Matematica fiscal

EDUCAÇÃO

Educação Fiscal em Números
SUMÁRIO

FISCAL EM PARTE I
REVISÃO DE MATEMÁTICA 3

NÚMEROS Fração 3

Operações com frações 3

Sistema de numeração 4

1. RAZÃO, PROPORÇÃO E PERCENTAGENS 6

1.1. Razão 6

1.2. Razão de duas grandezas 6

1.3. Proporções 6
AUTORIA
Márcia Marques de Carvalho 1.4. Grandezas proporcionais 7

1.5. Regra de Três 9

1.6. Percentagem 10

COORDENAÇÃO E MODELAGEM PARTE II
Paulo Alexandre Adler Pereira
2. MEDIDAS-RESUMO 13

2.1. Um número para representar a todos: as chamadas
REVISÃO
Adriana Almeida
medidas de tendência central 13

2.2. Um número para mostrar a variabilidade dos dados:
as chamadas medidas de dispersão 14
DIAGRAMAÇÃO
Paulo Alexandre Adler Pereira
Adelino de Oliveira Jr. 3. ANALISANDO UMA SÉRIE TEMPORAL:
Anna Luisa Araujo O NÚMERO-ÍNDICE 16

BIBLIOGRAFIA 18

GLOSSÁRIO 18

1


2

PARTE I
REVISÃO DE MATEMÁTICA

FRAÇÃO
Definição: Sejam a e b dois número naturais e b≠0. A operação a¸b, representado por , é o que chamamos de fração.

Numa fração, a é chamado de numerador e b de denominador.

Exemplos:
1 6 4
; ;
4 5 2
Em alguns casos, podemos simplificar a fração, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, não alterando a
fração.
6 6¸3 2
Exemplo: = =
9 9¸3 3

EXERCÍCIO 1. Simplifique as frações abaixo:

a)
5 6 c) 25
b) 100
15 24

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: No caso de denominadores iguais, conserva-se o denominador e soma-se(subtrai-se) os numeradores.
Quando os denominadores forem diferentes, calcula-se o m.m.c (mínimo múltiplo comum) entre os denominadores e divide-
se o m.m.c por cada denominador, e seu resultado multiplica-se pelo numerador. Depois faz as operações de adição(subtração).

Exemplos:
1 3 4 2 1 1 2 1 2 1 2 × +1 ×
2 3 7
+ = =2 - = + = + = =
2 2 2 5 5 5 9 6 9 6 18 18
2 3

MULTIPLICAÇÃO: Deve-se multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplos:

1 3 3 2 ( - 1) - 2
´ = × =
2 2 4 5 5 25

DIVISÃO: Na divisão de frações, deve-se multiplicar o inverso da segunda fração pela primeira fração.

Exemplo:
- 1
2 - 1 5 - 5
= × =
3 2 3 6
5

EXERCÍCIO 2: Calcule:

3
1 4 4 1 - 4 2
a) + - b) ´ c) d) 5
3 5 2 2 5 6 3
7
4

3

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

Existem vários sistemas de numeração. O que usamos atualmente é o chamado sistema de numeração decimal ou de base 10,
que utiliza 10 algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 para representação dos números.

Existe uma diferença entre número, numeral e algarismo:

Número – exprime a idéia de quantidade. Ex: duzentos e trinta e quatro.

Numeral – é o símbolo utilizado para representar o número. Ex: 234

Algarismos – numerais de 0 a 9, no sistema de numeração decimal.

Podemos decompor os números da seguinte forma:

234=200+30+4=2x100+3x10+4=2x102+3x101+4*100

Cada algarismo de um numeral ocupa uma posição ou ordem. Veja o quadro valor de lugar (q.v.l):

Q.V.L

Classe Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades
dos bilhões
10ª ordem 9ª ordem 8ª ordem 7ª ordem 6ª ordem 5ª ordem 4ª ordem 3ª ordem 2ª ordem 1ª ordem
Unidades Centenas dezenas unidades centenas dezenas unidades centenas dezenas unidades
de bilhão

Assim:

10ª ordem → unidades de bilhão

9ª ordem → centenas de milhão

8ª ordem → dezenas de milhão

7ª ordem → unidades de milhão

6ª ordem → centenas de milhar

5ª ordem → dezenas de milhar

4ª ordem → unidades de milhar

3ª ordem → centenas

2ª ordem → dezenas

1ª ordem → unidades

Exemplos:

1. Observe o numeral 1.356 e responda:

a) quantas ordens ele possui? 4

b) qual é o algarismo da 4ª ordem? 1

c) qual é o algarismo da 2ª ordem? 5

4

2. Decomponha os números abaixo em ordens:

435=4 centenas+3dezenas+5unidades

1.906=1 unidade de milhar+9 centenas+6unidades

21.005=2 dezenas de milhar+1unidade de milhar + 5 unidades

325.819=3 centenas de milhar+2 dezenas de milhar+5unidades de milhar+8 centenas+1 dezena+9unidades.

2.841.325=2 unidades de milhão + 8 centenas de milhar+4 dezenas de milhar+1unidade de milhar+3 centenas + 2
dezenas + 5 unidades.

2.000.841.325=2 unidades de bilhão+8 centenas de milhar+4 dezenas de milhar+1unidade de milhar+3 centenas +
2 dezenas + 5 unidades.

EXERCÍCIO 3:
Escreva por extenso:

a) 1.906

b) 21.005

c) 325.819

d) 2.841.325

e) 35.014.208

f) 628.352.002

g) 1.514.032.114

h) 430.200.115.050

1. RAZÃO, PROPORÇÃO E PERCENTAGEM
Freqüentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos.

Quando fazemos uma crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça muito grande”, não estamos nos referindo à
medida absoluta da cabeça e sim proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.

RAZÕES
Definição: A razão do número a para o número b (diferente de zero), é o quociente de a por b.
a
Notação: a / b ou
b
Os números a e b são os termos da razão: a é chamado antecedente e b conseqüente da razão.

Exemplos:

a) A razão de 4 para 16 é: 4 / 16 = 1 / 4

b) A razão de 20 para 4 é: 20 / 4 = 5

c) A razão entre 8 e ½ é:

8 2
= 8 ⋅ = 16
1 1
2

5

1. RAZÃO, PROPORÇÃO E PERCENTAGEM

Freqüentemente empregamos proporções em nosso dia-a-dia, embora sem utilizar símbolos matemáticos.

Quando fazemos uma crítica de uma estátua, dizendo que “ela tem uma cabeça muito grande”, não estamos nos referindo à
medida absoluta da cabeça e sim proporcionalmente ao conjunto da própria estátua.

1.1 RAZÕES
Definição: A razão do número a para o número b (diferente de zero), é o quociente de a por b.
a
Notação: a / b ou
b
Os números a e b são os termos da razão: a é chamado antecedente e b conseqüente da razão.

Exemplos:

a) A razão de 4 para 16 é: 4 / 16 = 1 / 4
b) A razão de 20 para 4 é: 20 / 4 = 5
c) A razão entre 8 e ½ é: 8 2
= 8 ⋅ = 16
1 1
2
1.2 RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS
Definição: A razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a divisão entre a medida da primeira grandeza e a medida
da segunda.

As grandezas podem ser da mesma espécie ou não. Se forem da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma
unidade. Neste caso, a razão é um número sem unidade, adimensional. Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um
número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplos:
1m 100 cm
a) A razão de 1 m para 50 cm é: = =2
50 cm 50 cm

b) Um automóvel percorre 160 km em 4 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em

160 km 160
percorrê-la é: = km / h = 40 km/h
4h 4
EXERCÍCIO 4: Um Palio X custa R$14.000,00 . O município do Rio de Janeiro obteve uma receita tributária de R$
2.237.649.000,00. Esta receita equivale a quantos carros Palio?

EXERCÍCIO 5: Para cada município abaixo, calcule a razão entre a receita e a despesa:

Município Receita Corrente Despesa Corrente
(1.000 R$) (1.000 R$)
Rio de Janeiro 5.043.259 3.290.867
Campos 96.620 103.495
dos Goytacazes
Nova Friburgo 64.656 65.316
Rio Bonito 20.519 18.068
Fonte: Tribunal de Contas do Estado do Rio de Janeiro - 1999

1.3 PROPORÇÕES
Definição: Dados, em uma certa ordem, quatro números diferentes de zero a,b,c e d, dizemos que eles formam uma proporção
quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual a razão entre os dois últimos (c e d).

a c
Notação: = onde a e d são os extremos e b e c são os meios.
6 b d

Propriedade: Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

a c
= ⇒ a.d = b.c
b d
6 12 2 12
Exemplo: Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções: = e =
7 14 3 16
6 12
= ⇒ 6.14=84 e 7.12=84. Logo é verdadeira.
7 14
2 12
= ⇒ 2.16=32 e 3.12 = 36. Como 32≠36, os números não formam uma proporção.
3 16
EXERCÍCIO 6: Verifique se são ou não proporções as seguintes expressões:

2 3
4 36 3 15 5 = 5
a) = b) = c)
15 135 4 20 1 1
2 6

Cálculo de um termo desconhecido
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, é possível determinar o valor de um termo qualquer quando são conhecidos
os outros três.
3 60
Exemplo: Calcule o x na proporção: =
4 x

4 ⋅ 60 4 ⋅ 20
3 ⋅ x = 4 ⋅ 60 ⇒ x = = ⇒ x = 80
3 1
EXERCÍCIO 7. Calcule x nas proporções:

7
0,06 0,10 3
a) = b) 6 =
0,25 x x 3
2

1.4. GRANDEZAS PROPORCIONAIS
A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando
uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel
depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de empregados.

A relação entre duas grandezas pode ser direta ou inversamente proporcional.

A. Grandezas Diretamente Proporcionais
Exemplo: Numa repartição, a despesa com pessoal e o número de funcionários estão na tabela abaixo:
Despesa com pessoal (R$) 270 540 810 1.350
Nº de funcionários 1 2 3 5

Examinando a tabela, vemos que a grandeza despesa depende da grandeza nº de funcionários, já que aumentando uma (nº de
funcionários) a outra (despesa) também aumenta. Então:
270 540 810 1.350
= = = = 270
1 2 3 5

7

Chamando de y a grandeza despesa e de x a grandeza nº de funcionários, temos:

y
x = 270 ou y = 270 . x

Dizemos que as seqüências de números são diretamente proporcionais 270 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade.

Definição: As grandezas variáveis y e x são diretamente proporcionais (ou simplesmente, proporcionais) se y e x são expressos
por uma função do tipo y = k .x onde k é um número real constante, diferente de zero.

Observação: Para caracterizar a proporcionalidade de duas grandezas, não é suficiente verificar se o aumento de uma delas
implica no aumento da outra. É necessário que, ao multiplicarmos uma delas por um número k diferente de zero, a grandeza
correspondente também fique multiplicada por k.

EXERCÍCIO 8. Verifique se são diretamente proporcionais as seqüências abaixo:

• (10,15,20,25) e (2,3,4,5)
• (6,9,20) e (2,3,5)
EXERCÍCIO 9. Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b:

x 7 9 b
y 28 a 52

B . Grandezas Inversamente Proporcionais
Tempo de duração 100 200 300 400
(em horas)
Nº de operários empregados 12 6 4 3

Exemplo: Numa construção, o tempo de duração da obra e o número de operários empregados estão na tabela abaixo:
Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza nºde operários, já que aumentando o nº de operários o tempo
diminui. Porém agora temos:

12·100=6·200=4·300=3·400=1.200

ou
12 6 4 3
= = = = 1.200
1 1 1 1
100 200 300 400
Chamando de x a grandeza nº de operários e de y a grandeza tempo, temos:
1
yx=1.200 ⇒ y = 1.200 ⋅
x
Dizemos que as seqüências de números são inversamente proporcionais e 1.200 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade.

Definição: As grandezas variáveis y e x são inversamente proporcionais se y e x são expressos por uma
1
função do tipo y = k ⋅ . onde k é um número real constante, diferente de zero.
x
EXERCÍCIO 10. Verifique se são inversamente proporcionais as seqüências abaixo:

(2,3,6) e (6,4,2)

(2,5,8) e (40,10,20)

EXERCÍCIO 11. Sendo x e y grandezas inversamente proporcionais, calcule os valores de a e b:

x 1 a -4
y 4 2 b

8

1.5. REGRA DE TRÊS

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou
mais grandezas.

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas e a composta, que envolve mais de duas
grandezas.

A regra de três simples
Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira
grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira. Por serem
conhecidos três elementos, deram o nome de regra de três.

Exemplo 1: Maria comprou 6 m de tecido por R$12. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?
Comprimento Preço

6 12 Chamamos de x o valor que desejamos conhecer.

8 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais, as setas possuem o mesmo sentido.

6 12
↓ − ↓
8 x
Armamos a proporção formada pelas razões, seguindo as setas:
6 12 8 ⋅ 12
= →x= = 16
8 x 6
Logo, o preço procurado é R$16,00.

Notas:
As quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida;

Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais, dizemos que a regra de três é direta.

Exemplo 2: Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 15 operários fariam a mesma obra?

Operários Dias

6 10 Chamamos de x o valor que desejamos conhecer.

15 x

As grandezas são inversamente proporcionais, pois o número de operários for multiplicado por 2,3,... , o número de dias ficará
dividido por 2,3,..., respectivamente. Assim, a coluna que contém x é assinalada como no exemplo anterior e a outra coluna é
assinalada com uma seta em sentido contrário .

6 − 10
↑ ↓
15 − x
Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de
número de dias):

15 − 10
↓ ↓
6 − x
Armamos a proporção formada pelas razões, seguindo as setas:

15 10 6 ⋅ 10
= ⇒x= =4
6 x 15

Logo, serão necessários 4 dias. 9

Notas:

No exemplo anterior, deve-se considerar o número-limite, pois a partir de um certo número de homens, a lei não se aplica
mais, pois seu aumento não mais vai influir no trabalho, podendo até prejudica-lo.

Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa.

EXERCÍCIOS

12. Um operário recebe R$210 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?

13. Em um navio com uma tripulação de 500 marinheiros há alimentos para 45 dias. Quanto tempo durarão os alimentos se
o navio receber mais 100 marinheiros?

14. O município de Niterói, no 2º quadrimestre de 2001, obteve como receita corrente líquida (RCL) R$333.860,00 e gastou
com pessoal R$217.009,00. Segundo a LRF, o limite máximo para gastos com pessoal é 60% da RCL que resulta em
R$200.316,00. Quanto o município deveria ter arrecadado com RCL para ficar dentro do limite da LRF?

1.6. PERCENTAGEM
Em nosso dia-a-dia, observamos expressões que envolvem percentagem, tais como: “ O rendimento da caderneta de poupança
foi de 1,99% em dezembro” ou “Desconto de até 30% na grande liquidação de verão”.

Taxa Percentual
Exemplo: Suponha que um aluno acertou, em um exame, 12 das 20 questões apresentadas.

A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é:

12 6 60
= = 0,6 = = 60%
20 10 100

O sinal %(por cento) é uma abreviação da expressão “dividido por 100”.

80% leia-se: oitenta por cento

Mas 80% é denominado taxa percentual.

Exemplo: Escreva a razão 2/5 em forma de taxa percentual:

2 x 2 ⋅ 100
= ⇒x= = 40 Logo a resposta é 40%
5 100 5
Elementos do cálculo percentual
Exemplos:
1. Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua contribuição numa venda de R$3.000?

p 3 3000 ⋅ 3
= ⇒p= = 90
3.000 100 100

Resposta: A comissão é de R$90,00.

2. Em um colégio 13% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em número de 91?

91 13 91 ⋅ 100
= ⇒P= = 700
P 100 13

Resposta: O colégio possui 700 alunos

10

3. Um automóvel foi adquirido por R$2.500 e vendido com um lucro de R$400. Qual a percentagem de lucro?

400 r 400 ⋅ 100
= ⇒r= = 16
2500 100 2500

Resposta: O lucro foi de 16%.

Variações percentuais
A variação percentual pode ser facilmente entendida a partir de alguns exemplos:

Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para v+0,20v=1,20v.

Se as vendas de uma empresa diminuíram 20%, então elas passaram de v para
v - 0,20v=0,80v

Exemplos:

1. Em uma turma de 7ª série de 60 alunos, 15% foram reprovados. Quantos alunos terão na turma de 8ªsérie?

60-0,15.60=60-9=51

Resposta: A 8ª série terá 51 alunos

2. Um jornal recebia por dia R$42.000 de anúncios. A quantidade de anúncios aumentou 6%. Qual será a nova receita diária
do jornal?

42000+0,06.42000=42000+2520=44520

Resposta: A nova receita será de R$44.520.

Pontos percentuais
O significado de pontos percentuais pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:

Se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos dizer que houve um aumento de 100% na inflação ou que a inflação subiu
cinco pontos percentuais.

Se o imposto X subiu de 2% para 3% é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% ou que o imposto subiu um ponto
percentual.

EXERCÍCIOS:

15. A tabela a seguir apresenta as despesas realizadas por funções do governo de alguns municípios selecionados:
Município Despesas realizadas, por funções de governo (1.000 R$)
Total Legislativa Administração e Educação Habitação Saúde Outras
Planejamento e Cultura e Urbanismo e Saneamento
Rio de Janeiro 4.221.794 193.000 1.172.058 1.010.702 474.662 812.348 559.024
Niterói 219.368 19.133 62.052 46.118 29.507 32.878 29.680
São Gonçalo 151.312 9.112 27.669 41.109 27.141 19.653 26.628
Italva 7.673 520 318 1.977 - 1.434 3.424
Petrópolis 119.393 5.132 27.648 34.692 16.592 20.828 14.501
Volta Redonda 167.965 7.363 55.293 52.743 17.554 18.987 16.025
Fonte: Tribunal de Contas do Estado do Rio de Janeiro – TCE. 1999

a) Que percentual das despesas é destinado à Educação e Cultura, em cada município selecionado?

b) No ano de 1999, o total de despesas realizadas no Estado do Rio de Janeiro foi de R$7.339.738.000,00. Qual foi a
contribuição (%) do município do Rio de Janeiro? E dos outros municípios?

11

16. Considere a tabela abaixo com as despesas realizadas do poder Executivo do Estado do Rio de Janeiro, segundo os

órgãos.

Despesas realizadas (1000 R$), por ano – Estado do Rio de Janeiro
Órgãos 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Poder Executivo 6.866.193 9.176.501 6.075.534 11.937.543 11.353.758 15.124.052
Gabinete Civil 20.124 22.004 26.126 25.385 24.227 47.817
Gabinete do Vice-Governador. 1.408 - - - 2.546 577
Gabinete Militar 6.310 7.167 5.895 7.048 5.548 -
Procuradoria Geral da Defensoria Públ. 46.134 50.385 53.543 55.116 49.527 43.464
Procuradoria Geral do Estado 51.510 56.514 58.285 58.685 35.138 21.266
Secretaria Executiva - - - - 70.241 551.109
do Gabinete do Governador
Secretaria de Estado 24.524 276.544 248.925 338.752 934.176 1.003.793
de Administração
Secr. de Est. de Agric., Abastec. 14.244 71.589 70.648 78.774 67.899 68.566
e Pesca
Secr. de Est. de Ciência 508 480.704 43.838 504.771 510.483 525.390
e Tecnologia
Secr. de Est. de Cultura e Esporte 12.701 55.711 455.560 49.996 33.851 48.106
Secr. De Est.de Desenv. da Baixada 914 1.477 1.569 1.544 729 1.229
Fluminense
Serc. de Est. de Educação 978.787 1.407.613 1.006.559 1.912.798 1.682.692 1.937.773
Secretaria de Est de Fazenda 486.829 509.801 533.825 573.971 350.544 190.233
Secr. de Est. de Habitação e Assuntos 2.121 50.940 53.462 81.899 41.531 -
Fundiários
Secr. de Estado de Desenvolvimento 2.871 15.425 14.776 14.820 12.225 65.338
Econômico e Turismo
Secr. de Estado de Justiça e Interior 107.479 129.379 143.216 161.133 147.761 156.697
Secr. de Estado de Meio Ambiente 5.428 86.119 73.980 84.055 67.385 181.436
Secr. de Estado de Obras e 13.484 291.916 455.560 567.792 111.026 -
Serviços Públicos
Secr. De Estado de Planejamento 19.474 169.780 340.807 430.552 36.581 15.824
e Controle
Secretaria de Estado de Saúde 150.360 191.487 416.217 324.378 337.399 398.749
Secr. de Est. Segurança Pública 1.074.463 1.249.463 1.294.841 1.462.160 840.359 790.763
Secr. De Estado de Trabalho 7.633 96.094 115.788 128.310 32.185 36.497
e Ação Social
Secre. de Est. de Transportes 10.635 642.833 671.825 577.586 179.012 221.139
Secr. de Est. de Defesa Civil - - - - 197.721 206.646
Outros órgãos 11.170 248 - - 282.079 233.041
Autarquias/Fundações/Fundos - - - - 245.562 4.970.670
Encargos Gerais do Estado 3.691.603 3.185.397 4.439.445 4.346.258 4.951.299 3.599.392
Procuradoria Geral da Justiça – Ministério 125.481 127.944 132.780 151.760 145.566 110.491
Público
Fonte: Secretaria de Estado de Fazenda – SEF.
a) Que percentual da despesa é devido à Secretaria de Estado de Educação, para cada ano?

b) Qual a variação percentual das despesas, por ano, desta mesma Secretaria?

12

PARTE II
2. MEDIDAS-RESUMO
Considere os dados do último exercício do capítulo anterior. Suponha que você deseja resumir as despesas dos 6 anos,
utilizando um único valor, para cada órgão. Que valor seria este? O primeiro? O último?

Para melhor resumir um conjunto de números, é preciso escolher um valor único que represente todos os outros valores desse
conjunto.

2.1. UM NÚMERO PARA REPRESENTAR A TODOS:
as chamadas medidas de tendência central
Existem várias medidas que podem resumir os dados. Estas medidas são chamadas de medidas de tendência central. As
principais medidas são a média e a mediana.

[A] MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética de um conjunto de números é um valor que, levando em conta todos os elementos do conjunto, pode
substituir a todos, sem alterar determinada característica desse conjunto.

Definição: Seja X={x1,x2,x3,...,xn} um conjunto formado por n números. A média aritmética de X, representada por X (lê-se
X barra) é:
n

x + x 2 + ... + x n ∑x i
X= 1 = i =1

n n

Exemplos: Calcule a média aritmética dos conjuntos abaixo:

a) X={1,2,3,4,5,6} b) X={-1,0,1}

EXERCÍCIOS:
1. Calcule a média aritmética dos conjuntos abaixo:

a) X={1,1,1,2,2,3,4,4,4,5,5,5,5,6}

b) Y={1,1,1,2,3,4,5,5,6,6,9,10000}

c) Z={0,0001 ; 2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 9 ; 9 ,10}

2. Calcule os valores médios de despesa, por órgão do poder executivo, do período de 1995 a 2000.

Despesas realizadas (R$ milhões), por ano – Estado do Rio de Janeiro
Órgãos Selecionados 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Poder Executivo 6.866,1 9.176,5 6.075,5 11.937,5 11.353,7 15.124,0
Secretaria de Estado 24,5 276,5 248,9 338,7 934,1 1.003,7
de Administração
Secr. de Est. de Cultura e Esporte 12,7 55,7 455,5 49,9 33,8 48,1
Serc. de Est. de Educação 978,7 1.407,6 1.006,5 1.912,7 1.682,6 1.937,7
Secretaria de Est de Fazenda 486,8 509,8 533,8 573,9 350,5 190,2
Secr. de Est. Segurança Pública 1.074,4 1.249,4 1.294,8 1.462,1 840,3 790,7
[B] MEDIANA
A média é uma medida sensível aos valores extremos do conjunto. No exercício 2, na letra b, o número 10000 fez a média aumentar;
enquanto o valor 0,0001 da letra c fez a média diminuir. Quando o conjunto possui um valor que destoa dos demais, a média é afetada
por este valor. Nestes casos, a mediana é o melhor número para representar o conjunto.

No cálculo da mediana , os dados devem estar em ordem crescente e com todos os valores repetidos também incluídos,
individualmente, na lista ordenada. A mediana é o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas metades, com
metade dos valores acima da mediana e a metade abaixo dela.
13

Quando a quantidade de valores é ímpar, a mediana é o valor que ocupa a posição central. Quando a quantidade de valores é par,

há duas posições centrais na lista ordenada; então a mediana é a média aritmética dos dois valores que ocupam as posições
centrais.
n +1
OBS: Não confundir Mediana (Md) com Posição da Mediana dada por: P(Md)=
2
Exemplos:
EXERCÍCIO 3: Calcule a mediana dos conjuntos abaixo:

a) X={1,1,1,2,2,3,4,4,4,5,5,5,5,6}

Dado Bruto Dados ordenados P(Md) Md
4,2,3,3,2 2,2,3,3,4 3 3
2,5,4 2,4,5 2 4
2,3,4,2,4 2,2,3,4,4 3 3
5,2,4,4,2,2 2,2,2,4,4,5 3,5 3

b) Y={1,1,1,2,3,4,5,5,6,6,9,10000}

c) Z={0,0001 ; 2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 9 ; 9 ,10}

4. Calcule os valores medianos de despesa, por órgão do poder executivo, do período de 1995 a 2000.

2.2. UM NÚMERO PARA MOSTRAR A VARIABILIDADE DOS DADOS:
as chamadas medidas de dispersão

Poder Executivo 6.866,1 9.176,5 6.075,5 11.937,5 11.353,7 15.124,0
de Administração
Para completar a análise descritiva de um conjunto de dados, utilizamos medidas que mostram a variabilidade dos dados. Veja
um exemplo que mostra a importância desta análise:

Exemplo: Verificou-se a produção diária de dois empregados, A e B, segundo o nº de peças produzidas:
A: 70 , 69, 70, 70, 71 B: 65, 68, 72, 75, 74

Na sua opinião, qual dos dois empregados merece uma gratificação?

14

Vejamos:

Média de A = 70 e AT de A = MAX-MIN=71-69=2
Média B = 71 e AT de B=MAX-MIN=75-65=10

O empregado B produz, em média, uma peça a mais do que o empregado A. Entretanto, a produção diária do empregado
B varia em 10 peças enquanto que a do empregado A varia de 2 peças.

Existem várias medidas que indicam e medem a variabilidade/dispersão de um conjunto de dados. As principais são a Amplitude
total (AT) e o desvio-padrão (DP):

[C] AMPLITUDE TOTAL: É a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.

AT = MAX – MIN

[D] DESVIO-PADRÃO. É a raiz quadrada da variância. A variância é calculada com todos os elementos do conjunto de dados. No
cálculo da variância, calcula-se primeiro o quadrado da diferença entre cada valor e a média aritmética destes mesmos valores.

Definição: Seja o conjunto X com n observações: X={x1 , x2 , x3 , ..., xn}. A variância deste conjunto, com relação à média,
é:

DP=√ VAR

EXERCÍCIO 5: Calcule a amplitude total e o desvio-padrão dos dados dos conjuntos abaixo:
a) X={1,1,1,2,2,3,4,4,4,5,5,5,5,6}
b) Y={1,1,1,2,3,4,5,5,6,6,9,10000}
c) Z={0,0001 ; 2 ; 3 ; 3 ; 5 ; 9 ; 9 ,10}

( x 1 − XEXERCÍCIO−6: Com base ( x n resultados ∑ ( x i − X )
) 2 + ( x 2 X ) 2 + ... + nos − X ) 2 de quatro provas, classifique as pessoas A e B usando as estatísticas descritivas:
2

VAR = =
n n
Prova A B
1 5,0 4,0
2 4,0 6,0
3 6,0 3,0
4 5,0 7,0
Soma 20,0 20,0

EXERCÍCIO 7: Utilizando os dados do exercício anterior, o que aconteceria com a média se as provas tivessem pesos diferentes
na nota final? Por exemplo:

prova 1: peso 3

prova 2: peso 2

prova 3: peso 4

prova 4: peso 1.

15

EXERCÍCIO 8: Com os indicadores de finanças públicas do quadro abaixo, calcule as medidas-resumo da Região Metropolitana

do Rio de Janeiro, para cada indicador, completando o quadro apresentado a seguir:

Municípios Receita corrente Comprometimento da ISS (R$ 103)
da Região Metropolitana líquida per capita (R$ RCL com pessoal
do Rio de Janeiro 103)
Rio de Janeiro 3.734.019,3 27,5 795.346,11
Belford Roxo 93.547,9 44,4 4.396,75
Duque de Caxias 264.616,4 34,4 22.492,39
Guapimirim 13.462,2 45,9 336,56
Itaboraí 46.352,3 57,3 1.529,62
Itaguaí 43.451,0 48,7 4.692,70
Japeri 11.081,3 75,7 509,74
Magé 42.486,0 54,1 1.656,95
Mangaratiba 25.324,8 50,5 4.431,84
Maricá 26.355,3 31,7 685,24
Nilópolis 30.622,8 55,4 979,93
Niterói 220.170,3 11,8 23.778,39
Nova Iguaçu 183.911,4 34,0 13.977,27
Paracambi 10.715,1 60,5 1.500,12
Queimados 27.232,1 36,2 762,50
São Gonçalo 149.708,1 25,2 10.629,27
São João de Meriti 88.279,6 42,0 5.473,34
Seropédica 21.956,0 35,1 395,21
Tanguá 9.928,8 66,5 168,79

Medidas-Resumo
Municípios Receita corrente Comprometimento da ISS / RCL
da Região Metropolitana líquida per capita (R$) RCL (%)
do Rio de Janeiro com pessoal (%)
Média
Mediana
Mínimo
Máximo
Amplitude Total
Desvio-padrão

3. ANALISANDO UMA SÉRIE TEMPORAL: O NÚMERO ÍNDICE
O número índice é uma medida estatística idealizada para mostrar as variações de uma variável, ou de um grupo de variáveis,
correlacionadas ao tempo, à localização geográfica, ou a outras características. Uma coleção de números índices de diversos
anos, por exemplo, é freqüentemente denominada série de índices.

O número índice é utilizado para comparar fenômenos quantificáveis em localidades diferentes ou ao longo do tempo.

Exemplos de número-índices: Índices de salário, de produção, de desemprego, de custo de vida e muitos outros. No Brasil, os
índices de preços mais conhecidos são o Índice Geral de Preços (IGP), calculado pela Fundação Getúlio Vargas, o Índice
Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), calculado pelo IBGE e o Índice de Custo de Vida (ICV), calculado pela FIPE.

OBS: Vamos tratar principalmente, dos números índices que mostrem as alterações em relação ao tempo, embora os métodos
possam ser aplicados a outros casos.

16

Uma vez definida a base, todos os valores da série terão como referência de comparação à base definida. Vejamos agora a

forma de expressar um número índice e seus componentes.

Definição: Seja Vi os valores de uma série, i = 1, 2, ..., n. Seja I o índice que se deseja criar para representar os valores da série.
Seja Vb o valor da série no período definido como base. Cada valor do índice será
Vi V
construído da seguinte forma: Ii /b = ou I i / b = i *100 que se lê: índice do período i na base b.
Vb Vb
Exemplo: Admita que os preços, para o consumidor, de um litro de leite, nos anos de 1975 e 1980, foram 25 e 30 cruzeiros,
respectivamente. Tomando-se 1975 como ano base, tem-se que o preço relativo do litro de leite em 1980, relativo ao ano base
de 1975 é:

p1980 30
preço relativo = p1980 / 1975 = = = 1.2 = 120
p1975 25

Significa que em 1980 o preço do leite foi 20% superior ao de 1975.

PERÍODO BASE:

A base de comparação de preços relativos ao longo do tempo será sempre um particular momento. Pode ser o preço de um
único dia, a média ao longo de um mês, ou ainda, a média ao longo de um ano. Tem-se que o preço relativo de um certo
período, referido a ele mesmo é sempre 100% ou 100. Assim, adota-se a notação que consiste em escrever o período base
com valor igual a 100, por exemplo, 1975=100.

EXERCÍCIOS:

9. Os preços médios, no varejo, de uma produção, por unidade, durante os anos de 1983 a 1988, estão apresentados na
tabela abaixo.

a) Adotado o ano de 1983 como base, determinar os preços relativos correspondentes aos anos de 1986 e 1988.

b) Adotado o ano de 1986 como base, determinar os preços relativos correspondentes a todos os anos dados.

c) Adotado o período de 1983 a 1985 como base, determinar os preços relativos correspondentes a todos os anos
dados.

10. Considerando 1995 como base, calcule o índice de despesas, por órgão.

Poder Executivo 6.866,1 9.176,5 6.075,5 11.937,5 11.353,7 15.124,0
de Administração

Município Despesas realizadas, por funções de governo (1.000 R$)
Total Legislativa Administração Educação Habitação Saúde e Outras
e Planejamento e Cultura e Urbanismo Saneamento
Rio de Janeiro 4.221.794 193.000 1.172.058 1.010.702 474.662 812.348 559.024
Niterói 219.368 19.133 62.052 46.118 29.507 32.878 29.680
São Gonçalo 151.312 9.112 27.669 41.109 27.141 19.653 26.628
Italva 7.673 520 318 1.977 - 1.434 3.424
Petrópolis 119.393 5.132 27.648 34.692 16.592 20.828 14.501
Volta Redonda 167.965 7.363 55.293 52.743 17.554 18.987 16.025
Fonte: Tribunal de Contas do Estado do Rio de Janeiro – TCE. 1999

17


4. BIBLIOGRAFIA
Crespo, A . A .. Matemática Comercial e Financeira Fácil. SP Editora Saraiva, 2001.
,

Silveira, J.F. P Texto sobre percentagem. Internet http://athena.mat.ufrgs.br.
.

Toledo. Estatística Básica. SP Atlas.
,

Lopes, P A. Probabilidade e Estatística. RJ. Reichmann & Afonso Editores , 1999.
.

5. GLOSSÁRIO
AMPLITUDE TOTAL: é a diferença entre o menor e o maior valor de um conjunto de dados.

DESVIO-PADRÃO: É a raiz quadrada da variância.
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: As grandezas y e x são diretamente proporcionais se y e x são expressos por uma
função do tipo y = k .x onde k é um número real constante, diferente de zero.
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: As grandezas y e x são diretamente proporcionais se y e x são expressos por
uma função do tipo y = k .(1/x) onde k é um número real constante, diferente de zero.
MÉDIA ARITMÉTICA: é um valor que, levando em conta todos os elementos do conjunto, pode representar ou
resumir a todos, sem alterar determinada característica desse conjunto.
MEDIANA: é o valor que divide o conjunto de dados ordenados em duas metades, com metade dos valores acima da
mediana e a metade abaixo dela.
NÚMERO-ÍNDICE: é um número que representa os valores da série com relação a uma período/item definido como
base.
PERCENTAGEM: É o valor que, divido sobre o principal, resulta na taxa percentual.
PONTO PERCENTUAI: É a variação de duas taxas percentuais.
PROPORÇÃO: Dados quatro números diferentes de zero a,b,c e d, dizemos que eles formam uma proporção quando
a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual a razão entre os dois últimos (c e d).
RAZÃO: A razão do número a para o número b (diferente de zero), é o quociente de a por b.
REGRA DE TRÊS: São os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma
ou mais grandezas.
VARIÂNCIA: é uma medida que leva em conta a distância entre os pontos de um conjunto e o seu valor médio, ao
quadrado.

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