Monografia Cleiton Matemática 2007

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO - CAMPUS VII
CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIA COM
HABILITAÇÃO EM MATEMÁTICA

A GEOMETRIA DO ENSINO FUNDAMENTAL NA
ESCOLA EDUCANDÁRIO SENHORA SANTANA EM
CANSANÇÃO/BA.

CLEITON DE OLIVEIRA MENDES

Senhor do Bonfim, 2007

CLEITON DE OLIVEIRA MENDES

A GEOMETRIA DO ENSINO FUNDAMENTAL NA
ESCOLA EDUCANDÁRIO SENHORA SANTANA EM
CANSANÇÃO/BA.

PROFA. MIRIAN BRITO DE SANTANA
orientadora

Monografia apresentada ao Departamento de
Educação da Universidade do Estado da Bahia –
UNEB/CAMPUS VII, como parte dos requisitos para
conclusão do Curso de Licenciatura em Ciência com
Habilitação em Matemática.

SENHOR DO BONFIM, 2007

Dedico especialmente este trabalho
aos meus queridos pais, Roque e Amenaide,
aos meus estimados irmãos, Maria, Jaqueline e Rômulo,
a minha esposa amada Joziane,
e, a minha adorável filha Lara Laissy.
A vocês o meu maior carinho.

AGRADECIMENTOS

A Deus por me conceder o prazer de viver
com saúde, alcançando meus objetivos diante das
adversidades existentes.
A toda minha família, em especial aos meus pais, Roque e Amenaide,
sempre presente em minha vida, me apoiando em tudo que faço e ensinando-me
que a melhor virtude de um homem é a honestidade.
A minha orientadora Mirian Brito, pelo incentivo, paciência e humildade.
A minha professora primária Dacilda Rios de Oliveira (in memória) por
ensinar-me os primeiros passos na Matemática;
Ao professor Francisco de Assis Alves dos Santos por me contagiar com seu
amor pela Matemática;
Aos meus amigos Rogério Santana, Jocelma Silva e Joelma Silva pela grande
contribuição neste trabalho;
À UNEB por proporcionar com o ensino que oferece
o crescimento da nossa região;
A todas as pessoas, que direta ou indiretamente,
contribuíram para a realização deste sonho.

A Geometria
faz com que possamos adquirir o hábito de raciocinar,
e esse hábito pode ser empregado, então,
ajudar-
na pesquisa da verdade e ajudar-nos
na vida.

Jacques Bernoulli
(1654-1705)

RESUMO

A Educação desempenha um papel muito importante em nossa sociedade e o
ensino da Matemática tem proporcionado grande contribuição neste processo.
Dessa maneira, acreditamos também que a Geometria, como um dos campos da
Matemática, vem contribuindo significativamente para o desenvolvimento social,
cultural e econômico de nossa sociedade. Neste sentido, realizamos uma pesquisa
qualitativa, buscando analisar a importância atribuída para os conteúdos de
Geometria no ensino de Matemática, no terceiro e quarto ciclos das séries finais do
Ensino Fundamental, da Escola Educandário Senhora Santana, no município de
Cansanção/BA. Para tanto, buscamos dados necessários em fontes bibliográficas,
sobre os aspectos históricos da Geometria, o ensino da Matemática, a contribuição
da psicologia para a educação e a importância da Geometria no ensino da
Matemática, que nos garantissem a veracidade daquilo que julgamos essencial – a
presença da Geometria na vida do homem. Diante destes argumentos teóricos,
aplicamos um questionário contendo perguntas objetivas e semi-objetivas, e
colhemos os planos de aula relativos ao primeiro semestre deste ano, dos oito
professores pertencentes a estes séries nesta Escola. Como resultado da pesquisa,
podemos destacar que, o ensino de Geometria na Escola pesquisada, bem como em
muitas outras, não atender as reais necessidades ou as propostas do MEC na
quantidade de conteúdos destinados as séries em questão, e que o atual livro
didático adotado não corresponde as recomendações do MEC. Entretanto,
constatamos uma preocupação por maioria dos docentes pesquisados, com a sua
formação, e ainda, em incluir conteúdos geométricos em suas aulas de Matemática
nas séries finais do Ensino de Matemática, embora de modo isolado e tímido.

Palavras-chave: Geometria, Ensino de Matemática, Ensino Fundamental, Guias do

Livro Didático, Psicologia da Educação

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS ................................................ 07
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 09
CAPÍTULO I: A GEOMETRIA NA HISTÓRIA DO HOMEM ............................. 11
1.1 A Geometria no Período Pré-Histórico .............................................. 11
1.2 A Geometria na Mesopotâmia .......................................................... 13
1.3 O Egito Antigo.................................................................................... 16
1.4 A Influência Grega ............................................................................. 20
1.5 Euclides e Os Elementos .................................................................. 22
1.6 As Geometrias Não-Euclidianas ....................................................... 23
CAPÍTULO 2: O ENSINO DE MATEMÁTICA NO AMBIENTE
ESCOLAR ...........................................................................................................27
2.1 O Ensino da Matemática ......................................................................27
CAPÍTULO 3: A PSICOLOGIA E O ÂMBITO ESCOLAR ...................................35
3.1 A Psicologia .........................................................................................35
3.2 As Principais Correntes Teóricas da Psicologia do
Século XX .................................................................................................36
3.3 A Psicologia do Desenvolvimento Humano – Piaget ...........................37
3.4 A Teoria Interacionista – Vigotski ........................................................39
3.5 A Teoria da Aprendizagem – David Ausubel .......................................41
3.6 Bruner e a Contribuição para o Ensino ................................................42
CAPÍTULO: 4. OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA NO PNLD .......................45
4.1 Aspectos Metodológicos Dos Livros Didáticos No PNLD ................... 50
4.2 A Geometria no Ensino da Matemática para O PNLD ........................51
CAPÍTULO: 5. A PESQUISA NO EDUCANDÁRIO SENHORA SANTANA ......54
5.1 Descrevendo a Pesquisa .....................................................................57
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 66

REFERÊNCIAS.................................................................................................. 68

APÊNDICE ........................................................................................................ 71

LISTAS DE FIGURAS, GRÁFICOS E TABELAS

1. FIGURAS

Figura 1: Escrita egípcia – hieróglifa ..............................................................12

Figura 2: Escrita mesopotâmica cuneiforme ..................................................13 Figura

3: Tábula de Plimpton 322 ...................................................................15

Figura 4: Pirâmide de Gizé .............................................................................17

Figura 5: Papiro de Rhind (1650 a.C.) ............................................................19

Figura 6: Papiro de Moscou (1890 a.C.) ........................................................19

Figura 7: Mapa da Região de Senhor do Bonfim/BA .....................................56

2. GRÁFICOS

Gráfico 1: Valores Percentuais Referentes a Reprovação do Livro Didático no Parecer
Avaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008 ................................48

Gráfico 2: Nível de escolaridade dos docentes de Matemática das séries finais do
Ensino Fundamental da Escola Educandário Senhora Santana (%) ........59

Gráfico 3: Quantitativo de docentes que atuaram na escolha dos livros didático de
Matemática (%) ............................................................................60

Gráfico 4: Quantitativo de professores de Matemática que tiveram acesso ao Guia
de Livros Didáticos PNLD na Escola Educandário Senhora Santana (%)
...................................................................................................61

Gráfico 5: Conteúdos de Geometria trabalhos pelos professores de Matemática
nas séries finais da Escola Educandário Senhora Santana (%)
..................................................................................................................62

3. TABELAS

Tabela 1: Valores Referentes a Aprovação ou Reprovação do Livro Didático no Parecer
Avaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008 ...........................................47

Tabela 2: Valores Percentuais Referentes ao Conteúdo Matemático Desejável no Livro
Didático de Acordo Com o Parecer Avaliativo do MEC para 2008 ..................49

INTRODUÇÃO

A educação exerce grande contribuição para formação do ser humano, haja vista que

através dela, o homem consegue desenvolver habilidades essenciais para atuar ativa e

cooperativamente na construção de uma sociedade melhor. No livro Introdução aos PCN 5.ª a

8.ª séries (BRASIL, 1998, p. 6) enfatiza-se que:

O papel fundamental da educação no desenvolvimento das pessoas e das sociedades
amplia-se ainda mais no despertar do novo milênio e aponta para a necessidade de
construir uma escola voltada para a formação de cidadãos. Vivemos numa era
marcada pela competição e pela excelência, em que progressos científicos e avanços
tecnológicos definem exigências novas para os jovens que ingressarão no mundo do
trabalho. Tal demanda impõe uma revisão dos currículos, que orientam o trabalho
cotidianamente realizado pelos professores e especialistas em educação do nosso
país.

Deste modo, percebe-se que a escola tem um papel muito importante nesse processo.

Nesta perspectiva, procuramos desenvolver uma pesquisa qualitativa, buscando uma análise

acerca da importância que os conteúdos geométricos apresentam no ensino de Matemática,

nas séries finais do Ensino Fundamental, na Escola Educandário Senhora Santana, no

município de Cansanção/BA.

Essa preocupação com a Geometria ocorre por algumas razões. Dentre elas, podemos

destacar que a consideramos como um dos campos da Matemática mais presentes em nossas

vidas. Pois de acordo com Rosa Neto (2002), a Geometria é uma das culturas humanas mais

utilizadas em nosso cotidiano, visto que estamos cercados de situações que envolvem retas,

plano, figura, etc. Outra preocupação decorre de nossa experiência enquanto docente da rede

pública há mais de 10 anos. Esta vivência nos remete ao confrontamento sobre onde estamos

e o que podemos fazer para melhor a situação do ensino que nos é tão próximo.

Ao desenvolvermos nosso trabalho, procuramos dividi-lo capítulos. No primeiro,

enfatizamos os aspectos históricos da Geometria, resgatando suas influências e contribuições

para as civilizações antigas, tais como a egípcia, babilônica, grega e outras. No segundo

capítulo, verificamos como o ensino da Matemática passou a ser universalizado no mundo e

também no Brasil, e quais as suas mudanças e influências nos setores sociais, culturais e

econômicos. Já no terceiro capítulo, desenvolvemos uma análise sobre a influência que as

teorias da psicologia proporcionaram à educação, enfatizando as suas contribuições para o

processo ensino-aprendizagem. No quarto capítulo, analisamos as propostas educacionais

brasileiras com o Plano Decenal de Educação, através dos Guias do Livro Didático, onde

procuramos evidenciar como a Geometria deve se fazer presente no ensino da Matemática. O

último capítulo trás os procedimentos adotados para a realização da pesquisa, os resultados

encontrados e uma análise crítica destes resultados. Por fim, acrescemos neste trabalho as

referências utilizadas para sustentar teoricamente o que discutimos durante todo o texto, as

considerações que achamos pertinentes com os resultados obtidos e, o questionário aplicado

como apêndice.

CAPÍTULO 1. A GEOMETRIA NA HISTÓRIA DO HOMEM

1. 1 A GEOMETRIA NO PERÍODO PRÉ-HISTÓRICO

A história sobre o conhecimento geométrico, é possivelmente tão antigo quanto à

origem do homem em nosso planeta, pois o ser humano desde a sua infância até a sua fase

adulta, de certa forma, já passa a utilizar alguns conceitos geométricos, quando ele observa e

utiliza o espaço em que vive. (SCHMITZ, 1994).

O nosso período pré-histórico é caracterizado pelos vestígios deixados pelos nossos

ancestrais, como ruínas de edificações, utensílios de barro, rabiscos feitos em cavernas,

esqueletos, etc. No entanto, não há documento que expresse as vivências de nossos ancestrais

nesse período longínquo. (SCHIDT, 2002).

Os historiadores ocidentais classificaram a Idade da Pedra em três períodos. O

primeiro é o Paleolítico (c. 5000 000–10 000 a.C.) onde os hominídeos evoluíram e se

transformaram em Homo sapiens, vivendo da caça/pesca e morando em cavernas. No segundo

período denominado de Mesolítico (c.10000–7000 a.C.), houve algumas mudanças climáticas,

gerando-se desertos e reduzindo-se a caça e pesca, com isso, o homem passou a procurar os

lugares próximos dos vales e rios perenes à procura de alimentos. Já o último período, o

Neolítico (c.7000–3000 a.C.), a Idade da Pedra começou a declinar dando lugar às Idades do

Bronze e do Ferro. O homem também passou a utilizar a escrita, a desenvolver novas técnicas

para agricultura e a domesticar animais. (EVES, 2004; SOUZA, 1991).

A respeito dessas mudanças neste último período, Boyer (1974, p. 18) afirma que “o

quarto milênio antes da nossa era foi um período de notável progresso cultural, trazendo o uso

da escrita, da roda, e dos metais”. As primeira civilizações que passaram a utilizar a escrita,

de acordo com os registros históricos, foram a mesopotâmica e a egípcia. (EVES, 2004).

Na Mesopotâmia, região situada entre os rios Tigre e Eufrates, os povos sumérios,

passaram a fazer suas representações em placas de barros, utilizando a escrita cuneiforme –

escrita feita em barro com instrumento afiado na ponta ou cunha. Estima-se que no mesmo

período, os povos egípcios passaram a utilizar dois tipos de escritas nas paredes das pirâmides

e em folhas de papiros, um tipo de ancestral do nosso papel, denominadas demótica (simples)

e hieróglifa (mais complexa, usando símbolos e figuras). (BOYER, 1974).

As figuras (1 e 2) a seguir mostram estas escritas feitas por egípcios e mesopotâmicos.

FIGURA 1: Escrita egípcia – hieróglifa

Fonte: www.cyberantes.com.br

FIGURA 2: Escrita mesopotâmica cuneiforme

Fonte: www.cyberartes.com.br/edicoes/78/aprenda08.gif

É importante ressaltar que há alguns indícios afirmando que as civilizações indiana e

chinesa apresentavam alguns avanços nessa época, embora de acordo com Eves (2004), não

haja qualquer registro confiável, até o momento, que garanta tal existência. Os registros

encontrados, desses povos demonstram claramente as suas contribuições para o

conhecimento matemático e demais áreas do conhecimento humano. Por isso, é interessante

viajar no tempo e conhecer um pouco mais, sobre essas civilizações antigas.

1.2 A GEOMETRIA NA MESOPOTÂMIA

A região situada entre os rios Tigre e Eufrates denominada de Mesopotâmia, é hoje

conhecida como o Iraque. Atribui-se a essa região, o surgimento das primeiras civilizações

como cidades e o uso da escrita. Durante muito tempo, a Mesopotâmia foi o centro do mundo

antigo, onde sempre esteve exposta a infiltrações de estrangeiros. Sua história é marcada pela

sucessão de guerras, invasões, massacres e dominações de povos diferentes. Dentre esses

povos, destacam-se os sumérios, acádios, amoritas, cassitas, assírios e caldeus (SCHIMIDT,

2002; SOUZA, 1991).

Com a criação da escrita cuneiforme, os povos mesopotâmicos passaram a adquirir

maior conhecimento e, com isso, criaram leis, registros de impostos, histórias, lições de

escola, cartas pessoais etc. Esses fatores contribuiram para o surgimento de alguns impérios

na antiguidade, sendo o mais famoso o reinado de Hamurabi (c. 1730–1685 a.C.). Nele, o

imperador fortificou a capital Babilônia, criando muralhas, grandes obras públicas e o Código

de Leis mais antigo que a história registra, cuja idéia principal era “olho por olho, dente por

dente”. (SCHIMIDT, 2002; SOUZA, 1991).

As maiores informações sobre essa civilização, estão em suas escritas nas tábulas de

argila, onde os arqueólogos vem trabalhando sistematicamente desde meados do século XIX,

com a descoberta de mais de meio milhão de tabulas. Dentre elas, apenas 400 são

consideradas como estritamente matemática, contendo listas de problemas referentes a esta

área do conhecimento. (BOYER, 1974).

O conhecimento geométrico encontrados nestas tábulas de argila, chama a atenção por

seu grau de conhecimento da Geometria plana (área) e espacial (volume), pois dentre os

numerosos exemplos concretos do período (c. 2000 a.C.–1600 a.C.) eles já demonstravam

bastante familiaridade com as regras gerais para os cálculos de áreas de figuras geométricas

planas, tais como: retângulo, triângulo retângulo e isósceles, trapézio retangular, círculo com

π equivalente a três unidades de medida. Demonstravam também familiaridade com o volume

de alguns sólidos, a exemplo do paralelepípedo retangular, prisma reto de base trapezoidal e

cilindro reto. (EVES, 2004).

Dentre as tábulas de matemática descobertas pelos arqueológicos, destaca-se

Pimpton 322, escrita no reinado de Hamurabi. Esta tábula apresenta exemplos de triângulo

retângulo, sendo assim comparada com a tripla pitagórica. De acordo com Milles (1994) e

Eves (2004), todas as triplas na Tábula Plimpton 322, podem ser facilmente convertida numa

tripla pitagórica de números inteiros. Abaixo temos uma imagem desta tábula.

FIGURA 3: Tábula de Plimpton 322

Fonte: www.math.edu.pl/images/anegdoty/plimpton.jpg

É importante ressaltar que esses documentos babilônicos são mais resistentes ao tempo

do que os de outras civilizações e, segundo Boyer (1974), talvez por isso, dispõe-se hoje, de

muito mais informações sobre a matemática da Mesopotâmia do que a do Egito e de outras

civilizações que supostamente deixaram suas contribuições para essa área.

Diante dessas informações, percebemos que os povos mesopotâmicos deram grande

contribuição para o desenvolvimento da matemática, assim como às demais áreas do

conhecimento humano. A respeito do conhecimento matemático, deixado por essa civilização

neste período, Eves (2004, p. 63) afirma que é possível “concluir, em suma, que os babilônios

eram infatigáveis construtores de tábulas, calculistas extremamente hábeis e certamente mais

fortes em álgebra do que em geometria”. E ainda, que merece destaque “a profundidade e a

diversidade dos problemas considerados por eles”.

1.3 O EGITO ANTIGO

A civilização egípcia se originou as margens do rio Nilo, localizada no nordeste da

África. A sua formação vem de povos que habitavam próximo ao mediterrâneo, que depois se

misturaram com líbios, semitas e elementos negróides. Devido ao clima seco, ao deserto à sua

volta e a escassez de chuva na região, toda população se concentrava às margens do rio Nilo,

em busca de terras férteis, pois durante as cheias, o rio Nilo transbordava, deixando nas suas

margens um solo rico e cultivável. (SOUZA 1991; SCHIMIDT, 2002).

No aspecto político, o antigo Egito, não sofreu tanto com as invasões de estrangeiros

como os mesopotâmicos, pois o clima quente e os desertos serviam de escudo. Por isso,

manteve-se em isolamento, protegido naturalmente de invasões estrangeiras, sendo governado

pacificamente por uma sucessão de dinastia. (EVES 2004; SOUZA 1991).

Com o surgimento dos impérios, os faraós passaram a cobrar impostos sobre as terras

cultivadas às margens dos rios, o que gerou a necessidade de medi-las. A partir daí, os faraós

mandavam pessoas “especializadas” a fim de medir as terras e cobrar os impostos

proporcionais a utilização. Esses “especialistas” eram chamados de estiradores de cordas ou

agrimensores, pois mediam as terras usando cordas com nós. Heródoto (484–425 a.C.)

historiador grego, afirma que se o rio arrastasse uma parte da propriedade de um agricultor,

este por sua vez, poderia reivindicar ao faraó uma nova demarcação de suas terras e, com isso,

só pagaria o imposto da terra que restasse. A partir daí, afirma o historiador, a Geometria veio

a ser conhecida pela primeira vez no Egito e dali passou à Grécia. (EVES, 2004; SOUZA,

1991). No entanto, há outra versão para o surgimento da Geometria citada por Aristóteles

(384–322 a.C). Segundo Boyer (1974), Aristóteles acreditava que a classe sacerdotal do

Egito, daquela época, criou a Geometria quando em seus rituais religiosos estudavam os

conhecimentos geométricos pelo puro prazer.

Para termos uma idéia melhor sobre conhecimento matemático desta civilização

antiga, basta lembrar que durante o Império Antigo (c. 3200 a.C.–2300 a.C.) os faraós da

quarta dinastia, Quéops, Quérfen e Miquerinos, construíram as grandes pirâmides de Gizé.

Pirâmides estas, que atualmente são consideradas como uma das sete maravilhas do mundo

antigo. (SOUZA, 1991). A figura abaixo mostra as referidas pirâmides.

FIGURA 4: Pirâmide de Gizé

Fonte: www.rosaleonor.blogspot.com
De acordo com Souza (1991) e Eves (2004), nestas pirâmides estão dois milhões de

blocos de pedra pesando em média 2,5 toneladas cada um, ajustados entre si. Estes blocos

ainda segundo estes autores, teriam vindos do outro lado do Nilo. Nas pirâmides, os tetos de

certas câmaras eram construídos em blocos de 54 toneladas; o erro relativo da base quadrada é

de 1/14000 e o erro relativo dos ângulos dos vértices da base não excede 1/27000. Outro fato

que importante é que ela foi construída por cem mil trabalhadores em um período de 30 anos.

Além desses monumentos históricos, há dois papiros, entre vários que resistiram ao

tempo, que tratam de temas de matemática, que merecem destaques, são eles: o Papiro de

Rhind ou Ahmes e o Papiro de Moscou ou Golonishev. Segundo Boyer (1974) e Eves (2004).

O primeiro, é o mais extenso rolo de papiro com 0,3 m de altura e 5 m comprimento, está em

Britsh Murium. Ele foi escrito pelo escriba Ahmes por volta de 1650 a.C. e comprado em

1858 por Henry Rhind, proprietário de um antiquário escocês. Neste Papiro há métodos de

multiplicação e divisão, uso de frações, soluções de problemas de área de círculo e muitos

problemas de matemática. Enquanto que o segundo, pouco menor que o primeiro, foi escrito

por volta de 1890 a.C. na décima dinastia por um escriba desconhecido. Neste último Papiro

está a fórmula correta do volume de um tronco de pirâmide de base quadrada. Esta preciosa

informação, ainda de acordo com os autores citados, é única, pois, não há outro registro no

oriente antigo além deste encontrado no Papiro de Moscou. Essa fórmula é considerada por

alguns historiadores como a maior pirâmide do Egito. Observemos a seguir as figuras que

mostram esses dois papiros.

FIGURA 5: Papiro de Rhind (1650 a.C.)

Fonte: www.ime.usp.br/.../imagens/ht_prhind.jpg

FIGURA 6: Papiro de Moscou (1890 a.C.)

Fonte: www.ime.usp.br/.../imagens/ht_moscou.gif

As informações sobre o conhecimento matemático dos povos egípcios na antiguidade

são impressionantes, embora não haja registro de generalização sintetizada dos conteúdos de

matemáticas, pois seus exemplos escritos em papiro são citados como textos de matemática

que envolvem problemas práticos da vida cotidiana desses povos há milênios antes de Cristo.

Nesse período, os egípcios ainda não dominavam a demonstração rigorosa e sistematizada da

matemática. E, isso só veio acontecer mais tarde numa cidade do Egito fundada por gregos e

por pessoas que falam grego, denominada de Alexandria. (MILLES, 1999; BOYER, 1974;

EVES, 2004).

1.4 A INFLUÊNCIA GREGA

A Grécia é um país situado na Europa Oriental, entre os mares Jônio, Egeu e

Mediterrâneo, onde apresenta várias montanhas e ilhas à sua volta. Segundo Milles (1999), os

primeiros vestígios dessa civilização denominada egéia ou pré-helênica, remonta do terceiro

milênio a.C. e foram encontrados na ilha de Creta. Quanto à origem de seu povo, Souza

(1991) afirma que os gregos julgavam-se descendentes de Heleno, filho do Deucalião e Pirra,

que povoaram o mundo após o dilúvio. No entanto, o próprio autor considera que eles

pertenciam aos grupos nórdicos e alpinos que chegaram à Grécia por volta de 2000 a.C. e se

misturaram com povos do mediterrâneo, como aqueus, eólios, jônios e dórios.

Devido a sua localização geográfica, os povos gregos entraram em contato com outros

povos vizinhos, tais como egípcios, babilônios e fenícios, onde absorveram conhecimentos

sobre a escrita e a matemática e em pouco tempo despontava como uma grande civilização.

Para Eves (2004) a revolução agrícola vinda do Egito e do Oriente Médio chegou à Grécia por

volta de 2000 a.C. e dentro de 300 anos ela já se apresentava como uma civilização avançada,

dominando a escrita e leitura. Segundo Boyer (1974, p.19), “os gregos não hesitavam nada em

absorver elementos de outras culturas, de outra maneira não teriam aprendido tão depressa

como passar à frente de seus predecessores, mas tudo o que tocavam davam mais vida”.

De acordo com Eves (2004), essa hegemonia grega teve maior apogeu no período

1700 a 1200 a.C,, pois durante 1200 à 1150 a.C. essa civilização foi destruída pela invasões

dos dórios-povos bárbaros da Ásia – que provocaram grande retrocesso para a cultura grega.

Só por volta de aproximadamente 800–336 a.C., período chamado Helênico, é que eles

surgem novamente, apresentando um processo intelectual e científico surpreendente. Neste

período, afirma Eves (2004, p. 91), a “Grécia Helênica era um mosaico de cidade–Estado e de

pequenas fazendas dispersas”. Ainda sobre esse período, acrescenta Boyer (1974, p. 19),

“colônias gregas podiam ser encontradas ao longo das margens do Mar Negro e Mediterrâneo

e foi nessas regiões afastada que um novo impulso se manifestou na matemática”. Os gregos

travaram lutas internas e externas, provocando assim várias turbulência em determinados anos

e ao mesmo tempo, promovendo os fundamentos básicos para a sociedade ocidental, tais

como no campo filosófico, artístico, matemático e outros. Eves (2004) considera que o

Período Helênico grego (c. 800–336 a.C.) testemunhou realizações intelectuais

extraordinárias, pois nos grandes centros comerciais da Grécia, principalmente em Atenas, os

filósofos lançaram novas idéias para seus discípulos baseadas na racionalidade, dentre eles

merecem destaques: Sócrates (c. 469-399 a.C.), Platão (c. 427-347 a.C.) e Aristóteles (c. 384-

322 a.C.). As histórias reais passaram a ser escritas, destacando-se Heródoto (c.484-424 a.C.)

e Tucídides (c.460-400 a.C.). A matemática passara também ao emprego do raciocínio

dedutivo, destacando-se Tales de Mileto (c. 640-564 a.C.) e Pitágoras (c. 586-500 a.C.) dentre

outros.

1.5 EUCLIDES E OS ELEMENTOS

As informações sobre a vida de Euclides são poucas. Supõe-se que ele estudara na

Academia platônica em Atenas, onde adquiriu grande conhecimentos matemáticos e por volta

do ano 300 a.C., à convite de Ptolomeu I, viajou para a cidade de Alexandria no Egito, onde

lecionou na Universidade de Alexandria e provavelmente fundou a Escola de Matemática de

Alexandria. (EVES, 2004).

Euclides empreendeu inúmeros estudos na área de matemática naquela época, através

de várias obras. Muitas se perderam no tempo, restando apenas cinco. Entre elas, destaca

Boyer (1974), estão Os Elementos, Os Dados, Divisão de Figuras, Os Fenômenos e Óptica.

Os Elementos é a obra mais famosa de Euclides, pois segundo Eves (2004, p. 167):

“não há outro trabalho, exceto a Bíblia, tão largamente usado ou estudado e, provavelmente

nenhum exerceu influência maior no pensamento científico”. A primeira publicação impressa

destra obra foi feita em 1482 na cidade de Veneza com a tradução de Campanus. A partir daí,

já foram impressas mais de mil edições, destaca Milles (1999). De acordo com Eves (2004) a

obra Os Elementos, refere-se a uma genial compilação de todo conhecimento geométrico,

destacando também alguns aspectos aritméticos e algébricos elementar, que superou tudo o

que existia até aquele momento e serviu de base para os estudos que datam de mais de dois

mil anos. A respeito desta obra, Boyer (1974), relata que ela é composta de 465 proposições,

contendo treze livros ou capítulos, dos quais os seis primeiros são sobre a Geometria plana e

elementar, os três seguintes sobre o Teorema dos números, o Livro X sobre os

incomensuráveis e os três últimos falam principalmente sobre a Geometria no espaço.

Segundo Milles (1999), Euclides utilizou um modelo lógico protagonizado por Aristóteles,

usando com distinção axiomas e postulados.

Muitos destes postulados utilizados por Euclides, em sua obra Os Elementos, foi

durante muito tempo aceito. No entanto, o quinto postulado do Livro I, o Postulado das

Paralelas, comumente conhecido, gerou muitas controvérsias e por isso, vários matemáticos

posteriores a Euclides tentaram demonstrar que não era possível tal proposição. Com isso, ela

serviu de base para as novas geometrias. (Milles, 1999).

1.6 AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS

A Geometria apresentada por Euclides em sua obra Os Elementos (c. 300 a.C.) foi

considerada como a única Geometria possível e inquestionável por mais de dois milênios após

a sua publicação. (COUTINHO, 2001). Nesta obra, Euclides conseguiu reunir todo

conhecimento matemático elementar até então existente. Nela havia 465 proposições, cuja

teoria baseava-se em cinco axiomas e cinco postulados. De acordo com Milles (1999),

Euclides distinguia os axiomas dos postulados, adotando assim, o modelo estabelecido por

Aristóteles (384–322 a.C), onde axiomas são noções comuns ou verdades válidas para

qualquer ciência, enquanto postulados são coisas a ser requerida sem demonstração, ou seja,

são princípios implícitos ou explícitos, porém não demonstrados.

O quinto postulado, destaca Eves (2004), despertou grande curiosidade de muitos

geômetras por mais de 2000 anos, onde várias tentativas foram feitas na perspectiva de prová-

lo a partir dos nove axiomas e postulados anteriores. Dentre as várias tentativas, faz-se

necessário destacar a de Girolamo Saccheri (1667–1733). Para Eves (2004), Saccheri foi

quem passou a utilizar pela primeira vez uma investigação científica acerca do quinto

postulado de Euclides. Ainda para Eves (2004, p. 540), se Saccheri não estivesse “tão ávido

de exibir uma contradição e, em vez disso, tivesse admitido sua incapacidade de alcançá-lo”

provavelmente “os méritos da descoberta da geometria não-euclidiana caberiam a ele”.

Segundo Boyer (1974), outras publicações referentes ao Postulados da Paralelas, foram

registrados na história. E dentre elas, merecem destaque Die Theorie der Parallelli e Elements

de Geomètrie do suíço Johann Heinrich Labert (1728–1777) – similar a de Saccheri – e do

francês Andrien-Marie Legendre (1752–1833). Essas publicações deram muita contribuição

para a divulgação do quinto postula de Euclides. No entanto, segundo Boyer (1974),

percebeu-se que o Postulado das Paralelas era independente dos demais e, por isso, não

poderia ser demonstrado em função dos outros.

De acordo com Eves (2004), a história considera que os primeiros a suspeitarem desse

fato, foram o alemão Carl Friedrich Gauss (1777–1855), o russo Nicolai Ivanovitch

Lobachevsky (1793–1856) e o húngaro Janos Bolyai (1802–1860). No entanto, o próprio

autor ressalta que, embora Gauss houvesse dito que era possível existir outra Geometria

diferente da euclidiana, nada consta publicado a esse respeito.

Segundo Boyer (1974) e Eves (2004), o russo Lobachevsky estudara na Universidade

de Kazan, onde passou a ser professor e posteriormente administrador. Durante 1826 e 1829,

percebeu que o quinto postulado de Euclides não poderia ser provado com base nos outros

quatro, e em 1829 publicara o artigo On the Principles of Geometry, o qual marca

oficialmente o nascimento da Geometria não-euclidiana. Para Eves (2004, p. 543):

Essa memória mereceu muita pouca atenção na Rússia e, por ter sido escrita em russo,
praticamente nenhuma em outros lugares. Lobachevsy deu continuidade a seus esforços iniciais
com outras exposições. Por exemplo, na expectativa de alcançar um grupo mais amplo de
leitores, ele publicou, em 1840, um pequeno livro escrito em alemão intitulado Geometrische
Untersuchungen Zur Theorie der Parallellinien (Investigações Geométricas sobre a Teoria das
Paralelas), e mais tarde, em 1855, um ano antes de sua morte e algum tempo depois de ficar
cego, uma abordagem final, mais condensada, em francês, com o título de Pangéométrie
(Pangeometria).

Com relação ao húngaro Janos Bolyai, de acordo com Eves (2004), ele sempre foi

influenciado pelo seu pai para demonstrar o Postulado das Paralelas. No entanto, em 1829,

aproximadamente, ele escreve para seu pai e afirma que não é possível demonstrar o quinto

postulado de Euclides. Com isso, resolve criar a “Ciência Absoluta do Espaço”, onde partiu

da hipótese que por fora de uma reta, podem ser traçadas infinitas retas num plano e, em

seguida enviou para seu pai, que só publicou no ano de 1832, em um apêndice de seu livro.

Segundo Boyer (1974), embora a data de publicação de Bolyai seja depois da obra de

Lobachevsk, considera-se que não haja plágio, pois naquela época as informações eram

tardias.

Após às descobertas de Lobachevsky e Bolyai, a Geometria não-euclidiana ficou de

certa forma esquecida durante algumas décadas até que Georg Friedrich Bernhard Riemann

(1826–1866) passou a tratá-la de maneira geral, cujo objetivo não deveria ser tratado apenas

de pontos, ou de retas, ou de espaço de maneira ordinária, mas como uma coleção de n-uplas.

(BOYER, 1974). Além disso, Riemann deu grande contribuição para o conceito de

integralidade para o século XX, a qual chamamos atualmente de Integral de Reiman. (EVES,

2004).

Na segunda década do século XX, houve uma grande revolução nos métodos

topológicos da álgebra que se estendeu na análise e consequentemente na formulação da

geometria de n dimensão. Segundo Boyer, destaque maior existe nas obras de Nicolas

Bourbaki, na netade do século XX. Trata-se de um grupo de matemáticos que usam este nome

como pseudônimo. De acordo com Eves (2004), desde 1939 essas obras matemáticas vem

aparecendo na França cujo objetivo reflete nas tendências que a matemática deveria assumir

para o século XX. A composição do grupo, é variável, tendo chegado até 20 matemáticos. A

única norma é que não há norma, exceto o jubilamento dos membros com mais de cinqüenta

anos. Estima-se que alguns nomes não oficiais sejam C. Chevalley, J. Dieudonné e A. Weil,

comenta Eves (2004).

Diante de tantas informações sobre as mudanças da Geometria no seu processo

histórico, vale ressaltar que:

A criação das geometrias não-euclidianas, puncionando uma crença
tradicional e rompendo com o hábito do pensamento secular, desferiu um
golpe duro no ponto de vista da verdade absoluta em matemática. Nas
palavras de Georg Cantor: ´A essência da matemática está em sua liberdade´.
(EVES, 2004, p. 545).

Com o registro destes aspectos históricos da Geometria é possível observar a

importância dos seus fundamentos para com a civilização de um modo geral. Assim, diante de

tão valiosa contribuição deixada por estes povos, esperava-se que o sistema de ensino

atribuísse semelhante valorização a sua integração nos currículos escolares. Entretanto, da

utilização da Geometria para a composição dos conteúdos escolares muito ainda se tem por

fazer.

CAPÍTULO 2: O ENSINO DE MATEMÁTICA NO AMBIENTE

ESCOLAR

2.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA

Estudiosos consideram o ensino da Matemática tão antigo quanto o ensino da língua

vernácula. No entanto, o ensino da Matemática só passou a ser inserido na escola a partir da

Revolução Industrial ocorrida no século XVIII. Antes a matemática somente era acessível aos

filósofos ou a grupos restritos. Com o surgimento das indústrias, as atividades ligadas ao setor

primário e aos produtos manufaturados começaram a reduzir, dando lugar às novas atividades,

tais como: operação de máquinas, relações de sistemas bancários, gerenciamento de empresas,

etc. Contudo, essas atividades exigiam “mão de obra qualificada”, onde a maioria das pessoas

deveria ter um conhecimento técnico suficiente para se adaptar à nova realidade. Por isso, os

governantes, pressionados pelos industriais, resolveram investir na universalização da

educação. (FALZETTA, 2002; SCHIMIDT, 2002).

Diante da necessidade apresentada na nova conjuntura social e econômica, a

Matemática inseriu-se no contexto escolar, onde os currículos e os livros didáticos são

baseados no raciocínio dedutivo do grego Euclides. No entanto, como a linguagem

matemática utilizada nos livros era complexa, dificultava a compreensão de estudantes do

ensino básico. Apesar dessas dificuldades, a Matemática consegue se desenvolver e ganha

uma importância maior nas escolas até o início do século XX. (FALZETTA, 2002)

Após a Segunda Guerra Mundial, no período da Guerra Fria1, o ensino da Matemática

passa por reformulação no seu currículo. A corrida espacial, protagonizada pelos Estados

Unidos da América (EUA) e a antiga União das Repúblicas Socialistas Soviéticas (ex-URSS)

e os congressos internacionais promovidos na Europa e nos Estados Unidos contribuíram para

essas mudanças no ensino da Matemática. No início da década de 50, os franceses Jean

Dieudonné, Gustavo Choquet e outros, juntaram-se a filósofos suíços, visando novas

perspectivas para o ensino da Matemática. Com isso, vários países europeus, como Bélgica,

Iugoslávia e Inglaterra também passaram a aderir ao movimento dessas mudanças. E em

1959, a Organização Européia de Cooperação Econômica, promove o Colóquio de

Royaumont na França, cuja proposta era a reformulação dos currículos em vigor. Nesse

Colóquio Choquet apresentou uma proposta para o ensino primário e o secundário da

Matemática. (PIRES, 2000).

Com as propostas apresentadas no Rayaumont na França e na convenção de

Dubrovinik na Iugoslávia, em 1960, deu-se início ou marco ao movimento da Matemática

Moderna. Esta reforma baseava-se na teoria dos conjuntos, dando-se ênfase aos aspectos

algébricos e aritméticos respeitando as estruturas lineares, e conseqüente negação dos

aspectos geométricos. Esse movimento ganha maior projeção na década de 60 na Europa com

Dieudonné, pelo grupo Bourbaki e Choquet na França, por Flether na Grã-Bretanha, por

Madame Krygowska na Polônia. Na América do Norte, passou a ser influenciada por Dienes

no Canadá e por vários grupos de pesquisa nos Estados Unidos, destacando-se o School

Mathematcs Study – SMSG, National Council of Teachers of Mathematics – NCTM e outros

apoiados às universidades de Illinios, Miryland e Boston Callege. (PIRES, 2000).

No Brasil, esse movimento ganha adepto especialmente em dois estados, São Paulo e

Bahia. No estado de São Paulo foi criado o Grupo de Estudo de Educação Matemática –

1
A Guerra Fria foi uma designação dada para o período compreendido entre 1945 a 1989, onde EUA
e a ex-URSS, protagonizaram a disputa de mercado entre o “capitalismo” e o “socialismo”, criando
assim, um clima de Guerra que nunca aconteceu.

GEEM, liderado por Oswaldo Sangiorgi, que apresentou para o ensino primário, vários

manuais escolares, dando ênfase aos axiomas e as estruturas algébricas. No estado da Bahia,

esse movimento passou a ser contemplado por um grupo de professores, que liderado por

Omar Catunda, apresentaram alguns livros para o ensino primário e secundário. (SANTANA,

2000).

Após uma década do movimento da Matemática Moderna, as críticas começaram a

aparecer, gerando assim, uma decadência na proposta. Com isso, surge o Movimento de

Educação Matemática, onde há a participação de professores de vários países e de grupos de

pesquisa, inclusive os próprios defensores da Matemática Moderna. Nesse novo movimento,

as críticas se sobrepõem aos aspectos dos conteúdos valorizados pelo movimento da

Matemática Moderna, visto que a nova proposta aponta como foco principal centralização os

métodos de ensino, o uso de novas tecnologias (como a calculadoras e outras), a relação da

Matemática com a vida, valorizando também os aspectos sociais, lingüísticos e psicológicos

do indivíduo em seu meio. (FALZETTA, 2002).

Para o matemático holandês Freudenthal (1979, apud Pires, 2000, p. 15), o erro

principal da Matemática Moderna estava na sua falsa perspectiva.

Até agora considerava-se, tradicionalmente, que o ensino da Matemática, em
qualquer nível, era determinado pelos conhecimentos adquiridos na etapa seguinte, e
que se tratava de um processo gradual e seletivo, devendo culminar em nobres
investigações matemáticas. Ora, a idéia inovadora proposta pelos defensores da
Matemática Moderna, consistia em efetuar certo “encurtamento”: os conceitos mais
adiantados deviam ser na escola infantil – mesmo por professores que não possuía a
menor idéia do seu significado nem das suas verdadeiras aplicações no plano
matemático. Assim, certos sistemas colocados a serviço das abstrações matemáticas,
desligados do seu sentido e do seu contexto matemáticos, considerados temas de
estudo, concretizados de maneiras inadequadas, eram ensinadas a crianças de
qualquer idade.

Para Pires (2000), os dois movimentos apresentam características distintas. O

movimento da Matemática Moderna, apresentou um compromisso com os avanços técnicos, à

luz da ciência e da tecnologia, buscando como meta de ensino a abstração e aplicações

práticas diretas. Enquanto a Educação Matemática em contraposição ao primeiro movimento,

está centrada numa perspectiva mais ampla, cujo objetivo é valorizar os métodos adequados

para cada etapa do processo de ensino/aprendizagem, utilizando a resolução de problemas

matemáticos que tenham relação com as demais disciplinas e se possível esteja

contextualizado com a vida cotidiana do discente. Além disso, ressalta-se também a

importância de valores sociais, culturais e psicológicos do ser humano.

Na década de 80, muitos países passaram a mudar o seu currículo de ensino. No

entanto, essas reformas não foram uniformes, pois cada um seguia as tendências apresentadas

nos congressos internacionais, adaptando-se às necessidades do país e às condições

econômicas disponíveis. (PIRES, 2000).

Em uma publicação da revista Nova Escola, o escritor Ricardo Falzetta (2002, p.18-

19), afirma que:

Há pelo menos duas décadas, educadores de todo mundo, organizados no
movimento chamado Movimento de Educação Matemática, criam estratégias,
propõem currículos com enfoques diferentes para os conteúdos, pedem a
reintegração da geometria ao programa e, sobretudo, a adoção de uma abordagem
ligada ao cotidiano e vinculada às demais áreas do conhecimento.

No Brasil as reformas educacionais estavam ligadas às propostas das Secretarias

Estaduais e Municipais de Educação, que por sua vez, apresentavam características comuns,

pois elas se baseavam nas tendências mundiais, mas seguindo como referência os diversos

encontros nacionais e regionais, promovidos por grupos de pesquisa em Educação

Matemática.

Essas reformas aconteciam através de reflexões feitas nos Guias Curriculares

anteriores a 1971, pois, detectavam-se os problemas do ensino da Matemática, visando assim,

apresentar alguma proposta nova na perspectiva de melhorar o papel deste ensino no

currículo. (PIRES, 2000).

A partir dessa análise, alguns estados apresentaram propostas para o ensino da

Matemática. Dentre eles, podemos destacar os estados de São Paulo, Pernambuco e Bahia. No

ano 1985, o Estado de São Paulo apresentou para rede pública estadual, propostas curriculares

para o ensino de 1.º e 2.º graus, denominado atualmente de Ensino Fundamental. Sobre elas,

Pires (2000, p. 50-51) destaca:

Nessa proposta foi conferida à Matemática uma dupla função no currículo,
defendendo-se que “ela é necessária em atividades práticas que envolvem aspectos
quantitativos da realidade, como as que lidam com grandezas, contagem, medidas,
técnicas de cálculos” e que “ela desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de
abstrair, generalizar, transcender o que é imediatamente sensível”. Uma das
preocupações explicitadas, era a de apresentar o conteúdo, em diferentes níveis de
abordagem, em que se procura respeitar a integração dos temas serem apresentados,
bem como seu desenvolvimento “em espiral”, conforme preconizava Jerome Bruner.

No estado de Pernambuco, foi apresentado em 1992, o documento Subsídios para a

Organização da Prática Pedagógica nas Escolas – Matemática, onde se fazia críticas aos

modelos curriculares dessa disciplina apresentado ao longo dos últimos anos. Com isso,

falava-se que os conteúdos de Matemática estavam inseridos de forma fragmentada,

desarticulada e fora do cotidiano dos discentes. Por isso, apresentaram uma proposta onde

protagonizava que aprendizagem da Matemática deveria ocorrer do particular para o geral, do

simples para o complexo, cujos conteúdos deveriam ser classificados em número, geometria e

grandeza, seguindo, a exemplo de São Paulo, a espiralidade como base. Enquanto que na

Bahia, a proposta visava chamar a atenção dos educadores, para reverem o papel da

Matemática na escola, uma vez que o seu papel discriminatório e exclusivo era preocupante.

Com isso, procuraram dinamizar o papel da Educação Matemática, dando-lhe ingredientes

novos, como ênfase aos aspectos pedagógicos sociointeracionista, construtismo e

interdisciplinar, embora seguindo a lista de conteúdos tradicionais. (PIRES, 2000).

Antes deste período, no final da década de 1980, após a promulgação da Constituição

de 1988, emerge a necessidade de proposta para um Plano Decenal de Educação, visando uma

nova Lei de Diretrizes e Bases para a Educação Nacional – LBD. No entanto, esta proposta só

foi instituída em 20 de dezembro de 1996, com a Lei n.º 9.394, que passou a determinar os

novos rumos da educação brasileira. No ano de 1998, à luz da nova LDB, surge os Parâmetros

Curriculares Nacionais – PCN, os quais foram elaborados pela coordenação da Secretaria da

Educação do Ensino Fundamental do Ministério da Educação e do Desporto – MEC. Os PCN

contaram, quando da sua elaboração, com a participação de docentes de várias instituições de

ensino, especialista em educação e de outras áreas, instituições governamentais e não-

governamentais. (PIRES, 2000; BRASIL, 1998).

As propostas apresentadas nos PCN estão centradas numa perspectiva educacional de

um ensino de qualidade que atenda às necessidades básicas da nova conjuntura social, política

e econômica na qual estamos vivenciando nos últimos anos. Por isso, o Ministério da

Educação e do Desporto propôs em acordo com a união, os estados e os municípios, para que

as três esferas criassem uma base curricular nacional, onde todas as disciplinas nela contida,

deviam estar em consonância em todo território nacional. (BRASIL, 1998).

Para garantir tal referência na base curricular, o MEC lançou programas visando dá

sustentação ao ensino público e/ou privado. Um deles é a proposta para o Programa Nacional

do Livro Didático – PNLD, o qual determina como e quais conteúdos devem ser inseridos em

cada disciplina nos diferentes níveis da educação básica. Para a escolha dos livros, a

instituição de ensino ou a Secretaria Municipal ou Estadual, em parceria com os docentes,

podem escolher através do Guia do Livro Didático os livros aprovados pela PNLD que mais

se adapta à realidade de sua escola ou região.

Além disso, nos PCN, estão diversos temas que tratam de questões sociais, tais como

os Temas Transversais: Meio Ambiente, Saúde, Ética, Pluralidade Cultural, Orientação

Sexual, Trabalho e Consumo, pois estes são considerados mundialmente como temas sociais

urgentes e essenciais para uma vida harmoniosa em nossa sociedade.

No que se referem às propostas apresentadas nos PCN da área de Matemática, elas

indicam que os conhecimentos matemáticos devem ser desenvolvidos com o intuito de

proporcionar ao discente a sua participação no mundo do trabalho em perfeita interação com

as relação socioculturais. Por isso, deve-se levar em conta o conhecimento adquirido pelos

discentes em seu meio cultural e, com isso incentivá-los a aplicar seus conhecimentos de

maneira a desenvolver com segurança, habilidades: de calcular, quantificar, localizar objetos

no espaço, fazer leitura de gráficos e mapas, fazer previsões e resolver problemas. Além

disso, os PCN ressaltam também que o ensino de Matemática deve apresentar “tópicos” que

resgatem o aspecto histórico do conhecimento matemático e que os recursos de novas

tecnologias de comunicações sejam inseridos nas escolas. (BRASIL, 1998).

No campo geométrico, os PCN, destacam que para a sua proposta deve-se “enfatizar a

exploração do espaço e das representações e as articulações entre a geometria plana e

espacial” (BRASIL, 1998, p. 60). No entanto, percebe-se que não há uma efetiva preocupação

com temas referentes a Geometria, e por isso, muitas vezes esses temas não são abordados de

maneira adequada.

Para Santana (2000), a Geometria deveria ser incluída na LDB 9.394/96 como

disciplina curricular e não ser apresentada em Matemática apenas como “tópicos”

geométricos, pois seus conteúdos requerem uma atenção especial. Desta forma, percebe-se

que assuntos de suma importância estão sendo esquecidos e/ou omissos.

De acordo com Pires (2000), os PCN, referentes à área de Matemática apresentam

duas faces de uma mesma moeda, onde de um lado mostra uma Matemática essencial para

desenvolver o raciocínio lógico e despertar o senso crítico do cidadão, dando-lhe a

oportunidade de avançar junto com a necessidade da sociedade a sua volta. De outro lado,

percebe-se através de dados estatísticos e pelo censo comum, uma matemática utilizada por

muitas pessoas, porém articulação do conhecimento escolar.

Diante do exposto, nota-se que o desenvolvimento do ensino da Matemática vem

sofrendo algumas mudanças nos seus métodos de ensino ao longo do seu processo histórico,

principalmente no século XX, com os movimentos da Matemática Moderna e o da Educação

Matemática. Esta última sendo influenciada por diversas áreas, como por exemplo, a

Psicologia. Portanto, é essencial que, enquanto educador, estejamos atentos às novas

descobertas que contribuem para a prática docente.

CAPÍTULO 3: A PSICOLOGIA E O ÂMBITO ESCOLAR

3.1 A PSICOLOGIA

A Psicologia de acordo com Izidoro (2003, p. 1): “é uma ciência que estuda os

comportamentos e processos mentais, partindo da sua descrição para a explicitação desses

comportamentos de modo a poder prever e controlar as respostas comportamentais”. Para

Bock et al (1994), a Psicologia apresenta-se como uma área do conhecimento humano que

visa estudar o homem, desde o seu nascimento até sua vida adulta. Para tanto, são analisados

vários aspectos. Dentre eles, destacam-se o físico-motor, o intelectual, o afetivo-emocional e

o social.

Com relação à importância de estudar o desenvolvimento humano, Bock et al (1994,

p. 81), destacam que isto significa “conhecer as características comuns de uma faixa etária,

permitindo-nos reconhecer as individualidades, o que nos torna mais aptos para observação e

interpretação dos comportamentos”. Portanto, faz-se necessário, enquanto educador, que

compreendamos seus fundamentos teóricos e suas contribuições acerca do processo ensino-

aprendizagem, pois é através de estudo e análise desses comportamentos, que podemos

desenvolver uma prática docente mais adequada à realidade do educando.

O surgimento da Psicologia para Bock et al (1994), está ligado ao campo filosófico,

pois desde a Grécia Antiga, filósofos como Sócrates (469-339 a.C.), Platão (427-347 a.C.) e

Aristóteles (384-322 a.C.) especulavam sobre a origem do homem e da sua relação com o

mundo e consigo mesmo. Mas, somente em meados do século XIX da nossa era, é que ela se

desvincula da Filosofia, para então emergir como ciência autônoma. A partir daí, são

elaborados vários estudo e pesquisas em diversas regiões do planeta. Com isso, surgem várias

correntes teóricas buscando entender os fenômenos psicológicos do ser humano. Para Bock et

al (1994), a Psicologia emerge de fato na Alemanha, no entanto, é nos Estados Unidos da

América, que ela entra em ascensão, pois o grande avanço econômico daquele país, no século

XIX, contribuiu significativamente para o surgimento das três primeiras escolas: o

Funcionalismo de William James (1842-1910), o Estruturalismo de Edward Titchner (1867-

1927) e o Associacionismo de Edward L. Thorndike (1874-1949).

Para a escola Funcionalista, interessava a inter-relação do corpo e mente, sendo a

consciência considerada como um fenômeno pessoal, integral e processual. Com isso,

buscava-se, naquela época, uma explicação prática para responder questões do tipo: “o que

fazem os homens” e “por que às fazem”. Sendo assim, W. James evidência a consciência para

buscar a compreensão de seu funcionamento ao passo que o homem a usa para se adaptar ao

meio. Já o Estruturalismo, visava compreender os elementos que formariam a estrutura da

consciência, como as imagens, os pensamentos e os sentimentos. Deste modo, Titchner

enfatiza os aspectos estruturais do sistema nervoso central, enquanto o Associacionismo de

Thorndik preocupa-se em analisar o processo de aprendizagem humana. Nesta concepção,

acredita-se que a aprendizagem ocorre através das associações das idéias, isto é, de uma idéia

simples pode se chegar a outra mais complexa..

3.2 AS PRINCIPAIS CORRENTES TEÓRICAS DA PSICOLOGIA DO SÉCULO XX

De acordo com Bock et al (1994), o Funcionalismo, o Estruturalismo e o

Associacionismo, influenciaram no surgimento de novas tendências teóricas do século XX,

sendo que as concepções a esse respeito, oscilam muito entre autores. Dentre as várias

concepções, são destacadas para o campo educacional as teorias do Desenvolvimento

Humano de Jean Piaget e Vigotski, da Aprendizagem de David Ausubel e a teoria do Ensino

de Jerome Bruner.

3.3 A PSICOLOGIA DO DESENVOLVIMENTO HUMANO – PIAGET

De acordo com La Taille et al (1992), a teoria desenvolvida pelo psicólogo e biólogo

suíço Jean Piaget (1896-1980) postula que o desenvolvimento humano, depende das

interações dos fatores inatos e das experiências vividas pelo indivíduo durante sua vida. Nesta

concepção, os autores destacam que, Piaget procura enfatizar o aspecto intelectual, e para

isso, considera que o desenvolvimento humano está dividido em quatro períodos: sensório-

motor, pré-operatório, operações concretas e operações formais.

Assim, o período sensório-motor, refere-se ao recém-nascido e o lactante (0 a 2 anos

de idade), onde a criança é caracterizada inicialmente pela herança genética dos aparelhos

reflexos que traz. A sucção, por exemplo, que ela faz quando mama no peito da mãe. A partir

de alguns dias, ela começa a melhorar seus movimentos e com isso, vão surgindo outros

movimentos mais complexos como os movimentos das mãos para agarrar determinados

objetos. Chegando à fase final deste período, a criança já dispõe de movimentos mais

coordenados e consegue deslocar sozinha, à procura de objetos mais distantes.

No segundo período, o pré-operatório (2 a 7 anos de idade), a criança passa a adquirir

melhor desenvolvimento da linguagem, permitindo assim, a formação de conceitos

simbólicos. Nesta fase, ela tende a desenvolver seu pensamento, inicialmente, através de

jogos, brincadeiras e símbolos – parte lúdica – onde a brincadeira se mistura com fantasias.

Posteriormente, a criança passa a utilizar esses símbolos como referências para explicar o

mundo real, isto é, através de determinados jogos, ela passa a entender melhor as regras de

conduta, como os conceitos morais, sem que seja necessário impor diretamente. Já na fase

final deste período, a criança consegue compreender melhor a existências das coisas reais e,

com isso, passa a utilizar conceitos como o porquê disso ou daquilo. Segundo Bock et al

(1994), é importante ressaltar neste período que a criança já adquiriu a maturação

neurofisiológica completa, isto é, a maturidade para determinado padrão de comportamento,

permitindo com isso, o desenvolvimento de novas habilidades, como a coordenação motora

mais lapidada. Desta maneira, consegue realizar algumas operações simples como somar e

subtrair, embora não consiga perceber a inversão nas operações. Além disso, ela passa a usar

corretamente o lápis, fazendo movimentos bem mais coordenados para a escrita.

O terceiro período, o das operações concretas (7 a 12 anos de idade), enfatiza que a

criança já está preparada para iniciar o seu processo de aprendizagem sistemática. É neste

período, que ocorre as grandes conquistas intelectuais. As ações físicas, agora passam a

ocorrer com mais segurança, pois a criança já consegue praticar atividades que exige maior

rigor físico que as anteriores; as operações aritméticas passam a ser compreendidas mais

facilmente, porque já consegue perceber que as operações de adição e subtração,

multiplicação e divisão são operações inversas; a linguagem passa a ser mais sociabilizada.

De maneira geral, nota-se que nesta fase, a criança passa a adquirir uma compreensão melhor

do mundo em que vive.

No quarto e último período, o das operações formais (12 anos em diante), a criança

passa do pensamento concreto para o pensamento formal e abstrato, ou seja, ela já consegue

realizar diversas operações matemáticas, sem a necessidade de utilizar como referência, os

elementos concretos. Percebe-se também neste período, melhor adaptação a novos temas,

como liberdade, justiça, causas sociais e outras, pois ela começa a entrar na adolescência e

com isso, as relações sociais vão aumentando. Por conseguinte, percebe-se uma ampliação na

capacidade de criticar, discutir, propor inovações, admitir suposições e hipóteses.

Nesse contexto, percebe-se que os estudos e as pesquisas desenvolvidas por Piaget,

são de suma importância para a educação, visto que, praticamente, todas as fases acima

mencionadas são vivenciadas no âmbito escolar.

3.4 A TEORIA INTERACIONISTA – VIGOTSKI

Lev Semonvich Vigotski (1896-1930), constrói a sua teoria, enfatizando o aspecto

social. De acordo com La Taille et al (1992, p. 24):

Falar da perspectiva de Vygotsky é falar da dimensão social do desenvolvimento
humano. Interessado fundamentalmente no que chamamos de funções psicológicas
superiores, e tendo produzido seus trabalhos dentro das concepções materialistas
predominantes na União Soviética pós-revolução 1917, Vygotsky tem como um dos
seus pressupostos básicos a idéia de que o ser humano constitui-se enquanto tal na
sua relação com o outro social.

Nesse contexto, Vigotski considera que o homem é um ser ativo capaz de agir diante

das situações vivencias no seu quotidiano. No entanto, para que isso ocorra, é necessário que

ele seja influenciado pelas relações sociais desde sua infância, onde a comunicação com o

adulto é essencial para o seu desenvolvimento. Neste sentido, Vigotski considera que o

desenvolvimento infantil, de acordo com Bock et al (1994), deve ser analisado sob três

aspectos essenciais: o instrumental, o cultural e o histórico. O primeiro, faz referência à inter-

relação das funções psicológicas complexas, onde os estímulos recebidos, inicialmente pela

criança, devem ser transformados e usados futuramente como instrumentos do nosso

comportamento, como por exemplo, a linguagem. No segundo aspecto, o cultural, ele credita

que a forma estruturada da sociedade pode determinar as ações gerais do indivíduo, desde que

elas sejam infiltradas como instrumentos mentais e físicos na criança. Um desses instrumentos

citados por Vigotski é a linguagem, que este considera como instrumento básico em nossa

sociedade e, por isso, a enfatiza em todo processo. No último aspecto, o histórico, Vigotski

admite que haja uma junção entre os elementos culturais e históricos, onde os instrumentos

estão inseridos, pois para dominar o seu ambiente natural, o homem se utiliza de

comportamentos que foram desenvolvidos por seus ancestrais durante o processo histórico.

Os instrumentos culturais então, segundo Bock et al (1994, p. 92),

[...] expandiram os poderes do homem e estruturaram seu pensamento, de maneira
que, se não tivéssemos desenvolvido a linguagem escrita e aritmética, por exemplo,
não possuiríamos hoje a organização dos processos superiores que possuímos.

Ainda de acordo com os autores, Vigotski considera que o homem, enquanto sujeito

de conhecimento, não tem acesso direto aos objetos, mas que é através do acesso mediado

pelos sistemas simbólicos que ele consegue desenvolver seu conhecimento.

No campo educacional, Vigotski destaca que a interação social desenvolvida no

âmbito escolar, tem uma diferenciação da vida cotidiana, pois o relacionamento

professor/aluno assume um caráter de desenvolvimento intelectual e cultural maior. Neste

aspecto, espera-se que o docente seja um orientador incentivador no processo ensino-

aprendizagem. (BOCK ET AL, 1994).

Dessa forma, Vigotski procura denominar esta relação professor/aluno como Zona de

Desenvolvimento Proximal/Nível de Desenvolvimento Real e Potencial. Em outras palavras,

pode-se dizer que o conhecimento trazido pela criança em seu universo familiar, escolar, ou

do seu mundo particular é chamado de Desenvolvimento Real, enquanto a capacidade que a

criança tem em aprender determinados conteúdos sob orientação docente é chamada de

Desenvolvimento Proximal. A distância entre esses dois extremos é denominada por Vigotski

de Zona de Desenvolvimento Proximal.

3.5 A TEORIA DA APRENDIZAGEM – DAVID AUSUBEL

A teoria desenvolvida por David Ausubel, considera que o processo de aprendizagem

é originado através da inter-relação do sujeito com o mundo. Segundo Baraldi (1999, p. 38):

A aprendizagem significativa é o conceito mais importante na teoria de David
Ausubel, cuja idéia central é a de que o mais importante é aquilo que o aprendiz já
sabe. Para ele, a aprendizagem significativa ocorre quando o indivíduo estabelece
significados entre novas idéias e as suas já existente.

Ao abordar essa teoria, Ausubel preocupa-se em analisar os processos de

compreensão, transformação, armazenamento e a utilização das novas informações no campo

cognitivo. A cognição, de acordo com Bock et al (1994, p. 102), “é o processo através do qual

o mundo de significados tem origem. À medida que o ser se situa no mundo, estabelece

relações de significação, isto é, atribui significado à realidade em que se encontra”.

Ao postular sua teoria, Ausubel considera a existência de duas formas de

aprendizagem: a mecânica e a significativa. A primeira refere-se a uma aprendizagem de

retenção, ou seja, a pessoa aprende sem nenhuma conexão com os conhecimentos anteriores.

Aprende, por exemplo, com um texto poético pela simples repetição das palavras, isto é,

decorando. Na aprendizagem significativa, no entanto, as estruturas ou referências adquiridas

anteriormente servem como ponto de partida para a compreensão de novas idéias (pontos de

ancoragens). Quando por exemplo, passeamos com uma criança pelas ruas de uma cidade e,

mostramos a ela casas residenciais e comerciais, escolas, hospitais, bancos e outros, estamos

criando um referencial que, possivelmente servirá de ponto de partida para novos

conhecimentos, tais como organização social e econômica, entre outros. (BOCK ET AL,

1994).

3.6 BRUNER E A CONTRIBUIÇÃO PARA O ENSINO

As concepções apresentadas acerca da aprendizagem, como a teoria de Ausubel,

contribuíram para o surgimento de correntes teóricas ligadas ao ensino. Elas buscam discutir

através de estudos e análises, as condições necessárias para que o processo de

ensino/aprendizagem seja mais interessante e proveitoso. Dentre várias, é importante destacar

a teoria do ensino desenvolvida por Jerome Bruner. Segundo Zacharias (2007), na teoria de

Bruner:

[...] o aprendizado é um processo ativo, no qual aprendizes constroem novas idéias,
ou conceitos, baseados em seus conhecimentos passados e atuais. O aprendiz
seleciona e transforma a informação, constrói hipóteses e toma decisões, contando,
para isto, com uma estrutura cognitiva.

Ainda para a autora (2007), Bruner postula que o processo de aprendizagem dar-se-á

mais proveitosamente, quando o docente tem um bom domínio do assunto e desenvolve

atividades, incentivando o discente à investigação, pois para ele, é através da pesquisa, da

experimentação, da dúvida, das perguntas, dos erros e acertos que o aprendiz consegue maior

compreensão sobre os temas abordados. Sendo assim, defende que a aprendizagem depende

da cognição e que esta ocorre mediante processo ativo, gerado da associação e construção das

idéias.

De acordo com Bock et al (1994), Bruner defende que toda disciplina deve seguir uma

seqüência lógica dos conteúdos de tal maneira que, parta do conceito geral para o particular.

Desta maneira, propõe um currículo em forma de espiral. Diante dessa perspectiva, Zacharias

(2007), ressalta que para Bruner uma criança pode aprender qualquer assunto

independentemente da fase em que ela se encontra, mas para isso, é necessário que o docente

use uma metodologia adequada à sua fase de desenvolvimento.

Nesta perspectiva, entendemos assim como Bock et al (1994), que essas teorias podem

auxiliar o docente em suas tarefas de planejamento, organização e prática do ensino. Todavia,

acreditamos que ao mesmo tempo, é essencial para o educador conhecer a realidade do

educando, pois analisar as características sociais, econômicas e culturais do discente é tão

importante quanto o conhecimento teórico.

Diante do exposto, podemos observar que essas tendências teóricas apontam sugestões

pertinentes ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, cabe ao docente analisar a situação

real do seu educando e a partir daí, buscar alternativas metodológicas semelhantes às

mencionadas, que possam atender às suas necessidade dentro da sala de aula.

CAPÍTULO 4: OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA NO PNLD

Após a promulgação da Constituição Federal de 1988, houve a necessidade da criação

de um Plano Decenal de Educação que atendesse aos interesses sociais e econômicos de nosso

país diante da nova conjuntura mundial. Deste modo, em 20 de dezembro de 1996, aprovou-se

a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB, Lei n.º 9394/96, a qual passou a

determinar os novos rumos da educação brasileira. A explicitação do Plano Decenal fica

evidente no Artigo 87, da Lei 9394/96, quando institui a “Década da Educação”. Com isso, de

acordo com a atual LDB:

A União, no prazo de um ano a partir da publicação desta Lei, encaminhará, ao
Congresso Nacional, o Plano Nacional de Educação, com diretrizes e metas para os
dez anos seguintes, em sintonia com a Declaração Mundial sobre Educação para
Todos.

Nesta LDB, ficou estabelecido como dever da União, em parceria com os Estados,

Distrito Federal e Municípios, nortear as diretrizes visando currículos e conteúdos mínimos

que atendam a formação básica comum em todo território brasileiro.

Procurando atender as exigências da LDB, o Ministério da Educação, Cultura e

Desporto – MEC, apresenta os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, com propósito de

orientar docentes e instituições de ensino a melhorar o ensino público e privado do nosso país.

Na Introdução aos PCN de 5.ª a 8.ª séries (BRASIL, 1998, p. 6), os PCN enfatizam que:

[...] foram elaborados procurando, de um lado respeitar diversidades regionais,
culturais, políticas existentes no país e, do outro, considerar a necessidade de
construir referências nacionais comuns ao processo educativo em todas as regiões
brasileiras.

Visando garantir as propostas estabelecidas na LDB e nos PCN, o Ministério da

Educação, Cultura e Desporto, desenvolve nova proposta para o Programa Nacional do Livro

Didático – PNLD, o qual estabelece as normas gerais que devem ser seguidas pela editoras a

fim de contemplar os conteúdos a serem inseridos nas bases curriculares comuns da Educação

Básica do Brasil.

Para isso, o MEC passou a distribuir a partir de 1998, o Guia de Livros Didáticos para

toda escola pública do país. Nestes Guias estão as obras que atenderam às exigências do

PNLD, com suas respectivas resenhas feitas pelos pareceristas seguindo critérios

estabelecidos pelo MEC. A escolha dos livros didáticos pode ser feita mediante análise do

Guia de Livros Didáticos e/ou através das obras apresentadas pelas editoras nas escolas. Para

que isso ocorra, porém, o PNLD salienta que a escolha deve ser feita preferencialmente por

áreas específicas, onde professores, coordenadores, diretores e/ou Secretarias

Estaduais/Municipais de Educação observem quais obras estejam mais adequadas à realidade

de sua região.

Os livros didáticos escolhidos pelas escolas podem ser usados durante três anos

consecutivos, sendo que para o ano seguinte, uma nova escolha deve ser realizada perante

consulta ao Guia fornecidos pelo MEC.

Depois da LDB 9394/96, já aconteceram quatro escolhas de livros didáticos para as

séries finais do Ensino Fundamental em 1999, 2002, 2005 e 2008. No presente ano, as escolas

públicas brasileiras tiveram como data limite para escolha de livros para os próximos anos, o

dia 13 de julho. Contudo, se uma escola deixou de realizar tal escolha, o MEC envia as obras

mais solicitadas na região. (BRASIL, 2007).

Em relação à escolha dos livros didáticos de Matemática para o terceiro e quarto ciclos

do Ensino Fundamental, antiga 5.ª a 8.ª séries, é importante ressaltar alguns dados gerais

sobre as coleções aprovadas ou reprovadas pelo PNLD, conforme tabela abaixo.

TABELA 1: Valores Referentes a Aprovação ou Reprovação do Livro Didático no

Parecer Avaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008

NÚMEROS DE OBRAS INSCRITAS NO PNLD POR ANO

SITUAÇÃO 1999 2002 2005 2008

AVALIADOS 72 68 116 112

APROVADOS 38 52 92 64

NÃO APROVADOS 34 16 24 48

Fonte: Guia de Livros Didáticos 2008 – PNLD

Nota-se nesta tabela, um grande número de obras reprovadas pelo PNLD referentes a

primeira e a última das avaliações realizadas – 1999 e 2008 – e uma maior aceitação das

obras nos anos de 2002 e 2005.

No gráfico seguinte, podemos verificar melhor os percentuais de rejeição das obras

apresentadas em relação ao número total por ano.

GRÁFICO 1: Valores Percentuais Referentes a Reprovação do Livro Didático no

Parecer Avaliativo do MEC no Período de 1999 a 2008

50 47,2%
42,8%
45
40
35
30 23,7%
25 20,6%
20
15
10
5
0
1999 2002 2005 2008


De acordo com o Guia de Livros Didáticos 2008 (BRASIL, 2007), a queda ocorrida de

1999 a 2005 foi revertida de 2005 para 2008. Essa mudança ocorreu em virtude de uma

preocupação maior na qualidade das obras, pois o PNLD vem procurando melhoria na

estrutura dos conteúdos e nas metodologias adotadas. Nesta perspectiva, o PNLD 2008,

destaca que a classificação dos conteúdos deve estar em consonância com as propostas

curriculares vigentes. Por isso, o programa contempla os conteúdos de Matemática visando

um equilíbrio entre os cinco campos: Números e Operações, Álgebra, Geometria, Grandezas e

Medidas e Tratamento da Informação. Para tanto, o PNLD passou a determinar os tópicos

matemáticos mais adequados para cada série do 3.º e 4.º ciclos do Ensino Fundamental. No

entanto, o próprio Guia destaca que nem sempre há unanimidade na escolha dos tópicos, por

parte dos parecetistas, pois as Grandezas – comprimento, área, volume e a medida de ângulo –

foram incluídos no campo das Grandezas e Medidas e não no campo da Geométrica.

Diante desta perspectiva, o PNLD de 2008 (BRASIL, 2007) procurou traçar um perfil

dos campos matemáticos de forma quantitativa, onde este segue as tendências apresentadas

nas edições anteriores do Guia e que também estiveram em razoável sintonia com as proposta

dos currículos vigentes e discutidos pelo movimento de Educação Matemática.

TABELA 2: Valores Percentuais Referentes ao Conteúdo Matemático Desejável no

Livro Didático de Acordo Com o Parecer Avaliativo do MEC para 2008

PERFIL DESEJÁVEL DE SELEÇÃO E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS (%)

SÉRIES 5ª 6ª 7ª 8ª

Números e Operações 40% 30% 20% 15%

Álgebra 10 % 20% 30% 30%

Geometria 20 % 20% 25% 30%

Grandezas e Medidas 20% 20% 15% 15%

Tratamento da Informação 10% 10% 10% 10%


De acordo com a tabela, o PNLD enfatiza que os Números e Operações devem ser

reduzidos gradativamente, enquanto os campos referentes a Álgebra e a Geometria devem

aumentar paulatinamente nas séries seguintes. Já os dados referentes ao Tratamento de

Informação devem permanecer estáveis em todas as séries.

Se analisarmos detalhadamente perceberemos que os conteúdos referentes as

Grandezas (comprimento, áreas, volume e medida de ângulos) estão inclusos em Geometria.

Isto significa que teremos uma percentual maior que 25% de conteúdos geométricos no 3.º

ciclo (5.ª e 6.ª séries) e uma percentual superior a 30% para o 4.º ciclo (7.ª e 8.ª séries). De

maneira geral, seguindo esta vertente, nota-se que o campo Geométrico deve ocupar mais de

25% da totalidade dos conteúdos das séries finais do Ensino Fundamental. Isto significa que a

Geometria é apresentada, nesta proposta, como um dos campos mais importantes da

Matemática, pois deve assumir praticamente um dos maiores percentuais durante as séries

finais do Ensino Fundamental.

4.1 ASPECTOS METODOLÓGICOS DOS LIVROS DIDÁTICOS NO PNDL

Além desse perfil apresentado anteriormente, para os conteúdos de Matemática de 5.ª

a 8.ª séries, o PNLD destaca também no Guia de Livros Didáticos de 2005 (BRASIL, 2004)

que as obras, nele selecionadas, seguem várias tendências metodológicas e, por isso, cabe ao

docente e ao demais responsáveis pela escolha, encontrar a que mais se identifica com as

propostas metodológicas de seu projeto escolar e/ou a realidade de seus alunos.

Diante dessa perspectiva, o MEC enfatiza que nesse período escolar o educando tende

a apresentar maior cristalização e ampliação dos conhecimentos adquiridos nas séries iniciais

do Ensino Fundamental – 1.º e 2.º ciclos. Este desenvolvimento faz com que o discente

adquira uma maturação mais consistente de situações-problemas mais complexas. De acordo

com o próprio Guia de Livros Didático de 2005 (BRASIL, 2004, p. 199), “é nesse período

que começa, para o aluno, a explicitação da estruturação da Matemática”. Portanto, verifica-se

a existência de uma correlação entre a perspectiva apresentada pelo MEC e as fases das

operações concretas e formais apresentadas na teoria de Jean Piaget.

Ao passo que essas relações vão se desenvolvendo, o PNLD destaca que as

metodologias aplicadas nas obras devem, também, proporcionar ao educando alternativas que

facilitem o processo de ensino-aprendizagem, onde devem se levar em conta os

conhecimentos prévios dos discentes – pontos de ancoragem. Com isso, o MEC estabelece

que as obras devem criar estratégias que mobilizem várias competências cognitivas para com

o educando, tais como: saber observar, compreender, argumentar logicamente, organizar,

analisar, sistematizar, comunicar, planejar, etc. É importante ressaltar também, que o PNLD

exige que as obras devem contribuir para o desenvolvimento social, político e econômico do

educando, onde os valores éticos e morais devem ser promovidos possibilitando um convívio

social mais harmonioso.

4.2 A GEOMETRIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA PARA O PNLD

Na Introdução aos PCN de Matemática de 5.ª a 8.ª séries (BRASIL, 1998), considera-

se que a Matemática é uma área do conhecimento humano que está sempre presente em

nossas vidas e, que esta foi desenvolvida para satisfazer determinadas necessidades de

diferentes grupos sociais, em tempos históricos diferentes e, por isso, deve ser levado em

conta a sua importância dentro da nova conjuntura social, política e econômica do mundo

contemporâneo.

Para o PNLD de 2008 o campo geométrico, tem finalidade de despertar no educando a

capacidade de saber reconhecer os objetos no espaço de tal maneira que ele seja capaz de se

orientar no ambiente onde vive. Por isso, o programa propõe que os temas, devem incentivar a

curiosidade visual do educando. Essa proposta torna-se mais evidente quando, no Guia de

Livros Didáticos de 2008 (BRASIL, 2007, p. 44) é enfatizado que a “capacidade de visualizar

é fundamental na geometria, tanto no sentido de captar e interpretar as informações visuais,

como no de expressar as imagens mentais por meio de representações, gráficas ou não”. Para

o Programa, a visualização desperta no discente uma importância tanto no sentido de captar e

interpretar as informações visuais, quanto no desenvolvimento do conhecimento cognitivo de

expressar as imagens através de representações gráficas ou através da abstração. Para Rosa

Neto (2002, p. 136),

De toda a cultura humana, talvez as duas áreas mais utilizadas no cotidiano sejam a
linguagem e a geometria. Não passamos um dia sem elas e, desse modo, estamos
muito acostumados com relações geométricas como paralelismo,
perpendicularidade, concordância, simetrias, retângulos [...].

Nesse contexto, o PNLD espera que as atividades referentes a Geometria devem ser

centrada numa perspectiva que estimule os desenhos onde são utilizados instrumentos e/ou

construções de objetos geométricos, tais como: maquetes, recortes, planificações, dobraduras,

etc. Deste modo, acreditamos assim como o Programa, que o discente seja capaz de observar

os objetos do mundo físico que o cerca e ao mesmo tempo será capaz de compreender novos

conceitos referentes às propriedades e classificações pertinentes aos conhecimentos

matemáticos.

No entanto, o Guia de Livros Didáticos de 2008 (BRASIL, 2007, p. 45) enfatiza que:

Na maioria das obras ainda persiste uma atenção exagerada às classificações e à
nomenclatura. Essa limitação se revela, de forma clara, no estudo dos ângulos
formados por uma transversal, em que se despende tempo excessivo em atribuir
inutilmente nomes aos vários tipos de ângulos.

Nota-se também, que em uma das edições anteriores, os pareceristas dos Guias de

Livros Didáticos já faziam críticas a esse respeito. No Guia de Livros Didáticos de 2002

(BRASIL, 2001, p. 149) afirmam que:

O tratamento da Geometria tem sido estereotipado, privilegiando nomenclatura e a
apresentação de formas canônicas. As sistematizações são inadequadas, pois partem
dos conceitos de ponto, reta e plano, sem se preocupar com a exploração de
conceitos e de propriedades geométricas.

Diante das análises feitas acerca dos aspectos históricos da Geometria, do ensino da

Matemática nos Sistemas de Ensino nacional e mundial, das tendências psicológicas

contemporâneas e das propostas apresentas no Plano Decenal de Educação para o país,

especificamente, para o ensino da Matemática nas séries finais do Ensino Fundamental, onde

os conteúdos e os processos de ensino-aprendizagem de Matemática ficam estabelecidos no

PNLD, resolvemos desenvolver nosso trabalho monográfico a fim de verificar, através de

estudo de pesquisa e dados, como uma escola pública municipal de nossa região está

acompanhando as novas propostas estabelecidas para o ensino da Matemática no terceiro e

quarto ciclos do Ensino Fundamental diante da proposta apresentada para o Plano Nacional de

Educação. Para isso, procuramos analisar no município de Cansanção/BA, cuja localização

geográfica encontra-se no nordeste do estado, a Escola Educandário Senhora Santana.

CAPÍTULO 5: A PESQUISA NO EDUCANDÁRIO SENHORA

SANTANA

A Geometria é uma das áreas do conhecimento humano, mais utilizadas em nosso

cotidiano. Conforme gráficos e discussões apresentados nos Guias de Livros Didáticos PNLD

(BRASIL, 1998, 2001, 2004 e 2007), a Geometria é um dos campos da Matemática que

apresenta os maiores percentuais de conteúdos para o terceiro e quarto ciclos do Ensino

Fundamental. Entretanto, a realidade encontrada nas escolas é bastante diferente desta

apresentada pelos Guias. Esta divergência nos fez refletir acerca do que acontece no interior

das escolas e/ou no planejamento dos professores, e nos impulsiona a realizar esta pesquisa.

Neste sentido, procuramos, numa abordagem qualitativa dentro de um estudo de caso, analisar

a importância que é dada para os conteúdos de Geometria nas séries finais do Ensino

Fundamental na Escola Educandário Senhora Santana.

Para Baraldi (1999, p. 17), a pesquisa educacional representa “uma ocasião

privilegiada que reúne pensamento e ação na elaboração dos conhecimentos sobre os aspectos

da realidade. Essa pesquisa pode ser abordada de forma analítica (empírica ou quantitativa) ou

de forma qualitativa”. Assim, de acordo com Bogdan e Biklen (apud LUDKE, 1986, p.13), “a

pesquisa qualitativa ou naturalista envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato

direto do pesquisador com a situação, enfatiza mais o processo do que o produto e se

preocupa em retratar a perspectiva dos participantes”.

Já o estudo de caso, em conformidade com Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 110),

[...] busca retratar a realidade de forma profunda e mais completa possível,
enfatizando a interpretação ou a análise do objeto, no contexto em que ele se
encontra, mas não permite a manipulação das variáveis e não favorece a
generalização. Por isso, o estudo de caso tende a seguir uma abordagem qualitativa.

Ao enfocarmos uma abordagem qualitativa, concordamos com Fiorentini e Lorenzato

(2006, p. 110) que isto “não significa abandonar algumas quantificações necessárias”, porque

de certo modo estas “podem ajudar a quantificar melhor uma análise”.

Para a realização da pesquisa, escolhemos no município de Cansanção, onde resido e

trabalho, uma escola pública de Ensino Fundamental municipalizada.

O município de Cansanção, conforme mapa abaixo, localiza-se na região nordeste do

estado da Bahia e tem uma área total de 1.317 km², densidade demográfica de 24,2 hab/km² e

altitude 400 m. A sede do município dista de Salvador, capital do estado, aproximadamente

350 km e esta ainda, a 110 km do município de Senhor do Bonfim, onde se localiza o Campus

VII da Universidade do Estado da Bahia – UNEB, ao qual pertenço na qualidade de estudante

de graduação em Licenciatura em Ciências com Habilitação em Matemática. O município

possui uma população estimada em 32 mil habitantes, sendo que aproximadamente 10 mil

habitantes estão presentes na zona urbana. (BAHIA, 2007).

FIGURA 7: Mapa da Região de Senhor do Bonfim/BA

Fonte: http://www.derba.ba.gov.br/db_map_senhordobonfim.htm

Conforme dados fornecidos pela Secretaria Municipal de Educação de Cansanção/BA

– SEMEC), a cidade conta neste ano, com 97 escolas municipais, 3 escolas estaduais e 2

escolas particulares. Das 97 escolas municipais, distribuídas na sede e distritos, apenas 9

funcionam com o Ensino Fundamental (1.ª à 8.ª séries). Destas nove escolas pertencentes ao

município escolhemos a maior delas em questões de matrícula, para nossos estudos – a Escola

Educandário Senhora Santana.

A Escola Educandário Senhora Santana, é uma instituição pública situada na Avenida

Monte Santo, n.º 109, no centro da cidade. Esta unidade escolar dispõe de uma estrutura física

considerável, pois apresenta uma área de aproximadamente 5 mil metros quadrados, onde

podemos encontrar vinte e uma salas de aula bem arejadas, sala de TV e vídeo, biblioteca,

quatorze banheiros, almoxarifado, guarita, sala exclusiva para planejamento de aulas, quadra

poliesportiva, sala para secretaria e outra para diretoria. Além disso, dispõe ainda de uma área

interna espaçosa com plantas ao redor. O funcionamento da Escola ocorre durante os três

períodos, sendo que neste ano, o turno matutino ocupa 21 salas de aula, o turno vespertino 14

e o período noturno, apenas 4 salas. O corpo administrativo é representado por uma diretora,

um vice-diretor, uma secretária, 10 auxiliares de secretaria, 15 faxineiras, 8 merendeiras, 6

vigilantes e 38 docentes, sendo que destes oito trabalham com matemática nas séries finais do

Ensino Fundamental. O número de alunos matriculados no corrente ano é de 1.092, sendo que

destes, 691 estão matriculados nas séries finais do Ensino Fundamental, ou seja, nas 5.ª a 8.ª

séries. De acordo com a direção, a Escola apresenta um Projeto Político Pedagógico em

formação. Quanto aos recursos didáticos pedagógicos, a Escola dispõe de TV, DVD, retro-

projetor, mimeógrafo, livros didáticos, biblioteca com acervo razoável e quadro de giz em

todas as salas.

Tomamos então, como objeto de estudos os professores da Escola Educandário

Senhora Santana que trabalham com o ensino de Matemática no terceiro e quarto ciclos do

Ensino Fundamental. Para tanto, utilizamos além de fonte bibliográfica, questionários com

perguntas objetivas e semi-objetivas e os respectivos planos de aulas destes professores.

5.1 DESCREVENDO A PESQUISA

A pesquisa foi realizada no mês de agosto do presente ano e contou com a participação

de todos os oito professores de Matemática das séries finais do Ensino Fundamental da Escola

Educandário Senhora Santana. Deste modo, aplicamos um questionário contendo sete

questões, sendo cinco objetivas e duas semi-objetivas, o qual foi respondido integralmente por

todos os professores. Além do questionário, pudemos contar também com o plano de aula

relativo ao primeiro semestre destes professores, o que corresponde a I e II unidades do atual

ano letivo.

Na explicitação e análise dos questionários e planas de aulas, manteremos os nomes

dos entrevistados no anonimato, pois o pesquisador, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p.

199), “ao relatar os resultados de sua pesquisa, precisa também preservar a integridade física e

a imagem dos informantes”.

No questionário, levantamos questões que levam em consideração algumas variáveis

que consideramos de importantes para o nosso tema. Dentre elas, destacam-se o nível de

escolaridade dos docentes; a quantidade de tempo que lecionam e especificamente a

quantidade de tempo que lecionam conteúdos de Matemática de 5.ª a 8.ª séries; a participação

ou não, na escolha dos livros didáticos da Escola; o acesso ou não, ao Guia de Livros

Didáticos oferecido pelo MEC; a inclusão ou não, de tópicos de Geometria em seus

planejamentos de aula e a respectivo justificativa para tal opção; e finalmente, se estes

professores observam ou não, a utilidade dos conhecimentos da Geometria em nossas vidas.

Os resultados desses dados estão descritos nos parágrafos seguintes, acompanhados

em muitos deles de informações gráficas para uma melhor visualização e/ou compreensão.

Com relação ao nível de escolaridade, dos docentes de Matemática das séries finais do

Ensino Fundamental, constatamos que cinco professores têm nível superior incompleto, sendo

quatro graduandos de Licenciatura em Matemática e um de Letras Vernáculas. Constatamos

também que dois professores têm somente o nível médio. E finalmente, constatamos que

apenas um professor tem o ensino superior completo de Licenciatura em Matemática. Esses

dados estão representados em percentuais no gráfico de coluna a seguir.

GRÁFICO 2: Nível de escolaridade dos docentes de Matemática das séries finais do

Ensino Fundamental da Escola Educandário Senhora Santana (%)

70 62,5%

60
50
40 25%

30
20 12,5%

10
0
médio superior superior
incompleto

Nota-se que a maioria dos docentes de Matemática, desta Escola, estão preocupados

em atender às exigências da LDB Lei n.º 9.394/96, quando em seu Artigo 87, Parágrafo 4.º,

enfatiza sobre a necessidade da formação do docente.

Quanto a análise da variável referente ao tempo de ensino de cada professor, observa-

se que o professor com menos experiência no ensino de Matemática tem 6 anos de docência,

enquanto que o mais experiente possui 14 anos de regência. Ao mesmo tempo verificamos

que no ensino da Matemática, especificamente, há uma redução, pois o que apresenta mais

tempo de sala de aula tem 12 anos e o que tem menos tempo possui apenas 2 anos de

regência.

Em outra variável, a da participação do professor na escolha do livro didático,

constata-se que dentre os 8 profissionais: um nunca participou desta escolha, dois

participaram nos anos de 2002 e 2005, um participou da escolha nos anos de 1999, 2002 e

2005, um participou de todas e, a maioria – cinco – participaram apenas da escolha do livro

didático que será odotado para o ano de 2008. No gráfico a seguir, podemos verificar o

percentual de participação dos docentes nesta escolha.

GRÁFICO 3: Quantitativo de docentes que atuaram na escolha dos livros didático de

Matemática (%)

100 87,5%
90
80
70
60
50 37,5% 37,5%
40
25%
30
20
10
0
1999 2002 2005 2008

Neste gráfico, nota-se que a maioria dos professores entrevistados, não tiveram a

oportunidade de propor o livro didático nos três primeiros anos da escolha. Isto demonstra que

a maioria dos docentes utiliza os livros escolhidos por outros membros da escola ou mesmo

da região. Isto por sua vez, não garante que estes profissionais responsáveis pelo atual livro

didático da escola, tenham vínculos com a mesma área de Matemática.

Quanto à variável referente ao acesso ao Guia de Livros Didáticos por parte dos

educadores, observa-se que dois professores nunca tiveram acesso ao Guia; um teve acesso

nos anos de 1999, 2002 e 2005; cinco professores tiveram acesso apenas este ano. O gráfico

seguinte explicita melhor estas informações.

GRÁFICO 4: Quantitativo de professores de Matemática que tiveram acesso ao Guia de

Livros Didáticos PNLD na Escola Educandário Senhora Santana (%)

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