O documento apresenta um estudo sobre a aplicação do cálculo diferencial e integral no dimensionamento de vigas isostáticas sob diferentes tipos de carga. É analisado o cálculo dos esforços de momento fletor e cortante em vigas biapoiadas com carga uniforme ou concentrada, e em viga com um engaste e carga concentrada ou uniforme na extremidade livre. Diagramas ilustram os resultados obtidos para cada caso.
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
1. Universidade Estadual Vale do Acaraú – U.V.A.
CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Engenharia Civil e Ambiental
Aplicação do Cálculo Diferencial e
Integral no Estudo de Vigas Isostáticas
Sobral - Ce – 2012
2. 2
SUMÁRIO
CONTEÚDO PÁGINA
INTRODUÇÃO 03
CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA 04
UNIDADES ADOTADAS 04
VIGA BIAPOIADA COM CARGA 04
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
VIGA BIAPOIADA COM CARGA 07
CONCENTRADA
VIGA COM UM ENGASTE E CARGA 09
CONCENTRADA NA EXTREMIDADE
3. 3
VIGA COM UM ENGASTE E CARGA 10
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA
VIGA COM UM ENGASTE E CARGA 12
TRIANGULAR
CONCLUSÃO 13
BIBLIOGRAFIA 14
4. 4
INTRODUÇÃO
Podemos afirmar que o Cálculo Diferencial e Integral e as
Engenharias – Civil, Elétrica, Mecânica e outras - estão intimamente
associados.
No dimensionamento de uma viga, por exemplo, a determinação dos
esforços de Momento Fletor e Esforço Cortante têm importância
fundamental. Podemos dizer de uma forma sucinta que o Momento Fletor
submete as seções transversais de uma viga comum a esforços de
tração e compressão enquanto que o Esforço Cortante solicita citadas
seções a Tensões de Cisalhamento.
Portanto, ao efetuarmos o dimensionamento de uma viga, quer seja
esta feita de concreto, aço, madeira, alumínio ou outro material
apropriado, devemos dividir esta tarefa em duas etapas.
5. 5
A primeira etapa é constituída pelo cálculo dos esforços principais que
atuam na estrutura; em outras palavras: devemos achar o maior valor do
Momento Fletor assim como o maior valor da Força Cortante que atuam
na viga devido os diversos tipos de carregamento. A segunda etapa é
fazer o dimensionamento da viga propriamente dita, onde devem ser
verificadas quais são as dimensões necessárias da mesma para resistir
aos esforços solicitantes.
O Cálculo Diferencial e Integral nos permite encontrar as funções do
Momento Fletor e da Força Cortante em qualquer seção da viga.
Encontrada a função que possibilita calcular o Momento Fletor para
determinado trecho de uma viga, ao derivarmos esta função
encontraremos outra f(x) que nos dá, desta vez, o Esforço Cortante para o
trecho considerado.
Este estudo, no qual o Autor usou quantidade mínima de bibliografia,
porque preferiu, antes, buscar os conhecimentos adquiridos nos bancos
escolares da Universidade de Fortaleza no início da Década de 1980, visa
dar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da Universidade
Estadual Vale do Acaraú mais uma a opção de material didático.
Foram abordadas cinco tipos de vigas comumente encontradas.
6. 6
Omnia mecum porto.
Sobral, Ce, maio de 2012,
Daniel Caetano de Figueiredo (*)
(*) O Autor é Engenheiro Civil formado pela Universidade de Fortaleza em Dezembro de 1982 e
Professor Concursado da Universidade Estadual Vale do Acaraú.
7. 7
CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA
Para uma determinada seção S de uma viga, perpendicular ao eixo
da mesma, o Momento Fletor será considerado positivo se a força, quer
esteja esta à esquerda ou à direita da seção, tende a imprimir à viga
concavidade para cima; caso contrário, qual seja, se a força tende a
imprimir à viga concavidade para baixo, o Momento Fletor será
considerado negativo.Ao colocarmos os valores encontrados no D.M.F.
(Diagrama do Momento Fletor), teremos, por convenção, Momento Fletor
com valor negativo acima do eixo x e com valor positivo abaixo do eixo x.
Com relação ao Esforço Cortante para uma determinada seção
perpendicular ao eixo de uma viga , se a força tende a deslocar para cima
a parte da viga que fica à esquerda da seção, neste caso Q será
considerado positivo, o mesmo ocorrendo se a força tentar deslocar para
baixo a parte da viga que fica à direita da seção. Em ambos os casos o
valor de Q será positivo; se a força, contudo, tentar deslocar para baixo a
8. 8
parte da viga que fica à esquerda da seção, ou deslocar para cima a
parte da viga que está à direita da seção, neste caso, então, o Esforço
Cortante Q será considerado negativo. Na elaboração do D.E.C. os
valores positivos de Q ficam acima do eixo x e os valores negativos ficam
abaixo de do eixo x.
UNIDADES ADOTADAS
Sabemos que a força que atua em um corpo de massa 1,0
m
quilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 1,0 s na mesma direção e
2
sentido da força, equivale a 1,0 Newton.
Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N
m
em um local onde a aceleração da gravidade vale 9,8 s (valor médio aceito
2
para toda a superfície da Terra) podemos, para efeitos didáticos e por
praticidade, substituírmos a unidade Newton(unidade de força) por
9. 9
kg(unidade de massa), já que na superfície da Terra um corpo de massa
1,0 kg pesa 1,0 Kgf.
Com relação à unidade de comprimento, adotamos o metro,
comumente usado em Engenharia Civil para medir o vão de vigas.
Veremos, a seguir, o estudo relativo a cinco tipos distintos de vigas
comumente usadas.
VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
10. 10
Seja a viga abaixo com vão igual a l metros, carga uniformemente
kg
distribuída de q m e apoiada em A e B
Para o cálculo das reações de apoio, aplicamos primeiramente a
equação ∑ M = 0 e encontramos o valor de R ; em seguida aplicamos ΣF = 0
A B V
ql
e encontramos a reação R ; os valores das duas reações são iguais a 2 ,
A
como era de se esperar(o carregamento é simétrico em relação a uma
seção tomada no meio da viga). A direção das reações é a direção vertical
e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
Consideremos agora uma seção perpendicular ao eixo da viga e
distante x metros do apoio A.
11. 11
Nesta seção da viga, assim como nas demais, o valor do momento fletor é
2
qx
dado pela função M ( x) = R x − 2 que é uma função do segundo grau em x.
A
Derivando esta f(x) obtemos a função do Esforço Cortante, que será
do primeiro grau e a mesma nos permitirá calcular o Esforço Cortante em
qualquer seção distante x metros do apoio A.
Sendo assim, teremos:
dM ( x)
= Q( x) = R A − qx
dx
l
Devemos notar que esta função Q(x) se anula em x=
2 e também
dQ( x)
convém ressaltar que dx = −q . Em outras palavras: a função derivada de
Q(x) nos fornece o carregamento que atua na viga. É evidente que
podemos, também, percorrermos o caminho inverso, qual seja, dadas as
cargas encontramos a função Q(x) por integração; integrando esta,
obtemos M(x).
Conforme nos ensina o Cálculo Diferencial e Integral, o ponto onde a
derivada primeira de uma determinada função se anula ou deixa de existir,
12. 12
constitui um ponto crítico desta função(ponto de máximo, ponto de
mínimo, ponto de inflexão ou a função inexiste neste ponto crítico).
Derivando mais uma vez M (x) encontramos a sua derivada de
segunda ordem. Pelo Teste da Derivada Segunda, sabemos então que no
meio da viga teremos um valor máximo(positivo) para o momento fletor e
2 2
ql ql
este valor será igual a 8 . Citado valor( 8 ) foi encontrado ao calcularmos
l
M( )
2 . Devemos observar que na seção central da viga o valor do Esforço
Cortante é nulo. Temos ainda de ressaltar os valores nos extremos da
viga, onde o Momento Fletor é nulo; e onde o Esforço Cortante é
ql ql
máximo, possuindo valores iguais a 2 e − 2 , nos pontos A e B,
respectivamente.
Abaixo seguem os gráficos das funções que representam o Momento
Fletor e o Esforço Cortante para o caso estudado. Para entendermos
estes gráficos devemos recorrer à convenção usualmente adotada para
representá-los.
14. 14
Analisaremos em seguida o caso de uma viga biapoiada sujeita a
uma carga concentrada.
VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA
15. 15
Seja agora a viga abaixo , apoiada em A e B, com l metros de
comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto
situado a distancia igual a b metros do apoio B e a metros do apoio A,
conforme a figura.
Pa
Aplicamos a equação ∑ M A =0 e encontramos RB =
l ; em seguida
Pb
fazemos ∑ F = 0 e encontramos R = l . A direção das reações é a direção
V A
vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima.
16. 16
Consideremos agora uma seção S1 perpendicular ao eixo da viga,
distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto de
aplicação da força P.
Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valor
do momento fletor é dado pela função M ( x) = R x que é uma f(x) do primeiro
A
grau em x. Assim, a representação do D.M.F. será representado por
segmentos de retas inclinadas em relação ao eixo x.
Derivando M(x) obtemos a função do Esforço Cortante, Q( x) = R sendo
A
esta de grau zero(função constante) e nos permitirá calcular o esforço
cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A, no trecho
compreendido entre A e o ponto de aplicação da força P.
Sabemos portanto que:
dM ( x)
= Q( x) = R A
dx
Convém notar que as funções acima são aplicáveis apenas no trecho
compreendido entre entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P.
17. 17
Por ser uma função constante, o diagrama do esforço Cortante será
dado por segmentos paralelos ao eixo x.
No caso em questão devemos também analisar o trecho
compreendido entre a carga P e o apoio B.
Neste trecho em qualquer seção distante x metros de A temos que
M ( x) = R A x − P( x − a)
Derivando esta função encontramos a Q(x) para o Esforço Cortante
Q( x) = R − P , ou seja, será igual a − R
A B
No ponto onde a força P é aplicada, a função que representa o
Esforço Cortante possui uma descontinuidade e o Momento Fletor neste
Pab
ponto alcança seu valor máximo, igual a l . Queremos com isto
ressaltar que o Momento Fletor de uma viga não é necessariamente
máximo no local onde o esforço Cortante é nulo. No caso em questão
ocorre no ponto onde o valor do Esforço Cortante também é máximo. Mas
devemos atentar para o fato de que, neste ponto, o gráfico da função
Q(x) dá um salto de descontinuidade.
Teremos a seguir os Diagramas do Momento Fletor e da Força
Cortante.
19. 19
Analisaremos em seguida o caso de uma viga isostática
simplesmente engastada e sujeita a uma carga concentrada em sua
extremidade livre.
20. 20
VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA EM SUA
EXTREMIDADE
Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com a
extremidade B em balanço, com l metros de comprimento e possuindo
um carregamento de P kg aplicado no ponto B situado à uma distancia
igual a l metros do apoio A, de acordo com a figura.
Para calcularmos as reações em A, reações estas que serão
constituídas por um momento e uma força vertical, aplicaremos
21. 21
primeiramente a equação ΣF = 0 , encontrando R = P ; em seguida usaremos
V A
∑ M = 0 encontrando M = Pl kg.m no sentido anti-horário. A reação R possui
A A A
a direção vertical e sentido para cima. Assim, como no caso das vigas
anteriores, as reações de apoio horizontais serão nulas porque não existe
nenhuma componente horizontal de carga atuante que solicite a viga.
Peguemos agora uma seção S distante x metros do apoio A.
Nesta seção genérica, a função M(x) do Momento Fletor será dada por
M ( x ) = − M + R x , ou M ( x) = − Pl + Px .
A A
Derivando M(x) encontraremos a função do Esforço Cortante, dada
por Q( x) = + P . Por ser uma função constante, o D.E.C. será representado por
segmento paralelo ao eixo x.
Com relação à função que representa o Momento da viga, em A
teremos o valor máximo para o Momento Fletor. Por ser M(x) do primeiro
grau, o D.M.F. será representado por um segmento inclinado em relação
ao eixo x, variando do valor M ao valor 0 em B, conforme a figura abaixo.
A
A registrar que o gráfico do Esforço Cortante comporta-se de maneira
análoga nos pontos A e B. Em A o Momento Fletor é máximo e em B é
igual a zero. De qualquer forma, em A existe um ponto de
descontinuidade no gráfico de Q(x), onde o Momento é máximo.
23. 23
A seguir veremos o caso de uma viga com um engaste apenas só
que, desta vez, seu carregamento será uniformemente distribuído.
VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDA
24. 24
Seja agora a viga acima ,engastada na extremidade A, também de
comprimento igual a l metros e submetida ao carregamento uniforme de q
kg/m ao longo de seu vão.
Usando as equações da Estática determinamos as reações de apoio.
Assim, fazendo ∑ M = 0 encontramos a reação (Momento) no ponto A , cujo
A
2
ql
valor será igual a 2 no sentido anti-horário. A reação horizontal H , a
A
exemplo de todos os casos anteriores, não existe, por não existir,
conforme já afirmado anteriormente, carregamento que possua
componente de força atuando na direção horizontal. Fazendo ΣF = 0 V
encontramos a reação vertical que atua no ponto A da viga engastada, e
25. 25
que possui o valor R = ql kg, com direção vertical e sentido de baixo para
A
cima.
Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função do
− ql
2 2
qx
Momento Fletor é dada por M ( x) = 2 + qlx − 2 . Vemos que esta função é do
segundo grau e possui um máximo.
Derivando esta função M(x), encontramos a função que nos dá o Esforço
Cortante ao longo da viga, qual seja Q( x) = ql − qx
Na elaboração do gráfico do Momento Fletor, para encontrarmos os
valores mais importantes (no apoio, no meio e no final da viga), basta
l
encontrarmos M(0), M( 2 ),e M(l). Ao fazermos isto, encontramos os valores
− ql 2 l − ql 2
M (0) =, M ( 2 ) = 8 e M (l ) = 0 .
2
Levando em consideração que o gráfico de M(x) é uma parábola,
conforme já dito, podemos elaborar o diagrama seguinte:
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
26. 26
Na elaboração do D.E.C, visto abaixo, sabemos que Q(x) é uma f(x)
de primeiro grau, portanto o diagrama em questão será representado por
l
segmentos inclinados em relação ao eixo x. Calculando Q(0), Q( 2 ) e Q(l)
ql
encontramos respectivamente os valores ql, 2 e 0. Convém ressaltar que,
para este tipo de viga, ao usarmos semelhança de triângulos, concluímos
que o valor do esforço Cortante no meio da viga será sempre igual à
metade do valor do Esforço Cortante máximo(no apoio).
28. 28
Seja a viga engastada em A e submetida a um carregamento de q
kg/m em A, carregamento este que vai diminuindo linearmente até ser
nulo em B.
2
ql
Aplicando as equações ∑ M = 0 e F = 0 obtemos os valores de M = 6 e
A V A
ql
RA = . Convém notar que o valor de R é numericamente igual à área do
2
A
triângulo de base l e altura q ou seja, igual ao carregamento total que
atua na viga. Carregamento este que poderia ser substituído por uma
l
força concentrada à uma distância 3 de A(Centro de Gravidade do
Triângulo).
29. 29
Para facilitar os nossos cálculos, façamos a origem do eixo x coincidir
com o ponto B.
Portanto em uma determinada seção S distante x metros do apoio A,
qx
a altura do triângulo será igual a uma carga q = l , já que o triângulo maior
1
de altura igual a q e base l é semelhante ao triângulo menor de altura igual
q l
a q e base x (
1
q1
= ).
x
Sendo assim, em qualquer seção S distante x metros de B teremos:
3 2
qx qx
M ( x) = −
6l
e Q( x) = − 2l , sendo esta última função obtida ao derivarmos M(x).
A função Mx) é do terceiro grau e seu gráfico será uma parábola
cúbica. Q(x), por outro lado, é do segundo grau. Derivando Q(x)
qx
encontramos − l que é o valor de q a uma distância x do ponto B, como
1
era de se esperar.
Teremos no ponto A, neste caso, os valores máximos para o esforço
Cortante e o Momento Fletor. Estes valores serão, respectivamente,
ql 2
ql
iguais a − 6 e 2 conforme já visto. No meio da viga o valor do Momento
30. 30
ql 2 − ql l
Fletor será −
48
e valor de Q será 8 , encontrados ao calcularmos M.( 2 ) e
l
Q ( 2)
DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
32. 32
Para carregamentos mais complexos, que são uma combinação dos
carregamentos vistos neste estudo, podemos usar o Principio da
Superposição dos Efeitos.
Os desenhos encontrados neste trabalho foram feitos pelo autor, que
fez uso do programa Auto-CAD 2000 para confeccioná-los.
BIBLIOGRAFIA
-NASH, William A., Resistência dos Materiais, 2ª. Edição, Coleção
Schaum, Editora McGraw- Hill
