1. Teoria da Decisão
Exercício 7 – Enunciado
Utilidade e Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
Uma empresa de construção civil tem a possibilidade de concorrer a duas grandes obras A e B. Dadas as
limitações do departamento de obras, a empresa poderá apenas executar uma das obras.
O director de projecto estima que para concorrer à obra A gastará 15 000 € em estudos e projecto
enquanto que para concorrer a B o custo será de 25 000 €. Os lucros líquidos (já com o custo do
projecto) estimados para as obras A e B são de 150 000 e 250 000 €, respectivamente. Uma vez ganha
uma obra a empresa pode ainda desistir mediante o pagamento de uma multa de 30 000 €. A empresa
desconhece as probabilidades associadas a ganhar as obras tendo resolvido, neste caso, atribuir 25% à
probabilidade de ganhar.
a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.
b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada
um dos concursos. A informação custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram
70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso para a empresa comprar a informação
adicional.
c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da
maximização do valor esperado da utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a
representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o resultado obtido na alínea a).
1
(Continua)

2. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 7 – Enunciado (Continuação)
Gestão e Teoria da Decisão
Curva de Utilidade
U(LL) = 1 + 0.16×10-3 LL se LL < -25000 euros
U(LL) = -2 + 0.04×10-3 LL se LL ≥ -25000 euros
2

3. Teoria da Decisão
Exercício 7 – Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
Decisões sequenciais: Árvores de Decisão
Representação de problemas de decisão sequenciais, descrevendo a sequência de
momentos de decisão ( ) e de acaso ( ), que permitem identificar cadeias de decisões
optimizadas (ao longo do tempo)
Resumo dos passos
1. Representam-se em árvore as possíveis sequências de escolhas do decisor e do acaso
(trajectórias de alternativas)
2. Calculam-se os resultados relativos às “pontas” da árvore (nós terminais)
3. “Probabilizam-se” os ramos dos nós de acaso a fim de poder associar-se a cada nó um
valor de síntese (em geral, o valor esperado)
4. Escolhem-se nos nós de decisão os ramos com melhor resultado, iniciando essas
escolhas nos nós de decisão mais profundos da árvores e recuando progressivamente até
3
atingir o nó de decisão inicial (correspondente ao instante actual)

4. Teoria da Decisão
Exercício 7 – Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema
4

5. Teoria da Decisão
Exercício 7 – Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.
Gestão e Teoria da Decisão
Árvore de decisão: Passo 1
Legenda
- Nó de decisão
- Nó de acaso
- Nó terminal
5

6. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 7 – Resolução
a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.
Gestão e Teoria da Decisão
Árvore de decisão: Passos 2 e 3
95000 (150000-25000-30000)
Resultados
Probabilidades
0.0625
205000 (250000-15000-30000)
0.1875
0.1875
0.5625
0.25
0.75
0.25
0.75
0
125000
(150000-25000)
235000
(250000-15000)
-40000
(-15000-25000)
150000
(150000)
-15000
(-15000)
250000
(250000)
-25000
(-25000)
6

7. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 7 – Resolução
a) Diga a que deve concorrer a empresa se pretender maximizar o lucro esperado da sua decisão.
Gestão e Teoria da Decisão
Árvore de decisão: Passo 4
X
Resultados
Probabilidades
95000
0.0625
205000
205000
57812.5
0.1875
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.0625*205000+
+0.1875*125000+
+0.1875*235000+
+0.5625*(-40000))
0.1875
0.5625
57812.5
26250
max(57812.5, 26250, 43750, 0)
0.25
max(95000,205000)
235000
-40000
X
Decisão alternativa
não optimal
150000
X
0.75
V.E.=( 0.25*150000+0.75*(-15000))
X
0.25
43750
0.75
V.E.=( 0.25*250000+0.75*(-25000))
125000
X
0
-15000
250000
-25000
Resposta: Concorrer a A
e B e, no caso de ganhar
A e B, escolher B. 7

8. Teoria da Decisão
Exercício 7 – Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada um dos concursos. A informação
custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram 70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso
para a empresa comprar a informação adicional.
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema
Custo da informação adicional: 2500€
8

9. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 7 – Resolução
Gestão e Teoria da Decisão
b) A empresa decidiu comprar informação adicional sobre as probabilidades associadas a ganhar cada um dos concursos. A informação
custou 2 500 € e as probabilidades fornecidas para ganhar A e B foram 70% e 50% respectivamente. Diga (explicando) se foi vantajoso
para a empresa comprar a informação adicional.
95000
X
Árvore de decisão: Passos 3 e 4
Resultados
Probabilidades
0.35
205000
205000
144750
0.35
0.15
0.15
144750
100500
0.70
125000
235000
-40000
150000
X
0.30
X
0.50
112500
0.50
X
0
-15000
250000
-25000
Resposta: Mantém-se a
decisão
óptima
de
Concorrer a A e B, pelo que
o valor da informação
adicional
é
0,
não
justificando, assim, o custo
9
de 2500€.

10. Teoria da Decisão
Exercício 7 – Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da maximização do valor esperado da
utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o
resultado obtido na alínea a).
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema
Função de Utilidade
U(LL) = 1 + 0.16×10-3 LL se LL < -25000 euros
U(LL) = -2 + 0.04×10-3 LL se LL ≥ -25000 euros

11. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 7 – Resolução
Gestão e Teoria da Decisão
c) Responda de novo à alínea a) utilizando como critério de escolha das decisões óptimas o da maximização do valor esperado da
utilidade. A curva de utilidade do director da empresa é a representada no gráfico seguinte. Compare o resultado agora obtido com o
resultado obtido na alínea a).
1,8 (U(95000))
Árvore de decisão: Passos 2,3 e 4
Resultados
Probabilidades
0.0625
6.2
6.2 (U(205000))
-0.7
X
max(1.8, 6.2)
0.1875
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.0625*6.2+0.1875*3+
+0.1875*7.4+0.5625*(-5.4))
0.1875
0.5625
-0.25
max(-0.7, -0.95,-0.25,-2)
X
-0.95
0.25
0.75
3
(U(125000))
7.4 (U(235000))
-5.4 (U(-40000))
4
(U(150000))
-2.6 (U(-15000))
V.E.=( 0.25*4+0.75*(-2.6))
0.25
-0.25
0.75
V.E.=( 0.25*8+0.75*(-3))
X
-2 (U(0))
8
(U(250000))
-3
(U(-25000))
Resposta: Concorrer só a B.
(Prejuízos
superiores
a
25000€ mais penalizados
pela função de utilidade).
11

12. Teoria da Decisão
Utilidade e Decisões sequenciais
Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 10 – Enunciado
Marcelino França acaba de receber em herança de um avô excêntrico: uma casa (no valor de 100 000 €)
e 100 000 € em dinheiro com a condição de, ao fim de 2 anos, doar essa quantia à Fundação Avelar
Esteves. Se, ao fim dos 2 anos, o Marcelino possuir menos de 100 000 € em dinheiro será obrigado a
vender a casa para cumprir o testamento.
O Marcelino está a pensar investir os 100 000 € que recebeu em dinheiro, estando, no entanto, indeciso
entre os dois investimentos seguintes.
I - Investir os 100 000 € em acções que só podem ser vendidas ao fim de dois anos. O valor final das
acções é função da sua taxa de valorização anual, pensando-se que o valor dessa taxa no 2º ano é
independente do valor da taxa no 1º ano e que esta pode tomar em qualquer dos anos, os valores:
Taxa de valorização anual
(%)
Probabilidade
30
0.3
20
0.6
-10
0.1
II - Investir os 100 000 € num depósito bancário com prazo de dois anos, com um juro fixo de 10%.
Ao fim de um ano, os juros podem ser investidos num depósito bancário de um ano com um juro
também de 10% ou investidos, por um ano, em acções cujas taxas de valorização se pensa serem as
12
(Continua)
indicadas acima.

13. Teoria da Decisão
Exercício 10 – Enunciado (Continuação)
Utilidade e Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu
capital ao fim de dois anos.
b) Admita agora que o Marcelino França atribuiu um grande valor sentimental à casa que o avô lhe
deixou e que portanto considera catastróficos os resultados de investimentos que obriguem à venda da
casa. Por outro lado, o Marcelino associa a resultados de investimentos que não acarretem a venda da
casa um valor proporcional ao seu excesso em relação a 100 000 €.
b1) Trace o andamento aproximado de uma curva de utilidade que corresponda à atitude do Marcelino
França.
b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França?
Qual o critério de decisão que utilizou para fazer a sua recomendação ?
b3) Qual a vantagem do critério de decisão utilizado em b2) em relação ao utilizado na alínea a) ?
13

14. Teoria da Decisão
Exercício 10 – Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema
14

15. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 10 - Resolução
a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.
Gestão e Teoria da Decisão
Árvore de decisão: Passo 1
Ano 1
Ano 2
Legenda
- Nó de decisão
- Nó de acaso
- Nó terminal
TAB=10%
TAB=10%
15

16. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 10 - Resolução
a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.
Gestão e Teoria da Decisão
Árvore de decisão: Passos 2 e 3
169000
(100000×(1+0.3) ×(1+0.3))
156000
(100000×(1+0.3) ×(1+0.2))
0.1
117000
(100000×(1+0.3) ×(1-01))
0.3
156000
(100000×(1+0.2) ×(1+0.3))
144000
(100000×(1+0.2) ×(1+0.2))
108000
(100000×(1+0.2) ×(1-0.1))
117000
(100000×(1-0.1) ×(1+0.3))
108000
(100000×(1-0.1) ×(1+0.2))
0.3
Resultados
Probabilidades
156000
0.3
144000 0.6 144000
0.6
0.6
0.1
0.1
0.3
108000
144000
0.6
0.1
0.3
122000
0.6
0.1
81000 (100000×(1-0.1) ×(1-0.1))
123000
(100000×(1+0.1) +10000×(1+0.3))
122000
(100000×(1+0.1) +10000×(1+0.2))
119000 (100000×(1+0.1) +10000×(1-0.1))
122000
Depósito bancário
121000 (100000×(1+0.1) ×(1+0.1))
16

17. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 10 - Resolução
a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.
Gestão e Teoria da Decisão
Árvore de decisão: Passo 4
0.3
Resultados
Probabilidades
156000
0.6
117000
0.3
156000
0.3
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*156000+0.6*144000+0.1*108000)
144000 0.6 144000
0.6
0.1
0.1
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*156000+0.6*144000+0.1*108000)
0.3
108000
144000
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*117000+0.6*108000+0.1*81000)
0.6
0.1
0.3
X
122000
0.6
0.1
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*123000+0.6*122000+0.1*119000)
156000
0.1
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*169000+0.6*156000+0.1*117000)
max(144000, 122000)
169000
144000
108000
117000
108000
X
Decisão alternativa
não optimal
81000
123000
122000
119000
122000
Depósito bancário
max(122000, 121000)
121000
17

18. Teoria da Decisão
Exercício 10 - Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
a) Ajude o Marcelino a seleccionar a Estratégia de investimento que maximiza o valor esperado do seu capital ao fim de dois anos.
Resposta: A Estratégia recomendada é investir em accções no 1º e 2º anos com um
rendimento esperado de 144000 €.

19. Teoria da Decisão
Exercício 10 - Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
b1) Trace o andamento aproximado de uma curva de utilidade que corresponda à atitude do Marcelino França.
-∞
19

20. Teoria da Decisão
Utilidade e Árvores de Decisão
Exercício 10 - Resolução
b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França? Qual o critério de decisão que utilizou
para fazer a sua recomendação ?
69000 (U(169000)=169 000-100 000)
0.3
Gestão e Teoria da Decisão
Árvore de decisão: Passo 2 e 4
Resultados
Probabilidades
56000
0.6
0.1
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*56000+0.6*44000+0.1*(-∞)
-∞
∞
0.6
44000
17000 (U(117000)=117 000-100 000)
0.3
0.3
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*69000+0.6*56000+0.1*17000)
56000 (U(156000)=156 000-100 000)
0.6
0.1
0.1
X
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*56000+0.6*44000+0.1*8000)
0.3
-∞
∞
max(-∞, 22000)
22000
0.6
0.1
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*17000+0.6*8000+0.1*(-∞))
0.3
22000
0.6
0.1
Valor Esperado (V.E.)=
( 0.3*23000+0.6*22000+0.1*19000)
56000 (U(156000)=156 000-100 000)
22000
Max(22000, 21000)
44000 (U(144000)=144 000-100 000)
8000 (U(108 000)=108 000-100 000)
17000 (U(117 000)=117 000-100 000)
8000 (U(108 000)=108 000-100 000)
-∞ (U(81 000)=-∞)
23000 (U(123 000)=123 000-100 000)
22000 (U(122 000)=122 000-100 000)
19000 (U(119 000)=119 000-100 000)
X
21000 (U(121 000)=121 000-100 000)
20

21. Teoria da Decisão
Exercício 10 - Resolução
Utilidade e Árvores de Decisão
Gestão e Teoria da Decisão
b2) Nestas circunstâncias, qual a estratégia de investimento que recomenda ao Marcelino França? Qual o critério de decisão que utilizou
para fazer a sua recomendação ?
Resposta: Depósito bancário no 1º e 2º anos com investimento dos juros bancários do 1º
ano em accções no 2º ano, com um rendimento líquido esperado de 22000 €.
b3) Qual a vantagem do critério de decisão utilizado em b2) em relação ao utilizado na alínea a) ?
Resposta: A função utilidade definida em b1), e utilizada em b2), molda-se, na medida do
possível, ao perfil do decisor (Marcelino), para o qual a perda da casa é completamente
inaceitável (ou totalmente avesso ao risco de perder a casa).
21