O documento discute análise de forças em diferentes tipos de engrenagens, incluindo cilíndricas de dentes retos, cônicas, helicoidais e sem-fim. Apresenta fórmulas para calcular forças tangenciais, radiais e axiais nesses sistemas de engrenagens, além de exemplos numéricos ilustrando cálculos de forças e reações em mancais.

1. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA --
ENGRENAGENS CILÍNDRICASENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOSDE DENTES RETOS
Prof. Alexandre Augusto Pescador SardáProf. Alexandre Augusto Pescador Sardá

2. ENGRENAGENS HELICOIDAIS DE EIXOS PARALELOSENGRENAGENS HELICOIDAIS DE EIXOS PARALELOS
• Ângulo de hélice é o mesmo em cada engrenagem;
•Uma engrenagem deve ter uma hélice destra (mão direita) e a outra sestra
(mão esquerda);

3. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DEENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE
DENTES RETOSDENTES RETOS
• As reações entre dentes engrenados ocorre ao longo da linha de
pressão;

4. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DEENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE
DENTES RETOSDENTES RETOS
•Torque aplicado e carga transmitida:
•A componente radial não transmite torque.
t
t FW 32=
tW
d
T
2
=

5. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DEENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE
DENTES RETOSDENTES RETOS
33000
VW
H t
=
nd
H
Wt
π
)10(60 3
=
kNatransmitidacaéWt ,arg
kWPotênciaH ,=
mmengrenagemdadiâmetrod ,=
rpmvelocidaden ,=

6. EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
• O pinhão 2 roda a 1750 rpm e transmite 2,5 kW à engrenagem intermediária 3.
Os dentes são cortados segundo o sistema de 20 de profundidade completa e
têm um módulo m = 2,5 mm. Desenhe um diagrama de corpo livre da
engrenagem 3 e mostre todas as forças que atuam sobre a mesma.

7. EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
mmmNd 50)5,2(2022 ===
mmmNd 125)5,2(5033 ===
( )
kN
kW
nd
H
Wt 546,0
175050
5,2)10(60)10(60 3
2
3
===
ππ
kNFt
546,023 = kNFF tr
199,020tan 0
2323 ==
kN
F
F
t
581,0
20cos
546,0
20cos
23
23 === oo
• diâmetros primitivos:

8. EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS
• Uma vez que a engrenagem 3 é intermediária, não transmite qualquer potência
(torque) ao eixo ligado a si; assim, a reação tangencial da engrenagem 4 sobre a
engrenagem 3 também é igual a Wr.
kNFt
546,043 = kNFr
199,043 = kNF 581,043 =
• As reações nos eixos, nas direções x e y, são:
( ) ( ) kNFFF rtx
b 347,0199,0546,043233 =+−−=+−=
( ) ( ) kNFFF try
b 347,0546,0199,043233 =−−=+−=
• A reação resultante sobre o eixo é:
( ) ( ) kNFb 491,0347,0347,0
22
3 =+=

9. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS CÔNICASENGRENAGENS CÔNICAS
• Considera-se a carga
tangencial ou
transmitida que
ocorreria se todas as
forças fossem
concentradas no ponto
médio do dente.
av
t
r
T
W =
γφ costantr WW =
γφ senWW ta tan=

10. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• O pinhão cônico roda a 600 rpm e transmite 5 hp à engrenagem. As distâncias de montagem, a
localização de todos os mancais e raios primitivos do pinhão e da coroa são exibidos na figura. Os
mancais A e C devem escorar os esforços axiais. Encontre as forças dos mancais no eixo de
engrenagens.

11. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• Diagrama de corpo livre do eixo CD

12. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• Ângulos primitivos:
01
43,18
9
3
tan =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= −
γ
01
56,71
3
9
tan =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=Γ −

13. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
• Velocidade no círculo primitivo:
s
mrpm
in
m
innrV p 03,2
60
600
02504,0*293,122 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
== ππ
VWPot t=
V
Pot
Wt =
sm
hpWhp
Wt
/03,2
7465 ⋅
=
NWt 4,1837=
Direção positiva do eixo z

14. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
NWW tr 09,2116,71cos20tan4,1837costan 00
==Γ= φ
NsensenWW ta 5,6346,7120tan4,1837tan 00
==Γ= φ
Direção negativa do
eixo x
Direção negativa do
eixo y
Vetor de posição de D a G (em metros):
jiRDG
ˆ49,9ˆ72,9 −=
r
Vetor de posição de D a C (em metros): jRDC
ˆ34,15−=
r
Momento em relação a D:
0ˆ
rrrrr
=+×+× TFRWR CDCDG

15. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
( ) ( )
( ) ( ) 0ˆˆˆˆˆ34,15
ˆ4,1837ˆ5,634ˆ09,211ˆ49,9ˆ72,9
r
=+++×−
++−−×−
jTkFjFiFj
kjiji
z
C
y
C
x
C
( )
( ) 0ˆˆ34,15ˆ34,15
ˆ74,8169ˆ5,17859ˆ9,17436
=++−
+−−−
jTkFiF
kji
x
C
z
C
jT ˆ5,17859=
r
NF z
C 6,1136−=
NF x
C 5,532=

16. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
0
rrrr
=++ WFF CD
( ) ( )
( ) 0ˆ4,1837ˆ05,635ˆ09,211
ˆ6,1136ˆˆ5,532ˆˆ
r
=+−−
+−+++
kji
kjFikFiF y
C
z
D
x
D
jjjF y
C
ˆ0ˆ05,635ˆ =− NF y
C 05,635=
kjiFC
ˆ6,1136ˆ05,6355,532 −−=
r

17. EXERCÍCIO 13.7EXERCÍCIO 13.7 –– SHIGLEYSHIGLEY –– PG.659.PG.659.
( ) ( )
( ) 0ˆ4,1837ˆ05,635ˆ09,211
ˆ6,1136ˆ05,635ˆ5,532ˆˆ
r
=+−−
+−−++
kji
kjikFiF z
D
x
D
NF x
D 41,321−= NF z
D 8,700−=
NkiFD
ˆ8,700ˆ41,321 −−=
r

18. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS HELICOIDAISENGRENAGENS HELICOIDAIS
nr WsenW φ=
ψφ coscos nt WW =
ψφ senWW na cos=
• O ponto de aplicação dessas forças localiza-se no plano de passo
primitivo e no centro da face da engrenagem.

19. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS HELICOIDAISENGRENAGENS HELICOIDAIS
ttr WW φtan=
ψtanta WW =
ψφ coscos n
tW
W =
• Normalmente, Wt e as demais forças são requeridas.

20. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Um motor elétrico de 2 hp gira a 1800 rpm em sentido horário.Fixado ao motor há um pinhão helicoidal
de 20 dentes com ângulo de pressão normal de 25o, ângulo de hélice de 35o, e um passo diametral normal
de 10 dentes/polegada. Determine as forças atuantes no pinhão bem como as reações de mancal em A e
B. O esforço axial deve ser suportado em A.
t
n
φ
φ
ψ
tan
tan
cos =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
ψ
φ
φ
cos
tan
arctan n
t
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= 0
0
35cos
25tan
arctantφ
0
65,29=tφ

21. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Sabe-se que:
0
35cos10cos == ψnt PP polegadadentesPt 19,8=
mmpolegadas
N
dp 02,62442,2
19,8
20
19,8
====
( ) smsmmHzmmndV /84,5/9,5845
60
1800
02,62 ==== ππ
V
Pot
Wt =
sm
hpWhp
Wt
/84,5
7462 ⋅
= NWt 2,255=

22. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
NWW ttr 3,14565,29tan2,255tan 0
=== φ
NWa 7,17835tan2,255 0
==
NW 7,343
35cos25cos
2,255
00
== NWF a
x
A 7,178==

23. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Momento em relação ao eixo z::
( ) ( ) 0400300
2
=−+ mmWmmF
d
W r
y
B
p
a
( ) ( ) 04003,145300
2
02,62
7,178 =−+ mmmmF
mm
N y
B NF y
B 3,175=

24. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Somando as forças na direção y:
03,1453,175 =−− y
AF NF y
A 96,29=
0=−− r
y
A
y
B WFF

25. • Desconsiderando-se o atrito, a única força aplicada pela coroa-sem-fim será a força W.:
ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM

26. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
λφ senWW n
x
cos= n
y
senWW φ=
λφ coscos n
z
WW =
• W e G indicam as forças que agem no parafuso e na coroa, respectivamente.
Wy é a força radial do parafuso e da coroa sem-fim. A força tangencial no
parafuso é Wx e na coroa Wz. A força axial no parafuso é Wy e nacoroa Wx.
x
Gawt WWW =−=
y
Grwr WWW =−=
z
Gtwa WWW =−=

27. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
• Introduzindo-se o coeficiente de atrito f, tem-se
( )λλφ coscos fsenWW n
x
+=
n
y
WsenW φ=
( )λλφ fsenWW n
z
−= coscos
λφλ coscos n
Gt
f
senf
Wf
fWW
−
==
• Após alguma manipulação:

28. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
λφλ
λλφ
coscos
coscos
n
n
GtWt
senf
fsen
WW
−
+
=
• Eficiência definida como:
)(
)(
fricçãocomW
fricçãosemW
Wt
Wt
=η
λφ
λφ
η
cotcos
tancos
f
f
n
n
+
−
=
• Após alguma manipulação:

29. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
• Eficiência de pares de engrenagens sem-fim para f = 0,05
Ângulo de hélice, graus Eficiência
1,0 25,2
2,0 45,7
5,0 62
7,5 71,3
10,0 76,6
15,0 82,7
20,0 85,9
30,0 89,1

30. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
• Coeficiente de atrito é dependente da velocidade relativa ou de deslizamento
(experimentos)
λcos
W
S
V
V =

31. ANÁLISE DE FORÇAANÁLISE DE FORÇA –– ENGRENAGENS SEMENGRENAGENS SEM--FIMFIM
• Valores representativos do coeficiente de atrito para engrenagens sem-fim.
Coeficientedeatrito,f

32. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
• Um pinhão destro sem-fim de 2 dentes transmite 2 hp, a 1000 rpm a uma coroa sem-fim de 20 dentes e
passo diametral transversal de 5 dentes/in e uma largura de face de 30 mm. O pinhão apresenta um
diâmetro primitivo de 40 mm e uma largura de face de 50mm. O ângulo de pressão normal vale 14,5o.
•A) Encontre o passo axial, a distância entre centros, o avanço e o ângulo de avanço.
•B)Encontre as forças exercidas pelos mancais contra o eixo da coroa sem-fim.
40 mm
70 mm

33. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
a) O passo axial é igual ao passo transversal da coroa:
mmin
P
pp tx 95,15628,0
5
=====
ππ
mmdw 40=
mmin
P
N
d G
G 6,1014
5
20
====
mm
dd
C Gw
8,70
2
6,10140
2
=
+
=
+
=

34. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Avanço:
( ) mmmmNpL wx 90,31273,15 ===
( )
25,0
40
90,31
tan ===
ππ
λ
wd
L
( )
0
24,14
40
3190
==
π
λ
b) Velocidade na linha primitiva do pinhão:
( )
s
mmrpm
mmndV www 4,2094
60
1000
40 === ππ
( ) min/4,425/8,2160
24,14cos
4,2094
cos 0
ftsmm
V
V W
S ====
λ

35. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Forças:
N
sm
hpWhp
V
Pot
W
w
wt 5,712
/094,2
/7462
−=
⋅
==
Considerando-se f=0,05;

36. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
( )λλφ coscos fsen
W
W
n
x
+
=
( ) NsenWsenW n
y
4,6225,149,2485 0
=== φ
( )
( ) Nsen
fsenWW n
z
2,230224,1405,024,14cos5,14cos9,2485
coscos
000
=−
=−= λλφ
( ) N
sen
N
W 9,2485
24,14cos05,024,145,14cos
5,712
00
=
+
=
x
Gawt WWW =−=Mas:

37. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
NWW x
Ga 5,712=−=
NWW y
Gr 4,622−=−=
NWW z
Gt 2,2302−=−=

38. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Assume-se o mancal B de escora, de forma que o eixo de engrenagens trabalhe
em compressão:
Forças na direção x: NWF Ga
x
B 5,712==
Momentos em relação a z:
0)7040(40
2
6,101
=++−− y
BGrGa FWW
0)7040()40(4,622
2
6,101
5,712 =++−− y
BF
NF y
B 4,555=

39. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Momentos em relação a y: 0)7040(40 =+− z
BGt FW
( ) 0)7040(402,2302 =+− z
BF
NF z
B 2,837=

40. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Somatório de forças em y: 0=++− y
A
y
BGr FFW
04,5554,622 =++− y
AF
NF y
A 67=
Somatório de forças em z:
0=++− z
A
z
BGt FFW
02,8372,2302 =++− z
AF
1465=z
AF

41. EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Somatório de momentos em x:
0
2
=− G
Gt
d
WT
0
2
1016,0
2,2302 =−T
NmT 95,116=

42. EXERCÍCIOEXERCÍCIO –– 13.4313.43
Um pinhão sem-fim de 2 dentes transmite ½ hp a 900 rpm a uma coroa sem-fim de 36
dentes, com um passo diametral transversal de 10 dentes/in. O pinhão tem um ângulo de
pressão normal de 14 ½o , um diâmetro primitivo de 1 ½ in e uma largura de face de 1 ½ in.
Use um coeficiente de atrito de 0,05 e encontre a força exercida pela coroa sobre o pinhão,
bem como o torque de entrada. Para a mesma geometria mostrada no Problema 13-41, a
velocidade do pinhão é horária com relação ao eixo z.
( ) min/42,353
12
9005,1
ftVW ==
π
( ) smsmminmmVW /80,1/4,1795
60
900
/4,255,1 ==⋅= π

43. EXERCÍCIOEXERCÍCIO –– 13.4313.43
lbf
V
H
WW wtx 7,46
42,353
)5,0(3300033000
====
mminpp xt 98,73141,0
10
====
π
( ) kN
nd
H
WW wtx 207,0
900)4,255,1(
373,0)10(60)10(60 33
=
⋅
===
ππ
kWWhpH 373,03735,0 ===

44. EXERCÍCIOEXERCÍCIO –– 13.4313.43
inNpL Wx 628,0)2(3141,0 ===
( )
133,0
5,1
628,0
tan ===
in
in
d
L
w ππ
λ
0
59,7=λ
( )λλφ coscos fsen
W
W
n
x
+
=
( ) lbf
sen
lbf
W 2,263
59,7cos05,059,75,14cos
7,46
000
=
+
=
mmNpL Wx 96,15)2(98,7 ===
( )
133,0
1,38
96,15
tan ==
mm
mm
π
λ
( ) N
sen
N
W 6,1166
59,7cos05,059,75,14cos
207
000
=
+
=

45. EXERCÍCIOEXERCÍCIO –– 13.4313.43
( ) lbfsenlbfWsenW n
y
89,655,142,263 0
=== φ
( )
( ) lbfsen
fsenWW n
z
8,25059,705,059,7cos5,14cos2,263
coscos
000
=−
=−= λλφ
2
5,1
7,46
2
in
lbf
d
WT G
wt == inlbfT 025,35=
( ) NsenNWsenW n
y
1,2925,146,1166 0
=== φ
( ) NsenW z
8,111159,705,059,7cos5,14cos6,1166 000
=−=
2
1,38
207
2
mm
N
d
WT G
wt == mmNT .4,3943=

46. EXERCÍCIOS PROPOSTOSEXERCÍCIOS PROPOSTOS
•13.10;
•13.11;
•13.15;
•13.28;
•13.33;
•13.41.

47. SHIGLEY, J.E., MISCHKE, C.R., BUDYNAS, R.G., Projeto de Engenharia
mecânica, 7a edição, Bookman.
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS