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C. Bombardelli - Escoamento viscoso com fronteiras móveis

  1. 1. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco Escoamento Viscoso com Fronteiras Móveis - Paper CIT02- XXXXClovis BombardelliLacit - Cefet/Curitibacb_kxt@hotmail.comResumo: Demonstração da obtenção de uma solução analítica para o escoamento viscoso transiente devido a uma aceleração oufrenagem momentânea do suporte que contém o fluído. A metodologia é estendida também ao caso onde o suporte movimenta-secom movimento constante, porém oscilatório e harmônico.Palavras chave: escoamento temporário viscoso, escoamento, perfil de velocidades1. Introdução. As soluções analíticas para os escoamentos de fluídos, considerando sua viscosidade, é obtida através das equaçõesde Navier-Stokes, as quais apresenta soluções viáveis apenas em alguns casos particulares onde é possível eliminar amaior parte das variáveis implicadas no fenômeno. Todas estas soluções existentes são restritas ao escoamento laminare entre elas se encontra o escoamento imposta por um objeto imerso num fluído, que tem sua velocidade subitamenteaumentada ou diminuída. Os primeiros estudos sobre este fato físico foram feitos por G. Stokes em 1845 ao estudar ocomportamento dos pêndulos. Neste trabalho apresentou a solução analítica do perfil de velocidades que estemovimento do objeto impõe ao fluído. Sendo portanto a primeira das soluções analíticas exatas das equações de Navier-Stokes[1] conhecidas até hoje. Em seguida a esta G. Stokes apresentou a solução exata também para o caso domovimento oscilatório harmônico, que foi o objeto de seu estudo sobre os pêndulos e sua influência ao fluído onde omesmo está imerso ou vice-versa, ou seja, a influência que poderia ter um fluído na alteração de freqüência de umpêndulo, e conseqüentemente na variação da medida de tempo obtida nos relógios que dependiam deste para funcionar.Posteriormente este mesmo trabalho foi feito por Rayleigh[4] fato que faz com que muitos autores tenham consideradoeste problema como sendo deste último. Tal atribuição é indevida, uma vez que a solução do problema é clara ecompletamente discutida nos memoriais escritos por G. Stokes. Posteriormente outros estudos foram feitos por Carslaw & Jaeger[2], em 1957, realizando estudos sobre o calor, emfluxo transitório, com similaridade ao fluxo de fluído, chegaram a conclusões matemáticas semelhantes. A mesmaexpressão matemática também foi obtida por Fick, quando o mesmo expressou sua segunda lei para a difusividademolecular. Um bom detalhamento matemático sobre as leis de Fick e a difusividade pode ser encontrada num tratadoescrito por Crank[3]. Devido a essas similaridades esses fenômenos físicos foram agrupados sob a denominação defenômenos de transportes, a qual, é a ciência que estuda a propagação de massa e energia entre os corpos devido adiferenças de potencial. Os mecanismos de como isto ocorre ainda não estão muito bem esclarecido. e são motivos deestudos. Entanto, se sabe que, sempre que existir uma diferença de potencial, este irá gerar um fenômeno de transporte,de maneira a neutralizar o tal potencial. De uma forma simplista se pode dizer que tudo isso ocorre devido ao fato daenergia ser uma propriedade que se propaga e esta propagação é a causa natural de todos os fenômenos físicos. No caso de Stokes, ocorre a transmissão da quantidade de movimento de uma partícula mais energizada às suasvizinhas, devido ao efeito da viscosidade, que é na verdade, a ligação físico-química que as partículas atômicas tementre si. Analisando o calor sob a ótica microscópica, este na verdade consiste em quantidade de movimento daspartículas atômicas e moleculares, e portanto, incide no mesmo caso físico, diferindo apenas na ordem de grandeza.Enquanto o primeiro trata dos movimentos de baixa freqüência, considerados mecânicos, o outro trata dos movimentosde altíssima freqüência. . Sob a ótica de Stokes, não houve a preocupação com as possíveis causas, mas apenas identificar o perfil develocidades e para tanto apresentar uma solução matemática para o problema. Uma vez conhecida a variação davelocidade do fluído poder-se-ia determinar a perda de energia do pêndulo e conseqüentemente sua necessidade dereposição energética para manter o movimento oscilatório uniforme. Ao considerar o movimento do pêndulo, verifica-se que este tem um movimento considerado como sendo uniformemente variado, ou seja, ora acelerado, ora retardado.Outra característica é ser também do tipo oscilatório harmônico. Ou seja, é dotado de uma velocidade máxima e esta éatingida em períodos de tempos constante. O trabalho aqui apresentado tentará reproduzir de forma mais explicitapossível o mesmo problema, com detalhamento da busca da solução analítica exata para o fenômeno físico onde umcorpo imerso em um fluído é repentinamente acelerado ou frenado e com isto obter a influência que este objeto causasobre o fluído, verificável sob a luz do perfil de velocidades do mesmo nas imediações do objeto. 1
  2. 2. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco O escoamento transiente ocorre sempre no inicio de um processo permanente até se estabelecer a constância domesmo ou também como um escoamento particular onde ele é, por natureza própria, sempre do tipo transitório, como oé o caso de naves se deslocando na atmosfera ou mesmo o caso das ondas de choque ou também, o caso de um pêndulobalançando. G. Stokes estudou esse último caso, sendo a solução por ele encontrada então se considerada a primeirasolução analítica exata para as equações do movimento de fluído, desenvolvidas por ele e por Navier, que mais tardereceberiam seus nomes como uma homenagem. Devido ao fato de haver sempre um corpo atuando sobre o fluído, omovimento do fluído se dará pela difusão de parte deste movimento, devido ao atrito e às forças viscosas, do corposobre o fluído. Percebe-se então que o perfil de velocidades que o fluído assumirá é uma função do tipo de movimentoque o corpo possui. Se o movimento do corpo for do tipo acelerado, o corpo tem a cada instante sua velocidadeaumentada, e essa velocidade tende a se transmitir para o líquido nas proximidades do corpo, se propagando sempre emdireção ortogonal ao mesmo. Percebe-se então que o movimento do corpo é uma variável independente. Paraestabelecer a influência que este tem sobre um fluído vamos considerar a ação de uma placa horizontal bastante grandesobre a qual repousa um fluído, e que, momentaneamente a mesma entra em movimento acelerando até atingir umavelocidade máxima que será designada como U. Num caso mais geral, depois será considerada a hipótese destemovimento tornar-se oscilatório, ou seja, variar sua velocidade entre U e –U, passando sempre pela condição derepouso. De certa forma, com esta simulação se pode predizer o perfil de velocidades, obtida pela ação de osciladoresem fluídos, como por exemplo, diapasões, cordas de instrumentos musicais e outras fontes de ruídos, bem como, outrasfontes de oscilação em fluídos. Para o problema não se tornar tão complexo, algumas restrições serão adotadas, entreelas a adoção de apenas fluídos newtonianos e que mantenham suas propriedades constantes com a pressão etemperatura. Em resumo, os casos as serem analisados serão: • Placa imersa em fluído, subitamente acelerada; • Placa imersa em fluído, subitamente desacelerada; • Placa imersa em fluído, dotada de movimento oscilatório harmônico; • Placa imersa em fluído, num caso generalizado.2. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Subitamente Acelerada Para efeito de análise usar-se-ão as equações de Navier-Stokes acopladas à equação diferencial da conservação demassa. A equação da conservação da massa, também conhecida como equação da continuidade, tem a forma: ∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u ) + + + =0 (2.1) ∂t ∂x ∂y ∂z E as equações de Navier-Stokes, ∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx ρ⋅ + u ⋅ + v ⋅ + w⋅ = ρ ⋅ gx − − + + (2.2) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z e ∂v ∂v ∂v ∂v ∂p ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy ρ⋅ + u ⋅ + v ⋅ + w⋅ = ρ ⋅ gy − − + + (2.3) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z e ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz ρ⋅ +u⋅ +v⋅ + w⋅ = ρ ⋅ gz − − + + (2.4) ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z Introduzindo simplificações para fluído newtoniano, estas equações sofrem a alteração: 2
  3. 3. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco na direção x: Du ∂p ∂ ∂u ∂ ∂u ∂v ∂ ∂w ∂u ρ⋅ Dt = ρ .g x − − ∂x ∂x 2.µ ∂x ( + λ ∇ ⋅V ) + ∂y µ + ∂y ∂x + ∂z µ + ∂x ∂z (2.5) na direção y: Dv ∂p ∂ ∂v ∂u ∂ ∂v ∂ ∂v ∂w ρ⋅ Dt = ρ .g y − + ∂y ∂x µ + ∂x ∂y + ∂y ∂y ( 2.µ + λ ∇ ⋅ V ) + ∂z µ + ∂z ∂y (2.6) e na direção z: Dw ∂p ∂ ∂w ∂u ∂ ∂v ∂w ∂ ∂w ρ⋅ Dt = ρ .g z − + ∂z ∂x µ + ∂x ∂z + ∂y µ + ∂z ∂y + ∂z 2.µ ∂z ( + λ ∇ ⋅V ) (2.7) Estas equações podem ser ainda mais simplificadas. Se considerarmos o escoamento como incompressível econstante, o divergente do campo de velocidade se anula e a densidade e a viscosidade se tornam independentes datemperatura e pressão, As equações tomam uma forma mais simples e homogênea como apresentado abaixo: Na direção x: Du ∂p ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u ρ⋅ = ρ .g x − + µ + + (2.8) Dt ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Na direção y: Dv ∂p ∂ 2v ∂2v ∂2v ρ⋅ = ρ .g y − + µ + + (2.9) Dt ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 E na direção z: Dw ∂p ∂2w ∂2w ∂2w ρ⋅ = ρ .g z − +µ + + (2.10) Dt ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 as quais são válidas para fluído newtoniano, incompressível e viscosidade constante, podem ser resumidas naforma vetorial como: DV ρ⋅ = ρ .g − ∇p + µ.∇ 2V (2.11) Dt Para os escoamentos transientes, somente são resolvidas após a introdução de uma série de simplificações. Aprimeira condição é que o escoamento seja laminar. Assim fez G. Stokes em seus estudos sobre a fricção em pêndulosem 1845. Após considerar o fluído ao redor do pêndulo um fluído newtoniano, introduziu ainda as hipóteses de que omesmo fosse incompressível e ao mesmo tempo mantivesse suas propriedades constantes, tanto ao longo do tempocomo ao longo do escoamento. Desta forma os termos convectivos se anulam. Introduzindo as mesmas consideraçõespodemos então enumerá-las: 1. O fluído sofre a ação de uma placa infinita que subitamente tem sua velocidade aumentada a partir do repouso até uma velocidade U máxima; 2. fluído está inicialmente em repouso. Isto significa que o mesmo se encontra isento da ação de diferenças de pressões em qualquer direção; 3. Considerar o escoamento unidirecional na direção do movimento da placa; 4. Considerar densidade e viscosidade independentes da pressão e da temperatura e portanto, constantes; 3
  4. 4. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco Aplicando a equação da continuidade, dada pela que 1.1, verifica-se que para um escoamento incompressível, adensidade é constante e portanto pode sair da integral, ficando ∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u ) ∂ρ ∂u ∂v ∂w + + + = +ρ +ρ +ρ =0 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ρ ∂u ∂v ∂w ∂u ∂v ∂w +ρ + + = 0(4) + ρ + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z (4) – densidade constante e portanto seu gradiente é igual a zero. Pela equação percebe-se que para o resultado ser igual a zero, então o gradiente de velocidades deve ser igual a zero. Isto leva à conclusão de que tanto u, v e w são constante na direção de seu escoamento, mas podem variar nas outras direções. 5. Assim, considerando um escoamento unidirecional somente na direção do movimento da placa , atribuindo-se a esta direção o eixo x, pode-se dizer que u(x) = 0, mas u = f(y) e u = g(z); Aplicando as equações de Navier-Stokes e considerando estas hipóteses, resulta numa simplificação significativa,tornando possível uma solução analítica para o caso. Na direção x, o primeiro termo da equação: ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ρ⋅ + u ⋅ + v⋅ + w⋅ = ρ ⋅ + 0(5) + 0(5) + 0(5) = ρ ⋅ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t e o segundo termo da equação fica ∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u ρ .g x − +µ + 2 + 2 = 0( ) + 0(2) + µ 0(5) + 2 + 2 6 ∂x ∂x 2 ∂y ∂z ∂y ∂z reunindo ambos, a expressão para um escoamento unidirecional, considerando as duas direções remanescentesresulta: ∂u ∂ 2u ∂ 2u ρ⋅ = µ 0(5) + 2 + 2 (2.12) ∂t ∂y ∂z porém, µ =υ (2.13) ρ onde υ representa a viscosidade cinemática. Assim... ∂u ∂2u ∂2u =υ + (2.14) ∂t ∂y 2 ∂z 2 Esta equação diferencial também é conhecida como a equação da difusão térmica em sólidos, a qual governa adistribuição de temperatura num meio estacionário que tenha uma difusividade térmica igual a υ e a mesma foi descritapor Carslaw & Jaeger[2]. A mesma equação surge também nos fenômenos de difusão molecular. Nos três casos asolução é idêntica e pode ser conseguida de várias maneiras, a saber: 4
  5. 5. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco A solução para esta equação pode ser obtida de várias maneiras, entre as quais pode-se citar o emprego dastransformadas de Laplace ou as transformadas de Fourier. Resolvendo-a pelo método de separação de variáveis obtém-se a solução geral abaixo: u = ( C1 .cos ( λ. y ) + C2 .sin ( λ. y ) ) .e − λ 2 .t (2.15) Mas se for considerado que a placa seja infinita na direção z, sua influencia em z será sempre a mesma e portanto ogradiente segundo esta direção também será nulo. Assim, a expressão mais simples para um escoamento transienteassume a forma: ∂u ∂ 2u =υ ⋅ 2 (2.16) ∂t ∂y ou, em forma de equação homogênea: ∂u ∂ 2u −υ ⋅ 2 = 0 (2.17) ∂t ∂y Uma outra solução mais elegante é obtida usando similaridade de expressões. Explicando melhor, pode-se dizer quea velocidade u, a qual varia de 0 até U pode ser expressa de forma adimensional através da expressão u/U, a qual passaa ser designada como f, variando então de 0 a 1, onde f = velocidade relativa com relação à velocidade máxima que aplaca irá atingir. Assim u = f ( y , t ,υ ) (2.18) U Uma vez que o termo à esquerda é adimensional, o termo à direita também deve ser. Entretanto, a únicacombinação linear das variáveis citadas que fornecem uma relação adimensional, é y2 L2 → 2 (2.19) υ .t L ⋅t t escolhendo 1 y η= ⋅ 2 υ .t e fazendo u = f (η ) = ϑ (2.20) U derivando f e substituindo na equação diferencial (eq. 1.20) esta fica: ∂ (ϑ ) = ∂ (ϑ ) ∂η ⋅ =− y.t 2 ∂ (ϑ ) −3 ⋅ =− 2η υ .t .t ( ) −3 2 ⋅ ∂ (ϑ ) 1 η ∂ (ϑ ) =− ⋅ ⋅ (2.21) ∂t ∂η ∂t 4 υ ∂η 4 υ ∂η 2 t ∂η d (ϑ ) d (ϑ ) ∂η 1 ∂η = ⋅ = ⋅ (2.22) ∂y ∂y ∂y 2 υ.t ∂y 5
  6. 6. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco∂ 2 (ϑ ) ∂ d (ϑ ) 1 ∂ 1 ∂ (ϑ ) 1 ∂ (ϑ ) 2 = = ⋅ ⋅ = ⋅ (2.23) ∂y ∂y ∂y 2 υ.t ∂η 2 υ .t ∂η 4υ .t ∂η 2 2substituindo na (eq. 1.17)... 1 η ∂ (ϑ ) 1 ∂ (ϑ ) 4 η.t ∂ (ϑ ) ∂ (ϑ ) 2 2∂u ∂ 2u −υ ⋅ 2 = 0 − ⋅ ⋅ − υ. ⋅ =0 − ⋅ ⋅ =∂t ∂y 2 t ∂η 4υ .t ∂η 2 2 t ∂η ∂η 2 ∂ 2 (ϑ ) ∂ (ϑ ) + 2η ⋅ =0 (2.24) ∂η 2 ∂ηEsta forma é equivalente à forma anterior, porém com apenas duas variáveis adimensionais envolvidas.Resolvendo a equação anterior, submetendo-a as condições de contorno abaixo, fica: u ( y, t = 0 ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c1) u ( y = 0, t ) = v0 ϑ ( 0) = 1 ( c2 ) u ( y → ∞, t ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c3 ) ∂ (ϑ ) ∂∂ (ϑ ) 2 ∂η ∂η 2 ∂η = = −2η (2.25)∂ (ϑ ) ∂ (ϑ ) ∂η ∂η yη= 2 υ .tque por similaridade induz ad 1 ∂ ∂ (ϑ ) ∂ (ϑ ) ( ln x ) = ⋅ x ln = −2η ∂ ln = −2η∂η (2.26)dx x ∂η ∂η ∂η η η ∂ϑ ∂ϑ ϑ (η ) = C1e −η dη = C1 e −η dη + C2 2 2 2ln = −η 2 + ln C1 = C1e −η (2.27) ∂η ∂η 0 0Impondo as condições de contorno...Para y = 0 e η =0 → ϑ =1 (condição c2)Substituindo na eq. 1.27, isto implica dizer que1 = 0 + C2 C2 = 1Impondo as condições c3 ( y →∞ , η = ∞ e ϑ = 0 ) e C2 = 1 , a expressão 1.27 fica: ∞ ∞ ∞ 2 2 2 10 = C1 e−η dη + 1 −C1 e−η dη = 1 − e −η dη = 0 0 0 C1 6
  7. 7. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco Como a integral imprópria acima tem seu valor tabelado e seu valor é 1 −2 π C1 = 2 π Assim a solução particular para o problema terá a expressão final abaixo. η u 2 2 = 1− e −η dη (2.28) U π 0 Para qualquer valor de t ≥ 0. O termo integral da equação é conhecido como função erro, sendo representada demaneira simplificada como erf( η ) e tem os seguintes valores notáveis: Para η = 0 erf(0) = 0 η=∞ erf(∞) = 1 Impondo a condição de contorno c1 ( t = 0, y = 0 , η = ∞ e ϑ = 0 ), verifica-se a validade da expressão e assim amesma representa o fenômeno físico dentro das limitações e simplificações inicialmente impostas. De uma forma maisreduzida a mesma pode ainda ser representada como: ϑ = U .erfc(η ) (2.29)2.1. Conclusões Importantes Encontradas neste Perfil A penetração do efeito do movimento da placa no fluído é influenciada pela viscosidade do fluído e pelo tempo deatuação da placa sobre o fluído. Tomando em conta a definição da camada limite, observa-se que para uma variaçãomaior que 1% sobre a velocidade da placa a profundidade de penetração do efeito é dado pela expressão δ = 2.η. v.t ≈ 4. v.t (2.30) Dispondo os dados obtidos numa simulação pode-se avaliar o formato do perfil através do gráfico abaixo Figura (2.1) – Perfil de velocidade do fluído sobre uma placa subitamente acelerada. (duas vistas) 7
  8. 8. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco3. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Subitamente Desacelerada. O caso inverso, no qual o fluído está se movendo a uma velocidade uniforme U e a placa é subitamentedesacelerada até parar, tem uma solução bastante similar, porém oposta. Pode-se dizer resumidamente que uma soluçãocomplementa a outra. A expressão analítica para este caso é: ϑ = U .erf (η ) (3.1)3.1. Conclusões Importantes Encontradas neste Perfil Da mesma maneira a penetração do efeito do movimento da placa no fluído é influenciada pela viscosidade dofluído e pelo tempo de atuação da placa sobre o fluído. Dispondo os dados obtidos numa simulação pode-se avaliar o formato do perfil através do gráfico abaixoFigura (2.1) – Perfil de velocidade do fluído sobre uma placa subitamente desacelerada.4. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Oscilante (Movimento Harmônico). Neste caso, a placa em estudo possui um movimento oscilatório harmônico simples, ou seja, um movimento de vai-e-vem similar ao que ocorre em um pêndulo de relógio. Para representar o movimento oscilatório, usa-se umarepresentação de Fourier e um modelo mecânico baseado em duas placas planas distantes uma da outra de umadistância h sendo que uma das quais está em repouso e a outra se move com o movimento acima descrito. A velocidadena parede em movimento é dada então pela expressão: uw = U (t ) = U .cos(ω .t ) (4.1) Considerando a alternância deste movimento pode-se dizer que num determinado instante o fluído é submetido auma condição similar àquela da placa acelerada e no instante seguinte àquela da placa desacelerada, de forma que numaprimeira instância pode-se pensar numa solução analítica obtida pela combinação dos dois movimentos ou mesmoaplicar a mesma regra da similaridade, convertendo a equação diferencial numa equação envolvendo apenas duasvariáveis adimensionais. Entretanto, a placa ao retornar irá encontrar o líquido dotado de movimento, devido à inércia,na direção contrária a da placa e este será então progressivamente desacelerado até reverter seu movimento, implicandonum pequeno tempo de defasagem entre os movimentos e portanto, uma nova metodologia deve ser usada na solução,pois envolve agora deslocamento de ondas mecânicas. A solução matemática deve ser pensada em como as ondasamortecidas se deslocam através do fluído viscoso, partindo da parede. 8
  9. 9. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco Este problema, também conhecido como segundo problema de Stokes, tem soluções obtidas através da aplicaçãodas equações de Navier-Stokes com as mesmas hipóteses simplificadoras usadas nos dois problemas anteriores, porémcom a diferença das condições de contorno, mostradas abaixo, onde se pode verificar que a única diferença reside navelocidade junto à parede que se move. u ( y, t = 0 ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c1) u ( y = 0, t ) = U .sin(ω .t ) ϑ (0) = 1 ( c2 ) u ( y → ∞, t ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c3 )onde U é a velocidade máxima que a placa tem em seu movimento, o qual varia entre +U e –U. Neste problema o fluídoestá inicialmente em repouso quando então a placa inicia seu movimento estabilizando após um tempo com ummovimento harmônico simples. O objetivo do problema é determinar a influência do movimento da placa no fluído.Várias são as maneiras de se obter a solução geral para a mesma. De uma maneira resumida pode ser vista como a somade uma parte transiente e uma parte relativa ao movimento plenamente estabelecido. Para simplificar a soluçãomatemática do mesmo as partes são resolvidas em etapas separadas. À medida que o tempo passa, partindo do inicio, omovimento tende a ir tendendo para uma freqüência de equilíbrio, e então, a parcela referente à transitoriedade tendepara um valor muito pequeno ou mesmo nula, restando somente a parte do movimento harmônico simples plenamenteestabelecido. De ambas, esta é a solução mais importante. Neste primeiro, se buscará a solução para o movimentooscilatório estabilizado. De forma semelhante ao problema anterior, este também pode ser tratado de maneiraadimensional. Partindo da equação 2.16 com condições de contorno acima, a literatura pesquisada traz como soluçãogeral, uma expressão como mostrado abaixo: ϑ ( y, t ) = u ( y, t ) + i.u *( y, t ) (4.2) Esta expressão, se tiver os termos u = cos (T) e u* = sin (T), pode ser substituída pela identidade de Euler eiT = cos(T ) + i.sen(T ) Fazendo as substituições de variáveis abaixo uw .sin(T ) ϑ= = sin(T ) T = ω .t U Estas variáveis, substituídas na equação 2.16, juntamente com a consideração de que y ω η= 1 =y v (υ ω ) 2que é a única combinação adimensional existente entre as variáveis do segundo termo da equação 2.16. O termo ωrepresenta a freqüência e é igual a 2.π.f, (medida em T-1). Após a substituição acima, a equação 2.16 se transforma em: ∂ (ϑ ) ∂ 2 (ϑ ) − =0 (4.3) ∂T ∂ 2η A qual passa a ser considerada como sendo adimensional. A velocidade da placa por ser oscilante pode serrepresentada como uma função cossenóide ou mesmo senóide. Somente uma parte da variável complexa temsignificação física. Se tratarmos a função que denota o movimento da placa como sendo senóide, então a parteimaginária deve ser considerada. No outro caso, a parte real é a que importa. Considerando que a velocidade no fluídoirá penetrar em função do tempo, da viscosidade e da própria velocidade, pode-se dizer que ϑ também é uma funçãodestas variáveis de maneira tal a se tornar um valor adimensional. Desta forma, pode-se dizer que 9
  10. 10. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco ϑ = sin T ei.T = cos(T ) + i.sin(T ) ϑ = eiT . f (η ) (considerar a parte imaginária) ϑ = cosT ei.T = cos(T ) + i.sin(T ) ϑ = eiT . f (η ) (considerar a parte real) derivando a expressão assumida como solução vem que ∂ϑ ∂ iT ∂ = ∂T ∂T ( e . f (η ) ) = eiT . ∂∂ [ f (η )] + i.eiT . f (η ) T mas ∂T [ f (η )] = 0 logo ∂ϑ = i.eiT . f (η ) ( f(η) não depende do tempo, apenas viscosidade, freqüência e profundidade ). (4.4) ∂T e ∂ϑ ∂ iT ∂ ∂ ∂ = ( e . f (η ) ) = eiT . f (η ) + ( eiT ) . f (η ) = eiT . f (η ) (4.5) ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ 2ϑ ∂ iT ∂ ∂ iT ∂ ( e ) . ∂y f (η ) + eiT . ∂∂y 2 f (η ) = eiT . ∂∂y 2 f (η ) 2 2 = e . f (η ) = (4.6) ∂y 2 ∂ y ∂y ∂y substituindo na equação 4.3 esta fica: ∂2 ∂2 i.eiT . f (η ) − eiT . f (η ) = 0 i. f (η ) − f (η ) eiT = 0 (4.7) ∂y 2 ∂y 2 Como ei .T ≠ 0 , o termo dentro dos colchetes deve ser igual a zero. Se considerarmos esta equação diferencial suasolução geral é (λ 2 = i) f (η ) = C1.e i .η + C2 .e − i .η (4.8) Aplicando as condições de contorno e forma coerente com as condições iniciais, tem-se que η=0 f(η) = 1 ( O fluído terá a velocidade idêntica a da placa) η=∞ f(η) = 0 Assim: C1 + C2 = 1 C2 C2 = 1 C1 .∞ + C2 = 0 ∞.C1 = −C2 C1 = C1 = 0 −∞ Então, f (η ) = e− i .η e ϑ (η ) = e − i .η .eiT (4.9) 1+ i mas i= 2 10
  11. 11. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco Assim: 1+ i η i .η η i .η η η − η − − − i .T − − i. T − ϑ (η ) = Im e 2 .e i .T = Im e 2 .e 2 .e i .T = Im e 2 .e 2 = Im e 2 .e 2 η − η ϑ (η ) = e 2 .sin T − (4.10) 2 Recuperando as variáveis iniciais, a expressão adquire sua forma final ω −y ω ϑ (η ) = e 2v .sin ω t − y (4.11) 2v4.1 Conseqüências e Verificações Importantes para este Perfil A penetração do efeito da placa na direção y é amortecida pelo termo exponencial da equação. Da mesma maneiraque no problema anterior verifica-se que esta penetração também é função da raiz quadrada da viscosidade einversamente proporcional à raiz quadrada da freqüência. Estimando a camada limite (camada onde o efeito domovimento é maior que 1% da velocidade normal da placa), verifica-se que esta é relacionada pela expressão: 2.v δ = 4,5 (4.12) ω O segundo termo da expressão fornece o comportamento ondulatório do perfil. Isolando a posição em função dasdemais variáveis, obtém-se y=C+ ( ) 2.v.ω .t (4.13) onde o termo entre parêntesis denota a velocidade da onda. Avaliando este perfil em termos gráficos pode-se avaliar perfeitamente através dos gráficos abaixo. A simulação foifeita com U = 10 unidades de velocidade, viscosidade na ordem de 1 centipoise, freqüência de 1 revolução por segundo(ω = 2π). A grandeza y do gráfico expressa o afastamento em termos de distância (cm).Figura (4.1) – Perfil da velocidade ilustrativo para U=10 unidades de velocidade. 11
  12. 12. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. FrancoFigura (4.2) – Perfil visto pelo lado da placa em movimento, onde se pode observar o desenvolvimento do perfil aolongo do tempo e ao longo do afastamento.Figura (4.3) – Perfil obtido após multiplicar por 5 a freqüência de oscilação mantendo as demais variáveis inalteradas.Pode-se perceber a diminuição na penetração.Figura (4.4) – Perfil obtido após multiplicar por 5 a viscosidade, mantendo as demais variáveis inalteradas. 12
  13. 13. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco Para a situação onde o fluído está oscilando com uma freqüência ω sobre uma placa em repouso, o problematambém é considerado como sendo um problema de Stokes, agora governado pela expressão U = -sin(T). E de formasemelhante ao primeiro problema de Stokes, a solução deste caso será a expressa negativa da solução original obtida nocaso anterior, combinada com a expressão de que U∞ = sin(T), resultando numa solução complementar. Assim, aexpressão para este caso resulta em η η − ϑ (η ) = − sin T − e 2 + sin T (4.14) 2 Nesta expressão, a primeira parcela da soma representa o efeito viscoso e a segunda parcela representa a oscilaçãoinvíscida, de donde se conclui que o fluído está dotado de um movimento oscilatório composto por duas ondassenoidais de mesma freqüência que se somam mutuamente, sendo sempre possível representar esta como uma únicaonda através da introdução de um termo de amplitude e outro de fase, da forma como mostrado abaixo ϑ (η ) = A sin(T + θ ) (4.15) onde A é amplitude e θ é o ângulo de defasagem. Pode-se visualizar esta variação no gráfico abaixo Figura (4.5) – Perfil de velocidades de um fluído oscilando sobre uma placa com movimento oscilatório. 13
  14. 14. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos Prof. Dr. Admilson T. Franco 5. Modelagem do Perfil de Velocidades para Qualquer Situação Transitória. Para uma avaliação em qualquer situação de estados transitórios, as equações de Navier-Stokes devem ser usadas.Na situação onde as velocidades componentes são independentes das coordenadas longitudinais (direção doescoamento), pode-se se usar as seguintes equações já feitas as simplificações mais importantes. ∂u ∂u 1 ∂p ∂2u +v⋅ = − ⋅ +υ ⋅ 2 (5.1) ∂t ∂y ρ ∂x ∂y ∂v 1 ∂p =− ⋅ (5.2) ∂t ρ ∂y ∂v =0 (5.3) ∂y 6. Agradecimentos Agradecimentos em especial ao professor Admilson T. Franco, pelo auxílio na busca de informações e bibliografiareferentes ao problema.7. Lista de referências 1 – Ver Memoir on Pendulums, escrito em 1845; 2 – Ver Conduction of Heat in Solids, escrita por Carslaw & J. C. Jaeger (Oxford 1947); 3 – Ver The Mathematics of Diffusion, Oxford Univ. Press, London, 1958; 4 – Alguns autores consideram este problema como sendo um problema de Rayleigh. Entretanto, isto Não se justifica, uma vez que este problema está muito bem discutido e resolvido no paper citado na referência 1.8. Referências White, F. M., Viscous Fluid Flow, 2a ed., McGraw-Hill, 1991; Warsi, Z. U. A., Fluid Dynamics Theoretical and Computational Approaches, 2a ed., CRC Press, Welty, J. R., Wilson, R. E., Wicks, C. E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, John Wiley &Sons, 1969, NY; Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, NY; Panton, R. L., Incompressibile Flow, John Wiley & Sons, 1984;9. Direitos autoraisUNSTEADY UNIDIRECTIONAL VISCOUS FLOW WITH MOVED BOUNDARIESClovis BombardelliLacit - Cefet / Curitibacb_kxt@hotmail.com Abstract. A unsteady unidirectional viscous flow has several features and characteristics that we pretend do thedemonstrations. First, there is the gradual spreading or diffusion of velocity variations across streamlines, which comes aboutthrough the tangential force exerted across planes normal to y-axes. The distance of penetration of these velocity variations intoregions of uniform velocity after a time t is of order of square root of viscosity and time. Two special cases are analized in this paper.The influence of a plane boundary moved suddenly in a fluid at rest and the flow near an oscillating flat plate.Viscous flow, velocity streamlines, the viscosity influence in the momentum diffusion. 14
  15. 15. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos 1oQ/200315

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