Este documento apresenta 10 tarefas que utilizam o software GeoGebra para ensinar e aprender conceitos matemáticos. As tarefas incluem construções geométricas como triângulos inscritos em circunferências, tangentes a circunferências, retângulos e quadrados. Outras tarefas ensinam a construção de parábolas, frisos, rosetas e cubos. A última tarefa mostra como fazer uma seção de um cubo.

1. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
ACTIVIDADES DE GEOMETRIA
Tarefa 1: Triângulo inscrito numa circunferância
Procedimento:
Usando as ferramentas de construção.
1. Escolha a ferramenta
“Polígono” na barra de ferramentas. Agora clique na área
de trabalho três vezes para criar os vértices A, B, e C. Feche o triângulo clicando no A
novamente.
2. Depois, escolha a ferramenta
lados do triângulo.
“mediatriz” e construa duas mediatrizes em dois
3. Usando a ferramenta
“Intersecção de dois objectos” você pode clicar nas duas
mediatrizes para criar o centro da circunferência circunscrita no seu triângulo. Para
chamá-lo de “M”, clique sobre ele com o botão direito do rato e escolha “Renomear“ .
4. Para realizar a construção, você tem que escolher a ferramenta
“Círculo definido
pelo centro e por um de seus pontos” e clique primeiro no centro, depois em algum
vértice do triângulo.
5. Agora escolha a ferramenta
“Mover” e use o rato para mudar a posição de
qualquer um dos vértices, dando assim um efeito dinâmico á sua construção.
Usando o campo de entrada.
É possível fazer a mesma construção realizada acima usando o campo de entrada de texto.
Aconselha-se que abra uma nova área de trabalho (menu “Arquivo – Novo”).
Digite os comandos abaixo no campo de texto que se localiza na parte inferior do ecrã e
pressione a tecla “Enter” ao final de cada linha.
A = (2, 1)
B = (12, 5)
C = (8, 11)
Polígono[A,B,C]
l_a = Mediatriz[a]
l_b = Mediatriz[b]
M = Interseção[l_a, l_b]
Circunferência[M, A]
Algumas dicas
 Completamento automático de comandos: depois de escrever as duas primeiras letras
do comando, ele aparecerá automaticamente. Se você quiser adoptar a sugestão,
pressione a tecla “Enter”, se não continue digitando.
 Não é necessário escrever o nome de cada comando, você pode também escolhê-lo
na lista de comandos que aparece no próximo campo, à direita do campo de entrada.
1

2. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA


2011
Clicando no ícone “entrada“ (botão esquerdo) activa o modo “campo de entrada”.
Neste modo você pode clicar no objecto a partir da janela algébrica ou da área de
trabalho para copiar o nome dentro do campo de entrada.
Para obter mais dicas práticas relacionadas com o campo de entrada clique na ajuda
(no botão do canto esquerdo).
Tarefa 2: Tangentes de uma circunferência
Usando GeoGebra, construa a circunferência c: (x - 3)² + (y - 2)² = 25 cujas tangentes
passam pelo ponto A = (11, 4).
Procedimento:
Usando as ferramentas de construção e o campo de entrada.
1. Escreva a equação da circunferência c: (x - 3)² + (y - 2)² = 25 dentro do campo de
entrada de texto e pressione a tecla Enter (dica: o símbolo 2 é encontrado na lista à
direita do campo de entrada de texto ou pode inseri-lo manualmente usando ^2).
2. Insira o comando C = Centro[c] dentro do campo de entrada de texto.
3. Insira o ponto A digitando A = (11,4).
4. Agora escolha a ferramenta
c.
“Tangentes“ e clique no ponto A e na circunferência
5. Depois escolha a ferramenta
“Mover“, arrastando o ponto A com o rato e
observe o movimento das tangentes.
6. Você deveria tentar também arrastar a circunferência c observando sua equação na
janela algébrica
Algumas dicas

Aproximando ou distanciando a imagem: você pode escolher quantos graus você
deseja aumentar ou diminuir clicando com o botão direito do rato na área livre e
escolhendo o Zoom desejado ou então apenas pressione com o botão direito do rato
enquanto o arrasta para ampliar ou reduzir a janela.

É possível alterar a equação da circunferência directamente na janela algébrica
clicando duplamente sobre ela.
2

3. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
Tarefa 3: Construção de um rectângulo
Objectivo: Construir um rectângulo de modo que um dos seus lados seja o dobro do outro.
Nesta tarefa pretende-se usar exclusivamente a barra de ferramentas, em particular os
conjuntos de ferramentas relacionadas com a construção de rectas e círculo.
1. No menu EXIBIR retire o visto da Zona algébrica e da barra de
comandos. Deverá ficar apenas com a Zona Gráfica.
2. Para construir o rectângulo poderá proceder de diferentes
modos:
2.1. 1º modo:
2.1.1. Exibir a grelha quadriculada; (usando o botão direito
do rato e seleccionando o item de menu
. Em
alternativa, pode ir ao menu EXIBIR e seleccionando o
item de menu
)
2.1.2. Marcar os quatro vértices sobre pontos da grelha,
usando a ferramenta
2.1.3. Utilizando a ferramenta
construídos.
.
, pode construir o polígono de vértices nos pontos
2.2. 2º modo:
2.2.1. Marcando um segmento, usando a ferramenta
2.2.2. Por um dos vértices traçar uma perpendicular ao segmento, usando a
ferramenta
2.2.3. Usar a ferramenta
ou
para construir outro vértice do rectângulo
sobre a perpendicular e que diste do segmento o dobro do seu comprimento.
Para tal construa uma nova circunferência de centro num dos pontos de
intersecção da circunferência anterior com a recta perpendicular. O vértice
pretendido é o outro novo ponto de intersecção.
2.2.4. Para obter o último vértice é necessário traçar uma paralela ao segmento
inicial passando pelo último ponto de intersecção marcado e uma paralela à
recta traçada em 2.2.2, passando pelo outro extremo do segmento. Utilize a
ferramenta
.
2.2.5. Esconda todos os objectos, à excepção dos extremos dos vértices do
rectângulo.
2.2.6. Use a ferramenta
para construir o polígono pretendido.
2.3. 3º modo
2.3.1. Construa o rectângulo admitindo que parte do segmento de maior
comprimento. Use a ferramenta
apresentado.
e proceda de modo idêntico ao 2º modo
3

4. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
Tarefa 4: Construção de um quadrado dado o comprimento do lado
1. Construa um segmento, usando a ferramenta
.
2. Mude para a ferramenta
e sobre o segmento clique no botão direito do rato para
activar o nome do segmento.
3. Dirija-se à barra de ferramentas e escolha a ferramenta
, clique para marcar o
centro; na janela que surge no ecrã coloque o nome do segmento, observado em 2,
que irá determinar o raio da circunferência.
4. Depois de construída a circunferência, escolha a ferramenta
sobre a circunferência.
, e marque um ponto
5. Seleccione agora a ferramenta
, seleccione o centro e o ponto sobre a
circunferência, na caixa de diálogo digite quatro, visto que pretendemos construir um
quadrado.
6. Para finalizar oculte a circunferência.
7. Para dar um pouco de dinamismo à sua construção altere o tamanho do segmento de
recta inicial.
Tarefa 5: Construção de uma parábola usando a ferramenta Locus
1. Comece por definir um ponto F (foco da parábola), uma recta a (directriz) e um ponto
móvel M sobre essa recta.
2. Defina o segmento de recta [MF].
3. Defina a mediatriz do segmento de recta [MF].
4. Defina a recta b, perpendicular à directriz e que contêm o ponto M.
5. Defina o ponto de intersecção A da recta anterior com a mediatriz do segmento de
recta [FM].
6. Oculte a recta b.
7. Defina os segmentos de recta [AM] e [AF].
8. Defina as medidas dos comprimentos de [AM] e [AF].
9. Seleccione a ferramenta
, seleccione o ponto A e em seguida o ponto M, por esta
ordem, obtendo assim o lugar geométrico dos pontos do plano que se encontram à
mesma distância de um ponto – Foco – e de uma recta – directriz. A esse lugar
geométrico dá-se o nome de Parábola.
4

5. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
Tarefa 6: Construção de um friso por reflexão
Vamos criar um friso geométrico, com um motivo à sua escolha.
Pesquise na Internet uma imagem que goste e que dê para construir um friso por translação.
Exemplo de imagem.
Guarde a imagem encontrada numa parta do seu computador.
Procedimento:
1. Recorra à ferramenta Inserir imagem
.
2. Insira uma recta ajustada a um dos lados da imagem, usando a ferramenta própria.
3. Para determinar a reflexão da imagem em torno da recta use a ferramenta
,
clicando primeiro no objecto a reflectir e depois na recta, eixo de reflexão.
4. Repita o processo de forma a obter um friso.
Tarefa 7: Construção de um friso por translação
A construção do friso pelo processo anterior não evidência a direcção, e a norma dos vectores
associados à repetição do motivo. Agora vamos proceder usando translações.
Procedimento:
1. Recorra à ferramenta Inserir imagem
.
2. Utilizando a ferramenta Vector definido por dois pontos
, ajuste um vector com a
direcção do friso e com o comprimento da imagem obtida.
3. Aplique uma translação à imagem pelo vector construído, usando a ferramenta
Translação por um vector
, clicando no objecto a transladar e depois no vector.
4. Repita o último passo até obter um friso a seu gosto.
5

6. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
Tarefa 8: Construção de uma Rosácea
Pretende-se construir rosáceas usando uma pequena imagem. Iremos rodar objectos usando
apenas a zona gráfica ou interagindo com a entrada de comandos.
Procure uma imagem, com a forma de uma pétala. Guarde-a numa pasta do seu computador.
Procedimento:
1. Recorra à ferramenta Inserir imagem
.
2. Marque um ponto A (Centro da rotação).
3. Vamos rodar a imagem em torno do Ponto A por um ângulo de 45º, por exemplo.
Seleccione a ferramenta
, de seguida seleccione o objecto a rodar, neste caso a
imagem, e depois o ponto. De imediato será exibida uma caixa de diálogo onde será
pedido para introduzir a medida do ângulo.
4. Vamos agora rodar a imagem 90º, em torno de A, usando a entrada de comandos,
bastando introduzir o texto Rotação[nome da imagem,90,A].
5. Complete a rosácea.
Tarefa 9: Construção de um cubo.
Nesta actividade pretende-se construir um cubo. Uma vez concluída a construção criar-se-á
uma ferramenta para essa construção.
Procedimento:
5. Inicie o GeoGebra com o sistema de eixos visível.
6. Construa o Segmento [AB], no segundo quadrante.[AB] é uma aresta da base do cubo.
7. Construa o ponto C, ponto médio de [AB].
8. Faça uma rotação do ponto C e centro em A, 45º no sentido anti-horário; poderá
recorrer à ferramenta
, ou ao comando: Rotação[C,45,A].
9. Faça Rotação do ponto C e centro em B, 135º no sentido horário.
10. Construa os segmentos que representarão as arestas da base do cubo.
11. Faça uma rotação de 90º do ponto B centrada em A no sentido anti-horário.
12. Crie o vector AB’.
13. Faça a translação dos vértices da base, segundo o Vector AB’, obtendo assim os
restantes vértices do cubo.
6

7. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
14. Esconda o vector e construa as restantes arestas do cubo.
15. Renomeie os vértices do cubo [ABCDEFGH]
16. Vamos agora criar a ferramenta Cubo. No Menu Ferramentas
seleccionamos a opção “Criar Nova Ferramenta”.
17. Como objectos finais deveremos seleccionar todos os vértices e arestas do cubo.
18. Como objectos iniciais deveremos ter seleccionados os pontos A e B.
19. Em seguida deveremos escolher um nome e um comando associado a esta nova
ferramenta.
20. Podemos ainda definir um ícone para mais fácil identificação da ferramenta. Neste
caso, por exemplo, poderemos criar um ícone a partir da imagem obtida. Para isso,
seleccione o cubo e no menu Ficheiro-Exportar-Zona Gráfica como imagem para que a
imagem da representação seja guardada no computador. Em seguida, no botão
“ícone” iremos definir qual a imagem associada à ferramenta.
21. Na ajuda podemos dar uma indicação de como usar a ferramenta.
22. Ao clicarmos em Concluído a ferramenta aparecerá junto das restantes, na barra de
ferramentas.
23. Para experimentarmos a nova ferramenta devemos representar dois pontos I e J e com
a ferramenta seleccionar ambos os pontos. Ou através da entrada de comando
introduzindo: Cubo[I,J].
Tarefa 10: Secção de um cubo
Nesta actividade pretende-se, usando a ferramenta “Cubo”, construir uma secção.
Procedimento:
1. Num novo ficheiro do GeoGebra, construa um Cubo, usando a ferramenta.
2. Construa o segmento [EG]. Chame esse segmento b.
3. Marque um ponto P no segmento b.
7

8. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
4. Construa o segmento [EP]. Chame a esse segmento c.
5. Marque o vector v=Vector[D,B].
6. Defina o parâmetro factor1 através do comando: factor1=c/b.
7. Defina o parâmetro factor2 através do comando: factor2=1-factor1.
8. Defina o parâmetro factor3 através do comando:
factor3=Se[factor1<=0.5,factor1,factor2]
9. Mova o ponto P e observe que o parâmetro factor 3 apenas varia entre 0 e 0.5;
10. Defina o Vector w através do comando w=factor3*v.
11. Construa o ponto Q através de Q=Translação[P,w].
12. Construa o ponto R através de R=Translação[P,-w].
13. Defina o vector EA através de z=Vector[E,A].
14. Construa o ponto S=Translação[Q,z].
15. Construa o ponto T=Translação[R,z];
16. Construa o polígono que representa a secção do cubo que passa no ponto P e é
perpendicular a [EG].
Tarefa 11: Modelação da função da área da secção de um cubo
Nesta actividade pretende-se modelar a função da área de uma secção do cubo.
Procedimento:
1. Continue com a construção anterior.
2. Chame a ao segmento AB.
3. Verifique que a diagonal facial do cubo mede 𝑎 2.
4. Defina o parâmetro largura=2*factor3*sqrt(2)*a.
5. Defina o parâmetro área, através de area=a*largura.
6. Defina o parâmetro abcissa=factor1*sqrt(2)*a.
7. Construa o ponto U, através do comando U=(abcissa,area);
8. Verifique que U associa o comprimento do segmento EP à área da secção;
9. Active o traço do ponto U. O que observa?
8

9. O GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
2011
Tarefa 12: Operações básicas com os números complexos
Procedimento:
1. Inicie um novo documento no GeoGebra exibindo os eixos coordenados.
2. Represente os números complexos 𝑧1 = 1 + 2𝑖 e 𝑧2 = −2 − 𝑖. Na entrada de
comandos basta introduzir as expressões: z_1=1+2i e z_2=-2-i.
3. Represente os vectores correspondentes a cada um dos pontos z1 e z2. Para tal poderá
recorrer à ferramenta
ou então através dos comandos: Vector[z_1] e
Vector[z_2].
4. Para realizar operações entre os complexos z1 e z2 e observar a representação do
resultado, basta introduzir na entrada de comandos:
Operação
Comando
z1 + z2
z_3=z_1+z_2
z1 - z2
z_4=z_1-z_2
z1 x z2
z_5=z_1*z_2
z1 : z2
z_6=z_1/z_2
9