - - = - - = - - = - - = = = - - - - = - + - - - + + + - + - - - + + + + - - + + + = - - - - = - - - - - - - - = - - - - = - + - - + - + - - - + - - + - + + + + + + + = - - - - = = = = - - - - - - - + = + = = c J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] _ ] ] ] ] ] ] ] ] ] f ] b ] ] ] b ] ] ] ] ^ b f ] ] f ] ] ] b N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g g g g g g g g p g l g g g i l g g g g h l p g g p g g g l ' c m 15
- 16. , , . , . : . . 4 : ? ? . : . . . . . . . . . . det determinante la matriz A para que no exista su inversa su A x x x x x x x x x x x x asi que los valores de x para los cuales no exista la inversa de A son y si x A y por el apartado podemos asegurar que A existe A A adjA adjA A asi que A A a a A O a a a a a a a a a a M M adjM M M M M M Ejercicio Ejercicio n Respuesta una matriz que no es cuadrada no tiene inversa una matriz si su es cero entonces la matriz no tiene inversa la inversa de A es A A adjA n Respuesta Se considera la matriz A x x x calcula los valores de x para los que no existe la inversa de A para x calcule si es posible A dada la matriz A a a halla el valor de a para que A O dada la matriz M calcula la matriz M M a b a b a a b a b Recuerda 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 3 1 1 3 3 1 3 1 1 0 1 3 1 0 3 3 1 0 3 1 1 1 1 3 1 0 1 3 1 0 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 3 3 1 1 3 1 3 3 4 3 3 2 0 6 2 3 3 0 3 3 6 4 2 2 1 1 3 3 1 3 1 1 0 0 3 9 3 3 0 6 6 1 3 3 0 3 3 6 4 2 2 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 3 1 3 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 0 3 1 1 0 3 1 1 0 8 3 3 1 3 1 1 1 1 1 0 3 1 0 1 1 2 1 t t t t t t t t t t 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( + + ( ( $ , , ( $ ( U U U = = - = - + + - - = - = - = = = - = = - - - - - - - - = - - - - = - - - - - = - + + - - = = - - - - = - - - - = = + + + + = = = - =- = - - = - - - - = - - = - = - - = - - = - = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K e e ^ e ^ e e e e ^ e ^ e f e e ] e e e e ^ e e ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O o o h o h o o o o h o h o o p g o o o o o h o o h 16
- 17. , , . . . . . . . . . . . . . . . . , 5 : 6 : . , . , . . . . . . . . . . . . determina A B A B A B A B sea C A B hallemos C C adjC C adjC C A B X I C X I multiplicando por C cuidado aqui en la igualdad se pone o bien nunca mezclar C C X C I I X C I X C A I B B B A A X B C primero calculemos A A adjA adjA y A A asin que A A X A B A C X A C A B A C A B X Ejercicio Ejercicio n Respuesta n Respuesta I I Sean las matrices A y B calcula A B A B la matriz X tal que A B X I Sean las matrices A B y C Calcule A I B halla B calcule si es posible B A Calcule la matriz X que verifica A X B C a b a b derecha derecha izquierda izquierda a b c a b c 1 0 2 1 0 2 1 4 1 2 1 5 1 0 2 1 0 2 1 4 1 2 3 3 1 2 1 5 1 2 3 3 1 8 0 9 2 1 0 2 1 2 0 2 1 4 1 4 0 9 9 9 0 4 1 9 4 0 1 1 9 4 0 9 1 2 3 3 3 3 3 3 3 4 0 3 1 1 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1 1 1 0 0 1 2 1 2 2 0 2 4 2 0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 1 1 0 2 2 0 0 2 1 2 2 0 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 0 2 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 1 2 1 0 2 1 1 1 0 0 1 2 2 1 1 1 0 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 2 1 1 1 0 1 2 1 2 5 2 1 3 1 1 1 1 0 2 1 0 2 1 4 2 3 1 1 0 2 1 1 0 0 1 2 0 1 1 1 2 1 t t t t t t t t t t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 $ ( , , , , + + $ + = + - = - = - - = - - + - = - - = - - - = + = + - = = = = - = - = - + = = = = = = - - = - - - - = - - - = - - - - - - - = - - + = = = - - = - - =- = - + = = - = - - - - = - - - = - - - = - - = - - - - - - = - - - - + - + = - - - - - - - + = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c l l J L K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K J L K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K ] ] ^ ] f ] f e e ^ e e e e e e e e e e e e e e e e ^ e e f e e f f ^ e e e ] ] ] e e e ] e e ] ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O N P O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O N P O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O h g g g p g o o p h o o o o o o o o o o o o o o o o h o o p o o p p h o o o g g g o o o g o o g h = G 17
- 18. . . . . . , . . . 7 : tanto A A A A I A I O A A A A A I A A B hallemos B B B B I asin que B B I I C C C C C Observando que el elemento cambia en C C C asin que podemos deducir que C si es verdad debe de cumplirse que C veamos si se verifica C C C Por lo podemos asegurar que C Ejercicio n Respuesta Dada la matriz A prueba que A I O y calcula A Dada la matriz B calcula B Sea C calcula C a b c a b c a a a a 0 1 1 3 4 3 4 5 4 0 1 1 3 4 3 4 5 4 1 1 1 0 4 3 1 4 3 1 1 1 0 4 3 1 4 3 0 1 1 3 4 3 4 5 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 3 4 3 4 5 4 4 3 3 5 4 4 1 1 0 4 3 3 5 4 4 1 1 0 4 3 3 5 4 4 1 1 0 4 3 0 4 3 1 1 1 1 4 3 0 4 3 1 1 1 1 4 3 3 5 4 4 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 9 1 0 0 9 1 0 0 3 1 0 0 27 27 3 9 3 3 3 1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 3 3 1 0 0 3 1 0 0 3 0 1 1 3 4 3 4 5 4 4 3 3 5 4 4 1 1 0 1 0 0 3 n n n n n n n n n n n n 2 3 2 3 10 9 3 3 3 2 3 2 12 3 4 4 3 2 1 3 10 12 1 1 2 3 2 22 3 22 2 22 1 22 1 1 + $ $ $ $ { = = - - - - - - = - - - - = = - - - - - - - = - - - =- =- + = = = = - =- = - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - = - - - - = = - - - - - - - - - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - - - + = - - - - - + + + + c J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K e ^ ^ e ] ] e e e e e e e e e e e e e N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O o h h g o g o o o o o o o o o o o o o Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] 18
- 19. , . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . , , . , . , , . . . . . , , , . . , . , . . . 8 : 9 : . . . . . . . . . . A A A A A A A A A A A A A A A A A A luego podemos deducir que A A de ser asi debe de cumplirse que A A veamos si se verifica A A A A A A A queda demostrado en conclusion A A A A A A A A A A se observa que A A A A se puede deducir que A para que sea verdad debe de cuplirse que A A A en conclusion la forma general de A B B B B B B B B B n para que sea verdad debe de cuplirse que B B B n n B n en conclusion la forma general de B n Ejercicio Ejercicio n Respuesta n Respuesta Dada la matriz A calcula su potencia n esima Hallar la potencia n esima de A Hallar la potencia n esima de B a b a b 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 4 0 4 0 1 0 4 0 4 4 0 4 0 1 0 4 0 4 1 0 1 0 1 0 1 0 1 8 0 8 0 1 0 8 0 8 2 0 2 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 2 0 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 1 0 2 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 2 0 2 0 1 0 2 0 2 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 4 1 1 0 4 1 1 0 2 1 1 0 6 1 1 0 6 1 1 0 2 1 1 0 8 1 1 0 2 1 1 1 0 2 2 1 1 0 2 3 1 1 0 2 4 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 2 1 . . . n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n B B B B B B n n n n n 2 3 2 2 4 3 2 2 3 1 1 1 1 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 ( { { = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = + + + + = = = = = = = = = = = = = = = = = = + = + = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + c c l l l l l l J L K K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K e e e ] e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e N P O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O o o g o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 6 7 8 44444 4 44444 4 6 7 8 444444 444444 6 7 8 44444 4 44444 4 19
- 20. , . . . , , . . . 1 : s A A A A A A A se observa que y son exactamente igual que la potencia mientras es de la forma n n asin que A n n n n ahora veamos si se cumple tambien con A A A A n n n n n n n n n A n n n n n n n n n n n n n n queda demostrado asin que la forma general de A n n n n B B B B B e observa que es igual que la potencia y es mientras es asin que B n veamos si cumple con B B B n n n luego B n Ejercicio n Respuesta Hallar la potencia n esima de la matriz A Hallar la potencia n esima de la matriz B a b a b a a a a a a 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 3 0 1 2 0 0 1 1 2 3 0 1 2 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 3 6 0 1 3 0 0 1 1 3 6 0 1 3 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 4 10 0 1 4 0 0 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 2 2 1 0 1 1 0 0 1 1 1 2 1 2 0 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 2 1 0 3 0 4 1 0 0 2 1 0 3 0 4 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 0 7 0 8 2 2 1 1 0 0 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1 0 1 22 2 0 2 2 1 0 0 1 1 0 2 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 2 n n n n n n n n n n n n n n n n potencia potencia n n n n 2 3 2 4 3 2 3 2 1 1 1 1 1 21 32 31 12 33 13 1 { { = = = = = = = = + = + = = + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = = + + + + = + = = = = = = - = - = = - = = + + - = + - = - - - + + + + + + c l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K J L K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K J L K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O N P O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O N P O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O N P O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g g g g g g g g h p r q q q q q q q q q q t v u u u u u u u u u u 20
- 21. / / / / : 2 : . . . . . . . . . . F F F F F F F F F F F F F si estuvieramos resolviendo por Gauss nos paramos aqui y a resolver que seria x y y z z z z y x y z y x z y x pero nos piden de resolver por Gauss Jordan asi que seguimos F F F F F F F F F F x y z x y z F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F x y z x y z Ejercicio Ejercicio n Respuesta n Respuesta Resuelse el sistema de ecuaciones utilizando Gauss Jordan x y z x y z x y z Resuelse por Gauss Jordan x y z x y z x y z x x y y z z 3 2 2 2 0 0 1 1 4 1 5 3 6 22 3 4 2 0 0 1 1 0 1 5 17 6 22 85 3 2 0 0 1 1 0 1 5 1 6 22 5 2 6 5 22 5 5 22 25 3 2 5 6 5 3 2 3 5 6 5 3 2 3 2 0 0 1 1 0 1 5 1 6 22 5 5 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 3 5 2 0 0 0 1 0 0 0 1 4 3 5 2 4 3 5 2 3 5 2 5 1 0 0 1 3 7 1 3 9 1 0 2 7 3 1 0 0 1 3 0 1 3 6 1 0 6 3 6 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 6 2 9 6 2 9 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 1 2 5 1 2 5 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 3 1 2 3 2 1 2 3 1 3 3 2 3 3 3 1 3 1 2 3 2 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 1 3 3 2 3 2 3 1 2 3 2 1 2 1 ! ! ! + + + ! ! ! ( , ! ! ! ! ! ! ( , $ $ - - - - - - - - - - - - + + =- + =- =- =- =- + = + - =- =- = + - =- =- = =- - - - - - - - - - - - - - - - - =- - =- =- =- = =- - - - - - - - - - + - = - = = = =- = - + + =- + = = - - - - + + = = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] * * * p r q q q q q q q q t v u u u u u u u u 21
- 22. , . . . . , , , , , , 3 : : det det maximo det lo tanto Matriz de coeficientes A Matriz Ampliada A a a al ser A una matriz cuadrada calculemos su aplicando la regla de laplace y escogiendo la columna con mas ceros para facil calculo A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a A a A rgA que puede llegar es a escogiendo la submatriz ahora veamos cual es el rango de A que lo C C rgA a rgA rgA rgA rgA sistema incompatible no tiene solucion A que el rgA que hay que escoger una submatriz de A que puede ser la C y C rgA por rgA rgA n de incognitas sistema compatible tiene una unica solucion para hallar esa solucion utilizaremos el metodo de cramer y z x z y z x C y C z C solucion x y z Ejercicio ojo trabajaremos con C n Respuesta Estudiar segun los valores de a el sistema de ecuaciones x y z a y z x z y z a Para a Para a 2 1 4 0 1 1 3 0 2 0 2 1 0 3 0 2 2 0 1 1 1 2 1 4 11 6 0 3 0 2 2 0 1 1 1 2 1 4 11 6 0 0 1 1 2 1 4 11 6 3 2 1 1 1 1 4 6 0 2 0 1 1 2 4 11 2 2 0 1 1 2 1 11 6 3 2 1 1 1 1 4 6 2 2 0 1 1 2 1 11 6 3 2 4 6 48 2 24 11 2 22 6 126 114 4 2 12 2 12 0 6 0 4 3 0 3 0 2 0 1 1 2 1 0 3 0 2 0 1 1 2 1 3 6 9 0 3 6 4 3 0 4 0 3 3 6 3 2 11 2 6 6 11 6 2 0 1 1 2 1 9 45 5 0 3 0 6 11 6 1 2 1 9 36 4 0 3 0 2 0 1 6 11 6 9 18 2 5 4 2 1 2 4 6 3 2 11 2 6 6 * * * * * * * * * * * * * * X 4 3 , , ( ( ( ( & & & & & & & ( & U U 1 ! ! ! ! ! ! = - - - - - - = - - - = - - - - - + - - - - - - =- - - - - - =- - - - + + - - - + - = - + - = - = - = = = = - - = - - =- - =- = = = = = = = = + = - = - = = - - = - - = = - - = - - = = = - - = = + - = + = - = - = = c c l l l l l l l l J L K K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K ] ^ ^ ] ^ N P O O O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O h g h g h Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] * ( ) 22
- 23. , , , : infinitas dimensiones limitado dimension X X S ax x x y ay y z z az A a a a A a a a asi que calculemos A a a a a a a a a a a a a a a asin que A a a A rgA y de la matriz ampliada sacamos una submatriz A rgA rgA n de incognitas sistema compatible una unica solucion usando Cramer x A a a a a a a a a a a a y A a a a a a a a a a a a z A a a a a a a a a a a a S x x x y y y z z z A A A cogemos uno de orden para ver si es no hay asi que rgA y lo mismo pasa con A luego rgA rgA n de incognitas sistema incompatible soluciones S x y z z y x S x x x y y y z z z A A A escogiendo la submatriz rgA ahora cogemos de A la submatriz rgA Por ultimo rgA rgA sistema incompatible no hay solucion Ejercicio por el menor de las rango de A ya que esta A es de que n Respuesta Si a a Si a a Para a a Estudia el sistema de ecuaciones ax x x y ay y z z az 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 0 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 8 1 1 2 2 2 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 3 0 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 9 0 3 3 3 4 14 1 2 1 2 1 2 1 1 1 R * * * * * * * * * * * X X X X X X 2 2 2 2 3 3 3 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 3 3 3 4 $ + & & ( & , $ & , & , $ $ ( & & & & 0 / / / 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # a b b a a b = + + + + = + = + = = + + - - - = - + = - + - = - + - = - + = = =- = = = = = = - + + + - - - = - + - = + = = - + + + - - - = - + - = + = = - + + + - - - = - + - = + + + + + = + = + = = = = = + + = =- - = = - + - + + = + = - = - - - - - - =- + + + + + = - - = + = = - - - - = = - = - =- + + + + = + = + = c c c l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] ] ] ] ] ] ] ] ^ ] ] ] ^ ] ] ] e ] ] ] ] ] ] ] ] ^ ] N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g g g g g g h g g g g g g h o g g g g g g g h g g Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] * 23
- 24. . . . . . . . , , / . , , / : . . . . 5 : , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , algebraica algebraica elimina eliminar calcular el polinomio caracteristico P P A I Hallar valores propios para ello resolver P solucion simple multiplicidad M A solucion doble multiplicidad M A calcular los vectores propios para ello se utiliza A I v y despejar v valor propio A I x y z x y z y y x y z x z b y x z a y x z el auto espacio asociado a es E x y z y z x auto vector asociado al valor propio valor propio A I fila fila se fila fila son ceros se puede x y z x y z y x z el auto espacio asociado a es x y z y x z son los auto vectores asociados a en conclusion para M A n de auto vectores M A n de auto vectores A es Diagonizable asin que A P D P siendo P D y ya sabemos como calcular P P adjP Ejercicio n Respuesta Diagonalizar la matriz A Paso Paso Paso x y z x x x v verticalmente en la matriz P se colocan los auto vectores princial los valores propios el resto ceros en la matriz D se colocan en la diagonal Para Para x y z x x z z x z E O 3 0 2 1 2 2 2 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 2 1 2 2 2 0 2 3 2 2 4 2 2 3 2 4 2 2 2 1 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 0 1 1 2 2 3 0 2 1 2 2 2 0 2 4 0 2 1 3 2 2 0 1 4 0 2 1 3 2 2 0 1 0 0 0 2 3 0 3 0 0 4 2 0 2 0 0 4 2 0 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 2 2 2 0 2 1 0 2 1 0 2 2 0 4 1 2 3 3 2 1 1 2 0 0 0 2 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 3 0 2 1 2 2 2 0 2 1 2 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 2 1 1 1 0 1 1 0 0 2 1 2 2 R R a . b elimina X X se una t 2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 1 3 3 2 1 2 3 3 1 2 1 1 2 1 $ + + + + $ $ + & + + + $ $ $ $ $ ( $ 0 0 / { { ! ! m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m = = = - = - - - - = - - - - - - = = - - - - + - = - - - - + = - - - = - + - =- - + = - + = + = - = =- = = = = = - = - - - - - - - = - - - - - - = - + - = = = - + = - - = = + = = - = =- = = =- =- - - - - - - - = - - - =- - = - + = = + = = = + = = = = = = = = = - - - - = - = - - - - = = = + = + & m m =- - - - c c c l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] ] ] ] ] ] ] ] ] ^ ^ ] ] ] ^ ] ] ^ ] ] ^ ] ] ^ ] ] ] ] ] ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g g g g g g g g g h h g g g h g h g g h g h g g g g g h h h h h h h h h h h 6 @ Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] * ' # ( # ' - - 24
- 25. . . . . . . , . , , / , , . , , / : . . , . . 6 : 2 3 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , algebraica algebraica eliminar eliminar calcular el polinomio caracteristico P P A I Hallar los valores propios para ello resolver P solucion simple multiplicidad M A solucion doble multiplicidad M A Hallar los vectores propios para ello se utiliza A I v y despejar v A I fila fila se puede una de ellas x y z y z x y z y z x z z z y z x z el auto espacio asociado a es x y z x z y z un vectorparalelo a para no trabajar con fracciones cogeremos es el auto vector asociado al valor propio A I se pueden fila y fila ya que fila fila y fila fila x y z y z y z el auto espacio asociado a es x y z y z son los auto vectores asociados a en conclusion para M A n de auto vectores M A n de auto vectores A es Diagonizable A es diagonizable P P tal que A P D P asin que P D y ya sabemos como calcular P P adjP Ejercicio n Respuesta Diagonalizar la matriz A Paso Paso Paso x y z z z z z verticalmente en la matriz P se colocan los auto vestores princial los valores propios el resto ceros en la matriz D se colocan en la diagonal Para Para q q x y z x z z x z E E O 4 0 0 1 1 2 1 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 0 1 1 2 1 3 2 4 1 2 6 4 4 1 2 6 4 3 4 4 1 4 4 1 0 4 1 0 1 0 4 0 1 1 4 2 4 0 0 1 1 2 1 3 2 5 0 0 1 2 2 1 3 3 2 3 0 2 3 5 1 1 0 0 0 2 3 0 5 0 2 3 5 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 4 0 0 1 1 2 1 3 2 0 0 0 1 3 2 1 3 2 2 3 1 3 2 1 2 3 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1 3 2 1 1 3 2 1 4 4 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 4 1 0 0 0 1 1 4 4 R R X X t 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 2 1 3 3 2 2 3 3 1 1 1 2 1 4 $ + + + + $ $ + + + , $ + + $ $ $ $ $ ( + 0 0 / 7 { { ! ! ; ; ! m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m = = - = - - = - - - - = = - - - - - = - - - - = - - - = - + - =- - + = - + = + = - = =- = = = = = - - = - - - - = - = - = + = - + = = - = - - = - = - = - = = = - = - - - = - = - - - - = - - - = =- - = - + = = = = = = = = = = = = = = - - - = - - = - - - - - - - - - - = = = = + m m - - - c c c l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] ] ] e ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ^ ] ] ] ^ ^ ] ^ ] ] ] ] ] b ^ ] ^ b b ^ b ^ ^ ^ ^ ^ ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g g g g g o g g g g g g g g g h h h g h g g g g g l g h h l h l l h h h h h h 6 @ Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] * ' ( ( # & - 0 p r q q q q q q q q p r q q q q q q q q f t v u u u u u u u u t v u u u u u u u u p 25
- 26. . 2 ; . 3. . . . . . . . . . . ? . . 2 . 2. . . 2 . 2 0 0 . 1 : 8 : ? . . ? 1 , ? : . . . . . . . . . . tanto asin Determina A a A A A a a a A A A a a a Se observa que el unico elemento que cambia es que se va multiplicando por la potencia por lo A n a si es verdad debe de cumplirse que A n a A A A n a a a n a n a que podemos asegurar que A n a A A A basandonos en el apartado anterior A A A a a a a a a I A es regular m m m aplicando Sarrus m m m m Ejercicio Ejercicio n Respuesta n Respuesta A es regular A a b a b Sea la matriz A a Hallar la potencia n esima de A Hallar A A A Sea la matriz A m m m m para que valores de m la matriz A es regular Recuerda a 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 12 2 12 2 1 0 2 1 12 1 0 1 2 1 0 1 1 0 22 1 12 0 24 12 0 2 9 0 9 9 1 0 1 9 1 1 2 1 0 1 0 1 2 2 0 1 0 1 1 7 1 0 1 0 1 12 2 1 1 2 0 1 R n n n n n 12 2 3 2 1 1 22 2 22 2 2 2 2 22 2 ( , , , , , , { ! ! ! ! ! ! = = = = = = = = = + = = = + = + = - + - + = - + = + - - - + = = - - =- =- + - - - - = - - + = - - - - - - - - - - + + c c l l J L K K K K K K K e e e e e e e ^ e e e e e e e e ] e e e e ] e e e e N P O O O O O O O o o o o o o o o o o o o o h o g o o o o o g o o o o & 26
- 27. ? 0 1 0 . 0 0 1 0 0 0 ? . . . ? . . . . . 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 , , , , 0 0 0 ? 0 1 0 , 0 0 9 : 2 : 0 2 1 ? ? . ? 0 0 0 0 0 0 . . . . . . . . . . asin A I O A A A A I A I O Calcula A A A A I A A A X I A A X I A A A X I A A A X A I A X A A X A A X X Sea B a d g b e h c f i AB BA a d g b e h c f i a d g b e h c f i a d b e c f b e h c f i b c a e b f c d h e i f b c f a e i d h que B a d g a d a Calcula A A A podemos concluir que A O si n Ejercicio Ejercicio n Respuesta n Respuesta Sea la matriz A Comprueba que verifica que A I O Calcula A Halla la matriz X que verifica la igualdad A X I A Sea la matriz A Encuentre las matrices B cuyo producto con A verifique la propiedad AB BA Calcula A a b c a b c a b a b 1 1 0 2 2 1 2 1 1 1 1 0 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 2 2 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 2 2 1 2 1 1 0 1 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 n n n 3 2 3 2 3 13 13 3 4 4 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 13 2 , , , , , , , , , , ( , $ + = = - - - - - - - - - - = - - - - = = - - - - - - - - - = = - = = = = + = + = + = + = + = = - = - - - - - - - - - - = - - - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = - - - - - - = + = = = - - - - - - - - - - c c J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ^ ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O h h Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] 27
- 28. , . . 1 3 4 , 1 0 . ? , 0 . . . . 2 3 2 0 : 3 2 , 1 2 1 2 1 0 0 1 1 : 2 : , . . . 2 1 1 1 , 1 0 0 2 : . . . . . . . . . . det det Determina A B B A a b a b a b b a b a a b b a a b A B X B A I B B adj B adj B B X B A I X B A B I B X B B A B B X A B B A B Por ultimo X B A x x x x x x x x x A A adj A adj A A B C A x x x x x A B C I x x x x x Ejercicio Ejercicio n Respuesta A A adj A siendo A matriz cuadrada y A n Respuesta Sean las matrices A B a b Calcula los valores de a y b para que A B B A Para a y b Resuelve la ecuacion Matricial X B A I Sean las matrices A B x x y C Encuentra el o los valores de x de forma que B A Igualmente para que B C A x para que A B C I a b a b a b c a b c Recuerda 0 3 2 0 6 1 6 1 0 3 2 0 2 3 2 3 3 2 12 12 3 2 2 3 3 3 12 1 1 4 0 3 2 0 6 1 1 1 6 1 1 6 0 1 1 6 0 1 0 3 2 0 1 6 0 1 1 12 3 2 0 1 6 0 1 11 1 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 0 0 1 1 2 3 3 3 0 0 3 0 2 0 2 0 3 2 0 6 1 1 0 1 1 t t t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 , , , , ( ( , , , , + ( $ & & + + ( + + ( ! = = = = = = = = = = = = = - = = = = - = - = - - = - = - = = + = - = - = - + - = - - = = + = = = = = - - = - - = - - + = + - - = - - - =- - =- = + + = + + - - = = = = = = = = = - = = = = - - = + = + + = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - c c l l l ] e e e ] e e e e e e ] e e e ] e e e e e e e e e e f ] e e e ] e e e e e e e e ] ] e e e e e g o o o o o o o g g o o g o o o o o o o o o o o o o g o p g o o o o o o o o o o g g o o o o o 6 6 6 @ @ @ Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] & 28
- 29. , , 1 0 4 4 0 1 2 2 2 8 1 1 2 3 3 : 4 : : : , ? , , ? : . . . . . . . . . . det Determina BC A BC A A A tiene inversa ya que es cuadrada y A A A adj A adj A adj A A A X A BC A A X A A BC X X A no tiene inversa A m m m m m luego A no tiene inversa Ssi m o m m A A adj A A adjA A adj A Ejercicio Ejercicio n Respuesta n Respuesta A es regular inversible A la matriz X en la seguiente Ecuacion matricial E A X A BC A B y C Sea la matriz A m m con m averigua para que valores del parametro m la matriz A no tiene inversa Calcula si es posible la matriz inversa de A para m a b a b Recuerda 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 6 2 12 10 8 2 2 0 1 1 12 10 8 2 14 10 9 3 2 0 1 1 2 0 1 1 4 0 3 1 4 0 0 3 1 0 3 4 4 1 1 0 3 4 2 1 2 1 4 1 1 0 3 4 2 1 14 10 9 3 8 1 16 0 2 0 1 0 4 0 1 1 3 4 3 0 3 1 1 3 2 2 4 2 3 1 1 0 4 0 1 1 3 7 1 12 2 3 1 2 7 2 8 1 2 2 2 2 0 2 1 2 0 1 1 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 6 2 1 0 4 0 1 1 3 2 R X X X t t t t 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 & & ( ( , , , , & & , ( & & ( $ ! ! ! ! = - - = + = + = = = = = = - = - = - = + = + = - = - = - - =- + - = = = = = =- + - = = = - - = - - - - - = = - - - - - = + = = - = - = - - = - - - - - - - - - - - - - - - - c c l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ^ e e ] e e ^ e ] ^ ^ ] e e ^ ] ^ ] ] e e e e ^ e e e ^ ] e ] e N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O h o o o h g o g o h g h o h o h g g g o o o o h o o o h g o g o 7 7 A A 29
- 30. 1 1 1 1 1 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 , 2 3 3 0 2 : 1 2 : dimension det X M es de rg M M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Si x y x A rg M Si x M M sea A la submatriz de M y A luego el rg M Si x M la matriz solo tiene un elemento rg M M M M adj M M adj M adj M Por ultimo M M adj M Ejercicio n Respuesta A si m n rango A m Sea la Matriz M x x x x x x x x Calcula el rango de M en funcion del valor de x Calcula la inversa de M en el caso de x a b a b Recuerda 3 3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 3 3 3 1 0 1 0 3 1 1 2 0 1 1 1 2 3 0 2 1 0 1 1 2 1 2 1 1 2 1 6 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 3 0 2 0 2 1 3 2 3 1 0 2 2 1 3 1 6 1 2 1 0 2 1 0 3 1 3 1 25 1 X X t t t m n m n 2 2 2 2 1 1 ( ( ( ( ( ( & ( $ U U U ! ! ! ! ! # # # = - - = - - = - - = - + - + - + = - + = = - + = = = - - = = - = = = = = = - - - - - - = = + + - + + = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - = - - - - - = = - - - - - + + + + + = - - =- - - - - - - c l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] ] ] ^ ] ] ] ^ ] ] ^ e ] ] ] ] N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O O O O O O O O O O N P O O O O O O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g gh g g g gh o g h g g g 6 @ 30
- 31. . . . . 0 0 0 0 1 , , . 3 3 3 0 0 2 , , : . 2 2 . . . . . : : : : , , , , , , , , , , , , . , , , , , , , , algebraica algebraica A I P solucion doble Multiplicidad M A solucion simple Multiplicidad M A A I A I x y z x y z x y z z x y x y z z x y El auto espacio asociado a es x y z x y z es el auto vector asociado al auto valor A I A I x y z x y z x y z x y z x y z El auto espacio asociado a es x y z x y z son los auto vectores asociados En conclusion para M A n de auto vectores M A n de auto vectores A Diagonizable Luego A P D P con P y D siempre seguiendo el orden de colocacion En la matriz P se colocan los auto vectores verticalmente En la matriz D se colocan en la diagonal principal los valores propios y por ultimo hallar P P adj P Ejercicio n Respuesta Siempre siempre siempre seguiendo el orden Diagonalizar la seguiente Matriz A Paso Paso Paso x y z y z y z y z Hallar el polinomio caracteristico P A I valores propios o auto valores vectores propios o auto vectores Para Para x y z x x x E E 1 2 0 2 1 0 4 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0 2 1 0 4 4 3 1 3 4 3 3 2 1 4 3 2 3 3 3 1 0 3 3 1 0 3 2 1 1 1 2 0 2 1 0 4 4 3 1 0 1 0 2 2 0 2 2 0 4 4 4 2 2 0 2 2 0 4 4 4 0 0 0 2 2 4 0 2 2 4 0 4 0 2 2 0 2 2 0 0 0 1 0 1 3 1 2 0 2 1 0 4 4 3 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 2 0 4 4 2 2 0 2 2 0 4 4 0 0 0 0 2 2 4 0 2 2 4 0 0 2 2 4 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 26 1 2 0 2 1 0 4 4 3 1 2 3 3 3 2 1 1 0 2 0 1 2 0 1 1 1 0 3 3 1 1 0 2 0 1 3 3 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 R R t 2 2 2 2 1 1 1 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 2 1 3 1 + + + $ $ , , + , , , & $ $ $ $ $ $ $ $ / U U { { ! ; ! ; m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m - = - - = - - - - = - - - - = = - - + - = - - - = - - + = - - + = = = = =- = = - = + = - + = - - = + + = + - = = + = + = = = =- =- = =- = =- - = - = - - = - - - - - - = - + + = - - = = - - = = + = = + = = = = = = = - = + = + = - = = = = = = - = - = - - - - - m m - - - c c c c c c l l l l l l l J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K J L K K K K K K K ] ] ^ ] ] ] ] ^ ^ ^ ] ] ] ] ] ^ ] ] ^ ^ ^ ^ ^ ^ ] ] ] ^ ^ ^ ^ N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O N P O O O O O O O g g g h g g g h h h g g g g g gh g h h h h h h g g g h h h h Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] Z [ ] ] ] ] ] ] ] ] ' ) # # ' ( - - 31