1) O documento apresenta cálculos para determinar parâmetros geométricos de pinhões e coroas, como deslocamento da fresa, raio primitivo, espessura de dente e distância entre centros. 2) São resolvidos 12 exemplos numéricos aplicando equações para o cálculo desses parâmetros. 3) Os exemplos variam parâmetros como número de dentes, ângulo de pressão, deslocamento da fresa e razão de transmissão.

1. 5.1. z = 16 dentes
α = 20 °= 0,3491 rad
m = 2,5 mm
Solução
Deslocamento da fresa
Pela Eq. 5.2
xm = m[1 - (z/2)sen²a]
Então
xm = 2,5[1 - (16/2)sen²(20°
)]
xm = 0,1604 mm
Raio primitivo
A circunferência primitiva de corte no pinhão permanece a mesma,
independentemente do pinhão ser normalizado ou não e, portanto
r = mz/2
r = (2,5)(16)/2
r = 20,000 mm
Espessura do dente
Pela Eq. 5.1
s = 2(xm)tanα + pt/2
onde
pt = 2πr/z
pt = 2(3,142)(20,000)/16
pt = 7,8540 mm
s = 2(0,1604)(tan14,5°
) + (7,8540)/2
s = 4,0438 mm
5.2. z = 26 dentes
α = 20 °= 0,3491 rad
Pd = 7 pol-1
Solução
Deslocamento da fresa
Pela Eq. 5.2 modificada para avanço da ferramenta, ou seja, xm negativo
-xm = (1/Pd)[(z/2)sen²α - k]
Como a freza é de dentes normais
k = 1
Então
-xm = (1/7)[(26/2)sen²(20°
) - 1]
xm = -0,0744 pol
Raio primitivo
A circunferência primitiva de corte no pinhão permanece a mesma,
independentemente do pinhão ser normalizado ou não e, portanto
r = z/(2Pd)
r = 26/(2*7)
r = 1,8571 pol
Espessura do dente
Pela Eq. 5.1
s = 2(xm)tan + pt/2
onde
pt = 2πr/z
pt = 2(3,142)(1,8571)/26
pt = 0,4488 pol
s = 2(-0,0744)(tan 20°
) + (0,4488)/2
s = 0,1702 pol
5.3. z = 16 dentes
α = 20 °= 0,3491 rad
m = 6 mm
xm = 0,5 mm
Solução
Deslocamento da fresa

2. Pela Eq. 5.2
xm = m[1 - (z/2)sen²a]
Então
xmmín = 6[1 - (16/2)sen²(20°
)]
xm = 0,3851 mm
Como xm = 0,5 mm > xmmín, não ocorrerá adelgaçamento dos dentes.
Espessura do dente na circunferência primitiva
A circunferência primitiva de corte no pinhão permanece a mesma,
independentemente do pinhão ser normalizado ou não e, portanto
r = mz/2
r = (6)(16)/2
r = 48,00 mm
Pela Eq. 5.1
s = 2(xm)tgα + pt/2
onde
pt = 2πr/z
pt = 2(3,142)(48)/16
pt = 18,8496 mm
s = 2(0,5)(tan 20°
) + (18,8496)/2
s = 9,7887 mm
Espessura do dente na circunferência de base
rb = rcosα
rb = (48)(cos 20°
)
rb = 45,11 mm
αb = 0 °
Pela Eq. 5.4
sb = 2rb[s/(2r) + Ev α - Ev αb]
sb = 10,543 mm
5.4. z = 35 dentes
α = 20 °= 0,3491 rad
m = 6 mm
sB = 10,2 mm
αB = α = 20 °= 0,3491 rad
Solução
Pela Eq. 5.1
s = 2(xm)tanα + p/2
Logo
xm = (sB - p/2)/(2tanαΒ)
p = 2πr/z
Onde
r = mz/2 = 105 mm
Então
p = 18,850 mm
Assim
xm = (10,2 - 18,850/2)/(2tan20°
)
xm = 1,0650 mm
5.5. z = 20 dentes
Pd = 6 pol-1
α = 20 °= 0,3491 rad
sB = 0,2740 pol
αB = 14,5 °= 0,2531 rad
Solução
Pela Eq. 5.4
sB = 2rB(sA/rA + Ev αA - Ev αB)
Então
sA = rA{[sB/(2rB)] - Ev αA + Ev αB}

3. Onde
rA = r = z/(2Pd)
rA = 1,6667 pol
rB = rAcosαA/cosαB
rB = (1,6667)(cos20°
)/(cos14,5°
)
rB = 1,6177 pol
Logo
sA = 0,1255 pol
Pela Eq. 5.1
s = 2(xm)tanα + p/2
Logo
xm = (sA - p/2)/(2tanα)
Onde
p = π/Pd = 0,5236 pol
Assim
xm = (0,4411 - 0,5236/2)/(2tan20°
)
xm = -0,1872 pol
5.6. z = 20 dentes
α = αA = 20 °= 0,3491 rad
m = 4 mm
αB = 14,5 °= 0,2531 rad
sB = 10,2 mm
Solução
Para que não ocorra adelgaçamento, pela Eq. 5.2
xmmín = m[1 - (z/2)sen²α]
xmmín = 4[1 - (20/2)sen²20°
]
xmmín = -0,67911 mm
Pela Eq. 5.1
s = 2(xmmín)tanα + p/2
Onde
r = mz/2 = 40 mm
p = 2pr/z = 12,566 mm
s = 2(-0,6791)tan20°+ 12,566/2
s = 5,7888 mm
Pela Eq. 5.4
sB = 2rB(sA/rA + Ev αA - Ev αB)
sB = 2rB(s/r + Ev α - Ev αB)
Onde, pela Eq. 5.3
rB = rAcosαA/cosαB
rB = rcosα/cosαB
rB = 38,824 mm
sB = 2*(5,7888/(2*40) + Ev 20°– Ev 14,5°
)
sB = 6,3454 mm
5.7. z1 = 11 dentes
z2 = 14 dentes
m = 3 mm
α = 20 °= 0,3491 rad
xm1 = 1,0698 mm
xm2 = 0,5434 mm
Solução
xm1 + xm2 = 1,6132 mm
Ângulo de pressão de operação
Pela Eq. 5.7
Ev α' = Ev α + [2(xm1 + xm2)tanα]/[m(z1 + z2)]
Ev α' = 0,030562

4. Pela tabela de funções evolventais (com interpolação)
Ev 25,100 = 0,030357
Ev 25,200 = 0,030741
α
α
α
α' = 25,153 °= 0,4390 rad
Distância entre centros de operação
C = r1 + r2 = 37,500 mm
Onde
r1 = mz1/2 = 16,500 mm
r2 = mz2/2 = 21,000 mm
Pela Eq. 5.8
∆C = C(cosα/cosα' - 1)
∆C = 1,4301 mm
C' = C + ∆C
C' = 38,930 mm
Comparação entre (xm1 + xm2) e ∆C
(xm1 + xm2) ≠
≠
≠
≠ ∆
∆
∆
∆C
5.8. z1 = 15 dentes
z2 = 21 dentes
Pd = 6 pol-1
α = 14,5 °= 0,2531 rad
C' = 3,2000 pol
Solução
C = r1 + r2 = 3,0000 pol
r1 = z1/(2Pd) = 1,2500 pol
r2 = z2/(2Pd) = 1,7500 pol
∆C = C' - C = 0,2000 pol
Para este ângulo de pressão zmín para não haver adelgaçamento = 32 dentes
Portanto, as duas engrenagens precisam ser corrigidas para não haver adelgaçamento,
independentemente da distancia entre centros.
α' = acos{cosα/[(∆C/C) + 1]}
α' = 24,819 °= 0,4332 rad
Pela Eq. 5.7a
xm1 + xm2 = [(z1 + z2)(Ev α' - Ev α)]/(2Pdtanα)
xm1 + xm2 = 0,2755 pol
Ao estabelecermos xm1 e xm2 em proporção inversa ao número de dentes
xm1 = z2(xm1 + xm2)/(z1 + z2)
xm1 = 0,1607 pol
xm2 = 0,1148 pol
5.9. z1 = 13 dentes
z2 = 24 dentes
m = 6 mm
α = 20 °= 0,3491 rad
C' = 115,9 mm
Solução
r1 = mz1/2 = 39,000 mm
r2 = mz2/2 = 72,000 mm
C = r1 + r2 = 111,00 mm
∆C = C' - C = 4,9000 mm
Ângulo de operação de operação
Pela Eq. 5.8
α' = αcos{cosα/[(cos(∆C/C) + 1]}
α
α
α
α' = 25,847 °= 0,4511 rad
Deslocamentos da fresa
Pela Eq. 5.7b
xm1 + xm2 = [m(z1 + z2)(Ev α' - Ev α)]/(2tanα)

5. xm1 + xm2 = 5,6145 mm
Ao estabelecermos xm1 e xm2 em proporção inversa ao número de dentes
xm1 = z2(xm1 + xm2)/(z1 + z2)
xm1 = 3,6418 mm
xm2 = 1,9727 mm
Pela Eq. 5.2
xm1(mín) = m[1 - (z1/2)sen²α]
xm1(mín) = 1,4379 mm
Como xm1 > xm1(mín), xm1 é suficiente para evitar adelgaçamento.
Raios externos
Pela Eq. 5.9
ra1 = C' - r2 - xm2 + m
ra1 = 47,927 mm
ra2 = C' - r1 - xm1 + m
ra2 = 79,258 mm
Profundidade de corte
Pela Eq. 5.10
ht = ra1 + ra2 - C' + c = 12,287 mm
Onde
c = hf - ha 1,0020 mm
hf = 1,167m = 7,0020 mm
ha = m = 6,0000 mm
Razão frontal de transmissão
rb1 = r1cosα = 36,648 mm
rb2 = r2cosα = 67,658 mm
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- C'senα'
gα = 21,641 mm
pb = 2πrb1/z1 = 17,713 mm
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,22
5.10. z1 = 12 dentes
z2 = 32 dentes
Pd = 7 pol-1
α = 20 °= 0,3491 rad
s1 = 0,2608 pol
s2 = 0,1880 pol
Solução
r1 = z1/(2Pd) = 0,8571 pol
r2 = z2/(2Pd) = 2,2857 pol
p = 2πr1/z1 = 2πr2/z2 = 0,4488 pol
Pela Eq. 5.1
s = 2(xm)tanα + p/2
xm1 = (s1 - p/2)/(2tanα) = 0,0500 pol
xm2 = (s2 - p/2)/(2tanα) = -0,0500 pol
Ev α' = Ev α + [2Pd(xm1 + xm2)tanα]/(z1 + z2)
Ev α' = 0,014905
Pela tabela de funções evolventais
α
α
α
α' = 20 °
5.11. z1 = 11 dentes
z2 = 23 dentes
m = 3 mm
α = 20 °= 0,3491 rad
C' = 54,000 mm
Solução

6. r1 = mz1/2 = 16,500 mm
r2 = mz2/2 = 34,500 mm
C = r1 + r2 = 51,000 mm
∆C = C' - C = 3,0000 mm
Deslocamento mínimo da fresa no pinhão para evitar adelgaçamento
Pela Eq. 5.2
xm1(mín) = m[1 - (z1/2)sen²α]
xm1(mín) = 1,0699 mm
Ângulo de pressão de operação
Pela Eq. 5.8
α' = acos{cosα/[(∆C/C) + 1]}
α' = 27,441 °= 0,4789 rad
Deslocamento da fresa na coroa
Pela Eq. 5.7b
xm1 + xm2 = [m(z1 + z2)(Ev α' - Ev α)]/(2tanα)
xm1 + xm2 = 3,5616 mm
xm2 = (xm1 + xm2) - xm1 = 2,4917 mm
5.12. z1(o) = 20 dentes
z2(o) = 30 dentes
m = 2,5 mm
α = 20 °= 0,3491 rad
C' = 62,500 mm
i = 1,3333
Solução
z1 = 18 dentes
z2 = 24 dentes
ireal = z2/z1 = 1,3333
r1 = mz1/2 = 22,500 mm
r2 = mz2/2 = 37,500 mm
C = r1 + r2 = 60,000 mm
∆C = C' - C = 2,5000 mm
Ângulo de pressão de operação com as novas engrenagens
Pela Eq. 5.8
α' = acos{cosα/[(∆C/C) + 1]}
α' = 25,564 °= 0,4462 rad
Deslocamentos da fresa
Pela Eq 5.7b
xm1 + xm2 = [m(z1 + z2)(Ev α' - Ev α)]/(2tanα)
xm1 + xm2 = 2,4906 mm
Ao estabelecermos xm1 e xm2 em proporção inversa ao número de dentes
xm1 = z2(xm1 + xm2)/(z1 + z2)
xm1 = 1,4232 mm
xm2 = 1,0674 mm
Raios externos
Pela Eq. 5.9
ra1 = C' - r2 - xm2 + m
ra1 = 26,433 mm
ra2 = C' - r1 - xm1 + m
ra2 = 41,077 mm
Profundidade de corte
Pela Eq. 5.10
hf = 1,167m = 2,9175 mm
ha = m = 2,5000 mm
c = hf - ha 0,4175 mm
ht = ra1 + ra2 - C' + c = 5,4269 mm
Razão frontal de transmissão

7. rb1 = r1cosα = 21,143 mm
rb2 = r2cosα = 35,238 mm
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- C'senα'
gα = 10,002 mm
pb = 2πrb1/z1 = 7,3803 mm
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,36
5.13. C' = 99,060 mm
i = 1,2500
m = 2,5 mm
α = 20 °= 0,3491 rad
Solução
1a
tentativa
Para este ângulo de pressão o número mínimo de dentes para evitar interferência é z = 18 dentes
Para obtermos um número inteiro de dentes para a coroa e distancia entre centros
próxima a desejada, arbitramos o número de dentes do pinhão
z1 = 36 dentes
z2 = z1(i) = 45 dentes
r1 = mz1/2 = 45,000 mm
r2 = mz2/2 = 56,250 mm
C = r1 + r2 = 101,250 mm
∆C = C' - C = -2,1900 mm
Ângulo de pressão de operação
Pela Eq. 5.8
α' = acos{cosα/[(∆C/C) + 1]}
α' = 16,164 °= 0,2821 rad
Deslocamentos da fresa
Pela Eq 5.7b
xm1 + xm2 = [m(z1 + z2)(Ev α' - Ev α)]/(2tanα)
xm1 + xm2 = -1,9955 mm
Ao estabelecermos xm1 e xm2 em proporção inversa ao número de dentes
xm1 = z2(xm1 + xm2)/(z1 + z2)
xm1 = -1,1086 mm
xm2 = -0,8869 mm
Raios externos
Pela Eq. 5.9
ra1 = C' - r2 - xm2 + m
ra1 = 46,197 mm
ra2 = C' - r1 - xm1 + m
ra2 = 57,669 mm
Profundidade de corte
Pela Eq. 5.10
hf = 1,167m = 2,9175 mm
ha = m = 2,5000 mm
c = hf - ha 0,4175 mm
ht = ra1 + ra2 - C' + c = 5,2230 mm
Razão frontal de transmissão
rb1 = r1cosα = 42,286 mm
rb2 = r2cosα = 52,858 mm
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- C'senα'
gα = 14,084 mm
pb = 2πrb1/z1 = 7,3803 mm
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,91
5.14. z1 = 18 dentes
z2 = 28 dentes

8. Pd = 4 pol-1
α = α' = 20 °= 0,3491 rad
xm1 = 0,0600 pol
xm2 = -0,0600 pol
Solução
Engrenagens com saliências diferentes
r1 = z1/(2Pd) = 2,2500 pol
r2 = z2/(2Pd) = 3,5000 pol
C = C' = r1 + r2 = 5,7500 pol
k = 1
Pela Eq. 5.9
ra1 = C' - r2 - xm2 + k/Pd = 2,5600 pol
ra2 = C' - r1 - xm1 + k/Pd = 3,6900 pol
rb1 = r1cosα = 2,1143 pol
rb2 = r2cosα = 3,2889 pol
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- C'senα'
gα = 1,1498 pol
pb = 2πrb1/z1 = 0,7380 mm
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,558
Engrenagens padronizadas
ra1 = r1 + 1/Pd = 2,5000 pol
ra2 = r2 + 1/Pd = 3,7500 pol
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- Csenα
gα = 1,1690 pol
pb = 2πrb1/z1 = 0,7380 mm
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,584
5.15. z1 = 20 dentes
z2 = 40 dentes
m = 3 mm
α = 20 °= 0,3491 rad
C' = 90,520 mm
xm1 = 0,2271 mm
xm2 = 0,1096 mm
Solução
Neste caso há correção nos dentes e aumento na distancia entre centros.
r1 = mz1/2 = 30,000 mm
r2 = mz2/2 = 60,000 mm
C = r1 + r2 = 90,000 mm
∆C = C' - C = 0,5200 mm
p = 2πr1/z1 = 9,4248 mm
Ângulo de pressão e raios primitivos de funcionamento
α' = acos[(C/C')cosα] = 20,886 °= 0,3645 rad
r1' = r1C'/C = 30,173 mm
r2' = r2C'/C = 60,347 mm
Espessura dos dentes na circunferencia primitiva de referencia
Pela Eq. 5.1
s1 = 2(xm1)tanα + p/2 = 4,8777 mm
s2 = 2(xm2)tanα + p/2 = 4,7922 mm
Espessura dos dentes na circunferencia primitiva de funcionamento
Pela Eq. 5.4
s1' = 2r1'{[s1/(2r1)] + Ev α - Ev α'} = 4,7763 mm
s2' = 2r2'{[s2/(2r2)] + Ev α - Ev α'} = 4,5606 mm
Jogo primitivo
Pela Eq. 4.19

9. jt = 2πr1'/z1 - s1' - s2' = 0,1423 mm
5.16. z1 = 18 dentes
z2 = 42 dentes
m = 2 mm
α = 20 °= 0,3491 rad
Solução
r1 = mz1/2 = 18,000 mm
r2 = mz2/2 = 42,000 mm
rb1 = r1cosα = 16,914 mm
rb2 = r2cosα = 39,467 mm
Pela Tabela 5.2
ha1 = 1,5m = 3,0000 mm
ha2 = 0,5m = 1,0000 mm
ra1 = r1 + ha1 = 21,000 mm
ra2 = r2 + ha2 = 43,000 mm
C = r1 + r2 = 60,000 mm
Pela Eq. 4.7
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- Csenα
gα = AB = 8,9936 mm
Pela Fig. 5.8c
E1B = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
= 12,446 mm
E1A = E1B - AB = 3,4523 mm
E1P = r1senα = 6,1564 mm
AP = E1P - E1A = 2,7041 mm
BP = AB - AP = 6,2896 mm
BP/AP = 2,326
5.17. z1 = 20 dentes
z2 = 44 dentes
Pd = 8 pol-1
α = 20 °= 0,3491 rad
Solução
r1 = z1/(2Pd) = 1,2500 pol
r2 = z2/(2Pd) = 2,7500 pol
rb1 = r1cosα 1,1746 pol
rb2 = r2cosα 2,5842 pol
C = r1 + r2 = 4,0000 pol
pb = 2πrb1/z1 = 2πrb2/z2 = 0,3690 pol
Pela Tabela 5.2
Ação de semi-afastamento
ra1 = (z1 + 3)/(2Pd) = 1,4375 pol
ra2 = (z2 + 1)/(2Pd) = 2,8125 pol
Pela Eq. 4.7
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- Csenα
gα = 0,5707 pol
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,546
Ação de afastamento
ra1 = (z1 + 4)/(2Pd) = 1,5000 pol
ra2 = z2/(2Pd) = 2,7500 pol
Pela Eq. 4.7
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- Csenα
gα = 0,5054 pol
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,369

10. 5.18. z1 = 24 dentes
zc = 30 dentes
m = 2,5 mm
αc = 20 °= 0,3491 rad
dc = mzc = 75,000 mm
Solução
rc = dc/2 = 37,500 mm
ha = m = 2,5000 mm
hf = 1,25m = 3,1250 mm
c = hf - ha = 0,6250 mm
rac = rc + m + c = 40,625 mm
r1 = mz1/2 = 30,000 mm
rb1 = r1cosα = 28,191 mm
pb = 2πrb1/z1 = 2πrc/zc = 7,3803 mm
Pela Eq. 5.11
Cstd = (z1 + zc)m/2 67,500 mm
Deslocamento mínimo da ferramenta para evitar adelgaçamento
Pela Eq. 5.35
xm* = [(rac)² - (rb1)² + rb1(z1 + zc)pb/π]1/2
- Cstd
xm* = -0,9274 mm
Raio primitivo de corte
Pela Eq. 5.13
αg = acos{(z1 + zc)pb/[2π(Cstd + xm*)]} = 17,677 °= 0,3085 rad
r1g = rb1/cosαg = 29,588 mm
Espessura do dente no círculo primitivo de corte
pc = 2πr1/z1 = 7,8540 mm
sc = pc/2 = 3,9270 mm
rbc = rccosα = 35,238 mm
Pela Eq. 5,17
sg = pb/cosαg - sccosαc/cosαg - 2rbc(Ev αc - Ev αg)/cosαg
tg = 3,5233 mm
5.19. z1 = 20 dentes
zc = 18 dentes
m = 6 mm
αc = 20 °= 0,3491 rad
dc = mzc = 108,000 mm
xm = 2,5400 mm
Solução
rc = dc/2 = 54,000 mm
ha = m = 6,0000 mm
hf = 1,25m = 7,5000 mm
c = hf - ha = 1,5000 mm
rac = rc + m + c = 61,500 mm
r1 = mz1/2 = 60,000 mm
rb1 = r1cosα = 56,382 mm
pb = 2πrb1/z1 = 2πrc/zc = 17,7128 mm
Pela Eq. 5.11
Cstd = (z1 + zc)m/2 114,000 mm
Deslocamento mínimo da ferramenta para evitar adelgaçamento
Pela Eq. 5.35
xm* = [(rac)² - (rb1)² + rb1(z1 + zc)pb/π]1/2
- Cstd
xm* = -1,3807 mm
Raio primitivo de corte
Pela Eq. 5.13

11. αg = acos{(z1 + zc)pb/[2π(Cstd + xm)]} = 23,189 °= 0,4047 rad
r1g = rb1/cosαg = 61,337 mm
Espessura do dente no círculo primitivo de corte
pc = 2πrc/zc = 18,8496 mm
sc = pc/2 = 9,4248 mm
rbc = rccosαc = 50,743 mm
Pela Eq. 5.17
sg = pb/cosαg - sccosαc/cosαg - 2rbc(Ev αc - Ev αg)/cosαg
sg = 10,600 mm
Espessura do dente no círculo base
Pela Eq. 5.4
sb = 2rb1[sg/(2r1g) + Ev αg - Ev αb] =
sb = 12,410 mm
5.20. z1 = 20 dentes
zc = 36 dentes
Pd = 6 pol-1
αc = 20 °= 0,3491 rad
dc = zc/Pd = 6,0000 pol
sr = 0,2740 pol
αr = 14,5 °= 0,2531 rad
Solução
r1 = z1/(2Pd) = 1,6667 pol
rb1 = r1cosα = 1,5662 pol
rc = dc/2 = 3,0000 pol
pb = 2πrb1/z1 = 2πrbc/zc = 0,4920 pol
pc = 2πrc/zc = 0,5236 pol
sc = pc/2 = 0,2618 pol
rbc = rccosαc = 2,8191 pol
Ângulo de pressão de corte requerido para fornecer a espessura no ângulo de pressão requeridos
Pela Eq. 5.20
Ev αg = (srcosαr - pb + sccosαc + 2rbcEvαc + 2rbEvαr)/[2(rbc + rb)]
Ev αg = 0,013758
Pela tabela de funções evolventais (com interpolação)
Ev 19,400 = 0,013562
Ev 19,500 = 0,013779
αg = 19,490 °= 0,3402 rad
Deslocamento da ferramenta requerido
Pela Eq. 5.11
Cstd = (z1 + zc)/(2Pd) = 4,6667 pol
Pela Eq. 5.13
xm = [(z1 + zc)pb/(2π
π
π
πcosαg)] - Cstd = -0,0149 pol
5.21. z1 = 11 dentes
z2 = 14 dentes
zc = 26 dentes
m = 3 mm
αc = α = 20 °= 0,3491 rad
dc = 78,000 mm
xm1 = 1,0698 mm
xm2 = 0,5434 mm
Solução
pb = 2πrb1/z1 = 2πrb2/z2 = 8,856 mm
Ângulo de pressão de corte - Engrenagem 1
r1 = mz1/2 = 16,500 mm

12. rb1 = r1cosα = 15,505 mm
Cstd1 = (z1 + zc)m/2 55,500 mm
Pela Eq. 5.13
αg1 = acos{(z1 + zc)pb/[2π(Cstd1 + xm1)]} = 22,791 °= 0,3978 rad
Ângulo de pressão de corte - Engrenagem 2
r2 = mz2/2 = 21,000 mm
rb2 = r2cosα = 19,734 mm
Cstd2 = (z2 + zc)m/2 60,000 mm
Pela Eq. 5.13
αg2 = acos{(z2 + zc)pb/[2π(Cstd2 + xm2)]} = 21,368 °= 0,3729 rad
Ângulo de pressão de operação
Pela Eq. 5.26
Ev αr = [(z1 + zc)Ev αg1 + (z2 + zc)Ev αg2 - 2zcEv αc]/(z1 + z2)
Ev αr = 0,031446
Pela tabela de funções evolventais (com interpolação)
Ev 25,300 = 0,031130
Ev 25,400 = 0,031521
α
α
α
αr = 25,381 °= 0,4430 rad
Raios primitivos de operação
r1' = r1cosαc/cosαr = 17,161 mm
r2' = r2cosαc/cosαr = 21,842 mm
Distancia entre centros de operação
C' = r1' + r2' = 39,003 mm
C = r1 + r2 = 37,500 mm
∆C = C' - C = 1,5031 mm
xm1 + xm2 = 1,07 ∆
∆
∆
∆C
5.22. z1 = 12 dentes
z2 = 15 dentes
zc = 26 dentes
m = 4 mm
αc = 20 °= 0,3491 rad
dc = 104,000 mm
Solução
rc = dc/2 = 52,000 mm
ha = m = 4,0000 mm
hf = 1,25m = 5,0000 mm
c = hf - ha = 1,0000 mm
rac = rc + m + c = 57,000 mm
pb = 2πrb1/z1 = 2πrb2/z2 = 11,809 mm
Pela Eq. 5.11
Deslocamento mínimo da ferramenta para evitar adelgaçamento - Engrenagem 1
r1 = mz1/2 = 24,000 mm
rb1 = r1cosα = 22,553 mm
Cstd1 = (z1 + zc)m/2 76,000 mm
Pela Eq. 5.35
xm1* = [(rac)² - (rb1)² + rb1(z1 + zc)pb/π]1/2
- Cstd1
xm1* = 1,2117 mm
Deslocamento mínimo da ferramenta para evitar adelgaçamento - Engrenagem 2
r2 = mz2/2 = 30,000 mm
rb2 = r2cosα = 28,191 mm
Cstd2 = (z2 + zc)m/2 82,000 mm
Pela Eq. 5.35
xm2* = [(rac)² - (rb2)² + rb2(z2 + zc)pb/π]1/2
- Cstd2
xm2* = 0,4545 mm

13. Ângulo de pressão de corte - Engrenagem 1
Pela Eq. 5.13
αg1 = acos{(z1 + zc)pb/[2π(Cstd1 + xm1*)]} = 22,340 °= 0,3899 rad
Ângulo de pressão de corte - Engrenagem 2
Pela Eq. 5.13
αg2 = acos{(z2 + zc)pb/[2π(Cstd2 + xm2*)]} = 20,850 °= 0,3639 rad
Ângulo de pressão de operação
Pela Eq. 5.26
Ev αr = [(z1 + zc)Ev αg1 + (z2 + zc)Ev αg2 - 2zcEv αc]/(z1 + z2)
Ev αr = 0,026664
Pela tabela de funções evolventais (com interpolação)
Ev 24,000 = 0,026350
Ev 24,100 = 0,026697
αr = 24,091 °= 0,4205 rad
Raios primitivos de operação
r1' = r1cosαc/cosαr = 24,704 mm
r2' = r2cosαc/cosαr = 30,880 mm
Distancia entre centros de operação
C' = r1' + r2' = 55,585 mm
Raios externos dos discos a serem usinados
Pela Eq. 5.30
ra1 = C' - r2 - xm2* + m = 29,130 mm
ra2 = C' - r1 - xm1* + m = 34,373 mm
Profundidade de corte
Pela Eq. 5.29
ht = ra1 + ra2 - C' + c = 8,9185 mm
Razão frontal de transmissão
Pela Eq. 4.7
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- C'senαr
gα = 15,416 mm
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,305
5.23. z1 = 11 dentes
z2 = 24 dentes
zc = 40 dentes
Pd = 10 pol-1
αc = 20 °= 0,3491 rad
dc = zc/Pd = 4,0000 pol
C' = 2,0000 pol
Solução
r1 = z1/(2Pd) = 0,5500 pol
rb1 = r1cosα = 0,5168 pol
r2 = z2/(2Pd) = 1,2000 pol
rb2 = r2cosα = 1,1276 pol
pb = 2πrb1/z1 = 2πrb2/z2 = 0,2952 pol
C = r1 + r2 = 1,7500 pol
∆C = C' - C = 0,2500 pol
rc = dc/2 = 2,0000 pol
ha = 1/Pd = 0,1000 pol
hf = 1,25/Pd = 0,1250 pol
c = hf - ha = 0,0250 pol
k = 1,0000
rac = rc + k/Pd + c = 2,1250 pol
Deslocamento mínimo da ferramenta para evitar interferência na engrenagem 1
Cstd1 = (z1 + zc)/(2Pd) = 2,5500 pol
Pela Eq. 5.35

14. xm1* = [(rac)² - (rb1)² + rb1(z1 + zc)pb/π]1/2
- Cstd1
xm1 = xm1* = 0,0433 pol
Ângulo de pressão de corte - Engrenagem 1
Pela Eq. 5.13
αg1 = acos{(z1 + zc)pb/[2π(Cstd1 + xm1*)]} = 22,483 °= 0,3924 rad
Raio primitivo de operação das engrenagens
Pela Eq. 5.22
r1r = z1C'/(z1 + z2) = 0,6286 pol
r2r = C' - r1r = 1,3714 pol
Ângulo de pressão de operação das engrenagens
Pela Eq. 4.17
αr = acos[(C/C')cosαc] = 34,691 °= 0,6055 rad
Deslocamento da ferramenta para a engrenagem 2
Cstd2 = (z2 + zc)/(2Pd) = 3,200 pol
Pela Eq. 5.26
Ev αg2 = [2zcEv αc + (z1 + z2)Ev αr - (z1 + zc)Ev αg1]/(z2 + zc)
Ev αg2 = 0,048956
Pela tabela de funções evolventais (com interpolação)
Ev 29,100 = 0,048702
Ev 29,200 = 0,049245
αg2 = 29,147 °= 0,5087 rad
Pela Eq. 5.13
xm2 = {[(z2 + zc)pb]/(2πcosαg2)} - Cstd2 = 0,2430 pol
5.24. C' = 99,06 mm
i = 1,25
m = 2,5 mm
αc = 20 °= 0,3491 rad
zc = 30 dentes
dc = 75 mm
Solução
Nota: z1 é arbitrado até ser conseguido z2 inteiro e C próximo a C'
z1 = 36 dentes (arbitrado)
z2 = iz1 = 45 dentes
r1 = mz1/d = 45,000 mm
r2 = mz2/2 = 56,250 mm
C = r1 + r2 = 101,25 mm
∆C = -2,1900 mm
rb1 = r1cosα = 42,286 mm
rb2 = r2cosα = 52,858 mm
pb = 2πrb1/z1 = 2πrb2/z2 = 7,3803 mm
rc = dc/2 = 37,500 mm
ha = m = 2,5000 mm
hf = 1,25m = 3,1250 mm
c = hf - ha = 0,6250 mm
rac = rc + m + c = 40,625 mm
Deslocamento mínimo/adotado da ferramenta para evitar interferência na engrenagem 1
Cstd1 = (z1 + zc)m/2 = 82,500 mm
Pela Eq. 5.35
xm1* = [(rac)² - (rb1)² + rb1(z1 + zc)pb/π]1/2
- Cstd1
xm1* = -2,3831 mm
xm1 = -0,5000 mm (adotado)
Raio primitivo de operação das engrenagens
Pela Eq. 5.22
r1r = z1C'/(z1 + z2) = 44,027 mm

15. r2r = C' - r1r = 55,033 mm
Ângulo de pressão de operação das engrenagens
Pela Eq. 4.17
αr = acos[(C/C')cosαc] = 16,164 °= 0,2821 rad
Ângulo de pressão de corte - Engrenagem 1
Pela Eq. 5.13
αg1 = acos{(z1 + zc)pb/[2π(Cstd1 + xm1)]} = 19,017 °= 0,3319 rad
Deslocamento da ferramenta para a engrenagem 2
Cstd2 = (z2 + zc)m/2 = 93,75 mm
Pela Eq. 5.26
Ev αg2 = [2zcEv αc + (z1 + z2)Ev αr - (z1 + zc)Ev αg1]/(z2 + zc)
Ev αg2 = 0,009053
Pela tabela de funções evolventais (com interpolação)
Ev 17,000 = 0,009025
Ev 17,100 = 0,009189
αg2 = 17,017 °= 0,2970 rad
Pela Eq. 5.13
xm2 = {[(z2 + zc)pb]/(2πcosαg2)} - Cstd2 = -1,6201 mm
Diâmetros externos
Pela Eq. 5.30
ra1 = C' - r2 -xm2 + m = 46,930 mm
da1 = 2ra1 = 93,860 mm
Pela Eq. 5.31
ra2 = C' - r1 -xm1 + m = 57,060 mm
da2 = 2ra2 = 114,12 mm
Profundidade de corte
Pela Eq. 5.29
ht = ra1 + ra2 - C' + c = 5,5551 mm
Razão frontal de tranismissão
Pela Eq. 4.7
gα = [(ra1)² - (rb1)²]1/2
+ [(ra2)² - (rb2)²]1/2
- C'senαr
gα = 14,269 mm
ε
ε
ε
εα
α
α
α = gα
α
α
α/pb = 1,933