Juliana Félix, profile picture
Carregado porJuliana Félix
PDF, PPTX107 visualizações

Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos

O documento discute algoritmos de aproximação e algoritmos probabilísticos. Apresenta a motivação para o desenvolvimento destes algoritmos, já que problemas NP-difíceis podem não ter soluções exatas em tempo polinomial. Descreve como algoritmos de aproximação encontram soluções aproximadamente ótimas e dá o exemplo de um algoritmo que resolve aproximadamente o problema COBERTURA DE VÉRTICES. Também introduz o conceito de algoritmos probabilísticos e as classes BPP, RP e ZPP.

Incorporar apresentação

Transferir como PDF, PPTX
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix 3 de julho de 2015
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-dif´ıcil implicaria que P=NP;
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-dif´ıcil implicaria que P=NP; Na pr´atica, algoritmos ´otimos podem n˜ao ser necess´arios, e pode-se buscar algoritmos aproximativos ou probabil´ısticos.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-dif´ıcil implicaria que P=NP; Na pr´atica, algoritmos ´otimos podem n˜ao ser necess´arios, e pode-se buscar algoritmos aproximativos ou probabil´ısticos. Uma solu¸c˜ao quase ´otima ´e suficientemente boa quando ´e mais f´acil de ser encontrada.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Um algoritmo de aproxima¸c˜ao ´e desenvolvido para encontrar solu¸c˜oes aproximadamente ´otimas;
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Um algoritmo de aproxima¸c˜ao ´e desenvolvido para encontrar solu¸c˜oes aproximadamente ´otimas; Exemplo COB-VERT-MIN Encontrar um algoritmo de tempo polinomial que produz uma cobertura de v´ertices de G que nunca ´e mais que duas vezes maior que uma menor cobertura de v´ertices.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Um algoritmo de aproxima¸c˜ao ´e desenvolvido para encontrar solu¸c˜oes aproximadamente ´otimas; Exemplo COB-VERT-MIN Encontrar um algoritmo de tempo polinomial que produz uma cobertura de v´ertices de G que nunca ´e mais que duas vezes maior que uma menor cobertura de v´ertices.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao A resolve aproximadamente COB-VERT-MIN em tempo polinomial A =”Sobre a entrada < G >, onde G ´e um grafo n˜ao-direcionado: 1 Repita o seguinte at´e que todas as arestas em G toquem uma aresta marcada: 2 Encontre uma aresta em G n˜ao tocada por nenhuma aresta marcada. 3 Marque essa aresta. 4 Dˆe como sa´ıda todos os n´os que s˜ao extremidade de arestas marcadas.”
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova A roda em tempo polinomial e o conjunto X dado como sa´ıda pelo algoritmo ´e uma cobertura, pois H (conjunto de arestas marcadas) cont´em (ou toca) todas as arestas em G. Logo, X toca todas em G.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova A roda em tempo polinomial e o conjunto X dado como sa´ıda pelo algoritmo ´e uma cobertura, pois H (conjunto de arestas marcadas) cont´em (ou toca) todas as arestas em G. Logo, X toca todas em G. X ´e duas vezes t˜ao grande quanto H, e Y (uma das menores coberturas em G) ´e no m´ınimo t˜ao grande quanto H.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova (cont.)
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova (cont.) Y ´e uma cobertura. Logo, toda aresta em H toca um n´o em Y , e nenhum n´o de Y toca duas arestas em H, pois as mesmas n˜ao se tocam.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova (cont.) Y ´e uma cobertura. Logo, toda aresta em H toca um n´o em Y , e nenhum n´o de Y toca duas arestas em H, pois as mesmas n˜ao se tocam. Portanto, Y ´e no m´ınimo t˜ao grande quanto H, pois Y possui um n´o diferente que toca toda aresta em H. Por fim, X ´e no m´aximo duas vezes maior que Y .
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio. Problemas
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio. Problemas Calcular a melhor escolha pode requerer muito tempo, enquanto estimar o resultado pode ser suficiente;
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio. Problemas Calcular a melhor escolha pode requerer muito tempo, enquanto estimar o resultado pode ser suficiente; Estimar o resultado pode resultar (espera-se que com baixa probabilidade) em solu¸c˜oes errˆoneas.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao Uma m´aquina de Turing probabil´ıstica(MTP) M ´e um tipo de m´aquina de Turing n˜ao-determin´ıstica na qual cada passo n˜ao-determin´ıstico ´e chamado de passo de arremesso-de-moeda e tem dois movimentos seguintes leg´ıtimos.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao (cont.) Atribu´ımos uma probabilidade a cada ramo b da computa¸c˜ao de M sobre a entrada w da seguinte forma. Defina a probabilidade do ramo b como Pr[b] = 2−k onde k ´e o n´umero de passos de arremesso-de-moeda que ocorrem no ramo b. Defina a probabilidade de que M aceita w como Pr[M aceita w] = b ´e um ramo de aceita¸c˜ao Pr[b]
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada. Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) ´e de:
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada. Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) ´e de: 1 w ∈ A implica Pr[M aceita w] ≥ 1 − ε, e
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada. Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) ´e de: 1 w ∈ A implica Pr[M aceita w] ≥ 1 − ε, e 2 w /∈ A implica Pr[M rejeita w] ≥ 1 − ε.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe BPP (Bounded-error probabilistic polynomial) Defini¸c˜ao BPP ´e a classe de linguagens reconhecidas por m´aquinas de Turing probabil´ısticas de tempo polinomial com uma probabilidade de erro de 1 3 . Algoritmos que reconhecem linguagens em BPP s˜ao chamados de Atlantic city.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe BPP (Bounded-error probabilistic polynomial) Defini¸c˜ao BPP ´e a classe de linguagens reconhecidas por m´aquinas de Turing probabil´ısticas de tempo polinomial com uma probabilidade de erro de 1 3 . Algoritmos que reconhecem linguagens em BPP s˜ao chamados de Atlantic city. Uma defini¸c˜ao semelhante poderia ser feita para uma probabilidade de erro entre 0 e 1 2, em virtude do lema da amplifica¸c˜ao que oferece uma maneira simples de tornar a probabilidade de erro exponencialmente pequena.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Lema Seja ε uma constante fixa estritamente entre 0 e 1 2. Ent˜ao, para qualquer polinˆomio poly(n), uma m´aquina de Turing probabil´ıstica de tempo polinomial M1 que opera com probabilidade de erro ε tem uma m´aquina de Turing probabil´ıstica de tempo polinomial equivalente M2 que opera com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Id´eia da Prova M2 simula M1 rodando-a um n´umero polinomial de vezes e tomando o voto da maioria dos resultados. A probabilidade de erro decresce exponencialmente com o n´umero de execu¸c˜oes de M1 realizadas.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w:
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w: Calcule k
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w: Calcule k Rode 2k simula¸c˜oes independentes de M1 sobre a entrada w.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w: Calcule k Rode 2k simula¸c˜oes independentes de M1 sobre a entrada w. Se a maioria das execu¸c˜oes de M1 aceita, ent˜ao aceite; caso contr´ario, rejeite.”
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.)
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e).
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e). S a sequˆencia de resultados obtidos no est´agio 2.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e). S a sequˆencia de resultados obtidos no est´agio 2. S cont´em 2k resultados, onde 2k = c + e.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e). S a sequˆencia de resultados obtidos no est´agio 2. S cont´em 2k resultados, onde 2k = c + e. Se c ≤ e ent˜ao M2 d´a uma resposta incorreta (S ´e denominada uma sequˆencia ruim).
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ. A somat´oria de todas as sequˆencias ruins d´a a probabilidade de que M2 gere uma sa´ıda incorreta:
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ. A somat´oria de todas as sequˆencias ruins d´a a probabilidade de que M2 gere uma sa´ıda incorreta: S ruim PS ≤ 22k .ǫk (1 − ǫ)k = (4ǫ(1 − ǫ))k
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ. A somat´oria de todas as sequˆencias ruins d´a a probabilidade de que M2 gere uma sa´ıda incorreta: S ruim PS ≤ 22k .ǫk (1 − ǫ)k = (4ǫ(1 − ǫ))k Como ǫ < 1 2, portanto 4ǫ(1 − ǫ) < 1 e, consequentemente, a probabilidade anterior decresce exponencialmente em k.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Teorema (pequeno teorema de Fermat) Se p ´e primo e a ∈ Z+ p , ent˜ao ap−1 ≡ 1 (mod p) Teste de Primalidade
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Teorema (pequeno teorema de Fermat) Se p ´e primo e a ∈ Z+ p , ent˜ao ap−1 ≡ 1 (mod p) Teste de Primalidade 2(7−1) = 26 = 64 ≡ 1 (mod 7)
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Teorema (pequeno teorema de Fermat) Se p ´e primo e a ∈ Z+ p , ent˜ao ap−1 ≡ 1 (mod p) Teste de Primalidade 2(7−1) = 26 = 64 ≡ 1 (mod 7) 2(6−1) = 25 = 32 ≡ 2 (mod 6)
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341)
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341) 11 ∗ 31 = 341.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341) 11 ∗ 31 = 341. N´umeros pseudoprimos s˜ao aqueles que passam no teste de Fermat para todo a menor que ele, e primo em rela¸c˜ao a ele.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341) 11 ∗ 31 = 341. N´umeros pseudoprimos s˜ao aqueles que passam no teste de Fermat para todo a menor que ele, e primo em rela¸c˜ao a ele. N´umeros de Carmichael: n´umeros compostos que ainda assim passam no teste de Fermat.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade PSEUDOPRIMO = ”Sobre a entrada p, fa¸ca: 1 Selecione a1, ...., ak aleatoriamente em Z+ p . 2 Compute ap−1 i mod p para cada i. 3 Se todos os valores computados forem 1, aceite. Caso contr´ario, rejeite.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza. Se p n˜ao for pseudoprimo, ele passa em, no m´aximo, metade de todos os testes.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza. Se p n˜ao for pseudoprimo, ele passa em, no m´aximo, metade de todos os testes. Nesse caso, ele passa em cada teste com probabilidade de no m´aximo 1 2 e, portanto, a probabilidade de que ele passe em todos os k testes aleatoriamente selecionados ´e, no m´aximo, 2−k .
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza. Se p n˜ao for pseudoprimo, ele passa em, no m´aximo, metade de todos os testes. Nesse caso, ele passa em cada teste com probabilidade de no m´aximo 1 2 e, portanto, a probabilidade de que ele passe em todos os k testes aleatoriamente selecionados ´e, no m´aximo, 2−k . O algoritmo opera em tempo polinomial porque a exponencia¸c˜ao modular ´e comput´avel em tempo polinomial (cap. 7).
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Defini¸c˜ao RP ´e a classe de linguagens que s˜ao reconhecidas por m´aquinas de Turing probabil´ısticas de tempo polinomial em que entradas na linguagem s˜ao aceitas com uma probabilidade de, no m´ınimo, 1 2 e entradas que n˜ao est˜ao na linguagem s˜ao rejeitadas com uma probabilidade de 1.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando Se a resposta correta ´e:
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando Se a resposta correta ´e: n˜ao, sempre retorna n˜ao.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando Se a resposta correta ´e: n˜ao, sempre retorna n˜ao. sim, retorna sim com probabilidade de erro de 1 2
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe co-RP Classe co-RP Se a resposta correta ´e:
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe co-RP Classe co-RP Se a resposta correta ´e: sim, sempre retorna sim. n˜ao, retorna n˜ao com probabilidade de erro 1 2 .
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe co-RP Classe co-RP Se a resposta correta ´e: sim, sempre retorna sim. n˜ao, retorna n˜ao com probabilidade de erro 1 2 . Algoritmos que reconhecem linguagens em RP, ou co-RP s˜ao conhecidos como Monte-Carlo.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Defini¸c˜ao ZPP ´e a classe de linguagens que uma MTP p´ara em tempo polinomial, sem falsas aceita¸c˜oes ou rejei¸c˜oes, mas `as vezes d´a um n˜ao sei como resposta. ZPP ´e = a RP ∩ co-RP. Conhecido como algoritmo de Las Vegas.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Simplificando
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Simplificando Sempre retorna uma resposta sim ou n˜ao.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Simplificando Sempre retorna uma resposta sim ou n˜ao. Pode retornar um n˜ao sei como resposta.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova: RP ∩ co-RP ⊆ ZPP Seja L uma linguagem, T seu decisor em RP e B o decisor em co-RP. A seguinte MT M decide L em ZPP. M = ”Sobre a entrada w, fa¸ca: 1 Rode T sobre w. Se T aceita, aceite. 2 Rode B sobre w. Se T rejeita, rejeite. 3 Em outros casos, dˆe como sa´ıda ”N˜ao sei. ´E melhor rodar a entrada novamente”.”
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova Como T e B rodam em tempo polinomial, M tamb´em roda em tempo polinomial. Pelas defini¸c˜oes de RP e co-RP, temos que:
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova Como T e B rodam em tempo polinomial, M tamb´em roda em tempo polinomial. Pelas defini¸c˜oes de RP e co-RP, temos que: Se T aceita w, ent˜ao w ∈ L. Se B rejeita w, ent˜ao w /∈ L.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova Como T e B rodam em tempo polinomial, M tamb´em roda em tempo polinomial. Pelas defini¸c˜oes de RP e co-RP, temos que: Se T aceita w, ent˜ao w ∈ L. Se B rejeita w, ent˜ao w /∈ L. M pode ser executado por um n´umero k de vezes, e conforme k aumenta, a probabilidade de M responder n˜ao sei diminui.
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova: ZPP ⊆ RP Seja C um algoritmo de Las Vegas. Rode C sobre w. Se C d´a uma resposta, dˆe essa resposta. Se C responde n˜ao sei, ent˜ao rejeite. ZPP ⊆ co-RP ´e feita de forma similar, trocando n˜ao sei por aceite. ZPP ⊆ RP ∩ co-RP e RP ∩ co-RP ⊆ ZPP ZPP = RP ∩ co-RP
Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Referˆencia Bibliogr´afica Sipser, Michael(2006). Introduction To Theory of Computation. Thompson Course Technology.

Mais conteúdo relacionado

PPT
Algoritmos e Programação_01
porGabriel Demétrio
 
PDF
Aula 01 introdução a linguagem pascal
porTácito Graça
 
PDF
Acartomante urgente
poreduardo cassim Cassim
 
PDF
2013 lpp-aulas praticas
porJota Thin
 
PDF
Classes de problemas p, np,np completo e np-difícil
porGuilherme Coelho
 
PPT
Algoritmos e Programação
porGabriel Demétrio
 
PDF
P910Aula04
porDavi Neves
 
PDF
Pseudocódigo - Estrutura de Repetição (Lógica de Programação)
porGercélia Ramos
 
Algoritmos e Programação_01
porGabriel Demétrio
 
Aula 01 introdução a linguagem pascal
porTácito Graça
 
Acartomante urgente
poreduardo cassim Cassim
 
2013 lpp-aulas praticas
porJota Thin
 
Classes de problemas p, np,np completo e np-difícil
porGuilherme Coelho
 
Algoritmos e Programação
porGabriel Demétrio
 
P910Aula04
porDavi Neves
 
Pseudocódigo - Estrutura de Repetição (Lógica de Programação)
porGercélia Ramos
 

Destaque

PDF
2024 Trend Updates: What Really Works In SEO & Content Marketing
porSearch Engine Journal
 
PDF
Storytelling For The Web: Integrate Storytelling in your Design Process
porChiara Aliotta
 
PDF
Artificial Intelligence, Data and Competition – SCHREPEL – June 2024 OECD dis...
porOECD Directorate for Financial and Enterprise Affairs
 
PDF
How to Leverage AI to Boost Employee Wellness - Lydia Di Francesco - SocialHR...
porSocialHRCamp
 
PDF
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
porMarius Sescu
 
PDF
Everything You Need To Know About ChatGPT
porExpeed Software
 
PDF
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
porPixeldarts
 
PDF
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
porThinkNow
 
PDF
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
pormarketingartwork
 
PDF
Skeleton Culture Code
porSkeleton Technologies
 
PDF
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
porNeil Kimberley
 
PDF
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
porcontently
 
PPTX
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
porAlbert Qian
 
PDF
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
porKurio // The Social Media Age(ncy)
 
PDF
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
porSearch Engine Journal
 
PDF
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
porSpeakerHub
 
PDF
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
porClark Boyd
 
PDF
Getting into the tech field. what next
porTessa Mero
 
PDF
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
porLily Ray
 
PDF
How to have difficult conversations
porRajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 
2024 Trend Updates: What Really Works In SEO & Content Marketing
porSearch Engine Journal
 
Storytelling For The Web: Integrate Storytelling in your Design Process
porChiara Aliotta
 
Artificial Intelligence, Data and Competition – SCHREPEL – June 2024 OECD dis...
porOECD Directorate for Financial and Enterprise Affairs
 
How to Leverage AI to Boost Employee Wellness - Lydia Di Francesco - SocialHR...
porSocialHRCamp
 
2024 State of Marketing Report – by Hubspot
porMarius Sescu
 
Everything You Need To Know About ChatGPT
porExpeed Software
 
Product Design Trends in 2024 | Teenage Engineerings
porPixeldarts
 
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental Health
porThinkNow
 
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdf
pormarketingartwork
 
Skeleton Culture Code
porSkeleton Technologies
 
PEPSICO Presentation to CAGNY Conference Feb 2024
porNeil Kimberley
 
Content Methodology: A Best Practices Report (Webinar)
porcontently
 
How to Prepare For a Successful Job Search for 2024
porAlbert Qian
 
Social Media Marketing Trends 2024 // The Global Indie Insights
porKurio // The Social Media Age(ncy)
 
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024
porSearch Engine Journal
 
5 Public speaking tips from TED - Visualized summary
porSpeakerHub
 
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd
porClark Boyd
 
Getting into the tech field. what next
porTessa Mero
 
Google's Just Not That Into You: Understanding Core Updates & Search Intent
porLily Ray
 
How to have difficult conversations
porRajiv Jayarajah, MAppComm, ACC
 

Algoritmos de Aproximação e Algoritmos Probabilísticos

  • 1.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos Juliana F´elix 3 de julho de 2015
  • 2.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
  • 3.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
  • 4.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema
  • 5.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-dif´ıcil implicaria que P=NP;
  • 6.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-dif´ıcil implicaria que P=NP; Na pr´atica, algoritmos ´otimos podem n˜ao ser necess´arios, e pode-se buscar algoritmos aproximativos ou probabil´ısticos.
  • 7.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia O Problema Obter um algoritmo polinomial para problemas NP-dif´ıcil implicaria que P=NP; Na pr´atica, algoritmos ´otimos podem n˜ao ser necess´arios, e pode-se buscar algoritmos aproximativos ou probabil´ısticos. Uma solu¸c˜ao quase ´otima ´e suficientemente boa quando ´e mais f´acil de ser encontrada.
  • 8.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
  • 9.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao
  • 10.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Um algoritmo de aproxima¸c˜ao ´e desenvolvido para encontrar solu¸c˜oes aproximadamente ´otimas;
  • 11.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Um algoritmo de aproxima¸c˜ao ´e desenvolvido para encontrar solu¸c˜oes aproximadamente ´otimas; Exemplo COB-VERT-MIN Encontrar um algoritmo de tempo polinomial que produz uma cobertura de v´ertices de G que nunca ´e mais que duas vezes maior que uma menor cobertura de v´ertices.
  • 12.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Um algoritmo de aproxima¸c˜ao ´e desenvolvido para encontrar solu¸c˜oes aproximadamente ´otimas; Exemplo COB-VERT-MIN Encontrar um algoritmo de tempo polinomial que produz uma cobertura de v´ertices de G que nunca ´e mais que duas vezes maior que uma menor cobertura de v´ertices.
  • 13.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao A resolve aproximadamente COB-VERT-MIN em tempo polinomial A =”Sobre a entrada < G >, onde G ´e um grafo n˜ao-direcionado: 1 Repita o seguinte at´e que todas as arestas em G toquem uma aresta marcada: 2 Encontre uma aresta em G n˜ao tocada por nenhuma aresta marcada. 3 Marque essa aresta. 4 Dˆe como sa´ıda todos os n´os que s˜ao extremidade de arestas marcadas.”
  • 14.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova
  • 15.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova A roda em tempo polinomial e o conjunto X dado como sa´ıda pelo algoritmo ´e uma cobertura, pois H (conjunto de arestas marcadas) cont´em (ou toca) todas as arestas em G. Logo, X toca todas em G.
  • 16.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova A roda em tempo polinomial e o conjunto X dado como sa´ıda pelo algoritmo ´e uma cobertura, pois H (conjunto de arestas marcadas) cont´em (ou toca) todas as arestas em G. Logo, X toca todas em G. X ´e duas vezes t˜ao grande quanto H, e Y (uma das menores coberturas em G) ´e no m´ınimo t˜ao grande quanto H.
  • 17.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova (cont.)
  • 18.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova (cont.) Y ´e uma cobertura. Logo, toda aresta em H toca um n´o em Y , e nenhum n´o de Y toca duas arestas em H, pois as mesmas n˜ao se tocam.
  • 19.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Prova (cont.) Y ´e uma cobertura. Logo, toda aresta em H toca um n´o em Y , e nenhum n´o de Y toca duas arestas em H, pois as mesmas n˜ao se tocam. Portanto, Y ´e no m´ınimo t˜ao grande quanto H, pois Y possui um n´o diferente que toca toda aresta em H. Por fim, X ´e no m´aximo duas vezes maior que Y .
  • 20.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia 1 Motiva¸c˜ao 2 Algoritmos de Aproxima¸c˜ao 3 Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP
  • 21.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio.
  • 22.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio. Problemas
  • 23.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio. Problemas Calcular a melhor escolha pode requerer muito tempo, enquanto estimar o resultado pode ser suficiente;
  • 24.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Introdu¸c˜ao Um algoritmo probabil´ıstico ´e um algoritmo concebido para usar o resultado de um processo aleat´orio. Problemas Calcular a melhor escolha pode requerer muito tempo, enquanto estimar o resultado pode ser suficiente; Estimar o resultado pode resultar (espera-se que com baixa probabilidade) em solu¸c˜oes errˆoneas.
  • 25.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao Uma m´aquina de Turing probabil´ıstica(MTP) M ´e um tipo de m´aquina de Turing n˜ao-determin´ıstica na qual cada passo n˜ao-determin´ıstico ´e chamado de passo de arremesso-de-moeda e tem dois movimentos seguintes leg´ıtimos.
  • 26.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Defini¸c˜ao Defini¸c˜ao (cont.) Atribu´ımos uma probabilidade a cada ramo b da computa¸c˜ao de M sobre a entrada w da seguinte forma. Defina a probabilidade do ramo b como Pr[b] = 2−k onde k ´e o n´umero de passos de arremesso-de-moeda que ocorrem no ramo b. Defina a probabilidade de que M aceita w como Pr[M aceita w] = b ´e um ramo de aceita¸c˜ao Pr[b]
  • 27.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada.
  • 28.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada. Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) ´e de:
  • 29.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada. Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) ´e de: 1 w ∈ A implica Pr[M aceita w] ≥ 1 − ε, e
  • 30.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Reconhecimento em MTP Uma MTP M admite uma probabilidade de erro ε = 2−n, onde n ´e a entrada. Probabilidade de que M aceita w quando w ∈ L(M) ´e de: 1 w ∈ A implica Pr[M aceita w] ≥ 1 − ε, e 2 w /∈ A implica Pr[M rejeita w] ≥ 1 − ε.
  • 31.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe BPP (Bounded-error probabilistic polynomial) Defini¸c˜ao BPP ´e a classe de linguagens reconhecidas por m´aquinas de Turing probabil´ısticas de tempo polinomial com uma probabilidade de erro de 1 3 . Algoritmos que reconhecem linguagens em BPP s˜ao chamados de Atlantic city.
  • 32.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe BPP (Bounded-error probabilistic polynomial) Defini¸c˜ao BPP ´e a classe de linguagens reconhecidas por m´aquinas de Turing probabil´ısticas de tempo polinomial com uma probabilidade de erro de 1 3 . Algoritmos que reconhecem linguagens em BPP s˜ao chamados de Atlantic city. Uma defini¸c˜ao semelhante poderia ser feita para uma probabilidade de erro entre 0 e 1 2, em virtude do lema da amplifica¸c˜ao que oferece uma maneira simples de tornar a probabilidade de erro exponencialmente pequena.
  • 33.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Lema Seja ε uma constante fixa estritamente entre 0 e 1 2. Ent˜ao, para qualquer polinˆomio poly(n), uma m´aquina de Turing probabil´ıstica de tempo polinomial M1 que opera com probabilidade de erro ε tem uma m´aquina de Turing probabil´ıstica de tempo polinomial equivalente M2 que opera com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
  • 34.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Id´eia da Prova M2 simula M1 rodando-a um n´umero polinomial de vezes e tomando o voto da maioria dos resultados. A probabilidade de erro decresce exponencialmente com o n´umero de execu¸c˜oes de M1 realizadas.
  • 35.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n).
  • 36.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w:
  • 37.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w: Calcule k
  • 38.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w: Calcule k Rode 2k simula¸c˜oes independentes de M1 sobre a entrada w.
  • 39.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Dada a MT M1 que reconhece uma linguagem com uma probabilidade de erro ǫ < 1 2 e um polinˆomio poly(n), constru´ımos uma MT M2 que reconhece a mesma linguagem com uma probabilidade de erro de 2−poly(n). Prova M2 = ”Sobre a entrada w: Calcule k Rode 2k simula¸c˜oes independentes de M1 sobre a entrada w. Se a maioria das execu¸c˜oes de M1 aceita, ent˜ao aceite; caso contr´ario, rejeite.”
  • 40.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.)
  • 41.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1.
  • 42.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e).
  • 43.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e). S a sequˆencia de resultados obtidos no est´agio 2.
  • 44.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e). S a sequˆencia de resultados obtidos no est´agio 2. S cont´em 2k resultados, onde 2k = c + e.
  • 45.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) O est´agio 2 d´a uma sequˆencia de 2k resultados da simula¸c˜ao de M1. Cada resultado pode ser certo (c) ou errado (e). S a sequˆencia de resultados obtidos no est´agio 2. S cont´em 2k resultados, onde 2k = c + e. Se c ≤ e ent˜ao M2 d´a uma resposta incorreta (S ´e denominada uma sequˆencia ruim).
  • 46.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c
  • 47.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ.
  • 48.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ. A somat´oria de todas as sequˆencias ruins d´a a probabilidade de que M2 gere uma sa´ıda incorreta:
  • 49.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ. A somat´oria de todas as sequˆencias ruins d´a a probabilidade de que M2 gere uma sa´ıda incorreta: S ruim PS ≤ 22k .ǫk (1 − ǫ)k = (4ǫ(1 − ǫ))k
  • 50.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Lema da Amplifica¸c˜ao Prova (cont.) Se S ´e uma sequˆencia ruim, ent˜ao PS ≤ ǫe(1 − ǫ)c ǫe(1 − ǫ)c = ǫk(1 − ǫ)k, porque k ≤ e e ǫ < 1 − ǫ. A somat´oria de todas as sequˆencias ruins d´a a probabilidade de que M2 gere uma sa´ıda incorreta: S ruim PS ≤ 22k .ǫk (1 − ǫ)k = (4ǫ(1 − ǫ))k Como ǫ < 1 2, portanto 4ǫ(1 − ǫ) < 1 e, consequentemente, a probabilidade anterior decresce exponencialmente em k.
  • 51.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Teorema (pequeno teorema de Fermat) Se p ´e primo e a ∈ Z+ p , ent˜ao ap−1 ≡ 1 (mod p) Teste de Primalidade
  • 52.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Teorema (pequeno teorema de Fermat) Se p ´e primo e a ∈ Z+ p , ent˜ao ap−1 ≡ 1 (mod p) Teste de Primalidade 2(7−1) = 26 = 64 ≡ 1 (mod 7)
  • 53.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Teorema (pequeno teorema de Fermat) Se p ´e primo e a ∈ Z+ p , ent˜ao ap−1 ≡ 1 (mod p) Teste de Primalidade 2(7−1) = 26 = 64 ≡ 1 (mod 7) 2(6−1) = 25 = 32 ≡ 2 (mod 6)
  • 54.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341)
  • 55.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341) 11 ∗ 31 = 341.
  • 56.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341) 11 ∗ 31 = 341. N´umeros pseudoprimos s˜ao aqueles que passam no teste de Fermat para todo a menor que ele, e primo em rela¸c˜ao a ele.
  • 57.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Erros do Teste de Primalidade 2(341−1) ≡ 1 (mod 341) 11 ∗ 31 = 341. N´umeros pseudoprimos s˜ao aqueles que passam no teste de Fermat para todo a menor que ele, e primo em rela¸c˜ao a ele. N´umeros de Carmichael: n´umeros compostos que ainda assim passam no teste de Fermat.
  • 58.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade PSEUDOPRIMO = ”Sobre a entrada p, fa¸ca: 1 Selecione a1, ...., ak aleatoriamente em Z+ p . 2 Compute ap−1 i mod p para cada i. 3 Se todos os valores computados forem 1, aceite. Caso contr´ario, rejeite.
  • 59.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza.
  • 60.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza. Se p n˜ao for pseudoprimo, ele passa em, no m´aximo, metade de todos os testes.
  • 61.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza. Se p n˜ao for pseudoprimo, ele passa em, no m´aximo, metade de todos os testes. Nesse caso, ele passa em cada teste com probabilidade de no m´aximo 1 2 e, portanto, a probabilidade de que ele passe em todos os k testes aleatoriamente selecionados ´e, no m´aximo, 2−k .
  • 62.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Primalidade Se p for primo, ele passa em todos os teste e o algoritmo aceita com certeza. Se p n˜ao for pseudoprimo, ele passa em, no m´aximo, metade de todos os testes. Nesse caso, ele passa em cada teste com probabilidade de no m´aximo 1 2 e, portanto, a probabilidade de que ele passe em todos os k testes aleatoriamente selecionados ´e, no m´aximo, 2−k . O algoritmo opera em tempo polinomial porque a exponencia¸c˜ao modular ´e comput´avel em tempo polinomial (cap. 7).
  • 63.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Defini¸c˜ao RP ´e a classe de linguagens que s˜ao reconhecidas por m´aquinas de Turing probabil´ısticas de tempo polinomial em que entradas na linguagem s˜ao aceitas com uma probabilidade de, no m´ınimo, 1 2 e entradas que n˜ao est˜ao na linguagem s˜ao rejeitadas com uma probabilidade de 1.
  • 64.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando
  • 65.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando Se a resposta correta ´e:
  • 66.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando Se a resposta correta ´e: n˜ao, sempre retorna n˜ao.
  • 67.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe RP (Randomized Polynomial time) Simplificando Se a resposta correta ´e: n˜ao, sempre retorna n˜ao. sim, retorna sim com probabilidade de erro de 1 2
  • 68.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe co-RP Classe co-RP Se a resposta correta ´e:
  • 69.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe co-RP Classe co-RP Se a resposta correta ´e: sim, sempre retorna sim. n˜ao, retorna n˜ao com probabilidade de erro 1 2 .
  • 70.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe co-RP Classe co-RP Se a resposta correta ´e: sim, sempre retorna sim. n˜ao, retorna n˜ao com probabilidade de erro 1 2 . Algoritmos que reconhecem linguagens em RP, ou co-RP s˜ao conhecidos como Monte-Carlo.
  • 71.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Defini¸c˜ao ZPP ´e a classe de linguagens que uma MTP p´ara em tempo polinomial, sem falsas aceita¸c˜oes ou rejei¸c˜oes, mas `as vezes d´a um n˜ao sei como resposta. ZPP ´e = a RP ∩ co-RP. Conhecido como algoritmo de Las Vegas.
  • 72.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Simplificando
  • 73.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Simplificando Sempre retorna uma resposta sim ou n˜ao.
  • 74.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Simplificando Sempre retorna uma resposta sim ou n˜ao. Pode retornar um n˜ao sei como resposta.
  • 75.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova: RP ∩ co-RP ⊆ ZPP Seja L uma linguagem, T seu decisor em RP e B o decisor em co-RP. A seguinte MT M decide L em ZPP. M = ”Sobre a entrada w, fa¸ca: 1 Rode T sobre w. Se T aceita, aceite. 2 Rode B sobre w. Se T rejeita, rejeite. 3 Em outros casos, dˆe como sa´ıda ”N˜ao sei. ´E melhor rodar a entrada novamente”.”
  • 76.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova Como T e B rodam em tempo polinomial, M tamb´em roda em tempo polinomial. Pelas defini¸c˜oes de RP e co-RP, temos que:
  • 77.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova Como T e B rodam em tempo polinomial, M tamb´em roda em tempo polinomial. Pelas defini¸c˜oes de RP e co-RP, temos que: Se T aceita w, ent˜ao w ∈ L. Se B rejeita w, ent˜ao w /∈ L.
  • 78.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova Como T e B rodam em tempo polinomial, M tamb´em roda em tempo polinomial. Pelas defini¸c˜oes de RP e co-RP, temos que: Se T aceita w, ent˜ao w ∈ L. Se B rejeita w, ent˜ao w /∈ L. M pode ser executado por um n´umero k de vezes, e conforme k aumenta, a probabilidade de M responder n˜ao sei diminui.
  • 79.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Classe ZPP (Zero-error Probabilistic Polinomial) Prova: ZPP ⊆ RP Seja C um algoritmo de Las Vegas. Rode C sobre w. Se C d´a uma resposta, dˆe essa resposta. Se C responde n˜ao sei, ent˜ao rejeite. ZPP ⊆ co-RP ´e feita de forma similar, trocando n˜ao sei por aceite. ZPP ⊆ RP ∩ co-RP e RP ∩ co-RP ⊆ ZPP ZPP = RP ∩ co-RP
  • 80.
    Algoritmos de Aproxima¸c˜ao e Algoritmos Probabil´ısticos JulianaF´elix Motiva¸c˜ao Algoritmos de Aproxima¸c˜ao Algoritmos Probabil´ısticos Introdu¸c˜ao Classe BPP CLasse RP e co-RP CLasse ZPP Bibliografia Referˆencia Bibliogr´afica Sipser, Michael(2006). Introduction To Theory of Computation. Thompson Course Technology.