Aula-06-Amostragem

1. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO (UFERSA)
CENTRO MULTIDISCIPLINAR DE PAU DOS FERROS (CMPF)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIA (DETEC)
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Aula 06
Amostragem
Prof.: Pedro Thiago Valério de Souza
UFERSA – Campus Pau dos Ferros
pedro.souza@ufersa.edu.br

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Objetivos
• Explicar o processo de amostragem de sinais de tempo contínuo;
• Apresentar o espectro de um sinal amostrado;
• Definir os conceitos de aliasing e o teorema de Nyquist;
• Relacionar a DTFT de um sinal de tempo discreto com o sinal de tempo contínuo no qual foi
amostrado;
• Explicar o processo de reconstrução de um sinal a partir de suas amostras;
• Estudar o efeito do aliasing em sinais senoidais;
• Explicar o procedimento de processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo.
2

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Amostragem
• Processo de amostragem:
3
( )
a
x t C/D
( )
a
x t ( ) ( )
a
x n x nT

Amostrador
2
s
T

 
Frequência de amostragem:
( )
a
x t
t
( )
a
x t
t
( )
x n
n
T
0 1 2 3 4 5 6 7
Trem de impulsos com
área de cada impulso
dada por ( )
a
x nT
O valor das amostras é
igual á área dos impulsos

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Amostragem
• Formalização matemática:
4
( ) ( )
n
s t t nT



 

Trem de impulsos:
Sinal amostrado: ( ) ( ) ( )
a a
x t x t s t
 ( ) ( )
a
n
x t t nT



 
 ( ) ( )
a
n
x t t nT



 

( ) ( )
a
n
x nT t nT



 
 ( ) ( )
n
x n t nT



 

( )
a
x t
t
( )
s t
t
0 T 2T 3T
( )
a
x t
t
0 T 2T 3T

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Amostragem
5
• Transformada de Fourier de :
( )
a
x t ( ) ( ) ( )
a a
x t x t s t

   
( ) ( ) ( )
a a
x t x t s t

F F
1
( ) ( ) ( )
2
a a
X j X j S j

    
• Determinando a transformada de Fourier de :
( )
s t
( ) ( )
n
s t t nT



 
 é um sinal periódico com período T.
   
0
2 k
k
S j a k
 


    

0
2
T

  s
 
0
/2
/2
1
( )
T
jk t
k
T
a s t e dt
T
 

 
/2
/2
1
( ) s
T
jk t
T
t e dt
T
  

 
De –T/2 até T/2, temos apenas o
impulso localizado na origem.
1
T


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Amostragem
• Desta forma: , portanto:
6
   
2
s
k
S j k
T




    

1
( ) ( ) ( )
2
a a
X j X j S j

      
1 2
( )
2
a s
k
X j k
T





 
     
 
 

 
1
( )
a s
k
X j k
T



     
  
1
( )
a s
k
X j k
T


   

• O espectro do sinal amostrado consiste em réplicas do espectro do sinal original,
equiespaçadas (em frequência) de Ωs rad/s;

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Amostragem
7
 
a
X j

m

m

 
a
X j

m

m
 s

s

s m
  
Para não ocorrer sobreposição das réplicas
(aliasing):
s m m
     2
s m
   
Teorema de Nyquist
1
1/T

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Amostragem
• Se o teorema de Nyquist não for respeitado, acontece sobreposição das réplicas (aliasing):
8
 
a
X j

m

m
 s

s

Sobreposição espectral
(aliasing)
• Análise da DTFT do sinal x(n):
  ( )
j j n
n
X e x n e
 



 
( ) ( ) ( )
a
n
x t x n t nT



 

   
( ) ( ) ( )
a a
n
X j x t x n t nT



 
   
 
 

F F

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Amostragem
• Ou seja, a DTFT de x(n) corresponde a uma versão de , com uma mudança na
escala de frequência por um fator .
9
   
( ) ( )
a
n
X j x n t nT



  
 F
  ( ) j Tn
a
n
X j x n e

 

  
• Cont’d:
  ( )
j j n
n
X e x n e
 



 
    /
j
a T
X e X j



 
• Por comparação com , segue que:
 
a
X j
/T

 
   
1
( )
a a s
k
X j X j k
T


    
   1 2
j
a
k
k
X e X j
T T T
  


 
 
 
 
 
 
 


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Amostragem
10
 
a
X j

m

m

 
a
X j

m

m
 s

s

 
j
X e 

mT

mT

2
2
sT T
T


  
2
2

1/T
1/T
1

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Reconstrução (interpolação)
• A reconstrução (interpolação) pode ser feita filtrando-se apenas a réplica centrada na origem e
aplicar um ganho T;
11
 
a
X j

m

m
 s

s

s m
  
1/T
c

c

 
r
X j

m

m

1
Espectro do sinal xa(t)

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Reconstrução (interpolação)
• Diagrama de blocos do interpolador:
12
( )
x n Conversor de
sequência para um
trem de impulsos
Filtro
 
r
H j
( )
a
x t ( )
r
x t
T
• Filtro de reconstrução: passa-baixas, com ganho T e frequência de corte
2 1
2 2
s
T T
 

  
2
2
s
m s m

     
Supondo que Nyquist é atendido:

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Reconstrução (interpolação)
13
• Filtro de reconstrução:
 
0 c.c.
r
T T
H j

  
  

 
1
( )
2
j t
r r
h t H j e d




  

1
2
j t
Te d





 
 2
j t
T
e d





 

 
sin t T
t T




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Reconstrução (interpolação)
• Após a filtragem:
14
( ) ( ) ( )
r a r
x t x t h t
  ( ) ( ) ( )
r
n
x n t nT h t



 
  
 
 
  
( ) ( ) ( )
r
n
x n t nT h t



  

( ) ( )
r
n
x n h t nT


 

 
 
 
sin
( )
n
t nT T
x n
t nT T







 ( )
n n
n
c t



 
( )
n
c x n

 
 
 
sin
( )
n
t nT T
t
t nT T






Consiste em uma soma ponderada
(pesos – x(n)) de funções do tipo sinc.

15. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Reconstrução (interpolação)
15
( )
a
x t ( )
a
x t
( )
r
x t

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Reconstrução (interpolação)
• Analisando:
16
 
 
 
sin 1
0 c.c.
m n m n
m n


 

 
 
• Desta forma , ou seja, xr(t) tem os mesmos valores de x(m) nos múltiplos
inteiros do intervalo de amostragem.
( ) ( )
r
x mT x m

• Notar que:
 
 
 
sin
( ) ( )
r
n
m n
x mT x n
m n









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Efeito do Aliasing em sinais senoidais
• Considerando um sinal senoidais:
17
 
0
( ) cos
a
x t t
       
 
0 0
a
X j   
        
 
a
X j

0

0

O que vai acontecer se xa(t) é
amostrado com uma taxa ?
0
2
s
  
 
a
X j

0
s
  
 
0
s
   
s

s

Filtro de recuperação

18. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Efeito do Aliasing em sinais senoidais
• Após a recuperação do filtro:
18
 
0
( ) cos s
x t t
 
   
 
• Aliasing: Efeito no qual um sinal de frequência maior se comporta como um sinal de frequência
menor.

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Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo
Contínuo
• Sistema proposto:
19
C/D D/C
( )
a
x t ( ) ( )
 a
x n x nT
 
j
H e 
( )
y n ( )
a
y t
 

a
H j
• DTFT de x(n):
  1 2
j
a
k
k
X e X j
T T T
  


 
 
 
 
 
 
 

• Desta forma:
     

j j j
Y e H e X e
  
 
1 2


 
 
 
 
 
 
 

j
a
k
k
H e X j
T T T
  

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Processamento em Tempo Discreto de Sinais de Tempo
Contínuo
• Após a reconstrução do sinal:
20
     

   j T
a r
Y j H j Y e    
1 2



 
 
   
 
 
 
 

j T
r a
k
k
H j H e X j
T T

 
0 c.c.
r
T T
H j

  
  

 
    /
0 c.c.

   

  


j T
a
a
H e X j T
Y j

• Desta forma:
 
  /
0 c.c.

  

  


j T
a
H e T
H j

     

j j j
Y e H e X e
  

21. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Próxima Aula
• Transformada Z.
21

22. © Pedro Souza, 2019 - 2021 Processamento Digital de Sinais Semestre 2020.2
Referências
• Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de Sinais. 3º
Edição, Pearson, 2013 (pg. 91 - 102);
22

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Exercícios
• Capítulo 4 (Alan V. Oppenheim e Ronald W. Schafer - Processamento em Tempo Discreto de
Sinais. 3º Edição, Pearson, 2013): 4.5, 4.6, 4.7, 4.10, 4.11, 4.12 e 4.25
Prazo de entrega: 1 semana.
23