Introdução aos quebra-cabeças japoneses Masyu

INTRODUÇÃO AOS PUZZLES JAPONESES PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
11Q(a) AULA 2 – Slitherlink, Masyu, Nurikabe,
Hashiwokakero e Shikaku
11Q(a)
Nesse módulo você será apresentado para alguns quebra-cabeças, com suas principais regras
e estratégias. O Brasil não tem uma cultura de Puzzles, esses 5 apresentados nessa aula são
pouco conhecidos no país e não há materiais amplos sobre os mesmos.
Queremos difundir esses materiais no país e nos envolver em campeonatos.
ROTEIRO DE ESTUDOS
Pré Requisitos:
ESSE CURSO NÃO POSSUI PRÉ-REQUISITOS
COMO PROCEDER?
➢ Leia atentamente esse texto, grifando os assuntos mais importantes se necessário. Quando houver
um link para vídeos acessar o link e assistir aos vídeos para melhor compreensão do conteúdo.
➢ Treine os quebra-cabeças, em papel (imprima as páginas correspondentes) ou nos sites e softwares
indicados.
➢ Faça os testes da plataforma Moodle do PODEMOS.
➢ Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube pelos jogos apresentados.
Recomendamos o site do PuzzleTeam que falamos na outra aula.
➢ Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet. Há pouco material em língua
portuguesa
APRESENTAÇÃO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS
Masyu
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Trata-se de um quebra-cabeças da Nikoli,
criado em 2000, cujo nome se traduz livremente
como “influência do mal”.
Ele é comum em publicações e em competições
internacionais, existindo algumas variações
(como um Masyu hexagonal com bolinhas
brancas, pretas e cinzas). Há 3 livros da Nikoli
só dedicados ao Masyu, com 100 puzzles em
cada.
No site da Janko há informações sobre
variedades do Masyu e a história da mudança
de seu nome e teorias alternativas sobre o
significado do nome. (Verifique, se necessário
traduzindo a página com o Google Tradutor).
Exemplo de quebra cabeças e respectiva
solução:
Fonte da imagem: Wikipédia

PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
2
Fonte da Imagem: Nikoli
REGRAS (traduzidas do Puzzle Team)
As regras são bastante simples, como quase
todo quebra-cabeça lógico:
(1) O objetivo é criar um único loop fechado,
que percorre todos os círculos de acordo
com as regras. Esse loop é uma única
Curva de Jordan (o loop é único e sem
intersecções).
O quebra cabeças resolvido se parece com a
figura acima.
(2) Círculos brancos devem ser percorridos
totalmente pelo Loop
(3) Círculos negros forçam um giro de 90º.
(4) Quando a linha do loop passa por um
círculo branco, ela deve transformar pelo
menos uma das células vizinhas.
Essa não seria uma solução pois viola a regra:
(5) Quando a linha do loop passa por um
círculo preto, ela não deve girar em
nenhuma das células vizinhas.
Portanto, quando a linha sair dos círculos
pretos, ela deverá continuar pelo menos 2
etapas em uma linha reta.

3
Essa não seria uma solução válida porque viola
essa regra:
(6) Linhas de ramificação não são
permitidas. Cruzamentos também não
são permitidos (não seria uma Curva de
Jordan).
ESTRATÉGIAS BÁSICAS
As estratégias básicas são as seguintes:
1) Círculo negros nas bordas geram um traço
perpendicular:
Justificativa: Como o loop passa pelo círculo há
duas configurações possíveis no caso:
Então é certo que um dos tracinho será
perpendicular à borda.
2) Círculos pretos no canto geram um “L”:
Justificativa: único caminho possível.
3) Círculos brancos nas bordas podem ser
riscados:
Justificativa: Se fosse diferente, nós teríamos
que sair o loop para fora da área do quebra-
cabeças.
4) Círculos brancos duplos nas bordas
(desacompanhados de círculos pretos) podem
ter riscos adicionais de 90º como na figura:
Justificativa: a 4ª regra exige que se faça uma
curva de 90º antes ou depois da figura.
5) Três círculos brancos adjacentes podem ser
riscados com três traços paralelos, como na
figura:
Justificativa: caso contrário teríamos uma
violação da 4ª regra:

4
Não ocorreu um giro de 90º nem antes e nem
depois do círculo do meio, violando a 4ª regra.
6) Há alguns casos onde o loop já entrou no
círculo branco. Nesse caso só continuar e
atravessá-lo.
Dica: qualquer corte feito no tabuleiro por uma
única linha, de fora a fora, cortará o loop um
número par de vezes (teorema da Curva de
Jordam).
7) Podemos colorir a região interna da curva
para verificar que ela faz parte do interior da
curva. Com isso podemos fazer eliminações.
Quando temos um X separando uma parede a
parte adjacente é interna ou externa, mas da
mesma espécie que a que é dividida pelo X. Se
tivermos uma parede, as parte são de espécies
diferentes.
Considere o jogo já iniciado:
As regiões em destaque são obviamente
internas à curva:
Você pode colorir o seu quebra-cabeças para
facilitar. Um X obriga a manter a mesma região
(interna ou externa), uma parede a muda. No
papel é muito mais fácil! Você pode usar cores
ou símbolos para a resolução. No papel fica
muito mais fácil entender. Precisaríamos
explicar em vídeo as soluções.
Há muitas outras estratégias que com a prática
você irá descobrir. Em geral são puzzles fáceis
e resolvidos em pouco tempo.
Existem estratégias bem mais avançadas que
as nossas! Esse é apenas um curso introdutório
básico!
EXEMPLO 1
Acompanhe a resolução de um Masyu do site
https://www.kakuro-online.com/masyu/
Primeiramente vamos aplicar imediatamente as
estratégias básicas:

5
As ações acima são imediatas e não
necessitam qualquer raciocínio ou pensamento.
Uma próxima etapa óbvia é a seguinte:
Círculos bancos só possuem traços horizontais
ou verticais que passam por ele. Se o traço no
círculo da 2ª linha fosse vertical haveria uma
violação da 1ª regra, com uma intersecção.
Também é automático o caminho a seguir do
círculo negro .
A próxima etapa você consegue explicar?
Após passos vocês encontrariam a solução a
seguir:
Os “X” assinalados na figura mostram por onde
o loop não passa!
EXEMPLO 2
Também do site https://www.kakuro-
online.com/masyu/.
Veja o puzzle:
Vamos começar assinalando o que aprendemos
das estratégias básicas:
Não é preciso pensar para fazer as marcações
acima. Apenas usar as estratégias básicas.
Temos obrigatoriamente que fazer um giro de
90º, para não violar a 4ª regra:
Nesse caso, temos que prosseguir com a linha:
Não há outro caminho!
Analogamente:

6
Então:
Já entendeu como agir?
Veja o que fizemos:
Note que não devemos “chutar”. Apenas seguir
passos lógicos. O chute torna pouco provável a
conclusão, e erros podem exigir que você
comece tudo novamente.
Veja que aqui também podemos marcar, como
único caminho:
Veja a solução após muitos passos:
EXEMPLO 3
Veja o seguinte quebra cabeças da Krazydad:
Vamos fazer inicialmente todas estratégias
básicas. Como esse é um problema fácil, dá pra
fazer muita coisa já de cara:
Então aplicamos a 4ª regra:

7
Como só há um caminho para o loop:
Podemos fazer uma série de operações:
Tente compreender cada um desses passos
com base nas regras. Nada que fizemos foi no
chute, mas sim usando a lógica, onde temos
certeza que podemos assinalar. Podemos tratar
dos cantos:
No trecho a seguir há dois caminhos possíveis,
e vamos mostrar que é impossível ir para baixo:
Teríamos necessariamente a seguinte
configuração:
A linha mostra que no caso teríamos uma
violação do Teorema da Curva de Jordan, com
um número ímpar de intersecções:
Então temos que fazer o traço para o lado
contrário:
Veja a seguinte ilustração:
Perceba que na penúltima linha há 6 traços
horizontais e 2 espaços em branco. Então ou
esses 2 espaços em branco são riscos ou não.
Na última linha há 5 traços horizontais e 2
espaços em branco, então apenas uma linha
abaixo deverá ser preenchida.
Veja, esse raciocínio é mais complexo. Temos
as seguintes opções para os espaços restantes
sem X ou traço:
(1) Penúltima linha: 0 ou 2 traços,
respectivamente na 1ª e penúltima
coluna.
(2) Última linha: 1 traço, que pode ser na 1ª
ou penúltima coluna.
Vamos mostrar que é impossível ter 0 traços na
penúltima linha. Se isso ocorresse,
precisaríamos fazer um traço para baixo na
última linha, penúltima coluna e teríamos o
seguinte:
Se isso ocorrer, onde está a seta precisaria ter
uma linha, o que violaria a suposição, e
teríamos 1 traço na 2ª linha, portanto, temos
uma conclusão, na penúltima linha tem 2 traços!

8
(Tente entender esse argumento reduzido ao
absurdo).
Fica assim:
Analogamente olhe as interrogações. Ou ambas
são preenchidas pela linha, ou nenhuma delas:
Mas é necessário que ambas sejam
preenchidas, ou a bolinha branca abaixo da 2ª
interrogação ficaria sem traço algum.
Os próximos passos são automáticos após
fazer os dois traços:
Puzzle resolvido:
EXEMPLO 4
Puzzle 322 do site de Janko, de autoria de Otto
Janko:
Passos básicos:
Você consegue terminar?
ALGUNS PUZZLES RESOLVIDOS:
https://www.puzzlesandbrains.com

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COMENTÁRIO
Achar a solução de um Masyu arbitrariamente
grande é um problema NP-completo.
NA INTERNET (13/10/2019)
https://www.kakuro-online.com/masyu/
Puzzles interativos. Na impede que vc dê
CTRL+C e resolva os problemas em papel.
https://krazydad.com/masyu/
Há vários puzzles para imprimir e resolver.
Também há a versão online.
https://www.janko.at/Raetsel/Masyu/index.htm
Centenas de quebra-cabeças Masyu interativos
ou para impressão. Note que a maioria deles
pode ser resolvido apenas com lógica básica,
sem qualquer chute (estão assinalados).
VÍDEOS DO YOUTUBE
Puzzle Team (3/5/2020):
https://www.youtube.com/watch?v=-YEEe-
pDVq8&list=PLH_elo2OIwaDVVZgCpoCGoJdo
gcWmVHT1
FLEB(13/10/2019):https://youtu.be/AL04IeBwU
NU
Cracking The Cryptic(13/10/2019):
https://youtu.be/6qD_9GQe6R0 e
https://youtu.be/0Eoe3YEB9Vo
APLICATIVOS ANDROID (13/10/2019)
Não testamos nenhum dos aplicativos a seguir:
O aplicativo acima E7 Masyu – Braian Tease
foi o único que encontramos no Play Store do
Android.
O aplicativo Shiki Puzzle contém 4 tipos de
jogos, entre eles Sudoku e Shikaku.
O aplicativo 100 Logic Games – Time Killeres
possui mais de 100 jogos
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA

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QUEBRA CABEÇAS PROPOSTOS – MASYU
https://www.puzzlesandbrains.com (Todos quebra-cabeças a seguir com dificuldades fácil)
Masyu 1 Masyu 2 Masyu 3

11
Masyu 13 Masyu 14
Masyu 15 Masyu 16

12
https://www.janko.at/Raetsel/Masyu/ (Todos quebra-cabeças a seguir com dificuldades fácil)
Masyu 17
Autor Tom Collyer (#343)
Masyu 18
Autor Warai Kamosika (#23)
Masyu 19
Masyu 20
Autor Otto Janko (#511)
Masyu 21
Masyu 22
Autor Otto Janko (#501)
Masyu 23
Autor: Halflength Sleeve (#115)
Masyu 24
Autor: Swaroop Guggilam (#452)
Quebra cabeças podem ter direitos autorais.

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Masyu 1 Masyu 2 Masyu 3 Masyu 4

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MAIS PROBLEMAS MASYU https://krazydad.com/masyu/ - Apenas problemas fáceis.
Masyu 25
#1 Book 1 Easy 6x6
Masyu 26
#4 Book 11 Easy 6x6
Masyu 27
#5 Book 21 Easy 6x6
Masyu 28
#8 Book 31 Easy 6x6
Masyu 29
#9 Book 41 Easy 6x6
Masyu 30
#12 Book 51 Easy 6x6
Masyu 31
Masyu 32
Masyu 33

15
Masyu 34
Masyu 35
Masyu 36
Masyu 37
#1 Book 1 Easy 8x8
Masyu 38
#2 Book 1 Easy 8x8
Masyu 39
Masyu 40

16
Masyu 41
Masyu 42
Masyu 43
Masyu 44

17
Masyu 45
Masyu 46
Masyu 47
Masyu 48

18
Masyu 49
Masyu 50

19
GABARITO

20
Masyu 49 Masyu 50

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Slitherlink
QUADRO
Trata-se de um quebra-cabeças da Nikoli, como
todos os outros com diversos nomes: Fences,
Takegaki, Loop the Loop, Loopy, Ouroboros,
Suriza e Dotty Dilemma. Ele foi criado em julho
de 1989 por Yada Renin e Todokori Yuki.
Ele é comum em campeonatos internacionais,
existindo algumas variações (formato de favos
de mel – hexágonos, pentágonos tipo Cairo,
pavimentações de Penrose – com Kites
principalmente, Laves Tiles, Altair Design de
Roger Burrows). Há 33 livros da Nikoli com 100
puzzles Slitherlink. Todas as revistas da Nikoli
possuem pelo menos um desses quebra-
cabeças.
No site da Janko há informações históricas e
técnicas. (Verifique, se necessário traduzindo a
página com o Google Tradutor).
Ele é muito similar ao Masyu – e muito mais
comum e popular – pois exige a construção de
uma Curva de Jordam.
Talvez seja o quebra-cabeças mais difundido
entre os que estudaremos nesse curso.
solução:
É importante ressaltar que regras e
nomenclaturas tendem a variar e a
universalização leva à padronização (Otto
Janko). O Sudoku acabou se tornando universal
com esse nome, apesar de algumas variações
de nomes pontuais. O Kakuro também está se
tornando um nome padrão.
Um texto interessante sobre a padronização de
nomes está em:
https://www.janko.at/Raetsel/index.htm#benen
nung (acesso em 5 de maio de 2020)
(1) Pontos adjacentes devem ser
conectados com linhas verticais ou
horizontais para fazer um único loop.
Não é permitido fazer ligações na
diagonal.
Não são permitidas ligações em diagonal
(2) Os números indicam quantas linhas o
cercam. Células vazias podem estar
cercadas por qualquer número de linhas.
(3) O Loop é uma Curva de Jordan única,
sem intersecções (curto-circuitos),
ramificações ou separação em duas
curvas. Essa regra é idêntica à do
Masyu, onde o termo curto-circuito
também pode ser usado.

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Algumas proibições
ESTRATÉGIAS BÁSICAS
Slitherlink NUNCA pode ser resolvido por
adivinhação. É um quebra-cabeças que sempre
deve ser feito utilizando-se da lógica. As
estratégias básicas são as seguintes:
1) 3 e 0 vizinhos, já permitem traços
imediatamente, sem qualquer análise adicional:
Perceba que nesse caso é possível traçar o
caminho do 3:
2) Assinalar um X (proibição do traço) nos
trajetos que façam intersecção com a curva:
Isso vai facilitar os passos a seguir.
3) Impedir a formação de curvas parciais:
4) Marcar a curva imediatamente assim que
sobrar o número exato de espaços a serem
preenchidos. Sabemos exatamente onde
preencher com a linha no exemplo:
5) 1 no canto já autoriza marcar x nos lugares
indicados:

23
Justificativa: caso a curva tocasse o ponto do
canto, ela por lá passaria pelo menos duas
vezes.
6) 2 no canto já autoriza marcar os dois traços a
seguir:
Justificativa: nesse caso, só há dois caminhos
possíveis para o 2, passar rente à borda ou
desviar dela, mas, de qualquer maneira passará
pelos pontos em diagonal oposta ao canto.
7) 3 no canto já permite a seguinte
configuração:
Justificativa: é evidente que se passar pelo
canto terá que sair por outro lado. Como há 3
lados na figura, esses 2 já são certos.
8) Dois número 1 em diagonal permitem apenas
duas configurações:
Tente justificar.
9) Dois números 3 em diagonal geram a
seguinte configuração:
Justificativa. Se uma das laterais externas do 3
não pudesse ter um traço, olha o que
aconteceria:
Isso invariavelmente forçaria um curto circuito
ao preencher o 3 acima ou teríamos:
O que viola as regras.
Observação: Essa regra se aplica se tiverem 2
intermediários em diagonal:
Tente justificar essa regra adicional.

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10) Números 3 vizinhos permitem grades
paralelas:
Justificativa: caso tivéssemos a seguinte
configuração:
Teríamos:
O que violaria a 3ª regra.
Caso tivéssemos a seguinte configuração:
Chegaríamos na seguinte situação:
O que violaria a 2ª regra.
Para justificar os X, basta perceber que nesse
caso seria possível apenas dois resultados:
Não conhecemos a orientação de antemão,
mas essas linhas estão sempre lá:
Observação: Caso haja um 2 superior aos 3
consecutivos é permitido fazer a seguinte
configuração imediatamente:
ou
Você consegue justificar?
11) Como em Masyu você pode usar o Teorema
da Curva de Jordan.

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Veja no exemplo que o número de arestas
verticais ou horizontais é sempre par:
Exemplo:
O número de arestas em linha e coluna precisa
ser par. Como há 3 arestas verticais e 3 espaços
possíveis de ser preenchidos, aqui é necessário
preencher 1 e apenas 1 linha.
A única solução possível é a seguir:
Você consegue justificar? (É preciso usar o
Teorema da Curva de Jordam, que garante que
da região interna para a região externa um
segmento corta a curva um número ímpar de
vezes, e que da região interna para a região
interna ou da região externa para a região
externa a curva corta um número par de vezes)
12) Podemos colocar pequenos pontos
coloridos dentro das células para verificar que
eles estão na parte interna da curva:
Quando o 2 está no canto, é óbvio que os
pontinhos estão na região interior.
Veja uma possível solução:
Assim como em Masyu, isso pode ser uma
estratégia bem mais complexa.
ESTRATÉGIAS AVANÇADAS
Outras estratégias – tente justifica-las ou assista
ao vídeo https://youtu.be/ABq8wCB9J5E:
a)Um traço chegando no 1 permite marcar os
seguintes X:
b) A configuração a seguir, com quantos 2 você
tiver, permite a resposta conforme indicado:

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c) Veja a configuração:
Podemos assinalar:
d) 2 e 0 no canto:
Geram a seguinte configuração:
e) Veja a configuração:
Tem uma das seguintes resposta necessária:
ou
f) O modelo a seguir serve para qualquer
diagonal de 2:
Tem resposta necessária:
g) Caso, como no exemplo anterior, no extremo
tivermos um 1:
A resposta será:
h) Quando a linha aponta para o 3:
O resultado é o seguinte:

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i) Veja um modelo para um número ilimitado de
2 e 3 na diagonal:
Resposta:
De forma análoga com 3 números seria:
j) 0 e 3 em diagonal geram o seguinte:
k) Veja a solução para seguinte configuração:
Resposta:
l) Se tivermos a situação a seguir, a resposta é
automática:
m) A Técnica da Única Solução. Se o quebra
cabeças for bem elaborado, como a maioria,
existe uma única solução. Verificar a
possibilidade de encontrar duas soluções deve
ser um critério, veja o vídeo do Puzzle Team, de
onde tirei todas as imagem dessa seção de
estratégias.
Veja um exemplo:
Nesse caso se decidirmos passar traços sobre
o 2 do meio, como no desenho:
Teremos duas soluções possíveis.
Ou

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Portanto decidimos de forma diversa:
As imagens sem referência são de Puzzle
Team.
Dica: você pode colorir as casas suavemente
com lápis quando perceber que elas são
necessariamente no interior da Curva de Jordan
(loop).
COMENTÁRIO
Achar a solução de um Slitherink
arbitrariamente grande é um problema NP-
completo.
NA INTERNET
https://www.janko.at/Raetsel/Slitherlink
Mais de 900 quebra-cabeças e informações
relacionadas. Lá é possível imprimir quebra-
cabeças do tipo ou mesmo fazer online.
https://br.puzzle-loop.com/
Há Slitherlink em variadas dificuldades, para
fazer online ou impresso.
https://en.wikipedia.org/wiki/Slitherlink
A Wikipédia apresenta várias estratégias.
http://gopuzzles.appspot.com/
Slitherlink online, vários quebra cabeças.
https://www.brainbashers.com/slitherlink.asp
Um Slitherlink novo todos os dias.
https://krazydad.com/slitherlink/
São dezenas de milhares de quebra-cabeças
imprimíveis, com muita variedade –
interessantíssimo. Leia sobre o puzzle “Área 51”
https://www.puzzlemix.com/Slitherlink
Alguns quebra cabeças interessantes.
VÍDEOS DO YOUTUBE (14/10/2019)
FLEB: https://youtu.be/5_RwsGlDcw0
Conceptis Puzzle:
https://youtu.be/UGXFpRRERW8
CB Singh: https://youtu.be/zpDZheuPuPQ
Puzzle Team (principal referência):
https://www.youtube.com/watch?v=fqwE-
CpeGS4&list=PLH_elo2OIwaBk44COgFhnJRt
0-8xKMBQn (Playlist)
Ramprasad Rajendran:
https://youtu.be/b6ai0HtX75I
Craking The Cript:
https://youtu.be/p73XulMcT68
My Lame Animation:
https://youtu.be/8Y078AkyZRQ
APLICATIVOS DO ANDROID (9/4/2020):
Encontramos vários aplicativos no Playstore:

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Existe o Slitherlink Mastery, com muitas
opções:
Esse aplicativo permite escolher tabuleiros
triangulares, quadrados ou hexagonais, com
tamanhos 3x3, 7x7, 10x10, 15x15 ou 20x20
O aplicativo Slitherlink X parece-nos o mais
completo:
Foi provavelmente elaborado por alguém que
conhece bem o jogo e tem as versões
Honeycomb (hexagonal), Snowflakes, Squares
(a tradicional), pavimentação tipo Cairo (com
pentágonos), pavimentação com Kites (de
Penrose), diagonals.
O aplicativo possui um tutorial:
Dê uma olhada em outros quebra-cabeças
gerados com esse interessante aplicativo:

30

31
Outro aplicativo é o Concepts Slitherlink:
Porém, parte dos quebra-cabeças é pago. E
não recomendamos que ninguém pague por
quebra-cabeças japoneses! Há uma quantidade
quase infinita deles na Internet.
Nas modalidades gratuitas uma lista fechada de
quebra-cabeças é disponibilizada, com
formatos de grades quadradas diferentes.
Há vários outros aplicativos para você explorar:

32
Uma CURVA DE JORDAN, que envolveu os
puzzles Masyu e Slitherlink, é uma curva que
tem as seguintes características:
1) Ela é fechada.
2) Ela não tem intersecções (é uma curva
simples)
A Curva de Jordan divide o plano em duas regiões:
interna e externa.
Imagem de Happy Hour Matemático
Toda Curva que divide o plano em exatamente duas
regiões é uma Curva de Jordan e aí estão incluídas as
circunferências, as elipses, os polígonos (todos eles,
convexos ou não), e muitas outras.
Os pontos externos da curva a intersectam em qualquer
região em exatamente uma quantidade par de vezes
(veja bolinhas vermelhas). Não se incluem os pontos de
tangência (quadradinhos pretos).
Veja os pontos B (externo) e C (interno):
Conte agora as intersecções, pois você será capaz de
tirar as conclusões necessárias.
Tente descobrir se os pontos a seguir são internos ou
externos às curvas, fazendo um risco (ele não precisa
ser um segmento de reta, mas qualquer linha contínua):
Fonte: ASIAP
Aprofunde aqui:
[1]
http://happyhourmatematico.blogspot.com/2011/10/
curvas-de-jordan-no-toro.html
[2]
https://www.gaussianos.com/el-teorema-de-la-curva-
de-jordan/
[3]
http://www.asiap.org/AsIAP/index.php/jiap/fotos/18-
jiap-2014/detail/1660-jiap-2014?tmpl=component

33
QUEBRA CABEÇAS PROPOSTOS – SLITHERLINK
Milhares de quebras cabeças do tipo (com Copyright): https://krazydad.com/slitherlink/index.php (Todos
quebra-cabeças a seguir com dificuldades fácil)
Slitherlink 1
#1 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 2
#2 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 3
Slitherlink 4
Slitherlink 5
Slitherlink 6

34
Slitherlink 7
#11 Book 6 Easy 7x7
Slitherlink 8
#12 Book 6 Easy 7x7
Slitherlink 9
#3 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 10
#4 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 11
#5 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 12
#6 Book 1 Easy 7x7

35
Slitherlink 13
#7 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 14
#8 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 15
#9 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 16
#10 Book 1 Easy 7x7
Slitherlink 17
#7 Book 6 Easy 7x7
Slitherlink 18
#8 Book 6 Easy 7x7

36
Slitherlink 19
#9 Book 6 Easy 7x7
Slitherlink 20
#10 Book 6 Easy 7x7
Slitherlink 21
Slitherlink 22
Slitherlink 23
Slitherlink 24

37
Slitherlink 25
Slitherlink 26
Slitherlink 27
Slitherlink 28
Slitherlink 29
#2 Book 2 Easy 7x7
Slitherlink 30
#32 Book 3 Easy 7x7

38
Slitherlink 31
#1 Book 5 Easy 7x7
Slitherlink 32
#2 Book 5 Easy 7x7
Slitherlink 33
#11 Book 8 Easy 7x7
Slitherlink 34
#12 Book 8 Easy 7x7
Slitherlink 35
Slitherlink 36

39
Slitherlink 37
Slitherlink 38
Slitherlink 39
Slitherlink 40
Slitherlink 41
#9 Book 30 Easy 7x7
Slitherlink 42

40
Slitherlink 43
#5 Book 38 Easy 7x7
Slitherlink 44
#6 Book 38 Easy 7x7
Slitherlink 45
#1 Book 47 Easy 7x7
Slitherlink 46
#2 Book 47 Easy 7x7
Slitherlink 47
#7 Book 57 Easy 7x7
Slitherlink 48
#8 Book 57 Easy 7x7

41
Slitherlink 49
#3 Book 68 Easy 7x7
Slitherlink 50
#4 Book 68 Easy 7x7
Slitherlink 51
#1 Book 80 Easy 7x7
Slitherlink 52
#2 Book 80 Easy 7x7
Slitherlink 53
Slitherlink 54

42
Slitherlink 55
Slitherlink 56
Slitherlink 57
Slitherlink 58
Slitherlink 59
Slitherlink 60

43
Slitherlink 61
Slitherlink 62
Slitherlink 63
Slitherlink 64
Slitherlink 65
Slitherlink 66

44
Slitherlink 67
Slitherlink 68
Slitherlink 69
Slitherlink 70
Slitherlink 71
Slitherlink 72

45
Slitherlink 73
Slitherlink 74
Slitherlink 75
Slitherlink 76
Slitherlink 77
Slitherlink 78

46
Slitherlink 79
Slitherlink 80
Slitherlink 81
Slitherlink 82
Slitherlink 83
Slitherlink 84

47
Slitherlink 85
Slitherlink 86
Slitherlink 87
Slitherlink 88

48
Slitherlink 89
#11 Book 150 Easy 10x10
Slitherlink 90
#12 Book 150 Easy 10x10
Slitherlink 91
#13 Book 200 Easy 10x10
Slitherlink 92
#14 Book 200 Easy 10x10

49
Slitherlink 93
Slitherlink 94
Slitherlink 95
Slitherlink 96

50
Slitherlink 97
Slitherlink 98
#10 Book 350 Easy 10x10
Slitherlink 99
#15 Book 400 Easy 10x10
Slitherlink 100
#16 Book 400 Easy 10x10
GABARITO
Slitherlink 1 Slitherlink 2 Slitherlink 3 Slitherlink 4

51

52

53

54

55

56
OUTROS QUEBRA CABEÇAS (sem gabarito)

57

58
Variações do Slitherlink
LEIA COM ATENÇÃO ESSE QUADRO
Conheça outras variações no site: https://puzzlephil.com/puzzles/slitherlinkspecials/en/
Hexagonal: Quadrado Snub:
Dodecagonal: Kites:
Kairo Diamond
Octagonal Kensington
Floresta Penrose

59
Triângulos Trikaro
Existem também variações do Slitherlink muito criativas, como o mapa dos Estados Unidos
(https://www.gmpuzzles.com/blog/tag/slitherlink-2+variation-2/):
E Puzzles que misturam Masyu e Slitherlink:

60
QUEBRA CABEÇAS PROPOSTOS – SLITHERLINK (variações)
Sltherlink Cairo 1
Krazydad Faça online: encurtador.com.br/GIT25
Slitherlink Cairo 2
Krazydad Faça online: encurtador.com.br/anyJY
Sltherlink Hexagonal 1
Aplicativo Playstore

61
A grande variedade está em: https://krazydad.com/slitherlink/variety.php. Baixe lá!
Esse curso não trata de pavimentações, porém, as pavimentações envolvidas no Slitherlink tem relação com a
Teoria das Pavimentações. Há pavimentações aperiódicas de Penrose e também pavimentos conhecidos como Cairo
e Althair, que estuamos nessa teoria. O PODEMOS vai preparar um curso sobre pavimentações, que há ligações com
as variações de Slitherlink. (Kite é a Pipa e Dart a Seta das pavimentações abaixo).
Pavimentações de Penrose – Fonte: Wolfram Math World.

62
Slitherlink Cairo 3 Slitherlink Cairo 4
Slitherlink Kites 1 Slitherlink Kites 2

63
Slitherlink Diagonais 1 Slitherlink Diagonais 2
Slitherlink Floco de Neve 1 Slitlherlink Floco de Neve 2
Desafiamos vocês a criar regras para as variações no Slitherlink. Por exemplo. Que números nos cantos ou bordas
permitem conclusões imediatas?

64
Chave de Resolução do Slitherlink e
Masyu
QUADRO
Veja um exemplo de Slitherlink Hexagonal, com
a chave de respostas:
Chave de resposta: insira os comprimentos dos
blocos consecutivos de células separados pelo
loop (tanto dentro como fora) nas linhas
marcadas, da esquerda para a direita. Para
números de dois dígitos, digite apenas o último
dígito (por exemplo, digite '0' para um grupo de
10).
Essas chaves de respostas são utilizadas em
campeonatos.
Fonte:
https://math.berkeley.edu/~auroux/other/PB_he
xfences-smaller.pdf
A chave da resposta do Masyu é semelhante
Resposta: digite o comprimento nas células dos
segmentos de loop horizontal da esquerda para
a direita nas linhas marcadas, começando na
parte superior. Se o loop tiver apenas
segmentos verticais na linha marcada, insira 0.
Separe a entrada de cada linha com uma
vírgula. Este exemplo tem a chave
"15,222,23,51".
Fonte:
https://www.gmpuzzles.com/blog/masyu-rules-
and-info/

65
1) Veja o puzzle resolvido (fonte:
https://www.gmpuzzles.com/blog/slitherlink-rules-
and-info/)
Escreva as chaves de respostas A, B, C e D.
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________
2) Resolva e dê a chave de resposta:
a)
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________
b)
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________
c)
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________

66
d)
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________
e)
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________
f)
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________
g)
A ________________ B _________________
C ________________ D _________________
Fonte:
https://www.gmpuzzles.com/blog/tag/slitherlink-
2+classic+mondaytuesday/

67
4)Dê a chave das respostas dos Masyu a seguir:
a)
b)
c)
d)

68
e)
f)
g)
h)
Fonte:
https://www.gmpuzzles.com/blog/tag/masyu+classic
+mondaytuesday/
4)Acesse o site https://www.gmpuzzles.com/blog. Lá
você tem 78 Masyu e 62 Slitherlink, todos com os os
códigos. Explore o blog.

69
Um quebra-cabeças que une Masyu e
Slitherlink – Área 51
QUADRO
O quebra-cabeças Área 51 foi criado por David
Militar originalmente para thegriddle.net.
Regras podem ser encontradas em:
https://krazydad.com/area51/area51_instructio
ns.pdf (a tradução está abaixo)
O objetivo deste quebra-cabeça é construir uma
cerca contendo todos os extraterrestres
capturados e impedir que trifídeos semelhantes
a cactos entrem na instalação. A cerca deve ser
um único loop fechado que não se cruze a
qualquer momento! Os vários códigos
fornecidos são descritos no seguinte resumo.
Existe apenas uma solução!
ALIENS devem ser mantidos dentro da cerca
para evitar a exposição de civis.
TRIFÍDEOS ou TRIFFIDS, os plantoides
parecidos com cactos, devem ser mantidos fora
da cerca para evitar a contaminação
NÚMEROS NÃO CIRCULADOS (Regra
Slitherlink) indicam quantos segmentos da
cerca são usados ao redor do quadrado em que
o código aparece e sempre variam de 0 a 3.
NÚMEROS CIRCULADOS estão sempre
dentro da cerca; eles indicam condições de
visibilidade. Esse número conta o total de
quadrados visíveis olhando para o norte, sul,
leste e oeste a partir do local codificado e inclui
o próprio quadrado do código.
CÍRCULOS PRETO E BRANCO (Regra
Masyu) são codificados usando o sistema
Masyu da inteligência japonesa. A cerca que
passa por um círculo preto sempre faz uma
curva de 90 ° e se estende por duas células nas
direções de entrada e de saída. A cerca que
passa por um círculo branco segue reta, mas
deve girar imediatamente 90 ° em pelo menos
um lado.
COMENTÁRIOS GERAIS
Além do Slitherlink e Masyui o Há outros dois
puzzles anteriores ao Área 51 que o inspiraram:
Cactil (Wolves, Trees, etc...) e Corral.
Mais sobre é possível encontrar no site que
criou o puzzle: https://thegriddle.net/area51/
No site há variações do Slitherlink com o Área
51:

70
VERSÕES DO SLITHERLINK COM REGRAS
ALTERNATIVAS
Há versões do Slitherlink que podem também te
interessar:
Ovelhas e Lobos:
https://www.janko.at/Raetsel/Varianten/016.a.htm
Slitherlink Entrada e Saída:
Slitherlink sem deslizamento:
Colorlink
QUEBRA CABEÇAS PROPOSTOS – ÁREA 51
Quebra-cabeças de: https://krazydad.com/area51/ (Todos os quebra-cabeças abaixo são de dificuldade fácil)
Área 51 1
#1 Book 1 Easy 8x10
Área 51 2
#2 Book 1 Easy 8x10

71
Área 51 3
#5 Book 1 Easy 8x10
Área 51 4
#8 Book 1 Easy 8x10
Área 51 5
Área 51 6

72
Área 51 7
Área 51 8
Área 51 9
Área 51 10

73
Área 51 11
Área 51 12
Área 51 13
Área 51 14

74
Área 51 15
GABARITO
Área 51 1 Área 51 2 Área 51 3 Área 51 4

75
Área 51 13 Área 51 14 Área 51 15

76
Hashiwokakero
QUADRO
todos os outros com possui nomes:. Hashi,
Hashikake, Bridges, Chopsticks, Ai-Ki-Ai.
A tradução do japonês é “Construir Pontes”. A
palavra hashi pontes é escrita com o ideograma
橋 enquanto a palavra hashi também é a
representação fonética de “pausinhos”, aqueles
de alimentação, porém, utilizando-se outro
ideograma 箸. O nome Chopsticks é uma
tradução incorreta da palavra.
O jornal “The Times”, do Reino Unido, o
publicava pelo nome simples de Hashi, que é o
nome mais utilizado no ocidente.
Ele apareceu pela primeira vez na Puzzle
Communication Nikoli, edição 31, em setembro
de 1990, apesar que uma versão similar (com
regras ligeiramente diferentes) havia aparecido
na edição 28 de dezembro de 1989. Ele é
comum em campeonatos internacionais. Há
pelo menos 2 livros da Nikoli com 100 puzzles
Hashiwokakero. Quase todas revistas da Nikoli
cabeças.
Recomendamos mais informações no site de
Janko:
https://www.janko.at/Raetsel/Hashi/index.htm
solução:
Fonte: Janko
Fonte: Wikipédia
(1) O objetivo do jogo é ligar as ilhas (as
bolinhas com os números) com pontes
(os traços verticais ou horizontais). É
necessário conectar todas as pontes.
(2) As ilhas possuem um número. Cada
número representa o número de pontes
que chega na ilha:
(3) Entre duas linhas você pode construir
apenas 1 ou 2 pontes:

77
(4) As pontes viajam em uma linha reta
horizontal ou verticalmente.
(5) Pontes não podem cruzar ilhas:
(6) Pontes não podem cruzar outras pontes:
(7) Todas as ilhas precisam estar
conectadas em um único grupo, não
sendo permitidas ilhas sem acesso às
demais:
Sendo que deveria ficar da forma a seguir:
Imagens das regras de PuzzleTeam.
ESTRATÉGIA BÁSICA
Hashiwokakero NUNCA pode ser resolvido por
1) Como podemos ter apenas duas pontes em
cada ilha, um 4 num canto nos exige 2 pontes
pelas margens do tabuleiro:
Justificativa: se tivéssemos apenas uma ponte
em uma direção ficaríamos com 3 pontes na
outra direção:

78
2) O mesmo raciocínio se aplica para um
número 6 em uma das bordas do quebra-
cabeça:
3) O 8, em qualquer lugar do quebra-cabeças
nos exige duas pontes para cada uma das
quatro direções:
Resumindo: 4 num canto, 6 numa borda e 8 em
qualquer lugar nos permitem a resolução
imediata das ilhas.
4) Com o 3 num canto temos necessariamente
uma ponte para cada direção possível:
Justificativa: seriam duas possibilidades:
Portanto, é possível afirmar que temos pelo
menos uma ponte em cada caminho. Nos dois
casos há uma ponte em cada direção.
5) De forma similar, um 5 num canto permite
uma ponte em cada uma das direções (justifique
você mesmo):
6) Similarmente vale para um 7 em qualquer
lugar: 4 pontes, uma para cada direção.
7)Não é possível ligar duas ilhas com o número
1, pois elas ficariam isoladas das outras linhas,
ferindo a regra 7:
8)Similarmente não podemos ligar 2 ilhas com 2
com duas pontes:
Imagens das estratégias de PuzzleTeam.

79
EXEMPLO
Do canal do YouTube PuzzleTeam:
Rapidamente se resolve o 4 no canto:
É muito útil marcar as ilhas concluídas de
alguma forma. Vamos fazer um traço nelas.
Resolvemos também rapidamente o 6 na borda:
Esse movimento também completa o 2 abaixo
do 6:
O 3 no canto também é direto, já que ele possui
2 pontes e só cabe mais uma:
Similarmente o 5, porém, ainda não podemos
riscá-lo (faltará uma ponte):

80
As pontes já desenhadas deixam restrições
para as outras casas. Veja que só resta 1 local
para fazermos pontes no 1:
Também para o 2:
É sempre importante ressaltar que não houve
nenhum “chute” até agora. Não são necessários
na maioria dos quebra-cabeças japoneses.
Veja agora o 1. Ele não pode ser conectado com
o 1 vizinho:
Portanto, só resta um único caminho para
conectá-lo:
E esse 1 só sobra um local para ele ser
conectado, o 3 acima:
Veja agora que falta uma ponte no 4, e só há um
caminho para a traçarmos:

81
Veja agora esse 2. Ele não pode ter duas pontes
para o 1:
Portanto precisamos ligar uma ponte no 6 pelo
menos:
Agora, devido à última ponte que colocamos,
esse 3 só pode se conectar ao 3 acima:
Como o 6 não poderá ligar ao 3, que já foi
riscado, só resta ligar com 2 traços para cada
uma das ilhas restantes:
O 1 só pode se conectar acima:
Idem para o outro 1:

82
O 3 só tem duas ilhas possíveis para ligar (pois
o 5 abaixo está riscado). Ele pode ligar às ilhas
4 e 5, portanto, pode-se fazer 1 risco em cada
direção, já resolvendo o 5:
Como o 5 ficou riscado, a outra ponte é
evidentemente no 4, que também fica resolvido:
Esse 5 só precisa de mais uma ponte, mas só
há uma direção permitida, pois as outras duas
linhas com possível conexão já estão riscadas:
Só falta uma única conexão:
E o quebra-cabeças está resolvido:
Um conselho geral: NUNCA faça um palpite.
Jogue apenas movimentos com 100% de
certeza que estão corretos.
Fonte e Imagens: Puzzle Team
COMENTÁRIO
Determinar se um quebra-cabeça
Hashiwokakero tem uma solução é NP-
completo , reduzindo a descoberta de ciclos
hamiltonianos em gráficos de distância de
unidades com coordenadas inteiras. Existe uma
solução usando programação linear inteira nos
exemplos MathProg incluídos no GLPK. Uma
biblioteca de quebra-cabeças com até 400 ilhas,
bem como resultados de programação linear
inteira também são relatados.
Fonte: Wikipédia.
https://www.janko.at/Raetsel/Hashi/index.htm
São 750 quebra-cabeças e informações
https://br.puzzle-bridges.com/
Há Hashi em várias dificuldades, que você pode
fazer online ou impresso.

83
https://math.mpls.k12.mn.us/uploads/nctm_mat
h_puzzles_for_middle_school.pdf
Artigo, em Inglês, para professores de
Matemática, sobre o uso pedagógico do Hashi
e do Shikaku
http://www.menneske.no/hashi/eng/index.html
Milhares de Hashi para resolver. A interface é
confusa, mas tem muito conteúdo.
https://krazydad.com/bridges/
Vários Hashi para imprimir (com o nome
Bridges). Apresenta diversos níveis de
dificuldades, em livros, com milhares de quebra-
cabeças. O site é incrível para todos os jogos.
https://www.hashi.info/
Site especializado em quebra-cabeças Hashi
https://www.youtube.com/watch?v=z3z9v7wh-
Kk&list=PLH_elo2OIwaDWu3y29efZYPJ6LgB9
v_Aa (Playlist)
Renato Rivero (português):
https://www.youtube.com/watch?v=KPwr6DQR
cp4
MikeDevor:
https://www.youtube.com/watch?v=NLzz1cfU3
Sw
Conceptis Puzzles:
https://www.youtube.com/watch?v=AbWEIAHF
0tw
Davi Poma Huanca:
https://www.youtube.com/watch?v=hdGfkPYW
Xy4
Michelle Steimberg:
https://www.youtube.com/watch?v=dYJrGlAea1
0
Oliver Buo:
https://www.youtube.com/watch?v=CSplmguF
ORs
DumbyWaystoGame:
https://www.youtube.com/watch?v=fOPXulh4dd
o
Encontramos vários aplicativos no Playstore:
Não testamos os aplicativos, mas
apresentamos algumas interfaces:

84

85

86

87
CÓDIGO DE RESPOSTA:
Segue a sugestão do fórum de problemas de
lógica da Índia
(https://logicmastersindia.com/forum/)
O código no caso é 11212121 (linhas de corte
na horizontal, seta vermelha) e 222212 (linha
de corte na vertical, seta verde)

88
QUEBRA CABEÇAS PROPOSTOS – HASHIWOKAKERO
Abaixo, todos de dificuldade fácil. Não há exercícios difíceis de Hashi nessa aula. Mais milhares, em todos
os níveis e dificuldade e vários tamanhos no excelente site com arquivos imprimíveis:
https://krazydad.com/bridges/index.php.
Hashi 1
#1 Book 1 Small 9x9 vol 1
Hashi 2
Hashi 3
Hashi 4

89
Hashi 5
Hashi 6
Hashi 7
Hashi 8

90
Hashi 9
Hashi 10
Hashi 11
Hashi 12

91
Hashi 13
Hashi 14
Hashi 15
Hashi 16

92
Hashi 17
Hashi 18
Hashi 19
Hashi 20

93
Hashi 21
Hashi 22
Hashi 23
Hashi 24

94
Hashi 25
Hashi 26
Hashi 27
Hashi 28

95
Hashi 29
Hashi 30
Hashi 31
Hashi 32

96
Hashi 33
#1 Book 29 Medium 14x22 vol 2
Hashi 34

97
Hashi 35
Hashi 36

98
https://www.crestwoodschools.org/userfiles/702/Classes/4210/Week1-HashiwokakeroA-Student%201.pdf
Hashi 37 Hashi 38 Hashi 39
Hashi 40 Hashi 41
Hashi 42 Hashi 43

99
https://www.puzzlesandbrains.com/BuildBridges.php
Hashi 44
9x9 Puzzle 1
Hashi 45
9x9 Puzzle 2
Hashi 46
9x9 Puzzle 3
GABARITO
Hashi 1 Hashi 2 Hashi 3 Hashi 4

100

101
Hashi 33 Hashi 34
Hashi 35 Hashi 36
Hashi 41 Hashi 42

102
Shikaku
QUADRO
todos os outros com diversos nomes: Sikaku,
Divide by Box, Divide by Squares, Number Area,
Cell Blocks. Não se sabe quando ele foi criado,
mas é anterior a 2011. Ele é uma variação de
um quebra-cabeças mais geral (e mais
complexo) chamado Filomino.
existindo algumas variações (Há variações com
margens inferior/superior ou esquerda/direita
ligadas uma à outra (com nome Toriod, Toridal
ou Torus), com exatamente dois números em
cada retângulo e a área é a soma desses
números, ou com cada retângulo contendo 1 ou
2 números e esse é a soma (Pairs), com alguns
campos marcados e não contam para área
(Dotted), diagramas com campos com círculos
(Pentominos).
Há pelo menos 14 livros da Nikoli com 100
puzzles Shikaku. Todas as revistas da Nikoli
cabeças.
solução:
Fonte da imagem: Nikoli

103
(1) O objetivo do Shikaku é dividir a área em
retângulos (inclusive, obviamente,
quadrados, mas nunca outros
polígonos).
(2) Cada retângulo deve conter exatamente
um número. O número corresponde à
área do retângulo.
(3) Não pode haver mais de um número em
um retângulo e nem retângulos sem
números:
(4) Retângulos não podem se sobrepor:
Imagens das regras de PuzzleTeam.
ESTRATÉGIA BÁSICA
Shikaku NUNCA pode ser resolvido por
1) Números cercados por outros números por
todos os lados podem ser imediatamente
marcados:
Justificativa: ele sobreporia os números se
fosse para qualquer lado se não o disponível:
2) Veja que o 3 não poderia formar um retângulo
para baixo, pois encontraria um dos cantos,
portanto, sobra uma única direção:

104
3) Podemos procurar células que só possam
pertencer à um único número. Geralmente são
células angulares delimitadas pela estrutura do
quebra-cabeça ou por outros retângulos.
Exemplo: a célula a seguir só pode pertencer ao
3:
Portanto é a única maneira de fazer o retângulo
no 3:
4) Podemos eliminar as opções e assinalar a
única região possível.
Exemplo: A célula do canto inferior direito não
poderia pertencer ao 3:
E nem do 5:
Portanto ela é a parte do 3:
5)Outra estratégia é analisar as possibilidades
de expansão.
Exemplo: Veja o 4, onde a seta direciona tem 2
ou 3 quadrados disponíveis, não sendo
suficientes para quadrados 4x1 ou 1x4,
portanto, só é possível fazer um retângulo 2x2:
Esta é a única possibilidade:

105
6)Observar células que não seriam atingidas
por nenhum retângulo.
Exemplo: Veja as duas possibilidades de
preencher o 3:
Mas se fizermos isso, permanecerá uma célula
isolada que não faz parte de nenhum retângulo:
Portanto o canto deve fazer parte do 3:
7)Observar se uma solução não criará um
obstáculo.
Exemplo: Se resolvermos o 2 da seguinte
maneira, o 5 não terá como expandir:
Resta então apenas uma posição para o 2:
Agora o 5 fica fácil:
Um conselho geral: NUNCA faça um palpite.
Jogue apenas movimentos com 100% de
certeza que estão corretos.
COMENTÁRIO
Não encontramos informações sobre o fato de
Shikaku ser ou não ser NP Completo ou
qualquer outra análise computacional do
quebra-cabeças.
https://www.janko.at/Raetsel/Sikaku/index.htm.
https://www.puzzle-shikaku.com/
Há Shikaku em várias dificuldades, que você
pode fazer online ou impresso.
https://www.mathinenglish.com/puzzlesshikaku.
php
Shikaku em diversos tamanhos

106
https://math.mpls.k12.mn.us/uploads/nctm_mat
h_puzzles_for_middle_school.pdf
Artigo, em Inglês, para professores de
Matemática, sobre o uso pedagógico do Hashi
e do Shikaku
http://www.crauswords.com/sikaku.html
Uma pequena lista de quebra-cabeças Shikaku
e variantes disponíveis.
https://www.researchgate.net/publication/23263
4914_Implementation_of_Heuristic_Technique
_and_Genetic_Algorithms_inShikaku_Puzzle_
Problem
Artigo de matemática avançada falando do
Shikaku
https://puzzlephil.com/puzzles/shikaku/en/
Lista de Puzzles Shikaku:
https://www.youtube.com/watch?v=XrwY3sOwiN8
&list=PLH_elo2OIwaAzg_J35iSQQolHrKanoJTM
(Playlist)
Explicação do nosso canal, gravado em 2017,
em Português: https://youtu.be/KNwjMmlkRD4
Ktane: https://youtu.be/BMkOqzVQuNo
Craking The Cryptic:
https://youtu.be/VJbaVK3aRxY
Mrhodotnet: https://youtu.be/wx0HsB8YPdY
Juan Carlos Sarmiento:
https://youtu.be/FVvFlkY-mcY
Awesome Math: https://youtu.be/ucgGr0dPVDw
Lembre-se que Shikaku é uma variação do
Filomino, só com retângulos.
Encontramos vários aplicativos no Playstore, e
não testamos, apenas apresentamos uma lista
de interfaces, como fizemos no Hashi:
Veja algumas interfaces:

107

108
NOTAÇÃO PARA SHIKAKU
Chave de Respostas:Para cada célula nas linhas /
colunas marcadas, insira a área do retângulo ao qual
pertence. Digite apenas o último dígito para qualquer
número de dois dígitos. Comece com a 7ª linha,
seguida por uma vírgula, seguida pela 3ª coluna.
A regra é a mesma do Filomino:
Como dissemos, o Shikaku é uma variação do
Filomino. No caso, só trocar poliminós por
retângulos.
A notação do exemplo é: 555229999,355332122
Exemplo:
A chave de respostas no caso é 32666, 54665.
Essas chaves de respostas podem variar de torneio
para torneio e são muito importantes para o registro
em gabaritos dos resultados dos puzzles.

109
QUEBRA CABEÇAS PROPOSTOS – SHIKAKU
https://www.mathinenglish.com/ (somente os números circulados são os números do retângulo. Os números
menores indicam que eles fazem parte do retângulo com essa área (se preciso olhe o gabarito). Todos exercícios a
seguir são de dificuldade fácil. Nos sites há exercícios de dificuldade média, difícil e muito difícil.
Shikaku 1 Shikaku 2 Shikaku 3

110
Shikaku 13 Shikaku 14

111

112
https://www.users.miamioh.edu/wankojj/Welcome_files/OCTM%202010%20Handout.pdf
Shikaku 24

113
Shikaku 25
GABARITO
Shikaku 1 Shikaku 2 Shikaku 3 Shikaku 4

114

115
Nurikabe
QUADRO
Trata-se de um quebra-cabeças binário da
Nikoli, como todos os outros com diversos
nomes: Cell Structure, Island in the Stream,
Streaming Content. Foi criado por alguém com
pseudônoimo de Lenin e publicado em Nikoli
Puzzle Comunication número 33, em março de
199.
existindo algumas variações, sendo também
quebra-cabeças binários, LITS, Mochikoro e
Atsumari (esse hexagonal), e muitos outros
(veja na Wikipédia e site de Otto Janko).
Há pelo menos 7 livros da Nikoli com 100
puzzles Nurikabe, a partir de 2005. Todas as
revistas da Nikoli possuem pelo menos um
desses quebra-cabeças.
O nome Nurikabe deriva de um espírito do
folclore japonês que forma um muro para
desviar os viajantes à noite.
solução:
Fonte da imagem: Nikoli
(1) O objetivo deste quebra-cabeças é
determinar quais células são pretas e
quais células são brancas. Células com
número são brancas.

116
O quebra-cabeças resolvido parece com isso:
(2) As áreas brancas são chamadas de
ilhas e a área preta é chamada de fluxo
ou oceano. Deve haver um único
número em cada ilha.
O número indica a área da ilha.
(3) As ilhas não devem se tocar:
(4) Todas as células negras devem estar
conectadas em um único grupo comum
chamado fluxo.
(5) Fluxos divididos não são permitidos:
(6) Áreas prestas 2x2 também não são
permitidas:
ESTRATÉGIA BÁSICA
Nurikabe NUNCA pode ser resolvido por
deve ser feito utilizando-se da lógica.
Você vai notar que entre os puzzles que
estudamos esse é ligeiramente mais complexo
e possui mais estratégias.
As estratégias básicas são as seguintes:
1) Primeira coisa a fazer é procurar o número 1.
O número 1 indica que a ilha contém uma única
célula branca. Como as células numeradas são
sempre brancas, então esta ilha está pronta.
Como duas ilhas não podem se tocar, todas as
células ao redor da que contém o número 1 são
pretas.

117
2) O próximo passo é procurar números
próximos um do outro.
Cada figura deve ter sua própria ilha e não pode
se tocar.
Veja que o quadradinho negro no centro da
célula indica que a célula será branca.
Temos portanto que colocar células negras para
separar as ilhas:
Podemos fazer a mesma coisa com essas
outras duas células:
3) Esses dois também devem ser separados:
Isso é uma regra geral na horizontal ou vertical.
4) Agora vamos olhar para esse número 3:
Sua ilha é de três células. Existe apenas uma
direção para moldar essa ilha:

118
Colocamos um ponto nessa caixa para marca-
lo como branco seguro.
Então essas duas ilhas quase se tocam:
Temos portanto que separá-los com células
negras:
A ilha do 3 precisa de mais uma célula. Essa é
a única maneira de fazê-lo:
Fica assim:
5) Quando a ilha está completa, nós a
envolvemos com células prestas para separá-la
das outras ilhas:
Podemos agora aplicar a estratégia número 4
para esse número 4:
6) De acordo com as regras, todas as células
negras devem estar conectadas em um grupo
comum. Portanto, podemos procurar áreas
negras que estão prestes a serem isoladas.
Essa área, por exemplo, é cercada por ilhas.

119
7)Precisamos estendê-lo para que não seja
separado o fluxo
Nós podemos fazer o mesmo por essa célula:
8) A próxima técnica que mostrarei é “dividir”:
Confira esse 2.
Ele precisa de outra célula branca e é uma
dessas duas.
Se colocarmos uma célula branca aqui, quando
adicionamos a segunda célula branca ao 2,
obtemos uma ilha de três células.
Portanto a célula indicada diagonal é preta:
9) A técnica a seguir chama-se “células
inacessíveis”. Estamos à procura de células que
estão distante dos números.
Por exemplo, podemos ver até onde vai o 4:
Essas duas células não podem ser alcançadas:

120
Portanto essas células inacessíveis são pretas:
Da mesma forma, descobrimos que essas
células são inacessíveis (verifique você
mesmo!)
Elas devem ser pretas:
10) A regra é que áreas 2x2 pretas não são
permitidas.
Procure lugares que possam moldar essa área
e coloque um ponto para evitá-la.
O mesmo aqui:
E aqui:
11) Após estágio avançado, verifique se há ilhas
completas.
Note que o 2 está pronto e podemos cerca-lo
com células pretas:

121
Fica assim:
O mesmo vale para o 4
Fica assim:
12) Precisamos analisar áreas brancas que
precisam de ligação.
Aqui temos uma célula branca que não está
ligada à nenhuma ilha. Precisamos estender a
área branca para que ela não permaneça
isolada.
Então decidimos o 4 e o envolvemos com
células negras:
As células a seguir estão inacessíveis
(estratégia 9):
Fica assim:

122
E esse é branco para não formar uma zona 2x2:
Nós cercamos o 2 e o quebra-cabeça está
resolvido.
13) Deixe-me mostrar algumas técnicas mais
complexas para resolver isso. Esse 5 pode ser
decidido em uma dessas duas direções.
Vamos escolher esse:
Essas duas células fazem parte do 7, portanto
devem alcançá-lo. Não haveria como essas
células fazerem parte de nenhuma outra ilha:
Como escolhemos essa direção para o 5, nós
cortamos essas casas para que as ilhas do 7 e
do 5 não se conectem.
Portanto, temos que escolher outro caminho:
14)Veja outro exemplo dessa mesma técnica,
mas mais aprimorado.
Se optarmos em expandir o 5 nessa direção:

123
Apenas 7 células brancas possível
permanecem para o 10.
Ele cai numa área fechada. Portanto o 5 não
pode expandir nessa direção e colocamos uma
caixa preta lá.
15) Agora vamos verificar o que acontece se
colocarmos uma célula branca aqui.
Essa célula branca seria obviamente parte do
10.
Não importa como a conectamos sempre
separará essa área preta.
Essa caixa portanto deve ser preta:
16) Dê uma olhada nesse exemplo:
Se estendermos o 4 para baixo, ele bloqueará o
6.
Então essa caixa é preta.
17) Existem duas direções para esse 6
expandir:

124
Para cima, há apenas uma célula possível.
Portanto são necessárias pelo menos duas
células à direita.
18) Olhe para essa caixa no mesmo exemplo
dos itens 16 e 17.
Se for branco precisará ser estendido em uma
dessas duas direções:
Mas em ambos casos, é obtida uma área preta
isolada:
O que não é permitido:
Então essa caixa é preta:
Se esta caixa for preta, é obtida uma zona preta
2x2:
Então essa caixa não pode ser preta:
Portanto, é branco:

125
19) Com o tempo, você acostumará a perceber
que marcar algumas células leva para
determinadas contradições. Exiostem muitas
técnicas.
COMENTÁRIO
Nurikabe é NP-Completo mesmo quando os
números envolvidos são apenas 1 e 2. Mesmo
se ignorar as regras da unicidade do fluxo e da
proibição de quadrados 2x2 o Nurikabe continua
NP-Completo.
https://www.janko.at/Raetsel/Nurikabe/index.ht
m
https://www.puzzle-nurikabe.com/ ou
https://pt.puzzle-nurikabe.com/
Dos mesmos autores do PuzzleTeam, há várias
dificuldades, que você pode fazer online ou
impresso.
https://www.puzzlesandbrains.com/Nurikabe.ph
p
Vários Quebra-Cabeças em teamanhos e níveis
de dificuldade distintos.
https://en.wikipedia.org/wiki/Nurikabe_(puzzle)
Informações na Wikipédia, incluindo
estratégias.
https://www.conceptispuzzles.com/index.aspx?
uri=puzzle/nurikabe
Estratégias e alguns jogos
https://puzzlemadness.co.uk/nurikabe/
Nurikabe diário.
https://www.kakuro-online.com/nurikabe/
Faça puzzles Nurikabe virtuais e já corrija
imediatamente.
https://www.logicgamesonline.com/nurikabe/
Logic Games Online
https://www.brainbashers.com/nurikabe.asp
Puzzles Diários
https://www.researchgate.net/publication/33375
5704_Solving_Nurikabe_with_Ant_Colony_Opti
mization_Extended_version
Artigo sobre Nurikabe
https://www.nikoli.co.jp/en/topics/log/file/Nikoli_
Puzzles.pdf
Sobre Nurikabe e outros.
http://www.syndicatedpuzzles.com/Nurikabe_S
ample_Pack.pdf
Coleção de Nurikabes imprimíveis.
Puzzle Team (principal referência): xxxxxx
(Playlist):
https://www.youtube.com/playlist?list=PLH_elo
2OIwaC0RmpMP6zAHRrYPalpQZq3
Como resolver Puzzles Nurikabe?
https://youtu.be/xcCZQUbCByk
Craking The Crypt:
https://youtu.be/xcCZQUbCByk e
https://youtu.be/pWqUzSgJCE0
Concept Puzzles: https://youtu.be/cFdf4tNsjPg
Tutorial
https://www.youtube.com/watch?v=MgilaC5Lw
Yo
Encontramos vários aplicativos no Playstore.
Vamos apresentar algumas interfaces:

126

127
CÓDIGO DE RESPOSTA (NOTAÇÃO
ANSWER KEY)
Resposta: digite o comprimento nas células de
cada um dos segmentos pretos (o “oceano” não
numerado e conectado) da esquerda para a
direita para as linhas marcadas, começando na
parte superior. Separe a entrada de cada linha
com uma vírgula. Este exemplo tem a chave
"111,131,411,11".

128
QUEBRA CABEÇAS PROPOSTOS – NURIKABE
Quebras cabeças fáceis de https://www.puzzlesandbrains.com/
Nurikabe 1 Nurikabe 2 Nurikabe 3

129

130

131
http://www.syndicatedpuzzles.com/Nurikabe_Sample_Pack.pdf
Nurikabe 28 Nurikabe 29
Nurikabe 30 Nurikabe 31

132
https://www.janko.at/Raetsel/Nurikabe/ (Todos quebra-cabeças a seguir com dificuldades fácil)
Nurikabe 33
Autor Ooya Tate Tadashi (#49)
Nurikabe 34
Autor Oleg Andrushko (#286)
Nurikabe 35
Autor Mokuani (#616)
GABARITO
Nurikabe 1 Nurikabe 2 Nurikabe 3 Nurikabe 4

133

134
Exercícios de Codificação do Nurikabe
1) Resolva os puzzles e dê os códigos de
resposta.
a)
b)
c)
d)

135
e)
f)
g)
Fonte:
https://www.gmpuzzles.com/blog/tag/nurikabe-
2+classic+mondaytuesday/
2)Resolva essa variação de Nurikabe
(https://www.gmpuzzles.com/blog/tag/nurikabe-
2+variation-2/)
Tema: Primes
Autor / Opus: Este é o 125º quebra-cabeça do
nosso mestre de quebra-cabeças colaborador
Murat Can Tonta.
Regras: Nesta variação de Nurikabe, a regra
oceânica no 2 × 2 é removida e, em vez disso,

136
todas as células oceânicas devem pertencer a um
único loop fechado. Especificamente: divida a
grade em regiões chamadas “ilhas”, cada uma
contendo exatamente um dos números fornecidos
e com a mesma área desse número. As ilhas só
podem tocar na diagonal. Um único loop fechado
(sem interseção ou cruzamentos) deve ser
desenhado em todas as células restantes.
Chave de Resposta: digite o comprimento nas
células dos segmentos de loop horizontal da
esquerda para a direita nas linhas marcadas,
começando na parte superior. Se o loop tiver
apenas segmentos verticais na linha marcada,
insira 0. Separe a entrada de cada linha com uma
vírgula. Este exemplo tem a chave "12,3". Padrões
de tempo (destaque para exibição):
Tempo Estimado de Solução: Grandmaster =
5:30, Master = 10:15, Expert = 20:30
3)Veja variações do Nurikabe:
https://www.gmpuzzles.com/blog/tag/nurikabe-
2+variation-2/
Uma delas é o Atsumari (não consta das fontes
acima):
a)
https://sites.google.com/a/atsumari.com/www/home
/weekly/past_puzzles
b)

137
c)
d)

138

Introdução aos quebra-cabeças japoneses Masyu

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