O documento discute sistemas dinâmicos de um grau de liberdade (1 GDL) e sistemas de múltiplos graus de liberdade representados no espaço de estados. Apresenta as equações de estado e saída para modelar sistemas usando variáveis de estado, entrada e saída. Também explica como representar sistemas de primeira e segunda ordem por funções de transferência.

1. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Espa¸co de Estados
Jo˜ao V. C. Fontes
Escola de Engenharia de S˜ao Carlos
Universidade de S˜ao Paulo
1 / 32

2. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Organiza¸c˜ao
1 Resposta de Sistemas de 1 GDL
Sistemas de Primeira Ordem
Sistemas de Segunda Ordem
2 Espa¸co de Estados
Sistema de 1 GDL
Sistema de N GDL
2 / 32

3. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistemas de 1 GDL
Sistema SISO (Single Input, Single Output)
Exemplo: Massa-mola-amortecedor
3 / 32

4. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta de Sistemas
• Resposta transiente
• Dinˆamica do sistema
• Resposta homogˆenea
• Resposta em regime
• Entrada do sistema
• Resposta particular
4 / 32

5. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistemas de 1 GDL
Podem ser representados totalmente por uma Fun¸c˜ao
Transferˆencia
Defini¸c˜ao
Fun¸c˜ao transferˆencia ´e a representa¸c˜ao matem´atica da
rela¸c˜ao entre a sa´ıda e a entrada de um sistema
Ordem do sistema depende do maior ´ındice da derivada do
GDL presente na equa¸c˜ao dinˆamica
Y (s)
U(s)
=
(bnsn + bn−1sn−1 + . . . + b1s + b0)
(ansn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0)
5 / 32

6. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau: 1◦
Ordem
Y (s)
U(s)
=
K
(τs + 1)
K=2;
tau=1;
Planta = tf([K],[tau 1])
hold on
step(Planta)
6 / 32

7. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau: 1◦
Ordem
Y (s)
U(s)
=
K
(τs + 1)
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
X: 1.993
Y: 0.6309
X: 1.993
Y: 1.262
X: 0.9967
Y: 1.262
Step Response
Amplitude
K=2; Tau=1
K=2; Tau=2
K=1; Tau=2
7 / 32

8. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau: 2◦
Ordem
Varia¸c˜ao de wn
Y (s)
U(s)
=
K
1
w2
n
s2 + 2ζ
wn
s + 1
K=1;
wn=1;
zeta=0.1;
Planta = tf([K],[1/wnˆ2 2*zeta/wn 1])
subplot(3,1,1)
step(Planta)
axis([0 80 0 2])
8 / 32

9. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau: 2◦
Ordem
Y (s)
U(s)
=
K
1
w2
n
s2 + 2ζ
wn
s + 1
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
1
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude wn=3
wn=2
wn=1
9 / 32

10. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau: 2◦
Ordem
Varia¸c˜ao de ζ
Y (s)
U(s)
=
K
1
w2
n
s2 + 2ζ
wn
s + 1
K=1;
wn=1;
zeta=0.1;
Planta = tf([K],[1/wnˆ2 2*zeta/wn 1])
hold on
step(Planta)
axis([0 20 0 2])
10 / 32

11. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Resposta ao Degrau: 2◦
Ordem
Y (s)
U(s)
=
K
1
w2
n
s2 + 2ζ
wn
s + 1
0 5 10 15 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude zeta=0.1
zeta=0.3
zeta=0.5
zeta=1.0
zeta=1.3
11 / 32

12. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
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Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Espa¸co de Estados
Teoria de Controle Moderno
• Entradas e sa´ıdas m´ultiplas
• MIMO: Multiple Input, Multiple Output
• Abordagem no dom´ınio do tempo
• Possibilidade de lidar com sistemas n˜ao-lineares
• Base no conceito de estado
12 / 32

13. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
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Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Defini¸c˜oes
Estado
Menor conjunto de valores de vari´aveis independentes do
sistema que determinam completamente o comportamento do
sistema
Vari´aveis de estado
Vari´aveis independentes que descrevem completamente o
sistema
Vetor de estado
Formado pelas vari´aveis de estado
Espa¸co de Estado
Espa¸co vetorial formado pelo vetor de estado
13 / 32

14. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
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Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
An´alise em Espa¸co de Estados
Envolve trˆes tipos de vari´aveis
• Vari´aveis de entrada
• Vari´aveis de sa´ıda
• Vari´aveis de estado
Supondo um sistema com:
• r entradas: u1(t), u2(t), . . . , ur(t)
• m sa´ıdas: y1(t), y2(t), . . . , ym(t)
• n vari´aveis de estado: x1(t), x2(t), . . . , xn(t)
14 / 32

15. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
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Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equa¸c˜oes do Espa¸co de Estados
O sistema pode ser escrito como:
˙x1 = f1(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , ur; t)
˙x2 = f2(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , ur; t)
...
˙xn = fn(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , ur; t)
y1 = g1(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , ur; t)
y2 = g2(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , ur; t)
...
ym = gm(x1, x2, . . . , xn; u1, u2, . . . , ur; t)
15 / 32

16. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
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Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equa¸c˜oes do Espa¸co de Estados
Definindo os vetores de entrada, sa´ıda e de vari´aveis de estado,
podemos escrever todas as fun¸c˜oes na forma vetorial
x(t) =





x1(t)
x2(t)
...
xn(t)





; y(t) =





y1(t)
y2(t)
...
ym(t)





; u(t) =





u1(t)
u2(t)
...
ur(t)





f(x, u, t) =





f1(x, u, t)
f2(x, u, t)
...
fn(x, u, t)





; g(x, u, t) =





g1(x, u, t)
g2(x, u, t)
...
gm(x, u, t)





16 / 32

17. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equa¸c˜oes do Espa¸co de Estados
Equa¸c˜ao de Estado
˙x(t) = f(x, u, t)
Equa¸c˜ao de Sa´ıda
y(t) = g(x, u, t)
Se as fun¸c˜oes f ou g forem dependentes explicitamente do
tempo t, ent˜ao ´e dito que o sistema ´e variante no tempo
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18. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Equa¸c˜oes do Espa¸co de Estados
Colocando em evidˆencia os vetores de vari´aveis de estado e de
entrada, a equa¸c˜ao de estado e a equa¸c˜ao de sa´ıda podem ser
reescritas na forma:
Equa¸c˜ao de Estado
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
Equa¸c˜ao de Sa´ıda
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
18 / 32

19. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Representa¸c˜ao Diagrama de Blocos
Representa¸c˜ao no diagrama de blocos do espa¸co de estados
A: Matriz de estado C: Matriz de sa´ıda
B: Matriz de entrada D: Matriz de transmiss˜ao direta
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
19 / 32

20. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Fun¸c˜ao Transferˆencia
Considerando a Transformada de Laplace
sX(s) = AX(s) + BU(s)
Y(s) = CX(s) + DU(s)
Isolando X
X(s) = (sI − A)−1
BU(s)
Substituindo na equa¸c˜ao de sa´ıda e fazendo a rela¸c˜ao de sa´ıda
pela entrada
G(s) =
Y(s)
U(s)
= C(sI − A)−1
B + D
20 / 32

21. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 1 GDL
X(s)
F(s)
=
1
ms2 + cs + k
A =
0 1
− k
m − c
m
B =
0
1
C = 1 0 D = 0
21 / 32

22. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 1 GDL (MATLAB)
m=2; tfs=C*inv(s*I−A)*B+D
k=1; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
c=0.1;
tol=1e−6;
A=[0 1;−k/m −c/m]; num(num>0 & num<tol)=0
B=[0;1/m]; ft=tf(num,den)
C=[1 0]; ft2=tf([1],[m c k])
D=0;
step(tfs)
Planta=ss(A,B,C,D); figure
step(ft2)
I=eye(2);
s=tf([1 0],[1]);
22 / 32

23. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 1 GDL (MATLAB)
X(s)
F(s)
=
1
2s2 + 0.1s + 1
0 50 100 150 200 250
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
Amplitude
23 / 32

24. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL
m1¨x1 + c1 ˙x1 + k1x1 + c2( ˙x1 − ˙x2) + k2(x1 − x2) = F1
m2¨x2 + c2( ˙x2 − ˙x1) + k2(x2 − x1) = F2
24 / 32

25. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL
Reescrever equa¸c˜oes na forma matricial
m1¨x1 + c1 ˙x1 + k1x1 + c2( ˙x1 − ˙x2) + k2(x1 − x2) = F1
m2¨x2 + c2( ˙x2 − ˙x1) + k2(x2 − x1) = F2
m1 0
0 m2
¨x1
¨x2
+
c1 + c2 −c2
−c2 c2
˙x1
˙x2
+
k1 + k2 −k2
−k2 k2
x1
x2
=
F1
F2
M ¨x + C ˙x + Kx = F
25 / 32

26. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL
X =




x1
x2
˙x1
˙x2




M ¨x + C ˙x + Kx = F
¨x = M−1
F − M−1
C ˙x − M−1
Kx
˙X =




˙x1
˙x2
¨x1
¨x2



 =


0 0 1 0
0 0 0 1
−M−1K − M−1C






x1
x2
˙x1
˙x2



 +


0 0
0 0
M−1

 F1
F2
Y =
y1
y2
=
1 0 0 0
0 1 0 0




x1
x2
˙x1
˙x2



 +
0 0
0 0
F1
F2
26 / 32

27. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL




˙x1
˙x2
¨x1
¨x2



 =


0 0 1 0
0 0 0 1
−M−1K − M−1C


A




x1
x2
˙x1
˙x2



 +


0 0
0 0
M−1


B
F1
F2
y1
y2
=
1 0 0 0
0 1 0 0
C




x1
x2
˙x1
˙x2



 +
0 0
0 0
D
F1
F2
27 / 32

28. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)
m1=1; m2=2;k1=1; k2=2; c1=0.1; c2=0.2;
M=[m1 0;0 m2];
C=[c1+c2 −c2; −c2 c2];
K=[k1+k2 −k2; −k2 k2];
A=[0 0 1 0; 0 0 0 1; −inv(M)*K, −inv(M)*C];
B=[0 0; 0 0; inv(M)];
C=[1 0 0 0;0 1 0 0]; D=zeros(2);
planta=ss(A,B,C,D);
I=eye(4); s=tf([1 0],[1]);
28 / 32

29. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)
tfs=C*inv(s*I−A)*B+D
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);
tol=1e−6;
num(num>0 & num<tol)=0;
num(num<0 & num>−tol)=0;
ft11=tf(num(1,:),den)
ft12=tf(num(2,:),den)
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2);
num(num>0 & num<tol)=0;
num(num<0 & num>−tol)=0;
ft21=tf(num(1,:),den)
ft22=tf(num(2,:),den)
step(tfs)
29 / 32

30. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)
x1
F1
=
s2 + 0.1s + 1
s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s + 1
x2
F1
=
0.1s + 1
s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s + 1
x1
F2
=
0.1s + 1
s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s + 1
x2
F2
=
0.5s2 + 0.15s + 1.5
s4 + 0.4s3 + 4.01s2 + 0.2s + 1
30 / 32

31. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Sistema de 2 GDL (MATLAB)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
From: In(1)
To:Out(1)
0 100 200 300 400
0
1
2
3
To:Out(2)
From: In(2)
0 100 200 300 400
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
31 / 32

32. Espa¸co de
Estados
Jo˜ao V. C.
Fontes
Resposta de
Sistemas de 1
GDL
Sistemas de
Primeira Ordem
Sistemas de
Segunda Ordem
Espa¸co de
Estados
Sistema de 1
GDL
Sistema de N
GDL
Obrigado pela aten¸c˜ao!!
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Qualquer d´uvida entre em contato! :D
joao.fontes@usp.br
32 / 32