trigonometria

2. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
B
C
a
b
c
a2 = b2 + c2
⍺⍺⍺⍺
=sen ⍺⍺⍺⍺
c
a
=cos ⍺⍺⍺⍺
b
a
ββββ
=tg ⍺⍺⍺⍺
c
b
⍺ ++ ββββββββ = 90= 90°°
cateto oposto
hipotenusa
sen =
cateto adjacente
hipotenusa
cos =
cateto oposto
tg =
cateto adjacente
=sen ββββ
b
a
=cos ββββ
c
a
=tg ββββ
b
c
sen ⍺⍺⍺⍺ = cos ββββSe ⍺ ++ ββββββββ = 90= 90°°
sensen ⍺ = cos ββββββββ
EXEMPLOS:EXEMPLOS:
sen 30sen 30°°= cos 60°
sen 10°= cos 80°

3. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A
B
C
a
b
c
⍺⍺⍺⍺
=sen ⍺⍺⍺⍺
c
a
=cos ⍺⍺⍺⍺
b
a
ββββ
=tg ⍺⍺⍺⍺
c
b
cateto oposto
hipotenusa
sen =
cateto adjacente
hipotenusa
cos =
cateto oposto
tg =
cateto adjacente
=sen ββββ
b
a
=cos ββββ
c
a
=tg ββββ
b
c
a2 = b2 + c2
⍺ ++ ββββββββ = 90= 90°°

4. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUERTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER
AAAA
CCCC
BBBB
cc
aa
bb
aa
sen Asen A
== 2R2R
LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS
bb
sen Bsen B
==
cc
sen Csen C
==
O
A B
R
CCCC
R
LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS
aa22 = b= b22 + c+ c22 –– 2.b.c. (cos Â)2.b.c. (cos Â)

5. SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉÉTRICOTRICO
B’
A’
O
A
B
P(αααα)
αααα
M
Q sen ⍺⍺⍺⍺ =
1
OQ
cos ⍺⍺⍺⍺ = 0M
cos
sen

6. SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉÉTRICOTRICO
sen 0º = sen 0 =
cos 0º = cos 0 =
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)ππππ/2
0 ou 2ππππππππ
O
3ππππ/2 B’(0, –1)
A(1, 0)
0
⇒⇒⇒⇒
1
sen 90º = sen ππππ/2 =
cos 90º = cos ππππ/2 =
B(0, 1)
1
⇒⇒⇒⇒
0
sen 180º = sen ππππ =
cos 180º = cos ππππ =
A’(–1, 0)
0
⇒⇒⇒⇒
–1

7. SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉÉTRICOTRICO
(–1, 0)A’ A(1,0)
B(0, 1)ππππ/2
0 ou 2ππππππππ
O
3ππππ/2 B’(0, –1)
sen 270º = sen 3ππππ/2 =
cos 270º = cos 3ππππ/2 =
B’(0,–1)
–1
⇒⇒⇒⇒
0
sen 360º = sen 2ππππ =
cos 360º = cos 2ππππ =
A(1, 0)
0
⇒⇒⇒⇒
1

8. SENO E COSSENOSENO E COSSENO -- SINAISSINAIS
SENO
+ 1
– 1
+ +
__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
O
B
P(αααα)
αααα
M
Q
cos
sen
O
P
M
1
cos αααα
sen αααα
sensen22αααααααα +cos+cos22αααααααα = 1= 1

9. B’
A’
O A
B
P(αααα)
αααα
1
T
tg ⍺⍺⍺⍺ = ATtg
TANGENTE NO CICLO TRIGONOMTANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉÉTRICOTRICO

10. SENO
+ 1
+ +
__
COSSENO
+ 1– 1
+
+
_
_
TANGENTE
+
+
_
_
1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental
2) tg x =
sen x
cos x
(cos x ≠ 0)
3) cotg x =
cos x
sen x
(sen x ≠ 0)=
1
tg x
4) sec x =
1
cos x
(cos x ≠ 0)
5) cosec x =
1
sen x (sen x ≠ 0)

11. Adição e Subtração de Arcos
sen (a ±±±± b) = sen a . cos b ±±±± sen b . cos a
mcos (a ±±±± b) = cos a . cos b sen a . sen b
sen 75º =
sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30º
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a
2
3
.
2
2
2
2
.
2
1
+
sen 75º =
4
62 +
cos 15º =
cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b
cos 15º =
4
62 +
2
1
.
2
2
2
3
.
2
2
+

12. O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é:
cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35ºcos (10º + 35o) =
cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
cos 45o =
= cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º
2
2
sen (a ±±±± b) = sen a . cos b ±±±± sen b . cos a
mcos (a ±±±± b) = cos a . cos b sen a . sen b

13. Seno e Cosseno do arco duplo
sen (2x) = 2sen x . cos x
cos (2x) = cos2 x - sen2 x
sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x
cos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x
sen (a ±±±± b) = sen a . cos b ±±±± sen b . cos a
mcos (a ±±±± b) = cos a . cos b sen a . sen b

14. O 0
B
A’
B’
ππππ/2
A
sen
1
Oππππ
B
A’
B’
ππππ/2
A
sen
1
O
ππππ
B
A’
B’3ππππ/2
A
sen
–1
O A
B
A’
B’3ππππ/2
2ππππ
sen
–1
C D
D C

15. y = f(x) = sen x
0
ππππ
0–110y = sen x
2ππππ3ππππ/2ππππ/20x
x
y = sen x
0
ππππ/2
1
–1
ππππ
3ππππ/2 2ππππ
IMAGEM:
DOMÍNIO: ℜℜℜℜ
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
1º. e 4º. q
2º. e 3º. q
PERÍODO: 2ππππ

16. Construir o gráfico da função y = 1 + sen x:
1
0
ππππ
1021y = 1 + sen x
0–110sen x
2ππππ3ππππ/2ππππ/20x
x
y
0
ππππ/2
1
–1
ππππ 3ππππ/2 2ππππ
2
–2
y = sen x y = 1 + sen x
p = 2ππππ
Im = [–1, 1]
p = 2ππππ
Im = [0, 2]

17. Construir o gráfico da função y = 2 sen x:
0
0
ππππ
0–220y = 2 sen x
0–110sen x
2ππππ3ππππ/2ππππ/20x
x
y
0
ππππ/2
1
–1
ππππ
3ππππ/2
2ππππ
2
–2
y = sen x y = 2sen x
p = 2ππππ
Im = [–1, 1]
p = 2ππππ
Im = [–2, 2]

18. O
0
B
A’
B’
ππππ/2
A
cos
1 O
ππππ
B
A’
B’
ππππ/2
A
cos
–1
Oππππ
B
A’
B’3ππππ/2
A
cos
–1 O
A
B
A’
B’3ππππ/2
2ππππ
cos
1
D D
C C

19. y = f(x) = cos x
–1
ππππ
1001y = cos x
2ππππ3ππππ/2ππππ/20x
x
y = cos x
0
ππππ/2
1
–1
ππππ
3ππππ/2 2ππππ
IMAGEM:
DOMÍNIO: ℜℜℜℜ
[-1, 1]
CRESCENTE:
DECRESCENTE:
3º. e 4º. q
1º. e 2º. q
PERÍODO: 2ππππ

20. Construir o gráfico da função y = sen 2x:
0
ππππ/2
ππππ
0–110y = sen 2x
2ππππ3ππππ/4ππππ/40x
2ππππ3ππππ/2ππππ/202x
x
y = sen x
0
ππππ/2
1
–1
ππππ 3ππππ/2 2ππππ
ππππ/4
3ππππ/4

21. [–2, 0]4ππππℝℝℝℝy = - 1 + sen (x/2)
[-1, 3]2ππππ/3ℝℝℝℝy = 1 + 2cos (3x + ππππ/2)
[–3, 1]2ππππℝℝℝℝy = –1 + 2sen (x + ππππ/2)
[–2, 4]ππππℝℝℝℝy = 1 + 3sen (2x)
2ππππ
2ππππ
2ππππ
2ππππ
2ππππ
Período
[2, 4]ℝℝℝℝy = 3 + cos (x)
[–1, 1]ℝℝℝℝy = cos (x)
[4, 8]ℝℝℝℝy = 6 + 2 sen (x)
[1, 7]ℝℝℝℝy = 4 + 3sen (x)
[–1, 1]ℝℝℝℝy = sen (x)
ImagemDomínioFunção
f(x) = a + b sen m x
f(x) = a + b cos m x

22. O
0
B
A’
B’
ππππ/2
A
tg
O
ππππ
B
A’
B’
ππππ/2
A
tg
0
Oππππ
B
A’
B’3ππππ/2
A
tg
0
O
A
B
A’
B’3ππππ/2
2ππππ
tg
0
C C
C C

23. 0
ππππ
0∄∄∄∄∄∄∄∄0y = tg x
2ππππ3ππππ/2ππππ/20x
x
y = tg x
0
ππππ/2
ππππ
3ππππ/2 2ππππ
y = f(x) = tg x
x
IMAGEM:
DOMÍNIO:
ℜℜℜℜ
CRESCENTE:
SEMPRE
PERÍODO: ππππ
{x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ|x ≠≠≠≠
2
π
+ kπ}