Trinômio: Expressão de 3 termos

Trinômio
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Em matemática, trinómio (português europeu) ou trinômio (português brasileiro) é uma expressão
algébrica de três termos.[1]
É um dos dois casos particulares de polinômios que tem um nome especial, o outro é
o binômio, que contém dois termos.[1][Nota 1]
Por exemplo,[1]
Um caso particular de trinômio é o trinômio do segundo grau, uma expressão da forma:

em que a, b e c são quantidades conhecidas, e x uma variável.[2]
Notas e referências
Notas
1. ↑ No texto de Serrasqueiro, o monômio, expressão algébrica de apenas um
termo, não é considerado como um caso de polinômio; em outros contextos,
como quando se fala sobre um polinômio na variável x, costuma ser
interessante considerar monômios e o zero como casos particulares de
polinômios.
Referências
1. ↑ a b c José Adelino Serrasqueiro, Álgebra Elementar, Livro Primeiro,
Capítulo I, Noções preliminares, §2º Expressões algébricas.
Reducções [wikisource]
2. ↑ José Adelino Serrasqueiro, Álgebra Elementar, Livro Terceiro, Capítulo
I, Equações e problemas do segundo grau a uma incógnita, §5º
Propriedades do trinomio do segundo grau, 237 [wikisource]
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Monômio
Expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a
parte literal. Exemplos:
2x, 4ab, 10x², 20xyz, 30abc, 2z, y, b³, 100ax³
Monômios semelhantes
Expressões algébricas que possuem a parte literal semelhante.
Exemplos:
2x e 4x
7x² e 8x²
10ab e 3ab
2ya e 6ya
7bc e 9cb
100z e 20z
Adição e subtração de monômio
A adição e a subtração de monômio devem ser efetuadas quando as partes
literais são semelhantes. Exemplos:
2a + 7a = 9a
5x – 2x = 3x
10ab – 9ab = ab
6y – 9y = – 3y
7bc + 3cb = 10bc ou 10cb
– 12xy – 10xy = – 22xy
Multiplicação entre monômios
Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes devemos
seguir os seguintes passos:
1º passo: multiplicar os coeficientes
2º passo: conservar a parte literal e somar os expoentes.
Exemplos:
2x * 2x = 4x²
4xy * 6xy² = 24x²y³
10a²b * 9a²b³ = 90a4b4
5xyz * 6x²y³z = 30x³y4z²
Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos:
1º passo: multiplicar os coeficientes

2º passo: agrupá-las, se as letras forem diferentes
Exemplo:
2x * 3y = 6xy
4ab * 5z = 20abz
20c * 2ab = 40abc
x * 6a = 6xa
Divisão entre monômios
Parte literal semelhantes
1º passo: dividir os coeficientes
2º passo: conservar a parte literal e subtrair os expoentes
Exemplo:
5x³ : 5x² = x
10x²y² : 2x = 5xy²
30z : 5z = 6
20b³ : 10b = 2b²
Polinômios
Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de
operações entre eles.
Exemplos:
2x² + 7x – 6
10x³ + x² – 9x
6x + 5
120x² – 10x + 9
14x4 + 7x³ – 20x² – 60x – 100
Por Marcos Noé Pedro Da Silva
Produtos notáveis
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No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de
expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que
representam no cálculo algébrico, essas expressões são
denominadas Produtos Notáveis[1]
Índice
[esconder]
1 Quadrado da soma de dois termos
2 Quadrado da diferença de dois termos
3 Produto da soma pela diferença de dois termos
4 Cubo da diferença de dois termos
5 Cubo da soma de dois termos
6 Quadrado da soma de três termos
7 Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo
comum)
8 Produto de Warring
9 Notas e referências
10 Ver também
11 Referências
12 Ligações externas
[editar]Quadrado da soma de dois termos

Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o
segundo, mais o quadrado do segundo.[2]
•

Exemplos:

1.
2.

[editar]Quadrado da diferença de dois termos
A expressão diferença do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda
parcela:
Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro
vezes o segundo , mais o quadrado do segundo

•

Exemplos:
1.
2.

[editar]Produto da soma pela diferença de dois termos

Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo
termo
•

Exemplos:
1.

2.
[editar]Cubo da diferença de dois termos
Regra básica: É o cubo do 1° termo, menos 3 vezes o produto do quadrado do
1° termo pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do
2° termo, menos o cubo do 2° termo.

•

Exemplos:
1.

2.
3.
[editar]Cubo da soma de dois termos

Decomposição volumétrica do binômio ao cubo
O cubo da soma de dois termos se diferencia do cubo da
diferença apenas pelos sinais Regra básica: É o cubo do 1°
termo, mais 3 vezes o produto do quadrado do 1°termo pelo
segundo, mais 3 vezes o produto do 1° termo pelo quadrado do
segundo termo, mais o cubo do segundo
termo.
•

Exemplos:
1.
2.

[editar]Quadrado da soma de três termos

•

Exemplos:
1.

2.

3. :
[editar]Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo
comum)
Considerando o produto notável

•

temos:

Exemplos:
1.

2.

3.

[editar]Produto de Warring
Considerando

•

temos:

Exemplo:
•

Considerando

•

Exemplo
•

Notas e referências

temos:

1. ↑ R. Brault Mathématiques 3ième Hachette éducation
(2008) ISBN 978-2-01-125539-6
2. ↑ Elementos de Euclides, Livro II, Proposição 4

[editar]Ver também

O wikilivro Matemática elementar tem uma página
sobre Exercícios envolvendo produtos notáveis
Referências
[editar]Ligações externas
Número irracional
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Conjuntos de números

Naturais
Inteiros
Racionais
Reais
Imaginários
Complexos
Números hiper-reais
Números hipercomplexos
Quaterniões
Octoniões
Sedeniões
Complexos hiperbólicos
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.
Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de
dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O
conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo .
Índice
[esconder]
1 História
2 Classificação dos irracionais
3 Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional
4 Se N é um número natural, então a raiz quadrada de N é irracional ou
inteira
5 Ver também

6 Referências
[editar]História
Os primeiros indícios relacionados ao conceito de número irracional remontam
ao conceito de incomensurabilidade. Dois segmentos sãocomensuráveis se
existe uma unidade comum na qual podem ser medidos de forma exata. Por
exemplo, um segmento de medida e outro de medida podem ser expressos
por múltiplos inteiros de um segmento de medida , ou seja,
e
.
A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso
de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma
demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 (ou talvez que
o número de ouro) é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de
2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele
não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que
Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento.
A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só
com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O
décimo livro da série Os elementos de Euclides é dedicado à classificação de
números irracionais.
Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez
entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a
geometria sugerira havia mais de vinte séculos.
[editar]Classificação dos irracionais
Existem dois tipos de números irracionais:
•

Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com
coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através
de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões
e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número
algébrico, por exemplo
. A recíproca não é verdadeira:
existem números algébricos que não podem ser expressos através de
radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini.

•

Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com
coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes,
como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que

existem mais números transcendentes do que números algébricos (a
comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos
conjuntos).
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita
usando-se números complexos.
[editar]Prova de que a raiz quadrada de dois é irracional
Ver artigo principal: Raiz quadrada de dois
A prova é feita por redução ao absurdo. Suponha-se que
é racional. Então
pode-se colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma:
.
Elevando ambos os membros ao quadrado, tem-se ( p / q )2 = 2.
Então, p2 = 2q2. Como p2 é par, então p também é par (pois o quadrado de
um número ímpar é ímpar: (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1). Logo pode-se
chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, fica-se com:
( 2k )² = 2q². Ou seja, 4k² = 2q² e então em 2k² = q², mostrando que q
também é um par.
Mas isso é absurdo, pois, por hipótese, mdc(p,q)=1. Conclui-se que
irracional. Ok.

é

[editar]Se N é um número natural, então a raiz quadrada de N é irracional
ou inteira
É claro que alguns números naturais tais como 1, 4 e 9, os chamados
quadrados perfeitos, admitem raiz quadrada natural, a saber 1, 2 e 3. Podese mostrar que este é o sempre caso quando a raiz quadrada é racional.
Ou seja se

então

.

A prova segue da seguinte forma: Suponha que
racional

admita raiz quadrada

com p e q inteiros e q não nulo. Sem perda de generalidade,

pode-se supor que p e q são primos entre si. Então tem-se
Como ambas as frações da expressão são irredutíveis, tem-se
e
. E o resultado segue.
[editar]Ver também

.

•

Número computável

•

Cortes de Dedekind

•

Prova da irracionalidade de π

•

Número transcendente

•

Radiciação

•

Raiz quadrada de dois

•

Raiz quadrada de três

[editar]Referências
•

Boyer, Carl B. (1996), História da Matemática, 2ª edição, p. 50 e 51,
Editora Edgar Blücher. ISBN ISBN 85-212-0023-4

•

Ávila, Geraldo (1994), Cálculo I: Funções de uma variável, 6ª edição, p.
24 a 26, Livros Técnicos e Científicos Editora. ISBN ISBN 85-216-09698
Outros
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tema:
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•

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Número racional
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Conjuntos de números

Número racional é todo o número que
pode ser representado por
uma razão (ou fração) entre
dois números inteiros.

Naturais
Inteiros
Racionais
Reais
Imaginários
Complexos
Números hiper-reais
Números hipercomplexos
Quaterniões
Octoniões
Sedeniões
Complexos hiperbólicos
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

O conjunto dos números racionais (representado por

) é definido por:

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos
os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da
letra "Q" é derivado da palavra inglesa quotient, cujo significado é
quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de
dois números inteiros.
São exemplos de números racionais:

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Os números racionais opõem-se aos números irracionais ( ).
Para representar o conjunto dos racionais não negativos podemos usar
e para representar o conjunto dos números racionais não positivos
podemos utilizar
O número zero também faz parte do conjunto dos
racionais. É comum usar um asterisco ao lado do símbolo que representa
um determinado conjunto para indicar que se retirou o zero do mesmo,
como em
(números racionais não nulos),
(racionais negativos). [carece de fontes]

(racionais positivos) e

Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações
(próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações
impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que
são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos
infinitos. Eis alguns exemplos:
•

Fração:

•

Numeral misto: 5

•

Números decimais de escrita finita: 8,35;

•

Dízimas periódicas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965);

Nesta notação os números entre parênteses repetem-se ao infinito.
EQUAÇÃO DO 1º GRAU

As equações do primeiro grau são aquelas que podem ser representadas
sob a forma ax+b=0,em que a e b são constantes reais, com a diferente de
0, e x é a variável. A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas
propriedades da igualdade descritas a seguir.

Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma equação,
ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se
mantém.

Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equação por um
mesmo número não-nulo, a igualdade se mantém.
Exemplo:

Vejamos alguns exemplos:
Seja a equação:

Seja a equação:

Seja a equação:

Membros de uma equação

Numa equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada
de1º membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade, de
2º membro da equação.

Exemplo: - 3x + 12 = 2x - 9
1º membro

2º membro

Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é
chamada termo da equação.
4x – 9 = 1 – 2x

termos

Variável (ou incógnita) de uma equação:
Os elementos desconhecidos de uma equação são chamados de
variáveis ou incógnitas.
Exemplos:
A equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x
A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y
A equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c
Cada um dos valores que, colocados no lugar da incógnita, transformam
a equação em uma sentença verdadeira é chamado de raiz da equação.
Para verificarmos se um dado número é ou não raiz de uma equação,
basta substituirmos a incógnita por esse número e observarmos se a
sentença obtida é ou não verdadeira.
1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6

2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6

O princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem para facilitar o
entendimento da solução de uma equação, mas para resolvê-la existe um
método simples e prático que é o seguinte:
Resolver a equação 5x – 8 = 12 + x
Colocamos no primeiro membro os termos que apresentam variável, e no
segundo membro os termos que não apresentam variável. Os termos que
mudam de membro tem os sinais trocados.

5x – 8 = 12 + x
5x – x = 12 + 8
Calculamos a somas algebricas de cada termo.
4.x = 20
Quando se passa de um membro para o outro usa-se a operação inversa,
ou seja, o que está multiplicando passa dividindo e o que está dividindo
passa multiplicando. O que está adicinando passa subtraindo e o que
está subtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro membro está
multiplicando o x então ele passará dividindo no segundo membro.

Exercícios resolvidos:
1) Resolver a equação:
2( x + 5 ) - 3( 5 – x ) = 5
Nesse tipo de equação, devemos inicialmente, retirar os parênteses,
aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e a regra de
eliminação de parênteses.

2. Resolver a equação:
Para eliminar os denominadores
multiplicamos todos os termos da equação
pelo m.m.c. dos denominadores

3) Resolução da equação:

Nessa equação, inicialmente reduzimos todas as frações ao mesmo
denominador, e a seguir cancelamos esses denominadores

m.m.c ( 3, 2, 6 ) = 6
3, 2, 6 2
3, 1, 3 3
1, 1, 1 2 . 3 = 6


m.m.c ( 2, 3, 4 ) = 12
Efetuando as multiplicações:

Multiplicando os dois membros da equação pelo m.m.c dos
denominadores, que é 12, vem:

Resolvendo a mesma equação pelo método da eliminação dos
denominadores:



m.m.c ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 420

7) Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3,
qual será o valor de K?
( k – 3 ).3 + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0
3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0
3k + 8k + 4k = 9 + 20
15k = 29

8) De o conjunto solução das equações literais do primeiro grau ( em R )
a) ax + bx + c = 2a + 2b + c
ax + bx = 2a + 2b + c – c

x( a + b ) = 2a + 2b

se a ≠ -b e b ≠ -a

b) ( a + x )² = ( a + 3 + x )( a – 2 + x )
a² + 2ax + x² = a² – 2a + ax + 3a – 6 + 3x + ax – 2x + x²
2ax + x² – ax – 3x – ax + 2x – x² = - a² + a² – 2a + 3a – 6
x(2a – a – 3 – a + 2) = a – 6
x(-1) = a – 6

Equação sem solução
Às vezes, uma equação não tem solução para um certo universo de
números. Nesse caso, dizemos que ela é impossível ou que a solução
évazia.
Exemplo: resolver a equação.

Não existe nenhum número que multiplicado por 0 que resulte em 2.

Equação com infinitas soluções

Há casos em que todos os números do universo considerado são raízes
da equação. Dizemos que ela tem infinitas soluções.
Exemplo: resolver a equação

Como qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, a equação
tem infinitas soluções.
Inequação do 1º grau
Inequações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax + b >
0 ( ou com as representações ≥ , < , ≤ , ou ≠) em que a e b são constantes reais, com a
≠ 0, e x é variável. A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas
propriedades das desigualdades descritas a seguir:
1) Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma inequação, ou
subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a desigualdade se mantém.
2) Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma inequação por um mesmo
número positivo, a desigualdade se mantém.
3) Dividindo ou multiplicando por um mesmo número negativo ambos os membros de
uma inequação do tipo > , ≥ , < ou ≤ , a desigualdade inverte o sentido.
É fácil perceber que a resolução de uma inequação do 1º grau baseia-se nos mesmos
princípios da resolução de uma equação do 1º grau atentando-se ao item 3) acima que
diferencia. Uma inequação do 1º grau é resolvida da mesma forma que se resolve uma
equação do 1º grau, só que quando o x é negativo no final da resolução multiplica-se
ambos os membros da inequação por (-1) e aí o sentido se inverte, se é > fica <, se é <
fica >, se é ≤ fica ≥ e se é ≥ fica ≤.
Considerando como universo o conjunto dos números naturais, determine o conjunto
solução da inequação:
5x – 8 < 3x + 12
5x – 3x < 12 + 8
2x < 20

x < 20/2
x < 10
Assim o conjunto solução da inequação é:
S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Se, o universo do exercício anterior fosse o conjunto dos números reais, qual seria o
conjunto solução da inequação?
Resolução:
Não é possível explicitar, um a um, todos os números reais menores que 10. Por isso,
representa-se o conjunto solução S simplesmente por
S = {x/x є R/ x < 10}
Determine o maior número inteiro t que satisfaz a desigualdade:

O maior número inteiro que satisfaz essa desigualdade é o -1
Considerando o universo dos números inteiros, determine o conjunto solução
das inequações:
a) 9x – 5(3 – 2x) > 7x + 9

9x – 15 + 10x > 7x + 9
19x – 7x > 9 + 15
12x > 24
X > 24/12
X>2
S = {3, 4, 5, 6, ...}
b) 4y – 5 < 2(y + 3) + 5y
4y – 5 < 2y + 6 + 5y
4y – 5 < 7y + 6
4y – 7y < 6 + 5
-3y < 11
3y > -11
Y > -11/3
Y > -3,666…

S = {-3,-2,-1,0, 1, 2, 3…}
c) 6t – (5t + 8) ≤ 1 – 2(5 – t)
6t – 5t – 8 ≤ 1 – 10 + 2t
6t – 5t – 2t ≤ 1 – 10 + 8
-t ≤ -1
t ≥1
S = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Resolver as inequações no universo R:

O menor número inteiro que satisfaz a inequação

a)-3

c)-1

b)-2

e)1

d)0

Alternativa correta b(-2)
Resolver no universo R as inequações:
a) -3(2x – 5) > 1 – 6x
-6x + 30 > 1 – 6x
-6x + 6x > 1 – 30
0x > -29

S = R (qualquer número multiplicado por zero é igual a zero e zero é maior
que -29)
b) -3(2x – 5) < 1 – 6x
-6x + 15 < 1 – 6x
-6x + 6x < 1 – 15
0x < -14
S = Ø (qualquer número multiplicado por zero é igual a zero e zero é maior que
-14)
Resolver a inequação:

Resolver a inequação:

Resolver o sistema:
4x – 3 < 2x + 5
X + 2 > 2x – 6

Resolve-se cada sentença isoladamente
4x – 3 < 2x + 5

x + 2 > 2x – 6

4x – 2x < 5 + 3

x – 2x > -6 - 2

2x < 8
x < 8/2

-x > -8
x<8

x<4
A intersecção desses conjuntos é a solução do sistema
Gráfico

S = { x/x < 4}
Inequação-produto do 1º grau
Dadas as funções f(x) e g(x), chamamos de inequação-produto toda inequação
que pode assumir uma das seguintes formas:
f(x).g(x) > 0

f(x).g(x) ≥ 0

f(x).g(x) < 0

f(x).g(x) ≤ 0

Oservação: a forma da inequação pode ser estendida para mais de duas
funções.
Exemplos:
(x – 1)(2x – 3)(x + 1) < 0

(x – 2)(-2x + 1)(4 – x) ≤ 0

Para resolver inequações-produto, primeiro estudamos o sinal de cada função
que compõe o produto e, então, determinamos o sinal do produto.
Acompanhe o procedimento nos exercícios resolvidos.
Resolva em R a inequação (x – 1)(2x – 3) ≥ 0
Solução:
f(x) = x - 1 e g(x) = 2x – 3
f(x) = 0 → x – 1 = 0 → x = 1 ( zero da função)
como a = 1 > 0, vem :

g(x) = 0 → 2x – 3 = 0 → 2x = 3 → x = 3/2
Como a = 2 > 0, vem:

Quadro-produto

Logo:
S = {x є R/ x ≤ 1 ou x ≥ 3/2}
Resolva em R a inequação (x – 2)(-2x – 4)(x – 4) ≤ 0
Solução:
f(x) = x – 2, g(x) = -2x – 4 e h(x) = x – 4
f(x) = 0 → x – 2 = 0 → x = 2 (zero da função)

g(x) = 0 → -2x – 4 = 0 →2x = -4→ x = -2(zero da função)
Como a = -2 < 0, vem:

h(x) = 0 → x – 4 = 0 →x = 4(zero da função)

Quadro-produto

S = {x є R/-2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 4}

Solução:
Para que f seja real devemos ter:
(1 – x)(2x – 8) ≥ 0
1 – x = 0→x = 1
Como a = -1 < 0, temos:

2x – 8 = 0 → 2x = 8 → 2x = 8 → x = 8/2 = 4
Como a = 2 > 0, temos:

Quadro-produto:

Logo,D(f) = { x є R/ 1 ≤ x ≤ 4}
Resolva as inequações em R:
a)(x – 1)(2x + 1) > 0
x–1=0→x=1

2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = -1/2

Logo:

S = {x є R/ x < -1/2 ou x > 1}
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Função do 2º grau
A função f:R→R dada por f(x) = ax² + bx + c , com a,b e c reais e a ≠ 0,
denomina-se função do 2º grau ou função quadrática.
Exemplos:
f(x) = x² - 4x – 3 ( a = 1, b = -4, c = -3)
f(x) = x² - 9

( a = 1, b = 0, c = -9)

f(x) = 4x² + 2x – 3 ( a = 4, b = 2, c = -3)
f(x) = 6x² ( a = 6, b = 0, c = 0)
f(x) = -2x² + 5x + 1 ( a = -2 , b = 5 , c = 1)
f(x) = -4x² + 2x ( a = -4 , b = 2 , c = 0)
1) Dada a função f(x) = x² - 5x + 6, calcule:
a)f(1) = 1² - 5.1 + 6 = 1 – 5 + 6 = 2
b)f(-1) = (-1)² - 5.(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12
c)f(2) = 2² - 5.2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

e)f(0) = 0² - 5.0 + 6 = 6

f)f(3) = 3² -5.3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0
2) Dada a função f(x) = 4x² - 1, calcule:
a)f(2) = 4.2² - 1 = 16 – 1 = 15
b)f(-1) = 4.(-1)² - 1 = 4 – 1 = 3

3) Dada a função f(x) = x² - 4x – 5, determine os valores de x para que se
tenha:
a)f(x) = 7
x² - 4x – 5 = 7
x² - 4x – 5 – 7 = 0
x² - 4x – 12 = 0

4) Dada a função f(x) = 2x² - 3x + 1, calcule:
a)f(-x) = ?
f(-x) = 2.(-x)² -3.(-x) + 1 = 2x² + 3x + 1
b)f(x + 1) = ?
f(x + 1) = 2.(x + 1)² - 3.(x + 1) + 1
=2.(x² + 2x + 1) – 3x – 3 + 1 = 2x² + x
c) a, para que f(a – 1) = 0
0 = 2.(a – 1)² - 3.(a – 1) + 1

0 = 2.(a² - 2a + 1) – 3a + 3 + 1
0 = 2a² -4a + 2 -3a +3 + 1
2a² - 7a + 6 = 0

5) Dada as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 1 determine os valores reais
de x para que se tenha g(f(x)) = 0
g(2x + 1) = (2x + 1)² - 1 = 4x² + 4x + 1 – 1 = 4x² + 4x
4x² + 4x = 0
x² + x = 0
x(x + 1) = 0
x=0
ou
x+1=0
x = -1
6) Seja f(X) = ax² + bx + c . Sabendo que f(1) = 4, f(2) = 0 e f(3) = -2,
calcule o produto a.b.c
f(1) = 4
a.1² + b.1 + c = 4
a+b+c=4
f(2) = 0
a.2² + b.2 + c = 0
4a + 2b + c = 0
f(3) = -2
3².a + 3b + c = -2
9a + 3b + c = -2

a+b+c=4
4a + 2b + c = 0
9a + 3b + c = -2
-4a – 4b – 4c = -16
4a + 2b + c = 0
-2b -3c = -16
a+b+c=4
9a + 3b + c = -2
-9a -9b – 9c = -36
-6b – 8c = -38
6b + 9c = 48
c = 10
-2b – 30 = -16
-2b = 30 – 16
-2b = 14
b = 14/-2 = -7
a – 7 + 10 = 4
a+3=4
a=4–3
a=1
a.b.c = 1. -7.10 = -70
Construir o gráfico da função y = x² - 2x – 3
x

y = x² - 2x – 3

(x,y)

-2

y = (-2)² - 2.(-2) – 3 = 5 (-2,5)

-1

y = (-1)² - 2.(-1) – 3 = 0 (-1,0)

0

y = 0² - 2.0 – 3 = -3

(0,-3)

1

y = 1² - 2.1 – 3 = -4

(1,-4)

2

y = 2² - 2.2 – 3 = -3

(2,-3)

3

y = 3² - 2.3 – 3 = 0

(3,0)

4

y = 4² - 2.4 – 3 =5

(4,5)

Gráfico

Construir o gráfico da função y = 2x²
x

y = 2x²

(x,y)

-2

y = 2.(-2)² = 8

(-2,8)

-1

y = 2.(-1)² = 2

(-1,2)

0

y = 2.0² = 0

(0,0)

1

y = 2.1² = 2

(1,2)

2

y = 2.2² = 8

(2,8)

Gráfico

Construir o gráfico da função y = -x² + 2x + 3
x

y = -x² + 2x + 3

(x,y)

-2

y = -(-2)² + 2.(-2) + 3 = -5

(-2,-5)

-1

y = -(-1)² + 2.(-1) + 3 = 0

(-1,0)

0

y = -(0)² + 2.(0) + 3 = 3

(0,3)

1

y = -(1)² + 2.(1) + 3 = 4

(1,4)

2

y = -(2)² + 2.(2) + 3 = 3

(2,3)

3

y = -(3)² + 2.(3) + 3 =0

(3,0)

4

y = -(4)² + 2.4 + 3 = -5

(4,-5)

Gráfico

Construir o gráfico da função y = -x² + 2x – 4
x

y = -x² +2x – 4

(x,y)

-1

y = -(-1)² + 2.(-1) – 4 = -7

(-1,-7)

0

y = - (o)² + 2.0 – 4 = -4

(0,-4)

1

y = -(1)² + 2.1 – 4 = -3

(1,-3)

2

y = -(2)² + 2.2 – 4 = -4

(2,-4)

3

y = - (3)² + 2.3 – 4 = -7

(3,-7)

Gráfico

O gráfico de uma função do 2º grau ou quadrática é uma curva aberta
chamada parábola.
Nos exemplos dados podemos observar que:
No 1º exemplo dado, f(x) = x² - 2x – 3,temos a = 1 > 0
No 2º exemplo dado, f(x) = 2x², temos a = 2 > 0
Em ambos, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
No 3º exemplo dado, f(x) = -x² + 2x + 3, temos a = -1 < 0
No 4º exemplo dado, f(x) = -x² +2x – 4, temos a = -1 < 0
Em ambos, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
Se a > 0, a concavidade é voltada para cima

Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo

Zeros de uma função quadrática
Os zeros ou raízes de uma função f(x) são os valores do domínio para os
quais f(x) = 0.
Assim, os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax² + bx + c são as
raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0.
Por exemplo, para determinar as raízes da função f(x) = x² -7x + 6,
fazemos:
f(x) = 0 → x² - 7x + 6 = 0
equação do 2º grau

Então os números 1 e 6 são os zeros da função f(x) = x² - 7x + 6.
Você notou que, para determinar as raízes ou zeros da função
quadrática tivemos que resolver uma equação do 2º grau. Vale a pena
relembrar algo a respeito das raízes dessa equação. (vá no meu site de
equação do 2º grau que é oquimsigaud.tripod.com/equacaodo2grau)
Para determinar os zeros ou raízes de uma função f(x) = ax² +bx + c,
temos que analisar a equação ax² + bx + c = 0.
Se Δ > 0, a função possui dois zeros reais distintos.
Se Δ = 0, a função possui um zero real duplo.

Se Δ < 0, a função não possui zeros reais.
Interpretação geométrica das raízes
Os zeros ou raízes de uma função são os valores de x tais que f(x) = 0.
No plano cartesiano, são os pontos do gráfico da função que possuem
ordenada nula.
Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2º
grau são as abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x.
1)

Determinar os zeros da função f(x) = x² - 2x – 3.
Devemos resolver a equação do 2º grau x² - 2x – 3 = 0.
Δ = (-2)² - 4.1.(-3) = 16 > 0 ( a função possui dois zeros reais
diferentes)

Como a função possui dois zeros reais diferentes, a parábola intercepta
o eixo x em dois pontos distintos: (-1,0) e (3,0).
Esboço do gráfico:

1) Determinar os zeros da função f(x) = -x² + 2x - 1.
f(x) = o → -x² +2x – 1 = 0
Δ = 2² - 4.(-1).(-1) = 4 – 4 = 0 ( a função possui um zero real duplo)

Como a função possui um zero real duplo, a parábola
intercepta o eixo x em um único ponto: (1,0)
Gráfico

1) Interpretar geometricamente os zeros da função
f(x)= x² - 2x + 4
f(x) = 0→ x² - 2x + 4 = 0
Δ = -12 < 0→ a função não possui zeros reais
Como a função não possui zeros reais, a parábola não
corta o eixo x.
Gráfico

Vértice da parábola

Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0
Construa o gráfico da função y = x² - 4x + 3
a = 1 > 0 → concavidade voltada para cima
zeros da função
x² - 4x + 3 = 0
Δ = (-4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4

Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0, então

vem:
y = x² - 4x + 3
y = 0² -4.0 + 3 = 3 P(0,3)
vértice da parábola

Gráfico

Esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = x² - 3x + 2.
x² - 3x + 2 = 0
a=1
b = -3
c=2

Δ = (-3)² - 4.1.2 = 9 – 8 = 1

Ponto onde a parábola corta o eixo y: x = 0
y = 0² - 3.0 + 2 = 2 P(0,2)
Gráfico

Encontre a condição para o parâmetro m, de modo que
cada uma das seguintes funções seja quadrática:
a) y = (m – 1)x² - 6x + 3
m–1≠o
m≠1
b) y = (4m – 16)x² + 2x – 1
4m – 16 ≠ 0
4m ≠ 16

m ≠ 16/4 = 4
Determine o valor de a e b na função quadrática
y = x² - ax + b, sendo suas raízes iguais a 1 e 2.
0 = 1² - a.1 + b
0=1–a+b
0 = 2² - a.2 + b
0 = 4 -2a + b
0 = -3 + a
a=3
0=1–3+b
b–2=0
b=2
Determine o valor de p e q na função quadrática
y = px² + qx + 12, sendo suas raízes iguais a -4 e 3.
0 = p.(-4)² + q.(-4) + 12
0 = 16p – 4q + 12
0 = p.3² + q.3 + 12
0= 9p + 3q + 12
0 = 48p – 12q + 36
0 =36p + 12q + 48
0 = 84p + 84
84p = -84
P = -84/84 = -1
0 = -9 +3q +12
0 = 3q + 3
3q = -3
q = -3/3 = -1
Encontre as coordenadas do vértice para cada função

quadrática:
a) y = x² - 4x + 3

Δ = (-4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4
b) y = -x² - 10x + 11
Δ = (-10)² - 4.(-1).11 = 100 + 44 = 144

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GEOMÉTRICA
NÚMEROS COMPLEXOS


Equação do 2º grau
Toda equação da forma ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a
≠ 0, é chamada de equação do 2° grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem-se uma
equação do 2° grau incompleta.
A resolução de equações incompletas do 2° grau:
Equações do tipo ax² + bx = 0
1) Resolver em R a equação x² - 4x = 0
Colocando o fator x em evidência, obtemos:

x(x – 4) = 0
Quando o produto de dois números reais é igual à zero, então pelo menos um dos
fatores é igual a zero.
Portanto: x = 0
ou
x–4=0
x=4
Logo as raízes são 0 e 4.
Verificação:
Para x = 0, temos: 0² - 4.0 = 0 – 0 = 0 (V)
Para x = 4, temos: 4² - 4.4 = 16 – 16 = 0 (V)
Portanto a solução está correta.
2) Resolver em R a equação:
(2x + 5)² + 3x = 25
4x² + 20x + 25 +3x = 25
4x² + 23x = 0
x(4x + 23) = 0
x=0
ou
4x + 23 = 0
4x = -23
x = -23/4
4/2x – 3x = 2 + 2/x, sendo x ≠ 0

Multiplicando os dois membros da equação por 2x, para eliminar os
denominadores vem:

A partir do enunciado o número zero foi excluído da solução dessa equação (x ≠
0), então: x = -2/3 é solução única.

Equações do tipo ax² + c = 0
5) Resolver em R a equação 2x² - 18 = 0
Adicionamos 18 aos dois membros da equação:
2x² - 18 + 18 = 0 + 18
2x² = 18
Dividimos os dois membros da equação por 2

Então +3 e -3 são as raízes da equação.
2x² + 4 = 0

Equações do tipo ax² = 0
A equação do tipo ax² = 0 admite uma única solução: x = 0
7) Resolver em R a equação 2x² = 0

Exercícios:
Resolva as equações em R:

A resolução de equações completas do 2º grau
Equações do tipo: ax² + bx + c = 0
Qualquer equação do 2º grau pode ser resolvida através da fórmula de Bháskara ,

o método usado anteriormente serve para facilitar a resolução de equações
incompletas em b e em c, principalmente as incompletas em b que são muito mais
fáceis de serem resolvidas daquela forma, pois o uso da fórmula de Bháskara
naquele caso tornaria a solução mais complicada.
Demonstração da fórmula de Bháskara:
Dada a equação ax² + bx + c = 0 , multiplique os dois membros da equação por 4a:
(4a )(ax² + bx + c ) = (4a ) . 0
4a²x² + 4abx + 4ac = 0
4a²x² + 4abx = -4ac
Adicione b² aos dois membros da equação:
4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²
Observe que o primeiro membro dessa igualdade é um trinômio quadrado
perfeito igual a (2ax + b)²
(2ax + b )² = b² - 4ac
Extraia a raiz quadrada dos dois membros da igualdade:

Resolver em R a equação 2x² - 10x + 12 = 0 :
Temos a = 2 , b = -10 e c = 12, então:

Relações entre os coeficientes e as raízes
Relação de soma
Sendo x1 e x2 as raízes da equação do 2º grau, desejamos obter a relação de soma
em função dos coeficientes (a , b , c)

Relação de produto:

Fatoração do trinômio do 2º grau
Sendo r1 e r2 as raízes do trinômio do segundo grau ax² +bx + c , temos que:
ax² + bx + c = a(x-r1)(x-r2)
Fatorar o trinômio do 2º grau
5x² - 3x – 2

Inicialmente determinamos as raízes do trinômio. As raízes são os números que
atribuídos a variável x anulam o trinômio, isto é, 5x² - 3x – 2 = 0

Resolver em R a equação:

Obtenha as equações do 2º grau conhecendo as raízes:
a) 2 e 3
(x – 2)(x – 3) = x² - 3x – 2x + 6 = x² - 5x + 6
x² - 5x + 6 = 0
b)-1 e -2
(x + 1)(x + 2) = x² + 2x + x + 2 = x² + 3x + 2
x² + 3x + 2 = 0


Condição de existência: x ≠ 0
O mmc dentre os denominadores 3² , 3x² e 3²x é o produto de todos os seus fatores,
sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente,isto é:
mmc( 3²,3x²,3²x) = 3²x² = 9x²
Multiplicando ambos os membros da equação por esse mmc,temos:


Para o calculo do mmc dentre os denominadores, fatoramos cada um deles,
obtendo:
2, 2²(x – 1) e (x + 1)(x – 1). O mmc é o produto de todos os fatores desses
polinômios, sendo que dentre fatores repetidos é escolhido o de maior expoente,
isto é:
mmc[2, 2²(x – 1), (x + 1)(x – 1)] = 2²(x + 1)(x – 1)

Resolva em R as equações:

A área de um retângulo é igual a 440 m². Sabendo que a medida da base e a da altura
desse retângulo são números pares e consecutivos, determine seus valores.

A = x(x + 2)
440 = x² + 2x
x² + 2x – 440 = 0

Resolva em R as seguintes equações:

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Expressões numéricas
Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por operações. Essas
operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem:
1) Potenciações e radiciações, se houver.
2) Multiplicações e divisões, se houver.
3) Adições e subtrações
Exemplo:

Em expressões numéricas com sinais de associação ( parênteses, colchetes e chaves)
efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos
colchetes e, por último, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das
operações.
Exemplo:
36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =
= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} =
= 36 + 2.{25 + [18 – 9]} =
= 36 + 2.{25 + 9} =
= 36 +2.34 =
= 36 + 68 = 104
Outro exemplo:

[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 =
= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 =
=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =
= [1.3 + 12] : 5 =
= [3 + 12 ] : 5 =
= 15 : 5 = 3
Efetue:
11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 =
11 + 32 + 36 – 5 = 74
109 – 15.4 + 26 : 13 =
109 – 60 + 2 = 51
10 + 3502 : 17 – 100 : 25 =
10 + 206 – 4 = 212
25 + 25 : 25 – 25.1 =
25 + 1 – 25 = 1

(7.6 – 32 : 2) : 13 =
(42 – 16 ) :13 =
26 : 13 = 2

Calcule o valor numérico das expressões:

(0,5)² : 5 – 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) =
0,25 : 5 – 2. (0,36 – 0,3) =
0,05 – 2.(0,06) =
0,05 – 0,12 = - 0,07

(- 3,5 + 2.1,45) – ( -1,2 : 5 – 3,5) =
(-3,5 + 2,9 ) – (-0,24 – 3,5) =
-0,6 – (-3,74) =
-0,6 + 3,74 = 3,14

Considere a expressão

Efetuando as operações indicadas e simplificando, temos:
a) 9/10

d) 15/9

b) 7/3

e) 1

c) 19/10
Solução:

Alternativa correta: (b)
Simplifique:

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NÚMEROS COMPLEXOS
Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )²
Para calculá-lo, basta multiplicar a + b por a + b:
( a + b )² = ( a + b ) ( a + b )
( a + b )² = a.a + a.b + b.a + b.b
( a + b )² = a² + a.b + b.a + b²
Como a.b = b.a vem que

( a + b )² =

a²
quadrado
do
1º termo

+

2ab

+

duas vezes
o produto
dos termos

b²
quadrado
do
2º termo

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
( x + 3 )² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9
( 2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1
(5x + 3y)² = (5x)² + 2.5x.3y + (3y)² = 25x² + 30xy + 9y²

Calcule:

c) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = [x² + 2x + 1] + [x² + 4x + 4] – [4x² + 4x + 1] =
= x² + 2x +1 + x² + 4x + 4 – 4x² - 4x – 1 =
= -2x² + 2x + 4

e) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) =
= x² + 2x + x + 2 – 2[x² + 4x + 4] + x² + 3x + 2x + 6 =
= x² + 2x + x + 2 – 2x² - 8x – 8 + x² + 3x + 2x + 6 = 0
Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por (a – b)²
Para calculá-lo basta multiplicar a – b por a – b:
(a – b)² = (a – b)(a – b)
(a – b)² = a² - ab – ba + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do
segundo termo.
Exemplos:

(x – 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9
(2x – 1)² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1
(5x – 3y)² = (5x)² - 2.5x.3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y²
Calcule:
a) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = [4x² - 4x + 1] – [x² - 4x + 4] + 3 – 3x² =
= 4x² - 4x + 1 – x² + 4x – 4 + 3 – 3x² = 0
b) (a + b)² - (a – b)² = a² + 2ab + b² - [a² - 2ab + b²] = a² + 2ab + b² - a² + 2ab – b² = 4ab
Calcular (103)².
(103)² = (100 + 3)² = 100² + 2.100.3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609
Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b).(a – b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² - ab + ba – b² = a² - b²
(a + b)(a – b) = a² - b²
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(x + 2)(x – 2) = x² - 2² = x² - 4
(2a + 4)(2a – 4) = (2a)² - 4² = 4a² - 16
Calcular o produto 53.47.
53.47 = (50 + 3)(50 – 3) = 50² - 3² = 2500 – 9 = 2491
Desenvolver e reduzir:
x = (5a – 2)² + (5a + 2)² - (5a + 2)(5a – 2)
x = [25a² - 20a + 4] + [25a² + 20a + 4] – [25a² - 4 ] = 25a² + 12
A expressão (a + b)(a – b)(a² + b²) é igual a :

O polinômio (x + 5)(x – 5)(x² - 25) é idêntico a :

Simplificando-se a expressão

Cubo da soma de dois termos
(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) =
= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplos:
a) (x + 1)³ = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1
b) (3a + 2)³ = (3a)³ + 3. (3a)².2 + 3. 3a.2² + 2³ =

= 27a³ + 3.9a².2 + 3.3a.4 + 8 = 27a³ + 54a² + 36a + 8
Cubo da diferença de dois termos
(a – b)³ = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² - 2ab + b²) =
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplos:
a) (x – 1)³ = x³ - 3.x².1 + 3.x.1² - 1³ = x³ - 3x² + 3x – 1
b) (x – 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² -(2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

c) Qual o valor da expressão

Determine o valor das expressões:

Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos quadrados é x² e a área de
um dos retângulos é 6x. Nessas condições responda:
a)
Qual é a área do retângulo 1?
b)
Qual é a área do quadrado 2?
c)
Qual é a área total da figura?

Solução:

a)
b)
c)

A1 = 6.x = 6x
A2 = 6.6 = 36
At = (6+x)² = 36 + 12x + x²

Dada a proporção abaixo, determine o valor da incógnita x.

Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )³ ?
P + (x – 2)³ = (x + 3)³
P = (x + 3)³ - (x – 2)³
(x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27
(x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8
x³ + 9x² + 27x + 27 – (x³ - 6x² + 12x -8) =
= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² - 12x +8 = 15x² + 15x + 35

Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20,
determine o valor de a e o valor do quociente x : y.
x² - y² = 20
(2a + 2)²- (2a)² = 20
4a² + 8a + 4 – 4a² = 20
8a = 20 – 4
8a = 16
a = 16/8 = 2
x = 2.2 + 2
x=4+2=6
y = 2.2 = 4
x : y = 6/4 = 3/2
Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12.
Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ?
(x + y)² = x² + 2xy + y²
= x² + y² + 2xy
= 25 + 2.12 = 25 + 24 = 49
Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio x4 – y² - 3x²y. Qual é o
polinômio que você vai obter?

Calcular o valor numérico das seguintes expressões
1) 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² =

para a =3 e b =2

=7.3².2 + 4.3.2² + 3.3³ + (2.3.2 – 2).2² =
=126 + 48 + 81 + 40 = 295

LOGARITMOS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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Expressões numéricas
Uma expressão numérica é uma seqüência de números associados por
operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte
ordem:
1) Potenciações e radiciações, se houver.
2) Multiplicações e divisões, se houver.
3) Adições e subtrações
Exemplo:

Em expressões numéricas com sinais de associação ( parênteses, colchetes
e chaves) efetuam-se, primeiro as operações dentro dos parênteses, depois
as que estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores as chaves,
respeitando-se ainda, a prioridade das operações.
Exemplo:
36 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} =
= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} =
= 36 + 2.{25 + [18 – 9]} =

= 36 + 2.{25 + 9} =
= 36 +2.34 =
= 36 + 68 = 104
Outro exemplo:
[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 =
= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 =
=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 =
= [1.3 + 12] : 5 =
= [3 + 12 ] : 5 =
= 15 : 5 = 3
Efetue:
11 + 32 + 4.9 – 15 : 3 =
11 + 32 + 36 – 5 = 74
109 – 15.4 + 26 : 13 =
109 – 60 + 2 = 51
10 + 3502 : 17 – 100 : 25 =
10 + 206 – 4 = 212
25 + 25 : 25 – 25.1 =
25 + 1 – 25 = 1

(7.6 – 32 : 2) : 13 =
(42 – 16 ) :13 =
26 : 13 = 2

Considere a expressão

Efetuando as operações indicadas e simplificando, temos:
a) 9/10

d) 15/9

b) 7/3

e) 1

c) 19/10
Solução:

Alternativa correta: (b)
Simplifique:

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Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )²
Para calculá-lo, basta multiplicar a + b por a + b:
( a + b )² = ( a + b ) ( a + b )
( a + b )² = a.a + a.b + b.a + b.b
( a + b )² = a² + a.b + b.a + b²
Como a.b = b.a vem que
( a + b )² =

a²
quadrado
do
1º termo

+

2ab

+

duas vezes
o produto
dos termos

b²
quadrado
do
2º termo

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
( x + 3 )² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9
( 2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1
(5x + 3y)² = (5x)² + 2.5x.3y + (3y)² = 25x² + 30xy + 9y²

Calcule:

c) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = [x² + 2x + 1] + [x² + 4x + 4] – [4x² + 4x + 1] =
= x² + 2x +1 + x² + 4x + 4 – 4x² - 4x – 1 =
= -2x² + 2x + 4

e) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) =
= x² + 2x + x + 2 – 2[x² + 4x + 4] + x² + 3x + 2x + 6 =
= x² + 2x + x + 2 – 2x² - 8x – 8 + x² + 3x + 2x + 6 = 0
Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por (a – b)²
Para calculá-lo basta multiplicar a – b por a – b:
(a – b)² = (a – b)(a – b)
(a – b)² = a² - ab – ba + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do
segundo termo.
Exemplos:
(x – 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9
(2x – 1)² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1
(5x – 3y)² = (5x)² - 2.5x.3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y²
Calcule:
a) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = [4x² - 4x + 1] – [x² - 4x + 4] + 3 – 3x² =
= 4x² - 4x + 1 – x² + 4x – 4 + 3 – 3x² = 0
b) (a + b)² - (a – b)² = a² + 2ab + b² - [a² - 2ab + b²] = a² + 2ab + b² - a² + 2ab – b² = 4ab
Calcular (103)².
(103)² = (100 + 3)² = 100² + 2.100.3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609
Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b).(a – b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² - ab + ba – b² = a² - b²
(a + b)(a – b) = a² - b²
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:

(x + 2)(x – 2) = x² - 2² = x² - 4
(2a + 4)(2a – 4) = (2a)² - 4² = 4a² - 16
Calcular o produto 53.47.
53.47 = (50 + 3)(50 – 3) = 50² - 3² = 2500 – 9 = 2491
Desenvolver e reduzir:
x = (5a – 2)² + (5a + 2)² - (5a + 2)(5a – 2)
x = [25a² - 20a + 4] + [25a² + 20a + 4] – [25a² - 4 ] = 25a² + 12
A expressão (a + b)(a – b)(a² + b²) é igual a :

O polinômio (x + 5)(x – 5)(x² - 25) é idêntico a :

Simplificando-se a expressão

Cubo da soma de dois termos
(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) =
= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplos:
a) (x + 1)³ = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1
b) (3a + 2)³ = (3a)³ + 3. (3a)².2 + 3. 3a.2² + 2³ =
= 27a³ + 3.9a².2 + 3.3a.4 + 8 = 27a³ + 54a² + 36a + 8
Cubo da diferença de dois termos
(a – b)³ = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² - 2ab + b²) =
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplos:
a) (x – 1)³ = x³ - 3.x².1 + 3.x.1² - 1³ = x³ - 3x² + 3x – 1

b) (x – 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² -(2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

c) Qual o valor da expressão

Determine o valor das expressões:

Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos quadrados é x² e a área de
um dos retângulos é 6x. Nessas condições responda:
a)
Qual é a área do retângulo 1?
b)
Qual é a área do quadrado 2?
c)
Qual é a área total da figura?

Solução:

a)
b)
c)

A1 = 6.x = 6x
A2 = 6.6 = 36
At = (6+x)² = 36 + 12x + x²

Dada a proporção abaixo, determine o valor da incógnita x.

Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )³ ?
P + (x – 2)³ = (x + 3)³
P = (x + 3)³ - (x – 2)³
(x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27
(x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8
x³ + 9x² + 27x + 27 – (x³ - 6x² + 12x -8) =
= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² - 12x +8 = 15x² + 15x + 35
Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20,
determine o valor de a e o valor do quociente x : y.
x² - y² = 20
(2a + 2)²- (2a)² = 20
4a² + 8a + 4 – 4a² = 20
8a = 20 – 4
8a = 16
a = 16/8 = 2
x = 2.2 + 2
x=4+2=6
y = 2.2 = 4
x : y = 6/4 = 3/2
Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12.
Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ?
(x + y)² = x² + 2xy + y²

= x² + y² + 2xy
= 25 + 2.12 = 25 + 24 = 49
Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio x4 – y² - 3x²y. Qual é o
polinômio que você vai obter?

Calcular o valor numérico das seguintes expressões
1) 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² =

para a =3 e b =2

=7.3².2 + 4.3.2² + 3.3³ + (2.3.2 – 2).2² =
=126 + 48 + 81 + 40 = 295

LOGARITMOS
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LOGARITMOS
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Logaritmos
Definição: sejam dados dois números reais positivos a
e b, com b ≠ 1; chamamos de logaritmos de a na base b,
e indicamos logba, ao expoente c ao qual devemos
elevar a base b para encontrarmos o número a:
logba = c →bc = a para 0 0
b →é a base
c → é o logaritmo
a →é o logaritmando ( aquele de quem se calcula o
logaritmo )
1) Calcular log264.

portanto log264 = 6
2) Calcular log813

3) Calcular log81/2

5) Calcular log7 7
log7 7 = x
7x = 7 ⇒ 7x = 71 ⇒ x = 1
6) Calcular log8 1
log8 1 = x
8 x = 1 ⇒ 8x = 8 0 ⇒ x = 0

8) Calcular log0,2 125

9) Calcular a base b, sabendo que logb 49 = 2

pela definição 0 0
2x + 3 > 0
2x > -3
x > - 3/2
11) Determinar os valores de x para os quais exista log 3x0 0 e 0 < 2x - 5 ≠ 1

x2 – 5x +4 > 0
raízes da função f(x) = x2 – 5x +4

x < 1 ou x > 4

2x – 5 ≠ 1

0 < 2x – 5 ≠ 1

2x ≠ 6

2x – 5 > 0

x ≠ 6/2

2x > 5

x≠3

X > 5/2

X>4
Conseqüências da definição:
Supondo que 0 0, a1 > 0 e a2 > 0 e α ∈ IR,
podemos tirar as seguintes conseqüências da definição
de logaritmo:
1) logb 1 = 0

2) logb b = 1
3) a1 = a2 ⇒ logb a1 = logb a2
4) blog ba = a
5) logb bα = α
Facilitando cálculos trabalhosos:
Seja a seguinte expresso numérica:

Através do uso de logaritmo o calculo dessa expressão
torna-se muito menos trabalhoso; levando-se em conta
que antigamente não existia a calculadora para efetuar
esse tipo de calculo, só as tábuas de logaritmos.
Algumas calculadoras eletrônicas apresentam a tecla
LOG que calcula logaritmos decimais, isto é, logaritmos
na base 10. Para calcularmos o logaritmo decimal de um
numero positivo, devemos proceder da seguinte forma:
- Digita-se o número positivo do qual se quer obter o
logaritmo.
- Em seguida aperta-se a tecla LOG, obtendo-se no visor
o logaritmo decimal do número digitado. Por exemplo,
digitando-se o número 1,4 e apertando-se a tecla LOG,
aparecera no visor o número 0,14612 ( considerando-se
5 casas decimais ), chamado logaritmo decimal do
número 1,4. Isso significa que 100,14612, ou seja,
escrevemos o número 1,4 como uma potência de base
10. Generalizando temos log a = x ⇒10x = a
Calculando a expressão numérica acima:

Substituindo os valores temos

Escrevendo os números como potências de base 10,
ocorre o seguinte:
- Multiplicações transformam-se em adições
- Divisões transformam-se em subtrações
- Potenciações transformam-se em multiplicações
- Radiciações transformam-se em divisões
Propriedades:
Supondo que 0 0, a1 > 0, a2 > 0, ...., an > 0
e
α ∈ IR
1) logb(a1 x a2 x ...x an) = logba1 + logba2 + ... + logban

2) logb (a1/ a2) = logba1 – logba2
3) logbaα = α logba

com α ≠ 0
Exercícios:
1) Sabendo-se que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771,
calcular log6 ?

2) Sabendo-se que log2 = 0,3010 calcular log5.

3) Sabendo-se que log2 = 0,3010, calcular log 100 2.

4) Sabendo-se que log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcular
log108.
108

2

54

2

27

3

9

3

3

3

1

2²x3³

log2 (x + 1) + log2 (x + 4) = 2
x+1>0ex+4>0

log2 (x + 1)(x + 4) = 2
(x +1)(x + 4) = 2²
(x + 1)(x + 4) = 4
x² + 4x + x + 4 = 4
x² + 5x + 4 = 4
x² + 5x = 4 – 4
x² + 5x = 0
x(x + 5) = 0
x = 0 ou x + 5 = 0
x+5=0 x=-5
Substituindo nas inequações conseqüentes da definição:
x+1>0

e

x+4>0

0+1>0

0+4>0

1 > 0 (V)

4 > 0 (V)

-5 + 1 > 0
-4 > 0 (F)
A solução que satisfaz a equação é S = { 0 }
6) Considere a tabela dos logaritmos a seguir:
n
2
3
5
7
10

log n
0,301
0,477
0,699
0,845
1,000

Com o auxílio dessa tabela, podemos calcular o
logaritmo de 0,015. Seu valor é :
a) 1585

c) -1,824

b) 0,111

d) -2,056

e) -3,08

Usando os valores da tabela, temos:
0,477 + 0,699 – 3 x 1 = 1,176 – 3 = - 1,824 alternativa c
7) A solução da equação log (5x + 1) - log (3x - 2) = 2 é:
5x + 1 > 0
5x > -1
x > -1/5

3x – 2 > 0
3x > 2
x > 2/3

5x + 1 > 0
5. 0,6813 + 1 > 0
4,4065 > 0 satisfaz a desigualdade
3x – 2 > 0
3. 0,6813 – 2 > 0
2,0439 – 2 > 0
0,0439 > 0 satisfaz a desigualdade, então x = 201/295 é
raiz da equação.

x > 2/3
2/3 = 0,666...
8) Resolver a equação log11 (2x - 3) = log115
2x – 3 > 0

2x – 3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 8/2 = 4
2x4–3>0
8–3>0
5 > 0 ; logo a raiz 4 satisfaz a condição de existência e,
em conseqüência, vai para o conjunto-solução da
equação dada, e portanto, temos que:
S = {4}
Mudança de base
Supondo que 0 0, temos que:

Exercícios:
1) Sabendo que log 2 = 0, 3010 e log 3 = 0,4771, calcular
log23.

2) Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcular
log3 2.

Ilustração
Condições de existência
Nos exemplos abaixo você poderá entender melhor as
condições de existência dos logaritmos. A base b de um
logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero
nem igual a um.
Exemplos:

O logaritmando a não pode ser negativo e nem igual a zero.
Exemplos:

Conseqüências da definição

EQUAÇÃO DO 1º GRAU
PRODUTOS NOTÁVEIS
GEOMÉTRICA

NÚMEROS COMPLEXOS
Progressão aritmética
Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que
cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O
número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são
chamados de termos da progressão.
Observe os exemplos:
50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.
3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.
-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.
156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.
100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.
6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.
Numa PA de 7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos
dessa PA.
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30
Numa PA de 5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os
termos dessa PA.
145, 159, 173, 187, 201
Numa PA de 8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa
PA.
32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11
Numa PA, o 1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.
Numa PA, o 5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.
Símbolos usados nas progressões
Em qualquer seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo
por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da
seqüência que está na posição n é indicado por an.
Veja alguns exemplos
Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32
Quando escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o
índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No caso, trata-se do 5º
termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No
caso o valor do quinto termo é 7.
A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer
termo da PA e o termo anterior.

Observe os exemplos:
Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:
a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7
a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7
a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7
a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7
Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:
a2 – a1 = 15 – 20 = -5
a3 – a2 = 10 – 15 = -5
a4 – a3 = 5 – 10 = -5
Classificação das progressões aritméticas
Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que
o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja
positiva.
Exemplo:
(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4
Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo
que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja
negativa.
Exemplo:
(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10
Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é
necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.
Exemplo:

Determine x para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.
5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x
5x – 3 – x = 2x +11 – 5x
5x – x – 2x + 5x = 11 + 3
7x = 14
x = 14/7 = 2
Fórmula do termo geral da PA
an = a1 + (n – 1).r
Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)
r=4
a1 = 9
n = 61
a61 = ?
a61 = 9 + (61 – 1).4
a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249

Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3
an = a1 + ( n – 1 ).r
a8 = a1 + (8 – 1 ).r
a8 = a1 + 7r
3 = 2 + 7r
7r = 3 – 2
7r = 1
r = 1/7
Determinar o número de termos da PA (4,7,10,...,136)
a1 = 4 an = 136
r=7–4=3
an = a1 + (n – 1).r
136 = 4 + (n – 1).3
136 = 4 + 3n – 3
3n = 136 – 4 + 3
3n = 135
n = 135/3 = 45 termos
Determinar a razão da PA tal que:
a1 + a4 = 12 e
a3 + a5 = 18
a4 = a1 + (4 – 1).r
a4 = a1 + 3r

a3 = a1 + (3 – 1).r
a3 = a1 + 2r

a5 = a1 + 4r

a1 + a1 + 3r = 12
a1 + 2r + a1 + 4r = 18
2a1 + 3r = 12
2a1 + 6r = 18
3r = 6
r = 6/3 = 2
Interpolar (inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .
Interpolar (ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa
determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.
(1,_,_,_,_,_,25)
a7 = a1 + 6r
25 = 1 + 6r
6r = 24
r = 24/6
r=4
(1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)
Representação genérica de uma PA
PA de três termos:
(x, x + r, x + 2r)
ou

(x – r, x , x + r), em que a razão é r
PA de quatro termos:
(x, x + r, x + 2r, x + 3r)
ou
(x – 3r, x – r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r
Cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA
Em uma pequena escola do principado de Braunschweig, Alemanha, em 1785, o
professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a 100.
Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa
do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor,
assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a ser um
dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss (1777-1855). O
cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu que a soma do
primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do segundo número, 2 ,
com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do terceiro número, 3 , com o
antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por diante, a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos.
1 2 3 4..................................97 98 99 100
4 + 97 = 101
3 + 98 = 101
2 + 99 = 101
1 + 100 = 101
Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:
1 + 2 + 3 + 4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050
Esse raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos de
uma progressão aritmética qualquer:

Calcular a soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).
a30 = a1 + (30 – 1).r
a30 = a1 + 29r
a30 = 4 + 29.5 = 149

Calcular a soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).
an = 2 + (n – 1).8
an = 2 + 8n – 8

an = 8n – 6

Determine a soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).

Calcule a soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.
Múltiplos de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).
O primeiro múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.
O último múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.
294 = 105 + (n – 1).7
294 = 105 + 7n – 7
7n = 294 – 105 + 7
7n = 196
n = 196/7 = 28

Progressão geométrica
Denominamos de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de

números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta
no próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da progressão
e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.
Observe estes exemplos:
8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.
5, 15, 45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.
3000, 300, 30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10
Numa PG de 5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.
2, 12, 72, 432, 2592
Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o penúltimo é 100. Escreva os termos
dessa PG.
4,20,100,500
Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é 10. Qual o 6º termo dessa PG.
3,30,300,3000,30000,300000
a6 = 300000
Numa PG de 5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.
-90,270,-810,2430,-7290
Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30. Qual a razão dessa PG.
q = 30/180 = 3/18 = 1/6
A razão é 1/6

Fórmula do termo geral de uma progressão geométrica.

Determinar o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).

Determinar a razão da PG tal que:

Determinar o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).

Determinar a razão da PG tal que:

Representação genérica de uma PG:
a) PG de três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;
(x/q, x, xq), com razão q, se q ≠ 0.
b) PG de quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;
(x/q³, x/q, xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.
Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a
soma do segundo com o terceiro termo é 10.

Soma dos n primeiros termos de uma PG:
Sendo Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...) de razão q, temos:

Se q = 1, então Sn = n.a1

Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).

Exercícios resolvidos de PA e PG
Dada a PA (a + b,5a – b,...) determine seu 4º termo.
r = 5a – b – (a + b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b

A cada balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A
razão de progressão formada pelos capitais nos balanços é:
Solução:[
Sendo C o capital inicial, temos:
C,1,1C, (1,1)²C,...
Logo a razão q é dada por:
q = 1,1C/C = 1,1 = 11/10

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Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é
retângulo em A e seus elementos são:

a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Relações métricas
Para um triângulo retângulo ABC podemos estabelecer algumas relações entre as
medidas de seus elementos:
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto
sobre a hipotenusa.
b² = a.n
c² = a.m
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a
hipotenusa.
b.c = a.h
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
h² = m.n

- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS.
Exemplo:
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Determine os valores literais indicados nas figuras:
a)

13² = 12² + x²
169 = 144 + x²
x² = 25
x=5
b)

5.12 = 13.y
y = 60/13

d)

Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l.

Determine x nas figuras.
a)

O triângulo ABC é eqüilátero.

b)

O triângulo ABC é eqüilátero.

c)

Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

Razões trigonométricas
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir:

- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do
triângulo.
senÊ = e/a
senÔ = o/a
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do
triângulo.
cosÊ = o/a
cosÔ = e/a
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
tgÊ = e/o
tgÔ = o/e
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º
Exemplo:

senÔ = 3/5 = 0,6
cosÔ = 4/5 = 0,8
tgÔ = 3/4 = 0,75

senÊ = 4/5 = 0,8
cosÊ = 3/5 = 0,6
tgÊ = 4/3 = 1,333....

Ângulos notáveis
Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos
chamados de notáveis, são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e
tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um
triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo
AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao
triângulo AMC temos:

Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l.
A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
No triângulo ABD, temos:

Observação: sen45° = cos45°
Resumindo temos a tabela:

1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento
BC é igual a 10 m e cos α = 3/5

Solução:

2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado.

Solução:

3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule:
a) A medida do lado do triângulo
b) A área do triângulo

4) Calcule x indicado na figura

Solução:

6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com
essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros?

Solução:

7) Na figura indicada calcule AB.

Solução:

8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado
1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do
quadrado 3 ?

A2 = A1 + A3
100 = 36 + A2
A2 = 100 – 36 = 64cm²
9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidas dos
catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro
desse triângulo.

10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à
hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem
catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana
relativa a hipotenusa nesse triângulo.

11) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida
da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão
h/d.

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Professor: Joaquim Julio Marcondes Sigaud
NÚMEROS COMPLEXOS
NÚMEROS
COMPLEXOS

O que existe além dos números reais?
Gerônimo Cardano, médico e matemático italiano, publicou em
1545, em sua obra Ars magna, a resolução de equações do tipo x³ +
px + q = 0. Essa resolução, relata Cardano, foi apresentada a ele
por Nicolo Tartáglia. O método proposto por Tartáglia consiste em
substituir a variável x por u – v tal que o produto uv seja um terço
do coeficiente de x da equação. Cardano, resolvendo equações
cúbicas através desse método, deparou-se com raízes quadradas de
números negativos, que até então não eram aceitas pelos
matemáticos. Vamos percorrer o mesmo caminho feito por
Cardano para perceber algo surpreendente. Resolvamos a seguinte
equação:
x³ - 6x + 4 = 0
Substituindo x por u – v de modo que o produto uv seja igual a um
terço do coeficiente de x, que é -2 , obtém-se o sistema
(u – v)³ - 6(u – v) + 4 = 0
uv = -2
u³ - 3u²v + 3uv² - v³ - 6u + 6v + 4 = 0
uv = -2
Fazendo uv = -2 na primeira equação e isolando v na segunda ,
obtém-se:
u³ - v³ + 4 = 0
v = -2/u

Chamando u³ = t temos:

Nesse momento, Cardano concluiu: como não existe raiz quadrada
de número negativo, temos que não existem u nem v e,
conseqüentemente, não existe x, pois x = u – v. Porém,
espantosamente ele verificou que o número real 2 é raiz da equação
x³ - 6x + 4 = 0, pois 2³ - 6.2 + 4 = 0.
Essa constatação levou Cardano a considerar a existência de novos
números, como por exemplo:

Nessa mesma época, outro grande matemático italiano, Rafael
Bombelli ( cerca de
1526 – 1573), teve o que chamou de “idéia louca”, operando com
expressões que envolviam raízes quadradas de números negativos.
Bombelli admitiu, por exemplo, a identidade:

Dando assim subsídios para o início da construção de um novo
conjunto: o conjunto dos números complexos.
Até agora, o conjunto universo utilizado na resolução de problemas
e equações foi o conjunto R dos números reais. Algumas equações
não tinham solução no conjunto dos reais. É o caso, por exemplo,
da equação x² + 1 = 0
x² + 1 = 0
x² = -1
S={ }
Agora, veja que, se tomarmos como universo um conjunto para o
qual se admita a existência de raiz quadrada de -1 a equação

passará a ter solução não-vazia.
No conjunto dos números complexos,convenciona-se que:

Exemplo:
Vamos resolver a equação x² - 2x + 5 = 0.

Conjunto dos números complexos é aquele formado pelos
números que podem ser expressos na forma z = a + bi , em que:

A forma z = a + bi é denominada forma algébrica de um número
complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.
Tomando um número complexo z = a + bi, temos:
a = 0 z = a + bi
b ≠ 0 (imaginário puro).

Dessa maneira, todo número real pode ser expresso na forma

a + bi com b = 0. Isso nos permite concluir que todo número real é
também complexo.
Exemplo:

Os complexos 6i e –i são imaginários puros e os complexos 4 e 0
são reais.
Exercícios:
Classifique cada número complexo a seguir como imaginário puro
ou real:

Determine o valor de m e n para que o complexo
z = (m² - 4) + (n³ - 27) i seja um imaginário puro.
Resolução:
z = a + bi é imaginário puro se a = 0 e b ≠ 0. Logo:
m² - 4 = 0
m² = 4
m = -2 ou m = 2
n³ - 27 ≠ 0
n³ ≠ 27
n≠3
Dados os complexos a seguir, determine:
a) m e n para que z = m + (2m - n + 1)i seja imaginário puro.
Resolução:
m=0
2m – n + 1 ≠ 0
-n ≠ -1
n≠1
b) a e b para que z = (4a – 5) + (2b + 7)i seja real.
Resolução:

2b + 7 = 0
2b = -7
b = - 7/2

qualquer a є R

c) x e y para que z = (2x + 4) – (y – 3) i seja o real z = 0.
Resolução:
2x + 4 = 0
y–3=0
2x = -4
y=3
x = -4/2 = -2
Resolva as equações a seguir para U = C:

Igualdade e operações
Dados dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, dizemos
que eles são iguais quando a parte real de z1 for igual a de z2, o
mesmo ocorrendo com as partes imaginárias:
a1 + b1i = a2 + b2i ↔ a1 = a2 e b1 = b2
Exemplo:
Considere os complexos z1 = (a + 1) + 3i e z2 = 4 + (2 – b) i.
Teremos z1 = z2 se ocorrer:
(a + 1) + 3i = 4 + (2 – b) i
a+1=4
a=3
2–b=3
b = -1
Adição e subtração
Faz-se a adição ou a subtração dos complexos z1 = a1 + b1i e
z2 = a2 + b2i somando ou subtraindo as partes reais, a1 e a2 e as
partes imaginárias b1 e b2:
(a1 + b1i) + (a2+ b2i) = (a1+ a2) + (b1+ b2) i
(a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2) i

Dados os complexos z1 = 2 – 3i e z2 = z2 = 4 + 6i, temos:
a) z1 + z2 = 2 – 3i + 4 + 6i = 6 + 3i
b) z1 - z2 = 2 – 3i – ( 4 + 6i ) = -2 – 9i
c)z2 – z1 = 4 + 6i – ( 2 – 3i ) = 2 + 9i
d)2z1= z1 + z1 = 2 – 3i + 2 – 3i = 4 – 6i
e)2z2 = z2 + z2 = 4 + 6i + 4 + 6i = 8 + 12i
Efetue as operações indicadas:
a)(6 + 5i) + (3 – 4i) = 6 + 5i + 3 – 4i = (6 + 3) + (5 – 4)i = 9 + i
b)(1 – i) – (3 – 2i) = 1 – i – 3 + 2i = (1 – 3) + (2 – 1)i = -2 + i
Multiplicação
Na multiplicação dos complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i,
procede-se como na multiplicação de dois binômios, fazendo
i² = -1. Assim:
z1 = a1 + b1i
z2 = a2 + b2i
z1 . z2 = (a1 + b1i).( a2 + b2i)
z1 . z2 = a1a2 + a1b2i + a2 b1i + b1 b2i²
Como i² = -1, temos:
(a1 + b1i).( a2 + b2i) = (a1a2 - b1 b2) + (a1b2 + a2 b1) i
Exemplos:
Vamos multiplicar z1 = 3 + 2i por z2 = 3 + 4i
z1 . z2 = (3 + 2i )( 3 + 4i) = 9 + 12i + 6i + 8i² = 9 + 18i + 8(-1) =
9 + 18i – 8 = 1 + 18i
Se z1 = 4 e z2 = 2 - 5i, temos:
z1 . z2 = 4(2 – 5i) = 8 – 20i
Pode ocorrer também que o produto de dois números complexos
seja um número real:
z1 = 2 + i
z2 = 2 – i
z1 . z2 = (2 + i) (2 – i) = 4 – i² = 5
Dados z1 = 1 – 3i e z2 = 2 + i, calcule:
a) z1 . z2
z1 . z2 = (1 – 3i)(2 + i) = 2 + i – 6i – 3i² = 2 – 5i + 3 = 5 – 5i
b) 2z1 - 3z2
2z1 - 3z2 = 2(1 – 3i) – 3(2 + i) = 2 – 6i – 6 – 3i = - 4 –
9i

c) z1²
(1 – 3i)² = 1 – 6i + 9i² = 1 – 6i – 9 = - 8 – 6i
d) z2²
(2 + i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i – 1 = 3 + 4i
e) (z1 + z2)( z1 - z2)
(1 – 3i + 2 + i)[1 – 3i – (2 + i)] =
= (3 – 2i)[1 – 3i – 2 – i] = (3 – 2i)[-1 – 4i] =
= -3 – 12i + 2i + 8 i² = -3 – 12i + 2i – 8 = -11 – 10i
Dados os complexos z1 = a + 2i e z2 = 3 – bi, determine a e b para
que 2z1- z2 seja um imaginário puro.
Resolução:
z1 = a + 2i
z2 = 3 – bi
2z1 - z2 = 2(a + 2i) – (3 – bi) = 2a + 4i – 3 + bi =
= (2a – 3) + (4 + b)i
Para 2z1 - z2 seja um imaginário puro devemos impor:
2a – 3 = 0
2a = 3
a = 3/2
4+b≠0
b≠-4
Calcule o valor do número z = (5 – i)² + (5 + i)².
Resolução:
z = 25 – 10i + i² + 25 + 10i + i² = 25 – 10i – 1 + 25 + 10i – 1 = 48
Determine o valor real de x para que o número complexo:
z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.
Para que z seja um imaginário puro é necessário que Re(z) = 0,
Pois Im(z) = 3 ≠ 0
Então:
1 – 2x = 0
-2x = -1
x = 1/2
verificando, vem:
z = (1 – 2x) + 3i = (1-2.1/2) + 3i = 0 + 3i = 3i (imaginário puro)
logo, x = 1/2
z = (8 – x) + (2x – 3)i seja um número imaginário puro.
8–x=0
x=8
para x = 8, temos:
(2.8 – 3) = 13 ≠ 0
Logo, x = 8
Conjugado de um complexo

Vamos obter os conjugados dos seguintes números:

Divisão
Dados os complexos z1 e z2 com z2 ≠ 0, podemos fazer
z1 /z2 multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo
conjugado do denominador.
Considere z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i.

Exemplos:
Vamos efetuar a divisão de z1 = 2 + 4i por z2 = 5 – i ;

Utilizando o conjugado de um número z, vamos obter o seu
inverso:

Escreva os conjugados dos seguintes complexos:
z = -3i + 1
conjugado: 1 + 3i

Efetue as divisões:

Simplifique a expressão:

Determine o número complexo z tal que:

(a + bi) – (a – bi) + (a + bi)(a – bi) = 8 + 4i
a + bi – a + bi + a² - abi + abi – bi² = 8 + 4i
2bi + a² + b² = 8 + 4i
2b = 4
b=2
a² + b² = 8
a² + 4 = 8
a² = 4
Logo, z = 2 + 2i ou z = -2 + 2i
Potências de i
Estudando as potências de i

Portanto, para determinar uma potência de i superior a 4, basta
dividir o expoente de i por 4 e considerar apenas i elevado ao resto
dessa divisão. Veja:
9:4=
Quociente = 2
Resto = 1
i¹ = i
82 : 4 =
Quociente = 20
Resto = 2
i² = -1
123 : 4 =
Quociente = 30
Resto = 3
i³ = -i

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