SISTEMAS LINEARES - MATEMATICA - 2 ANO.ppsx

E
SC
A
LO
N
A M
ENTO
SISTEMAS LINEARES
Profª Juliana Schivani
Juliana.schivani@ifrn.edu.br

Dona Chica foi a feira e
comprou 1 abacaxi, 2 pencas
de bananas e 3 carambolas
gastando, no total, R$260.
Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani
Seu Juca foi a mesma feira e
comprou 2 abacaxis, 1 penca de
bananas e 1 carambola gastando
R$150.
Gigi comprou 4 abacaxis, 3 pencas
de bananas e 1 carambola
gastando R$290.
Qual o valor de cada fruta?

Equação linear
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome
de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn,
b é um número real chamado termo independente

Equação linear
2x + y – z = 0
w + v + u + t = 1
xyz = 0
w² + v + u + t = 1
EXEMPLOS: CONTRA-
EXEMPLOS:

Sistema Linear
Conjunto de duas ou mais equações lineares

Sistema Linear
Em um sistema, cada incógnita deverá ter, pelo menos, uma
equação associada a ela.
Assim, só se resolve um sistema se o número de equações
for maior ou igual ao número de incógnitas, isto é, se existir
100 incógnitas, deverá existir, pelo menos 100 equações.
Cada sistema recebe uma classificação quanto ao número
de soluções.

Classificação de um sistema
linear
SPD – Sistema Possível e Determinado
Quando cada uma das incógnitas assume um único valor, isto
é, o sistema tem uma ÚNICA SOLUÇÃO.
x + y = 10
2x + y = 13
x = 10 - y
20 - 2y + y = 13 ⟹ y = 7
⟹ x = 10 – 7 ⟹ x = 3

linear
SPI – Sistema Possível e Indeterminado
Quando cada uma das incógnitas pode assumir mais de um
valor, isto é, o sistema é possível, mas não se pode determinar,
pois tem INFINITAS SOLUÇÕES.
x + y = 2
2x + 2y = 4
Quando as outras equações são combinações lineares de
outra, tem-se um SPI !
S = {(1, 1); ( ½ , 3/2); (3/2, ½); ...}

linear
SI – Sistema Impossível
Quando as incógnitas assumem valores absurdos,
isto é, o sistema NÃO TEM SOLUÇÃO.
x + y = 2
x + y = 5

Forma matricial de um sistema
Todo sistema de equações pode ser representado por um produto de
duas matrizes (a primeira dos coeficientes numéricos e a segunda das
incógnitas) resultando numa terceira matriz (dos termos
independentes).

Solução de um sistema linear
Em um sistema de muitas equações e variáveis, a maneira mais
simples de resolver é transformá-lo em uma matriz e zerar
todos os coeficientes abaixo da diagonal principal.
Isso faz com que a matriz final dos coeficientes fique na forma
de uma ESCADA, ou seja, ESCALONADA.
Quando a matriz está escalonada, o sistema fica muito mais
simples de ser resolvido.

MATRIZ
ESCALONADA:
Diagonal
principal

MATRIZ
ESCALONADA:
⟹
{
9 𝑥+8 𝑦 −11 𝑧=7
2 𝑦 − 5 𝑧=9
6 𝑧=13
SISTEMA LINEAR
ASSOCIADO À
MATRIZ:

Escalonamento
O processo de escalonamento de um sistema é:
1. Transformar o sistema em uma matriz, onde cada linha corresponde
a uma equação e cada coluna, uma variável, exceto a última, que é a
coluna dos termos independentes.
2. Fixar como primeira equação aquela em que o primeiro coeficiente é
diferente de zero (de preferência 1 ou -1).
3. Iniciar o processo de zerar os coeficientes abaixo da diagonal
principal.

Escalonamento
Os recursos possíveis para zerar os coeficientes são:
1. Multiplicar uma linha da matriz por um número real;
2. Substituir uma linha pela soma dela com qualquer
outra do sistema;
3. Trocar a posição de duas linhas.

Escalonamento
{
𝑎+2 𝑏+3 𝑐=260
2 𝑎+𝑏 +𝑐=150
4 𝑎+3 𝑏+𝑐 =290
⟹
[
1 2 3 260
2 1 1 150
4 3 1 290 ]L2 L
⟵ 2 – 2L1
[
1 2 3 260
0 − 3 −5 −370
4 3 1 290 ]L3 L
⟵ 3 – 4L1
[
1 2 3 260
0 −3 − 5 −370
0 −5 −11 −750 ]
L3 3L
⟵ 3 - 5L2
[
1 2 3 260
0 −3 −5 − 370
0 0 − 8 − 400 ]{
𝑎+2 𝑏+ 3 𝑐=260
−3 𝑏 −5 𝑐=−370
−8 𝑐=−400

Escalonamento
{
3 𝑥 − 𝑦+𝑧=2
𝑥 −2 𝑦 − 𝑧=0
2 𝑥 + 𝑦 +2 𝑧=2
⟹
[
3 −1 1 2
1 −2 − 1 0
2 1 2 2 ]L2 ⟷ L1
[
1 −2 − 1 0
3 −1 1 0
2 1 2 2 ]L2 ⟵ L2 – 3L1
[
1 −2 −1 0
0 5 4 2
2 1 2 2]L3 ⟵ L3 – 2L1
[
1 −2 −1 0
0 5 4 2
0 5 4 2]L3 ⟵ L3 – L2
[
1 −2 −1 0
0 5 4 2
0 0 0 0]
Duas equações < três variáveis ⟹
SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)

Escalonamento
{
2 𝑥− 𝑦+𝑧=−1
−5 𝑥− 20 𝑦 −15 𝑧=11
3 𝑥+3 𝑦+4 𝑧=3
⟹
[
2 −1 1 −1
−5 −20 −15 11
3 3 4 3 ]L2 ⟵ 2L2 + 5L1
[
2 − 1 1 −1
0 − 45 − 25 −17
3 3 4 3 ]L2 ⟵ 2L3 - 3L1
[
2 − 1 1 −1
0 − 45 − 25 −7
0 9 5 9 ]L3 ⟵ 5L3 + L2
[
2 − 1 1 −1
0 − 45 − 25 −7
0 0 0 38 ] SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)

Escalonamento
Após escalonar um sistema e retirar as equações do tipo 0 = 0 (linhas
nulas da matriz do sistema), restem p equações com n variáveis.
 Se a última das equações restantes é 0x1 + ... + 0xn = bi (bi ≠ 0) então
o sistema é impossível (SI);
Caso contrário sobra duas alternativas:
 Se p = n o sistema é possível e determinado (SPD);
 Se p < n, então o sistema é possível e indeterminado (SPI).

Escalonamento
OBSERVAÇÕES:
Toda matriz escalonada origina um sistema
equivalente ao original, ou seja, possui o mesmo
conjunto solução.

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