Resistencia estabilidade

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Apostila e exercicios sobre estabilidade e RM

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Resistencia estabilidade

  1. 1. 1Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco SUMÁRIO Capítulo 1 – Introdução e Definições de Resistência dos Materiais 4 1.1. Definição de Resistência dos Materiais 4 1.2. Evolução Histórica 4 1.3. Princípio da Estática e do Equilíbrio das Forças 5 1.3.1. Forças Externas 5 1.3.1.1. Forças de Superfície 6 1.3.1.1.1. Cargas Concentradas ou Pontuais 6 1.3.1.1.2. Cargas Distribuídas Linearmente 7 1.3.1.1.3. Cargas Distribuídas por Área 10 1.3.1.2. Força de Corpo 10 1.3.2. Forças Internas ou Esforços Solicitantes 11 1.3.2.1. Esforços Normais 11 1.3.2.2. Esforços de flexão 12 1.3.2.3. Esforços de Cisalhamento 13 1.3.2.4. Esforços de Torção 14 1.3.3. Cargas Internas Resultantes 14 1.3.4. Equilíbrio das Forças 15 Capítulo 2 – Momento Fletor e Força Cortante 17 2.1. Análise de Momento Fletor e Força Cortante em Vigas 17 2.2. Representação Gráfica 17 2.3. Vínculos das Estruturas 18 2.3.1. Vínculo Simples ou Móvel 18 2.3.2. Vínculo Duplo ou Fixo 18 2.3.3. Engastamento 18 2.4. Estruturas 19 2.4.1. Estruturas Hipoestáticas 19 2.4.2. Estruturas Isoestáticas 19 2.4.3. Estruturas Hiperestáticas 20 2.5. Tipos de Vigas 20 2.6. Momento Fletor 21 2.6.1. Exercícios Resolvidos 22 2.7. Diagrama de Momento Fletor (DMF) 25 2.8. Esforço Cortante 30 2.8.1. Exercícios Resolvidos 31 2.9. Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 32 2.10. Cálculo do Momento Máximo e do Ponto de Aplicação 33 2.11. Exercícios Propostos 35 Capítulo 3 – Características Geométricas das Superfícies Planas 36 3.1. Centroides de Superfícies Planas 36 3.1.1. Tabela de Centro de Gravidade de Superfícies Planas 37 3.1.2. Exercícios Propostos 42 3.2. Momento de Inércia ou Momento de 2ª Ordem 43 3.2.1. Tabela de Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência 43 3.2.2. Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner 46 3.3. Raio de Giração 49 3.4. Módulo de Resistência 50 3.5. Exercícios Propostos 51 Capítulo 4 – Tensões Normais (tração e compressão) 52 4.1. Força Normal ou Axial 52
  2. 2. 2Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 4.2. Tensão Normal 54 4.3. Lei de Hooke 56 4.4. Coeficiente de Segurança 57 4.4.1. Carga Estática ou Permanente 57 4.4.2. Carga Intermitente 57 4.4.3. Carga Alternada 58 4.5. Tensão Admissível 59 4.6. Exercícios Propostos 61 Capítulo 5 – Tensões de Flexão 63 5.1. Introdução 63 5.2. Flexão Pura 63 5.3. Flexão Simples 64 5.4. Tensões Normais na Flexão 64 5.5. Dimensionamento na Flexão 66 5.6. Exercícios Propostos 68 Capítulo 6 – Tensões de Cisalhamento Puro 69 6.1. Introdução 69 6.2. Força Cortante 69 6.3. Tensão de Cisalhamento 70 6.4. Exercícios Propostos 71 Referências 72
  3. 3. 3Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco
  4. 4. 4Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Introdução e Definições de Resistência dos Materiais 1.1. DEFINIÇÃO DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS “Resistência dos Materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando ele está submetido a forças externas.” (HIBBELER, 2010) No projeto de qualquer estrutura ou máquina é fundamental que sejam estudadas não somente as forças atuantes, mas também o comportamento do material diante das situações de carregamento. Essa conjuntura é essencial para a escolha do material mais adequado para uma determinada situação de projeto. As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das cargas internas como também do tipo de material do qual esses elementos são feitos. 1.2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA A origem dos estudos em resistência dos materiais vem do século XVII, quando Galileu realizou as primeiras experiências em hastes e vigas de diferentes matérias, avaliando o efeito das cargas sobre os elementos e os seus respectivos comportamentos. Entretanto, para a compreensão adequada, foi necessário estabelecer descrições experimentais mais precisas das propriedades mecânicas de um material. Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no início do século
  5. 5. 5Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco XVIII. Naquela época, estudos sobre o assunto, tanto experimentais quanto teóricos, foram realizados principalmente na França por estudiosos renomados como Saint-Venant, Poisson, Lamer e Navier. Com o passar do tempo, a medida que problemas mais complexos foram surgindo e precisavam ser resolvidos, tornou-se necessário usar técnicas de matemática avançada e de computador. Hoje, os profissionais envolvidos no estudo das estruturas têm à sua disposição softwares capazes de simular inúmeras situações de projeto e fornecer dados precisos sobre o comportamento dos elementos estruturais. 1.3. PRINCÍPIO DA ESTÁTICA E DO EQUILÍBRIO DAS FORÇAS Como já foi dito, o estudo da resistência dos materiais envolve a determinação das forças atuantes sobre o corpo e o comportamento do material sobre o efeito do carregamento. O princípio da estática desempenha um papel relevante tanto no desenvolvimento como na aplicação da resistência dos materiais, logo é muito importante ter uma boa compreensão dos seus fundamentos. 1.3.1. FORÇAS EXTERNAS Um corpo qualquer pode ser submetido a várias forças externas, ou seja, sofrer ação de inúmeros agentes externos. Estas forças podem assumir características distintas, conforme a natureza de sua aplicação. Quanto aos tipos de forças externas, podemos classificá- las como: 1) Forças de superfície: ocorrem quando há o contato direto de um corpo com a superfície do outro. Em todos os casos essas forças são distribuídas pela área de contato entre os dois corpos. 2) Força de corpo: ocorre quando um corpo exerce uma força sobre o outro sem contato físico direto entre eles. Um exemplo desta força é a gravidade, representada como uma única força concentrada chamada de peso do corpo, cuja resultante atua no centro de gravidade do corpo.
  6. 6. 6Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 1.3.1.1. Forças de superfície As forças geradas pelo contato entre dois corpos são chamadas de forças de superfície. Logo, podemos avaliar o carregamento gerado por essa interação como sendo distribuído em toda a área de contato. Entretanto, em alguns casos esta área de interação ou contato é pequena em relação ao tamanho dos corpos e, por isso, podem ser consideradas pontuais ou lineares. Analisemos a seguinte situação: ao espetarmos um palito num pedaço de carne, todas as forças estão sendo distribuídas ao longo da área da ponta do palito, que é muito pequena em relação ao tamanho da carne. Logo, neste caso podemos considerar esta carga como sendo pontual. Em seguida vamos ver os tipos de carregamento gerados pelas forças de superfície. 1.3.1.1.1. Cargas concentradas ou pontuais As cargas pontuais, como o próprio nome sugere, exerce contato sobre uma área muito pequena e, por isso, pode ser considerada como pontual. Como exemplo, podemos destacar uma pessoa ou um móvel em cima de uma laje. A carga concentrada é representada por uma única seta ou vetor, que pode admitir sentidos e direções diferentes, conforme a orientação do carregamento. O vetor deve ser aplicado em cima do ponto onde ocorre o carregamento concentrado. Na figura abaixo temos o esquema de uma viga biapoiada sendo submetida a uma força concentrada “F”, localizada no meio do vão: O carregamento é expresso em unidades de força, conforme a interação massa e aceleração da gravidade:
  7. 7. 7Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco As unidades mais comuns de representação destas forças são: N – Newton KN – Quilonewton Kgf – Quilograma força 1.3.1.1.2. Cargas distribuídas linearmente A carga pode se considerada linearmente distribuída quando a área de atuação sobre a superfície é estreita, formando uma espécie de “corredor”. A palavra “linear” significa relativo a linha ou algo que segue a direção de uma linha. Partindo desta definição, podemos dar como exemplo de carregamento linear o peso de uma parede sobre a laje ou sobre a viga: O carregamento linearmente distribuído é representado pela sequência linear de setas ou vetores de força distribuídos ao longo da região de atuação. A unidade desta grandeza é dada em força por metro, conforme é mostrado na figura abaixo:
  8. 8. 8Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Na figura, a viga com apoios A e B está sofrendo um carregamento linearmente distribuído de 10 KN/m, o que significa que em cada metro da viga atua um carregamento de 10 KN. Pode ser comumente expresso, ainda, em N/m e kgf/m. Na análise de todo carregamento distribuído é necessário que seja encontrada uma força resultante equivalente. No caso do carregamento linear, esta força é calculada multiplicando a carga pelo comprimento linear de atuação. O ponto de aplicação da força resultante está localizado na metade do comprimento de atuação. Abaixo, dois exemplos de cálculo da resultante: Cálculo da força resultante: Região da aplicação da força: Cálculo das forças resultantes: Região de aplicação das forças: As cargas distribuídas linearmente nem sempre são uniformes. Em alguns casos podem variar de intensidade ao longo da distribuição, apresentando um carregamento com formas geométricas triangulares ou trapezoidais. Nos carregamentos que variam de forma triangular, a força resultante equivale à área do triângulo e está posicionada a 1/3 da base, partindo do ângulo reto.
  9. 9. 9Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Nos carregamentos trapezoidais, a melhor força de encontrar as forças resultantes é dividindo a figura em duas outras formas geométricas conhecidas, como o triângulo e o retângulo. Desta forma, obteremos duas resultantes concentradas: uma equivalente à porção retangular e a outra à porção triangular.
  10. 10. 10Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 1.3.1.1.3. Carga distribuída por área Foi visto anteriormente que toda força de superfície é distribuída por área, mas que em alguns casos estas áreas são muito pequenas ou estreitas, dando origem aos carregamentos lineares e pontuais. No carregamento distribuído por área, a região de contato é consideravelmente grande e, portanto, a área deve ser considerada na distribuição das forças. Esse tipo de carga é bastante encontrado nas situações que envolvem a engenharia e a mecânica, principalmente no carregamento sobre as lajes de uma construção. Assim como no linear, o carregamento distribuído por área também exige o cálculo de uma resultante que atua no centro da área de contato. Esta resultante é calculada quando multiplicamos o carregamento pela área: 1.3.1.2. Força de corpo A força de corpo, como foi visto anteriormente, não depende do contato entre duas superfícies. O exemplo mais evidente desta força é o peso de um corpo. Todo corpo possui uma massa e, portanto, sofrendo ação da gravidade, possui um peso que atua no seu centro de gravidade ou centroide. A força que atua no centroide do corpo é também chamada de resultante do peso e ela atua no centro do corpo, conforme a figura:
  11. 11. 11Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Portanto, um corpo com massa igual a 80 kg, sofrendo a ação da gravidade g = 9,81 m/s², exerce uma força de 785 N (Newton), cuja resultante se encontra no seu centro de gravidade ou centro de massa. 1.3.2. FORÇAS INTERNAS OU ESFORÇOS SOLICITANTES A atuação de forças externas sobre um corpo gera em toda a sua estrutura ou secção forças internas. Portanto, solicitação é todo esforço ou conjunto de esforços que, devido às ações externas, atuam sobre uma ou mais secções de um elemento da estrutura. A seguir serão apresentados os tipos de esforços solicitantes e mais adiante cada um será estudado de forma detalhada. 1.3.2.1. Esforços normais Os esforços normais são assim chamados, pois atuam perpendicular à superfície da secção da peça. Em outras palavras, a resultante desta força forma um ângulo de 90º com a superfície. Existem dois tipos de esforços normais e estes são muito importantes no estudo da resistência dos materiais. São eles os esforços de compressão e tração. Ambos atuam perpendiculares à superfície da secção, porém se diferenciam pelo sentido da força.
  12. 12. 12Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Os esforços de compressão ocorrem quando há duas forças na mesma direção empurrando ou comprimindo em sentidos opostos. Os esforços de tração ocorrem quando há duas forças na mesma direção puxando em sentidos opostos. 1.3.2.2. Esforços de flexão A flexão é um esforço onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do corpo. Observe as duas figuras a seguir: a da esquerda mostra um corpo apoiado em suas duas extremidades e da direta mostra um corpo preso de um lado, com a extremidade oposta livre. Os dois corpos estão sofrendo a ação de uma força F, que age na direção perpendicular ao eixo dos corpos. A força F leva uma região dos corpos a se contrair, devido à compressão, enquanto que a outra região se alonga, devido à tração. Entre a região que se contrai e a que se alonga fica uma linha que mantém sua dimensão inalterada - a chamada linha neutra. Em materiais homogêneos, costuma-se considerar que a linha neutra fica a igual distância das superfícies externas inferiores e superiores do corpo.
  13. 13. 13Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Quando esta força provoca somente uma deformação elástica no material, ou seja, quando interrompido o carregamento retorna ao seu estado original, dizemos que se trata de um esforço de flexão. Quando produz uma deformação plástica, temos um esforço de dobramento, isso por que o material não retorna ao estado original e permanece deformado mesmo que o carregamento não exista mais. 1.3.2.3 Esforço de cisalhamento No esforço de cisalhamento as forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, ou seja, um deslocamento linear entre seções transversais. Também conhecido como esforço cortante, o cisalhamento acontece quando temos um carregamento agindo em um sentido em uma face do elemento, e outro carregamento agindo em sentido contrário na face oposta. Para que o esforço tenha efeito de corte, as forças devem agir perpendicularmente ao eixo do elemento. Podemos concluir, então, que uma mesma força agindo perpendicularmente ao eixo transversal do corpo pode gerar cisalhamento e flexão, cisalhamento puro ou flexão pura.
  14. 14. 14Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 1.3.2.4. Esforço de torção A torção é diferente da compressão, da tração e do cisalhamento porque nestes casos o esforço é aplicado no sentido longitudinal ou transversal do elemento e na torção o esforço é aplicado no sentido de rotação. Para melhor exemplificar este esforço, pense num corpo cilíndrico, preso por uma de suas extremidades. Imagine que este corpo passe a sofrer a ação de uma força no sentido de rotação, aplicada na extremidade solta do corpo, conforme a ilustração ao lado. O corpo tenderá a girar no sentido da força e, como a outra extremidade está engastada, ele sofrerá uma torção sobre seu próprio eixo. Se certo limite de torção for ultrapassado, o corpo se romperá. Obviamente, a torção não é gerada apenas na situação descrita acima. Basta que haja dos movimentos de rotação sobre o eixo da peça em sentidos opostos. 1.3.3. CARGAS INTERNAS RESULTANTES As cargas internas representadas pelos esforços solicitantes apresentados anteriormente atuam de forma desordenada, em diferentes direções e sentidos numa seção do elemento. A figura (a) mostra um elemento qualquer sofrendo ação de forças externas representadas por quatro vetores. Se fizermos um corte no elemento, revelando a sua seção, teremos uma série de forças internas atuando desordenadamente, em direção e sentido distintos, conforme a figura (b). O estudo das cargas internas só é possível a partir da determinação de suas resultantes, que possuem direção e sentido vetoriais conhecidos. Cada esforço solicitante tem a sua carga interna resultante definida e é conhecendo o valor desta grandeza e de que forma a mesma atua no elemento que torna possível estudar a sua resistência.
  15. 15. 15Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco As cargas internas resultantes são assim representadas: a) Força normal (N): essa força é perpendicular à seção. É criada sempre que as forças externas tendem a comprimir ou tracionar as duas partes do corpo. b) Força cortante (V ou Q): localiza-se no plano da seção e é criada quando as cargas externas tendem a provocar o deslizamento ou corte das duas partes do corpo, uma sobre a outra. c) Momento de torção ou torque (T): essa força é criada quando as forças externas provocam um giro em relação ao eixo do elemento, tendendo a torcer o mesmo. d) Momento fletor (M): é provocada pelas cargas externas que tendem a fletir ou flexionar o corpo em relação ao eixo localizado no plano da seção. A figura abaixo mostra, de forma geral, o comportamento dessas resultantes em relação ao plano da seção do elemento: 1.3.4. EQUILÍBRIO DAS FORÇAS Um corpo está em equilíbrio quando o somatório de todas as forças atuantes sobre ele é zero, evitando que o mesmo desenvolva movimento acelerado. Além do equilíbrio das forças, é necessário também o equilíbrio dos momentos. Isto significa que em qualquer ponto do corpo o somatório dos momentos é zero, impedindo neste caso a rotação. Tanto os vetores força quanto os momentos podem apresentar diferentes direções e sentidos de atuação numa estrutura. Sendo assim, no plano cartesiano podemos ter forças na direção do eixo x e forças na direção y, assim como momentos em ambas as direções também. Para os casos de figuras tridimensionais, tem-se o acréscimo de mais um plano, o “z”. Entretanto, para o estudo dessa disciplina só iremos considerar os corpos no plano xy. Têm-se, então, como equações de equilíbrio no plano os seguintes somatórios:
  16. 16. 16Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Os somatórios de e são, respectivamente, a soma de todas as forças horizontais e verticais atuantes no corpo. O somatório de é a soma dos momentos em um ponto qualquer “o” onde o valor é zero. É importante frisar que o somatório de momento deve ser aplicado num ponto onde este valor é zero, uma vez que ao longo do corpo o valor do momento varia em valores diferentes de zero.
  17. 17. 17Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Momento Fletor e Força Cortante 2.1. ANÁLISE DE MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE EM VIGAS O momento fletor e a força cortante são esforços presentes em diversos tipos de estrutura, seja ele uma viga, um pilar, uma laje ou até mesmo um reservatório. Para estudarmos os conceitos do comportamento dessas forças numa estrutura, iremos considerar a atuação destas em vigas. As vigas são estruturas importantes para a análise do momento e do cortante, pois boa parte do carregamento atua sobre a porção longitudinal da peça ou transversal a seção. 2.2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Para facilitar o estudo do comportamento da estrutura e das forças atuantes sobre ela, as situações são representadas graficamente através de símbolos. No caso das vigas, os elementos a serem considerados são o carregamento, os apoios e a própria viga. Obviamente, estes elementos não são representados na forma real, como na figura a cima. É necessária uma forma mais simples e prática de reproduzir todos os elementos do problema. A ilustração abaixo descreve os elementos gráficos que devem ser observados:
  18. 18. 18Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 2.3. VÍNCULOS DAS ESTRUTURAS Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os movimentos de uma estrutura. Nas estruturas planas, podemos classificá-los em três tipos: vínculo simples ou móvel; vínculo duplo ou fixo; engastamento. 2.3.1. VÍNCULO SIMPLES OU MÓVEL Esse tipo de vínculo impede o movimento no sentido normal ao plano de apoio, fornecendo apenas uma única reação na vertical. 2.3.2. VÍNCULO DUPLO OU FIXO Esse tipo de vínculo ou apoio impede o movimento em duas direções, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio. Portanto fornece duas reações: uma na horizontal e a outra na vertical. 2.3.3. ENGASTAMENTO Esse tipo de vínculo impede o movimento em qualquer direção, impedindo também a rotação.
  19. 19. 19Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 2.4. ESTRUTURAS Denomina-se estrutura o conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade de receber e transmitir os esforços solicitantes. As estruturas planas são classificadas de acordo coma sua estaticidade ou situação de estática em três tipos: hipoestáticas, isoestáticas e hiperestáticas. 2.4.1. ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS As estruturas chamadas de hipoestáticas são instáveis estaticamente e são pouco utilizadas na prática. A classificação de hipoestática é devido ao fato de o número de equações de estática ser superior ao número de incógnitas. 2.4.2. ESTRUTURAS ISOESTÁTICAS A estrutura é considerada isoestática quando o número de reações ou incógnitas a serem determinadas coincide com o número de equações de estática.
  20. 20. 20Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 2.4.3. ESTRUTRAS HIPERESTÁTICAS A estrutura é considerada hiperestática quando as equações são insuficientes para calcular as reações ou incógnitas. 2.5. TIPOS DE VIGAS As vigas podem assumir diversas configurações, a depender disposição ou posicionamento de seus apoios. Sendo assim, podemos destacar alguns tipos de viga mais comuns em estruturas de edificações.
  21. 21. 21Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 2.6. MOMENTO FLETOR O momento de uma força em relação ao ponto é o produto da força com a distância desta para o ponto. Consideremos, agora, uma força F que atua em um determinado ponto da viga. Este ponto é denominado de “C”, localizado no vão da viga a uma distância “x” da força, conforme a figura: Logo, o momento neste ponto “c” qualquer provocado por uma força qualquer “F” é calculado multiplicando a força pela distância que a separa do ponto. Esta distância é também conhecida como “braço de alavanca”. Podemos, então, definir o momento de uma força em relação a um ponto qualquer a seguinte expressão: A unidade de medida do momento, no sistema internacional de medidas, pode ser expressa em: F – força: [KN]; [N]; [kgf]... X – distância: [mm]; [cm]; [m]... M – momento: [KN.m]; [KN.cm]; [N.m]... Para que haja momento num ponto qualquer é necessário que a força esteja deslocada em relação ao ponto. Logo, as forças que estão atuando exatamente sobre o ponto não geram momento, pois o “braço de alavanca” é zero. No exemplo abaixo, a força F1 não provoca momento no ponto “c”, pois está sendo aplicada exatamente sobre o ponto e, portanto, não tem “braço de alavanca”. Se não existe distância entre o ponto e a força, x = 0.
  22. 22. 22Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Além do conceito de momento apresentado, é importante observar também o sinal do momento, ou seja, se ele é positivo ou negativo. O momento é considerado negativo quando a flexão traciona a face superior da viga e comprime a face inferior, conforme a figura: O momento é considerado positivo quando a flexão traciona a face inferior da viga e comprime a superior, conforme a figura: 2.6.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercício (1): A viga está sofrendo um carregamento uniformemente distribuído de 25 KN/m. Calcular o momento fletor na seção “c” indicada na viga.
  23. 23. 23Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco A primeira etapa para resolver o problema é descobrir as reações que estão atuando nos apoios A e B. Analisando o tipo de apoio ou vínculo, temos que A e B são do tipo fixo ou duplo, gerando reação na horizontal e na vertical. Reações na horizontal: Reações na vertical: Resultante do carregamento distribuído: Depois de definir as reações de apoio que estão atuando, podemos encontrar os valores dessas reações através do equilíbrio ou somatório das forças. Somatório de forças horizontais: Somatório de forças verticais: Somatório de momentos no apoio A Sabendo que: Depois que todas as reações de apoio são encontradas, é possível calcular o momento em qualquer ponto da nossa viga, utilizando o método das secções. Este método consiste em fazer o somatório de momentos gerados pela (s) força (s) atuante (s) à esquerda e à direita da secção ou ponto desejado. Numa estrutura em equilíbrio, o somatório de momentos gerados pelas forças à esquerda tem que se igualar ao somatório de momentos gerados pelas forças à direita da secção estudada.
  24. 24. 24Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Vamos utilizar o método das secções para determinar o momento no ponto c. Momento em c vindo pela esquerda tem que ser igual ao momento vindo pela direita. Note que no momento em “c” pela esquerda foram consideradas apenas as forças que estavam gerando momento à esquerda do ponto, idem para o momento em “c” pela direita. O valor de momento em ambos os casos deu igual a 37,5 KN.m, o que significa que a estrutura está em equilíbrio. Exercício (2): calcular as reações de apoio e o momento fletor no ponto “c” indicado na viga metálica ao lado, sujeita a dois carregamentos distribuídos de diferentes intensidades. Resposta Reações na horizontal: Não existem reações na horizontal Reações na vertical:
  25. 25. 25Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Cálculo das reações: Sabendo que: Cálculo do momento no ponto “c”, utilizando o método das secções: 2.7. DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DMF) Vimos anteriormente que, para definir as reações de apoio da estrutura, é necessário aplicar o princípio do equilíbrio das forças. Uma vez definidas todas as reações, podemos encontrar o momento em qualquer ponto ou secção da nossa estrutura. O momento fletor tem intensidades distintas ao longo do vão e o melhor mecanismo para visualizar o seu comportamento é traçar o diagrama de momento fletor (para o caso de flexão).
  26. 26. 26Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Portanto, “o diagrama de momento fletor fornece informações detalhadas sobre a variação do momento fletor ao longo do eixo da estrutura e são usados frequentemente pelos engenheiros e projetistas para decidir onde colocar materiais de reforço na peça ou como definir as dimensões desta ao longo do seu comprimento.” (HIBBELER, 2008). Como já foi dito, o diagrama de momento fletor fornece uma série de informações quanto ao comportamento da estrutura em relação aos esforços de flexão. As duas primeiras informações que podemos destacar do diagrama é a ideia de comportamento do gráfico e o ponto onde o momento fletor é máximo. O valor máximo de momento e a secção onde este ocorre é extremamente importante para o projetista dimensionar a armadura da estrutura, principalmente quanto ao diâmetro da barra a ser utilizada. Na maioria dos casos, em que vigas biapoiadas sofrem carregamento distribuído uniformemente variado, o ponto de momento máximo ocorre exatamente no meio do vão (distância entre os apoios) e o valor é facilmente encontrado pela expressão: , onde “q” é o carregamento distribuído e “l” é a distância do vão. As estruturas podem sofrer carregamentos variados, tanto em local de aplicação quanto intensidade, e por isso, nem sempre o momento máximo estará atuando no meio do vão. Nestes casos, o momento máximo pode se encontrar em qualquer outra secção e a forma de calcular este valor demanda um pouco mais de trabalho. É possível encontrar este valor e a secção exata de aplicação com o auxílio do Diagrama de Esforço Cortante (DEC), que iremos abordar logo em seguida. O diagrama abaixo mostra um exemplo onde o momento máximo não está localizado na metade do vão da viga, devido à variação de carregamento:
  27. 27. 27Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Outra informação muito importante que se pode tirar do diagrama de momento fletor é a de conhecer os trechos de momento positivo e momento negativo. Nos trechos onde o momento for positivo, ou seja, que provoca tração na parte inferior da estrutura, a armadura principal será posicionada na parte de baixo e nos trechos onde o momento for negativo, provocando tração na parte superior, será o inverso (isso para o caso de vigas). A depender da forma como carregamento esteja atuando e, é claro, da configuração da viga e dos seus apoios, podemos ter em uma única viga, trechos de momento positivo e outros de momento negativo. Do mesmo modo, podemos ter vigas com predominância de momento positivo, quando biapoiadas, por exemplo. E podemos ter, também, vigas com predominância de momento negativo, como, por exemplo, as vigas em balanço, onde toda a tração está na parte superior.
  28. 28. 28Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Para desenhar o diagrama de momento fletor, iremos, primeiramente, definir os pontos onde serão calculados os momentos. Podemos chamar estes pontos ou secções de notáveis, e eles ocorrem onde há mudança, início e fim de carregamento e os apoios. Para exemplificar as etapas de construção do diagrama, utilizaremos a viga abaixo, que sofre dois tipos de carregamento distintos: um carregamento distribuído e outro pontual. Utilizando o conceito de pontos notáveis, destacamos os pontos 1 e 2 ao longo do vão e os apoios A e B. Definidos os pontos notáveis, deve-se conhecer o momento fletor em cada um desses pontos. No nosso exemplo, sabemos que o . Entretanto, ainda não se conhece os momentos nos pontos (1) e (2). Para encontrá-los, basta desenvolver todos os cálculos vistos anteriormente, definido as reações de apoio e o momento nos pontos através do método das secções. Fazendo isto, encontraremos que . Uma vez conhecidos os valores de momento fletor nos ponto notáveis, podemos desenhar o diagrama marcando estes valores, em escala, nos seus respectivos pontos. No nosso gráfico, a linha azul tracejada representa a projeção de cada um dos pontos notáveis e onde os valores serão marcados. A linha contínua preta simboliza o vão da nossa viga e onde valor de momento é zero; os valores são marcados, em escala, a partir desta linha.
  29. 29. 29Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco É importante entender, também, se o ponto referente ao valor do momento será marcado acima ou abaixo da reta que simboliza o vão da viga. Se o momento é positivo, ele está tracionando a parte inferior da viga, logo o ponto será marcado abaixo da viga. Em contra partida, se o momento é negativo, está tracionando as parte superior e o ponto deve ser marcado acima da reta. De maneira convencional, quando o momento for positivo, marca-se abaixo da linha; quando o momento for negativo, marca-se acima. Depois de marcados os pontos, os mesmos devem ser ligados por uma reta. Reparem que no trecho entre o apoio A e a secção (1) a linha que liga os dois pontos está tracejada. Isso por que nos trechos onde o carregamento é distribuído o diagrama assume o formato de uma parábola. Nos demais trechos, onde não se tem carregamento distribuído o diagrama é formado pelas retas que ligam os pontos, isto é, no trecho entre os pontos (1) e (2) e entre (2) e o apoio B. No desenho da parábola é necessário que seja calculado o valor da flecha. A flecha representa o afastamento perpendicular da parábola em relação à linha tracejada que liga os pontos e pode ser calculada com a expressão abaixo. Deste modo, no nosso exemplo, a flecha da parábola desenhada no trecho entre o apoio A e a secção (1) pode ser calculada assim:
  30. 30. 30Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco O diagrama de momento fletor final do nosso exemplo pode ser expresso conforme ilustrado na figura abaixo. Podemos, então, concluir que em toda a nossa viga o momento fletor é positivo, ou seja, traciono as fibras inferiores da peça, e que o momento máximo está situado em algum ponto entre o apoio A e a secção (1). O momento máximo e a secção exata onde ocorre este valor serão encontrados a partir do cálculo do diagrama de esforço cortante. Este artifício de cálculo é bastante eficiente quando não há um mecanismo gráfico preciso, como um programa de computador. 2.8. ESFORÇO CORTANTE Um elemento de construção submete-se a esforço cortante ou de cisalhamento, quando sofre a ação de uma força cortante, que tende a provocar o “corte” da peça. Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a área de secção transversal da peça. Quanto à simbologia, a força cortante pode ser representada pelas letras “Q” ou “V”.
  31. 31. 31Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco A convenção de sinais é diferente para o cortante e não tem relação com a tração de fibras inferiores ou superiores, mas sim com a direção do vetor de força cortante. Logo, pode-se convencionar da seguinte maneira: Diferente do diagrama de momento fletor, o somatório de forças cortantes à esquerda pode não ser igual ao somatório de forças cortantes à direita. 2.8.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Exercício: para a mesma a mesma viga utilizada no exemplo de momento fletor, calcular o esforço corante no ponto c. Como em todos os exemplos, o primeiro passo é calcular as reações nos apoios A e B, através do princípio de equilíbrio das forças visto anteriormente. Conhecidos estes valores, podemos calcular o cortante em qualquer ponto da viga. Como queremos o cortante apenas na secção C da viga, calcularemos o somatório de forças cortantes à esquerda e à direita da secção.
  32. 32. 32Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Assim, no ponto C o cortante tanto pela esquerda quanto pela direita foi igual a 25 kN. Dado esse conceito, podemos agora traçar o diagrama de esforço cortante. 2.9. DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (DEC) Assim como no momento fletor, o diagrama de esforço cortante fornece informações importantes e detalhadas sobre a variação do cisalhamento ou esforço cortante ao longo do eixo da peça. Nas vigas, o esforço cortante tem uma influência significativa sobre o cálculo das armaduras. O dimensionamento dos estribos é feito a partir dos valores de cortante encontrados, principalmente os valores máximos. Para desenhar o diagrama de esforço cortante, iremos utilizar a mesma viga do exemplo de momento fletor. Como agora estamos trabalhando com cortante, consideram-se apenas as forças que provocam cisalhamento ou corte na viga, que são as reações de apoio e as cargas solicitantes. Lembre-se que agora estamos trabalhando com forças cortantes e não com momento. Logo, não são necessárias as distâncias ou “braços de alavanca”, somente as forças resultantes. Os pontos notáveis selecionados para desenhar o diagrama de momento fletor serão os mesmo para o esforço cortante.
  33. 33. 33Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Conhecendo o cortante em todos os pontos notáveis, podemos marcá-los no diagrama do mesmo modo que é feito para o diagrama de momento fletor. Deve-se ficar atento ao sinal do cortante. Se ele for positivo, o valor deve ser marcado acima da linha preta que representa a viga, e se for negativo deve ser marcado abaixo. Note que na secção (2) da viga, o cortante foi de -11,3 kN para as forças à esquerda e de - 16,3 kN para as forças à direita, comprovando que nem sempre estes cortantes serão iguais vindo das duas direções. Em casos como este, onde o cortante é diferente, marcam-se os dois pontos na mesma secção. 2.10. CÁLCULO DO MOMENTO MÁXIMO E DO PONTO DE APLICAÇÃO Conhecer o valor do momento máximo e a secção exata onde o mesmo ocorre é uma tarefa difícil, quando não se utiliza recursos gráficos precisos. Traçar os diagramas à mão, sobretudo o DMF, não nos dar condições de conhecer os valores a partir da escala adotada. Entretanto, se utilizarmos um conceito importante, relacionando o diagrama de momento fletor com o esforço cortante, é possível encontrar o valor de momento máximo e a sua secção de ocorrência. Nos pontos ou secções onde o momento é máximo temos o cortante nulo ou zero. Logo, identificando os pontos no diagrama de esforço cortante onde o cortante é zero, podemos descobrir a localização da secção e a partir daí calcular o momento fletor máximo. Para exemplificar esse artifício, utilizaremos o mesmo exemplo que foi desenvolvido para o DMF e DEC. Assim, temos: Note que na secção (3) o cortante é zero (V=0) e o momento é máximo. Entretanto, não se conhece a distância “x” que determina a localização da secção (3). Como sabemos que na secção (3) o cortante é zero, temos: Descobriu-se, então, que a secção (3) está localizada a uma
  34. 34. 34Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco distância de, aproximadamente, 1,55 m do apoio A. Tendo esse dado, podemos utilizar o método das secções para calcular o momento na secção (3), que corresponde ao momento máximo. Calculando momento em (3) pela esquerda, ou seja, seccionando a viga no ponto (3) e considerando somente as forças que existem à esquerda, temos: Foi definido, então, que o momento máximo da viga é de 30 kN.m e ocorre a 1,55 m do apoio A. Deste modo, todas as informações relevantes ao comportamento do momento fletor e do esforço cortante ao longo do eixo da viga foram definidas. Podemos, então, assim representar os diagramas finais:
  35. 35. 35Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 2.11. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Utilizando o método do equilíbrio das forças, faça o que se pede: a) Calcular as reações nos apoios A e B. b) Desenhar os DMF e DEC. c) Determinar o momento máximo e a secção. 2) Identifique, para a figura da viga, a posição das secções de momentos extremos e calcule os seus valores. 3) Apresente os diagramas DMF e DEC para a viga descontínua, sujeita ao carregamento dados: 4) Apresente os diagramas DMF e DEC para a viga em balanço, sujeita ao carregamento dado: 5) Desenhar os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga abaixo: 6) Desenhar os diagramas de momento fletor e esforço cortante para a viga abaixo:
  36. 36. 36Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Características Geométricas das Superfícies Planas 3.1. CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES PLANAS É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no qual se concentra o centro de massa ou centro de gravidade. A localização do ponto dar-se-á através das coordenadas . Para simplificar a determinação do centro de gravidade, divide-se a superfície plana em superfícies geométricas cujo centro de gravidade é conhecido, tais como triângulos, retângulos, quadrados e círculos. Através da relação de somatório dos momentos estáticos dessa superfície e área total das mesmas, determinam-se coordenadas do centro de gravidade.
  37. 37. 37Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 3.1.1. TABELA DE CENTRO DE GRAVIDADE DE SUPERFÍCIES PLANAS
  38. 38. 38Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco
  39. 39. 39Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Ex.1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade do perfil “U” representado na figura a seguir. Solução: O 1º passo para encontrar o centro de gravidade de uma figura composta e dividi-la em superfícies planas conhecidas. No nosso exemplo, o perfil será divido em três (3) retângulos de áreas . Divididas as superfícies, podemos calcular para cada uma delas a área e as coordenadas x e y.
  40. 40. 40Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Aplica-se, então, a relação do somatório dos momentos estáticos das superfícies com a área total. Ex.2. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da área hachurada da figura a seguir, utilizando a subtração das áreas. Para resolver este problema, dividiremos a figura em um triângulo retângulo ABC e um ¼ de círculo.
  41. 41. 41Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Do mesmo modo que foi feito para o exemplo anterior, iremos encontrar a área e as coordenadas x e y de cada uma das figuras. Como estamos subtraindo duas áreas, os somatórios dos momentos estáticos e das áreas, na relação, devem estar subtraindo os valores.
  42. 42. 42Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 3.1.2. EXERÍCIOS PROPOSTOS Determine as coordenadas do centro de gravidade ou centro de massa das superfícies geométricas destacadas abaixo: a) b) c) d) e) f)
  43. 43. 43Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 3.2. MOMENTO DE INÉRCIA OU MOMENTO DE 2ª ORDEM O momento de inércia é uma característica das superfícies que está associada à inércia de rotação. Em outras palavras, “mede” a dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. No dimensionamento dos elementos de construção, o momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima, pois fornece valores numéricos, uma noção de resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da secção transversal de uma peça, maior será a resistência da peça ao giro ou à rotação. Em termos práticos, podemos explicar o posicionamento de secções transversais de elementos estruturais conhecidos através do momento de inércia. Por exemplo, as vigas (elementos estruturais responsáveis por transmitir o carregamento das lajes) têm a secção posicionada em “pé” e não “deitadas”. O momento de inércia da secção retangular (comum em vigas) disposta em “pé” é muito maior, o que diminui as tensões na flexão e a deformação. Para melhor entender este conceito, tente flexionar uma régua comum com a secção deitada e depois em pé. Percebe-se que é muito mais fácil dobrar ou flexionar a régua quando e mesma está deitada, isso por que o momento de inércia é menor. Os momentos de inércia de superfícies planas conhecidas, como retângulos, triângulos e círculos são conhecidos e expressos através de fórmulas que dependem apenas das dimensões da peça. 3.2.1. TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA, RAIO DE GIRAÇÃO DE MÓDULO DE RESISTÊNCIA
  44. 44. 44Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Os momentos de inércia representados na tabela são em torno dos eixos baricêntricos ou eixos que passam pelo centro de gravidade da peça. É comum encontrar em bibliografias o momento de inércia representado pelas letras “I” ou “J” (em maiúsculo). Logo, significa
  45. 45. 45Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco momento de inércia em torno do eixo x e significa momento de inércia em torno do eixo y. O valor final encontrado deve ser expresso em , etc. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS a) Determinar o momento de inércia relativo aos eixos baricêntricos x e y da secção retangular com as medidas representadas na figura ao lado. Solução Sabemos que o centroide de uma secção retangular se encontra na metade da sua base e da sua altura. Desta forma, temos: Para encontrar o valor de momento de inércia de uma secção conhecida, basta consultar a tabela de momento de inércia. Para superfícies retangulares, temos: Portanto, conhecendo a base e a altura , temos como calcular, por substituição direta de fórmula, o momento de inércia em ambas as direções. b) Determinar o momento de inércia relativo aos eixos baricêntricos x e y da secção triangular com as medidas representadas na figura ao lado. Solução
  46. 46. 46Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Sabendo que a base do triângulo é e a altura é , podemos utilizar a fórmula tabelada para momento de inércia em triângulos: 3.2.2. TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS OU TEOREMA DE STEINER Vimos, anteriormente, que o calculo do momento de inércia em superfícies conhecidas, a partir do plano baricêntrico, é muito simples. Conhecendo as medidas da secção, calcula-se facilmente por aplicação direta de fórmula o momento de inércia. Isso acontece por que o eixo de giração coincide com o eixo do centro de gravidade peça. Quando os eixos de giração e centro de gravidade não coincidem, aplica-se o teorema dos eixos paralelos ou a translação dos eixos. Este artifício é utilizado, por exemplo, quando precisamos calcular o momento de inércia de superfícies compostas – aquelas em que se divide em figuras geometricamente conhecidas para encontrar o centro de gravidade. Neste caso o centro de gravidade de cada superfície dividida pode não coincidir com o centro de gravidade da peça inteira. No teorema dos eixos paralelos, sejam x e y os eixos baricêntricos (que passam pelo CG) da superfície A. Para determinar o momento de inércia da superfície, em relação aos eixos u e v, paralelos a x e y, utilizam-se as seguintes expressões: Onde e são os momentos de inércia da superfície, “A” é área da superfície, “a” é a distância entre os eixos horizontais e “b” é a distância entre os eixos verticais. Para entendermos melhor o conceito de translação dos eixos, no exercício resolvido a seguir determinaremos o momento de inércia de uma secção composta.
  47. 47. 47Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco EXERCÍCIO RESOLVIDO Determinar o momento de inércia da secção “T” representada na figura, utilizando o teorema dos eixos paralelos. Solução O 1º passo é determinar o ponto do centro de gravidade (CG). Iremos, então, dividir a figura em dois retângulos de áreas e . Retângulo (1): Retângulo (2): O 2º passo a traçar todos os eixos que são conhecidos: 1) o eixo que passa pelo centro de gravidade da peça inteira; 2) o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo um; 3) o eixo que passa pelo centro de gravidade do retângulo dois.
  48. 48. 48Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Note que os eixos , e não coincidem, ou seja, estão distantes paralelamente um do outro. Já o eixo y passa igualmente por todos os pontos. Isso significa que o teorema dos eixos paralelos servirá apenas para calcular o momento de inércia em torno do eixo x, o . Para calcular o momento de inércia, é necessário conhecer a distância entre os eixos, ou seja, a distância entre e e a distância entre e , representadas, respectivamente, pelas letras “a” e “b”. Momento de Inércia em x: Momento de Inércia em y:
  49. 49. 49Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco No calculo do momento de inércia em torno de y, uma vez que os eixos se coincidem, não existe distância entre eles, anulando a parcela da equação ou , já que a e b é zero. Logo, basta somar o momento de inércia dos dois retângulos. 3.3. RAIO DE GIRAÇÃO O raio de giração de uma superfície plana em relação a um eixo de referência xy constitui- se numa distância particular entre a superfície e o eixo de referência. Para determinar o raio de giração da superfície, quando conhecido o seu momento de inércia, utilizam-se as seguintes expressões: Onde e são, respectivamente, o raio de giração em torno do eixo x e em torno do eixo y; e são os momentos de inércia e A é a área total da superfície. Como exemplo de aplicação do raio de giração, utilizaremos o mesmo exemplo do exercício resolvido anteriormente. Sendo assim, temos: Para calcular o raio de giração de uma superfície composta é necessário conhecer o momento de inércia. Em superfícies geométricas simples ou conhecidas o raio de giração pode ser encontrado na mesma tabela fornecida para o momento de inércia.
  50. 50. 50Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 3.4. MÓDULO DE RESISTÊNCIA Defini-se como módulo de resistência de uma superfície plana em relação aos eixos baricêntricos x e y a relação entre o momento de inércia e a distância máxima entre o eixo baricêntrico e a extremidade da superfície. Assim sendo, calcula-se o módulo de resistência, conhecendo o momento de inércia da peça, através das seguintes expressões: Onde e são, respectivamente, os módulos de resistência em torno de x e de y; e os momentos de inércia; e as distâncias máximas. No exemplo de cálculo do módulo de resistência também utilizaremos o a perfil “T” trabalho anteriormente. Primeiro, vamos definir o conceito das distâncias máximas e . Por definição, são as maiores distâncias entre os eixos que passam pelo centro de gravidade (eixos baricêntricos) e as extremidades da seção, conforme demonstrado na figura abaixo:
  51. 51. 51Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Note que no nosso exemplo o eixo y está exatamente na metade da seção, o que significa que a distância do eixo y para a extremidade da direita e para a da esquerda serão iguais. Logo: Já em relação ao eixo x não há simetria, ou seja, a distância entre o eixo x do centro de gravidade e a face inferior da peça é menor do que a distancia entre o mesmo eixo e a face superior. Logo, neste caso, o é a maior distância: Conhecendo os valore de e , pode-se, então, calcular o módulo de resistência da peça aplicando os valores à expressão. 3.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determinar o momento de inércia, raio de giração, módulo de resistência relativos aos eixos baricêntricos (x; y) nos perfis dados: Unidade: mm a) b)
  52. 52. 52Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Tensões Normais (tração e compressão) 4.1. FORÇA NORMAL OU AXIAL Nas construções, as peças ou componentes da estrutura estão sujeitas a diversas formas de ações (forças existentes, como peso próprio, ação do vento, etc.). Duas das principais formas de carregamento são conhecidas como cargas axiais ou normas, e são representadas pela compressão e pela tração. Defini-se como força normal ou axial aquela que atua perpendicular a área da secção transversal da peça. Em outras palavras, o vetor força atua normal a superfície, ou seja, forma um ângulo de 90º. As forças normais podem tender a “puxar” a peça ou “comprimir”, gerando esforços de tração ou compressão, respectivamente. O conceito sobre estas formas de carregamento já foi visto no capítulo 01 deste módulo. 4.2. TENSÃO NORMAL ( ) No estudo da resistência dos materiais, é importante entender a diferença entre tensão e força. Força é uma grandeza vetorial que determina intensidade, direção e sentido. Tensão é a atuação desta força sobre uma superfície. Portanto, a força normal ou axial F que atua na peça gera uma tensão normal que é determinada através da relação entre a intensidade da força aplicada e a área da secção transversal da peça.
  53. 53. 53Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Podemos, então, escrever como tensão normal: Onde é a tensão normal, F é a força normal ou axial aplicada e A é área da aplicação. A unidade de tensão no sistema internacional (SI) é o pascal. Uma força de 1 N (Newton) aplicada sobre uma área de 1 m² gera uma tensão normal de 1 Pa (Pascal). O Pascal ainda tem algumas variantes comumente encontradas nas tensões. É comum encontrarmos informações como “a resistência do concreto é de 30 MPa” ou então “o módulo de elasticidade do aço é de 210 GPa”. Os prefixos “Kilo”, “Mega” e “Giga” são muito importantes para entender a intensidade da tensão aplicada. Assim, temos:  Kilo pascal (KPa) =  Mega pascal (MPa) =  Giga pascal (GPa) = Logo, se a resistência à compressão de um concreto qualquer é de 30 MPa, significa que ele irá resistir a uma tensão de compressão de ou . EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma força axial de 40 kN é aplicada a um bloco de madeira de pequena altura, que se apoia em uma base de concreto que repousa sobre o solo. Determine: a) A máxima tensão de esmagamento na base de concreto b) As dimensões da base de concreto para que a tensão no solo seja de 145 kPa
  54. 54. 54Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Solução: a) Sabemos que tensão é a relação entre a força e a área da aplicação. Logo: Note que a unidade de força foi transformada de kN para N e a área de mm² para m². Desta maneira, o resultado da nossa tensão será dado sempre em pascal (Pa). b) Para calcular as dimensões da base de concreto, precisamos conhecer a área. Logo, Como a base de concreto é quadrada, temos: 4.3. LEI DE HOOKE Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no ano de 1678, constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área da secção transversal inicial. Em outras palavras, um material submetido a cargas axiais tendem a sofrer deformações de alongamento (tração) ou achatamento (compressão). Hooke descobriu, ainda, que essas deformações podem ser mais ou menos acentuadas quando é levado em consideração o material. Isso significa que um material pode sofrer deformações com mais facilidade do que outros. Essa característica é dada pelo módulo de elasticidade (E), que é definida como a rigidez ou a capacidade que o material tem de sofrer deformações.
  55. 55. 55Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Ao fenômeno da deformação linear, Hooke denominou de alongamento ( , constatando que quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o alongamento, e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material, medido através do seu módulo de elasticidade, menor alongamento. Logo, o alongamento é definido pela seguinte expressão: Onde é o alongamento, é a tensão aplicada, é o comprimento inicial (antes de iniciar o carregamento) e E é o módulo de elasticidade do material. O módulo de elasticidade ou rigidez é uma característica conhecida para vários materiais. A tabela abaixo indica valores de características elásticas para diversos materiais usados nas mais diversas atividades:
  56. 56. 56Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco EXERCÍCIO RESOLVIDO A barra circular representada na figura é de aço e possui diâmetro d = 20 mm e comprimento linear l = 0,8 m. Encontra-se submetida à ação de uma carga axial de 7,2 kN. Determine para a barra: a) A tensão normal atuante b) O alongamento Solução a) Área da secção transversal da peça Cálculo da tensão de tração b) Lei de Hooke 4.4. COEFICIENTE DE SEGURANÇA (K) O coeficiente ou fator de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de construção, visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção e seu custo. O projetista poderá obter o coeficiente em normas ou determiná-los pode meio de parâmetros. A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a possibilidade de ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a um projeto antieconômico. É necessário que cada situação de projeto seja analisada particularmente, de modo que todos os aspectos ou parâmetros de utilização sejam levados em consideração. Isso significa que o coeficiente de segurança adotado precisa está em conformidade com as condições em que a peça ou a estrutura será imposta. Em alguns casos, como no dimensionamento de estruturas de
  57. 57. 57Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco concreto, utiliza-se um fator de segurança de 1,4 para majorar os valores de carregamento, também chamado de carregamento de projeto. Consideração de alguns fatores que influenciam na escolha do coeficiente de segurança:  Modificações que ocorrem nas propriedades dos materiais;  O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida útil da estrutura ou máquina;  O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente;  O modo de ruptura que pode ocorrer;  Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por causas naturais imprevisíveis;  Falhas de fabricação ou montagem da pela ou estrutura. Nos tópicos a seguir iremos abordar os parâmetros considerados para calcular um coeficiente de segurança, obedecendo a uma determinada situação. 4.4.1. CARGA ESTÁTICA OU PERMANENTE A carga é aplicada na peça e permanece constante, ou seja, inalterada com o decorrer do tempo. O gráfico abaixo mostra o comportamento da carga estática, que é crescente até atingir o ponto máximo, e a partir de então segue constante. Ex.: um parafuso prendendo uma luminária; uma corrente suportando um lustre. 4.1.2. CARGA INTERMITENTE A carga é aplicada gradativamente na peça até que atinja o máximo, utilizando para isso um determinado intervalo de tempo. Depois de atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo de tempo até atingir o zero. E assim sucessivamente. Ex.: dente de uma engrenagem.
  58. 58. 58Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 4.3.2. CARGA ALTERNADA Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia ao máximo positivo para o máximo negativo ou vice-versa. Em outras palavras, ora a peça sofre compressão, ora sofre tração, constituindo-se na pior situação para o material. Ex.: eixos, molas, amortecedores, etc. Para calcular o coeficiente de segurança (k) em função dos parâmetros apresentados e outros mais, deverá utilizada a expressão a seguir: Onde:
  59. 59. 59Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Para entendermos o cálculo do coeficiente de segurança, imaginemos, então, uma situação em que se pretende fabricar um tirante de aço que irá suportar uma carga constante de tração, aplicada gradualmente quando ao final da montagem. Logo, utilizando os parâmetros, temos: É importante frisar que o fator de segurança, como o próprio nome indica, é um coeficiente e, portanto, não possui unidade de medida. É um valor adimensional. 4.5. TENSÃO ADMISSÍVEL (σadm) A capacidade de segurança de uma estrutura está associada à capacidade de resistência do material em todos os pontos da estrutura. Um dos critérios para verificação da segurança e estabilidade de uma estrutura ou peça é a comparação da tensão solicitante (provocada pelo esforço) em qualquer ponto com a tensão admissível do material, que representa a capacidade que o material tem para resistir às tensões. A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas circunstâncias apresentadas. O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estruturais ou mecânicos deve restringir a tensão do material a um nível seguro. Definindo de outra maneira, a tensão admissível é a tensão máxima ou segura que a peça pode ser submetida sem acarretar em danos ou colapso. O calculo da tensão admissível é muito simples, mas pode variar de acordo com o tipo de material que compõe a peça. Os materiais são classificados em dois grupos: frágeis e dúcteis. Material dúctil: o material é classificado como dúctil, quando submetido a ensaio de tração, apresenta deformação plástica, precedida por uma deformação elástica, para atingir o rompimento. No regime elástico, o material se deforma, mas retorna ao estado original quando cessada a solicitação. No regime plástico a deformação é permanente, ou seja, o material não retoma o tamanho original quando interrompido o carregamento. A tensão que determina o limite entre o regime elástico e o regime plástico é conhecida como tensão de escoamento ( ). Por exemplo, a tensão de escoamento de um determinado aço é de 250 MPa, o que significa que nesta tensão o material atinge o regime plástico – situação
  60. 60. 60Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco que não deve acontecer e irá prejudicar a estabilidade e a segurança da peça, devido às grandes deformações. Exemplos de materiais dúcteis são: o aço, o cobre, o alumínio, o cobre e a maioria das ligas metálicas. A tensão admissível é determinada através da relação entre a (tensão de escoamento) e o coeficiente de segurança (k) para os materiais dúcteis. Material frágil: o material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de tração não apresenta deformação plástica, passando do regime elástico para o rompimento. A tensão que determina o limite entre a deformação elástica e o rompimento é conhecida como tensão de ruptura à tração ( ). Por exemplo, a tensão de ruptura a tração de um determinado concreto é de 3 MPa, o que significa que nesta tensão de tração ocorre o rompimento da peça. Exemplos de materiais frágeis são: o concreto, o vidro, a cerâmica, o gesso, etc. A tensão admissível é determinada através da relação entre a (tensão de ruptura à tração ou à compressão) e o coeficiente de segurança (k) para os materiais frágeis. EXERCÍCIO RESOLVIDO Encontre as dimensões da secção transversal do perfil metálico representada na figura, sabendo que a relação entre as medidas é l = 3h, de modo que ela suporte com segurança k ≥ 2 uma carga axial de tração de 20 kN. Considere uma tensão de escoamento 280 MPa. Solução O dimensionamento da secção é feito com base na tensão admissível estabelecida para a peça. Logo, temos:
  61. 61. 61Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Podemos, então, relacionar a força de tração que atua na peça e área da secção à tensão admissível calculada: Sabendo que a área da secção transversal da peça é retangular e que a relação entre a largura e altura é de l = 3.h, temos: Logo, concluímos que, para suportar uma tensão de tração de 20 kN, obedecendo uma tensão máxima ou segura de 140 MPa, o perfil precisa ter uma largura mínima de 21 cm e altura mínima de 7 cm. Já que foram encontradas dimensões mínimas, podem-se utilizar valores que facilitem a fabricação da peça, como múltiplos de cinco. Deste modo, podemos estabelecer redimensionar a secção para 25 x 10 [cm]. 4.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) A barra rígida de aço mostrada na figura terá que suportar uma carga de tração “P”. Sabendo que a barra tem secção transversal quadrada e de área igual a 4 cm² e que a tensão de escoamento do aço , determine a maior carga “P” que pode ser aplicada à barra. Aplicar k = 2,0. Para a carga máxima encontrada, qual é o alongamento esperado para a peça, sabendo que o comprimento inicial da peça é de 2 m? Aplica Eaço = 210 GPa 2) Dimensionar o diâmetro da barra metálica de secção circular, para que suporte com segurança k ≥ 2 a carga axial de 17 kN. O material da barra é o aço ABNT 1020L com tensão de escoamento σesc = 280 MPa.
  62. 62. 62Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 3) O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fino como mostrado na figura abaixo. Se a haste passa por um furo de 40 mm de diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido à haste para suportar a carga de 20 kN. A tensão admissível da haste é σadm = 60 MPa. 4) Uma barra de alumínio possui secção transversal quadrada com 60 mm de lado e, o seu comprimento é de 0,8 m. A carga axial aplicada na barra é de 36 kN. Determinar a tensão normal atuante na barra e o seu alongamento.
  63. 63. 63Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco TENSÕES DE FLEXÃO 5.1. INTRODUÇÃO O esforço de flexão se configura na peça, quando esta sofre ação de cargas cortantes, ou seja, cargas que atuam perpendiculares ao trecho longitudinal da peça, gerando momento fletor significativo. Perceba que a carga cortante Q provoca a flexão do corpo da viga mostrada na figura acima. Isso ocorre porque no momento em que a carga Q é aplicada, os apoios reagem “empurrando” as extremidades para cima, como podemos ver em R1 e R2. Como já foi abordada anteriormente, a força interna que configura a intensidade da flexão é o momento fletor M. A maioria das peças longitudinais, como vigas e eixos, pode sofrer ao mesmo tempo cortante e momento ou apenas momento, a depender do trecho analisado. Logo, podemos classificar a flexão como pura ou simples. 5.2. FLEXÃO PURA A flexão pura ocorre na peça submetida à flexão quando apresenta um ou mais trechos em que atua somente o momento fletor – sem esforço cortante. No exemplo abaixo, o intervalo compreendido entre as secções C e D a força cortante é nula e o momento fletor é constante. Neste trecho existe somente momento fletor, logo a flexão é pura.
  64. 64. 64Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 5.3. FLEXÃO SIMPLES A flexão é denominada de simples quando existirem trechos da peça submetidos à ação da força cortante e momento fletor simultaneamente. No exemplo, os trechos de flexão simples são AC e DB. 5.4. TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO Quando se fala em esforços de flexão, a primeira força que vem à tona é o momento fletor. Entretanto, o movimento de flexão de uma peça pode provocar em sua estrutura esforços de normais de compressão e tração. Suponha-se que a figura abaixo seja uma viga com secção transversal retangular, que se encontra submetida à flexão positiva pela ação de cargas cortantes. No momento da flexão, as fibras superiores da viga se contraem, formando uma zona de compressão, e as fibras inferiores
  65. 65. 65Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco se esticam, formando uma zona de tração. Estas zonas são delimitadas pela linha neutra, que divide a secção ao meio. Se analisarmos o comportamento da uma secção qualquer da viga, temos que quanto mais afastada da linha neutra for a fibra, maiores serão as tensões de compressão e tração na flexão. Isso significa que na linha neutra a tensão de compressão e a tensão de tração são nulas, e à medida que for se afastando da linha neutra estas tensões vão aumentando até se tornarem máximas nas extremidades da secção. O cálculo das tensões máximas de compressão e tração na flexão é extremamente importante para prever o comportamento da peça e melhor dimensioná-la. Podemos encontrar estes valore através da seguinte expressão: Nas expressões: M é o momento fletor na secção estudada; x e y são, respectivamente, as distâncias entre a linha neutra e a face superior e entre a linha neutra e a face inferior (ver figura acima); J é o momento de inércia da secção. EXERCÍCIO RESOLVIDO Determinar as tensões máximas de compressão e tração na flexão das secções transversais indicadas na figura ao lado, sabendo que o momento em x atuante é de 20 kN.m.
  66. 66. 66Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Solução Conhecendo as medidas da secção, podemos, inicialmente, calcular o momento de inércia em x de cada uma. No nosso exemplo, as tensões de compressão e tração serão iguais, uma vez que as medidas de x e y também são iguais – metade da altura de cada uma das secções. Note que as tensões são maiores na segunda secção 40x15 [cm], isso por que o momento de inércia é menor e ambos são inversamente proporcionais – diminuindo o momento de inércia, aumentam-se as tensões. 5.5. DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO O dimensionamento de peças submetidas à flexão consiste em definir as dimensões de secção transversal, utilizando o momento fletor máximo solicitante na peça. A tensão máxima ou admissível será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada ou externa, não importando se está tracionando ou comprimindo.
  67. 67. 67Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco A expressão utilizada para calcular as dimensões da peça é a mesma utilizada para encontrar as tensões de compressão e tração na flexão. A mudança está no momento fletor M, pois deve se adotado o momento máximo Mmáx. Onde: é a tensão admissível; é o momento máximo solicitante na peça; é a maior distância entre a linha neutra (passa pelo centroide da secção) e a fibra mais externa; é momento de inércia, que pode ser em x ou em y. EXERCÍCIO RESOLVIDO Dimensionar a viga de madeira abaixo de modo que possa suportar o carregamento representado na figura. Utilizar e (a altura é, aproximadamente, três vezes a base). Solução O 1º passo para resolver o problema é encontrar o momento máximo atuante na viga. No exemplo, este valor para um carregamento uniformemente distribuído de 25 kN/m é de Mmáx = 50 kN.m. Definido o momento máximo, utilizamos a expressão de tensão admissível para encontrar o momento de inércia da secção, fazendo apenas uma substituição de valores.
  68. 68. 68Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco O momento de inércia de uma secção transversal retangular é calculado por . Logo, podemos calcular as dimensões da peça igualando a expressão ao momento de inércia encontrado anteriormente. Podemos, então, concluir que as dimensões mínimas para a secção transversal da peça é de 12x36 [cm]. Como estas medidas são mínimas, é permitido arredondar para valores mais comuns, com a finalidade de facilitar a confecção da peça – 15x40 [cm], por exemplo. 5.6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Dimensionar a viga de madeira que deverá suportar o carregamento representado na figura. Utilizar e . 2) Dimensionar o eixo para que suporte com segurança k = 2 o carregamento representado. O material utilizado é o ABNT 1020 com . 3) Determinar a tensão normal máxima que atua na viga de secção transversal retangular 6x16 [cm] que suporta o carregamento da figura. 4) Determinar a tensão normal máxima que atua na viga de perfil “I”, com altura de 32 cm, que suporta o carregamento da figura.
  69. 69. 69Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco Tensões de Cisalhamento Puro 6.1. INTRODUÇÃO Um elemento qualquer submete-se a esforço de cisalhamento quando sofre a ação de uma força cortante. Como vimos no capítulo anterior, além de provocar o cisalhamento, a força cortante dá origem também a um momento fletor, que por ser de baixíssima intensidade (quase nulo), será desprezado neste capítulo. 6.2. FORÇA CORTANTE (Q) A força cortante, como o próprio nome sugere, é a carga que atua tangencialmente sobre área de secção transversal da peça.
  70. 70. 70Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 6.3. TENSÃO CISALHAMENTO ( ) A tensão de cisalhamento é o resultado da ação de uma carga cortante sobre a área da secção transversal da peça, que é definida através da relação entre a intensidade da carga aplicada e a área da secção transversal da peça sujeita a cisalhamento. Se houver uma situação em que mais de um elemento está submetido a cisalhamento, utiliza-se o somatório das áreas das secções transversais para o dimensionamento. Se os elementos possuírem a mesma área de secção transversal, basta multiplicar a área de secção transversal pelo número de elementos (n). Temos, então: Onde: Q é a força cortante; A é a área da secção transversal da peça; n é o número de elementos submetidos a cisalhamento. Exercício Resolvido Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura. Solução A tensão de cisalhamento atuante no plano A é definida pela componente horizontal da força (Fx) de 300 kN. Calculada a componente horizontal da carga cortante, podemos calcular a tensão de cisalhamento.
  71. 71. 71Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco 6.4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) O conjunto representado na figura é formado por: (1) parafuso sextavado M12; (2) garfo com haste de espessura 6 mm; (3) arruela de pressão; (4) chapa de aço ABNT 1020 espessura 8 mm; (5) porca M12. A carga cortante Q que atua no conjunto é de 6 kN. Determine a tensão de cisalhamento atuante. 2) Duas chapas de aço são unidas por uma junta de 5 rebites, com diâmetro d = 17,4 mm, que suportam uma carga de cisalhamento de 125 kN. Determine a tensão de cisalhamento atuante nos rebites.
  72. 72. 72Módulo de Resistência e Estabilidade Prof. Engº Daniel Gomes Pacheco REFERÊNCIAS MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 11. ed. São Paulo: Érica, 2000. 360 p. BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 793 p. HIBBELER, R. C.. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Education - Br, 2004. 688 p. BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; DEWOLF, John T.. Resistência dos Materiais. 4. ed. São Paulo: Mcgraw-hill Interamericana, 2006. 808 p. ASSAN, Aloisio Ernesto. Resistência dos Materiais. São Paulo: Unicamp, 2010. 447 p.

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