O que é um problema

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
TÓPICOS EM RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Rio de Janeiro / 2009
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À
UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
ConteudistaConteudista
José Carlos Morais de Araújo
TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA1 1TÓPICOS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMA1 1 21/1/2009 15:07:4721/1/2009 15:07:47

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Un3t Universidade Castelo Branco
Tópicos em Resolução de Problemas / Universidade Castelo Branco. – Rio
de Janeiro: UCB, 2009. - 36 p.: il.
ISBN 978-85-7880-050-5
1. Ensino a Distância. 2. Título.
CDD – 371.39

Apresentação
Prezado(a) Aluno(a):
É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-
ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando
oportunidade para melhoria de seu desempenho proﬁssional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-
peram retribuir a sua escolha, reaﬁrmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma
estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.
Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-
cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.
Seja bem-vindo(a)!
Paulo Alcantara Gomes
Reitor

Orientações para o Autoestudo
O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos deﬁnidos e
conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam
atingidos com êxito.
Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-
plementares.
As Unidades 1 e 2 corresponde aos conteúdos que serão avaliados em A1.
Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades.
Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o
conteúdo de todas as Unidades Programáticas.
A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com
os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que
você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros
presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.
Bons Estudos!

Dicas para o Autoestudo
1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja
disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.
2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite
interrupções.
3 - Não deixe para estudar na última hora.
4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.
5 - Não pule etapas.
6 - Faça todas as tarefas propostas.
7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento
da disciplina.
8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.
9 - Não hesite em começar de novo.

SUMÁRIO
Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 09
Contextualização da disciplina ................................................................................................................... 11
UNIDADE I
O QUE É UM PROBLEMA? ..................................................................................................................... 13
UNIDADE II
A MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIA............................................................................................... 19
UNIDADE III
DEFININDO PROBLEMA......................................................................................................................... 21
Glossário ..................................................................................................................................................... 28
Gabarito ....................................................................................................................................................... 29
Referências bibliográﬁcas ........................................................................................................................... 33

9Quadro-síntese do conteúdo
programático
UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS
I – O QUE É UM PROBLEMA?
II – A MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIA
III – DEFININDO PROBLEMA
• Discutir o papel que a resolução de problemas
pode desempenhar no ensino (em todos os níveis).
• Compreender o processo de generalização que está
a reboque da proposta de resolução de problemas.
Compreender a razão da utilização de determinadas
técnicas e não somente fazer porque foi adestrado.
• Através da resolução de problemas analisar proble-
mas em livros didáticos: complementando-os e enten-
dendo-os e reformulando problemas adequadamente.

11Contextualização da Disciplina
Uma das preocupações no currículo dos cursos de Matemática tem sido a metodologia na resolução de pro-
blemas. A partir da década de 80, quando nos EUA o National Council of Teachers of Matematics declarou que
a resolução de problemas “devia ser o foco da escola de Matemática”, essa questão tem lugar na formação de
professores.
Entendemos que a solução de problemas caracteriza um eficiente meio para o ensino de Matemática, favore-
cendo a contextualização do ensino do componente curricular, a aprendizagem significativa e a formação de
atitudes positivas em relação à Matemática. É com essa perspectiva que você deve iniciar seus estudos nessa
disciplina.
A contribuição e a importância da resolução de problemas na aprendizagem de Matemática podem ser per-
cebidas desde os tempos dos antigos gregos. Durante boa parte da história da Matemática, filósofos e mate-
máticos estiveram debruçados sobre problemas da Matemática, que mesmo quando se mostraram impossíveis
– por conta das condições que lhes eram impostas – funcionaram como mola propulsora no desenvolvimento
da Matemática. Três desses problemas se tornaram clássicos: a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a
trissecção do ângulo. É importante que você inclua parte dessa história na sua formação.
A compreensão de alguns textos nessa disciplina pode ficar comprometida pelo conhecimento que você te-
nha de alguns assuntos de Matemática, portanto, recomendamos que você concomitantemente aproveite para
pesquisar e ampliar esse conhecimento. Não está descartada, portanto, a hipótese de você precisar buscar em
outras fontes material para seus estudos. A pesquisa é uma característica forte na EAD e, sobretudos nessa
disciplina. Contamos com a sua dedicação.

13UNIDADE I
O QUE É UM PROBLEMA?O QUE É UM PROBLEMA?
A seguir reproduzimos um artigo publicado na Re-
vista do Professor 07, da Sociedade Brasileira de Ma-
temática que pode servir de base para compreensão
do que entendemos por “Resolução de problemas”.
Sua leitura deve ter como foco reflexões sobre:
• O que é um problema?
• Quais as etapas para resolver um problema?
Resolver problemas é uma habilidade prática, como
nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la
apenas por meio de imitação e prática. (...) Se quer
aprender a nadar você tem de ir à água, e se você
quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’,
tem que resolver problemas.
POLYA: Mathematical Discovery
O ensino por meio de problemas
George Polya (1887-1985)
No que segue, tenho em mente essencialmente o
ensino de Matemática, nas escolas secundárias dos
Estados Unidos (high schools); porém, para que este
artigo possa contribuir para uma discussão interna-
cional, vou dar destaque a pontos comuns a todas as
escolas de nível secundário, isto é, escolas para alunos
de 12 a 18 anos, em qualquer país, como por exemplo
os liceus e ginásios europeus.
Certas restrições na aplicação deste artigo, ineren-
tes a cada realidade, serão apontadas no momento
oportuno.
. . . não existe método de ensino que seja indiscuti-
velmente o melhor, como não existe a melhor inter-
pretação de uma sonata de Beethoven.
1. Uma arte, não uma ciência
Evidentemente o ensino não é uma ciência exata
com uma terminologia precisa e amplamente aceita.
Por isso, os objetivos e métodos de ensino não podem
ser discutidos de modo adequado sem que sejam
dados exemplos concretos, descritos extensamente e
com cuidado. Como, porém o espaço reservado para
este artigo não permite exemplos detalhados, devo
encaminhar o leitor para os meus livros, disponíveis
em várias línguas, onde encontrará explicações mais
amplas e ilustrações apropriadas.
Ensinar é uma ação complexa que depende em grande
parte das personalidades envolvidas e das condições
locais. Não existe, hoje, uma ciência do ensino pro-
priamente dita e não haverá nenhuma em um futuro-
previsível. Em particular, não existe método de ensino
que seja indiscutivelmente o melhor, como não existe
a melhor interpretação de uma sonata de Beethoven.
Há tantos bons ensinos quanto bons professores: o
ensino é mais uma arte do que uma ciência. (Isso não
exclui, é claro, que o ensino possa beneficiar-se de uma
atenção judiciosa aplicada às experiências e teorias
psicológicas).
De qualquer modo, o que segue é uma apresentação
não dogmática das minhas convicções pessoais. Ficarei
feliz se algum diretor ou professor de mente aberta
encontrar nestas páginas algo que convenha às suas
condições de ensino ou ao seu gosto pessoal.
2. Os objetivos
Os objetivos do ensino, os assuntos a serem ensinados
e os métodos a serem utilizados dependem das condi-
ções que prevalecem neste ou naquele lugar, neste ou
naquele momento: devem satisfazer às necessidades
da comunidade e são limitados pelas possibilidades
referentes a pessoal docente e dinheiro disponível.
(Dependem, na verdade, da avaliação mais ou me-
nos esclarecida destas condições pelas autoridades
locais.)
No entanto, uma discussão sobre o ensino só pode ter
sentido se, previamente, for definido o objetivo a ser
atingido. Minha convicção pessoal é que a principal
tarefa do ensino da Matemática, em nível secundário,
é a de ensinar os jovens a PENSAR. Tudo o que direi
em seguida decorre desta convicção fundamental.
Mesmo que o leitor não compartilhe completamente da
minha opinião, espero que possa fazê-lo parcialmente,
considerando como objetivo importante, ainda que
secundário, o que, para mim é o objetivo principal.
Deste modo poderá encontrar sugestões úteis no que
virá a seguir.
A Matemática não é um esporte para espectadores...
Naturalmente não esqueço os outros objetivos essen-
ciais – penso simplesmente que eles são compatíveis
com o que considero o objetivo principal. Deve-se: pre-
parar os alunos para o curso de Física, se um tal curso
fizer parte do programa da escola; preparar os futuros
engenheiros e alunos das Faculdades de Ciências. No
que se refere aos futuros matemáticos, um ponto é
muito importante: eles não devem ser desencantados
por um ensino mal dirigido. No entanto, é supérfluo
introduzir assuntos que só têm interesse para futuros

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matemáticos, além de ser um procedimento pouco
correto em relação à grande maioria dos alunos.
3. Pensar
Eu disse que o objetivo principal de um programa de
Matemática, em nível secundário, é ensinar os alunos
a pensar. Este enunciado requer explicações mais
amplas, o que exigiria repetir aqui uma boa parte dos
exemplos tratados nos meus livros; uma tal repetição
está fora de questão, mas o que segue poderá ajudar.
Em diversos lugares, têm sido propostos objetivos os
mais variados, tais como: experiência de pensamento
independente, flexibilidade do espírito, melhores hábi-
tos de trabalho, atitudes mentais desejáveis, ampliação
dos pontos de vista, maturidade intelectual, introdução
ao método científico. Parece-me que estes objetivos,
interpretados de modo concreto e razoável, a nível se-
cundário, apresentam muitas superposições e, tomadas
em conjunto, cobrem o objetivo que recomendo.
•Abordando este assunto sob outro aspecto, obtém-se
uma imagem melhor definida. Nosso ensino deveria
englobar os aspectos principais do pensamento ma-
temático, na medida em que isso é possível a nível
secundário. As atividades mais marcantes do mate-
mático são: a descoberta de demonstrações rigorosas
e a construção de sistemas axiomáticos. Existem, no
entanto, outras atividades que, por deixarem menos
sinais na obra acabada do matemático são, por isso,
menos aparentes mas não menos importantes tais
como: reconhecer e extrair um conceito matemático de
uma situação concreta; em seguida fazer várias formas
de adivinhações, ou seja, prever o resultado, prever as
grandes linhas de uma demonstração antes de realizá-la
em detalhe. “Adivinhar”, assim compreendido, pode
também englobar generalizações a partir de casos ob-
servados, um raciocínio indutivo, uma argumentação
por analogia etc.
O ensino da Matemática dará somente uma idéia
unilateral, diminuída, do pensamento do matemático
se suprimir atividades “não formais” como adivinhar
e extrair conceitos matemáticos do mundo visível que
nos rodeia; ele desprezará o que pode ser a parte mais
interessante para muitos alunos, a mais instrutiva para
o futuro usuário da Matemática e a mais fecunda e rica
para o futuro matemático..
4. A aprendizagem ativa
“Para aprender eficazmente, o aluno deve descobrir,
por si só, uma parte tão grande da matéria ensinada
quanto possível, dadas as circunstâncias”. Prefiro esta
formulação do “princípio da aprendizagem ativa” que é
o princípio educativo mais antigo (pode ser encontrado
em Sócrates) e o menos controverso.AMatemática não
é um esporte para espectadores: não pode ser aprecia-
da e aprendida sem participação ativa, de modo que
o princípio da aprendizagem ativa é particularmente
importanteparanós,matemáticosprofessores,tantomais
setivermoscomoobjetivoprincipal,oucomoumdosob-
jetivos mais importantes, ensinar as crianças a pensar.
Se quisermos desenvolver a inteligência do aluno,
devemos ficar atentos para que as coisas primeiras
apareçam em primeiro lugar. Certas atividades são
mais fáceis e naturais do que outras: adivinhar é mais
fácil do que demonstrar, resolver problemas concretos
é mais natural do que construir estruturas conceituais.
Em geral, o concreto vem antes do abstrato, a ação
e a percepção antes das palavras e dos conceitos, os
conceitos antes dos símbolos etc.
Já que o aluno deve aprender não receptivamente mas
por seu próprio esforço, comecemos no lugar onde o
esforço é menor e o resultado mais compreensível
do ponto de vista do aluno: ele deve se familiarizar
inicialmente com o concreto, posteriormente com o
abstrato; inicialmente com a variedade de experiências
e posteriormente com a unificação dos conceitos etc.
Isto conduz à resolução de problemas matemáticos,
que é, na minha opinião, a atividade matemática mais
próxima do centro do pensamento do dia-a-dia. Temos
um problema sempre que procuramos os meios para
atingir um objetivo. Quando temos um desejo que não
podemos satisfazer imediatamente, pensamos nos meios
desatisfazê-loeassimsepõeumproblema.Amaiorparte
da nossa atividade pensante, que não seja simplesmente
sonhar acordado, se ocupa daquilo que desejamos e dos
meios para obtê-lo, isto é, de problemas.
Muitas vezes, os problemas cotidianos conduzem a
problemas matemáticos simples e o professor, com um
pouco de habilidade, pode tornar fácil e natural para o
aluno o passo de abstração entre o problema cotidiano e
o problema matemático. E como os problemas de todos
os dias são o centro do nosso pensamento cotidiano,
pode-se esperar que os problemas matemáticos estejam
no centro do ensino da Matemática.
A resolução de problemas tem sido a espinha dorsal
do ensino de Matemática desde a época do papirus
Rhind. A obra de Euclides pode ser considerada como
uma proeza pedagógica: dissecar o grande tema da
Geometria em problemas manejáveis. A resolução de
problemas ainda é, na minha opinião, a espinha dorsal
do ensino a nível secundário e me constrange que algo
tão evidente precise ser ressaltado.
Certamente outras coisas devem ser apresentadas no
nível secundário: demonstrações matemáticas, a idéia
de um sistema axiomático, talvez mesmo uma olhada
na filosofia subjacente às demonstrações e às estruturas
matemáticas. No entanto, estes assuntos estão mais
distantes do pensamento habitual e não podem ser

15
apreciados ou mesmo compreendidos sem um prévio
cabedal de experiências matemáticas, que o aluno
adquire, principalmente, resolvendo problemas.
5. Classificação dos problemas
Há problemas e problemas e toda uma sorte de
diferenças entre problemas. Porém a diferença mais
importante para o professor é a que existe entre os
problemas de rotina e aqueles que não o são. O pro-
blema que não se resolve por rotina exige um certo
grau de criação e originalidade por parte do aluno,
enquanto o problema de rotina não exige nada disso.
O problema a ser resolvido sem rotina tem alguma
possibilidade de contribuir para o desenvolvimento
intelectual do aluno, enquanto o problema de rotina
não tem nenhuma. A linha de demarcação entre esses
dois tipos de problemas pode não ser precisa, porém
os casos extremos são claramente reconhecíveis. A
brevidade deste artigo permite apenas uma descrição
curta de dois tipos de problemas rotineiros: o problema
que exige tão somente a aplicação de uma regra bem
conhecida e o problema que não é senão uma simples
questão de vocabulário.
Um problema pode ser resolvido aplicando direta e
mecanicamente uma regra que o aluno não tem nenhu-
ma dificuldade para encontrar: ela é impingida debaixo
do seu nariz pelo professor ou pelo manual. Não há
nenhuma invenção, nenhum desafio à sua inteligência;
o que ele pode tirar de um tal problema é apenas uma
certa prática na aplicação desta regra única, um peda-
cinho isolado de conhecimento mecânico.
Uma questão pode ser formulada para verificar se
o aluno sabe utilizar corretamente um termo ou um
símbolo do vocabulário matemático recém-introduzi-
do; o aluno pode responder imediatamente à questão,
desde que tenha compreendido a explicação do termo
ou do símbolo; não há uma centelha de invenção,
nenhum apelo à inteligência – é apenas uma questão
de vocabulário.
Os problemas rotineiros, mesmo dos dois tipos que
acabamos de descrever, podem ser úteis, mesmo ne-
cessários, se forem administrados no momento certo
e numa dose justa. Eu protesto contra o abuso de pro-
blemas rotineiros, cujo único resultado é desencantar
alunos inteligentes com a matéria que lhes é apresen-
tada sob o rótulo de “Matemática”.
Os manuais “tradicionais” são duramente criticados
em nossos dias, mas a maioria dos críticos parece não
notar o que, na minha opinião, é o seu maior defeito:
quase todos os seus problemas são problemas rotineiros
do primeiro tipo acima.
Quanto aos manuais “modernos”, estes contêm, fre-
quentemente, capítulos inteiros repletos de termos e
símbolos novos, sem nenhuma relação com a experiên-
cia e o conhecimento matemático do aluno e dos quais,
por conseguinte, ele não pode fazer nenhum uso sério;
como consequência, os problemas no final do capítulo
são problemas rotineiros, particularmente chatos, a
maior parte deles simples questões de vocabulário.
Parece-me que o desserviço prestado ao aluno é da
mesma natureza nos dois casos. Não há muito o que
escolher entre “tradicional” e “moderno” se a escolha
ficar entre uma rigidez estreita e um excesso de pala-
vras sem ligação com fatos.
Não explicarei o que é um problema matemático não
rotineiro: se o leitor nunca resolveu algo, se nunca expe-
rimentouatensãoeotriunfodadescobertaese,depoisde
algunsanosdeensino,nuncaobservoutaltensãoeumtal
triunfoemalgumdeseusalunos,entãoémelhorprocurar
outra profissão e deixar de ensinar Matemática.
6. A escolha dos problemas
Aresolução de um problema não rotineiro pode exigir
do aluno um verdadeiro esforço; porém ele não o fará
se não tiver razões para isso; ora, a melhor motivação
é o interesse pelo problema. Assim, devemos tomar o
maior cuidado na escolha de problemas interessantes
e em torná-los atraentes.
Para começar, o problema deve ter sentido e ter um
propósito, do ponto de vista do aluno. Deve estar
relacionado de modo natural com coisas familiares
e deve servir a um fim compreensível para o aluno.
Se para ele o problema parece não ter relação com o
que lhe é habitual, a afirmação do professor de que o
problema será útil mais tarde não é senão uma pobre
compensação. Um professor que assistia a uma de
minhas conferências relatou a seguinte observação de
um de seus alunos de 15 anos: “Até agora sei resolver
todos os problemas, mas não vejo nenhuma razão no
mundo para fazê-lo”.
Não somente a escolha mas também a apresentação
do problema merece nossa atenção. Uma boa apresen-
tação evidencia relações com coisas familiares e toma
compreensível o objetivo. O princípio do ensino ativo
nos sugere um pequeno truque, muito útil: o professor
deveria começar não pelo enunciado completo do
problema, mas por sugestões apropriadas e deixar aos
alunos o cuidado de uma formulação definitiva.
Vez ou outra, deve se oferecer à classe um problema
mais importante, rico em conteúdo e que possa servir
de abertura para um capítulo inteiro de Matemática.
E a classe deveria trabalhar com um tal problema de
pesquisa, sem pressa e de modo que, segundo o prin-
cípio do ensino ativo, os alunos possam descobrir (ou
sejam levados a descobrir) a solução e possam explorar
sozinhos algumas conseqüências da solução.

16
7. Conduzir à descoberta
A idéia deve nascer na mente do aluno e o professor
deve agir como parteiro; a metáfora é antiga (ela se
deve a Sócrates) mas não obsoleta. Se encararmos
o desenvolvimento da inteligência do aluno como o
objetivo principal (ou um dos mais importantes) do
ensino a nível secundário e o trabalho do aluno para
resolver problemas como o meio principal (ou um dos
mais importantes) para atingir este fim, então a prin-
cipal (ou uma importante) preocupação do professor
deverá ser a de conduzir o aluno a descobrir a solução
por si mesmo.
E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o
aluno, é não ajudá-lo demais: ele deve fazer o máximo
possível por si só.
O professor deve evitar uma interferência excessiva
no nascimento natural de uma idéia.
Sem metáforas: ao ajudar o aluno, o professor deve
dar apenas uma ajuda interior, isto é, sugestões que
poderiam ter nascido na mente do próprio aluno, e
evitar uma ajuda exterior, isto é, evitar dar pedaços de
solução que não tenham relação com o que se passa
na mente do aluno.
Digo que é importante dar uma ajuda interior mas não
digo que seja fácil. Fazê-lo eficazmente exige da parte
do professor um bom conhecimento tanto do problema
quanto do aluno; além disso ele deve ter experiência e
familiaridade com as etapas que se apresentam natural-
mente e com frequência na resolução de problemas.
E a primeiríssima coisa, quando se trata de ajudar o
aluno, é não ajudá-lo demais.
8. A Heurística
A Heurística é o estudo dos caminhos e meios da
descoberta e invenção; estuda, especialmente na
resolução de problemas, essas etapas que se apresen-
tam naturalmente, com freqüência e que têm alguma
probabilidade de nos conduzir à solução. Não é um
gênero de estudo muito usual; se bem que Descartes e
Leibniz tenham meditado sobre ele (Leibniz chamava
Heurística a “arte da invenção”), o assunto estava
praticamente morto quando meu primeiro artigo a esse
respeito apareceu em 1919.
As idéias mais simples da Heurística são as mais
importantes para o professor, que poderia, aliás, extraí-
Ias de sua própria experiência, pois que elas decorrem
do simples bom senso. (Mas bom senso é tão pouco
comum, como observou Descartes.)
Eis alguns conselhos sobre os problemas do dia-a-dia
que talvez lhe pareçam absolutamente triviais.
Enfrente seu problema se quiser resolvê-lo e pergun-
te-se: o que é que eu quero? Quando souber a resposta
e o seu objetivo estiver claro, examine tudo o que se
encontra à sua disposição e que você poderia utilizar
para atingir o objetivo e pergunte-se: o que é que eu
tenho? Tendo examinado durante algum tempo tudo
o que tiver possibilidade de ser usado, você poderá
voltar à primeira questão e ampliá-la: o que eu quero?
Como posso obtê-lo? Onde posso obtê-lo? E, interro-
gando-se assim, você poderá se aproximar da solução
do problema.
É menos trivial observar que os problemas do dia
a dia apresentam certas analogias com os problemas
matemáticos. O professor que tenta dar uma ajuda “do
interior” a um aluno debruçado sobre um problema
matemático, pode, com proveito, utilizar as perguntas
precedentes, ou perguntas paralelas, expressas em
termos matemáticos.
O professor pergunta: o que você quer? Qual é a in-
cógnita? Se o objetivo da pesquisa, a incógnita, estiver
suficientemente clara para o aluno, o professor poderá
continuar: o que você tem, quais são os dados, qual é
a condição? Se o aluno der respostas suficientemente
claras também a estas questões, o professor poderá
voltar à sua questão inicial e desenvolvê-la: o que você
quer obter? Qual é a incógnita? Como você pode obter
esta incógnita? Com que dados você pode determinar
este tipo de incógnita? E estas perguntas têm bastante
possibilidade de mobilizar na mente do aluno os co-
nhecimentos apropriados e conduzi-lo à solução.
Estas perguntas são exemplos de uma Heurística
prática e de bom senso. O professor deve utilizá-las, de
início, nos casos onde elas facilmente sugerem a idéia
correta ao aluno. Depois ele poderá utilizá-las cada
vez mais, tão freqüentemente quanto o discernimento
e o tato o permitirem. Com o tempo o aluno poderá
compreender o método e usar, ele mesmo, estas pergun-
tas: aprenderá, assim, a dirigir sua atenção aos pontos
essenciais, quando se encontrar perante um problema.
Terá adquirido, deste modo, o hábito do pensamento
metódico que é o maior benefício a ser tirado das aulas
de Matemática por grande parte dos alunos que nunca
utilizará a Matemática em sua profissão.
Exemplo da Aplicação da Estratégia de
George Polya
A seguir apresentamos a estratégia de resolução de
problemas proposta por Polya em seu livro How To
Solve It através de um exemplo.
PROBLEMA: Um gato está sobre um muro de 4m
de altura quando avista um rato a uma distância de 8m
da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa

17
(em linha reta até o muro) é comido pelo gato, que
pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento
que o rato tinha andado até então. Qual a distância que
cada um percorreu?
1ª etapa: compreensão do problema
Para entendermos um problema devemos estar em
condições de identificar as partes principais do pro-
blema, ou seja, a incógnita, os dados, a condicionante.
Caso haja uma figura relacionada ao problema, é im-
portante desenhá-la e adotar uma notação adequada.
• QUAL É A INCÓGNITA?
A distância que cada um percorreu; denotaremos a
mesma por d.
• QUAIS SÃO OS DADOS?
Altura do muro: 4m.
Distância do rato à base do muro: 8m.
A trajetória percorrida pelo gato é uma linha reta
diagonal.
O muro é perpendicular ao chão.
• TRAÇANDO UMA FIGURA PARA ESQUEMA-
TIZAR O PROBLEMA:
2ª etapa: estabelecimento de um plano
“Consideramos que temos um plano quando, ao me-
nos em linhas gerais, sabemos quais são os cálculos,
construções etc., que devemos efetuar para encontrar
a solução do problema considerado” (G. Polya, A arte
de resolver problemas).
Vamos encontrar a conexão entre os dados e a incóg-
nita do problema, reduzindo-a a figuras geométricas
com propriedades conhecidas. Neste caso, visualiza-
mos três triângulos (BGE, BGR e EGR), sendo os dois
primeiros retângulos e o último isósceles.
O plano é resolvê-lo através do triângulo retângulo
menor (BGE, retângulo em (GBE)) aplicando o Teo-
rema de Pitágoras, pois conhecemos a distância BG =
4m e as distâncias BE e GE em função de d, isto é, BE
= 8 – d e a distância GE = d.
3ª etapa: execução do plano
Nesta etapa devemos observar se é possível executar
o plano. Observemos a figura construída novamente:
Temos d2 = (8 - d)2 + 42
– d2 = 64 – 16d + d2 + 16
– 16d = 80
– d = 5.
Deste modo chegamos à resposta: a distância percor-
rida tanto pelo gato quanto pelo rato é de 5m.
4ª etapa: revisão da solução
Nesta etapa, examinamos a solução
• É possível verificar o argumento? O argumento uti-
lizado foi o Teorema de Pitágoras, cujo uso era válido
pelo fato do triângulo DBGE ser retângulo em B.
• É possível utilizar o resultado ou o método em algum
outro problema? Notamos que todo triângulo retângulo
de catetos 3 e 4 possui hipotenusa 5 (o famoso triângulo
retângulo 3, 4 e 5, o único de lados sendo inteiros con-
secutivos). Teorema de Pitágoras é extremamente útil
e empregado na resolução de muitos problemas.
• É possível chegar ao resultado por caminho diferen-
te? Uma idéia poderia ser olhar para o triângulo isósce-
les DEGR e utilizar a lei dos co-senos. Não garantimos
que, de fato, haja uma solução por este caminho, mas
ao menos parece ser um caminho interessante!
Exercícios
Procure responder aos problemas seguintes, apresentando, para cada um deles, argumentos convincentes.
Nem sempre haverá uma equação ou cálculos algébricos para suas respostas, vale seu raciocínio expresso em
palavras, em contas, desenhos e esquemas, que mostrem a lógica de sua resolução.
PROBLEMA 01. Num conjunto de 4 bolas de aço, uma delas tem o peso maior do que das outras 3, que pos-
suem pesos iguais. Como podemos identificar qual bola tem o peso maior usando uma balança duas vezes?

18
PROBLEMA 02. Dentre um conjunto de 6 bolas de aço, uma delas tem o peso maior do que das outras 5. Se
todas as outras 5 possuem o mesmo peso, como podemos identificar a bola mais pesada usando uma balança
duas vezes?
PROBLEMA 03. Dispomos de um conjunto de 6 bolas de aço, onde uma única bola tem o peso diferente
das outras 5. Como podemos identificar a bola que possui peso diferente podendo usar uma balança até três
vezes?
PROBLEMA 04. Suponha 10 sacos contendo, cada um deles, 10 barras de ouro. Sabe-se que todas as barras
contidas em um dos sacos, e em apenas um deles, pesam cada uma 900g, enquanto todas as outras barras de
todos os outros sacos pesem cada uma delas 1kg. Como podemos identificar qual dos sacos contém as barras
de 900g usando uma balança uma única vez?
PROBLEMA 05. Um tijolo pesa um quilograma mais meio tijolo. Qual é o peso de um tijolo e meio?
PROBLEMA 06. Um árabe deixou 17 camelos como herança a seus 3 filhos especificando que o mais velho
deveria receber metade da herança, o do meio, 1/3 e o mais novo, 1/9. Os rapazes ficaram desesperados por não
saberem como seguir essas instruções. Para sorte deles, nosso herói apareceu e resolveu o problema da seguinte
maneira: ele juntou um de seus próprios camelos à herança. A divisão então pode ser feita, cabendo a cada um
dos filhos 9, 6 e 2 camelos respectivamente. Como 9+6+2 = 17, o Homem que Calculava pegou seu camelo de
volta e todos ficaram satisfeitos. Como foi possível dividir o indivisível?
PROBLEMA 07. Um aluno encontra-se com seu professor depois de alguns anos. Depois de relembrar sua
época de sala de aula, o aluno propõe a esse professor que “adivinhe” as idades de seus três filhos e, para isso,
fornece algumas dicas. Segundo este aluno, “o produto das idades dava 36”. Argumentando não ser possível
respondê-lo com apenas essa dica, o professor pediu mais uma. Olhando uma casa que estava próxima, o aluno
fornece a segunda dica: “a soma das três idades é o número daquela casa”. O professor olhou o número da
casa, pensou mais um pouco e disse que precisava de pelo menos mais uma dica. “Meu filho mais velho toca
piano”, disse o aluno.
Pergunta-se: quais eram essas idades?

19UNIDADE II
A MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIAA MATEMÁTICA NOSSA DE TODO DIA
Franca Cohen Gottlieb
Matemática é uma palavra mágica que desperta
sempre reações contraditórias. Experimente o leitor,
se alguém que lhe perguntar qual sua área de interes-
se e responder que é professor de Matemática, verá
surgir uma reação apaixonada. Apaixonada porque o
interlocutor jamais fica indiferente a esta resposta. Ou
confessa que “detesta” esta matéria ou se diz “encan-
tado” com ela. Será que é porque a Matemática nos
rodeia em todas nossas ações, em todas situações de
ordem prática que somos obrigados a enfrentar? Será
que é porque os pequenos truques que encontramos
em publicações de cunho popular espicaçam nossa
imaginação, nos empurram ao desejo de “desvendar
o mistério” que é uma das características da mente
humana? E aqueles que “detestam” Matemática são
por acaso os que não veem o aspecto lúdico da ma-
téria e só experimentam o lado estressante de superar
dificuldades todos os dias?
Verdade é que muitas vezes o que parece “bruxaria”
tem justificativa simples e que encanta aqueles que
gostam de desafios. O meu trabalho é com estudantes
de licenciatura em Matemática e algumas vezes apre-
sento aos futuros professores questões que encontro
em livros de divulgação, em almanaques, em revistas
de jogos, na mídia. Nestes momentos peço que jus-
tifiquem o aparente “truque”. Eles gostam deste tipo
de desafio que em geral não passa de uma pequena
generalização algébrica.
Utilizar problemas para aguçar a curiosidade dos alu-
nos é uma maneira muito interessante e recomendada
hoje em dia, como metodologia, para mostrar a beleza
da Matemática e descentralizar o ensino de Matemática
de apenas técnicas operatórias. Na realidade a solução
de alguns problemas de Matemática necessitam das téc-
nicas como recurso para a sua solução.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais citam, como
um recurso para a melhoria do ensino de Matemática,
a resolução de problemas.
Ao utilizar a resolução de problemas como metodo-
logia, os PCNs do Ensino Fundamental defendem uma
proposta que pode se resumir nos seguintes princípios:
• O ponto de partida da atividade matemática não é
a definição, mas o problema. No processo de ensino
e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos mate-
máticos devem ser abordados mediante a exploração
de problemas, ou seja, de situações em que os alunos
precisem desenvolver algum tipo de estratégia para
resolvê-las;
• O problema certamente não é um exercício em que
o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fór-
mula ou um processo operatório. Só há problema se
o aluno for levado a interpretar o enunciado da ques-
tão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é
apresentada;
• Aproximações sucessivas ao conceito são constru-
ídas para resolver um certo tipo de problema; num
outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para
resolver outros, o que exige transferências, retifica-
ções, rupturas, segundo um processo análogo ao que
se pode observar na história da Matemática;
• O aluno não constrói um conceito em resposta a
um problema, mas constrói um campo de conceitos
que tomam sentido num campo de problema. Um
conceito matemático se constrói articulado com ou-
tros conceitos, por meio de uma série de retificações
e generalizações;
• A resolução de problemas não é uma atividade para
ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da
aprendizagem, mas uma orientação para a aprendiza-
gem, pois proporciona o contexto em que se pode apre-
ender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
Veja três exemplos que apresentei a meus alunos ul-
timamente:
1° PROBLEMA:
Para calcular o produto de dois números naturais
ímpares consecutivos, basta encontrar o antecedente
do quadrado do número par que está entre eles.
Por que isto acontece? E se os dois números naturais
fossem pares consecutivos, como ficaria a situação?
2° PROBLEMA:
Para achar o quadrado de um número natural N
compreendido entre 50 e 59:
1) Soma-se ao quadrado de 5 o algarismo das unida-
des do número N;
2) Coloca-se à direita da soma encontrada no item
anterior o quadrado com dois dígitos do algarismo
das unidades de N;
3)Onúmerodequatroalgarismosassimencontradoé N2
.

20
Como você explica esta regra prática?
3° PROBLEMA:
Escreva o número dos sapatos que você calça; co-
loque dois zeros à direita daquele número natural;
subtraia o número que representa o ano em que você
nasceu; some àquela diferença o número que repre-
senta o ano em curso.
Você encontra o número de seus sapatos seguido da
idade que você completa no ano em curso.
Pergunta-se:
a) Por que este cálculo dá certo?
b) E se em vez do número dos seus sapatos você
considerasse o número natural que representa os qui-
los que você pesa, o que aconteceria?
A idéia na proposta de resolução desses problemas
é poder generalizar a justiﬁcativa, todos esses proble-
mas perguntam “por que?” o que signiﬁca compreen-
der a razão da utilização de determinadas técnicas e
não somente fazer porque foi adestrado.
BOLETIM GEPEM / N.° 45 - JUL./DEZ. 2004/63-66
Obs: A solução desses problemas está na página 30.

21UNIDADE III
DEFININDO PROBLEMADEFININDO PROBLEMA
Definindo Problema...
No ensino de Matemática a solução de problemas
tradicionalmente tem sido uma atividade desenvolvida
após o ensino de um conceito, como forma de aplicação
do conteúdo desenvolvido. Essa prática, denominada
solução de “problemas-tipo” (Krutetskii, 1976), na
realidade, constitui uma resolução de exercícios. A
distinção entre um problema e um exercício é feita do
ponto de vista de quem executa a tarefa.Apartir do mo-
mento que o sujeito dispõe das estratégias de solução
e apenas aplica-as às diferentes situações propostas,
ele resolve um exercício (Pozo, 1998).
Segundo Mayer (1992), existem diferentes definições
para problema, sendo que na maioria delas consiste
de uma situação, verbal ou não, apresentada em um
estado inicial determinado e, que se deseja estar em
outro estado distinto, não há uma estratégia direta e
óbvia para deslocar-se de um estado ao outro.
Díaz e Poblete (1995) definiram problema como uma
tarefa que requer solução sob condições específicas,
onde o sujeito compreende a tarefa, mas não dispõe de
estratégia imediata para a solução e é então motivado
a procurar a solução. Uma característica dessa tarefa
é que ela requer do sujeito a capacidade de transfor-
mar os elementos do enunciado verbal em expressões
matemáticas.
Henderson e Pingry (1953) diferenciaram duas
conceituações para problema: a primeira, e mais
comum, é aquela segundo a qual um problema é uma
questão proposta que pede uma resposta ou solução; o
segundo conceito, apesar de admitir a necessidade de
uma questão a ser solucionada, requer ainda que esta
situação seja inédita para o sujeito, ou seja, sua solução
não esteja imediatamente disponível, enfatizando que
o que pode ser um problema para um indivíduo em
particular, pode não ser um problema para ele amanhã.
E para que um sujeito aprenda a resolver problemas
existe um único modo: resolvendo-o e estudando o
procedimento.
Diferentemente desses autores, Gagné (1974) considera a
soluçãodeproblemasotipomaiselevadodeaprendizagem,
ondeumsujeito,apartirdacombinaçãodeconceitoseprin-
cípios já aprendidos, elabora novos conceitos e princípios,
visando solucionar as situações propostas, propiciando a
aquisição de uma maior reserva de habilidades.
Polya (1986), por sua vez, enfatizou a heurística da
solução de problemas. Com o objetivo de aperfeiçoar
o desempenho dos estudantes nessas atividades, o
autor elaborou uma lista de indagações e sugestões,
visando orientar a sequência correta de operações para
solucionar um problema. Nessa lista, o autor dividiu
o processo de solução em quatro fases distintas, a sa-
ber: primeiro, a compreensão do problema a partir de
questões acerca dos fatos que são conhecidos, dos que
são desconhecidos e sob que condições apresentam-se;
a segunda fase caracteriza-se pela necessidade de se
estabelecer um plano para a solução, buscando na me-
mória o que existe de soluções de problemas correlatos;
na terceira fase o plano é executado, sendo que cada
passo da execução deve ser passível de verificação; e
finalmente, a solução obtida deve ser examinada, pro-
curando se utilizar do resultado ou método na solução
de outros problemas.
Caracterizando um Problema
Resnick apontou várias características dos problemas
as quais procuramos resumir abaixo:
1. Sem algoritmização: o caminho da resolução é
desconhecido, ao menos em boa parte.
2. Complexos: precisam de vários pontos de vista.
3. Exigentes: a solução só é atingida após intenso
trabalho mental; embora o caminho possa ser curto,
ele tende a ser difícil.
4. Necessitam de lucidez e paciência: um problema
começa com uma aparente desordem de idéias e é
preciso adotar padrões que permitirão construir o
caminho até a solução.
5. Nebulosos: nem sempre todas as informações
necessárias estão aparentes; por outro lado, pode
existir conflito entre as condições estabelecidas pelo
problema.
6. Não há resposta única: normalmente ocorre de
existirem várias maneiras de se resolver um dado
problema; no entanto, pode acontecer de não existir
uma melhor solução ou até de não haver solução – ou
seja, resolver um problema não é o mesmo que achar
a resposta.

22
Exercícios
Procure caracterizar cada um dos problemas seguintes antes de resolvê-los.
PROBLEMA 01. “O meu neto tem aproximadamente tantos dias de idade quanto o meu filho tem em
semanas, e meu neto tem tantos meses quanto eu em anos. Meu neto, meu filho e eu juntos temos 120 anos.
Você consegue descobrir a minha idade em anos?”
PROBLEMA 02. Uma pizza de 24cm de diâmetro custa R$ 5.99 na minha pizzaria favorita. A pizzaria diz
que a pizza grande, de 30cm de diâmetro, está em promoção pelo preço especial de R$ 8.42. Qual o desconto
percentual que a pizzaria está oferecendo?
PROBLEMA 03. Uma planta trepadeira está subindo ao redor de um tronco de árvore cilíndrico de maneira
helicoidal. A altura do tronco de árvore é 540 polegadas e a circunferência é 48 polegadas.
Se a trepadeira cobrir uma distância vertical de 90 polegadas em uma volta completa ao redor do tronco,
que comprimento terá a trepadeira?
PROBLEMA04. Um grande tanque de água possui dois canos de entrada (um grande e um pequeno) e um cano de
saída. São necessárias 2 horas para encher o tanque através do cano grande. Por outro lado, são necessárias 6 horas
para encher o tanque através do cano pequeno. O cano de saída permite que o tanque seja esvaziado em 8 horas.
Que fração do tanque (inicialmente vazio) será cheia em 1.35 horas se todos os três canos estiverem operando?
Use duas casas decimais na resposta (ex., 0.25, 0.5, ou 0.75).
PROBLEMA 05. Um cilindro com 105cm de altura tem uma circunferência de 20cm. Um barbante dá exa-
tamente 7 voltas completas em torno do cilindro enquanto suas duas extremidades tocam o topo e a base do
cilindro. Qual o comprimento do barbante em cm?
PROBLEMA 06. Na figura ao lado, o retângulo no canto mede 3cm x 6cm. Qual o raio do círculo em cm?
PROBLEMA07. Uma senhora, mãe de três filhos, vai visitá-los com ovos frescos que traz em uma cesta.Ao mais
velho, ela dá a metade do que possui e mais meio ovo. O filho do meio recebe metade do que restou e mais meio ovo.
O filho mais novo ganha metade do que restou e mais meio ovo e a mãe fica sem nada.
Quantos ovos havia na cesta e quantos a mãe deu a cada um?
PROBLEMA08. Em um dos seus estudos mais complexos, o biólogoAstrogildo foi ao interior de Catolé do Rocha
para pesquisar o sono dos animais. Ele pôde concluir que o lobo dorme quando a coruja está acordada e está acor-
dado quando a coruja dorme. O lobo dorme tanto numa semana quanto a coruja dorme num dia. De acordo com tais
informações, quantas horas por dia dorme cada um desses animais?
PROBLEMA09.Afigura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postosA, B, C e D são usados para par-
tidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura
e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha.
Por exemplo, uma corrida de 17km pode ser realizada com partida em D e chegada em A.
a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros?
b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos?

23
PROBLEMA10. Sueli resolveu dar cinco voltas em torno de uma praça quadrada. Ela partiu do vértice P, no sentido
indicado pela flecha. Faltando 2/7 do percurso total para completar as cinco voltas, ela caiu e teve que interromper o
passeio. Qual ponto indica o lugar em que Sueli caiu?
PROBLEMA11. JoãochegatododiaaPetrópolisàs17:00horasesuamulher,quedirigecomvelocidadeconstante,chegatododiaàs
17:00horasparaapanhá-loelevá-loparacasa.Numdeterminadodia,Joãochegaàs16:00horaseresolveirandandoparacasa;encontra
suamulhernocaminhoevoltadecarrocomela,chegandoemcasa10minutosmaiscedo.QuantosminutosJoãoandouapé?
PROBLEMA12. Num determinado momento na final de futsal dos jogos escolares da Cidade deTribobó do Norte,
Fabinho percebeu que o número de meninos presentes no Ginásio era três vezes mais que o número de meninas.Após
a chegada de um ônibus com 72 meninas e 88 meninos, a porcentagem de meninas no Ginásio passou a ser 30%.
Quantos meninos e quantas meninas passaram a estar no ginásio após da chegada desse ônibus?
PROBLEMA 13. Um formiguinha quer sair do ponto A e ir até o ponto B da figura I, andando apenas pelos lados
dos quadradinhos na horizontal ou na vertical para baixo, sem passar duas vezes pelo mesmo lado.Afigura II ilustra
um possível trajeto da formiguinha.
De quantas maneiras ela pode ir de A até B?
(A) 120
(B) 240
(C) 360
(D) 480
(E) 720
PROBLEMA 14. Turmalinas são pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma turmalina
pesa o dobro de outra, então seu valor é cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, mandou cortar uma turmalina
que valia R$1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela irá receber se vender os quatro pedaços?
PROBLEMA15. Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas estão dentro de uma caixa fechada. Eles
já sabem que este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem as seguintes afirmações:
•Regina:Nacaixahámaisde100bolasemenosde120bolas.
•Paulo:Nacaixahámaisde105bolasemenosde130bolas.
•Iracema:Nacaixahámaisde120bolasemenosde140bolas.
Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta. Quantos são os possíveis valores para o número de bolas
dentro da caixa?
(A) 1 (B) 5 (C) 11 (D) 13 (E) 16
PROBLEMA16. Um fazendeiro tinha ração suficiente para alimentar suas 20 vacas por 30 dias. Depois de algum
tempo ele vendeu algumas vacas e, com isso, a ração durou alguns dias a mais. O gráfico mostra a quantidade diária
de ração disponível durante esse período, expressa como percentual da quantidade inicial. Quantas vacas o fazendeiro
vendeu?

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QUESTÃO 17. No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com frequências diferentes.
A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes
piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
QUESTÃO 18. João vendeu 2 rádios por preços iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% e o outro com
prejuízo de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido, João perdeu ou lucrou? Quanto?
QUESTÃO 19. As promoções do tipo “leve 4 e pague 3”, comuns no comércio, acenam com que desconto sobre
cada unidade vendida?
QUESTÃO 20. Se x + y = 5 e xy = 3, então qual é o valor da expressão x2
+ y2
?
QUESTÃO 21. Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão: dividiria sua fortuna entre
sua filha, que estava grávida, e a prole resultante dessa gravidez, dando a cada criança que fosse nascer o dobro da-
quilo que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo daquilo que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino.
Nasceram trigêmeos, sendo um menino e duas meninas. Como veio a ser dividida a herança legada?
QUESTÃO 22. Um copo cheio de água pesa 400g e, cheio até a metade, pesa 250g. Qual é o peso do copo vazio?
QUESTÃO 23. Calcule o volume do tronco de cilindro reto com diâmetro da base igual a 10cm que tem alturas
entre 8cm e 12cm, como indicado na figura.
QUESTÃO 24. Considere as matrizes
Calcule o elemento da matriz produto P=A.B que ocupa a primeira linha e segunda coluna, isto é, o elemento p12.
QUESTÃO 25. Calcule o número de retas determinadas por 100 pontos, diferentes um do outro, situados sobre
uma circunferência.
QUESTÃO 26. Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram
abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário,
abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou.
Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no
gráfico abaixo.
Que horas estava marcando o relógio quando o número de torcedores atingiu 45.000?

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QUESTÃO27.Calculeosladosdeumtriânguloretângulosabendoquesãorepresentadospornúmerosinteirosconsecutivos.
QUESTÃO 28. Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200m. Ao atingir o solo pela primeira vez, ela sobe
até uma altura de 100m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo até uma altura de 50m, e assim por diante até
perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo?
QUESTÃO 29. Determine a solução da equação do 2º grau x2
+ 5x -14 = 0.
QUESTÃO 30. Deseja-se construir um curral retangular aproveitando-se para um dos lados uma parede de tijolos
já construída. Para os outros lados estão reservados 800m de tela de arame. Determine quais devem ser as dimensões
do retângulo para que o curral tenha área máxima?
Enfim, o que é um Problema?
Podemosdarumadeﬁniçãointuitivadeproblema:“umproblemamatemáticoétodasituaçãorequerendoadescoberta
de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração
de um resultado matemático dado”.Ainda, segundo Newell & Simon (1972), “um problema é uma situação na qual
um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação” ou
segundo Chi e Glaser (1983) “o problema é uma situação na qual um indivíduo atua com o propósito de alcançar
uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular”
A partir das concepções de problemas acima, entendemos que existe um problema quando há um objetivo a ser
alcançado e não sabemos como atingir esse objetivo. Em matematiquês, existe um problema quando há um resultado
– conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando a teoria matemática.
Um problema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem está se propondo a encontrar uma solução
ao problema – tenha de inventar estratégias e criar idéias. Quem resolve pode até saber o objetivo a ser atingido, mas
ainda estará enfrentando um problema se ele ainda não dispõe dos meios para atingir tal objetivo.
Fonte: Seminários de Resolução de Problemas. PEREIRA, Antônio Luiz. Disponível em 19 de março de 2008 no site: http://www.ime.
usp.br/~trodrigo/documentos/mat450
Problemas
QUESTÃO 31. Dois viajantes iam por uma estrada quando pararam para lanchar. Um deles possuía 5 pães e o outro
3. Quando os dois iam comer, apareceu um terceiro viajante faminto, resolveram repartir os pães igualmente entre
os três. O viajante agradecido recompensou com 8 moedas de ouro. Como repartir as moedas entre os dois de forma
justa?
QUESTÃO 32. Uma pista de corrida a pé de seis raias tem a forma de um retângulo cujo comprimento é de uma
vez e meia a largura, com um semicírculo em cada extremidade. Cada raia tem um metro de largura. Qual deve ser
o comprimento e largura do retângulo para que a pista de dentro tenha 1500m de comprimento? Para uma corrida de
1500m, o corredor de dentro sai da linha de chegada. De onde devem sair os corredores das outras cinco raias?
QUESTÃO 33. Um urso parte do ponto P e percorre um quilômetro no sentido sul. Em seguida muda de rumo e
percorre um quilômetro no sentido leste. Finalmente, muda outra vez de rumo, percorre um quilômetro no sentido
norte e chega exatamente no ponto de partida. Qual é a cor do urso?

26
QUESTÃO 34. Paradoxo das Áreas:Tome um quadrado de lado 8 e corte-o segundo a ilustração ao lado, formando
dois triângulos retângulos e dois trapézios.
Observe que:
Área de cada triângulo:
Área de cada trapézio:
Então, obviamente, a área do quadrado = 2.(área do triângulo) + 2.(área do trapézio) = 2 . 12 + 2 . 20 = 82= 64
Agora vamos reordenar nossas peças para obter a seguinte ﬁgura:
Mas observe que a área desse retângulo é 13. 5 = 65. Como pode uma simples reordenação de peças resultar em
uma ﬁgura de área diferente da original?
QUESTÃO 35. Suponha que um candidato está em um programa de televisão e deve escolher entre três portas,
uma das quais esconde um automóvel e as outras duas, dois bodes. O candidato escolhe uma das portas. Em seguida,
o apresentador, que sabe o que as portas escondem, escolhe uma das duas restantes mostrando um bode. Ele então
pergunta ao candidato: você quer trocar de porta? O problema é: é vantajoso para o candidato fazê-lo?

27
Se você:
1) concluiu o estudo deste guia;
2) participou dos encontros;
3) fez contato com seu tutor;
4) realizou as atividades previstas;
Então, você está preparado para as
avaliações.
Parabéns!

28
Glossário
Axiomática - conjunto das proposições não demonstradas que servem de base a uma construção hipotético-
dedutiva.
Consecutivo - 1. Que segue em série; um imediatamente após outro, com pequenos intervalos; sucessivo. 2. Que se
segue imediatamente após; imediato.
Estratégia - 1. Arte de conceber operações de guerra em planos de conjunto. 2. Ardil, manha, estratagema. 3. Arte
de dirigir coisas complexas. Var: método.
Incógnita - Quantidade desconhecida cujo valor se procura descobrir para a solução de um problema. Aquilo
que é desconhecido e que se procura saber.
Heurística - Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus próprios meios.
PCNs - Parâmetros Curriculares Nacionais. Os PCNs foram elaborados para difundir os princípios da reforma
curricular e orientar os professores na busca de novas abordagens e metodologias.
Triângulo isósceles - Triângulo que possui dois de seus lados iguais.

29
Gabarito
Unidade I
PROBLEMA01. Comparamos os pesos dividindo-as em dois grupos.Após identificarmos o grupo mais pesado,
colocamos uma dessas bolas em cada prato da balança e, assim, identificamos a mais pesada.
PROBLEMA 02. Para a primeira pesagem, dividimos em dois grupos de três. Assim, identificamos o grupo
mais pesado e, desse grupo, podemos colocar uma delas em cada prato da balança e a terceira fica fora. Agora,
ou identificamos uma das bolas nos pratos como a mais pesada ou, caso seus pesos sejam iguais, a que ficou
fora é a mais pesada.
PROBLEMA 03. Podemos lançar mão de um esquema: dividimos em três grupos de duas. Consideraremos
duas hipóteses: 1) elas têm pesos diferentes ou 2) elas têm pesos iguais.
1 – Se elas têm o mesmo peso, a bola estará no terceiro grupo. Levaremos uma para cada prato e os pesos se
mostrarão diferentes. Escrevamos L e P nas bolas que são, supostamente, a mais leve e mais pesada. Se com-
pararmos, na terceira pesagem, uma destas com uma considerada normal (uma das quatro iniciais) saberemos
se P é realmente a mais pesada ou se é a L a mais leve.
2 – Se a balança mostrar que os pesos são diferentes, não saberemos se a desigualdade se dá pela presença
de uma mais leve ou se, há uma mais pesada que as outras. Portanto, nesse caso, escreveremos L nas bolas
“supostamente” mais leves e P, para as “supostamente” mais pesadas.
Nosso problema agora é composto por duas bolas L e duas bolas P, mas ainda temos duas pesagens. Repetindo
o registro de L e P para os dois grupos, troquemos então uma L e uma P pelas bolas eliminadas na primeira pe-
sagem e consideradas normais (N). Haverá num dos pratos uma P e uma N e, no outro, uma L e uma N. Desta
vez, ou elas continuam acusando pesos desiguais ou elas acusam pesos iguais.
Se os pesos são desiguais, ou a P é a mais pesada, ou a L é a mais leve. Agora, basta colocar uma N no lugar
de uma delas e a resposta aparecerá nessa terceira pesagem. Se, no entanto, os pesos se mostrarem iguais, nosso
problema reduz-se a identificar qual dentre as que sobraram (uma P e uma L) é a bola em questão. Nesse caso,
basta comparar uma delas com uma das bolas já abandonadas e consideradas normais, como descrevemos
anteriormente. Recomendamos que você faça um desenho para representar os argumentos descritos para essas
questões. Também é aconselhável que você tente elaborar sua solução.
PROBLEMA 04. Aqui não conseguiremos resolver o problema com uma balança de dois pratos, usaremos
uma balança que registre numericamente a massa de um determinado objeto.
Retiremos uma única barra do saco 1, duas do saco 2, 3 do saco três e assim sucessivamente. Teremos ao todos
(1+2+3+...+10 = 55 barras). Se cada uma pesasse 1000g teríamos 55kg. No entanto, ao colocarmos essas 55 barras
na balança, ela vai acusar um peso menor do que 55kg, pois algumas barras apresentam peso menor que 1000g.
Para cada barra colocada com peso menor (900g) faltarão 100g. Portanto, a quantidade que falta para as 55000g
denuncia de qual saco foram retiradas as barras com peso menor. Lembremos que todas as barras de um dos
sacos tinham peso menor.
PROBLEMA 05. Admitindo que um tijolo pese tanto quanto outro tijolo, ao colocarmos um tijolo num dos
pratos de uma balança, no outro deveremos colocar algo com peso equivalente. Coloquemos então, no outro
prato, um peso de 1kg mais a metade de um tijolo, conforme descreve o problema.
Ora, isso equivale a outro tijolo, então o que é esse 1 kg se não a outra metade do tijolo? Claro, meio tijolo
então pesa 1kg. Portanto, o tijolo inteiro pesa 2kg e a resposta do problema é: um tijolo e meio pesam 3kg.
Obs.: Não é necessário que sua solução tenha uma equação, para ser aceita como solução de um problema
de matemática. Usamos matemática no texto que apresentamos para resolver o problema. No entanto, se você
preferir, a equação x = 1 + pode nos levar ao valor de x, aqui representando o peso de um tijolo. Experi-
mente resolvê-la.
PROBLEMA 06. Observe a soma das frações + + = . Ou seja, o testamento distribui ape-
nas da herança, sobrando, portanto, 1/18 de 17 camelos, o que equivale a quase um camelo. Esta “sobra”
é redistribuída entre os herdeiros pois, embora a sobra seja ainda de da herança, ela agora é formada de
18 camelos ( de 18 = 1 camelo).
x
2
1
2
1
3
1
9
17
1817
18
1
18
1
18

30
PROBLEMA 07. O que impede que o professor saiba a resposta das idades de imediato é que há mais de uma
resposta possível. A tabela abaixo mostra todas as possíveis idades dos três e suas respectivas somas. Lembre-
se de que o professor viu o número da casa e, portanto, caso a soma fosse 38, 21, 16, 14, 11 ou 10, ele já teria
a resposta, pois para cada uma das somas só há uma possibilidade. No entanto, há dúvida ainda, o que justifica
ser 13 a soma das idades. Ele agora fica entre as idades 1, 6, 6 ou 2, 2 e 9. O fato de haver um filho mais velho
lhe aponta a resposta: 2, 2 e 9.
Unidade II
OBS: Soluções dos problemas das páginas 19 e 20.
1° PROBLEMA: Os número naturais ímpares podem ser representados por 2n – 1 e 2n + 1. Então, (2n+1)(2n-1)
= 4n2
– 1 que é o antecessor do quadrado de 2n que é o par compreendido entre os ímpares 2n – 1 e 2n + 1.
Analogamente mostramos que o produto de dois pares consecutivos é o antecessor do quadrado do ímpar
compreendido entre eles. Basta representá-los por 2n e 2n+2.
2° PROBLEMA: Seja N = 50+n esse número. Então, N2
= (50+n)2
= 2500+100n+n2
.
Para achar o quadrado de um número natural N compreendido entre 50 e 59 Estamos somando, portanto:
1) Somam-se as 25 centenas, as n centenas do produto 100n;
2) Ao resultado (25 + n) centenas, soma-se o quadrado de n, que tem dois dígitos, o que equivale a colocar à
direita dessa soma (25+n) a dezena obtida pelo quadrado de n;
3° PROBLEMA: Seja N o ano do nascimento e C o ano em curso. Colocar dois zeros ao lado do número (P)
do calçado equivale a multiplicá-lo por 100.
Então teremos (100P – N) + C = 100P – N + C = 100P + C – N.
Mas, C – N é exatamente como se calcula a idade de uma pessoa. Portanto, essa dezena aparecerá ao lado da
centena 100P.
Se usássemos o peso, desde que tivesse dois dígitos, o esquema seria o mesmo.
Unidade III
PROBLEMA 01.
Meu neto: x dias (ou x/30 meses)
Meu filho: x semanas (ou 7x dias)
Eu: x/30 anos (ou, multiplicando por 360, 12x dias)
Resolva a equação: x + 7x + 12x = 120.(360) , isto é, 20x = 43200 ⇒ x = 2160
Resposta: Minha idade é 72 anos.
PROBLEMA 02. A razão entre áreas de figuras semelhantes é sempre o quadrado da razão de semelhança,
portanto a pizza de 30cm de diâmetro deveria custar R$9,36. Logo, o desconto oferecido é de aproximadamente
10%.

31
PROBLEMA 03. A figura a seguir representa a superfície lateral do cilindro e o segmento AP é o caminho
da trepadeira. Portanto:
AP2
= 482
+ 902
⇒AP = 102 polegadas
PROBLEMA 04.
As vazões dos canos são: Grande: ½ tanque por hora; Pequeno: 1/6 do tanque por hora e a saída é de: 1/8 do
tanque por hora.
Portanto, o somatório é: + - = por hora. Então t = .1,35 ⇒t = 0,73 horas, ou seja, apro-
ximadamente 43,87 minutos. (estamos admitindo 1,35 horas e não, 1h e 35 minutos)
PROBLEMA 05. Na figura, AP é o barbante. Como AP2
= 1402
+ 1052
, AP = 175cm.
PROBLEMA 06. Admitindo a hipotenusa do triângulo retângulo na figura como R, seus catetos são (R-3) e
(R-6). Resolvendo R2
= (R-3)2
+ (R-6)2
temos R = 15cm.
PROBLEMA 07. Havia 7 ovos na cesta e a mãe deu 4, 2 e 1 ovo para cada um, respectivamente.
PROBLEMA 08. O lobo dorme 3 horas, enquanto a coruja dorme 21 horas por dia.
PROBLEMA 09. (a) Partida em A e chegada em B.
(b) Serão 7 voltas e mais 9km; então, ele partirá de A e a chegada é em D.
PROBLEMA 10. Ela percorreu 14 lados e mais dois sétimos de um lado, portanto, Sueli caiu no ponto D.
PROBLEMA 11. Se ela chega 10 minutos antes, então economizou 5 minutos no tempo que leva para ir en-
contrar o marido. Ao encontrá-lo 5 minutos antes, encontrando-o às 6:55h, portanto ele andou 55 minutos.
PROBLEMA 12. (No enunciado leia-se: ... o número de meninos presentes no Ginásio era três vezes mais...)
Após a chegada do ônibus serão 192 meninas e 448 meninos.
PROBLEMA 13. Ele poderá ir de A até B de n = 4.3.5.3.4, isto é, n = 720 maneiras.
PROBLEMA 14. Irá receber apenas R$160,00.
1
2
1
6
1
8
13
24
13
24

32
PROBLEMA15. (E) 16. (são eles: 101, 102, 103, 104, 105, 120, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 e 139.
PROBLEMA 16. O fazendeiro vendeu 8 vacas.
QUESTÃO 17. Após 12 segundos.
QUESTÃO 18. João teve um prejuízo de 4% em relação ao preço que pagara nos rádios.
QUESTÃO 19. Um desconto de 25%.
QUESTÃO 20. x2
+ y2
= 19
QUESTÃO 21. A mãe fica com da herança, o menino recebe e cada menina, .
QUESTÃO 22. O copo pesa 150g.
QUESTÃO 23. V = 250 π cm2
(Equivale ao volume de um cilindro de altura 10cm).
QUESTÃO 24. O elemento p12
será a soma dos produtos dos elementos da linha 1 da matrizA, respectivamente,
pelos elementos da coluna 2 da matriz B: p12
= -2.
QUESTÃO 25. 4950 retas.
QUESTÃO 26. 15h30min.
QUESTÃO 27. 3, 4 e 5.
QUESTÃO 28. A bola percorre 600m.
QUESTÃO 29. As raízes são -7 e 2 (para muitos, a proposta não passa de um exercício de fixação).
QUESTÃO 30. 400m x200m.
QUESTÃO 31. O primeiro fica com 7 moedas e o segundo, com uma moeda.
QUESTÃO 32. 256 por 384 metros. Cada corredor das outras raias devem sair de uma distância de dois metros
em relação ao corredor da raia imediatamente de dentro. (usamos π =3).
QUESTÃO 33. Branco. Esse trajeto somente é possível se ele estiver no pólo norte.
QUESTÃO 34. Observe que os triângulos DCE e ACB não possuem ângulos respectivamente iguais, isso
denuncia que os pontos B, E e C não colineares. Há uma área vazia no interior do retângulo que equivale à
diferença entre os dois cálculos da área.
QUESTÃO 35. É vantagem trocar de porta. Ele tinha 1/3 de probabilidade de ganhar. Com a troca, passa a
ter 2/3 de probabilidade.
1
9
2
9
1
3

33
Referências Bibliográficas
KRULIK & REYS. A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1998.
LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas. Coleção do Professor de Matemática; Rio de Janeiro: SBM, 2001.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.
_____________. How To Solve It. Princeton: Princeton University Press, 1957.
RESNIK, L. & COLLINS, Allan. Cognición y Aprendizaje. En Anuario Psicología. Nº 69, pp 189-197.
Barcelona, Graﬁques 92, S.A, 1996.

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