C3 curso a_exercicios_prof_fisica

C3_Curso A_FIS_Alelex 29/02/12 11:09 Página 93

FRENTE 1 – MECÂNICA

MÓDULO 21
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
1. (FUVEST-TRANSFERÊNCIA-2012) – Um pulsar é uma
estrela em rotação que emite um pulso de radiação a cada rotação
completa. Astrônomos estudaram um pulsar que emite um pulso de
radiação a cada 30 ms. A velocidade angular dessa estrela é
a) 20 rad/s b) 30 rad/s c) 100 rad/s.
d) 200 rad/s e) 300 rad/s
Adote ␲ = 3; 1 ms = 10–3s

RESOLUÇÃO:

΂ –––– ΃ = –––––––– rad/s
2π 6 rad 6 000 3. (UFJF-MODELO ENEM) – Um velocímetro comum de carro
␻ = ––– = ––––––––
T 30 . 10–3 s 30 mede, na realidade, a velocidade angular do eixo da roda e indica um
valor que corresponderia à velocidade do carro. O velocímetro para
␻ = 200 rad/s um determinado carro sai da fábrica calibrado para uma roda de 20 po-
legadas de diâmetro (isso inclui o pneu). Um motorista resolve trocar
Resposta: D as rodas do carro para 22 polegadas de diâmetro. Assim, quando o
velocímetro indica 100 km/h, a velocidade real do carro é:
a) 100 km/h b) 200 km/h c) 110 km/h
d) 90 km/h e) 160 km/h

RESOLUÇÃO:
A velocidade angular é a mesma:
2. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – O carrossel de um

FÍSICA A
V1 V2
␻ = –––– = ––––
parque de diversões realiza uma volta completa a cada 20s. Adote ␲ = 3. R1 R2
Determine
R2
a) a velocidade angular do carrossel; V2 = –––– . V1
R1
b) as velocidades linear e angular de uma pessoa que está a 3,0m do
eixo de rotação do carrossel; 22
V2 = –––– . 100 (km/h)
c) o tempo gasto por uma pessoa que está a 6,0m do eixo para 20
completar uma volta.
V2 = 110 km/h
RESOLUÇÃO: Δ␸ 2␲ 2␲ rad Resposta: C
a) T = 20s ⇒ ␻C = –––– = –––– = –––– ––––
Δt T 20 s

␲ rad rad
␻C = –––– ––––– ഡ 0,3 –––––
10 s s

rad
b) 1) ␻P = ␻C = 0,3 ––––
s
2) VP = ␻PR = 0,3 . 3,0 (m/s) = 0,9 m/s

c) Δt = T = 20s

Respostas: a) 0,3 rad/s
b) 0,3 rad/s e 0,9 m/s
c) 20 s

– 93


4. (UNIFEI-MG-2011) – A Lua dá uma volta em torno da Terra em 2) Cálculo de VS:
2
aproximadamente 28 dias. A distância entre estes dois corpos do VS
g = acp = –––
sistema solar é de 4,0 x 105 km. Sabe-se que a Lua apresenta sempre a R
mesma face voltada para a Terra. Pergunta-se: 2
VS
a) Qual é a duração do dia lunar, ou seja, qual é o período de rotação 3,1 . 104 = –––––––––
1,29 . 104
da Lua em torno de seu eixo?
b) Qual é o módulo da aceleração que a Lua experimenta devido ao 2
VS = 4,0 . 108 ⇒ VS = 2,0 . 104km/h
seu movimento orbital em torno da Terra? Que direção e sentido
tem essa aceleração? Use ␲ = 3 e 28 d = 2,4 . 106 s.
3) Relação entre VE e VS:
Admita a órbita da Lua em torno da Terra como circular.
VE 1,67 . 103
–––– = ––––––––– = 0,0835
VS 2,0 . 104
RESOLUÇÃO:
a) Para que a Lua nos mostre sempre a mesma face, o seu período de VE ഡ 8% de VS
rotação deve ser igual ao seu período de translação em torno do centro
da Terra: 28 dias.
b) Sendo a órbita suposta circular, o movimento de translação da Lua é Resposta: E
uniforme e sua aceleração será centrípeta: direção radial e sentido para
o centro da circunferência descrita.
2

΂ –––– ΃ . R
2␲
acp = ␻2R =
T
4 ␲2
acp = ––––– . R
T2
4 . 9 . 4,0 . 108
acp = –––––––––––––– (m/s2)
MÓDULO 22
5,76 . 1012
acp = 25 . 10–4 m/s2
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
acp = 2,5 . 10–3 m/s2
1. (UESPI-2012) – A engrenagem da figura a seguir é parte do
Respostas: a) 28 d = 2,4 . 106s
motor de um automóvel. Os discos 1 e 2, de diâmetros 40cm e 60cm,
→ respectivamente, são conectados por uma correia inextensível e giram
b) Ϳ acp Ϳ = 2,5 . 10–3m/s2
direção: radial
em movimento de rotação uniforme.
sentido: para o centro
FÍSICA A

5. (UFPA-2012) – O Brasil possui um centro de lançamento de
satélites em Alcântara (MA), pois, devido à rotação da Terra, quanto
mais próximo da linha do Equador for lançado um foguete, menor a Se a correia não desliza sobre os discos, a razão ω1/ω2 entre as
variação de velocidade necessária para que este entre em órbita. A esse velocidades angulares dos discos vale
respeito, considere um sistema de referência inercial em que o centro da a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 3/2 e) 3
Terra está em repouso, estime tanto o módulo da velocidade VE de um
ponto da superfície da Terra na linha do Equador quanto o módulo da RESOLUÇÃO:
V 1 = V2
velocidade VS de um satélite cuja órbita tem um raio de 1,29 . 104km.
␻1R1 = ␻2R2
É correto afirmar que VE é aproximadamente
a) 1 % de VS b) 2 % de VS c) 4 % de VS ␻1 R2 30 3
–––– = –––– = –––– = ––––
d) 6 % de VS e) 8 % de VS ␻2 R1 20 2

A velocidade angular e a frequência de rotação são inversamente propor-
Considere que o perímetro da Terra no Equador é 40 080km, que a
cionais ao raio da polia.
aceleração da gravidade na órbita do satélite tem módulo Resposta: D
3,1 . 104km/h2 e que a Terra dá uma volta completa a cada 24 horas.

RESOLUÇÃO:
1) Cálculo de VE:
Δs 2πR 40 080km
VE = ––– = ––––– = ––––––––– ⇒ VE = 1670km/h
Δt T 24h

94 –


2. (VUNESP-FMTM-MODELO ENEM) – Em algumas furadei- 3. (UFLA-MG-2012-MODELO ENEM) – As engrenagens estão
ras de bancada, a correia que transmite o movimento constante do presentes em objetos simples, tais como em bicicletas ou em moedores,
motor pode ser montada em três configurações distintas, de acordo com também em relógios e em grandes máquinas. A figura abaixo represen-
o trabalho a ser realizado. Isso é possível, uma vez que, em cada eixo, ta uma engrenagem composta por duas rodas circulares encostadas em
o que liga o mandril – peça que segura a broca – e o que liga o motor, uma polia que é colocada para girar em movimento de rotação uni-
estão conectados solidariamente dois conjuntos idênticos de três polias, forme.
um em ordem crescente e o outro em ordem decrescente de diâmetro.

Sejam dois pontos, A e B, na extremidade de cada roda, de modo que
o raio da trajetória de A é RA e o raio da trajetória de B é RB. Não há
nenhum deslizamento entre as rodas e a polia. A razão entre os raios
RA / RB é igual a 2. Assim, a razão entre os módulos das velocidades
tangenciais VA / VB, entre os módulos das velocidades angulares,
␻A/␻B e entre os períodos TA / TB são, respectivamente:
1 1 1
a) 1; 2; ––– b) 2; 1; 1 c) ––– ; 1; –––
2 2 2
1
d) 1; ––– ; 2 e) 1; 1; 1
2

RESOLUÇÃO:
1) Seja V o módulo da velocidade tangencial de um ponto da periferia da
polia.
Considere as afirmações:
I. na configuração 1, qualquer ponto da correia apresenta o mesmo Para não haver escorregamento, devemos ter:
módulo para a velocidade linear; VA
II. a configuração 2 possibilita que a broca tenha a mesma velocidade V = VA = VB e portanto: –––– = 1
VB

FÍSICA A
angular que o motor;
III. na configuração 3, se o motor tiver frequência de 12Hz, a broca
terá frequência inferior a 12Hz. ωA RB 1
2) VA = VB ⇒ ωA RA = ωB RB ⇒ –––– = –––– = ––––
Está correto o contido em ωB RA 2
a) I, apenas. b) III, apenas. c) I e II, apenas.
d) II e III, apenas. e) I, II e III. 2π ωA TB TA
3) ω = ––– ⇒ ––– = ––– ⇒ –––– = 2
T ωB TA TB
RESOLUÇÃO:
I. Correta. Para não haver deslizamento da correia, os pontos da periferia
Resposta: D
das polias têm a mesma velocidade linear, que é igual à velocidade dos
pontos da correia.
II. Correta. Se as polias têm raios iguais, a velocidade angular é a mesma.
III.Correta. A furadeira está ligada à polia de maior raio. Como a frequên-
cia de rotação é inversamente proporcional ao raio da polia, concluímos
que:
fbroca < fmotor
fbroca < 12Hz

Demonstrar: V 1 = V2
2␲ f1 R1 = 2␲ f2 R2
f1 R2
––– = –––– frequência na razão inversa do raio.
f2 R1
Resposta: E

– 95


4. (VUNESP-FAMECA-2012) – A bicicleta ergométrica consiste 5. (UFPR-2012-MODELO ENEM) – Um ciclista movimenta-se
em um mecanismo em que uma engrenagem maior (coroa), solidária com sua bicicleta em linha reta a uma velocidade escalar constante de
a um par de pedais, transmite seu movimento a uma engrenagem 18km/h. O pneu, devidamente montado na roda, possui diâmetro igual
menor, presa a um grande disco massivo, que pode ter seu movimento a 70cm. No centro da roda traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada
dificultado pela ação de um freio ajustável. de diâmetro 7,0cm. Junto ao pedal e preso ao seu eixo há outra roda
dentada de diâmetro 20cm. As duas rodas dentadas estão unidas por
uma corrente, conforme mostra a figura.

Dados: raio do disco = 22 cm
␲ = 3,1 Não há deslizamento entre a corrente e as rodas dentadas. Supondo-se
a) Determine a velocidade escalar de um ponto externo da circun- que o ciclista imprima aos pedais um movimento circular uniforme,
ferência do disco, em km/h, quando esse disco realiza meia volta, assinale a alternativa correta para o número de voltas por minuto que
no tempo de um segundo. ele impõe aos pedais durante esse movimento. Nesta questão, considere
b) Sabendo-que em dado momento o disco realiza duas voltas com- π = 3.
pletas no tempo de um segundo, determine a frequência, em rpm, a) 0,25 rpm b) 2,50 rpm c) 5,00 rpm
com que a pessoa que se exercita gira a coroa presa à pedaleira, d) 25,0 rpm e) 50,0 rpm
sabendo-se que a coroa tem o triplo do diâmetro da engrenagem
solidária ao disco. RESOLUÇÃO:
Δs 2πRRODA
1) V = ––– = –––––––– = 2π fRODA . RRODA
RESOLUÇÃO: Δt TRODA
⌬s 2␲R 2 . 3,1 . 0,22 m
5,0 = 6 fRODA . 0,35
a) V = ––– = –––– = ––––––––––– –––
⌬t T 2,0 s
5,0
fRODA = ––– Hz
m 2,1
V = 0,682 ––– ഡ 2,5km/h
s
FÍSICA A

5,0
2) fCA = fRODA = ––– Hz
b) fdisco = 2,0Hz 2,1

fenfgrenagem = fdisco = 2,0Hz fCO RCA
3) –––– = ––––
fc Re fc R fCA RCO
––– = ––– ⇒ ––– = –––
fe Rc 2,0 3R fCO 3,5 5,0 . 3,5
–––– = –––– ⇒ fCO = ––––––– Hz
2,0 2,0 5,0 10 21
fc = ––– Hz = ––– . 60rpm –––
3,0 3 2,1
17,5 17,5
fc = 40rpm fCO = –––– Hz = –––– . 60 rpm
21 21

Respostas: a) 2,5km/h fCO = 50,0 rpm
b) 40rpm

4) A frequência do pedal é a mesma da coroa e vale 50,0 rpm.

Resposta: E

96 –


6. (UFU-MG) – As figuras abaixo representam dois pontos, A e B,
sobre a superfície terrestre, em um mesmo meridiano. O ponto A está MÓDULO 23
no Equador e o ponto B se encontra no hemisfério norte a uma latitude
de 60º. COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS

1. (UFPI-MODELO ENEM) – Uma pessoa em dificuldades no
meio de um rio foi socorrida por amigos que lhe jogaram quatro boias
que, coincidentemente, ficaram igualmente distanciadas dela, como
mostra a figura abaixo.

Sabendo-se que a Terra gira com velocidade angular ␻ e supondo-se
que a Terra é de forma esférica com raio R, a alternativa que apresenta
a relação entre as velocidades lineares desses dois pontos, A e B, é:
VA VA 2͙ෆ 3 A correnteza tem velocidade constante e arrasta as boias e a pessoa.
a) ––– = 2 b) ––– = –––––
VB VB 3 A velocidade da pessoa em relação às águas tem sempre o mesmo mó-
dulo.
VA 1 VA Analise as afirmativas e assinale V (verdadeira) ou F (falsa).
c) ––– = –– d) ––– = ͙ෆ
3
VB 2 VB (1) O tempo que a pessoa levará nadando para a boia 1 é diferente do
que levará nadando para a boia 3.
RESOLUÇÃO: (2) O tempo que a pessoa levará nadando para a boia 1 é igual ao tempo
(3) O tempo que a pessoa levará nadando para a boia 2 é diferente do
(4) O tempo que a pessoa levará nadando é o mesmo, qualquer que seja
a boia.
A sequência correta de V e F é:

FÍSICA A
a) F V F F b) F V V F c) F V F V
d) V F V F e) V V F V

RESOLUÇÃO:
Para um referencial fixo na água, temos:
d
Vrel = –––
Δt

r d
1) cos 60º = ––– Δt = –––––
R Vrel
R
r = R cos 60º = ––– Em relação a qualquer das boias, d e Vrel são as mesmas e, portanto, o
2
tempo gasto para atingir qualquer das boias é o mesmo.
2) VA = ␻ R Resposta: C
VB = ␻ r
VA R
___ = ––– = 2
VB r

Resposta: A

– 97


2. (UNICAMP-2012-MODELO ENEM) – O transporte fluvial de Uma pessoa vai de A para B com velocidade constante de módulo Vp
cargas é pouco explorado no Brasil, considerando-se nosso vasto con- em relação à escada, gastando neste trajeto 20s.
junto de rios navegáveis. Uma embarcação navega a uma velocidade Em seguida, a pessoa vai de B para A com velocidade relativa à escada
de módulo 26 nós, medida em relação à água do rio (use 1 nó = 0,5m/s). de mesmo módulo Vp, gastando neste trajeto 60s.
A correnteza do rio, por sua vez, tem velocidade aproximadamente Se a pessoa for de A para B, parada em relação à escada, o tempo gasto
constante com módulo de 5,0m/s em relação às margens. Qual é o no trajeto será de:
tempo aproximado de viagem entre duas cidades separadas por uma a) 20s b) 30s c) 40s d) 60s e) 120s
extensão de 40km de rio, se o barco navega rio acima, ou seja, contra
a correnteza? RESOLUÇÃO:
MU: Δs = V t
a) 2 horas e 13 minutos. b) 1 hora e 23 minutos.
AB = (VP + VE) 20 (1)
c) 51 minutos. d) 37 minutos.
AB = (VP – VE) 60 (2)
RESOLUÇÃO: AB = VE T (3)

(1) = (2): (VP + VE) 20 = (VP – VE) 60
1) Vrel = 26 nós = 26 . 0,5m/s = 13m/s
VP + VE = 3VP – 3VE
Varr = 5,0m/s
4VE = 2VP ⇒ VP = 2 VE
→ → →
VR = Vrel + Varr
(1) = (3): (VP + VE) 20 = VE T
→ → →
͉VR͉ = ͉Vrel͉ – ͉Varr͉ (2VE + VE) 20 = VE T
→ 3VE 20 = VE T
͉VR͉ = 13 – 5,0 (m/s) = 8,0m/s
T = 60s
→
2) Δs = ͉VR͉ Δt (MU) Resposta: D

40 . 103 = 8,0 . T

T = 5,0 . 103s

5000
T = –––––– h
3600

25
T = ––– h =
18 ΂ ΃
18 + 7
––––– h
18
4. (UFBA) – Um barco vai de Manaus até Urucu descendo um rio
e, em seguida, retorna à cidade de partida, conforme esquematizado na
7 figura.
T = 1h + ––– h
FÍSICA A

18

7
T = 1h + ––– . 60min
18

T ഡ 1h + 23 min

Resposta: B
A velocidade da correnteza é constante e tem módulo VC em relação às
margens.
A velocidade do barco em relação à água tem módulo constante e igual
a VB.
Desconsiderando-se o tempo gasto na manobra para voltar, a velo-
cidade escalar média do barco, em relação às margens, no trajeto total
3. Considere uma escada rolante que se move para cima com de ida e volta, tem módulo dado por:
velocidade constante de módulo VE. VB + VC VB – VC
a) –––––––– b) –––––––– c) ͙ළළළළ
V BV C
2 2
2 2 2 2
VB + VC VB – VC
d) –––––––– e) ––––––––
VB VB

RESOLUÇÃO:
Seja d a distância percorrida na ida.
d
Descida do rio: VB + VC = ––– (1)
t1

98 –


d c) x = D ⇔ y = 0
Subida do rio: VB – VC = ––– (2)
t2 4,0 5,0
0 = ––– . D – –––– D2
2d 3,0 36,0
No trajeto todo: Vm = –––––– (3)
t1 + t2
d
De (1): t1 = –––––––– 5,0 D2 4,0
V B + VC –––––– = ––– D
36,0 3,0
d
De (2): t2 = –––––––– 4,0 . 12,0
D = –––––––––– (m)
VB – V C 5,0
d d d(VB + VC + VB – VC) 2 d VB D = 9,6 m
t1 + t2 = –––––– + ––––––– = ––––––––––––––––––– = –––––––
––
VB – V C V B + VC 2 2 2 2
VB – VC VB – VC
4,0 5,0
Respostas: a) y = –––– x – ––––– x2 (SI)
2 2 3,0 36,0

΂ ΃
2 2
VB – VC VB– VC
Em (3): Vm = 2d . –––––––– ⇒ Vm = ––––––– b) parábola
2 d VB VB
c) 9,6m
Resposta: E

5. Um projétil é lançado a partir da origem de um sistema de MÓDULO 24
coordenadas cartesianas xy, sendo x horizontal e y vertical.
O movimento na direção x tem equação horária dos espaços dada por: COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
x = 6,0t (SI)
O movimento na direção y tem equação horária dos espaços dada por: 1. (UPE-2012) – Considere um rio de margens paralelas, cuja
y = 8,0t – 5,0t2 (SI) distância entre as margens é de 140m. A velocidade da água em relação
às margens tem módulo igual a 20m/s. Um barco motorizado cuja velo-
cidade em relação à água tem módulo igual a 10m/s atravessa o rio de
uma margem à outra no menor tempo possível. Assinale a alternativa

FÍSICA A
que corresponde a este tempo em segundos.
a) 6,36 b) 12,36 c) 13 d) 14 e) 14,36

RESOLUÇÃO:

Determine
a) a equação da trajetória do projétil: y = f(x);
b) a forma da trajetória;
c) o valor de D indicado na figura.

RESOLUÇÃO:
a) A equação da trajetória relaciona as coordenadas de posição x e y entre
si; para obtê-la, devemos eliminar a variável tempo:
x = 6,0t (1)
y = 8,0t – 5,0t2 (2)
x
De (1): t = ––– L 140
6,0 Vrel = ––– ⇒ 10 = ––––– ⇒ Tmin = 14s
2 Δt Tmin
x
΂ ΃
x
Em (2): y = 8,0 . ––– – 5,0 –––
6,0 6,0 Resposta: D

4,0 5,0
y = –––– x – ––––– x2 (SI)
3,0 36,0

b) Como y = f(x) é uma função polinomial do 2.º grau, a trajetória tem a
forma de uma parábola.

– 99


2. Uma lancha, que tem velocidade com módulo 5,0 km/h em águas RESOLUÇÃO:
paradas, atravessa um rio de margens paralelas e largura de 1,0 km, ao 1) Na direção y, temos:
longo do menor caminho possível entre as duas margens, em um L 4,0
Vy = ––– ⇒ 2,0 = ––– ⇒ T = 2,0h
intervalo de tempo de 15 minutos. ⌬t T
A velocidade da correnteza em relação às margens, suposta constante, 2) Na direção x, temos:
tem módulo igual a: x = x0 + Vx t
a) 1,0 km/h b) 2,0 km/h c) 3,0 km/h xf = 1,0km
d) 4,0 km/h e) 5,0 km/h xf = 0 + 0,50 . 2,0 (km) ⇒ yf = 4,0km

RESOLUÇÃO: Resposta: B

4. (UPE-2012-MODELO ENEM) – “Nos quatro primeiros dias do
mês de maio, no Recife, o Instituto Nacional de Meteorologia (Inmet)
L 1,0km registrou 255 milímetros de chuva, 80,3% do esperado para todo o mês
1) VR = ––– = ––––––– = 4,0 km/h
⌬t 1
–– h
de maio, cuja média histórica é de 318,5 mm”.
4 (Fonte: http://m.ne10.com.br/noticia/?t=ca&ca=cotidiano&a=2011&m=
2 2 2
2) Vrel = VR + VARR 05&d=04&id =269899 acessado em 30 de maio de 2011, às 22h)
2 Quando estava sem vento, a chuva caía verticalmente em relação ao so-
(5,0)2 = (4,0)2 + VARR
lo, com velocidade de módulo 10m/s. Um “aventureiro” saiu com seu
VARR = 3,0 km/h carro nesse momento, sem vento. O carro se deslocava horizontal-
mente, com velocidade de módulo 54km/h em relação ao solo. Qual o
Resposta: C
módulo da velocidade, em m/s, da chuva em relação ao carro?
a) 5,0 b) 15 c) 25 d) 5 ͙ෆ
5 e) 5 ͙ෆෆ
13

RESOLUÇÃO:
FÍSICA A

3. (EFOMM-2012) – Um barco atravessa um rio de margens
paralelas e largura de 4,0km. Devido à correnteza, as componentes da
velocidade resultante do barco são Vx = 0,50km/h e Vy = 2,0km/h.
2 2 2
Vrel = VR + Varr

2
Vrel = 100 + 225 = 325 = 25 . 13

2
Vrel = 25 . 13

Vrel = 5 ͙ෆ m/s
ෆ
13

Resposta: E

Considerando-se que, em t = 0, o barco parte da origem do sistema
cartesiano xy (indicado na figura), as coordenadas de posições, em
quilômetros, e o instante, em horas, de chegada do barco à outra
margem são
a) (1,0 ; 4,0) e 1,0 b) (1,0 ; 4,0) e 2,0 c) (2,0 ; 4,0) e 4,0
d) (16 ; 4,0) e 4,0 e) (16 ; 4,0) e 8,0

100 –


5. (UNESP) – Um homem, em pé sobre uma plataforma que se 1) A pedra tem um movimento de arrastamento com velocidade horizontal
move horizontalmente para a direita com velocidade constante de igual à do carro (V1).
2) A pedra tem um movimento, relativo ao carro, circular e uniforme com
módulo V = 4,0m/s, observa que, ao inclinar de 45° um tubo cilíndrico
velocidade de módulo V2.
oco, permite que uma gota de chuva, que cai verticalmente com 3) No ponto A, de contato com o chão, a pedra deve ter velocidade nula,
velocidade constante, em relação ao solo, atravesse o tubo sem tocar em relação ao solo, para que o pneu não derrape. Portanto: V2 = V1.
em suas paredes. 4) No ponto C, a velocidade da pedra, relativa ao solo, será dada por:
VC = V2 + V1 = 2V1
5) A velocidade da pedra, relativa ao solo, terá módulo V tal que:
VA р V р VC
0 р V р 144 km/h
Resposta: E

7. (ENEM-2010) – A ideia de usar rolos circulares para deslocar
objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao
construírem as pirâmides.
Determine
a) o módulo da velocidade da gota em relação ao solo;
b) o módulo da velocidade da gota em relação ao tubo.
RESOLUÇÃO:
→ →
a) ͉ VR͉ = ͉Varr ͉ = 4,0 m/s
→ 2 → 2 → 2
b) ͉Vrel ͉ = ͉VR͉ + ͉Varr͉

→
͉Vrel ͉ = 4,0 ͙ළළ m/s
2 BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, a expressão
Respostas: a) 4,0 m/s do deslocamento horizontal x do bloco de pedra em função de R, após
b) 4,0 ͙ළළ m/s
2 o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é
a) x = R b) x = 2R c) x = ␲R

FÍSICA A
d) x = 2␲R e) x = 4␲R

RESOLUÇÃO:

6. Um carro descreve uma trajetória retilínea e horizontal em movi-
mento uniforme com velocidade escalar de 72 km/h.
Uma pedra fica incrustada no pneu do carro.
Para um referencial fixo no solo terrestre, o módulo V da velocidade
de pedra será tal que:
a) V = 72 km/h b) V = 0
c) 0 р V р 72 km/h d) 72 km/h р V р 144 km/h
e) 0 р V р 144 km/h

RESOLUÇÃO:
O ponto A, mais alto do rolo cilíndrico, tem velocidade igual ao dobro da
velocidade do centro C do rolo cilíndrico. Quando o tambor dá uma volta
completa, o seu centro C se desloca 2␲R e o objeto que está em contato com
o ponto A vai deslocar-se o dobro, isto é, 4␲R.
Resposta: E

– 101


Como sen 60° = sen 120°, temos:
MÓDULO 25 D1 = D2

D1
BALÍSTICA I –––– = 1
D2

1. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e a aceleração da
gravidade é constante e com módulo igual a g, um projétil é lançado a 2 V0 sen ␪ (V0 sen ␪)2
Respostas: a) T = –––––––––– b) H = ––––––––––
partir do solo terrestre, com velocidade inicial de módulo V0 e inclinada g 2g
de um ângulo ␪ em relação ao plano horizontal do solo.
2 2
V0 V0
c) D = –––– sen 2␪ d) ␪ = 45°; Dmáx = ––––
g g

D1
e) –––– = 1
D2

2. (VUNESP-MODELO ENEM) – Selene e Diana são duas alunas
Determine, em função de V0, g e ␪, que ficaram muito felizes com a competição de foguetes, proposta pelo
a) o tempo de voo do projétil desde seu lançamento até o seu retorno professor. Nessa competição, o foguete é, na verdade, um canudinho de
ao solo; refrigerante lançado a partir de um frasco vazio adaptado, que é aper-
b) a altura máxima H; tado, com as mãos, pelas alunas. As alunas lançaram seus foguetes a
c) o alcance horizontal D; partir de uma mesma altura e com a mesma velocidade escalar inicial,
d) o valor de ␪ para que o alcance D seja máximo e o valor do alcance de 4,0m/s, mas com ângulos de lançamento diferentes: Selene lançou
máximo; seu foguete com ângulo de 45° e Diana, com ângulo de 60°. Admitindo-
e) a relação entre os alcances para ␪1 = 30° e ␪2 = 60°. se que ambos os foguetes voltaram, após a queda, para a mesma altura
do lançamento e que o módulo da aceleração da gravidade seja igual a
RESOLUÇÃO:
10,0m/s2, com relação aos alcances, em metros, atingidos pelos
a) 1) Vy = V0y + ␥y t (MUV) foguetes de Selene e Diana, respectivamente, pode-se afirmar que são,
V0 sen ␪
0 = V0 sen ␪ – g ts ⇒ ts = –––––––– aproximadamente, iguais a
g
a) 1,60 e 1,38. b) 1,40 e 1,60. c) 1,00 e 1,20.
FÍSICA A

2 V0 sen ␪ d) 1,20 e 1,00. e) 2,20 e 1,20.
2) T = ts + tQ = 2ts ⇒ T = ––––––––––
g
Adote: ͙ළළ = 1,73
3
2 2 V0 2
b) Vy = V0y + 2 ␥y Δsy (MUV)
Dado: D = ––– sen 2␪
(V0 sen ␪)2 g
0 = (V0 sen ␪)2 + 2 (–g) H ⇒ H = ––––––––––
2g
RESOLUÇÃO:
c) Δsx = Vx t (MU)
V02
2 V0 sen ␪ V02 D = ––– sen 2␪
g
D = V0 cos ␪ . ––––––––– = –––– . 2 sen ␪ cos ␪
g g
16,0
2 D45° = –––– . sen 90° (m) ⇒ D45 = 1,60m
V0 10,0
D = –––– sen 2␪
g
16,0 ͙ළ 3
D60° = –––– . sen 120° (m) ⇒ D60° = 1,60 . –––– (m)
d) D = Dmáx ⇒ sen 2␪ = 1 10,0 2
2␪ = 90° ⇒ ␪ = 45° D60° = 0,80 . 1,73 (m)

2
V0 D60° = 1,38m
Dmáx = ––––
g
Resposta: A
e) ␪1 = 30°
2
V0
D1 = –––– sen 60°
g

␪2 = 60°
2
V0
D2 = –––– sen 120°
g

102 –


3. Um atirador aponta um fuzil diretamente para o centro C de um 4. Nas condições do enunciado, as equações horárias para o movi-
alvo, suspenso a uma certa altura acima do solo, como mostra a figura. mento da bola são
a) x(t) = V0 cos 45°t b) x(t) = V0t
y(t) = V0 sen 45°t – gt2/2 y(t) = V0 sen 45° t – gt2/2

c) x(t) = V0t d) x(t) = 3,5 + V0 cos 45° t
y(t) = V0t – gt2/2 y(t) = 1,0 + V0 sen45° t + gt2/2

e) x(t) = V0 cos 45° t – gt2/2
y(t) = V0 sen 45° t – gt2/2

RESOLUÇÃO:
Não considere o efeito do ar e admita que a aceleração da gravidade seja 1) V0x = V0 cos ␪ = V0 cos 45°
constante. No exato instante em que o projétil é disparado, e fica sob V0y = V0 sen ␪ = V0 sen 45°
ação da gravidade, o alvo inicia um movimento de queda livre vertical,
a partir do repouso. O alcance horizontal do projétil é maior que D. 2) Na direção horizontal:
Podemos afirmar que x = x0 + V0x t
a) o projétil atingirá o alvo exatamente no seu centro C. x = (V0 cos 45°) t
b) para um referencial fixo no centro C do alvo, a trajetória do projétil
será parabólica. 3) Na direção vertical:
c) o projétil passará acima do centro C do alvo. ␥y
d) o projétil passará abaixo do centro C do alvo. y = y0 + V0y t + ––– t2
2
e) para um referencial fixo na superfície terrestre, a trajetória do
projétil é retilínea. g
y = (V0 sen 45°) t – –– t2
2
RESOLUÇÃO:
Resposta: A
O projétil e o alvo têm aceleração igual à da gravidade: a aceleração
relativa (diferença das duas acelerações) é nula; o movimento relativo é
retilíneo e uniforme, e o projétil vai atingir o centro C do alvo.
Resposta: A

(FUVEST – TRANSFERÊNCIA-2012) – Enunciado para as questões
de 4 a 6.

FÍSICA A
Em um parque de diversões, uma jovem lança uma bola em direção a
5. O instante T em que a bola atinge a cesta é igual a
uma cesta, cujo centro está a 3,5m de distância e 1,0m de altura acima
do ponto de lançamento, com uma velocidade inicial de módulo ␯0 e ͙ළළ 2 ͙ළළ 2 ͙ළළ 2
a) –––– s b) –––– s c) –––– s
que forma um ângulo ␪ = 45º com a horizontal, de modo que encesta a 8 4 2
bola. Adota-se t = 0 s no instante de lançamento e um sistema de
referência em que os eixos x e y, nas direções horizontal e vertical,
d) ͙ළළ s
2 e) 2 ͙ළළ s
2
respectivamente, apontam nos sentidos indicados na figura e têm origem
no ponto de lançamento. Ignore o atrito com o ar e o tamanho da bola RESOLUÇÃO:
e use g = 10 m/s2 para o módulo da aceleração da gravidade no local. g
y = (V0 sen 45°) t – –– t2
2
(V0 sen 45°) t = x
g
y = x – –– t2
2
1,0 = 3,5 – 5,0 T2
5,0 T2 = 2,5
1 1 ͙ළළ 2
T2 = –– ⇒ T = –––––– s = ––––– s
2 ͙ළළ2 2

Resposta: C

– 103


6. Para acertar a bola na cesta, o módulo ␯0 da velocidade inicial 2. As relações entre os respectivos alcances horizontais Ax, Ay e Az
precisa ser igual a das bolas X, Y e Z, com relação à borda da mesa, estão apresentadas
a) 1,0m/s b) 3,0m/s c) 5,0m/s em:
d) 7,0m/s e) 9,0m/s a) Ax < Ay < Az b) Ay = Ax = Az
c) Az < Ay < Ax d) Ay < Az < Ax
RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO:
x = V0 cos 45° t
⌬sx = Vx T
͙ළළ ͙ළළ
2 2
3,5 = V0 . –––– . –––– 2H
2 2 D = V0 ––––
g
V0 = 7,0m/s
V x > Vy > Vz
Resposta: D
Ax > Ay > Az

MÓDULO 26 Resposta: C

BALÍSTICA II
3. (FAFIPA-MODELO ENEM) – Durante uma guerra, um grupo
(UERJ-2012) – Utilize as informações a seguir para responder às de soldados ficou numa área isolada pelos inimigos. Sem medica-
questões de números 1 e 2. mentos e alimentação não teriam a menor chance para continuarem o
combate em terra. Um piloto de guerra, pertencente a este grupo, foi
Três bolas – X, Y e Z – são lançadas da borda de uma mesa, com chamado para realizar uma operação: fazer com que os suprimentos
velocidades iniciais paralelas ao solo e mesma direção e sentido. necessários chegassem até estes soldados.
A tabela abaixo mostra as magnitudes das massas e das velocidades
iniciais das bolas.
Bolas Massa (g) Velocidade Inicial (m/s)
X 5,0 20,0
Y 5,0 10,0
Z 10,0 8,0
FÍSICA A

1. As relações entre os respectivos tempos de queda tx, ty e tz das Sabendo-se que o avião deveria voar numa altitude, em linha reta, de
bolas X, Y e Z estão apresentadas em: 2000m do solo (para não ser observado pelo radar do inimigo) e velo-
a) tx < ty < tz b) ty < tz < tx cidade constante de módulo 792km/h, a distância horizontal, em
c) tz < ty < tx d) ty = tx = tz metros, que o suprimento deve ser liberado do avião, em relação aos
soldados, para que caia o mais próximo possível destes é um valor que
RESOLUÇÃO: mais se avizinha de:
a) 1080m b) 1562m c) 1800m
d) 4000m e) 4400m
Considere g = 10 m/s2 e despreze o efeito do ar.

RESOLUÇÃO:
1) Cálculo do tempo de queda:
␥y
⌬sy = V0y t + ––– t2 ↓ ᮍ
2

␥y 10
⌬sy = V0y t + ––– t2 2000 = 0 + ––– T2
2 2

g 2H T2 = 400 ⇒ T = 20s
H = –– T2 ⇒ T = ––––
2 g
2) Cálculo de D:
⌬sx = Vx T
2H 792
tx = ty = tz = ––––
g D = –––– . 20 (m) ⇒ D = 4400m
3,6
Resposta: E
Resposta: D

104 –


4. (UFPR-2011) – Na cobrança de uma falta durante uma partida de Desprezando-se o atrito da bola com o ar e adotando-se g = 10,0m/s2,
futebol, a bola, antes do chute, está a uma distância horizontal de 27,0m podemos afirmar que o módulo da aceleração de Protásio, suposto
da linha do gol. Após o chute, ao cruzar a linha do gol, a bola passou constante, para que ele consiga pegar a bola no mesmo nível do
a uma altura de 1,35m do chão quando estava em movimento descen- lançamento deve ser
dente, e levou 0,9s neste movimento. Despreze a resistência do ar e 1 1 1
a) ––– m/s2 b) ––– m/s2 c) ––– m/s2
considere g = 10,0m/s2. 2 3 4
a) Calcule o módulo da velocidade na direção vertical no instante em
que a bola foi chutada. 1 1
d) ––– m/s2 e) ––– m/s2
b) Calcule o ângulo (por meio de uma função trigonométrica), em 5 10
→
relação ao chão, da velocidade inicial V0 que o jogador imprimiu à
bola pelo seu chute.
c) Calcule a altura máxima atingida pela bola em relação ao solo. RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO:
␥y
a) ⌬sy = V0y t + ––– t2 ↑ ᮍ
2
1,35 = V0y . 0,9 – 5,0 (0,9)2

0,9 V0y = 1,35 + 4,05 ⇒ V0y = 6,0 m/s

b) 1) ⌬sx = Vx t (MU)
27,0 = V0x . 0,9 ⇒ V0x = 30,0 m/s 1) Cálculo de V0y:
2 2
Vy = V0y + 2␥y Δsy
2) V0y 6,0
tg ␪ = –––– = –––– 2
0 = V0y + 2 (–10,0) 11,25
V0x 30,0

V0y = 225 ⇒
2 V0y = 15,0m/s
tg ␪ = 0,20

2) Cálculo do tempo de subida:
Vy = V0y + ␥y t

0 = 15,0 – 10,0 ts

FÍSICA A
2 2
c) Vy = V0 y + 2 ␥y ⌬sy (↑ ᮍ) ts = 1,5s
0 = 36,0 + 2 (–10,0) H
20,0H = 36,0 3) O tempo de voo será o tempo de encontro e é dado por:
H = 1,8m TV = TE = 2ts = 3,0s

Respostas: a) V0y = 6,0m/s 4) Cálculo do alcance:
b) tg ␪ = 0,20 Δsx = V0x T
c) H = 1,8m
d = 8,0 . 3,0 (m) = 24,0m

5. (PUC-SP-2012) – Dois amigos, Berstáquio e Protásio, distam de 5) Cálculo da aceleração de Protásio:
25,5m. Berstáquio lança obliquamente uma bola para Protásio que,
partindo do repouso, desloca-se ao encontro da bola para segurá-la. No ␥
Δs = V0t + ––– t2
instante do lançamento, a direção da bola lançada por Berstáquio 2
formava um ângulo ␪ com a horizontal, o que permitiu que ela
aP
alcançasse, em relação ao ponto de lançamento, a altura máxima de 25,5 – 24,0 = 0 + ––– . 9,0
11,25m e uma velocidade de módulo 8,0m/s nessa posição. 2

1,5 = 4,5 aP

1,5
aP = ––– (m/s2)
4,5

1
aP = ––– m/s2
3

Resposta: B

– 105


6. (VUNESP-2011) – É comum, ao passarmos diante de cons-
truções, vermos operários lançarem objetos, como tijolos ou telhas, MÓDULO 27
para um colega colocado num plano acima do seu. Considere que um
tijolo seja lançado com velocidade inicial de módulo V0 = 10m/s, e
1.a LEI DE NEWTON
descreva uma trajetória parabólica no ar. No ponto mais alto da
trajetória do tijolo, ele é apanhado por outra pessoa no instante em que 1. Considere as proposições que se seguem e assinale a incorreta.
→
sua velocidade só apresenta componente horizontal VH. a) Quando um carro freia, o corpo do motorista é projetado para frente
porque todo corpo tende a manter a velocidade vetorial que possui,
por inércia.
b) Não pode existir um super-homem que voe pela ação exclusiva de
sua própria força muscular.
c) Em uma viagem espacial para a Lua, a maior parte do trajeto é feita
em movimento retilíneo e uniforme, por inércia.
d) Uma pessoa, partindo do repouso, não pode andar em um plano
horizontal sem atrito.
e) A função da força resultante que atua em uma partícula é manter sua
velocidade vetorial constante.

RESOLUÇÃO:
a) CORRETA. Traduz o próprio conceito de inércia e justifica o fato de se
usar o cinto de segurança para aplicar uma força para trás, freiando o
corpo do motorista.
b) CORRETA. Nenhum corpo pode sozinho mudar sua velocidade
Considerando-se as medidas indicadas na figura, g = 10m/s2, ͙ළළ ഡ 3,2
10 vetorial.
e desprezível a resistência do ar, determine c) CORRETA. Os jatos são ligados para mudar a velocidade da nave;
a) o módulo da velocidade horizontal VH com que o tijolo chega à para sair do campo gravitacional da Terra; para frear ao descer na
Lua; para sair do campo gravitacional da Lua; para frear no campo
mão do operário na posição mais alta; gravitacional da Terra, no retorno.
b) o intervalo de tempo T gasto pelo tijolo para chegar à mão do d) CORRETA. A pessoa varia sua velocidade graças à força externa de
operário na posição mais alta. atrito recebida do chão.
e) ERRADA. A força resultante varia a velocidade.
RESOLUÇÃO: Resposta: E
a) 1) Cálculo de V0y:
Vy = V0 + 2 ␥y Δsy
2 2

2
0 = V0y + 2 (–10) . 3,0
FÍSICA A

2
V0y = 60 (SI) 2. (CEFET-CE-MODELO ENEM) – Uma pessoa pula vertical-
2) Cálculo de V0x: mente sobre uma cama elástica que se encontra fixa na carroceria de
2 2 2 um caminhão o qual se desloca com velocidade constante em uma
V0 = V0x + V0y
2
estrada horizontal e retilínea. Desprezando-se a resistência do ar sobre
100 = V0x + 60 a pessoa, devido ao movimento do caminhão, é correto afirmar-se que
2
V0x = 40 ⇒ V0x = 2͙ළළ m/s
10 a) quanto mais alto a pessoa pular, maior é o risco de ela cair na frente
do caminhão.
V0x ഡ 6,4 m/s
b) quanto mais alto a pessoa pular, maior é o risco de ela cair atrás do
VH ഡ 6,4 m/s
caminhão.
c) quanto mais alto a pessoa pular, maior é o risco de ela cair do lado
do caminhão.
d) não importa a altura que a pessoa pule: ela sempre cairá no mesmo
Δx
b) VH = ––– ponto sobre a cama.
Δt
e) é necessário saber a massa da pessoa, para afirmar algo sobre o
4,8
6,4 = ––– ⇒ T = 0,75s ponto de queda dela.
T
RESOLUÇÃO:
Respostas: a) VH = 6,4m/s Como na direção horizontal não há força externa atuando na pessoa, sua
b) T = 0,75s velocidade horizontal permanece constante (1.ª Lei de Newton) e a pessoa
terá uma trajetória vertical em relação ao caminhão e cairá sempre na
mesma posição da cama em que iniciou o seu salto.
Resposta: D

106 –


3. (UFMG-MODELO ENEM) – Nesta figura, está representado RESOLUÇÃO:
um balão dirigível, que voa para a direita, em altitude constante e com Sendo a velocidade constante (MRU), a resultante de todas as forças deve
velocidade →, também constante.
ser nula.
v
Portanto, a resultante das demais forças, excetuando-se o peso, deverá
equilibrar o peso e, para tanto, deve ser vertical, para cima e com a mesma
intensidade do peso.
Resposta: B

→ →
Sobre o balão, atuam as seguintes forças: o peso P , o empuxo E , a
→ →
resistência do ar R e a força M , que é devida à propulsão dos motores.
Assinale a alternativa que apresenta o diagrama de forças em que estão
mais bem representadas as forças que atuam sobre esse balão. 5. (PUC-SP) – Considere o texto apresentado a seguir.

Em um espetáculo de magia e ilusionismo, um dos momentos mais
tradicionais ilustra com perfeição uma da Leis de Newton. Nesse
RESOLUÇÃO:

FÍSICA A
número, o “mágico” puxa com rapidez uma folha de papel lisa e fina,
Sendo a velocidade constante, a força resultante deverá ser nula e, por-
→ → → →
deixando em repouso, no entanto, os objetos que estavam sobre ela.
tanto, E e P devem ter módulos iguais, o mesmo ocorrendo com R e M. Elabore um texto claro e bem estruturado para explicar por que a lei
Resposta: B
física que justifica a tendência de um carro sair pela tangente ao fazer
uma curva é a mesma citada na descrição do número de “magia”. Em
4. (FUNDAÇÃO CESGRANRIO-RJ) – seu texto, cite um novo exemplo em que essa lei física também se
aplica.

RESOLUÇÃO:
A lei física em questão é a lei da inércia:
“Todo corpo tende a manter a sua velocidade vetorial, por inércia”. No
espetáculo de magia, a garrafa, inicialmente em repouso, tende a manter
sua velocidade nula por inércia.
Quando o carro faz a curva, ele tende a sair pela tangente, dada a tendên-
cia de manter a direção de sua velocidade vetorial.
Outro exemplo de aplicação da lei da inércia é o fato de o motorista de um
carro ser projetado para frente, em uma freada abrupta, em virtude da
Acima, estão esquematizadas três situações nas quais um determinado tendência em manter a sua velocidade vetorial; daí a necessidade do uso do
→
bloco A se move sobre um plano com velocidade vetorial constante V. cinto de segurança.
Assinale a opção que apresenta corretamente a resultante de todas as
forças que agem sobre o bloco A, exceto a força peso, respectivamente,
nas situações I, II e III.

– 107


6. Um carro está movendo-se em um plano horizontal, em linha reta,
e seu motorista está pisando no acelerador até o fim. MÓDULO 28
O carro recebe do chão, por causa do atrito, uma força para frente,
2.a LEI DE NEWTON
constante e de intensidade F.
A força que se opõe ao movimento e vai limitar a velocidade do carro
é a força de resistência do ar cuja intensidade Fr é dada por: 1. (OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA) – Qual dos seguintes
Fr = k V2 objetos está experimentando uma força resultante direcionada de sul
k = coeficiente aerodinâmico que depende da densidade do ar e da para norte?
geometria do carro. a) Um objeto que se move para o sul com a sua velocidade aumen-
V = módulo da velocidade do carro. tando em módulo.
b) Um objeto que se move para o norte com sua velocidade diminuin-
do em módulo.
c) Um objeto que se move para o norte com velocidade constante.
d) Um objeto instantaneamente em repouso que inicia o movimento
com orientação do sul para o norte.
e) Um objeto em repouso.

A força resultante que age no carro tem intensidade FR dada por: RESOLUÇÃO:
→
FR
→ → Movimento
a) V a acelerado
FR = F – kV2
→
A velocidade máxima que o carro pode atingir (velocidade limite do FR
→ → Movimento
carro) é dada por: b) V a retardado

F k → →
Vlim = ––– b) Vlim = ––– → →
a)
k F c) V → = 0 (MRU) ⇔ FR = 0
a
→ → → →
d) V = 0 a ⇔ FR

͙ළළළ
F
c) Vlim = ––– d) Vlim = 3,0 . 108 m/s → →
k e) FR = 0

Resposta: D
e) Vlim = 340 m/s

RESOLUÇÃO:
A velocidade limite é atingida quando a força resultante FR se anular, isto
FÍSICA A

é, a força de resistência do ar equilibrar a força motriz que o carro recebe
do chão por causa do atrito.
2. Considere um sistema de coordenadas cartesianas triortogonal xyz
FR = 0 ⇒ F = kV2
lim fixo no solo terrestre com o eixo z vertical.

͙ළළ
F F
V2 = ––– ⇒ Vlim =
lim –––
k k

Um objeto está movendo-se para cima ao longo do eixo z e o módulo
de sua velocidade está diminuindo.
De posse dessa informação, podemos concluir que
a) existe uma única força atuando no objeto na direção do eixo z e
sentido para baixo.
b) a força resultante no objeto tem direção e sentido do eixo z.
c) podem existir várias forças atuando no objeto, mas a mais intensa
Resposta: C deve ser dirigida segundo o eixo z e dirigida para baixo.
d) a força resultante no objeto tem a direção do eixo z e sentido para
baixo.
e) não podem existir forças atuando no objeto que tenham a direção
dos eixos x e y.

108 –

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