1) O documento discute equivalências lógicas proposicionais e exercícios sobre expressões booleanas.
2) São listadas doze equivalências lógicas como comutatividade, absorção, lei de Morgan e contraposição.
3) Os exercícios pedem para simplificar expressões booleanas usando essas equivalências e determinar saídas de expressões para valores de variáveis.
1. DDiisscciipplliinnaa :: MMaatteemmááttiiccaa 22
AAuullaa 0022 -- eeqquuiivvaallêênncciiaass llóóggiiccaass
Antonio Carlos Sobieranski
““SSee aa ccoommiiddaa éé bbooaa,, eennttããoo oo sseerrvviiççoo éé eexxcceelleennttee””
( A → B )
2. Lógica Proposicional
p Equivalências da lógica prrooppoossiicciioonnaall ((ttaauuttoollóóggiiccaass))
1. comutativa
2. associativa
3. idempotência
4. propriedades de V
5. propriedades de F
6. absorção
7. distributiva 1
8. lei de Morgan
9. negação
10. lei da implicação
11. distributiva 2
12. lei da bi-implicação
13. contraposição
aceitar a prova da equivalência...
...mais adiante veremos em forma de
proposição...
4. Lógica Proposicional
Provar por simplificação (ou ttaabbeellaa vveerrddaaddee –– ooppcciioonnaallmmeennttee))
1) selecione a expressão booleana que não é equivalente à (xᴧx)ⅴ(xᴧx')
a) x ᴧ ( x ⅴ x' ) b) ( x ⅴ x' ) ᴧ x c) x' d) x
2) selecione a expressão booleana que é equivalente à (xᴧy) ⅴ (xᴧyᴧz)
a) x ᴧ y b) x ᴧ z c) y ᴧ z d) x ᴧ y ᴧ z
3) selecione a expressão booleana que é equivalente à (xⅴy) ᴧ (xⅴy')
a) y b) y' c) x d) x'
4) selecione a expressão booleana que não é equivalente à xᴧ(x'ⅴy) ⅴ y
a) xᴧx' ⅴ y ᴧ (1 ⅴ x) b) 0 ⅴ xᴧy ⅴ y c) xᴧy d) y
5. Lógica Proposicional
EExxeerrccíícciiooss
5) Quais as saídas para as seguintes expressões booleanas ?
5.1) P = A' ᴧ B ᴧ C ᴧ (A ⅴ D)'
a) A=0, B=1, C=1, D=1
b) A=1, B=1, C=0, D=0
c) A=0, B=0, C=1, D=0
d) A=0, B=1, C=1, D=0
5.2) [ Dⅴ ((AⅴB) ᴧ C)' ] ᴧ E
a) A=0, B=0, C=1, D=1, E=1
b) A=1, B=0, C=1, D=1, E=0
c) A=1, B=1, C=0, D=1, E=0
d) A=1, B=0, C=0, D=1, E=1
6. Lógica Proposicional
EExxeerrccíícciiooss
6) Simplifique as expressões booleanas abaixo utilizando as equivalências
descritas anteriormente (demonstre a equivalência utilizada).
a) ( x ⅴ y ) ᴧ ( x ⅴ y' )
b) ( x' ᴧ y' )' ⅴ ( x' ⅴ z )
c) ( x ᴧ y' ) ⅴ z
d) (x' ᴧ y ᴧ z ) ᴧ (x ⅴ m)'
e) (AⅴBⅴC)ᴧ(DⅴE)' ⅴ (AⅴBⅴC)ᴧ(DⅴE)
f) (A ⅴ B)' ᴧ (C ⅴ D ⅴ E)' ⅴ (A ⅴ B)'
g) A' ⅴ 1
h) x ᴧ y ᴧ z ⅴ x ᴧ y' ᴧ z ⅴ x ᴧ y' ᴧ z' ⅴ x' ᴧ y' ᴧ z ⅴ x' ᴧ y' ᴧ z'
7. Lógica Proposicional
EExxeerrccíícciiooss
7) Simplifique as expressões booleanas abaixo utilizando as equivalências
descritas anteriormente (demonstre a equivalência utilizada).
a) ( A → B ) → B
b) ( B' → A') → B
c) ( A ↔ B )
d) ( A ⅴ B ) ↔ ( B ⅴ A)
e) ( A → B ) → ( B' → A' )
f) ( A → B ) ↔ ( A' ⅴ B )
g) P ᴧ P' → Q
h) ( A ᴧ B ) → ( A → B' )'