Apostila mecânica t

ETE Rubens de Farias E Souza
Mecânica Técnica

Apostila de Mecânica Técnica

Conteúdo
1. Trigonometria ................................................................................................. 2
1.1. Triângulo Retangulo ................................................................................ 2
1.2. Lados de um triângulo retângulo ............................................................. 3
2. Funções Trigonométricas Básicas ................................................................. 3
3. Lei dos Cossenos ........................................................................................... 4
4. Lei dos Senos................................................................................................. 5
5. Notação Cientifica ( Potencia de Dez) ............................................................ 5
6. Sistema Internacional de Unidades ( 15º CGPM/1975 )................................. 7
6.1. Unidades de Base ................................................................................... 7
6.2. Unidades Suplementares......................................................................... 7
6.3. Grafia dos nomes de unidades ................................................................ 7
6.4. Grafia dos Símbolos de Unidades ........................................................... 8
6.5. Grafia dos Números ................................................................................. 9
7. Geometria..................................................................................................... 10
7.1. Cálculo de Area de Figuras Planas ....................................................... 10
7.2. Cálculo de Volume de Sólidos ............................................................... 12
8. Grandezas Escalares e Vetoriais ................................................................. 14
8.1. O que é Grandeza? ............................................................................... 14
8.2. O que é Grandeza Escalar? .................................................................. 15
8.3. O que é Grandeza Vetorial? .................................................................. 15
9. Vetores ......................................................................................................... 15
9.1. Vetores Iguais e Vetores Opostos ......................................................... 17
9.2. Representação de Grandezas Vetoriais ................................................ 18
10. Força, composição de Forças e Momentos de forças............................... 19
10.1. Introdução .......................................................................................... 19
10.2. Conceito dinâmico de força ................................................................ 19
10.3. Representação Gráfica das forças Vetores ........................................ 20
10.4. Composição de Forças ....................................................................... 20
10.5. Casos Particulares de adição de Forças ............................................ 21
10.6. Composição de Forças por meio de Decomposição Ortogonal.......... 22
11. Momento de uma força ............................................................................. 25
12. Condições de Equilíbrio ............................................................................ 26
12.1. Vigas .................................................................................................. 27
12.2. Tipos de Carregamento ...................................................................... 28
13. Tipos de Vinculações (APOIOS) ............................................................... 29
13.1. Apoios (Vínculos Externos) ................................................................ 29
13.2. Tipos de Vigas .................................................................................... 30

Prof. Helio Canavesi Filho Página 1 de 35

Mecânica Técnica

1. TRIGONOMETRIA

A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três),
gonos (ângulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: Medida
dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as
medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias
inacessíveis, como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância
entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu
uso na Matemática, também é usado no estudo de fenômenos físicos,
Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a
antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de
serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
-Determinação da altura de um certo prédio:

-Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma
ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
-Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma
montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo
retângulo.

1.1. TRIÂNGULO RETANGULO
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos
mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas
dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois
ângulos medirão 90°
.


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Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90° est es ângulos são
,
denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo
retângulo possui dois ângulos complementares.

1.2. LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes
nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado
oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto
(adjacentes a ele) são os catetos.
Termo Origem da palavra
Cateto Cathetós: (perpendicular)
Hypoteinusa:
Hipotenusa
Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes
notações:
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em
relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o
lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao
ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto Lado adjacente
b cateto
C c cateto oposto
adjacente
c cateto
B b cateto oposto
adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos
matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades
geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria
é extenso e minucioso.

2. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados
do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes


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da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra
x.

Função Notação Definição

medida do cateto oposto a x
seno sen(x)
medida da hipotenusa

medida do cateto adjacente a x
cosseno cos(x)
medida da hipotenusa

medida do cateto oposto a x
tangente tan(x)
medida do cateto adjacente a x

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a
importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1

3. LEI DOS COSSENOS
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Para esses triângulos podemos escrever:


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Em qualquer triângulo quando um lado é igual à soma dos quadrados dos
outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do
ângulo formado por eles.

4. LEI DOS SENOS
A lei dos senos estabelece a relação entra a mediada de um lado e o
seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c,
podemos escrever.

A lei dos senos determina que a razão entre a medida de um lado e o
seno do ângulo oposto é constante em um mesmo triângulo.

5. NOTAÇÃO CIENTIFICA ( POTENCIA DE DEZ)
A potência de dez é utilizada para abreviar múltiplos (ou submúltiplos) de dez.
Assim:
100 = 10 x 10;
1000 = 10 x 10 x 10;
100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10.

Para escrevermos estes números de uma maneira abreviada, basta indicar o
número de dezenas envolvidas na multiplicação com um pequeno número
(expoente) no alto da potencia de 10.
Logo, se 100 = 10 x 10, podemos dizer que 100 = 102. Da mesma maneira 1000
= 103, e 100000 = 105.

Nestes exemplos o expoente é igual ao número de zeros.
Para os submúltiplos de dez, também utilizamos o sistema exponencial. Assim:
0,01 = 1/10 x 1/10 ;
0,001 = 1/10 x 1/10 x 1/10
0,00001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10

Neste caso, para abreviar esses números indicamos o número de casas
decimais com expoente negativo no alto da potencia de 10.


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Assim, se 0,01 = 1/10 x 1/10, podemos dizer que 0,01 = 10-2 . Da mesma
maneira, 0,001 = 10-3 e 0,00001 = 10-5.

Para escrever um número em notação científica devemos obedecer ao seguinte
formato: A x 10B onde A deve ser um número que esteja entre 1 e 9 , ou seja,
deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10 e B o número de zeros (ou casas
decimais se o expoente for negativo) do número.
Vamos ver alguns exemplos:

40 é igual a 4 vezes 101, então em notação científica representa-se 40 = 4 x 101.
15000 é igual a 15 vezes 1000, ou 1,5 vezes 10000. Como 10000 que é igual
104, então em notação científica representa-se 15000 = 1,5 x 104.
0,2 corresponde a 2 dividido por 10, ou 2 multiplicado por 0,1 que corresponde a
1/10. Como 1/10 pode ser representado por 10-1, então em notação científica
representa-se 0,2 = 2 x 10-1.
Notamos então que fica muito mais fácil de representar números muito grandes
ou muito pequenos utilizando a notação científica e a potencia de dez.
Abaixo temos mais alguns números expressos em notação científica:

Nome Símbolo Fator de Multiplicação
exa E 1018= 1 000 000 000 000 000 000
peta P 1015= 1 000 000 000 000 000
tera T 1012= 1 000 000 000 000
giga G 109= 1 000 000 000
mega M 106=1 000 000
quilo K 103=1 000
hecto h 102= 100
deca da 10
deci da 10-1=0,1
centi c 10-2=0,01
mili m 10-3=0,001
micro u 10-6=0,000 001
nano n 10-9=0,000 000 001
pico p 10-12=0,000 000 000 001
femto f 10-15=0,000 000 000 000 001
atto a 10-18=0,000 000 000 000 000 001


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6. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ( 15º
CGPM/1975 )
6.1. UNIDADES DE BASE

Unidade Símbolo Grandeza
metro m comprimento
quilograma kg massa
segundo s tempo
ampère A corrente elétrica
Kelvin kg temperatura termodinâmica
mol mol quantidade de matéria
candela cd intensidade luminosa

6.2. UNIDADES SUPLEMENTARES
Unidade Símbolo Grandeza
radiano rad ângulo plano
esterradiano sr ângulo sólido

6.3. GRAFIA DOS NOMES DE UNIDADES
6.3.1. Quando escritos por extenso, os nomes de unidades devem ser
iniciados com letra minúscula, mesmo quando representem um nome
ilustre de ciência .
Ex.: newton, watt, ampère, joule,...exceto o grau celsius.

6.3.2. Plural dos Nomes de Unidades
Unidades escritas por extenso, obedecem às seguintes regras bàsicas :
a) Os prefixos SI são invariáveis
b) Os nomes de unidades recebem a letra “S” no seu final, exceto nos casos
da alínea C.

• As palavras simples são escritas no plural da seguinte forma:
Ex.: quilogramas, volts, joules, ampères, newtons, farads.
• Quando as palavras são compostas, e o elemento complementar de um
nome de unidade não é ligado por hífen.
Ex.: metros quadrados, decímetros cúbicos, milhas marítimas.

• Quando o termo é resultante de um produto de unidades.
Ex.: newtons-metro, watts-hora, ohms-metro,...

Observação:


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Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso vulgar, o
plural não desfigura o nome que a unidade tem no singular. Ex:decibels, henrys,
mols...Não são aplicadas às unidades algumas regras usuais na formação do
plural de palavras.

c) Os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem “S” no final.

• Quando terminam em S, X ou Z. Por exemplo: siemens, lux, hertz, etc.
• Quando correspondem ao denominador de palavras compostas por
divisão, por exemplo: quilômetros por hora, metros por segundo, etc.

• Quando, em palavras compostas, são elementos complementares de
nomes de unidades e ligados a estes por hífen ou preposição. Por
exemplo:anos-luz, quilogramas-força, etc.

6.4. GRAFIA DOS SÍMBOLOS DE UNIDADES
A grafia dos símbolos de unidades obedece às seguintes regras básicas :
a) os símbolos são invariáveis, não sendo permitido colocar ponto significando
abreviatura, ou acrescentar “S” no plural, por exemplo, joule é J e não J.ou Js (
no plural ) .
b) os prefixos do SI jamais poderão aparecer justapostos num mesmo símbolo,
ex.: GWh(giga watt-hora) e nunca MkWh ( mega quilowatt-hora).
c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou
divisão, por exemplo: kN.mm, kW.mA, MW.cm, etc.
d) o símbolo deverá estar alinhado com o número a que se refere, não como
expoente ou índice; constituem exceção ângulos e o símbolo do grau Celsius .
e)o símbolo de uma unidade composta por multiplicaçãopode ser formado pela
justaposição dos símbolos componentes e que não cause ambiguidade [VA,
kWh, etc], ou mediante a colocação de um ponto entre os símbolos
componentes, na base da linha ou a meia altura [kgf.m ou kgf-m].
f)o símbolo de uma unidade de uma relação pode ser representado das três
maneiras exemplificadas a seguir, não devendo ser empregada a última forma
quando o símbolo, escrito em duas linhas diferentes, causar confusão.

W /[cm2 oC], W . cm-2 .0C-1,

Quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que
esse expoente afeta o conjunto prefixo-unidade, como se o conjunto estivesse
entre parênteses.
Exemplos :
Ml = 10 -3l
Mm2 =10-6 m2


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6.5. GRAFIA DOS NÚMEROS
As prescrições desta secção são inaplicáveis aos números que não estejam
representando quantidade .
Exemplos : telefones, datas, nº de identificação.

Para separar a parte inteira da decimal de um número, é empregada
sempre uma vírgula; quando o valor absoluto do número for menor que 1,
coloca-se zero à esquerda da vírgula .
Os números que representam quantias em dinheiro, ou quantidade de
mercadorias, bens ou serviços em documentos fiscais, jurídicos e ou
comerciais, devem ser escritos com os algarismos separados em grupos de três,
a contar da vìrgula para a esquerda e para a direita, com pontos separando
esses grupos entre si .
Nos demais casos, é recomendado que os algarismos de parte inteira e os de
parte decimal dos números sejam separados em grupos de três, a contar da
vírgula para a esquerda e para a direita, com pequenos espaços entre esses
grupos ( exemplo, em trabalhos técnico-científicos); mas é também admitido que
os algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam escritos
seguidamente, isto é , sem separação em grupos.
Para exprimir números sem escrever ou pronunciar todos os seus
algarismos:
a) para os números que representam dinheiro, mercadorias ou bens de serviço,
são empregadas as palavras;
mil = 103 = 1000
milhão = 106 = 1000 000
bilhão = 109 = 1000 000 000
trilhão = 1012 = 1000 000 000 000
b) em trabalhos técnicos ou científicos, recomenda-se a utilização da tabela I.

Espaçamento entre um número e o símbolo da unidade correspondente
deve atender à conveniência de cada caso .
Exemplos :
a) Frases de textos correntes, normalmente utiliza-se meia letra, para que
não haja possibilidade de fraude .
b) Em colunas de tabelas, é facultado utilizar espaçamentos diversos entre
os números e os símbolos das unidades correspondentes.

Pronúncia dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades.
Na forma oral, são pronunciados por extenso.
Exemplos :
ml-mililitro
µm –micrometro ( não confundir com micrômetro instrumento)


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7. GEOMETRIA
7.1. CÁLCULO DE AREA DE FIGURAS PLANAS


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7.2. CÁLCULO DE VOLUME DE SÓLIDOS

O volume de um corpo pode ser calculado pelo produto da área da base pela
medida da altura. De uma forma geral, podemos aplicar a seguinte fórmula:


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V = Ab x h
Ab = área da base
h = altura


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8. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
8.1. O QUE É GRANDEZA?

Grandeza é tudo o que pode ser medido. Comprimento, tempo, força,
massa, velocidade entre outros são Grandezas porque podem ser medidos.
Todavia há coisas impossíveis de ser medidas, como a fadiga, o amor, a
coragem, a dor entre outros. Não é possível atribuir um valor numérico para o
amor pois cada pessoa o sente de maneira diferenciada. Portanto a fadiga, o
amor, a coragem e a dor não são grandezas. A Física, só trabalha com
grandezas, ou seja, com o que pode ser medido, avaliado.


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8.2. O QUE É GRANDEZA ESCALAR?

Algumas grandezas físicas exigem, para sua perfeita caracterização,
apenas uma intensidade.
Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Assim,
grandezas físicas, como massa, comprimento, tempo, temperatura, densidade e
muitas outras, são classificadas como grandezas escalares.

“É aquela que basta uma escala e um número para identificá-la.”

Por exemplo, 5 segundos, ficam perfeitamente definidas quando são
especificados o seu módulo (5) e sua unidade de medida (segundo).

8.3. O QUE É GRANDEZA VETORIAL?

Por outro lado, existem grandezas físicas que, para sua perfeita
caracterização, exigem, além da intensidade, uma orientação espacial (direção e
sentido).
Tais grandezas recebem o nome de grandezas vetoriais. Como exemplo
de grandezas vetoriais, podemos citar: força, impulso, quantidade de
movimento, velocidade, aceleração e muitas outras.

“É aquela que além de uma escala e um número, necessitamos das
noções de módulo, direção e sentido.”

9. VETORES
As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático
denominado vetor.
Um vetor reúne, em si, o módulo, representando o valor numérico ou
intensidade da grandeza, e a direção e sentido, representando a orientação da
grandeza.
É importante salientarmos as diferenças entre direção e sentido: um
conjunto de retas paralelas tem a mesma direção.

e, a cada direção, podemos associar uma orientação.


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A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um segmento
de reta orientado (direção e sentido) com uma determinada medida (módulo).

Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas indicadas
abaixo:


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Para indicarmos o módulo de um vetor, podemos usar qualquer uma das
seguintes notações:

Assim, indica o vetor e a indica o módulo do vetor .

9.1. VETORES IGUAIS E VETORES OPOSTOS

Dois vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma
direção e o mesmo sentido.

Dois vetores são opostos quando possuem o mesmo módulo, a mesma
direção e sentidos contrários.

Exemplo de Vetores:


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A Figura acima representa um cruzamento de ruas, tal que você, situado em O,
pode realizar os deslocamentos indicados pelos vetores d1, d2, d3, e d4. Diferenciando
estes vetores segundo suas características, tem-se que:

Os vetores d1 e d3 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos.

Os vetores d2 e d4 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos.

Os vetores d1 e d2 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes.

Os vetores d3 e d4 têm módulos, direções e sentidos diferentes.

9.2. REPRESENTAÇÃO DE GRANDEZAS VETORIAIS

Na prática, a representação de grandezas vetoriais é feita por meio de
vetores desenhados em escala. Assim, para representarmos vetorialmente a
velocidade de um partícula que se desloca horizontalmente para a direita a 80
km/h, utilizamos um segmento de reta, por exemplo, com 4 cm de comprimento,
onde cada centímetro corresponde a 20 km/h.

escala: 1,0 cm: 20 km/h


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Exercícios

1) O que é Grandeza?
R:Grandeza é tudo o que pode ser medido. Comprimento, tempo, força, massa, velocidade entre
outros são Grandezas porque podem ser medidos. Todavia há coisas impossíveis de ser medidas, como a
fatiga, o amor, a coragem, a dor entre outros. Não é possível atribuir um valor numérico para o amor pois
cada pessoa o sente de maneira diferenciada. Portanto a fatiga, o amor, a coragem e a dor não são
grandezas. A Física, só trabalha com grandezas, ou seja, com o que pode ser medido, avaliado.

2) O que é Grandeza Escalar?
R:É aquela que basta uma escala e um número para identificá-la. Como por exemplo temperatura,
tempo, massa, etc.

3)O que é Grandeza Vetorial?
R:É aquela que além de uma escala e um número, necessitamos das noções de módulo, direção e
sentido. Como por exemplo, Velocidade, Força, Deslocamento, etc.

4) A velocidade de um projétil é 20 m/s, horizontal e para a direita.
Interprete as informações.
Resolução
As informações caracterizam uma intensidade (20 m/s), uma direção (horizontal) e um sentido
(para a direita). Portanto, caracterizam a velocidade como grandeza vetorial.

5) Assinale V (verdadeiro), ou F (falso), para as frases abaixo.
( ) a – Temperatura é grandeza escalar.
( ) b – Massa é grandeza escalar.
( ) c – Força é grandeza vetorial.
( ) d – A aceleração da gravidade é grandeza vetorial.
( ) e – Volume é grandeza escalar.

Resolução
Todas as frases são verdadeiras.Temperatura, massa e volume são grandezas que ficam
perfeitamente caracterizadas por um número (intensidade) e por um significado (unidade). Força e
aceleração são grandezas que necessitam, além da intensidade, de uma direção e de um sentido.

10. FORÇA, COMPOSIÇÃO DE FORÇAS E MOMENTOS
DE FORÇAS
10.1. INTRODUÇÃO
A Dinâmica é a parte da Mecânica que estuda as causas que produzem e
modificam os movimentos dos corpos.

10.2. CONCEITO DINÂMICO DE FORÇA
Do ponto de vista da Dinâmica, força é a causa que produz a aceleração
de um corpo, isto é, a força produz variação de velocidade num corpo.
Deste modo a força é a causa que tem como efeito dinâmico a
aceleração. Do mesmo modo que a aceleração a força é também uma grandeza
vetorial.


Mecânica Técnica

Pode-se exercer força sobre um corpo por ação muscular, ação de mola, ação
de ar comprimido etc.
Os corpos que exercem forças podem ou não estar em contato com o
corpo que sofre a ação da força.
No 1º caso, temos as forças de contato;
No 2º caso, as de ação à distância.
A força de ação a distância mais importante do nosso universo é a força
peso ou força da gravidade.
Assim, peso é a força que a Terra exerce sobre os corpos. As forças
atuando sobre um corpo exercidas por outros corpos, são chamadas forças
externas.
As forças exercidas em parte de um corpo, por partes do mesmo corpo,
são chamadas forças internas.

10.3. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FORÇAS VETORES

As forças por convenção são representadas graficamente por uma seta.
O tamanho da seta é a intensidade da força.
A direção da seta é a direção da força.
O sentido da seta é o sentido da força.
Quando a força é de Tração o pé da seta fica no ponto da aplicação da
força.
Quando a força é de impulsão, o ponto da seta no ponto de aplicação da
força.
F T

P
10.4. COMPOSIÇÃO DE FORÇAS
Quando várias forças são aplicadas simultaneamente ao mesmo ponto,
verifica-se que o mesmo efeito pode ser produzido por uma única força de
intensidade, direção e sentido adequedas que é chamada de resultante de
várias forças.
Esse processo é chamado de composição de Forças.
Método da triangulação: consiste
em colocar a origem do segundo vetor
coincidente com a extremidade do primeiro
vetor, e o vetor soma (ou vetor resultante)
é o que fecha o triângulo (origem
coincidente com a origem do primeiro e
Adição de dois vetores: extremidade coincidente com a


Mecânica Técnica

Método da triangulação extremidade do segundo)
Método do paralelogramo:
consiste em colocar as origens dos
dois vetores coincidentes e construir
um paralelogramo; o vetor soma (ou
vetor resultante) será dado pela
diagonal do paralelogramo cuja
origem coincide com a dos dois
Adição de dois vetores:
vetores. A outra diagonal será o
Método do paralelogramo
vetor diferença.

10.5. CASOS PARTICULARES DE ADIÇÃO DE FORÇAS

a) Vetores de mesma direção e sentido:

→ → →
s =a +b
→ → →
s =a +b
O Vetor soma s apresenta a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores
parcelas e seu módulo é igual à soma dos módulos.

b) Vetores de mesma direção e sentidos opostos.
→ → →
s =a+b
→ → →
s =a −b
O Vetor soma s apresenta a mesma direção dos vetores parcelas e o sentido do
vetor de maior módulo. O módulo do vetor soma é dado pela diferença dos
módulos.

c) Vetores de direções ortogonais


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→ → →
s =a+b
2 2 2
→ → →
s =a +b

A direção e o sentido do vetor soma s são dados pela regra do polígono (ou do
paralelogramo). O módulo é calculado pela aplicação do teorema de Pitágoras
ao triângulo da figura.

10.6. COMPOSIÇÃO DE FORÇAS POR MEIO DE DECOMPOSIÇÃO ORTOGONAL

a) Decompõe-se as forças segundo um par de eixos ortogonais
convencionais
Y

X
b) Faz-se a soma algébrica dos componentes em cada eixo
c) Compõe-se essa soma para obter a resultante


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R 2 = ∑ Fx 2 + ∑ Fy 2

Exercício:
1) Achar as componentes horizontal e vertical de uma força de 40kgf que forma
um ângulo de 30º com a horizontal para a direita e para cima.

2) Determine o Valor da Resultante e o ângulo que a mesma forma com o eixo X
F1=15 kgf
F2=20kgf


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11. MOMENTO DE UMA FORÇA
Mostra-se experimentalmente que o efeito de uma força para produzir
rotação em torno de um eixo é dado pelo produto da força pela distância da linha
da ação da força ao eixo.
Chama-se à essa distância “braço da força” ou braço de alavanca da
força.
O produto de uma força pelo braço chama-se “Momento da força”.

Determinação do Braço de uma força e de seu momento
a) linha de ação da força não passa pelo eixo de giro

- pelo eixo de giro O baixa-se uma perpendicular à L.A. da força no plano da
força;
- Prolonga-se a L.A. da força em ambos sentidos;
- A perpendicular comum intercepta a L.A. no ponto S
- A distância OS é o braço da força;
- Acha-se o momento da força multiplicando-se a força F pelo seu braço.

b) linha de ação da força passa pelo eixo de giro

Neste caso como a distância entre a Linha de Ação da força e o Ponto de giro é
0 (zero) então o momento será nulo.


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c) determinação do momento por meio de decomposição ortogonal

Neste caso fazemos a decomposição da Força F nos eixos ortogonais. Como
visto anteriormente a Força Fx tem o momento nulo. Já o momento será dado
pela Força Fy mutiplicado pela distância L.

Exercício:
Ao fechar uma porta de 0,80m de largura, uma pessoa aplica
perpendicularmente uma força de 3,0N. Qual o valor do momento dessa força?

12. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Ao estudar as Leis de Newton, vimos que, quando uma partícula está em
repouso ou em movimento retilíneo uniforme, ela está em equilíbrio, estático ou
dinâmico, respectivamente, sendo nula a resultante das forças que agem sobre
ela.
Portanto, a condição necessária e suficiente para um ponto material estar
em equilíbrio (estático ou dinâmico) é que seja nula a resultante de todas as
forças que agem sobre ele.
→
O ponto P da figura abaixo está sujeito à ação simultânea das forças F1,
→ → → → →
F2 , F3 , F4 , F5 e F6 .


Mecânica Técnica

Ele estará em equilíbrio se for satisfeita a equação vetorial:
→ → → → → →
F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 = 0
Na resolução de exercícios de equilíbrio do ponto material, a equação
vetorial acima deve ser transformada em equações escalares. Para tal, podem
ser utilizados os processos de soma vetorial ou o método das projeções.
Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares, transforma-se
a equação vetorial da soma das forças em duas equações escalares,
projetando-se as forças sobre dois eixos cartesianos ortogonais Ox e Oy. Sendo
assim, a condição de equilíbrio do ponto material pode ser estabelecida do
seguinte modo:
A soma algébrica das projeções de todas as forças na direção do eixo Ox
é nula:
→ → → → → →
F1x + F2 x + F3 x + F4 x + F5 x + F6 x = 0
A soma algébrica das projeções de todas as forças na direção do eixo Oy
é nula:
→ → → → → →
F1y + F2 y + F3 y + F4 y + F5 y + F6 y = 0
O valor algébrico de uma projeção será positivo se seu sentido coincidir
com o sentido do eixo; será negativo se seu sentido for oposto ao do eixo. A
projeção é nula se a força tiver direção perpendicular ao eixo.

12.1. VIGAS

Quando dispomos de um elemento estrutural projetado para suportar
diversas cargas em sua extensão, este elemento recebe o nome de viga. Estas
vigas são normalmente sujeitas a cargas dispostas verticalmente, o que
resultará em esforços de cisalhamento e flexão. Quando cargas não verticais
são aplicadas a estrutura, surgirão forças axiais, o que tornará mais complexa a
análise estrutural.

Vigas normalmente são barras retas e prismáticas, o que ocasiona maior
resistência ao cisalhamento e flexão.


Mecânica Técnica

Quando se efetua o dimensionamento de uma viga, seja ela de qualquer
material como aço, madeira, concreto, duas fases são definidas distintamente. A
primeira fase é o cálculo dos esforços da estrutura, ou seja, o cálculo de
momentos fletores e forças cortantes, ao qual a viga esta submetida aos vários
tipos de carregamento. A segunda fase é o dimensionamento da peça
propriamente dito, onde é verificada qual as dimensões necessárias da peça
estrutural, que irá resistir aos esforços solicitados.

12.2. TIPOS DE CARREGAMENTO

Uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas distribuídas
ou combinação de ambas. Quando se trabalha com cargas distruibuídas, pode-
se substituí-la por uma carga concentrada, e assim facilitar bastante os demais
cálculos.

- Carga Concentrada

Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga em um único
ponto sobre a estrutura, sendo geralmente representado em kilograma-força(kgf)
ou Newton(N).

- Carga Distribuída

Este carregamento corresponde a aplicação de uma carga por unidade de
comprimento, geralmente representado em kilograma força por metro (kgf/m) ou
Newton por centímetro (N/cm).
Quando a carga por unidade de comprimento possue valor constante, é
atribuído o nome de carga uniformemente distribuída.


Mecânica Técnica

Exemplo de Carga Uniformemente Distruibuída

13. TIPOS DE VINCULAÇÕES (APOIOS)
Um vínculo é qualquer condição que restringe a possibilidade de
deslocamento de um ponto do elemento ligado ao vínculo. O deslocamento de
um ponto do elemento é determinado através das componentes segundo os
eixos cartesianos ortogonais. As translações podem ser horizontais ou verticais
e a rotação ocorre em torno do eixo perpendicular ao plano considerado.

As vinculações podem ser internos, também chamados de ligações internas,
ou então externos, também chamados de apoios. A seguir será apresentado
alguns tipos principais de apoios, por ser de fundamental importância para a
compreensão de esforços em vigas. As demais vinculações serão vistas adiante.

13.1. APOIOS (VÍNCULOS EXTERNOS)

Apoio Articulado Móvel (Apoio Simples)

Este tipo de apoio restringe apenas uma translação, e a reação tem
direção perpendicular ao plano de rolamento.

Apoio Articulado Fixo (Articulação)

Este tipo de apoio impede as duas translações no plano, e a direção da
reação R é indeterminada, sendo comum a utilização de duas componentes,
horizontal e vertical.


Mecânica Técnica

Apoio Engastado(Apoio de Engastamento Perfeito)
Este tipo de apoio impede todos os movimentos no plano, surgindo então três
reações de apoio: a vertical (V), a horizontal (H) e momento (M).

13.2. TIPOS DE VIGAS

Viga Bi-apoiada

Consiste de uma viga apoiada em dois apoios articulados, sendo um fixo
e o outro móvel.

Viga em balanço

Consiste de uma viga que possue um apoio engastado, não sendo livre a
sua rotação

Viga com extremidade em balanço

Consiste de uma viga com extremidade em balanço, sendo articulada em
um apoio fixo e um apoio móvel.


Mecânica Técnica

Convenção de Sinais

Para o cálculo de esforços internos a uma determinada estrutura, como
será visto adiante, é necessário estabelecer uma convenção de sinais para cada
parte da viga em análise

Negativo Positivo

Cálculo de Momento Fletor e Força Cortante em uma viga submetida a uma
carga concentrada

Como exemplo, usaremos uma viga bi-apoiada de comprimento L,
submetida a uma carga concentrada P, distante a e b dos apoios. Embora seja
usada uma viga bi-apoiada, o entendimento pode se extendido para qualquer
tipo de viga, e qualquer quantidade de forças aplicadas.

Diagrama de Corpo Livre

O primeiro passo é o cálculo das reações de apoio Ra e Rb, que são
obtidos através do somatório dos momentos iguais a zero(corpo em equilíbrio)
nos pontos A e B.


Mecânica Técnica

Ra = P. b / L

Rb = P. a / L

Para determinarmos por exemplo as forças internas em um ponto
genérico C, uma maneira simples é primeiro desenharmos o diagrama de corpo
livre da parte a ser estudada.

Diagrama de Corpo Livre (Esquerda do ponto C)

Diagrama de Corpo Livre (Direita do ponto C)

Cálculo da força cortante em C.

Com as reações já calculadas e analisando a figura, podemos facilmente
encontrar o valor da força cortante no ponto C, através do somatório das forças
verticais.

Como o ponto C, considerado para o cálculo dos esforços é exatamente o
ponto de aplicação de uma força concentrada, teremos dois valores diferentes
de força cortante, um a esquerda carga, ou seja, sem a plicação da carga P, e
outra a direita, considerando a aplicação da carga P. Isto acontece porque o
diagrama de forças cortantes ao passar no ponto onde existe uma carga
concentrada, sofre uma descontinuidade, como será visto adiante, no diagrama.

Qesq C = Ra

Qdir C = Ra - P


Mecânica Técnica

Para o cálculo dos demais esforços cortantes ao longo da viga, procede-
se com mesmo raciocínio.

Cálculo do Momento Fletor em C

Para o cálculo das forças cortantes em um determinado ponto, efetuou-se
o somátorio das forças verticais de um corpo. Para o cálculo do momento fletor,
procede de maneira análogo, porém faz-se o somatório dos momentos no ponto
considerado, neste caso, o ponto C.

MC = Ra . a

Para o cálculo dos demais momentos ao longo da viga, procede-se com
mesmo raciocínio.

Diagrama de Momento Fletor e Força Cortante em uma viga submetida a
uma carga concentrada

Se fosse calculados esforços de momento e força cortante em infinitas
seções da viga em análise e após isso fosse traçado diagramas com esses
valores, teríamos então representados os diagramas de momento fletor e força
cortante da viga em análise. Na realidade não são efetuados infinitas seções, e
sim algumas seções em locais apropriados, que permitam representam em sua
totalidade os diagramas.

Para o traçado do diagrama, é usual, adotar-se para o diagrama de forças
cortantes, positivo para cima e negativo para baixo, e o diagrama de momentos,
positivo para baixo e negativo para cima, de maneira a salientar a tendência de
flexão da viga.


Mecânica Técnica

Tendo como exemplo uma viga bi-apoiada de comprimento L, submetida
a uma carga concentrada, distanciada de a do apoio da esquerda, temos as
seguintes equações para o traçado do diagrama:

Força Cortante

1) Para x variando entre 0 e a

Q = Ra

2) Para x variando entre a e L

Q = Ra - P = Rb

Momento Fletor

1) Para x variando entre 0 e a

M = Ra . x

2) Para x variando entre a e L

M = Ra . x - ( x - a) . P

Momento Fletor Máximo

O momento fletor máximo ocorre no ponto onde temos a carga concentrada,
então:

Mmáx = Ra . a - ( a - a ) . P = Ra . a = (P . b / L) . a = P . a . b / L

Diagrama


Mecânica Técnica

Quando uma viga suporta muitas cargas, o método de se fazer várias seções ao
longo da barra, pode se tornar muito complicado. A construção do diagrama de
força cortante e principalmente o de momento fletor pode ser bastante
simplificado se determinadas relações entre os diagramas de força cortante e
momento fletor forem considerados.


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