Monografia Adriana Matemática 2007

2.740 visualizações

Publicada em

Matemática 2007

  • Seja o primeiro a comentar

Monografia Adriana Matemática 2007

  1. 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICAA UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS CONCRETOS NO ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA Por: Adriana Oliveira P. de Carvalho Senhor do Bonfim – Bahia. 2007
  2. 2. Adriana Oliveira P. de Carvalho A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS CONCRETOS NO ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Departamento de Educação – Campus VII da Universidade do Estado da Bahia, como parte das exigências da disciplina Monografia.CONCEITO: _____________________________________________________ BANCA AVALIADORAProf. (a) 1: ________________________________Prof. (a) 2: ________________________________Prof. (a) 3: ________________________________ Orientador: _________________________________ Profº. Geraldo Caetano de Souza Filho Senhor do Bonfim – Bahia 2007
  3. 3. Aos meus Pais a quem amo muito, e sempre estiveram ao meu lado, pelo incentivoconstante na minha formação humana.A minha madrinha Maria Ley, que não se encontra mais presente em nosso meio, pelainsistência para que eu fizesse o curso e que muito me ajudou na vida.A minha filhinha Layla Daniele: minha fonte de inspiração.Às minhas amigas Alcione Soares, Elisângela Soares, Fátima Soares e SandraGonçalves, minha admiração e carinho.Às minhas amigas Aloysia Unfried e Maria Aparecida pelo companheirismo durantetodo o curso.Ao professor Geraldo Caetano o qual eu admiro muito.À professora Fabíola que não faz mais parte do grupo de professores do Campus VII,minha admiração e carinho.
  4. 4. A Deus, pelas oportunidades e forças que me deu, as quais me permitiram chegar atéaqui.Ao professor Geraldo Caetano, pela paciência e palavras de incentivo durante todo otempo de realização deste trabalho.Aos professores do curso de Matemática desta Universidade, pelo incentivo em minhaformação acadêmica.À professora Márcia do Colégio Estadual e os alunos da turma do 3º ano A que muitome ajudaram na realização desta pesquisa.Aos professores Wagner Ferreira e Maria Celeste, que gentilmente aceitaram fazerparte da banca examinadora.Às colegas Valéria Ribeiro, Sayonara Vanessa, Adriana Miranda e Maria Lúcia pelaajuda que me proporcionaram.Enfim, a todos que contribuíram direta e indiretamente para a realização destetrabalho.
  5. 5. “Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, quenão possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundoreal”. Lobachevsky
  6. 6. RESUMO A presente monografia intitulada: A Utilização de Materiais Concretos noEstudo de Análise Combinatória aborda questões relacionadas à educação, oprofessor e suas práticas pedagógicas, e o processo de ensino e aprendizagem emmatemática, enfatizando a importância da utilização de materiais concretos noensino da matemática e, em particular, no conteúdo de Análise Combinatória. Amesma teve como objetivo principal identificar o significado que os educandosatribuem à matemática quando esta é utilizada em situações que vivenciamos nodia-a-dia. A fim de alcançar tal objetivo foi realizada uma pesquisa com estudantesda 3ª série do Ensino Médio do Colégio Estadual de Andorinha, cujo resultadomostra a necessidade de uma proposta de educação para com a disciplina dematemática voltada para a compreensão de que o conhecimento é resultado de umaconstrução sistemática, onde o aluno interage com o meio, transformando suasações e relações, e os mesmos são capazes de resolver com maior facilidadesituações-problema as quais requerem conhecimentos próprios, não sendonecessária a aplicação direta de fórmulas.
  7. 7. SUMMARY The present intitled monograph: The Use of Concrete Materials in the Study ofCombinatória Analysis approaches questions related to the education, thepedagogical practical professor and its, and the process of education and learning inmathematics, emphasizing the importance of the use of concrete materials in theeducation of the mathematics and, in particular, the content of CombinatóriaAnalysis. The same one had as objective main to identify the meaning that theeducandos attribute to the mathematics when this it is used in situations that we livedeeply in day-by-day. In order to reach such objective was carried through researchwith students of 3ª series of Ensino Average of College State of Swallow, whoseresulted it shows the necessity of a proposal of mathematical education come backtoward the understanding of that the knowledge of this disciplines is resulted of asystematic construction, where the pupil interacts with the way, transforming itsaction and relations, and the same ones are capable to decide with bigger easinesssituation-problem which require proper knowledge, not being necessary the directformula application.
  8. 8. SUMÁRIOINTRODUÇÃO ........................................................................................................ 09CAPÍTULO I – CONSTRUINDO CONCEITOS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIAA PARTIR DO CONCRETO1.1 Educação: um meio de descobrir as habilidades dos educandos....................... 111.2 O Ensino – Aprendizagem de Matemática ......................................................... 131.3 O professor de matemática e sua prática pedagógica ....................................... 151.4 A importância do desenvolvimento de um trabalho a partir da utilizaçãode materiais concretos ............................................................................................. 17CAPÍTULO II - A IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIARELACIONADO AO COTIDIANO2.1 Componentes da Análise Combinatória ............................................................. 222.1.1 Princípio Fundamental da Contagem .............................................................. 222.1.2 Fatorial ............................................................................................................. 232.1.3 Permutação Simples ....................................................................................... 242.1.4 Arranjos Simples ..............................................................................................242.1.5 Combinação Simples ....................................................................................... 252.1.6 Arranjos com repetição .................................................................................... 26CAPÍTULO III - A PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA3.1 Pesquisa Qualitativa ........................................................................................... 29CAPÍTULO IV – METODOLOGIA ............................................................................ 31CAPÍTULO V - ANÁLISE DE DADOS .....................................................................34CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 39REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................APÊNDICE
  9. 9. INTRODUÇÃO As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações, tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor resultado. (PCN’s, 1998, p.37). A presente monografia é resultado de uma pesquisa fundamentada no tema:A Utilização de Materiais Concretos no Estudo de Análise Combinatória. O referidotema foi escolhido pela vontade e curiosidade em saber como os alunos enfrentamos problemas matemáticos quando não é exigida pelo professor a técnica parasolucioná-los. O objeto de estudo fora determinado ao perceber que a disciplina Matemáticaainda é considerada como uma ciência desligada da realidade, e ensinadadesvinculada dos conhecimentos dos educandos, o que faz aumentar ainda mais afalta de interesse por parte dos mesmos com relação a essa disciplina, e os autosíndices de reprovação escolar. A escolha pelo conteúdo de Análise Combinatóriatem como fundamento a relação desse conteúdo com evento do cotidiano. O objetivo principal deste trabalho é identificar o valor dado pelos educandoscom relação ao conhecimento adquirido na sala de aula através de atividadesconstrutivas, além de observar a postura dos sujeitos pesquisados frente aoprocesso de ensino-aprendizagem quando o mesmo está voltado para a realidadeem que vivem, e analisar as conseqüências dessa metodologia na aquisição dealgoritmos matemáticos e resolução de situações-problemas. O Capítulo I, intitulado Construindo conceitos sobre Análise Combinatória apartir do concreto, problematiza e trata de aspectos relacionados à importância doprocesso educativo, além de fazer uma breve análise sobre o professor e suaspráticas pedagógicas, oferecendo-lhes como opção para suas aulas, em especial asde matemática, a utilização de materiais concretos, mostrando as vantagens de umtrabalho voltado para a realidade dos educandos. O Capítulo II faz um aprofundamento teórico sobre o conteúdo de AnáliseCombinatória, onde são explanadas as definições e algoritmos de algunscomponentes, tais como: permutação, arranjo e combinação. A análise da
  10. 10. importância do referido conteúdo nas atividades práticas habituais dos educandos éoutro aspecto relatado nesse capítulo. O Capítulo III aborda a importância da pesquisa na educação matemática, emcaráter especial, à pesquisa qualitativa, por ser o método adotado na realizaçãodeste trabalho. O Capítulo IV apresenta os procedimentos metodológicos adotados duranteesta pesquisa para alcançar os objetivos propostos. Neste capítulo estão todas asetapas promovidas para a construção do presente trabalho. O Capítulo V relata os dados obtidos durante o desenvolvimento dosprocedimentos metodológicos, com uma análise detalhada de cada etapaempregada, onde se menciona as falas de alguns sujeitos pesquisados. As Considerações Finais contém a conclusão de todos os aspectosobservados e citados neste trabalho. Retrata-se a grande importância do papel doseducadores no sentido de apresentar a seus educandos uma matemáticaessencialmente criativa, ao proporcionar-lhes o interesse para a investigação doconhecimento a ser adquirido. Por fim, as Referências Bibliográficas e os Apêndices se fazem presente paraexplicitar, respectivamente, as fontes de pesquisa consultadas e as partesextensivas do texto usadas para comprovação, fundamentação ou ilustração, sendodestacadas para impedir descontinuidade na seqüência lógica das idéias.
  11. 11. CAPÍTULO ICONSTRUINDO CONCEITOS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA A PARTIR DO CONCRETO1.1 Educação: um meio de descobrir as habilidades dos educandos. Conforme a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) (1996), a educação é algo que oindivíduo pode adquirir a todo e qualquer momento, seja no meio social ou familiar ea escola deve relevar as experiências vividas por cada um, criando condições para asua qualificação profissional e exercício da cidadania. As orientações advindas da nova LDB colocam as necessidades deinovações no setor educacional, procurando dar maior ênfase e total liberdade nodesenvolvimento das atividades realizadas pelo ser humano no que diz respeito aotrabalho e às suas práticas socais. Ainda, segundo a LDB (1996, p.12): “o ensino será ministrado com base naliberdade de aprender, ensinar, pesquisar e divulgar a cultura, o pensamento, a artee o saber”. Uma orientação importante que se coloca em questão é o fato de que ensinoe conhecimentos não podem ser vistos como algo pronto e acabado, semreferências aos conhecimentos dos alunos, pois a todo o momento estamosaprendendo, seja dentro ou fora da escola. Para ganhar a vida, as crianças das camadas mais pobres da população devem, desde bem cedo, engajar-se nas atividades do setor informal da economia. Esta participação das crianças ocorre de diversas formas – vendendo doces, pirulitos, picolés, etc. na rua, (...) em suas atividades, as crianças resolvem inúmeros problemas de aritmética e certamente aprendem muito nessas situações (SCHLIEMANN, 2003, p. 45). Notamos que em situações da vida real as crianças conseguem assimilar oconhecimento de maneira mais rápida, sendo o maior desafio hoje a reestruturaçãoda educação para proporcionar a todos os educandos oportunidades de aprenderemsignificativamente, sem medo de serem avaliados, podendo associar aquilo que évivenciado no dia-a-dia com os conteúdos escolares.
  12. 12. Ao se introduzir o sistema de massa em educação o aluno, é tratado como um automóvel que deverá sair pronto no final da esteira de montagem, e esse é o objetivo do processo; ele vai sendo conduzido e, em cada “estação”, que em educação quer dizer em cada série, são montadas certas “partes”, isto é, o motor, carroceria, rodas, que correspondem na educação a conteúdos programados; para isso o montador foi treinado para fazer aquilo no tempo determinado, isto é, seguindo métodos preestabelecidos (D’AMBROSIO, 1996, p.67). Dessa forma, a escola perde o seu papel de formadora de cidadãos críticos eautônomos, passando apenas a transmitir conhecimentos já construídos, deixandode ser o preparo para o exercício da cidadania e se transformando em um modelode produção. Uma educação nesse modelo não merece ser chamada como tal. Nada mais é que um treinamento de indivíduos para executar tarefas específicas. Os objetivos são intelectualmente muito pobres. Indivíduos passando por isso talvez sejam capacitados como mão-de-obra para a execução de trabalhos de rotina. (D’AMBROSIO, 1996, p.67). O ensino está sendo visto como algo exclusivamente baseado namemorização e aplicação de conhecimentos. Os alunos não passam a refletir sobreos processos pelos quais os conceitos educacionais foram elaborados edesenvolvidos. “A educação é fator de suma importância na passagem das formasmais primitivas de consciência para a consciência crítica, que por sua vez, não é umproduto acabado, mas um vir-a-ser contínuo” (MIZUKAMI, 1986, p. 95). O sistema educacional deverá adquirir um caráter amplo, não apenas dentrodos limites e padrões de educação convencional, mas ter como finalidade, apromoção de mudanças desejáveis e relativamente permanentes nos indivíduos, eque estas venham a favorecer o desenvolvimento integral do homem e dasociedade. A escola deve ser um espaço de crescimento tanto de educadores comode educandos, para tornar-se diferente dos modelos atuais.
  13. 13. 1.2 O Ensino – Aprendizagem de Matemática Educar é a principal função da escola, mas as variações do modo de ensinar determinam diferenças nos resultados obtidos. Até a pouco tempo, ensinar era sinônimo de transmitir informações, mas as idéias pedagógicas mudaram. Apesar disso, muitos profissionais da educação, ainda, vêem com bons olhos o ensino tradicional. Eles elogiam o bom nível do trabalho escolar feito no passado e rejeitam as mudanças; duvidam da validade da atuação escolar e consideram os professores pouco exigentes. (BICUDO, 1999, p. 154). O ensino tradicional é prevalecente até os dias atuais. Mesmo com asconstantes mudanças ocorridas, não tem havido uma preocupação para que o alunopossa sentir e perceber o impacto dessas mudanças, através das interações entre oque é produzido e o processo de discussão das vivências do cotidiano, permitindoao indivíduo ser agente dotado de sólidos referenciais para uma ação que sejatransformadora. A Matemática da Escola Primária à Universidade, sempre foi ensinada sem levar em consideração quem pretendia aprender: o aluno. Nunca houve um contato entre Escola e estudantes visando obter uma aproximação, um conhecimento de como eram os alunos, como viam ou estavam entendendo o conhecimento matemático que lhes era ensinado e quais suas necessidades. (BICUDO, s.d, p. 14). Entende-se que a escola se preocupa apenas em transmitir os conceitosmatemáticos de forma tradicional, realizando-o sem nenhuma referência à históriade sua construção, sem associá-lo à sua importância na vida cotidiana. Medeiros apud Bicudo (s.d, p. 20) ainda enfatiza que: “No ensino tradicionalda Matemática, não tem havido, em geral, um respeito pela criatividade do aluno.”Os alunos são tratados como se fossem vazios, os professores apresentam-se comoos únicos a deter o conhecimento encontrando a resolução para todas as questõesmatemáticas. A criatividade dos alunos é tratada como se não existisse. Ter uma idéia, embora imprecisa e incompleta, sobre porque e quando se resolveu levar o ensino da matemática à importância que tem hoje são elementos fundamentais para se fazer qualquer proposta de inovação em educação matemática e educação em geral. (D’AMBROSIO, 1996, p. 29). Percebemos a necessidade de repensar a educação matemática, no sentidode uma orientação pedagógica destinada a conduzir o aluno para uma assimilaçãocompreensiva dos conceitos fundamentais, e de uma contextualização daaprendizagem da história daquilo que se está estudando.
  14. 14. A possibilidade de inovação no processo educativo poderá ganhar expressãoatravés da desmistificação da idéia de que passar conteúdo para o aluno é o únicopapel da escola, e no caso da aprendizagem matemática, isso só o conduz a umaação mecânica e enfadonha, voltada inteiramente para a memorização. Atacar diretamente a estrutura de todo o ensino, em particular a estrutura do ensino de matemática, mudando completamente a ênfase do conteúdo e da quantidade de conhecimentos que a criança adquira, para uma ênfase na metodologia que desenvolva atitude, que desenvolva capacidade de matemizar situações reais, que desenvolva capacidade de criar teorias adequadas para as situações mais diversas, e na metodologia que permita o recolhimento de informações onde ela esteja, metodologia que permita identificar o tipo de informação adequada para uma certa situação e condições para que sejam encontradas, em qualquer nível, os conteúdos e métodos adequados. (D’AMBROSIO, 1986, p. 14 e 15). Coloca-se em questão a forma como se vem trabalhando os conteúdosescolares, e em particular os conteúdos matemáticos, não levando em consideraçãoo que é vivenciado pelos educandos. As metodologias utilizadas não proporcionamao aluno um desenvolvimento crítico e um raciocínio aplicável ao estudo de qualquerassunto ou temática. A construção do conhecimento passa a ser apenas o acúmulode idéias não compreendidas. Tradicionalmente, o ensino de matemática é feito pelo acúmulo de conteúdo. O que se faz é acumular conteúdos e um jovem que entra num 1º ano universitário faz disciplinas que não diferem essencialmente do que se fazia há cem anos atrás. (D’AMBROSIO, 1986, p.22). No ensino tradicional os alunos aprendem desde cedo a ficar calados esomente prestar atenção naquilo que é transmitido pelo educador, e este, por suavez, passa a aplicar os conteúdos do mesmo modo que outros o fizeram, sem levarem consideração que um ensino de fácil compreensão e menos formal permite aoeducando objetivos mais adequados à realidade na qual está inserido. Na maioria das vezes, subestimam-se os conceitos desenvolvidos no decorrer das vivências práticas dos alunos, de suas interações sociais imediatas, e parte-se para um tratamento escolar, de forma esquemática, privando os alunos da riqueza de conteúdos proveniente da experiência pessoal. (PCN’s, 1998, p.23). Conhecer outros conteúdos que não possuam uma ligação direta com aprática também é importante. Mas muitas vezes eles são trabalhados de formatotalmente isolada e num único momento, como se a sua utilização após arealização de uma prova ou teste não tivesse mais nenhuma importância. Com issodeixa-se de construir uma organização de idéias que evoluem e se complementam,
  15. 15. sendo estas pressupostos básicos para um processo de aquisição de novosconhecimentos, pois não é possível construir aquilo que já está pronto. “Amatemática está presente na vida de todas as pessoas, em situações em que épreciso, por exemplo, quantificar, calcular, localizar um objeto no espaço, ler gráficose mapas, fazer previsões” (PCN’s, 1998 p.59). Percebemos a fundamental importância da escola em ensinar e organizar adisciplina de matemática, estando ela relacionada ao mundo do trabalho, afim deque os educadores e educandos possam entender a sociedade em que estãoinseridos como um processo permanente de reconstrução humana. Concordamos que a aprendizagem deve sempre desenvolver competências ehabilidades. É preciso repensar a formação a qual recebemos e a que queremospassar para nossos alunos: Em nosso país o ensino de matemática ainda é marcado pelos altos índices de retenção, pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos sem compreensão. (PCN’s, 1998, p.19). Notamos a necessidade de uma mudança na concepção de ensino eaprendizagem, pois uma escola preocupada com a melhoria do ensino de seusalunos estará sempre apresentando ações voltadas para a concretização datransformação social.1.3 O professor de matemática e sua prática pedagógica A prática de ensino em geral é uma ação pedagógica que visa o aprimoramento, mediante uma multiplicidade de enfoques, da ação educativa exercida no sistema educacional de maneira mais direta e característica, qual seja a forma por excelência dessa ação, isto é, o trabalho na sala de aula. (D’AMBROSIO, 1986, p.37). Entende-se que uma nova metodologia adotada para se trabalhardeterminados conteúdos curriculares certamente atingirá novos objetivos, podendolevar a uma análise mais séria e profunda de conteúdos tradicionalistas. O professordeverá aprimorar-se, visando um bom desempenho de seus alunos, e estespassarão a compreender e descobrir uma relação da teoria com a prática. Assim oensino será profundamente modificado, dando uma elevada importância aos seus
  16. 16. resultados em sala de aula. “Naturalmente, o valor da teoria se revela no momentoem que é transformada em prática” (D’AMBROSIO, 1986, p.43). Dificilmente poderá a prática pedagógica atingir a eficiência desejada se, ao considerar ou ao iniciar uma aula e ao prepará-la, o professor não fizer um exame do objetivo que pretende atingir, durante àquela hora em que os alunos estão a ele confiados, e qual o método que será empregado para conduzir a prática pedagógica nesses cinqüenta minutos de interação professor-classe. (D’AMBROSIO, 1986, p.46). O professor deve estar atento às reais necessidades de aprendizagem deseus alunos, ouvindo-os e levando em consideração as suas expectativas, buscandonos conteúdos relações que estejam interligados à sua realidade para que sejamcompreendidos e assimilados com maior facilidade. Ser professor de matemática é, antes de tudo, ser professor. Ser professor é preocupar-se com o ser do aluno, tentando auxiliá-lo a conhecer algo que ele, professor, já conhece e que julga importante que o aluno venha conhecer, também. (BICUDO, s.d, p. 48). Observa-se a importância do papel do educador enquanto agente detransformação social, levando em consideração que os educandos são antes detudo seres humanos dotados de sentimentos e anseios. Portanto é de sumaimportância transformar a sala de aula em um espaço agradável de encontros entreeducador e educandos, para que haja uma troca de conhecimentos mútuos, a fim debuscar uma relação da escola com a sociedade, visando um bom entendimento deeducação. ”Ensinar está ligado a aprender, a conhecer, na medida em que sepretende que o que é ensinado seja aprendido. Mas ensinar e aprender são atosdiferentes, realizado para pessoas diferentes e um não é garantia do outro”(BICUDO, s.d, pág. 50). O conhecimento adquirido por uma pessoa, não é necessariamente o fruto doensino. Ensinar algo a alguém não é garantia que este venha conhecer,compreender e aplicar o que lhe foi transmitido. Um dos pressupostos para a realização do trabalho escolar é a expectativa de que os seus resultados extrapolem a sala de aula: sejam aplicados vida afora, em benefício do indivíduo em seus novos estudos ou atividades práticas, e da sociedade, como base para o desenvolvimento científico e tecnológico do país. (BICUDO, 1999, p. 154).
  17. 17. Entende-se que para a aplicação da aprendizagem adquirida em soluções deproblemas da vida real como em outros aprendizados, é necessário odesenvolvimento e a compreensão da modalidade de ensino.1.4 A importância do desenvolvimento de um trabalho a partir da utilização demateriais concretos. “Toda a teorização se dá em condições ideais e somente na prática serãonotados e colocados em evidência certos pressupostos que não podem seridentificados apenas teoricamente” (D’AMBROSIO, 1996, p.79). É de fundamental importância para o aluno que o professor venha em suasaulas relacionar os conteúdos ao contexto cultural, preparando-os para o exercícioda cidadania, levando em consideração as experiências, expectativas e criatividadedos aprendizes, para assim, o ensino tornar-se prazeroso e de fácil acesso ecompreensão. Deve-se assumir um compromisso revolucionário no sentido de trabalharbuscando a formação de cidadãos atuantes na sociedade, de uma forma crítica, nãodeixando que a escola seja vista como somente um estabelecimento de regras elimites, mas sim, como um espaço onde todos tenham oportunidades deaprenderem juntos. D’Ambrosio (1996) diz ser fundamental na preparação para acidadania o domínio de um conteúdo interligado ao mundo atual. Há a necessidade de relacionarmos as experiências de vida dos alunos, osconhecimentos do senso comum com que chegam às escolas ao conhecimentosistematizado, de modo que os mesmos possam perceber a relação do mundo comconteúdos trabalhados, pois a teoria por si só não é compreendida, na maioria dasvezes. Se os professores, ao iniciarem suas aulas, partem de um fato realvivenciado no decorrer de nossas vidas, certamente será bem mais fácil acompreensão do conteúdo a ser trabalhado teoricamente, pois os alunos poderãofazer um elo de ligação entre ambos. “A educação atua sobre a vida e o crescimentode uma sociedade, tanto no desenvolvimento de suas forças produtivas quanto deseus valores culturais” (BARALDI, 1999, p.33).
  18. 18. Não existe uma única forma de educação, e o aprendizado se dá de váriasmaneiras: em casa, na rua e no convívio social, sem que seja necessário ir à escola.A educação pode ser adquirida através do ensino, levando-se em consideração osconhecimentos anteriores dos alunos, para que resultem numa aprendizagemsignificativa. “Ainda que a transmissão do conhecimento seja um objetivo a seratingido, como professores, não devemos nos contentar em considerá-lo como únicoresultado final do ensino” (BARALDI, 1999, p.50). Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. E os professores devem passarpara seus educandos não uma aprendizagem mecânica e repetitiva, de fazer semsaber o que faz e por que o faz, muito menos um conhecimento o qual se esvaziaem brincadeiras, mas de forma a ser significativo, onde eles participem raciocinando,compreendendo, reelaborando o saber historicamente produzido, superando suavisão ingênua, fragmentada e parcial da realidade. “...na aprendizagem pordescoberta o conteúdo principal a ser aprendido é descoberto pelo aprendiz”(MOREIRA, 2001, p. 19). O ensino-aprendizagem de um tópico matemático deve sempre começar com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e técnicas Matemáticas devem ser desenvolvidas na busca de respostas razoáveis à situação-problema dada. (BICUDO, 2005, p.222). Fica bem mais interessante equipar as aulas de matemáticas com todo umconjunto de materiais manipuláveis onde os educandos juntamente com o professorpossam confeccionar tais objetos de acordo com os conceitos matemáticos. Muito frequentemente os professores ensinam as crianças a contar, ler e escrever numerais. É bom para a criança aprender a contar, ler e escrever numerais, mas é muito importante que ela construa a estrutura mental de número. Se a criança tiver construído esta estrutura terá maior facilidade em assimilar os signos a ela. Se não a construiu, toda a contagem, leitura e escrita de numerais será feita apenas de memória (decorando). (KAMII, 1990, p.40). O professor precisa esquecer a idéia de que seu único papel é apenas levarao conhecimento de seus educandos as respostas desejáveis, e deixar osaprendizes encontrarem espontaneamente a melhor maneira de obter os resultados,sem depender de alguém que lhe estabeleça a forma de como deverá fazer, a fim dealcançar objetivos que os levem a compreender com maior facilidade o foco desseensino, sem precisar ficar decorando respostas.
  19. 19. Uma criança educada numa família autoritária tem muito menos oportunidades de desenvolver suas habilidades de raciocinar logicamente. Tal criança é forçada a obedecer em vez de ser encorajada a inventar argumentos que façam sentido e sejam convincentes. (KAMII, 1990, p.47). Nesta perspectiva, torna-se necessário que a escola venha proporcionar aseus educandos oportunidades de aprendizagens visando o desenvolvimento decapacidades que os habilitem a refletir criticamente e autonomamente, semimposições feitas pelos professores. Os alunos passarão a construir seus própriosconhecimentos, facilitando o acesso à maneira de encarar os conteúdosdisciplinares, tornando-os mais conscientes da importância de sua formaçãohumana. “É contrário ao que sabemos sobre a maneira de pensar da criança,começarmos com cálculo sem conteúdo e só depois fazer aplicações daqueleconhecimento ao mundo real” (KAMII, 1988, p.168). Torna-se mais acessível àcompreensão dos educandos que antes de ser iniciado um conteúdo matemáticocom suas definições e fórmulas de aplicações, este seja relacionado primeiramenteàs situações do mundo real, pois à medida que as definições forem introduzidasestes já possuirão um conhecimento próprio daquilo que se quer ensinar. “Assituações da vida diária apresentam oportunidades para as crianças estruturarem edefinirem problemas dentro das ambigüidades do mundo real” (KAMII, 1988, p. 169). Oportunidades como estas, em que os educandos passam a buscar maneirasde solucionar diversos problemas propostos por seus professores em suas aulas,são perdidas no momento em que os educadores acreditam que a melhor forma deensinar é passando conteúdos e explicando as formas de como resolver asquestões. A escola precisa mudar seu ponto de partida, oferecendo um novo modelo deeducação. Tornam-se cada vez mais necessárias motivações para os alunos, nosentido de incentivá-los à pesquisa da matemática, podendo assim levar adescoberta da criação de suas teorias e práticas. Na disciplina de matemática como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo. (PONTE, 2005, p. 23).
  20. 20. Percebe-se a fundamental importância do desenvolvimento de um trabalhocom a participação dos alunos, para que os mesmos possam compreender commaior facilidade aquilo que é transmitido pelo educador. “Ao requerer a participaçãodo aluno na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer oseu envolvimento na aprendizagem” (PONTE, 2005, p. 23). “Saber matemática é uma necessidade imperativa numa sociedade cada vezmais complexa e tecnológica, em que se torna difícil encontrar setores em que estadisciplina não esteja presente” (TEBEROSKY, 2002, p. 257). A disciplina dematemática é de fundamental importância na formação de indivíduos. Existe a partirdaí uma grande necessidade de unir o saber escolar ao saber construídocotidianamente. Mesmo estando presente em diversas situações do nosso dia-a-dia,a maioria das pessoas não consegue enxergar essa ligação. Baseando-se nasnovas propostas pedagógicas é necessário que os educadores produzam um sabermatemático que favoreça a compreensão de seus aprendizes. Embora seja verdade que podem existir tendências ou estilos cognitivos mais propícios ao raciocínio abstrato, assim como patologias especificas que dificultam o raciocínio matemático, a maior parte das pessoas pode aprender matemática sem nenhuma dificuldade, desde que tal aprendizagem esteja vinculada a contextos e situações que sejam cultural e socialmente significativos. (TEBEROSKY, 2002, p. 275). Dar valor ao conhecimento construído ao longo de nossas vivências e passarinserir nas aulas a utilização de materiais concretos, possibilita uma interação maiordos estudantes com o professor bem como com os conteúdos aplicados. Segundo SCHLIEMANN (2003) a aprendizagem matemática em sala de aulaé um momento interativo entre a matemática formal e a matemática humana,devendo a matemática enquanto atividade humana ser uma forma de associarmosos objetos com os acontecimentos do mundo. De fato, não se deve apresentar a matemática como uma disciplina fechada,abstrata ou desligada da realidade. O professor de matemática deve proporcionar aoaluno o desenvolvimento de hábitos de investigações, para que ele possa descobrirpor si só o que lhe é ensinado.
  21. 21. CAPÍTULO II A IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA RELACIONADO AO COTIDIANO Particularmente em matemática, parece que há uma fixação na idéia de haver necessidade de um conhecimento hierarquizado, em que cada degrau é galgado numa certa fase da vida, com atenção exclusiva durante horas de aula, como um canal de televisão que se sintoniza para as disciplinas e se desliga acabada a aula. Como se fosse duas realidades disjuntas, a da aula e a de fora da aula. (D’AMBROSIO, 1996. p. 83). A matemática é uma disciplina utilizada praticamente em todas as áreas: naEngenharia, na Economia, na Informática, entre outras. O conhecimento matemáticoé muito além do que uma lista de idéias a serem memorizadas. Um processosignificativo de ensino de matemática deve conduzir aos aprendizes à exploração deuma grande variedade de idéias e de relações entre fatos e conceitos de modo ajuntar-se com os contextos do mundo real para o desenvolvimento de suas noções,ampliando a compreensão que delas se tem. A matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da construção humana na sua interação constante com o contexto natural, social e cultural. (PCN’s, 1998, p. 24). Sendo assim, a matemática é uma das mais importantes ferramentas dasociedade moderna, que contribui para a formação do cidadão, através de umaestratégia desenvolvida para entender e explicar que ela está presente em nossasvidas. A Análise Combinatória, “além de fazer parte do ensino formal de matemática,é também utilizada fora da escola em diversas situações de jogos, brincadeiras outrabalhos”. (CARRAHER, 2003, p. 87). Tem como objetivo o desenvolvimento demétodos que permite contar de uma forma indireta o número de elementos de umdeterminado conjunto, estando esses agrupados em certas condições. A AnáliseCombinatória é todo um conjunto de procedimentos que possibilita construções degrupos diferentes, formados por um número finito de elementos de um conjuntoqualquer. A compreensão das operações combinatórias como combinações, permutações ou arranjos desenvolve-se através de estágios e, em torno de 12-13 anos de idade, a criança é capaz de encontrar, através de método
  22. 22. sistemático, todas as permutações existentes entre os elementos de um conjunto. (SCHLIEMANN, 2003, p. 86). De acordo com o pensamento de Barreto (2003) a análise combinatória temaplicação direta no cálculo das probabilidades, sendo instrumento de grandeimportância para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia e aEstatística, além de outras. Observações não sistemáticas de aulas sobre a análise combinatória mostram que o ensino escolar limita-se quase sempre ao treinamento no uso de fórmulas e algoritmos para encontrar o número de arranjos, combinações ou permutações entre elementos, sem que os alunos derivem essas fórmulas a partir de manipulações dos elementos. (SCHLIEMANN 2003, p. 87). Ao solicitarmos do aluno que ele descubra de quantos modos diferentes elepode arrumar 04 livros na prateleira de uma estante, estamos incentivando-o a criarmecanismos particulares de resolução de problemas, e quando ele dispõe dematerial concreto para demonstrar sua técnica de resolução é evidente a certeza deum bom resultado quanto ao aprendizado a ser adquirido.2.1 Componentes da Análise Combinatória2.1.1 Princípio Fundamental da Contagem Segundo Barreto (2003), a Análise Combinatória é uma parte da matemáticacujo objetivo consiste na resolução de problemas. Basicamente, são escolhidos eagrupados elementos conforme um determinado conjunto. O Princípio Fundamental da Contagem é um acontecimento que ocorre emduas etapas sucessivas e independentes, onde o número de possibilidades deacontecimentos na 1ª situação ocorre de n maneiras e na 2ª situação ocorre de mmaneiras. Então, o número total de possibilidades de ocorrência é dado pelo produton x m. Observe a situação dada:
  23. 23. Num restaurante há 2 tipos de saladas, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos desobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1salada, 1 prato quente e 1 sobremesa? Representando por S1 e S2 os dois tipos de saladas; por P1, P2 e P3 os trêstipos de pratos quentes; e s1, s2 e s3 os três tipos de sobremesa, temos: 2 possibilidades: S1 e S2 3 possibilidades: P1, P2 e P3 3 possibilidades: s1, s2 e s3Portanto: 2 x 3 x 3 = 18 possibilidades.2.1.2 Fatorial Para Paiva (1999) fatorial de um número natural n, sendo n ≥ 2, (que éindicado por n!), é o produto dos números naturais consecutivos: n, (n – 1), (n –2), ..., 1, isto é: n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 1 A leitura do símbolo n! é: “n fatorial”; n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n; Obs: Casos Especiais: 0! = 1 e 1! = 1. Observe os exemplos dados: 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 6 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
  24. 24. 2.1.3 Permutação Simples Dante (2002) define Permutação Simples como sendo o total deagrupamentos de elementos ordenados que se diferem pela ordem, podendo serobtido através de um conjunto formado com n elementos distintos. Suarepresentação é dada por: Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1 Vejamos um exemplo que retrata a permutação simples: De quantas maneiras podem ser formados de forma horizontal três selos: 1da Argentina, 1 do Brasil e 1 do Chile? Temos três tipos de selos que indicaremos por A: Argentina; B: Brasil; C:Chile. Para sabermos de quantas maneiras eles podem ser arrumadoshorizontalmente, podemos obter o seguinte resultado, através do conhecimento dePermutação Simples: P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades Os agrupamentos ordenados são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.2.1.4 Arranjos Simples Segundo Barreto (2003) Arranjos Simples são agrupamentos simples de pelementos que são formados com n elementos distintos, sendo n ≤ p. A notação édada por: n! An, p = (n − p)! Se tomarmos os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3algarismos distintos podemos formar? Há 5 possibilidades para o 1º algarismo, 4 para o 2º e 3 para o 3º. No total podemos formar então, 5 x 4 x 3 = 60 números. Dizemos neste exemplo que fizemos arranjos de 5 elementos 3 a 3, e onúmero desses arranjos é 60.
  25. 25. Usando a notação de arranjos simples, indicamos assim: 5! A5,3 = (5 − 3)! 5! A5,3 = 2! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 A5,3 = 2 ⋅1 120 A5,3 = 2 A5,3 = 602.1.5 Combinação Simples Conforme Dante (2002) chama-se Combinação Simples de um conjunto de nelementos distintos tomados p a p (p ≤ n), todo subconjunto que se pode formarcom os n elementos dados, não importando a ordem dos mesmos. Indica-se por Cn,po número total de n elementos tomados p a p e calcula-se por: n! C n, p = p! (n − p)! Observe a situação abaixo: Imagine que a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) organize a primeirafase do Campeonato Brasileiro com 24 times separados em quatro grupos de seis,de modo que cada time jogue uma única vez contra cada um dos demais de seugrupo. Quantos serão os números de jogos realizados em cada grupo? E quantosserão os números de jogos da primeira fase do campeonato? Temos um total de 24 jogadores divididos em quatro grupos. O número dejogadores por time é representado por n e o número total de grupos é representadopor p, isto é, n = 6 e p = 4; então através do assunto de combinação simples,calcula-se que o número total de jogos realizados em cada grupo é de: C6,4 = 15,pois:
  26. 26. 6! C6,4 = 4! (6 − 4)! 6! C6,4 = 4!⋅2! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 C6,4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 2 ⋅1 720 C6,4 = 48 C6,4 = 15 Tem-se um total de 04 times e o número de jogos realizados em cada gruposão 15, a partir daí conclui-se que o número de jogos da primeira fase docampeonato será 4 x 15 = 60.2.1.6 Arranjos com repetição Como já foi visto, Barreto (2003) define que Arranjos Simples sãoagrupamentos simples de p elementos que são formados com n elementos distintos,sendo n ≤ p. A notação é dada por: n! An, p = (n − p)! Arranjo com repetição é indicado por: (AR) n,p = n p Observe o problema a seguir que traz uma comparação entre arranjos simples eo arranjo com repetição: 1. Usando os algarismos 1, 4, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar? E quantos números naturais de 3 algarismos podemos formar? Na 1ª situação temos um exemplo de arranjo simples de 4 elementos 3 a 3:
  27. 27. 4! A4,3 = (4 − 3)! 4! A4,3 = 1! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 A4,3 = 1 24 A5,3 = 1 A5,3 = 24 Já na 2ª situação, além dos 24 números do 1º caso, temos ainda os númeroscom algarismos repetidos, como por exemplo, 141, 999 e outros. Temos então, 4possibilidades para o algarismo da centena, 4 para o algarismo da dezena e 4 parao algarismo da unidade. Então, usando a fórmula de arranjos com repetição,concluímos que: (AR) 4,3 = 43 = 64
  28. 28. CAPÍTULO III A PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA “Pesquisa é o conjunto de atividades que tem por finalidade a descoberta denovos conhecimentos no domínio cientifico, literário, artístico, etc. é a investigaçãoou indagação minuciosa, é o exame de laboratório” (BORBA, 2004, p. 11 – 12). Segundo Aurélio (2001), o termo pesquisa é definido como uma investigaçãoe um estudo pequeno e sistematizado, tendo como objetivo principal a descobertade fatos relacionados a um determinado campo de conhecimento. Sendo a pesquisa o elo entre teoria e prática, parte-se para a prática, e, portanto se fará pesquisa, fundamentando-se em uma teoria que, naturalmente, inclui princípios metodológicos que contemplam uma prática. Mas um princípio básico das teorias de conhecimento nos diz que as teorias são resultados das práticas. Portanto, a prática resultante da pesquisa modificará ou aprimorará a teoria de partida. (D’AMBROSIO, 1996, p. 81). A prática permite que sejam observados e colocados como indiscutíveiscertos pressupostos que teoricamente não poderiam ser identificados. A partir daí, apesquisa torna-se um meio de interação entre a teoria e a prática. O novo papel do professor será o de gerenciar, de facilitar o processo de aprendizagem e, naturalmente, de interagir com o aluno na produção e crítica de novos conhecimentos, e isso é essencialmente o que justifica a pesquisa. (D’AMBROSIO, 1996, p. 80). O aluno descobrirá os resultados esperados, sem que seja imposta peloprofessor a maneira de como deverá fazer. Pode-se também expandir o estado decriatividade e adquirir novas formas ainda não conhecidas.
  29. 29. 3.1 Pesquisa Qualitativa “A pesquisa qualitativa não se preocupa com a quantificação dos dados – nãose exclui esta última, dependendo dos dados que possam interessar – mas comoeles colaboram para a compreensão do fenômeno” (BARALDI, 1999, p. 17) De acordo com Aurélio (2001), qualitativa refere-se à qualidade. Sendo assim,a pesquisa qualitativa é um ponto de partida para a descoberta de uma açãorealizada, de forma que se obtenham resultados a partir de um estudo, onde opesquisador possua a preocupação de não apenas obter a quantificação de dadossatisfatórios, mas sim, que esses sejam com propósitos fundamentais. Cada vez mais se entende o fenômeno educacional como situado dentro de um contexto social, por sua vez inserido em uma realidade histórica, que sofre toda uma série de determinações. Um dos desafios atualmente lançados à pesquisa educacional é exatamente o de tentar captar essa realidade dinâmica e complexa do seu objeto de estudo, em sua realização histórica. (LUDKE, 1986, p. 05). Percebe-se que o maior desafio para a educação hoje é pôr em prática ummodelo de ensino diferenciado do que se tem atualmente, valorizar o saber trazidopelo aluno, oferecendo através do processo de ensino-aprendizagem condiçõespara que os mesmos possam expressar seus sentimentos, seus conhecimentos,podendo compará-los e compreendê-los. A pesquisa qualitativa ou naturalística envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em relatar a perspectiva dos participantes. (LUDKE, 1986, p. 13). Nesta perspectiva, a pesquisa qualitativa deverá ter uma visão deconhecimento em sintonia com os procedimentos que foram aplicados, priorizandoos descritivos, à medida que sua visão de conhecimento possa admitir intervençãopessoal. ...verificamos recentemente a emergência de estudos metacognitivos, isto é, aqueles que procuram investigar o modo como os alunos percebem e relatam seu processo de resolução de problemas ou de aprendizagem de algum conceito matemático. (FIORENTINI, 2006, p.43). Há uma grande importância das observações do pesquisador no sentido deanalisar de forma detalhada a matemática desenvolvida pelos estudantespesquisados, permitindo assim a verificação dos métodos de resoluções utilizados
  30. 30. pelos mesmos em determinadas situações problemas em que não é permitida ainterferência do professor. “A pesquisa qualitativa supõe o contato direto eprolongado do pesquisador com o ambiente e a situação que está sendoinvestigada, via de regra através do trabalho intenso de campo” (BOGDAN EBIKLEN apud LUDKE, 1986, p. 11). A pesquisa qualitativa há além de ser um ato subjetivo de construção, étambém uma ciência que trabalha com materiais visuais a fim de chegar a umacompreensão com construção de conhecimento. O qualitativo engloba a idéia do subjetivo, passível de expor sensações e opiniões. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa também engloba noções a respeito de percepções de diferenças e semelhanças de aspectos comparáveis de experiência. (BORBA, 2004, p. 104). A escolha da pesquisa qualitativa neste trabalho refere-se ao fato de amesma, buscar para a sua abordagem de estudo o processo de construção darealidade, possuindo uma aceitação formal da influência de crenças e valorespessoais sobre a interpretação dos resultados, e o fato de poder ser realizado emseu contexto natural, havendo um envolvimento emocional e uma interaçãodinâmica entre o pesquisador e o pesquisado, valorizando suas opiniões após arealização da mesma.
  31. 31. CAPÍTULO IV METODOLOGIA O trabalho de pesquisa constitui-se de diversas etapas que compreendem aescolha do tema a ser trabalhado, as pesquisas bibliográficas e a pesquisa decampo, com a finalidade de elaborar uma reflexão sobre as práticas pedagógicas. Após a escolha do tema, iniciou-se a leitura e seleção de diversos textosobjetivando a construção da fundamentação teórica, onde seria questionada a formacomo se tem trabalhado os conteúdos matemáticos em sala de aula, com ênfase àAnálise Combinatória. A clientela atendida pela unidade de ensino onde foi realizada a pesquisa écomposta por adolescentes e adultos, alunos de 1ª a 3ª série do Ensino Médio, nosturnos matutino, vespertino e noturno, com um total de 760 alunos. Os sujeitosescolhidos como fonte a ser pesquisada foram 27 alunos matriculados na 3ª série doEnsino Médio no Colégio Estadual de Andorinha, na micro-região de Senhor doBonfim, no turno matutino com faixa etária de 17 a 24 anos. Depois de escolhida a turma onde seria realizada a pesquisa, fora iniciado odesenvolvimento de atividades em sala de aula, havendo uma divisão doprocedimento das referidas atividades em 07 etapas. A primeira constituiu-se de uma breve conversa informal com os educandosobjetivando verificar as principais dificuldades encontradas pelos mesmos diante dosproblemas matemáticos e a capacidade de percepção das relações entre amatemática e o cotidiano. Na segunda etapa fora realizada a construção de recursos manuais, fazendo-se necessária a divisão dos alunos em cinco grupos, onde cada grupo ficouresponsável pela confecção de materiais manipuláveis, utilizando papel flip sharp,lápis de cor, tesoura e hidrocor, matérias-primas necessárias para a realização da
  32. 32. atividade subseqüente (Apêndice 1) que envolve o conteúdo Análise Combinatória.O primeiro grupo confeccionou três tipos de camisas diferentes (8 cópias de cada),dois tipos de calças (12 copias de cada), dois pares de sapatos diferentes (12 cópiasde cada) e dois pares de meias distintas (12 cópias de cada); o segundo grupo ficouresponsável pela confecção das letras da palavra AMOR (24 letras de cada tipo); oterceiro grupo representou os números 1, 2 e 4 (27 cópias para cada número); oquarto grupo desenhou sete tipos de frutas diferentes (20 cópias de cada), e oquinto, e último grupo, ficou responsável pela confecção de desenhos de umaenfermeira, um médico, um advogado, um professore, um salva-vidas, umaaeromoça (10 cópias de cada um). Para o terceiro momento foi entregue uma lista de atividades (Apêndice 02)aos educandos a ser desenvolvida através da utilização dos materiais por elesconfeccionados, não havendo consulta a qualquer outra espécie de material, ficandoa critério de cada grupo a técnica utilizada para a resolução. Esta etapa teve iníciona própria sala de aula, mas devido ao curto tempo e inexperiência dos alunos paraesse tipo de procedimento, perdurou até o início da etapa posterior. O quarto ciclo foi composto pela apresentação dos resultados encontradospor cada grupo na resolução das questões propostas que lhes fora entregue, ondetoda a turma teve a oportunidade de conhecer e analisar detalhadamente osmétodos adotados pelos colegas. Não houve tempo determinado para asapresentações, pois algumas soluções dispunham de mais explicações que outras,sendo variável o período de explanação. A explicação do assunto que fora trabalhado durante a pesquisa, e até entãodesconhecido por toda a turma, constituiu a quinta etapa. O conteúdo AnáliseCombinatória foi explanado através de aula expositiva, ocorrendo interações dosconceitos com o cotidiano, definição de algoritmos e resolução de exemplospropostos com a aplicação de fórmulas adequadas.
  33. 33. A sexta etapa correspondeu à entrega de uma nova lista de exercícios(Apêndice 03) aos educandos, para que estes a resolvessem utilizando as fórmulasmatemáticas de permutação simples, arranjos simples e combinação simples, jávistas em sala de aula, bem como os conhecimentos adquiridos durante a realizaçãodas etapas anteriores. O tempo disponível para a resolução fora de 50 minutos,sendo suficiente para analisar aprendizagem adquirida até este momento. A correção das questões resolvidas pelos alunos completou a sétima etapa,sendo feita uma análise das soluções de cada questão, objetivando verificar comose deu o processo de ensino-aprendizagem e o nível de compreensão por parte daclientela pesquisada. Vale a pena ressaltar que esta correção foi desenvolvidaatravés da utilização do quadro-negro e fórmulas correspondentes ao conteúdosupracitado.
  34. 34. CAPÍTULO V ANÁLISE DE DADOS Buscando identificar como o conhecimento do cotidiano se faz presente noprocesso de ensino – aprendizagem de matemática, e em particular no conteúdo deAnálise Combinatória será apresentada a análise dos dados coletados durante arealização desta pesquisa. Os sujeitos pesquisados são constituídos por estudantes do Colégio Estadualde Andorinha e serão identificados durante o relato dessa análise como sendo A1,A2, A3, A4, e assim sucessivamente. Na primeira etapa da pesquisa, onde fora realizada uma conversa informalacerca das dificuldades encontradas pelos educandos com relação à disciplina dematemática, os mesmos afirmam ter o conhecimento sobre sua importância, masapesar saberem que essa disciplina se faz presente em diversas situações da vidareal, muitos não conseguem perceber sua relação com o cotidiano e as consideramchata pelo fato de não compreenderem alguns dos conteúdos trabalhados em salade aula. “A minha maior dificuldade em relação à matemática é em decorar aquelemonte de fórmulas. Eu sempre confundo qual deve ser utilizada, e na hora deresolver alguma questão acabo errando.” (A1). Observe os relatos dos alunos A2 eA3: Sempre falam que a matemática está presente em nossas vidas, isso pode até ser verdade para algumas coisas, mas vamos considerar que é muito chato ficar resolvendo aquelas questões com um monte de cálculo e na verdade o único lugar que utilizamos é na hora de responder as provas. (A2) Eu sei que a matemática é uma matéria muito importante, pois precisamos muito dela em nosso dia-a-dia, mas deveria existir uma forma diferente de se aprender sem ter que ficar o tempo todo copiando e olhar para a cara do professor e fingir que está aprendendo. (A3) Estas falas retratam as grandes dificuldades encontradas pelos estudantesquando o assunto é matemática. Eles não conseguem, na maioria das vezes,perceber uma relação da mesma com o meio onde vivem, e acabam decorandosuas fórmulas a fim de alcançarem um bom resultado no final do ano, como se esse
  35. 35. fosse seu único objetivo. Sobre esta questão os Parâmetros Curriculares Nacionaisde Matemática (1997) colocam que um dos objetivos da matemática é fazer com queo aluno sinta-se seguro quanto à sua capacidade na construção do conhecimento ea partir daí poder desenvolver o espírito de investigação na resolução de problemas. Durante a construção dos recursos manuais, fora percebido um grandeinteresse e, ao mesmo tempo, uma enorme curiosidade por parte dos alunos emsaber onde iriam utilizar aquele material que estava sendo por eles construído e oporquê de uma aula de matemática ter se transformado em algo totalmente diferentedo que eles estavam habituados a fazer. Veja a afirmação de A4: “O que será quevai ser feito com esse material? Não acredito de verdade que é aula de matemática.Cadê os cálculos? Como seria bom se toda aula fosse assim”. Ainda sobre a construção de materiais, veja o que diz A5 e A6: Seria muito interessante se às vezes houvesse algumas aulas de matemática assim. É muito chato ficar o tempo todo sentado ouvindo o professor fazer sempre as mesmas coisas: copiar o assunto, explicar e fazer exercícios. (A5) Quando a professora falou em desenhos imaginei que fosse alguma brincadeira dela, mas agora estou bastante curioso para saber como esse material vai ser usado numa aula de matemática. Não vejo a hora de terminar logo esses desenhos para ver o que vai ser feito. (A6) Um dos pontos que se pode observar diante dessas falas é que os alunosassociam a matemática apenas a quadro e giz. É notória a importância detransformar as aulas de matemáticas em algo que desperte nos educandos o gostopor aquilo que está sendo trabalhado, para que eles sintam-se responsáveis peloseu aprendizado. Partindo para o momento de manipulação dos materiais confeccionados, umdos pontos interessantes diz respeito aos alunos procurarem diferentes formas paraobter os resultados esperados nas questões propostas, sendo dessa maneiraconstrutores de seus conhecimentos, não havendo interrupções na forma deutilização das técnicas por eles desempenhadas, mesmo sendo incorretas ou não,como salienta os alunos A7, A8 e A9: A gente não sabe se está indo no caminho certo, mas é muito bom resolver as questões sem que o professor fique o tempo todo dizendo como se deve fazer. A gente se sente mais útil, e compreende melhor o que está estudando e o que o problema está pedindo. (A7)
  36. 36. Estou achando maneira essa aula. Estamos conseguindo encontrar as respostas das questões propostas ao nosso grupo com facilidade, e o que é melhor estamos conseguindo sozinhos sem nenhuma ajuda do professor. (A8) É muito bom estudar matemática usando esse tipo de material. A gente consegue fazer uma relação do que a questão está pedindo com o que a gente vê no dia-a-dia. Ta sendo muito bom fazer esse tipo de atividade com esses materiais. (A9). Percebemos que os professores têm um papel muito importante adesempenhar, não se limitando apenas ao ato de ensinar, mas de buscar meios quetornem suas aulas mais interessantes, e propondo aos estudantes oportunidades detrocas de conhecimentos, tornando assim o ensino matemático mais prazeroso. Durante a explanação dos resultados, os estudantes tiveram a oportunidadede analisar e compreender através das explicações e das opiniões colocadas pelosparticipantes dos grupos, quais foram as maneiras adotadas na hora de resolver asquestões, havendo uma troca de conhecimento entre os envolvidos. Veja: Foi muito fácil encontrar os resultados das questões, pois fomos unindo os algarismos e invertendo suas posições alcançando dessa forma os resultados; e a partir daí concluímos rapidamente as outras questões propostas. Foi uma forma diferente e fácil de aprender a resolver questões matemáticas. (A10) Foi muito interessante essa forma de resolver questões matemáticas. Nunca me dei muito bem com essa disciplina, mas consegui compreender a forma de chegar aos resultados para as questões da atividade. (A11) É muito mais interessante trabalhar dessa forma do que ficar o tempo todo copiando assuntos e decorando fórmulas. Muitas vezes não sabemos onde usá-las. Esses materiais nos ajudaram muito a resolver as questões. (A12) A utilização de materiais concretos no ensino de matemática é uma excelentemaneira de fazer com que o aluno descubra novas formas de aprendizagem e passea perceber sua capacidade de descoberta.Durante a explanação do assunto de Análise Combinatória, à medida que iam sendoaplicadas as fórmulas nos problemas propostos no segundo momento, percebia-seque os estudantes se sentiam um pouco inseguros quanto à necessidade daaplicação de algoritmos, pois não faziam idéia de que para se chegar aos resultadospropostos na atividade anterior poderiam ser utilizadas fórmulas específicas. Veja osargumentos de A13 e A14: “Foi tão fácil resolver as questões sem ter que saberessas fórmulas”. “É interessante notar que nós conseguimos resolver aquelasquestões sem conhecer nenhuma dessas fórmulas. Assim dá para perceber quepodemos resolver muitas coisas que nem sabemos ou vimos.” Para complementar:
  37. 37. Foi muito bom conhecer esse outro lado da matemática. Até então eu só conhecia o que era passado pelo professor que era resolver exercícios com as fórmulas. É bom saber das duas maneiras para escolher como resolver as questões. (A15) Nesse sentido, percebemos a grande importância de fazer com que osestudantes percebam as relações da matemática com o cotidiano, a fim de tornar oensino de maior compreensão. O processo de resolução das atividades propostas na sexta etapa, onde sefaz necessário o uso dos conhecimentos adquiridos durante as atividadesanteriormente realizadas, promove a análise do desempenho dos estudantespesquisados. A maior parte não apresentou dificuldades em encontrar os resultados,aplicando coerentemente as fórmulas necessárias. Os alunos A16, A17 e A18afirmam não terem tido dificuldades na hora de resolver as questões: Eu nunca fui bom em matemática. Sempre achei essa matéria muito chata, pois eu me confundia todo. Mas eu gostei desse assunto. Eu consegui entender qual fórmula eu devia usar em cada questão. Eu acho que consegui um bom resultado. Tomara que eu não esteja enganado. (A16) É mais rápido resolver as questões usando as fórmulas. Mas ficou mais fácil entender qual fórmula devia ser usada depois da atividade que nós fizemos. Não deu para confundir. Eu sabia exatamente qual deveria usar. (A17) Eu achei mais fácil resolver as questões usando as fórmulas, pois é mais rápido. Mas a forma que foi trabalhada durante esses dias também é interessante. Faz agente raciocinar mais, e entender melhor o assunto por que nós vemos o que acontece. (A18) Percebemos que o maior desafio hoje é inovar o saber matemático, levandoao conhecimento dos alunos novos métodos de aprendizagem a fim deproporcionarmos a eles a oportunidade de aprenderem significativamente. A última etapa compreende os resultados das questões propostas no cicloanterior. A maior parte das resoluções estava correta, e as aplicações das fórmulasprocederam coerentemente. Entretanto, os sujeitos pesquisados afirmam ser maisinteressante o processo de resolução por meio de materiais concretos, pois sesentem mais motivados. Foi muito interessante trabalhar dessa forma onde a gente pode encontrar as respostas sem saber nem ao menos o assunto que estava sendo estudado. Quando foi preciso usar as fórmulas ficou mais fácil entender e saber como responder as questões. (A19)
  38. 38. Usar as fórmulas faz com que a resolução seja mais rápida, mas eu não posso negar que foi muito bom botar a cabeça para funcionar e perceber que existem outras formas de estudar determinados assuntos de matemática. (A20) Eu nunca fui boa em matemática, mas achei esse assunto muito bom. Acredito que tenha sido por causa da maneira como foi trabalhado. Se todos os assuntos fossem trabalhados assim talvez houvesse mais compreensão na hora de resolver as questões. (A21) Durante todos os relatos feitos pelos alunos, e o desenvolvimento de cadauma das etapas realizadas na escola, ficou evidenciada a importância da aplicaçãodos materiais concretos no processo de ensino e aprendizagem, em particular doconteúdo de análise combinatória, sendo essa metodologia adequada parapromover a aquisição de conhecimentos essenciais ao processo educativo doseducandos.
  39. 39. CONCLUSÃO Os professores de matemática precisam desenvolver seus trabalhos com oenfoque voltado para a realidade e as vivências dos alunos. É importante trabalharos conteúdos de forma aplicada, dando ênfase às questões ambientais, econômicas,sociais e políticas. Deve-se ter o objetivo de formar cidadãos que possuamconsciência crítica, e saibam relacionar os conteúdos matemáticos com a realidadena qual estão inseridos. Sabe-se que aprender matemática não significa receber todos os conceitosprontos. Na aprendizagem matemática, os conceitos devem ser construídos combase nos anteriores. Nesta perspectiva, os educandos podem generalizar, estruturarou desestruturar o universo matemático, para que possam compreender e resolveras situações-problemas propostas pelos professores e presentes no seu dia-a-dia. É importante salientar que os professores precisam elaborar e organizarsituações de aprendizagens as quais impulsionem os alunos ao envolvimento com amatemática, para que possam desafiá-la, compreendê-la, analisá-la e interpretá-la,caracterizando-a como verdadeiro produto de criação humana. “É fundamental na preparação para a cidadania o domínio de um conteúdorelacionado com o mundo atual” (D´Ambrosio, 1996, p.86). A utilização de materiais concretos pode ser adotada como um ótimo materialpedagógico, dando uma boa contribuição às aulas de matemáticas, onde oseducandos, juntamente com o professor, podem confeccionar os objetos pertinentesà desenvoltura da aula. Dessa maneira, ampliar a análise sobre a prática pedagógica torna-senecessário, pois os alunos devem fazer uma relação do objeto transmitido na salade aula com o vivenciado no cotidiano. Nessa perspectiva, os professores poderãomostrar a presença da matemática na prática habitual diária dos alunos, e noprocesso de desenvolvimento da humanidade. Situações de ensino-aprendizagemdevem ser contextualizadas, colaborando para o surgimento da motivaçãonecessária para aquisição de novos saberes.
  40. 40. Espera-se que os professores busquem o conhecimento da realidade na qualvivem os alunos, ampliando os recursos a serem utilizados na prática pedagógica deensino-aprendizagem da disciplina matemática, procurando valorizar oconhecimento dos educandos, incitando o envolvimento dos alunos em situações deinvestigações matemáticas, estimulando os mesmos a buscar um maiorconhecimento do assunto trabalhado pelo professor. A utilização de uma metodologia adequada para a elaboração de atividadesdesperta e favorece o interesse dos educandos, ao valorizar o desenvolvimento desuas capacidades e habilidades, a interação sócio-educativa e a escolha do melhorcaminho de resolver situações-problemas sem a necessidade de memorização defórmulas. Percebe-se que a partir do momento o qual fazemos uma relação dosconteúdos trabalhados em sala de aula com o cotidiano, conseguimos alcançar bonsresultados na aprendizagem, e minimizar as dificuldades no processo decompreensão dos conceitos matemáticos.
  41. 41. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASBARALDI, Ivete M. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru: EDUSC,1999.BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. de C. Educação Matemática: pesquisa emmovimento. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005BICUDO, Maria A. et al. PESQUISAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:Concepções e perspectivas. Organizadora: Maria Aparecida Bicudo. São Paulo:UNESP, 1999. (Seminários & Debates).BICUDO, Maria A. V. Educação Matemática. São Paulo: Moraes, s/d.BORBA, Marcelo de C. Pesquisa qualitativa em educação matemática. BeloHorizonte: Autêntica, 2004.BRASIL. Lei nº. 9394. Diretrizes e Bases da Educação do Brasil. São Paulo:Brasil, 1996.BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros CurricularesNacionais: Matemática. Brasília: MEC / SEF, 1998.BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros CurricularesNacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Brasília: MEC/SEF,1998.D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre a educaçãomatemática. 2. ed. São Paulo: Sumus; Campinas: Ed. da Universidade Estadual deCampinas, 1986.D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da Teoria à Prática. 4. ed.Campinas: Papirus, 1996. (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicação. Vol. 02. São Paulo: Ática,2002.FERREIRA, Aurélio B. de H. Miniaurélio Século XXI Escolar: O minidicionário dalíngua portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001.FILHO, Benigno B. Matemática aula por aula. 1. ed. São Paulo: FTD, 2003.FIORENTINI, Dário. Investigação em educação matemática: percursos teóricose metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006. Coleção formação deprofessores.KAMII, Constance. A criança e o número: Implicações educacionais da teoria dePiaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 abis. 11. ed.Campinas: Papirus,1990.
  42. 42. KAMII, Constance. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget.2. ed. Campinas: Papirus, 1988.LUDKE, Menga. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo:EPU, 1986.MIZUKAMI, Maria da G. N. Ensino: as abordagens do processo. São Paulo: EPU,1986.PAIVA, Manoel. Matemática. Vol. Único. 1. ed. São Paulo: Moderna, 1999.PONTE, João P. da. Investigação matemática na sala de aula. 1. ed. BeloHorizonte: Autêntica, 2005.SCHLIEMANN, A. D.; CARRAHER, D. W.; CARRAHER, T. N. Na vida dez, naescola zero. 13. ed. São Paulo, Cortez, 2003.TEBEROSKY, Ana. Além da alfabetização: a aprendizagem fonológica,ortográfica, textual e matemática. 4. ed. São Paulo: Ática, 2002.
  43. 43. APÊNDICE
  44. 44. APÊNDICE 1Desenvolva cada uma das atividades listadas abaixo: 1. Desenhe e depois recorte 3 camisas diferentes (08 cópias de cada), 2 calças diferentes (12 cópias de cada), 2 pares de meias diferentes (12 cópias de cada) e 2 pares de sapatos distintos (12 cópias de cada). Utilize sua criatividade. 2. Desenhe e, depois, recorte as letras A, M, O, R. Você deverá ter 24 letras de cada tipo. 3. Desenhe os números 1, 2 e 4 e os recorte. Faça 27 cópias de cada um. 4. Desenhe 07 frutas diferentes. Você deverá ter 20 cópias de cada uma. 5. Desenhe uma enfermeira, um médico, um advogado, um salva-vidas, uma aeromoça, um professor. Você deverá ter 10 cópias de cada um.
  45. 45. APÊNDICE 21. De quantas maneiras diferentes se pode vestir uma pessoa que tenha 3 camisas, 2 calças, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos?2. De quantas maneiras diferentes se pode vestir uma pessoa variando apenas a camisa e a calça?3. Quantas palavras (com significado ou não) podemos formar com as letras A, M, O, R sem repetir as letras?4. Quantas palavras (com significado ou não) podemos formar com as letras A, M, O, R sem repetição de letras, em que as letras A e M aparecem juntas?5. Quantas palavras (com significado ou não) podem formar com as letras A, M, O, R, em que R e M aparecem nos extremos?6. Quantas palavras (com significado ou não) podem formar com as letras A, M, O, R, terminando sempre com a letra O?7. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 4?8. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 4 ?9. Quantos números pares de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 4?10. Quantos tipos de salada de fruta poderão ser servidos usando 04 frutas diferentes?11. Quantos tipos de salada de fruta poderão ser servidos usando 05 frutas diferentes?12. Quantas comissões de 05 profissionais podem ser formadas?13. Quantas comissões de 04 profissionais podem ser formadas?14. Quantas comissões de 04 profissionais contendo sempre um médico e uma enfermeira poderão ser formadas?
  46. 46. APÊNDICE 31. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?3. Quantas palavras com significados ou não podemos formar com a letras P, E, R, D, Ã, O sem repetir as letras?4. Quantas palavras (com significado ou não) podemos formar com as letras P, E, R, D, Ã, O sem repetição de letras, em que as letras à e O aparecem juntas?5. Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos?6. Quantos times diferentes de basquete podemos formar com 12 atletas?7. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapato?8. Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantas modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas?9. Considerar a palavra DILEMA e determinar:a) O número total de palavras com significado ou não;b) O número total de palavras que iniciam com a letra D;c) O número total de palavras que iniciam com a letra D e terminam com a letra A;d) O número total de palavras que começam com vogal.10. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar?b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
  47. 47. APÊNDICE 3 – CONTINUAÇÃO11. (Fatec – SP) Dentre seis senadores e cinco deputados será escolhida uma comissão de três senadores e dois deputados. De quantas maneiras diferentes essa comissão pode ser formada?a) 200b) 100c) 80d) 50e) 4012. De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem formar uma fila indiana?13. De quantas maneiras diferentes podemos dispor, numa mesma prateleira de uma estante, quatro livros de matemática e três livros de física, de modo que livros de mesma matéria permaneçam juntos?14. Uma comissão de três membros deve ser escolhida dentre sete pessoas. De quantos modos diferentes se pode escolher a comissão, sabendo que as pessoas que formarem a comissão terão funções idênticas?

×