Este documento discute conceitos fundamentais de conectividade em grafos. Em três frases: Introduz os conceitos de caminhada, trilha, caminho e ciclo em grafos e define quando um grafo é conexo. Explora a noção de componentes conexos e vértex de corte e ponte, que separam componentes. Por fim, introduz as definições de k-conectividade e l-arestas conexas, medidas da robustez de uma rede.

1. Conectividade em Grafos
Conectividade em Grafos
Michelle Cacais
Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE
15 de Abril de 2016
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 1 / 16

2. Conectividade em Grafos
Introdu¸c˜ao
Conectividade ´e um dos conceitos b´asicos da teoria dos grafos.
Fala sobre o n´umero m´ınimo de elementos que precisam ser
removidos para desconectar os v´ertices uns dos outros.
´E um tema fortemente ligado a teoria dos problemas de fluxo de redes.
A conectividade de um grafo ´e uma importante medida da robustez
de uma rede.
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 2 / 16

3. Conectividade em Grafos
Conceitos iniciais
Em um determinado grafo G, uma caminhada (walk) em G ´e uma
sequˆencia finita de arestas, podendo ser representado por
v0, v1, v2, ..., vm.
Cada aresta consecutiva ´e adjacente ou idˆentica.
Essa caminhada determina uma sequencia de v´ertices v0, v1, ..., vm,
sendo v0 o v´ertice inicial e vm o v´ertice final.
O n´umero de arestas em um caminho ´e chamado de tamanho
(length).
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 3 / 16

4. Conectividade em Grafos
Conceitos iniciais
Exemplo: v → w → x → y → z → z → y → w ´e uma caminhada de
tamanho 7 de v at´e w.
Figura: Grafo com tamanho 7
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 4 / 16

5. Conectividade em Grafos
Conceitos iniciais
Uma caminhada na qual todas as bordas s˜ao distintas consiste em
uma trilha (trail).
Se, al´em disso, os v´ertices v0, v1, ..., vm s˜ao distintos, (exceto se
v0 = vm), ent˜ao ´e chamado de caminho (path).
Um caminho ou uma trilha ´e fechado (closed) se v0 = vm.
Um caminho fechado que contem no m´ınimo uma aresta ´e um ciclo
(cycle).
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 5 / 16

6. Conectividade em Grafos
Conceitos iniciais
Um grafo ´e dito conexo (connected) se, e somente se, houver um
caminho os ligando.
Figura: Exemplos de grafos conexo e desconexo
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 6 / 16

7. Conectividade em Grafos
Defini¸c˜ao
Um grafo n˜ao vazio G ´e chamado conexo se qualquer um dos v´ertices
est´a ligado por um caminho em G.
Se U ⊆ V (G), e G[U] s˜ao conexos, U tamb´em ´e chamado de conexo
(em G).
Um grafo ´e conectado se possuir exatamente um componente
conectado, ou seja, se cada n´o ´e alcan¸c´avel a partir de cada um dos
n´os.
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 7 / 16

8. Conectividade em Grafos
Preposi¸c˜ao
Os v´ertices de um grafo conexo G pode ser sempre enumerado como
v0, v1, ..., vm.
Ent˜ao Gi := G[v1], ..., vi ´e conectado para cada i.
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 8 / 16

9. Conectividade em Grafos
Prova
Pegue qualquer v´ertice e assuma que ´e v1.
Assuma indutivamente que v1, ..., vi foi escolhido por algum i < |G|.
Agora pegue um v´ertice v ∈ G − Gi .
Como G ´e conexo, contem um caminho P de v − vi .
Escolha como vi+1 o ´ultimo v´ertice de P em G − Gi .
A conectividade de cada Gi ´e seguida pela indu¸c˜ao de i.
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 9 / 16

10. Conectividade em Grafos
Componentes
Imagine um grafo G = V , E.
Um subgrafo com conectividade m´axima de G ´e chamado
componente de G.
Um componente a ser conectado ´e sempre um componente n˜ao vazio.
O grafo vazio n˜ao tem componentes.
Figura: Um grafo com trˆes componentes, e um m´ınimo subgrafo gerador
ligado em cada componente
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 10 / 16

11. Conectividade em Grafos
V´ertice de corte e ponte
Se A, B ⊆ V e X ⊆ V ∪ E, tais que cada caminho A - B em G
contem um v´ertice ou uma aresta de X, diz-se que X separa os
conjuntos A e B em G.
X separa G se G - X ´e desconexo.
Isso implica que A ∩ B ⊆ X.
Um v´ertice que separa dois outros v´ertices do mesmo componente ´e
chamado de v´ertice de corte (cutvertex).
A aresta que separa ´e chamada de ponte (bridge).
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 11 / 16

12. Conectividade em Grafos
Ponte
Uma aresta ´e dita ser uma ponte se sua remo¸c˜ao produz um grafo
com mais componentes conexos.
Figura: Um grafo com v´ertices de corte v, x, y, w e ponte e = xy
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 12 / 16

13. Conectividade em Grafos
Separa¸c˜ao
O par n˜ao ordenado A, B ´e uma separa¸c˜ao de G se A ∪ B = G e se G
n˜ao tiver nenhuma aresta entre A para B e entre B para A.
´E equivalente dizer que A ∩ B separa A de B.
Ambos casos de A para B e de B para A s˜ao n˜ao vazios e a separa¸c˜ao
´e apropriada.
O n´umero |A ∩ B| ´e a ordem da separa¸c˜ao de A, B.
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 13 / 16

14. Conectividade em Grafos
k-conectividade
G ´e chamado k-conexo (k ∈ N) se |G| > k e se G − X ´e desconexo
para cada X ⊆ V com |X| < k.
Dois v´ertices de G n˜ao podem ser separados por menos de k outros
v´ertices.
Todo grafo n˜ao vazio ´e 0-conexo, e os grafos 1-conexos s˜ao
precisamente os grafos conexos n˜ao-triviais.
O maior n´umero inteiro k tal que G seja k-conexo ´e a conectividade
k(G) de G.
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 14 / 16

15. Conectividade em Grafos
l-arestas-conexas
Se |G| > 1, e G - F ´e conexo para cada conjunto F ⊆ E de menos
que l arestas, ent˜ao G ´e chamado de l-arestas-conexas.
O maior n´umero inteiro l, tal que G seja l-arestas-conexo, ´e a aresta
conexa λ(G) de G.
Figura: O octaedro G com k(G) = λ(G) = 4 e o grafo H com
k(H) = 2, masλ(H) = 4
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 15 / 16

16. Conectividade em Grafos
Conclus˜ao
Um grafo n˜ao orientado ´e chamado de conexo (ou conectado) se
existe um caminho entre cada par de v´ertices distintos do grafo.
Um grafo G(V,E) desconexo ´e formado por pelo menos dois subgrafos
conexos, disjuntos em rela¸c˜ao aos v´ertices.
Uma aresta ´e dita ser uma ponte se sua remo¸c˜ao produz um grafo
com mais componentes conexos.
O maior n´umero inteiro k tal que G seja k-conexo ´e a conectividade
k(G) de G.
Michelle Cacais | Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a - IFCE | 15 de Abril de 2016 16 / 16