polígrafo

1. PROVAS DE TEOREMAS ENVOLVENDO
CONJUNTOS
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Tipos de Provas e M´etodo
PROVANDO ⊆
Para provar A ⊆ B, deve-se usar a defini¸c˜ao de subconjunto:
A ⊆ B ≡ ∀x(x ∈ A → x ∈ B)
Assim, ´e necess´ario lan¸car como hip´otese x ∈ A e fazer uma prova direta da
implica¸c˜ao x ∈ A → x ∈ B.
PROVANDO IGUALDADE
Como a igualdade de dois conjuntos, pela propriedade anti-sim´etrica, pode
ser expressa usando a rela¸c˜ao de continˆencia,
A = B ≡ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Fazemos duas provas separadas para provar a conjun¸c˜ao, A ⊆ B e B ⊆ A,
usando a t´ecnica apresentada acima.
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2. 2 Exemplos de Provas
• Provar que (A ∪ B) = A ∩ B
1a
parte da prova: Provar (A ∪ B) ⊆ A ∩ B , ou seja, provar
∀x((x ∈ (A ∪ B) ) → (x ∈ (A ∩ B )))
Prova:
1. x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ A ∪ B ≡ ¬(x ∈ A ∪ B) [def. do complemento]
2. ¬(x ∈ A ∪ B) ⇒ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) [def. de uni˜ao]
3. ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B [prop. da nega¸c˜ao da disjun¸c˜ao
¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q]
4. x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B [def. do complemento]
5. x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ (A ∩ B ) [def. da interse¸c˜ao]
6. Est´a provada a 1a
parte
2a
parte da prova: Provar A ∩ B ⊆ (A ∪ B) , ou seja, provar
∀x((x ∈ (A ∩ B )) → (x ∈ (A ∪ B) ))
Prova:
1. x ∈ (A ∩ B ) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B [def. da interse¸c˜ao]
2. x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ≡ ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) [def. do
complemento]
3. ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) ⇒ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) [prop. da nega¸c˜ao da
disjun¸c˜ao ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q]
4. ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇒ ¬(x ∈ A ∪ B) ≡ x ∈ (A ∪ B) [def. da uni˜ao]
5. x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ (A ∪ B) [def. do complemento]
6. Est´a provada a 2a
parte
Logo, est´a provado o enunciado, ou seja,
(A ∪ B) = A ∩ B
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3. • Provar que A ∩ (B − A) = ∅
1a
parte da prova: Provar A ∩ (B − A) ⊆ ∅, ou seja, provar
∀x(x ∈ (A ∩ (B − A)) → x ∈ ∅)
Prova:
1. x ∈ (A ∩ (B − A)) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B − A) [prop. da interse¸c˜ao]
2. x ∈ A ∧ x ∈ (B − A) ⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ A) [def. da diferen¸ca]
3. x ∈ A∧(x ∈ B ∧x ∈ A) ⇒ (x ∈ A∧x ∈ A)∧x ∈ B [prop. comutativa
e associativa da conjun¸c˜ao]
4. (x ∈ A ∧ x ∈ A) ∧ x ∈ B ⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ A ) ∧ x ∈ B [def. do
complemento]
5. (x ∈ A ∧ x ∈ A ) ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ (A ∩ A ) ∧ x ∈ B [def. da interse¸c˜ao]
6. x ∈ (A ∩ A ) ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ ∅ ∧ x ∈ B [prop. da interse¸c˜ao]
7. x ∈ ∅ ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ (∅ ∩ B) [def. da interse¸c˜ao]
8. x ∈ (∅ ∩ B) ⇒ x ∈ ∅ [prop. do elemento absorvente]
9. Assim, est´a provada a 1a
parte
2a
parte da prova: Provar ∅ ⊆ A∩(B −A). Esta afirma¸c˜ao ´e trivialmente
verdadeira, pela propriedade ∅ ⊆ A, para qualquer conjunto A. Assim, est´a
provada a 2a
parte.
Logo, est´a provado o enunciado, ou seja,
A ∩ (B − A) = ∅
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