523084247-Aula-04-Analise-de-Sistemas-LTI.pptx

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA)
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS (CMPF)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA (DETEC)
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Aula 04
Análise de Sistemas LTI
Prof.: Pedro Thiago Valério de Souza
UFERSA – Campus Pau dos Ferros
pedro.souza@ufersa.edu.br

© Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Objetivos
• Definir a estabilidade e causalidade em sistemas de tempo discreto;
• Apresentar a representação em equação de diferenças dos sistemas de tempo discreto;
• Resolver uma equação de diferenças utilizando o método clássico;
• Determinar a resposta em frequência de sistemas de tempo discreto.
2

Estabilidade de Sistemas LTI
• Definição geral: Um sistema é dito estável se para toda entrada com amplitude limitada, a saída
também terá amplitude limitada;
• Para um sistema LTI:
3
( ) ( )
x y
x n B n y n B n
        
( )
k
h k


 
 Implica dizer que h(n) é absolutamente somável.

Estabilidade de Sistemas LTI
Exemplo: Discuta a estabilidade dos seguintes sistemas LTI.
4
( ) 2 ( )
n
h n u n

1
( ) ( )
2
n
h n u n
 
  
 
Não é absolutamente somável  Instável
É absolutamente somável  Estável

Causalidade em Sistemas LTI
• Definição geral: Um sistema é dito causal se a saída depende apenas dos valores atuais e
passados das saídas e das entradas;
• Para um sistema LTI:
Exemplo: Discuta a causalidade dos seguintes sistemas LTI.
5
( ) 0 para 0
h n n
 
( ) 2 ( )
n
h n u n
 
( ) 2 ( )
n
h n u n

Não-causal
Causal
Estável
Instável

Equação de Diferenças
• Representação alternativa de um sistema LTI de tempo discreto;
• Equivalente à equação diferenciais de sistemas de tempo contínuo.
• Forma geral:
Exemplo: Equação de diferenças para um sistema acumulador.
6
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
  
  (Sistema de tempo discreto de ordem N).
( ) ( )
n
k
y n x k

 
1
( ) ( )
n
k
x n x k


  
( 1)
y n 
( ) ( 1)
x n y n
  
( ) ( 1) ( )
y n y n x n
  
+
( )
x n
Atraso de
uma
amostra
( )
y n
( 1)
y n 

• Caso 1 - N = 0 (Sistema FIR):
7
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
  
 
0
0
( ) ( )
M
r
r
a y n b x n r

 

0 0
( ) ( )
M
r
r
b
y n x n r
a

 
 
 
 

0 0
( ) ( )
M
r
r
b
h n n r
a


 
 
 
 
 0
0
( )
0 caso contrário
n
b
n M
a
h n

 

 


A resposta ao impulso desse sistema pode ser encontrada se x(n) = δ(n):
A resposta ao impulso possui duração finita, e corresponde a um sistema FIR (finite
impulse response).

• Caso 2 - N ≠ 0 (Sistema IIR):
8
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
  
 
0
1 0
( ) ( ) ( )
N M
k r
k r
a y n a y n k b x n r
 
   
 
1 0
0 0
( ) ( ) ( )
N M
k r
k r
a b
y n y n k x n r
a a
 
   
    
   
   
 
A saída é calculada de forma recursiva:
A resposta deste sistema possui duração infinita, logo, corresponde a um sistema IIR
(infinite impulse response).
1 1 2
( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2)
y n x n b x n a y n a y n
      
Nem todo sistema IIR será estável.
1 1 2
(0) (0) ( 1) ( 1) ( 2)
y x b x a y a y
       ( 1), ( 2)
y y
  (Condições iniciais)

• Caso 2 - N ≠ 0 (Sistema IIR):
Exemplo: Resposta ao impulso de um sistema IIR.
9
( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
  
( ) ( )
x n n


( ) 0 0 (causalidade)
y n n
 
( ) ( ) ( 1)
y n n ay n

  
(0) (0) ( 1)
y ay

   (0) 1

 
(1) (1) (0)
y ay

  (0)
ay a
 
(2) (2) (1)
y ay

  2
(1)
ay a
 
(3) (3) (2)
y ay

  3
(2)
ay a
 
4
(4)
y a

( ) 0
n
y n a n
 
( ) ( ) ( )
n
h n y n a u n
 
Para o sistema ser estável: |a| < 1
Logo:

Exemplo: Resposta ao impulso de um sistema IIR anti-causal.
10
( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
  
( ) ( )
x n n


(0) 0 0 (anti-causalidade)
y n
 
   
( 1)
y n n
y n
a


 
( ) 1
n
y n a n
   
( ) ( ) ( 1)
n
h n y n a u n
    
Logo:
   
0 0
( 1)
y
y
a


 
0 1
a

 1
a
 
   
1 1
( 2)
y
y
a

  
 
1
a
a


 2
a
 
Para o sistema ser estável: |a| > 1

• Solução clássica de equações diferenças:
11
( ) ( ) ( )
h p
y n y n y n
 
( )
h
y n Resposta homogênea.
( )
p
y n Resposta particular.
• Resposta homogênea: Saída do sistema quando x(n) = 0.
0 0
( ) ( )
N M
k r
k r
a y n k b x n r
 
  
  0
( ) 0
N
k h
k
a y n k

 

• A exponencial da forma é uma solução para a resposta homogênea:
( ) n
h
y n z

0
0
N
n k
k
k
a z 



• Gerando o seguinte polinômio em z, denominado de polinômio característico:
0
0
N
k
k
k
a z


  
k
z
com raízes
0
0
N
n k
k
k
a z z


 0
0
N
n k
k
k
z a z




• Resposta homogênea:
• Todos as respostas na forma satisfazem a resposta homogênea;
• A resposta homogênea será uma combinação de todas as exponenciais;
• Caso 1 – Raízes diferentes:
• Caso 2 – Raízes repetidas, sendo z1 uma raiz com multiplicidade m:
• {Ak} são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
12
1
( )
N
n
h k k
k
y n A z

 
 
1
1 2 1
1
( )
N
m n n
h m k k
k m
y n A A n A n z A z

 
     
 
( ) n
h k
y n z


• Resposta particular: Depende do formato da entrada.
13
( )
x n ( )
p
y n
C 1
C
Cn 1
C n
n
C 1
n
C 
 
0
cos
C n    
1 0 2 0
cos sin
C n C n
 

 
0
cos
n
C n
     
1 0 2 0
cos sin
n n
C n C n
   

( )
n
 0

• Solução clássica de equações diferenças:
1. Determinar o polinômio característico, fazendo na equação de
diferenças;
2. Determinar as raízes do polinômio característico e montar o formato da resposta
homogênea;
3. Utilizando a tabela do slide anterior, determinar a resposta particular;
4. Calcular as constantes da resposta particular fazendo na equação de
diferenças (considerando x(n) dado);
5. Obter a resposta total
6. Determinar as constantes da resposta homogênea utilizando as condições iniciais.
14
( ) e ( ) 0
n
y n z x n
 
( ) ( ) ( )
h p
y n y n y n
 
( ) ( )
p
y n y n


Exemplo: Determine a solução da seguinte equação de diferenças:
15
( ) 0,9 ( 1) ( )
y n y n x n
  
( ) ( )
x n u n

1
( 1)
3
y  
Passo 1: ( ) ( ) 0
n
y n z x n
 
1
0,9 0
n n
z z 
 
 
1
1 0,9 0
n
z z
 
1
1 0,9 0
z
 
0,9
z  
Passo 2:
 
1
( ) 0,9
n
h
y n A
 
Passo 3: ( ) ( )
x n u n
 1
( )
p
y n C
 
Passo 4:
( ) 0,9 ( 1) ( )
y n y n x n
  
1
( ) ( ) 1 0
y n C x n n
  
1 1
0,9 1
C C
  1
10
19
C
 
10
( ) 0
19
p
y n n
 

Exemplo: Determine a solução da seguinte equação de diferenças:
16
( ) 0,9 ( 1) ( )
y n y n x n
  
( ) ( )
x n u n

1
( 1)
3
y  
Passo 5:
 
1
( ) 0,9
n
h
y n A
 
10
( ) 0
19
p
y n n
 
( ) ( ) ( )
h p
y n y n y n
 
 
1
10
( ) 0,9 0
19
n
y n A n
   
Passo 6:
( ) 0,9 ( 1) ( )
y n y n x n
  
(0) (0) 0,9 ( 1)
y x y
  
1
1 0,9
3
   0,7

 
0
1
10
(0) 0,9
19
y A
   1
10
19
A
  0,7
 1
33
190
A
 
 
33 10
( ) 0,9 0
190 19
n
y n n
   
Por fim:

Resposta em Frequência
• Forma alternativa de representação de um sistema LTI;
• Diz a saída de um sistema à excitações exponenciais complexas (ou sinais senoidais);
• Saída de um sistema LTI à excitações exponenciais:
17
( )
h n
( ) j n
x n e 
 ( )
y n ( ) ( ) ( )
k
y n h k x n k


 
 ( )
( ) j n k
k
h k e 



 
( ) j n j k
k
h k e e
 



  ( )
j n j k
k
e h k e
 



 
 
( ) j n j
y n e H e
 

  ( )
j j n
n
H e h n e
 



 
Para um determinado valor
de ω, isso é um número.
• Desta forma:
(Resposta em Frequência)
A exponencial complexa é uma
auto-função de um sistema LTI.

Exemplo: Saída de um sistema LIT para entrada senoidal.
18
 
0
( ) cos
x n A n
 
  0 0
2 2
j n j n
j j
A A
e e e e
 
  

 
0 0
( )
2 2
j n j n
j j
A A
y n T e e e e
 
  

 
 
 
 
   
0 0
2 2
j n j n
j j
A A
e T e e T e
 
  

 
   
0 0 0
j n j j n
T e H e e
  

   
0 0 0
j n j j n
T e H e e
  
  
  
0 0
j j n
H e e
 


   
0 0
j j
H e H e
 


   
   
0 0
0 0 0 0
( )
2 2
j j
j H e j H e
j j n j j n
j j
A A
y n e H e e e e H e e e
 
   
  

 
     
0
0 0
j
j H e
j j
H e H e e

 

   
0
0 0
j
j H e
j j n
H e e e

 

   
0
0 0
j
j H e
j j n
H e e e

 


   
0 0
0
cos
j j
A H e n H e
 
 
 
  
 
Considerações:

Exemplo: Saída de um sistema LIT para entrada senoidal.
19
   
0 0
0
( ) cos
j j
y n A H e n H e
 
 
 
  
 
representa o ganho que é dado
na amplitude de um sinal
senoidal (resposta de magnitude)
 
0
j
H e 
é o deslocamento de fase que é
dado no sinal senoidal (resposta
de fase).
 
0
j
H e 
( ) cos
8
x n n

 
  
 
( ) 1,3557cos 0,0512
8
y n n

 
 
 
 
 
0
( ) cos
x n A n
 
 

• Filtros seletivos em frequência:
20
 
j
lp
H e 

c

 c
 


 
j
hp
H e 

c

 c
 


 
j
bs
H e 

1
c

 1
c
 

 2
c

2
c


 
j
bp
H e 

1
c

 1
c
 

 2
c

2
c


Passa-baixas. Passa-altas.
Rejeita-faixa. Passa-bandas.

Exemplo: Resposta em frequência de um sistema LTI.
21
( ) ( 1) ( )
y n ay n x n
  
( ) ( )
x n n


( ) 0 0 (causalidade)
y n n
 
( ) ( )
n
h n a u n

Já sabemos que: , logo:
  ( )
j j n
n
H e h n e
 



  ( )
n j n
n
a u n e 



  0
n j n
n
a e 



   
0
n
j
n
ae 



 
0
1
1
n
n







De série, sabemos que: , logo:
  1
1
j
j
H e
ae






Exemplo: Resposta em frequência de um sistema LTI.
22
Resposta em magnitude:
 
2 1 1
1 1
j
j j
H e
ae ae

 

 
  2
1
1 2 cos
a a 

 
  2
1
1 2 cos
j
H e
a a



 
Resposta em fase:
  1
1
j
j
H e
ae





1
1 cos sin
a ja
 

 
  sin
arctan
1 cos
j a
H e
a
 

 
   

 

• Propriedades:
• A resposta em frequência é contínua em ω;
• A resposta em frequência é periódica em ω, com período de 2π;
23
  ( )
j j n
n
H e x n e
 



 
 
( 2 ) ( 2 )
( )
j r j r n
n
H e x n e
   

  

  2
( ) j n j rn
n
x n e e
 

 

  ( ) j n
n
x n e 



   
j
H e 

• Generalização: Transformada de Fourier de Tempo Discreto.
1

Na próxima aula...
• Transformada de Fourier em Tempo Discreto.
24

Referências
• Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3º
Edição, Pearson, 2013 (pg. 21 – 28);
25

Exercícios
• Capítulo 2 (Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de
Sinais. 3º Edição, Pearson, 2013):
• Problemas Obrigatórios: 2.4, 2.11, 2.12, 2.18 e 2.19;
• Problemas Opcionais: 2.5, 2.20, 2.31 e 2.41
Prazo de entrega: 1 semana.
26

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