Execicios algebraa

1. Cap´ıtulo 1
Matrizes, Determinantes
1a
L i¸c˜a o (co m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ 2007
1.1 T eoria G eral d e Matrizes
Defini¸c˜ao 1. Uma matriz d e ” m” lin h as e ” n ” co lu n as ´e d ad a po r:
Am×n =







a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
· · · · · · ·
· · · · · · ·
am1 am2 am3 · · · amn







= [aij]m×n
T ip os E sp eciais d e m atrizes
Defini¸c˜ao 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m= n .
E x em p lo 1.
A3×3 =


1 −2 3
3 0 1
4 5 6


D izemo s qu e A3×3 ´e d e o rd em 3 . E m geral, se temo s u ma matriz An×n d izemo s
qu e ´e d e o rd em n , d en o tamo s po r An.
Defini¸c˜ao 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e aij = 0, ∀i = 1, 2, ..., m, ∀j = 1, 2, ..., n.
Defini¸c˜ao 4 (M a triz C o lu n a ). S e po ssu i u ma ´u n ica co lu n a, o u seja n = 1 .
E x em p lo 2 .


1
−4
3

 = A3×1
1

2. 2 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
Defini¸c˜ao 5 (M a triz L in h a ). S e m= 1 .
E x em p lo 3 .
3 0 −1 = A1×3
Defini¸c˜ao 6 (M a triz D ia g o n a l). ´E u ma matriz qu ad rad a, o n d e
aij = 0, para i = j.
E x em p lo 4 .


7 0 0
0 1 0
0 0 −1


3×3
Defini¸c˜ao 7 (M a triz Id en tid a d e). ´E d efi n id a po r aii = 1, e aij = 0, para i = j.
E x em p lo 5 .
I3 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


3×3
Defini¸c˜ao 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r). ´E u ma matriz qu ad rad a tal qu e
aij = 0, para i > j.
E x em p lo 6 .


2 −2 0
0 1 3
0 0 5


3×3
Defini¸c˜ao 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r). ´E u ma matriz qu ad rad a tal qu e
aij = 0, para i < j.
E x em p lo 7 .


2 0 0
7 1 0
−1 0 5


3×3
Defini¸c˜ao 10 (M a triz S im ´etrica ). ´E aqu ela matriz qu ad rad a qu e verifi ca
aij = aji .
E x em p lo 8 .


2 −1 1
−1 1 0
1 0 5


3×3

3. 1.1. TEORIA G ERAL DE MATRIZES 3
O p era¸c˜oes com M atrizes
Defini¸c˜ao 11 (A d i¸c˜a o o u S o m a ). D ad as A = Am×n = [aij] e B = Bm×n =
[bij], d efi n imo s a matriz so ma A + B po r A + B = [aij + bij] matriz d e o rd em
m × n.
P rop ried ad es : D a d a s a s m a trizes A , B e C d e m esm a o rd em m × n, tem o s
q u e :
(i) A + B = B + A(co m u ta tiva )
(ii) A + (B + C) = (A + B) + C(a sso cia tiva )
(iii) A + 0 = A, o n d e o ´e a m a triz n u la d e o rd em n .
Defini¸c˜ao 12 (P ro d u to o u M u tip lica ¸c˜a o p o r u m esca la r). S e A = [aij]m×n e
λ u m n ´u mero , pod emo s d efi n ir u ma n o va matriz tal qu e λ · A = [λ · aij]m×n.
P rop ried ad es D a d a s a s m a trizes A e B d a m esm a o rd em m × n e n ´u m ero s
α, β, tem o s q u e :
(i) α · (A + B) = α · A + α · B
(ii) (α + β) · A = α · A + β · A
(iii) 0 · A = 0m×n
(iv ) α · (β · A) = (α · β) · A.
Defini¸c˜ao 13 (M a triz T ra n sp o sta ). D ad a u ma matriz A = [aij]m×n , pod emo s
o bter o u tra matriz, d en o tad a po r At
= [bij]n×m , cu jas lin h as s˜ao as co lu n as d e
A , ch amad a a matriz tran spo sta d e A .
E x em p lo 9 .
A = 2 −1 4 1×3
At
=


2
−1
4


3×1
E x em p lo 10 .
A =


2 1
0 3
−1 4


3×2
At
=
2 0 −1
1 3 4 2×3
P rop ried ad es :
(i) A m a triz A ´e sim ´etrica se, e so m en te se A = At
(ii) Att
= A
(iii) (A + B)t
= At
+ Bt
(iv ) (λ · A)t
= λ · At
, o n d e λ ´e u m n ´u m ero .
Defini¸c˜ao 14 (M u ltip lica ¸c˜a o d e m a trizes). S ejam A = Am×n = [aij] e B =
Bn×p = [brs ], d efi n imo s a matriz A · B = [ck l]m×p,
o n d e ck l =
n
j= 1
ak j · bjl

4. 4 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
O b serv a¸c˜ao 1. P od emo s efetu ar o p rod u to d as matrizes A = Am×n = [aij] e B =
Bl×p = [brs ], qu an d o n = l. A matriz A · B ter´a o rd em m × p.
E x em p lo 11.
A = A3×2 =


2 1
4 2
5 3

 B = B2×2 =
1 −1
0 4
A·B =


2 1
4 2
5 3


3×2
·
1 −1
0 4 2×2
=


2 · 1 + 1 · 0 2(−1) + 1 · 4
4 · 1 + 2 · 0 4(−1) + 2 · 4
5 · 1 + 3 · 0 5(−1) + 3 · 4


3×2
=


2 2
4 4
5 7


3×2
1.2 S istemas L ineares
2a
L i¸c˜a o (co m p ro jeto r m u ltim ed ia ) 15/ 03/ 2007
Defini¸c˜ao 15 . S eja A = [aij] u ma matriz e b1, b2, ..., bn n ´u mero s. A s
equ a¸c˜o es d o tipo :
(∗)
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
s˜ao co n h ecid as co mo u m sistema d e equ a¸c˜o es lin eares d e ” m” equ a¸c˜o es e ” n ” in c´o gn itas.
O b serv a¸c˜ao 2 . Uma so lu ¸c˜ao d e (* ) ´e u ma n -u p la d e n ´u mero s (x1, x2, ..., xn) qu e
satisfa¸ca simu lt´an eamen te as ” m” equ a¸c˜o es.
O b serv a¸c˜ao 3 . S e bi = 0, ∀i = 1, 2, .., m d izemo s qu e o sistema ´e h o mogˆen eo .
O b serv a¸c˜ao 4 . O sistema d e equ a¸c˜o es:
(∗∗)
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
...................................................
...................................................
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
´e ch amad o sistema h o mogˆen eo associad o a (* ).
O b serv a¸c˜ao 5 . P od emo s escrever o sistema (* ) n a fo rma matricial:




a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
am1 am2 · · · amn



 ·







x1
x2
·
·
xm







=







b1
b2
·
·
bm







O U A · X = B

5. 1.2 . SISTEMAS LINEARES 5
o n d e
A =




a11 · · · a1n
· · · · ·
· · · · ·
am1 · · · amn



 , X =




x1
·
·
xm



 , B =




b1
·
·
bm




A ´e ch amad a a matriz d o s coefi cien tes d o sistema, X ´e a matriz d as in c´o gn itas
e B ´e a matriz d o s termo s in d epen d en tes.
Defini¸c˜ao 16 . A o sistema pod emo s associar a matriz amp liad a d o sistema ,
d ad a po r




a11 a12 · · a1n b1
a21 a22 · · a2n b2
· · · · · ·
am1 am2 · · amn bm




E x em p lo 12 . O sistema:
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 = 3x2 − 2x3 = 5
P od e ser escrito n a fo rma matricial segu in te:


1 4 3
2 5 4
1 −3 −2

 ·


x1
x2
x3

 =


1
4
5


P ara reso lver o sistema, co n sid eramo s a matriz amp liad a.


1 4 3 1
2 5 4 4
1 −3 −2 5


Usan d o o pera¸c˜o es elemen tares, a ser d efi n id as, ch egamo s a


1 0 0 3
0 1 0 −2
0 0 1 2


qu e ´e a matriz amp liad a d o sistema so lu ¸c˜ao :
x1 = 3
x2 = −2
x3 = 2

6. 6 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
Defini¸c˜ao 17 (O p era ¸c˜o es E lem en ta res). T emo s trˆes o pera¸c˜o es so bre as lin h as
d e u ma matriz.
(i) P ermu ta d a i-´esima lin h a pela j-´esima lin h a ( Li ⇔ Lj ).
(ii) M u ltip lica¸c˜ao d a i-´esima lin h a po r u m escalar n ˜ao n u lo k. (Li ⇒ k · Li).
(iii) S u bstitu i¸c˜ao d a i-´esima lin h a pela i-´esima lin h a mais k vezes a j-´esima
lin h a.(Li ⇒ Li + k · Lj).
E x em p lo 13 . L2 ⇔ L3 .


1 0
4 −1
−3 4

 ⇒


1 0
−3 4
4 −1


E x em p lo 14 . L2 ⇒ −3 · L2


1 0
4 −1
−3 4

 ⇒


1 0
−12 3
−3 4


E x em p lo 15 . L3 ⇒ L3 + 2 · L1


1 0
4 −1
−3 4

 ⇒


1 0
4 −1
−1 4


Defini¸c˜ao 18 (M a trizes E q u iva len tes). D ad as d u as matrizes d o tipo m ×
n, d izemo s qu e B ´e lin h a equ ivalen te a A , se B ´e o btid a d e A atrav´es d e
u m n ´u mero fi n ito d e o pera¸c˜o es elemen tares so bre as lin h as d e A , d en o tamo s
A ⇒ B o u A ∼ B.
Defini¸c˜ao 19 (F o rm a E sca d a ). Uma matriz m × n, ´e lin h a red u zid a `a
fo rma escad a, se verifca:
(a) O p rimeiro elemen to N ˜A O n u lo d e u ma lin h a N ˜A O n u la ´e 1 .
(b ) C ad a co lu n a qu e co n t´em o p rimeiro elemen to N ˜A O n u lod e algu ma lin h atem
tod o s o s seu s o u tro s elemen to s igu ais a zero .
(c) T od a lin h a n u la oco rre abaixo d e tod as as lin h as N ˜A O n u las (isto ´e, d aqu elas
qu e po ssu em pelo men o s u m elemen to N ˜A O n u lo ).
(d ) S e as lin h as 1 , 2 , ..., r s˜ao as lin h as n ˜ao n u las, e se o p rimeiro elemen to
N ˜A O n u lo d a lin h a i oco rre n a co lu n a ki, en t˜ao k1 < k2 < ... < kr.
T eorem a 1. T od a matriz Am×n ´e lin h a equ ivalen te a u ma ´u n ica matriz-lin h a
red u zid a `a fo rma escad a.
Defini¸c˜ao 2 0 . D ad a u ma matriz Am×n, seja Bm×n a matriz-lin h a red u zid a `a
fo rma escad a lin h a equ ivalen te a A . O po sto d e A , d en o tad o po r p , ´e o n ´u mero
d e lin h as n ˜ao n u las d e B . A n u lid ad e d e A ´e a d iferen ¸ca n - p .

7. 1.2 . SISTEMAS LINEARES 7
E x em p lo 16 . D etermin ar o po sto e a n u lid ad e d a matriz segu in te:
A =


1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1


F azemo s as segu in tes o pera¸c˜o es elemen tares:
L2 ⇒ L2 + L1 ⇒ (1/2)(L2 + L1),
L3 ⇒ L3 + (−1)L1, i. ´e.,


1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1

 ⇒


1 2 1 0
0 2 4 5
0 −4 0 1

 ⇒


1 2 1 0
0 1 2 5/2
0 −4 0 1

 = B
Na matriz resu ltan te B , efetu amo s as o pera¸c˜o es :
L1 ⇒ L1 + (−2)L2, L3 ⇒ (1/8)L3,
L1 ⇒ L1 + 3 · L3, L2 ⇒ L2 + (−2) · L3


1 2 1 0
0 1 2 5/2
0 −4 0 1

 ⇒


1 0 −3 −5
0 1 2 5/2
0 0 8 11

 ⇒


1 0 −3 −5
0 1 2 5/2
0 0 1 11/8


⇒


1 0 0 −7/80
0 1 0 −1/4
0 0 1 11/8


O po sto d e A ´e 3 e a n u lid ad e d e A , ´e 4 -3 = 1 .
E x em p lo 17 (S o lu ¸c˜a o d e u m sistem a d e E q u a ¸c˜o es L in ea res). C alcu le a so lu ¸c˜ao
d o sistema
2x1 + x2 = 5
x1 − 3x2 = 6
A matriz amp liad a d o sistema ´e
2 1 5
1 −3 6
T ran sfo rman d o a matriz `a fo rma escad a, tem-se
1 0 3
0 1 −1
qu e ´e a matriz amp liad a d o sistema equ ivalen te ao sistema in icial, i. ´e.,
x1 = 3
x2 = −1

8. 8 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 18 . D etermin ar a so lu ¸c˜ao d o sistema.
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 15
A matriz amp liad a associad a ao sistema ´e
2 1 5
6 3 15
⇒
1 1/2 5/2
0 0 0
O qu al equ ivale,
x1 + (1/2)x2 = 5/2
0x1 + 0x2 = 0
T emo s qu e x1 = 5/2 − (1/2)x2 , fazen d o x2 = λ , resu lta qu e a so lu ¸c˜ao
pod e ser escrita n a fo rma (x1, x2) = ( 5/2 − (1/2)λ, λ ) = ( 5/2, 0 ) +
λ( −1/2, 1 ) . P o rtan to este sistema ad mite in fi n itas so lu ¸c˜o es.
O bservar qu e a matriz tem po sto 1 , e a n u lid ad e d a matriz ´e 2 -1 = 1 .
E x em p lo 19 . A n alisar a existˆen cia d e so lu ¸c˜o es para o sistema
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 = 10
A matriz amp liad a associad a ao sistema ´e
2 1 5
6 3 10
⇒
1 1/2 0
0 0 1
O qu al equ ivale,
x1 + (1/2)x2 = 0
0x1 + 0x2 = 1
C o mo N ˜A O existe n en h u m valo r d e x1 e x2 satisfazen d o a segu n d a equ a¸c˜ao ,
d izemo s qu e o sistema ´e in co mpat´ıvel. O bservar qu e a matriz d o sistema in icial
tem po sto e o po sto d e su a matriz amp liad a ´e 2 .
C aso G eral. D a d o o sistem a d e m eq u a ¸c˜o es lin ea res co m n in c´o g n ita s



a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
· · · · · ·
· · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bn
A p resen ta -se trˆes ca so s:
(i) E x iste u m a ´u n ica so lu ¸c˜a o , d izem o s q u e o sistem a ´e co m p a t´ıv el.
(ii) E x istem in fi n ita s so lu ¸c˜o es, i,´e., o sistem a ´e in d eterm in a d o .
(iii) N˜A O ex iste so lu ¸c˜a o , d izem o s q u e o sistem a ´e in co m p a t´ıv el.
D en o ta n d o p o r A = [aij]m×n a m a triz a sso cia d a a o sistem a e p o r Aa , a
m a triz a m p lia d a a sso cia d a a o sistem a , tem o s o seg u in te resu lta d o .

9. 1.3 . DETERMINANTES 9
T eorem a 2 . T emo s o s segu in tes items.
(i) O sistema tem so lu ¸c˜ao ⇔ po sto d e A = po sto d e Aa .
(ii) S e o po sto d e A = po sto d e Aa = p = n , en t˜ao a so lu ¸c˜ao ser´a ´u n ica.
(iii) S e o po sto d e A = po sto d e Aa = p < n , en t˜ao pod emo s esco lh er n -p
in c´o gn itas, e as o u tras p in c´o gn itas ser˜ao d ad as em fu n ¸c˜ao d estas.
O b serv a¸c˜ao 6 . No caso (iii), d izemo s qu e o grau d e liberd ad e d o sistema ´e
n -p .
E x em p lo 2 0 . S e co n sid eramo s a matriz:
Aa =


1 0 0 3
0 1 0 −2
0 0 1 2


T emo s qu e, m= 3 , n = 3 e p = 3 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 3 . L ogo ,
o sistema associad o tem so lu ¸c˜ao ´u n ica d ad a po r x1 = 3, x2 = −2, x3 = 2.
E x em p lo 2 1. S eja
Aa =
1 0 7 −10
0 1 5 −6
T em-se qu e m= 2 , n = 3 e p = 2 . P o sto d e A = P o sto d a matriz amp liad a= 2 , o
grau d e liberd ad e ´e 1 , pod emo s esco lh er u ma in c´o gn ita e as o u tras d u as ser˜ao
d ad as em fu n ¸c˜ao d a p rimeira, i.´e., x1 = −10 − 7x3, x2 = −6 − 5x3 .
E x em p lo 2 2 . C o n sid eramo s
Aa =


1 0 7 −10
0 1 5 −6
0 0 0 2


m= n = 3 , po sto d e A = 2 , po sto d a matriz amp liad a= 3 , po rtan to o sistema ´e in -
co mpat´ıvel o u seja N ˜A O tem so lu ¸c˜ao .
1.3 Determinantes
3a
L i¸c˜a o (20/ 03/ 2007)
S eja A =
a b
c d
m a triz d e o rd em 2 × 2, o n d e a, b, c e d ∈ .
D efi n im o s seu d eterm in a n te co m o o n ´u m ero ad − bc , d en o ta m o s
|A| = D et(A) =
a b
c d
= ad − bc.

10. 10 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 2 3 . D ad a A =
2 1
1 4
, tem-se qu e
|A| =
2 1
1 4
= 2 · 4 − 1 · 1 = 7.
S e co n sid era m o s u m a m a triz d e o rd em 3 d a fo rm a
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


D efi n im o s o d eterm in a n te (u sa n d o a p rim eira lin h a ) co m o o n ´u m ero
|A| = a11 ·
a22 a23
a32 a33
− a12 ·
a21 a23
a31 a33
+ a13 ·
a21 a22
a31 a32
=
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= D et(A)
T a m b ´em p o d e ser escrito n a fo rm a
D et(A) = a11 · D et(A11) = a12 · D et(A12) + a13 · D et(A13)
S e u sa m o s a seg u n d a lin h a , tem o s :
|A| = −a21 ·
a12 a13
a32 a33
+ a22 ·
a11 a13
a31 a33
− a23 ·
a11 a12
a31 a32
=
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= D et(A)
o u
D et(A) = −a21 · D et(A21) + a22 · D et(A22) − a23 · D et(A23)
O b serv a¸c˜ao 7 . P ara calcu lar o d etermin an te d e u ma matriz pod emo s u sar
qu alqu er lin h a o u co lu n a.
C aso G eral : C o n sid era m o s A m a triz q u a d ra d a d e o rd em n , e seja
A = [aij]n×n, e Aij a su b m a triz q u a d ra d a d e o rd em (n -1), o b tid a d e A retira n d o -
se a i-´esim a lin h a e a j-´esim a co lu n a , ch a m a d a co m p lem en to a lg´eb rico d o ele-
m en to aij .
D efi n im o s o d eterm in a n te d a m a triz A , seg u n d o a lin h a i, p o r :
D et(A) = |A| = (−1)i+1
· ai1D et(Ai1) + · · · + (−1)i+n
· ainD et(Ain)

11. 1.4 . INV ERS ˜AO DE MATRIZES 11
P rop ried ad es
(a) S e o s elem en to s d e u m a lin h a (o u co lu n a )d e u m a m a triz s˜a o to d o s zero s,
en t˜a o D et(A) = 0 .
(b ) S e tro ca m o s d e p o si¸c˜a o d u a s lin h a s, o d eterm in a n te tro ca d e sin a l.
(c) S e m u ltip lica m o s u m a lin h a d a m a triz p o r u m a co n sta n te, o d eterm in a n te
´e m u ltip lica d o p o r esta co n sta n te.
(d ) O d eterm in a n te d e u m a m a triz q u e tem d u a s lin h a s (co lu n a s) ig u a is ´e zero .
(e) O d eterm in a N˜A O m u d a se so m a m o s a u m a lin h a o u tra lin h a m u ltip lica d a
p o r u m a co n sta n te.
(f) D et(A · B) = D et(A) · D et(B) .
(g ) D et(A) = D et(At
) .
1.4 Inv ers˜ao d e Matrizes
4a
L i¸c˜a o (22/ 03/ 2007)
D a d a u m a m a triz d o tip o
A =
a b
c d
S e D et(A) = ad − bc = 0, d eseja m o s a ch a r u m a m a triz in v ersa d e A , isto ´e,
q u erem o s d eterm in a r u m a m a triz X d e o rd em 2, ta l q u e
A · X = X · A = I2
C a lcu la n d o o p ro d u to , tem o s q u e:
a b
c d
·
x y
z w
=
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
=
1 0
0 1
R eso lv en d o a p rim eira co lu n a , ca lcu la m o s x e z, e e reso lv en d o a seg u n d a co lu n a
a ch a m o s y e w .
E x em p lo 2 4 . A ch ar a matriz A d e o rd em 2 tal qu e A · X = I2 , o n d e
A =
2 1
4 3
D evemo s reso lver o s sistemas segu in tes:
2x + z = 1
4x + 3z = 0
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usan d o a teo ria d as equ a¸c˜o es lin eares, ach amo s : x= 1 , z= -1 , y= -1 / 2 , w = 1 .
Defini¸c˜ao 2 1. D ad a u ma matriz qu ad rad a d e o rd em n , ch amamo s d e in versa
d e A a u ma matriz B tal qu e A · B = B · A = In . Nesta caso , d en o tamo s
B = A−1
e d izemo s qu e A ´e u ma matriz in vers´ıvel.

12. 12 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
O b serv a¸c˜ao 8 . S e existe a in versa, ela ´e ´u n ica.
O b serv a¸c˜ao 9 . S e A e B s˜ao matrizes in vers´ıveis, en t˜ao A · B ´e in vers´ıvel e
(A · B)−1
= B−1
· A−1
.
O b serv a¸c˜ao 10 . Nem tod a matriz tem in versa.
O b serv a¸c˜ao 11. S e A ´e in vers´ıvel, en t˜ao D et(A−1
) = (D et(A))−1
.
T eorem a 3 . Uma matriz qu ad rad a ´e in vers´ıvel, se e so men te se, D et(A) = 0 .
Neste caso ,
A−1
= [bij]t
n×n, o n d e bij =
(−1)i+j
D et(Aij)
D et(A)
O b serv a¸c˜ao 12 . S e d efi n imo s a matriz ad ju n ta d e A , d en o tad a po r A d j A ,
co mo a matriz tran spo sta d o s co fato res d e A , temo s qu e:
A−1
=
1
D et(A)
· (AdjA) .
E x em p lo 2 5 . C o n sid eramo s a matriz
A =
6 2
11 4
temo s qu e D et(A) = 4 · 6 − 2 · 11 = 2 = 0, logo existe a matriz in versa d e A .
P rimeiro calcu lamo s a matriz d o s co fato res d e A , i ´e.,
6 −11
−2 4
logo a tran spo sta d esta matriz, o u seja,
AdjA =
4 −2
−11 6
P o rtan to , A−1
=
1
2
4 −2
−11 6
=
2 −1
−11/2 3
R E G R A DE C AM E R
C o n sid era m o s o sistem a d e n -eq u a ¸c˜o es e n -in c´o g n ita s.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.......................................................
.......................................................
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

13. 1.4 . INV ERS ˜AO DE MATRIZES 13
P o d em o s escrev er n a fo rm a m a tricia l




a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann



 ·







x1
x2
·
·
xn







=







b1
b2
·
·
bn







O U A · X = B
S e D et(A) = 0 , en t˜a o A−1
ex iste e A−1
· (A · X) = A−1
· B
⇔ (A−1
· A) · X = In · X = A−1
· B ⇔ X = A−1
· B .
Na fo rm a m a tricia l







x1
x2
·
·
xn







=




a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann




−1
·







b1
b2
·
·
bn







U sa n d o a f´o rm u la d a m a triz in v ersa , tem -se q u e:







x1
x2
·
·
xn







=
1
D et(A)
·




∆11 ∆12 · · · ∆1n
∆21 ∆22 · · · ∆2n
· · · · · ·
∆n1 ∆n2 · · · ∆nn



 ·







b1
b2
·
·
bn







o n d e ∆ij ´e o d eterm in a n te d a su b -m a triz d e o rd em (n -1), co rresp o n d en te a
aij .E n t˜a o
x1 =
b1 · ∆11 + ·... · +bn · ∆n1
D et(A)
O U
x1 =
b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
· · · · · ·
bn an2 · · · ann
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann
E m fo rm a g era l xi =
a11 a12 · b1 · a1n
a21 a22 · b2 · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · bn · ann
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · ·
an1 an2 · · · ann
i=1,2, ..., n .
E x em p lo 2 6 . D ad o o sistema d e 3 equ a¸c˜o es e 3 in c´o gn itas:



2x − 3y + 7z − 1
x + 3z = 5
2y − z = 0

14. 14 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
resu lta qu e
D et


2 −3 7
1 0 3
0 2 −1

 = −1 = 0
L ogo , pod emo s u sar a regra d e C ramer, i. ´e.,
x =
1 −3 7
5 0 3
0 2 −1
−1
= −49, y =
2 1 7
1 5 3
0 0 −1
−1
= 9, z =
2 −3 1
1 0 5
0 2 0
−1
= 18.
M AT R IZ E S E L E M E N T AR E S .
P a ra ca lcu la r a in v ersa d e u m a m a triz, p recisa m o s d e u m n ´u m ero g ra n d e d e
o p era ¸c˜o es. O p ro cesso en v o lv e a in tro d u ¸c˜a o d e m a trizes elem en ta res.
E x em p lo 2 7 . D ad a a matriz
A =


1 2 4
0 1 3
2 1 −4


M u ltip licamo s a p rimeira lin h a (L1) , po r 2 e o btemo s


2 4 8
0 1 3
2 1 −4


qu e ´e igu al ao p rod u to


2 0 8
0 1 0
0 0 1

 ·


1 2 4
0 1 3
2 1 −4


.
E x em p lo 2 8 . D ad a a matriz
A =


1 2 4
0 1 3
2 1 −4


S e permu tamo s a p rimeira e su n d a lin h a d a matriz A , tem-se


0 1 3
1 2 4
2 1 −4



15. 1.4 . INV ERS ˜AO DE MATRIZES 15
Q u e resu lta ser o p rod u to


0 1 8
1 0 0
0 0 1

 ·


1 2 4
0 1 3
2 1 −4


E x em p lo 2 9 . D ad a a matriz
A =


1 2 4
0 1 3
2 1 −4


S e so mamo s `a p rimeira lin h a d e A a segu n d a lin h a mu ltip licad a po r 2 , o btemo s


1 4 10
0 1 3
2 1 −4


qu e ´e o p rod u to


1 2 8
0 1 0
0 0 1

 ·


1 2 4
0 1 3
2 1 −4


Defini¸c˜ao 2 2 . Uma matriz elemen tar ´e u ma matriz o btid a atrav´es d a ap lica¸c˜ao
d e u ma o pera¸c˜ao elemen tar co m lin h as n a matriz id en tid ad e.
T eorem a 4 . S e A ´e u ma matriz, resu ltad o d e algu ma o pera¸c˜ao co m lin h as d e
A , ´e igu al ao p rod u to d a matriz elemen tar co rrespo n d en te co m a matriz A .
C orol´ario 1. Uma matriz elemen tar E1 ´e in vers´ıvel e su a in versa ´e a matriz
elemen tar E2 qu e co rrespo n d e `a o pera¸c˜ao co m lin h as in versa d a o pera¸c˜ao
efetu ad a po r E1 .
T eorem a 5 . S e A ´e in vers´ıvel, su a matriz lin h a red u zid a a fo rma escad a ´e
a id en tid ad e. T amb´em, temo s qu e A ´e d ad a po r u m p rod u to d e matrizes ele-
men tares.
T eorem a 6 . S e A pod e ser red u zid a `a matriz id en tid ad e, po r u ma seq” u ˆen cia
d e o pera¸c˜o es elemen tares co m lin h as, en t˜ao A ´e in vers´ıvel e a matriz in versa d e
A ´e o btid a co mo u m p rod u to d e matrizes elemen tares.
E x em p lo 3 0 . S eja
A =




2 1 0 0
1 0 −1 1
0 1 1 1
−1 0 0 3





16. 16 CAP´ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
J u n to `a matriz A co locamo s a matriz id en tid ad e, a id´eia ´e tran sfo rmar a matriz
A n a id en tid ad e.




2 1 0 0 1 0 0 0
1 0 −1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0
−1 0 0 3 0 0 0 1




T rocamo s a p rimeira e segu n d a lin h a,




1 0 −1 1 0 1 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0
−1 0 0 3 0 0 0 1




S o mamo s `a qu arta a p rimeira




1 0 −1 1 0 1 0 0
2 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0
1 + 0 0 0 − 1 3 + 1 0 0 + 1 0 1




S o mamo s `a segu n d a, a p rimeira mu ltip licad a po r -2




1 0 −1 1 0 1 0 0
2 − 2 1 0 − (−2) 0 − 2 1 0 − 2 0 0
0 1 1 1 0 0 1 0
1 0 −1 4 0 1 0 1




S u btra´ımo s a segu n d a lin h a d a terceira,




1 0 −1 1 0 1 0 0
0 1 2 −2 1 −2 0 0
0 1 − 1 1 − 2 1 + 2 0 − 1 0 + 2 1 0
1 0 −1 4 0 1 0 1




M u d amo s o sin al d a terceira lin h a




1 0 −1 1 0 1 0 0
0 1 2 −2 1 −2 0 0
0 0 1 −3 1 −2 −1 0
0 0 −1 4 0 1 0 1




D epo is trabalh amo s co n ven ien temen te co m a qu arta lin h a




1 0 0 0 3 −3 −3 2
0 1 0 0 −5 6 2 −4
0 0 1 0 4 −5 −4 3
0 0 0 1 1 −1 −1 1





17. 1.4 . INV ERS ˜AO DE MATRIZES 17
D ed u zimo s qu e
A−1
=




3 −3 −3 2
−5 6 2 −4
4 −5 −4 3
1 −1 −1 1



