Este documento discute as tensões e deformações em barras elásticas submetidas à flexão. Ele apresenta as fórmulas para calcular a tensão máxima, a tensão em qualquer ponto e a curvatura da barra. Também aborda como essas fórmulas se aplicam a barras compostas por vários materiais, com diferentes módulos de elasticidade.

1. TENSÕES E
DEFORMAÇÕES NO
REGIME ELÁSTICO
Considerando-se o regime elástico:
y
σx = E εx (10) ε x = − ε m (9)
c
y y
σ x = E ε x = − (E ε m ) ⇒ σ x = − (σ m ) (11)
c c
No regime elástico a tensão normal varia linearmente
com a distância à superfície neutra.

2. Deve-se agora determinar a posição da linha neutra e o
valor máximo da tensão normal σ m .
Substituindo-se a Eq. (11) em (1):
y
∫ σ dA = 0
x (1) σ x = − (σ m ) (11)
c
 y  σm
∫ σ x dA = ∫  − c σ m  dA = − c ∫ y dA = 0
 
Da última igualdade é deduzida: ∫ y dA = 0 (12)
Essa equação mostra que o momento estático da área
da seção transversal em relação a linha neutra é zero.
Para barras submetidas à flexão pura, a linha neutra
passa pelo centro geométrico da seção, enquanto as
tensões permanecem em regime elástico.

3. Lembrando da equação (3), que foi
deduzida para um eixo arbitrário z,
∫ (− y σ x )dA = M (3)
e adotando que o eixo arbitrário z
coincide com a linha neutra da
seção transversal, substitui-se nessa
equação o valor de σ x dado por
y
σ x = − (σ m ) (11)
c
assim:  y 
∫ (− y) - c σ m  dA = M
 
σm
c ∫
y 2 dA = M (13)

4. σm
c ∫
y 2 dA = M (13)
A integral da expressão anterior
representa o momento de inércia I da
seção transversal em relação à linha
neutra.
Com isso, pode-se determinar o valor
da tensão máxima através da
expressão:
Mc
σm = (14)
I
Para determinar o valor da tensão σ x a uma distância y
da linha neutra, basta substituir σ m na Eq. (14) em (11):
My y
σx = − (15) σ x = − (σ m ) (11)
I c

5. Mc My
σm = (14) σx = − (15)
I I
As equações (14) e (15) são
conhecidas como fórmulas da flexão
em regime elástico , e a tensão normal
σ x , provocada quando a barra se
flexiona, é chamada tensão de flexão.
flexão
Pode-se ver que a tensão é de
compressão acima do eixo neutro ( σ m
< 0 e y > 0), quando M > 0.
A relação I/c é chamada módulo resistente ou momento
resistente e é expressa por W. Desse modo a equação
(14) pode ser reescrita na forma:
M
σm = (16)
W

6. A deformação da barra submetida à flexão é medida
pela curvatura da superfície neutra.
A curvatura é definida como o inverso do raio de
curvatura ρ, e pode ser calculada resolvendo-se a
equação abaixo em termos de 1/ ρ:
c 1 εm
εm = ⇒ =
ρ ρ c
σm
Mas, em regime elástico, tem-se:ε m =
E
1 σm 1 Mc
E ainda: = =
ρ Ec Ec I Mc
σm = (14)
1 M I
= (17)
ρ EI

7. DEFORMAÇÕES EM UMA
SEÇÃO TRANSVERSAL
Observa-se que uma seção transversal se mantém
plana, em uma barra sujeita a flexão pura, porém, não
se exclui a possibilidade de ocorrerem deformações
dentro do plano da seção.
Tais deformações realmente existem e podem se
determinadas a partir de ε x empregando-se o coeficiente
de Poisson.
−y
εy = - ν εx ∴ εz = - ν εx εx = (8)
ρ
νy νy (18)
εy = ∴ εz =
ρ ρ

8. FLEXÃO DE BARRAS
CONSTITUÍDAS POR VÁRIOS
As MATERIAIS
deduções feitas até aqui se baseiam na hipótese de
material homogêneo com um certo módulo de
elasticidade.
Se a barra submetida a flexão pura é constituída de dois
ou mais materiais, com diferentes módulos de
elasticidade, o enfoque para a determinação das
tensões na barra deve ser modificado.
Considere, por exemplo, uma barra constituída de duas
partes de materiais diferentes:
M
M

9. A barra composta vai se deformar
como foi descrito anteriormente para
a barra homogênea feita de um único
material.
A seção transversal se mantém a
mesma em toda a extensão da peça,
e uma vez que não foi adotada
nenhuma condição que envolvesse a
relação tensão-deformação é válida a
expressão:
−y
εx = (8)
ρ
De qualquer modo, não podemos assumir que a linha
neutra passa pelo centróide da seção transversal, e um
dos objetivos da presente análise será a determinação
da localização desta linha.

10. As expressões para a determinação das tensões em
cada material serão diferentes:
E1 y
σ1x = E1 ε x = −
ρ
(19)
E2y
σ2x = E 2 ε x = −
ρ
Com estas expressões é obtida uma distribuição de
tensões que leva a um diagrama que consiste em dois
segmentos retilíneos:
εx Y Y
1 σ 1x
L.N.
2 σ 2x

11. Uma força dF 1 exercida sobre um elemento de área dA
da parte superior da seção transversal é definido por:
E1 y
dF1 = σ1x dA = − dA (20) 1
ρ
Por sua vez, uma força dF 2 exercida
2
sobre um elemento de área dA da parte
inferior da seção transversal é:
E2y
dF2 = σ 2 x dA = − dA (21)
ρ
Chamando de n a relação E 2 /E 1 entre os módulos de
elasticidade, pode-se expressar dF 2 como:
E2y (nE1 ) y E1 y
dF2 = − dA = − dA = − (ndA ) (22)
ρ ρ ρ

12. Comparando-se as equações (20) e (22), pode-se
observar que a força dF 2 que se exerce no material na
parte inferior da barra vai se exercer em um área em
uma área de valor n dA do primeiro material.
E1 y E1 y
dF1 = − dA (20) dF2 = − (ndA ) (22)
ρ ρ
Em outras palavras, a resistência à flexão permanece a
mesma se ambas as partes forem feitas do primeiro
material, desde que a largura de cada elemento da parte
inferior seja multiplicado pelo fator n.
Deve-se observar que o alargamento (se n > 1) ou
estreitamento (se n < 0), deve ser efetuado em uma
direção paralela à linha neutra da seção transversal,
pois é essencial que a distância y de cada elemento à
linha permaneça a mesma.

13. Assim, para uma viga composta de dois materiais:
parte
posta original
seção = L.N.
dA n dA
b n b
seção
My
σx = − (15)
I
onde y é a distância à superfície neutra e I é o momento
de inércia da seção transformada em relação ao seu
centróide.