Ir para o conteúdo principal
CarregarIdioma (PT)Suporte
NegóciosCelularMídias sociaisMarketingTecnologiaArte e fotografiaCarreirasDesignEducaçãoApresentações e oratóriaGoverno e ONGsSaúdeInternetDireitoLiderança e gerenciamentoIndústria automotivaEngenhariaSoftwareRecrutamento e RHVarejoVendasServiçosCiênciasPequenos negócios e empreendedorismoAlimentosMeio ambienteEconomia e finançasDados e análiseRelação com investidoresEsportesEspiritualNotícias e políticaTurismoAperfeiçoamento pessoalImóveisDiversão e humorSaúde e medicinaDispositivos e hardwareEstilo de vida
Vladimir Sejas, profile picture
Carregado porVladimir Sejas
2,443 visualizações

UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO

1. A sequência didática propõe atividades para introduzir trigonometria no ensino médio utilizando modelagem matemática com referências na realidade. 2. As atividades são organizadas em blocos preparatórios, triângulos retângulos, transição para o círculo trigonométrico e aplicações no círculo e plano cartesiano. 3. A sequência visa motivar os alunos a descobrirem propriedades trigonométricas por meio de investigações guiadas e um projeto final.

Educação◦
Baixado 39 vezes
1 UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO Marlizete Franco da Silva Maria Clara Rezende Frota PUC Minas Belo Horizonte- 2011
2 LISTA DE QUADROS Quadro 1: Organização das atividades em grupos....................................................13 Quadro 2: Implementação da sequência de atividades.............................................71
3 SUMÁRIO 1INTRODUÇÃO...........................................................................................................5 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................................5 3 ORGANIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA.........................................................................11 4 DESCRIÇÃO DOS BLOCOS E DAS ATIVIDADES...............................................13 4.1 Bloco 1: Atividades Preparatórias....................................................................15 4.1.1 Atividade A: Investigando propriedades de polígonos de três lados.......15 4.1.2 Atividade B: Explorando a planta baixa de uma casa.................................18 4.2 Bloco 2: Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo...................................................................................................................20 4.2.1 Atividade 1: Medida da Altura da Parede......................................................21 4.2.2 Atividade Complementar 1: Semelhança de triângulos..............................22 4.2.3 Atividade 2: Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do teodolito....................................................................................................................25 4.2.4 Atividade Complementar 2: Formalização das razões trigonométricas....26 4.2.5 Atividade 3: Problemas aplicados.................................................................30 4.2.6 Atividade Complementar 3: Problema Aplicado..........................................31 4.2.7 Desafio da Planta do Telhado........................................................................32 4.2.8 Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade........................................................................................................................34 4.3 Bloco 3: Transição do triângulo para o círculo trigonométrico.....................36 4.3.1 Atividade 4: O círculo trigonométrico...........................................................37 4.3.2 Atividade Complementar 4: Explorando a circunferência e seus arcos....40 4.4 Bloco 4: Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano....42 4.4.1 Atividade 5: Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico...............43 4.4.2 Atividade Complementar 5: Fixação de conceitos no círculo trigonométrico..........................................................................................................45 4.4.3 Atividade 6: Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente..............48 4.4.4 Atividade Complementar 6: Gráficos das funções seno e cosseno – fixação.......................................................................................................................49 4.4.5 Atividade 7: Applets de simetrias e redução ao primeiro quadrante........52
4 4.4.6 Atividade complementar 7: simetrias e redução ao primeiro quadrante...53 4.4.7 Atividade 8: Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de arcos.....................................................................................................................54 4.4.8 Atividade Complementar 8: Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos...............................................................................................56 4.5 Bloco 5: Atividades Avaliativas........................................................................58 4.5.1 Teste 1..............................................................................................................59 4.5.2 Teste 2..............................................................................................................64 4.5.3 Questionário....................................................................................................69 4.5.4 Feira de Matemática........................................................................................70 5 UMA PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA..............71 REFERÊNCIAS..........................................................................................................76 APÊNDICE.................................................................................................................80 ANEXO.......................................................................................................................85
5 1 INTRODUÇÃO Apresentamos a seguir uma sequência didática que objetiva introduzir os estudos de Trigonometria no Ensino Médio. Esta sequência pretende ser uma contribuição para o ensino desse conteúdo, fruto de uma pesquisa desenvolvida no Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, por Marlizete Franco da Silva, sob a orientação de Maria Clara Rezende Frota. (SILVA, 2011). A apresentação da sequência foi estruturada da seguinte forma: fundamentação teórica da proposta, organização da sequência, com a descrição dos blocos e das atividades, apresentando os objetivos pretendidos de cada uma delas e as expectativas de desempenho dos alunos, apontando possíveis dificuldades e ao final uma proposta de implementação. 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA PROPOSTA A sequência didática aqui apresentada é pensada como uma abordagem da Trigonometria a partir da modelagem, com referências na realidade, utilizando material concreto e recursos computacionais, aproveitando as potencialidades de tipos diferenciados de instrumentos didáticos. Os objetivos gerais da sequência didática foram: motivar os alunos, desenvolvendo atividades com referência na realidade, de modo que eles próprios descobrissem padrões e propriedades trigonométricas; incentivar a redescoberta através da modelagem, de idéias da trigonometria, reconstruindo modelos abstratos da trigonometria; propiciar experiências variadas que conduzam o aluno a atribuir significado ao conteúdo programático de trigonometria, seja através do uso de material concreto, das tecnologias de lápis e papel, ou utilizando applets de geometria dinâmica. A utilização de recursos didáticos diversificados se justifica em Richit e Maltempi (2010) e Smole e Diniz (2005), ao afirmarem que para atingirmos o maior número de alunos devemos combinar vários recursos metodológicos (software, lápis, papel, calculadora, material concreto, medições, plantas, etc.). Por isso utilizamos material concreto, papel e lápis e recursos computacionais para a compreensão e representação algébrica e geométrica de modelos abstratos da Trigonometria.
6 O uso do material concreto tem como grande vantagem oferecer “referentes”, símbolos que significam algo para o estudante, que permitem dar significado à situação como um todo, pois para o estudante, o material concreto já possui uma utilidade, que por meio de analogias facilitará o processo de abstração e entendimento do novo conhecimento. No entanto, não será somente a presença do material concreto que facilitará a compreensão, mas o que ele significa para o estudante, que o ajudará a conferir significado à linguagem matemática. Por um lado, o material concreto permite uma manipulação física, palpável da situação, os “referentes” que este material possui, permitem uma manipulação mental do que está ocorrendo. (SPINILLO; MAGINA, 2004). A proposta é fundamentada em alguns princípios destacados por Biembengut e Hein (2007) quanto à Modelagem em Educação Matemática e na concepção de Modelagem de Barbieri e Burak (2005). Adotamos a perspectiva de modelagem educacional citada por Kaiser, Sriraman (2006), na qual os exemplos do mundo real e suas associações com a Matemática tornam-se um elemento central para a estruturação e o desenvolvimento do ensino e aprendizagem em Matemática; e pautamos nosso trabalho adotando os casos 1 e 2 de Barbosa (2001), como configurações de inserção de atividades de modelagem no currículo escolar. Assim, são propostos aos alunos situações-problema, com informações para que os alunos resolvam além de problemas, nos quais, além da resolução, a coleta de dados também fica sob a responsabilidade dos alunos. Consideramos que a aprendizagem de novos conceitos matemáticos se consolida mais rapidamente quando se inicia pela apresentação de uma situação problema ao aluno, ficando a formalização e generalização do conceito como a última etapa do processo de aprendizagem. O conteúdo matemático abordado por meio de Modelagem e investigações é desencadeado no decorrer das atividades com a formalização posterior a sua utilização. Isso permite que à medida que o aluno busca ferramentas para resolver a situação problema, ele mobilize conhecimentos já adquiridos e perceba que novos conteúdos se fazem necessários. (KATO et al, 2010). Tal abordagem, concordando com Quinlan (2004), pretende, antes de introduzir o conteúdo formalizado, mergulhar os alunos num contexto próximo às situações que desencadearam sua necessidade e, em consequência, o originaram.
7 Partimos do pressuposto de que podemos seguir um caminho diferente do usual, indo de situações particulares para gerais, assim como Lindegger (2000). O conhecimento trigonométrico, enquanto conhecimento matemático produzido historicamente pela humanidade se desenvolveu de tal forma, que enquanto conhecimento escolar se distanciou do empirismo do qual se originou. (AIMI, 2010). Uma parte considerável de suas ideias são fruto de abstrações de situações empíricas, que delas se distanciam ao serem generalizadas e aprofundadas. Aumenta-se o nível de detalhes e sua complexidade, tornando-se menos significativa e mais complicada para quem está fora desse campo de estudo. (BASSANEZI, 2009). No processo ensino-aprendizagem, por que não, reaproximar o conhecimento trigonométrico escolar do empirismo que lhe deu origem. Pesquisas apontam que os alunos demonstram mais interesse pela disciplina quando percebem sua aplicação em seu dia-a-dia. A modelagem cria um ambiente favorável à aprendizagem durante a implementação das atividades, pois reorienta o ensino dessa disciplina. (SANTOS; BISOGNIN, 2007). Podemos considerar que estamos realizando aulas inspiradas pela Modelagem Matemática, permitindo que os alunos se envolvam em experiências educativas, em processos de construção do conhecimento ligados a conhecimentos práticos. E tendo a oportunidade de perceber que os conhecimentos sistematizados não surgem por acaso, mas para suprir necessidades humanas, após um árduo trabalho de observação, coleta de dados, levantamento de hipóteses e muitos testes. (BARBIERI; BURAK, 2005). A aprendizagem com modelagem leva em consideração a motivação e a abstração, objetivando o desenvolvimento da argumentação matemática, na qual a escolha de problemas vindos de situações concretas funciona como o elemento motivador inicial, e age de modo a incorporar, por parte do aluno, conhecimentos necessários ao seu convívio social. (BASSANEZI, 2009). Escolher o tema com o qual se trabalhará desperta a participação e interesse do aluno, que se vê parte importante do processo e que este se relaciona com seu contexto. (SANTOS; BISOGNIN, 2007; BASSANEZI, 2009). Elaborar os próprios problemas pode, também, ser um bom caminho, pois, além de permitir a percepção se os estudantes entenderam o conceito matemático
8 proposto ou não, também contribui para a ampliação dos conhecimentos dos mesmos, pois a partir do momento em que são convidados a criar os próprios problemas, eles deverão se preocupar com a coerência das informações dadas, da pertinência ao assunto e a criatividade em sua elaboração. (LOSS; BIEMBENGUT, 2010). Trata-se de outra oportunidade de desenvolver nos alunos habilidades que lhes permitam empregar de forma eficaz os instrumentos que possuem oriundos de seu meio e cultura. (SANTOS; BISOGNIN, 2007). Durante a realização das atividades é interessante que os alunos partilhem idéias, raciocínios, processos, estabeleçam conexões, comparações e analogias, construam conjecturas e negociem significados e desenvolvam capacidades de comunicar e argumentar.Nesse sentido, durante as atividades, o aluno deve observar, experimentar, comparar, relacionar, analisar, justapor, compor, encaixar, levantar hipóteses e argumentar.(KFOURI; D’AMBRÓSIO, 2006, p.2). Debatendo assim com seus pares para resolver o problema o aluno conseguirá apurar e consolidar seus conhecimentos matemáticos acerca do conteúdo. As atividades da sequência foram propostas como exercícios de modelagem numa linha investigativa (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006; ERNEST, 1996; KATO et al, 2010; ALMEIDA; FERRUZZI, 2009), de forma a favorecer a descoberta de propriedades trigonométricas, bem como a associação entre as formas como a trigonometria se apresenta: no triângulo, no círculo ou no plano cartesiano. Nessa perspectiva, lidamos com Modelagem Matemática como prática investigativa, que se delineou em introdução, realização das atividades e discussão dos resultados. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006; ALMEIDA; FERRUZZI, 2009). Como os alunos não estavam habituados ao formato de atividades abertas, foi necessário elaborar as primeiras atividades seguindo uma linha próxima a de Ernest (1996), quando se refere a descobertas guiadas. As primeiras atividades eram guiadas, para motivá-los, em seguida acrescentávamos, gradativamente, atividades mais abertas. As atividades, de cunho investigativo, caracterizam-se pela ênfase dada ao processo, em que as situações de ensino propostas são mais abertas, cabendo aos alunos o papel de definir atitudes e tomar decisões durante o processo. As atividades de modelagem podem auxiliar a apropriação de conceitos matemáticos,
9 na medida em que contribuem para o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos. (KATO et al, 2010; FREITAS, 2010). Optamos por atrelar um projeto às atividades, pelo fato de que, nas escolas, a pedagogia de projetos tem sido muito aplicada e tem obtido resultados satisfatórios. Além da motivação inicial que ele apresenta, pois se propõe a resolver um problema específico cujos resultados são esperados, mas não se tem certeza de que serão alcançados. Permite “alavancar” processos durante sua execução que são muito importantes num ambiente de ensino: análise, previsão, proposição, execução e inovação. (RIPARDO; OLIVEIRA; SILVA, 2009). Ripardo, Oliveira e Silva (2009), destacam em seu trabalho várias formas de projetos educacionais. Para os interesses dessa pesquisa, nos ateremos aos projetos educacionais de ensino e de trabalho. Projetos de ensino: voltados a uma ou mais disciplinas do currículo escolar com o propósito de melhorar o processo de ensino-aprendizagem de conteúdos específicos dessa(s) disciplina(s). É desenvolvida pelo professor; Projetos de trabalho: tem basicamente os mesmos predicativos dos projetos de ensino, contudo, é desenvolvido por alunos sob a coordenação do professor. (RIPARDO; OLIVEIRA; SILVA, 2009, p.93). O projeto, aqui proposto, se situa como um projeto educacional de trabalho na visão de Ripardo, Oliveira e Silva (2009), voltado para a melhoria do processo ensino-aprendizagem de conteúdos trigonométricos, desenvolvido por alunos sob a orientação da professora pesquisadora. Além dos motivos já expostos em nosso texto, corroboramos nossa opção por desenvolver um projeto, à luz de Richit e Maltempi: concebemos projetos como atividades educativas que geram situações de aprendizagem reais, diversificadas e interessantes, que devem permitir aos estudantes decidir, opinar, debater e conduzir seu processo de conhecimento, favorecendo o desenvolvimento da autonomia e a participação social. (RICHIT; MALTEMPI, 2010, p.20). As decisões tomadas pelos alunos e opiniões por eles expressadas, iniciaram-se na escolha de que construções existentes na cidade eles acreditavam ser interessantes e que poderiam ser objetos de estudo. Acreditamos que essa escolha feita pelos alunos é de suma importância dentro da concepção em que enquadramos nosso trabalho: inspirada em Modelagem Matemática.
10 Este projeto foi inspirado no que autores, como Araújo (2009) e Barbosa (2001), chamam de projetos de modelagem matemática, que, devido a uma tradição brasileira, aproxima as práticas de modelagem matemática do trabalho com projetos. Tal proximidade é justificada graças a importância do planejamento desses projetos e das incertezas que seu desenvolvimento carrega. Como Franchi (2007) coloca, além da Modelagem Matemática, a Informática, também pode construir ambientes de aprendizagem muito férteis, permitindo o desenvolvimento das potencialidades do estudante. Já que atividades relacionadas a temas de interesse, ainda mais envolvendo recursos tecnológicos, motivam os estudantes a participarem ativamente de seu processo de aprendizagem. O uso de tecnologia computacional propicia, dentre outras coisas, visualização, algo que favorece a apropriação de conhecimento em matemática, já que a visualização, articulada à dinâmica desse recurso, evidencia propriedades e relações entre objetos matemáticos, que conduzem à compreensão ampla dos conceitos. Possibilita testar mudanças associadas a características algébricas ou geométricas e observar as variações nos aspectos gráficos dos conceitos matemáticos. (RICHIT; MALTEMPI, 2010; FRANCHI, 2007). Chamamos de apropriação a ação do estudante ao assimilar determinado conceito, de retirá-lo da condição de símbolo para instrumento, parte integrante de seu conhecimento intelectual, que pode ser utilizado quando se fizer necessário. (RIBEIRO; BITTAR, 2010). Para que tal apropriação se dê, o aluno deve experimentar o ente carregado de simbologia, manipulá-lo, explorá-lo, até que este passe de símbolo para conceito adquirido, atingindo a ideia abstrata a que se propõe. Nessa perspectiva, o computador torna-se uma ferramenta computacional, sob a visão de Valente (1999), pela qual o aluno desenvolve uma tarefa, ele aprende por estar executando algo sob o intermédio do computador. Esta ferramenta facilita a assimilação de conceitos presentes em diversas atividades. Mas, ressalva-se que, mesmo com todos os recursos que apresenta e as potencialidades que oferece apenas a presença do computador não garante promoção de aprendizagem. (VALENTE,1999). Cabe ao professor atuar como estimulador da investigação e reflexão, enquanto as tecnologias são recursos que favorecem tais ações. (RICHIT; MALTEMPI, 2010). É sua função investir nas
11 potencialidades de cada material utilizado, permitindo ao aluno transferir suas compreensões para o conceito matemático abstrato. (SOUZA; OLIVEIRA, 2010). 3 ORGANIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA A sequência didática é organizada em cinco blocos de atividades, mesclando o tipo de tecnologia e a abordagem metodológica adotada, de acordo com um foco principal estabelecido. Cada bloco é composto por um número específico de atividades, na forma de atividades em sala de aula e atividades complementares para casa, a serem resolvidas por vezes em duplas, outras em grupos de 4 a 6 pessoas, dependendo da intencionalidade de cada uma. No Bloco 1, temos duas Atividades Preparatórias. No Bloco 2, temos 8 atividades: três Atividades em sala, um Desafio, três Atividades Complementares e um projeto: Enxergando e Modelando a Trigonometria das construções da cidade. No Bloco 3, temos 2 atividades: uma Atividade em sala e uma Atividade Complementar. No Bloco 4, temos 8 atividades: quatro Atividades na sala de informática e quatro Atividades Complementares. No Bloco 5, temos 4 Atividades Avaliativas: dois Testes, um Questionário e a Feira de Matemática. As Atividades em sala de aula objetivam instigar e desafiar os alunos a mobilizar conhecimentos prévios e, sob a linha investigativa, solucionar os problemas propostos. As Atividades Complementares, a serem resolvidas em casa, objetivam resgatar conhecimentos anteriores dos alunos, fixar conceitos e procedimentos explorados em sala de aula e iniciar a formalização de conceitos. O primeiro bloco de atividades pretende retomar alguns conceitos como: Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras, triângulos e escala e consiste de duas Atividades Preparatórias A e B, a serem resolvidas em casa, prevendo-se um momento de socialização e sistematização de conceitos, conduzido pela professora. O segundo bloco de atividades se refere à Trigonometria no triângulo retângulo. Conta com atividades realizadas em grupos, nas quais os alunos necessitam medir alturas de paredes, sem delas se aproximar, utilizando alguns materiais concretos como esquadros, trenas, transferidor, canudos de refrigerante, o que os remete a origem empírica desse conhecimento trigonométrico. Há atividades em que os alunos devem escolher, entre vários problemas aplicados de
12 trigonometria, retirados de livros didáticos, três para serem resolvidos. Após esta atividade são impelidos a elaborar seus próprios problemas. Temos um desafio que utiliza a planta de uma casa, no qual os alunos são convidados a analisar a inclinação do telhado nela representado. A Atividade lhes permite empregar conceitos de escala e associar a forma do telhado com representações abstratas (formato triangular, representação em plantas, elementos que os formam). A última atividade desse bloco é o projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade. Que estimula os alunos a enxergar a Trigonometria nas construções da cidade, partindo de construções que eles próprios consideram interessantes. O terceiro bloco de atividades aborda a transição da trigonometria do triângulo retângulo para o círculo trigonométrico. Contempla uma introdução e/ou apresentação do que seja um círculo orientado, unidades comumente utilizadas para representarmos ângulos e arcos e atividades numa perspectiva de descoberta guiada de Ernest (1996). O quarto bloco contempla a trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano, desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus gráficos no plano cartesiano; reduções ao primeiro quadrante, relações de complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. Estas atividades utilizam recursos computacionais, explorando a manipulação de applets, pequenos programas em linguagem Java feitos no software Geogebra, acessados via web. Esses applets são de fácil manipulação, proporcionando melhor compreensão dos conceitos, mediante a associação das dimensões geométrica, algébrica e gráfica dos conceitos abordados (RICHIT; MALTEMPI, 2010; SANTOS, 2008). O quinto bloco de atividades prevê Atividades Avaliativas, compreendendo dois testes, feitos individualmente, ao longo da aplicação da sequência didática; a aplicação de um questionário em que os alunos avaliam, individualmente, a experiência vivenciada, ao final da sequência; e uma Feira de Matemática, na qual os resultados obtidos no projeto, do bloco 2, são apresentados à comunidade escolar, ocorrendo também ao final da aplicação da sequência didática.
13 4 DESCRIÇÃO DOS BLOCOS E DAS ATIVIDADES As atividades e seus respectivos objetivos, são expostos a seguir, seguidos das análises prévias, que comentam algumas soluções que imaginamos serem apresentadas pelos alunos. O Quadro 1 mostra de forma concisa como estas atividades foram agrupadas: Blocos Atividades Descrição 1 Atividades preparatórias Atividade A: Exploração de conhecimentos prévios dos alunos acerca de triângulos, visando recuperar informações como: classificação de triângulos quanto aos lados e ângulos, soma de seus ângulos internos. Atividade B: Exploração da planta baixa de uma casa e dos conceitos nela inseridos: escala, perímetro e área de retângulos. Pretendia estimular a observação e o manejo de plantas baixas, bem como o uso instrumentos de medida. 2 Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo Atividade 1: Mobilização de conhecimentos sobre semelhança de triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula, dispondo de régua, esquadro e canudo de refrigerante. Atividade Complementar 1: Atividades de fixação com semelhança de triângulos para verificar a invariância das relações. Atividade 2: Busca pelo ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a distância até ela, dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante. Atividade Complementar 2: Formalização da definição das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e exploração destas relações em triângulos variados, em posições diversas. Exploração de relações fundamentais na trigonometria. Desafio da planta do telhado: Visa conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de triângulos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Pitágoras; Explorou o telhado e sua inclinação a partir de sua planta. Atividade 3: Pretende que o aluno escolha e resolva três problemas aplicados, que abordem razões trigonométricas diferentes, a partir de uma lista de problemas aplicados retirados de livros didáticos. Atividade Complementar 3: Pede aos alunos que elaborem exercícios a partir de situações práticas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo. Projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. Pretende selecionar, junto aos alunos, construções que eles consideram interessantes na cidade e delas extrair a trigonometria presente: telhados, escadas, rampas, etc. 3 Transição do triângulo para o circulo trigonométrico Atividade 4: Fixação dos conceitos de círculo trigonométrico e arco orientado, o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência; Exploração de noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa. Atividade Complementar 4: Exploração do conceito de comprimento de circunferência e comprimento de arcos de circunferência.
14 Quadro 1 (Continuação) Blocos Atividades Descrição 4 Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano Atividade 5: Utilização de applets de trigonometria feitos no Geogebra para estimular os alunos a perceberem o que ocorria aos valores de seno, cosseno e tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo trigonométrico; Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno, cosseno ou tangente, utilizando os applets; Identificar os eixos correspondentes às funções seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico. Atividade Complementar 5: Atividades de fixação dos conceitos abordados na atividade com recurso computacional. Atividade 6: Observação de como são formados os gráficos das funções seno, cosseno e tangente, à medida que completamos uma volta na circunferência trigonométrica, utilizando applets dinâmicos; Reconhecimento de o que é uma função periódica, avaliando se as funções trigonométricas citadas são ou não periódicas, podendo identificar tal período. Atividade Complementar 6: Desenho dos gráficos das funções seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo plano cartesiano, para facilitar a descoberta da defasagem entre as funções; Destaque de características dos gráficos e funções trigonométricas, associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras áreas de conhecimento. Atividade 7: Análise de situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical, horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução ao 1º quadrante, considerando o quadrante em que os ângulos se encontram. Atividade Complementar 7: Atividades de fixação dos conceitos sobre redução ao primeiro quadrante, abordados na atividade com recurso computacional. Atividade 8: Percepção de relações de complementaridade entre ângulos e como isso afeta os valores seno e de cosseno de arcos num mesmo quadrante; Exploração das fórmulas de soma e subtração de ângulos através de abordagem geométrica em software dinâmico. Atividade Complementar 8: Fixação das relações de complementaridade entre ângulos e seus reflexos sobre os valores do seno e do cosseno de ângulos num mesmo quadrante; Aplicação das fórmulas de soma e subtração de ângulos e sua utilização para obter alguns modelos abstratos clássicos da trigonometria numa exploração algébrica. 5 Atividades Avaliativas Os dois Testes: Verificação de aprendizagem dos conteúdos abordados. Questionário: Verificação das impressões que os alunos tiveram acerca da sequência de atividades aplicada. Feira de Matemática: Apresentar à comunidade escolar os resultados obtidos no projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade; Elaborar modelos, como maquetes das construções e desafios com os dados coletados durante o desenvolvimento do projeto, para serem expostos durante a Feira. Quadro 1: Organização das atividades em grupos Fonte: Dados da pesquisa
15 4.1 Bloco 1: Atividades Preparatórias Objetivos: Atividade A: revisitar a geometria, investigando padrões de triângulos e sistematizando propriedades. Atividade B: investigar a planta baixa de uma casa e atribuir sentido às medidas utilizadas, relacionando com as medidas reais, a partir do entendimento do que seja uma escala. 4.1.1 AtividadeA: Investigando propriedades de polígonos de três lados ATIVIDADE A- Investigando propriedades de polígonos de três lados 1-Desenhe um polígono (uma figura geométrica) de três lados. Você poderia dizer o nome desse polígono? 2-Escreva algumas propriedades que você observa nesta figura? 3-Num triângulo, dois ângulos medem, respectivamente, 25° e 108°. Qual é a medida do terceiro ângulo? Como você chegou a este resultado? 4-Observe os triângulos abaixo e destaque as características que você observa em cada um deles: Triângulo Característica Triângulo Característica A D B E C F
16 ATIVIDADE A- Investigando propriedades de polígonos de três lados (Continuação) 5-Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem características semelhantes. Separe as duplas que apresentam: Duplas de triângulos Que nome recebem? Os três lados iguais Dois lados iguais e um diferente Os três lados diferentes 6-Observando os triângulos abaixo, o que se pode dizer acerca dos ângulos de cada um desses triângulos? Triângulos Características quanto aos ângulos Triângulos Características quanto aos ângulos 7-Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem características semelhantes. Separe as duplas que apresentam: Duplas de triângulos Que nome recebem? Um ângulo maior que 90° Três ângulos menores que 90° Um ângulo de 90°
17 Orientações/ Sugestões A primeira tarefa objetiva recuperar o modelo abstrato do polígono de três lados, triângulo, tanto por meio de um desenho quanto o seu nome. A segunda pretende recuperar as propriedades de um triângulo qualquer: ter três lados, três ângulos, três vértices, ter a soma dos ângulos internos igual a 180º etc. A terceira tarefa explora a aplicação da relação entre os ângulos internos de um triângulo, suscitando sua recordação pelos alunos. A quarta e quinta tarefas exploram as classificações dos triângulos quanto a seus lados. A quarta tarefa oferece modelos de triângulos desenhados para que os alunos destaquem características relacionadas aos seus lados. Na tarefa 5 sumarizam-se as características, fazendo alusão a que desenhos as apresentam e como poderiam ser chamados. Esperamos que os alunos associem os triângulos de três lados iguais ao termo equilátero; o de dois lados iguais e um diferente ao termo isósceles e o de três lados diferentes ao termo escaleno. A sexta e sétima tarefas se remetem às classificações dos triângulos quanto a seus ângulos. A sexta tarefa, como a quarta, oferece desenhos para que os alunos deles destaquem características associadas a seus ângulos. Na tarefa 7, em conformidade com a quinta, oferecem-se as características sistematizadas, esperando que os alunos destaquem os desenhos a elas associadas e identifiquem as classificações dos respectivos triângulos: se acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
18 4.1.2 Atividade B: Explorando a planta baixa de uma casa Atividade B- Explorando a planta baixa de uma casa Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo. A planta baixa de uma casa é a representação gráfica, num plano, da casa vista de cima, sem o telhado. Onde se evidencia apenas o chão e a distribuição dos cômodos nesse espaço. Na planta que entregamos a vocês, temos um projeto de casa popular disponibilizada pela prefeitura de Belo Horizonte, que apresenta, além da planta baixa da casa, vista das fachadas da casa, planta do telhado e vista de cortes verticais. Para resolver às questões abaixo, observe no projeto a planta 1 quarto, que é a planta baixa. 1-O que você poderia dizer sobre os cômodos dessa casa (que formas têm, quantos são, etc)? 2-Utilizando uma régua para efetuar as medidas, complete o quadro abaixo: CÔMODOS LARGURA (cm) COMPRIMENTO (cm) ÁREA (cm2) Banheiro Sala Cozinha Quarto 3-Considerando os dados até aqui coletados, é possível encontrar a área de toda a casa? Como? 4-Para que toda a extensão da casa caiba em uma folha, ela precisa ser reduzida de forma proporcional, para não perder suas formas originais. Para isso usamos a escala. Nessa planta a escala utilizada é de 1/ 50. O que essa escala significa? 5-Uma vez que já conhecemos a escala utilizada nessa planta, complete o quadro, agora informando as medidas reais de cada cômodo, em metros. CÔMODOS LARGURA (m) COMPRIMENTO (m) ÁREA (m2) Banheiro Sala Cozinha Quarto 6- Qual é a área, em m2, da casa toda?
19 Orientações/ Sugestões Para o desenvolvimento da Atividade Preparatória B, é disponibilizado aos alunos uma cópia da planta baixa de uma casa popular da cidade de Belo Horizonte (ANEXO A). A primeira tarefa pretende que os alunos, a partir da exploração da planta baixa, destaquem as características geométricas dos cômodos como seu formato, retangular ou quadrado, e sua quantidade. A segunda tarefa apresenta a necessidade do uso de régua para medir as distâncias expressas no desenho da planta em centímetros. Além de estimular o uso de material para desenho esta atividade pretende mobilizar conhecimentos acerca de áreas de figuras planas. A tarefa 3 visa analisar como os alunos chegam a área da casa toda desenhada na planta, se pela soma das áreas dos cômodos, já calculada na tarefa 2, ou pelo cálculo de área do desenho completa da casa na planta. A tarefa 4 explora o conceito de escala, o que ele significa. Espera-se que os alunos associem cada 1cm do desenho a 50cm da casa real, já que a escala dada foi de 1/50. As tarefas 5 e 6 tem praticamente os mesmos objetivos das tarefas 2 e 3, com a diferença de pedirem as medidas reais, em metros, dos cômodos. Nessas tarefas faz-se necessário a aplicação dos conhecimentos de escala, já suscitados na tarefa 4.
20 4.2 Bloco 2: Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo Objetivos Atividade 1: mobilizar conhecimentos sobre semelhança de triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula, dispondo de régua, esquadro e canudo de refrigerante. Atividade Complementar 1: fixar os conceitos sobre semelhança de triângulos verificando a invariância de relações. Atividade 2: encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a distância até ela, dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante. Atividade Complementar 2: formalizar a definição das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e explorar estas relações em triângulos variados, em posições diversas. Introduzir, de forma empírica algumas relações fundamentais da trigonometria. Desafio da Planta do Telhado: conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de triângulos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Pitágoras. Explorar o telhado e sua inclinação a partir de sua planta. Atividade 3: permitir aos alunos aplicar e fixar seus conhecimentos acerca das razões trigonométricas no triângulo retângulo, desde a escolha à resolução de problemas aplicados. Atividade Complementar 3: verificar o grau de familiaridade dos alunos com o assunto dado, além de permitir que usem sua criatividade na concepção de problemas aplicados. Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade: aproximar a Trigonometria do cotidiano dos alunos, à medida em que eles escolhem as construções que, na opinião deles, são mais interessantes para um estudo trigonométrico. Aproveitar tal motivação para extrair o máximo de trigonometria que estas construções têm a oferecer, neste nível de ensino para que posteriormente seja modelada e transformada em desafios matemáticos pelos alunos.
21 4.2.1 Atividade 1: Medida da Altura da Parede Atividade 1 – Medida da Altura da Parede 1-Como você faria para medir a altura da parede da sala dispondo apenas de um esquadro, uma régua e um canudo de refrigerante, sem poder se aproximar da parede para medi-la diretamente?(Anote todos os passos realizados para resolver este problema e ao final faça um esboço da situação apresentada). *Atenção, indique primeiro o tipo de esquadro que você está utilizando: ( )45/90/45 ( )30/90/60 ( )60/90/30 b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a atividade desenvolvida. Orientações/ Sugestões A primeira tarefa da Atividade 1 envolve o uso de materiais concretos: esquadros, trenas e canudos de refrigerante. Como não é permitido medir diretamente a parede, pretende-se que os alunos criem estratégias, usando o material dado, para encontrar a altura da parede. Espera-se que os alunos utilizem o esquadro para estabelecer uma situação de semelhança de triângulos, encontrando uma posição na sala na qual esta situação seja possível. A trena poderá ser utilizada para medir distâncias no chão e do esquadro. O canudo pode ser utilizado como se fosse uma luneta, pelo qual enxergamos o ponto mais alto da parede. É pedido aos alunos que criem desenhos que representem a situação de forma a estimulá-los a criar modelos abstratos com papel e lápis e facilitem o estabelecimento de relações e compreensão da situação para que possam resolvê-la. Abaixo da primeira tarefa é pedido aos alunos que assinalem que tipo de esquadro está sendo utilizado, o que favorecerá as conjecturas acerca dos resultados encontrados no momento de socialização. Espera-se que os alunos associem aos ângulos o fato de utilizando esquadros diferentes, obterem a mesma altura Ao final dessa atividade é pedido aos alunos que mencionem toda a Matemática que eles identificam na atividade desenvolvida. Esperamos que eles mencionem terem utilizado semelhança de triângulos para resolver esta atividade, bem como triângulos e distâncias.
22 4.2.2 Atividade Complementar 1: Semelhança de triângulos Atividade Complementar 1- Semelhança de triângulos 1-Sabendo que os pares de triângulos abaixo são semelhantes encontre os valores desconhecidos: a) b) c) d) e) 2-As figuras abaixo representam dois triângulos sobrepostos, que possuem um vértice em comum. Determine os valores desconhecidos de x, em cada caso: a)C b) H A B F G AB= 7cm, BD= 4,5 cm, DE= 2cm, AC= x FG= 14cm, GI= 9cm, GJ= 20cm, GH= x c) M K L KM= 9cm, NO= 6cm, LN= 13,5cm, KL= x 3-No parque de uma cidadezinha havia um pinheiro e uma estaca de 1,10m, fincada a seu lado. Numa tarde ensolarada, no mesmo instante em que a sombra da estaca projetada no chão era de 85 cm, a sombra do pinheiro era de 3,72m. a) Ilustre esta situação, fazendo um desenho; b) É possível representar esta situação por meio de dois triângulos semelhantes imaginários? c) Você saberia determinar a altura do pinheiro? E J O D I N
23 Atividade Complementar 1- Semelhança de triângulos (Continuação) 41-Na figura, as retas r, s e t são paralelas e determinam dois triângulos semelhantes: Nessas circunstâncias, encontre o valor de x, base do triângulo maior: 5-O telhado de uma casa é sustentado por uma estrutura de madeira em forma de triângulos semelhantes: E A B C D Considerando as distâncias AB = 1,40m, AC= 2,80m, AD= 4,20m e DE= 1,20m, quanto devem medir as vigas verticais indicadas pelos segmentos: BG e CF? 1 Atividade retirada de IMENES; LELLIS, 2009, p.26 G F
24 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 1 pretende fixar os conceitos de semelhança de triângulos. As tarefas dessa atividade pretendem que os alunos utilizando semelhança de triângulos encontrem os valores desconhecidos de x. A tarefa 1 traz triângulos semelhantes separados, alguns posicionados da mesma maneira,facilitando suas associações, e outros posicionados de maneira diferente o que exige mais concentração ao resolvê-los. As tarefas 2, 4 e 5 trazem triângulos sobrepostos, assim chamados pois se encontram “um dentro do outro”, situação análoga a enfrentada pelos alunos na Atividade 1 de sala de aula. Espera-se que os alunos consigam encontrar os valores desconhecidos. A tarefa 3 difere das demais tarefas, pois não apresenta desenho, sendo este uma das ações necessárias a sua resolução. Nesta tarefa pretende-se que, além de encontrar a distância desconhecida, os alunos sejam capazes de elaborar um desenho esquemático e saibam explicar como encontrar a medida desconhecida, relacionando a tarefa sob a forma de uma situação de semelhança de triângulos.
25 4.2.3 Atividade 2: Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do teodolito Atividade 2 – Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do teodolito. 1-Na Atividade 1 descobrimos a altura da parede da sala, utilizando um esquadro posicionado a certa distância da parede. Percebemos que esquadros com ângulos diferentes podem fornecer a mesma altura da parede, desde que posicionados a distâncias diferentes da mesma. a) Dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante, conhecidas as medidas da altura da parede e da distância do transferidor à mesma, como você determinaria o ângulo de inclinação relacionado a estas medidas? (Anote todos os passos realizados para resolver este problema, registre os cálculos e ao final faça um desenho da situação investigada). b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a atividade desenvolvida. Orientações/ Sugestão Na Atividade 2, os alunos utilizam as medidas encontrados na Atividade 1: a altura da parede da sala e a distância, medida no chão da sala, do local onde posicionaram o esquadro até a parede. Os alunos dispõem de um transferidor, um canudo de refrigerante e de uma trena. Nesta tarefa o objetivo é encontrar o ângulo de observação dadas as distâncias mencionadas. Pretende-se que os alunos encontrem o ângulo, façam desenhos representando suas ações e após encontrarem o ângulo verifiquem que corresponde aproximadamente ao ângulo do esquadro utilizado na Atividade 1. Ao final da Atividade 2, é pedido que os alunos relacionem os conteúdos matemáticos que eles puderam perceber nesta atividade, esperamos que os alunos mencionem o uso das razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno ou tangente.
26 4.2.4 Atividade Complementar 2: Formalização das razões trigonométricas Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas Num triângulo retângulo podemos relacionar seus lados a seus ângulos. Estas relações recebem o nome de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Chamamos de seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo. Chamamos de cosseno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo. Chamamos de tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o cateto oposto a este ângulo e o cateto adjacente a este ângulo. 1-Conhecidas as definições de tais razões, responda: Entre as atividades realizadas em sala, há alguma em que você poderia ter utilizado alguma dessas razões trigonométricas? Comente. 2-Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo apresenta um valor de seno, cosseno e tangente. A tabela abaixo apresenta três ângulos agudos e suas respectivas razões trigonométricas. ângulos seno cosseno tangente 22° 0,375 0,927 0,404 40° 0,643 0,766 0,839 68° 0,927 0,375 2,475 a)Consultando o quadro complete o que se pede para os triângulos dados: Triângulos Cite seus três ângulos Encontrem os valores de x (explique os caminhos matemáticos utilizados) Encontrem os valores de y (explique os caminhos matemáticos utilizados) x 4cm y 4cm x y 4 cm y x b)Destaque semelhanças entre os triângulos acima: c)Registre outras observações sobre a tarefa 2? 22° 40° 68°
27 Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas- (Continuação) 3- No triângulo retângulo representado, são especificados os valores de seus lados e de dois ângulos agudos α e β. 10 6 8 a)Determine os valores de: I-sen = V-sen = II-cos = VI-cos = III-tg = VII-tg = IV-sen cos VIII-sen cos b)Considere os resultados encontrados nas letras I, II, V, VI. O que observou? Como se explica o que você observou? c)Compare outros resultados da tarefa 3a e registre suas observações; 4-Para os triângulos 1, 2 e 3, calcule os valores de sen2 + cos2 : 1- 2- 3- 3cm 5cm 5cm 13cm 8cm 6cm 4cm 12cm 10cm O que você observa? Isto é sempre verdade? Justifique
28 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 2 objetiva formalizar os conceitos sobre razões trigonométricas no triângulo retângulo, por isso traz as definições sistematizadas no início da folha de atividades. A primeira tarefa dessa atividade pede que os alunos relacionem as razões trigonométricas recém-sistematizadas às atividades 1 e 2 feitas anteriormente. A tarefa 2 disponibilizava aos alunos uma tabela com ângulos e suas respectivas razões trigonométricas. Na letra a dessa tarefa, temos uma tabela com três triângulos retângulos, que possuem uma das medidas em comum igual 4 cm. Sobre estes triângulos são feitos alguns questionamentos: quais os valores de seus três ângulos, qual o valor de suas medidas x e y e como os alunos as encontraram. Espera-se que nesse ponto os alunos utilizem pelo menos uma das razões trigonométricas para encontrar a primeira variável, para encontrar a segunda eles podem utilizar o Teorema de Pitágoras ou outra razão trigonométrica. A letra b pede que os alunos destaquem semelhanças entre os triângulos, em que esperamos que os alunos destaquem o fato de que há uma medida igual entre os três triângulos. A letra c pede que os alunos registrem suas observações. Esperamos que os alunos identifiquem que utilizaram razões trigonométricas semelhantes apesar de estarem lidando com ângulos diferentes e que as razões trigonométricas estão ligadas ao ângulo e não às dimensões do triângulo. A tarefa 3 apresenta um triângulo retângulo no qual são conhecidos as medidas dos três lados e dois ângulos α e β. Relativo a este triângulo, na letra a é dada uma tabela em que os alunos devem completá-la calculando-se os valores de I-senα, II-cosα, III-tgα; IV-; V-senβ; VI-cosβ; VII-tgβ; VIII-. Na letra b os alunos são indagados acerca de relações entre situações I, II, V e VI. Esperamos que os alunos percebam que senα é igual a cos β e que senβ é igual a cos α e possivelmente associem tal observação ao fato de que α e β sejam ângulos complementares. Na letra c é pedido que os alunos registrem outras observações que eles notaram nos elementos da tabela. É esperado que eles relacionem a situação III com a situação IV e a situação VII com a situação VIII e compreendam que a razão tangente é equivalente ao quociente da razão seno pela razão cosseno.
29 Na tarefa 4 são dados aos alunos três triângulos retângulos em posições diferentes e que apresentam medidas de lados e ângulos diferentes. Sobre estes triângulos é pedido que os alunos apliquem a relação “sen2α + cos2α” e relatem o que observam. Esperamos que eles concluam que independente do ângulo ou do triângulo considerado essa relação sempre terá como resultado o número 1.
30 4.2.5 Atividade 3: Problemas aplicados Atividade 3 – Problemas aplicados Escolha três problemas da lista, cuja solução envolva uma das razões trigonométricas. Você resolverá, assim, um problema envolvendo a razão trigonométrica seno, um problema envolvendo a razão trigonométrica cosseno e um problema envolvendo a razão trigonométrica tangente. I-a) Número do Problema: b)Razão trigonométrica utilizada: c)Resolução: II-a) Número do Problema: b)Razão trigonométrica utilizada: c)Resolução: III-a) Número do Problema: b)Razão trigonométrica utilizada: c)Resolução: Orientações/ Sugestões Para desenvolverem a atividade três, é entregue aos alunos uma lista de problemas trigonométricos aplicados retirados de livros didáticos (APÊNDICE A). Dessa lista os alunos devem escolher três problemas a serem resolvidos, devendo estes problemas serem de razões trigonométricas diferentes: um deverá abordar a razão trigonométrica seno, outro o cosseno e outro a tangente. Esperamos que os alunos ao resolver estes problemas apliquem corretamente as razões trigonométricas e utilizem esboços para resolver as situações.
31 4.2.6 Atividade Complementar 3: Problema Aplicado Atividade Complementar 3: Problema Aplicado Elabore um problema cuja solução envolva uma das razões trigonométricas. Atenção! Você precisa saber resolver o problema, mas não precisa entregar a solução do mesmo Orientações/ Sugestões Na Atividade Complementar 3 é dada aos alunos a chance de usar sua criatividade e elaborar um problema aplicado sobre uma das razões trigonométricas. Esperamos que os alunos redijam e ilustrem um problema que seja coerente, que necessite de uma das razões trigonométricas: seno, cosseno ou tangente, e seja passível de resolução.
32 4.2.7 Desafio da Planta do Telhado Desafio da Planta do Telhado Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo. O telhado é uma das partes importantes em uma casa. Há vários tipos de telhados, cada um composto por partes específicas. Para nosso trabalho consideremos algumas partes de um telhado de telhas de barro, apoiado sobre uma estrutura de madeira. Observe a figura que representa um telhado, especificando algumas destas partes: Na planta entregue a você há o corte AA, que mostra o telhado e suas partes, e a planta de cobertura, que mostra o telhado visto de cima e sua inclinação de i=35%. Estas partes obedecem à escala 1/50, escala utilizada na construção da planta. 1-Observando o Corte AA, complete a tabela abaixo, informando as medidas da planta, as medidas reais e o método utilizado para obter estas informações: Partes do telhado Medida na planta (cm) Medida real (m) Método utilizado Pendural Linha Empena 2-Que relações você pode estabelecer entre a linha, o pendural e a empena de um telhado? 3-Que associações você consegue estabelecer entre esta tarefa e as atividades anteriores. 4-Para evitar goteiras, os telhados devem ser projetados com uma determinada inclinação. a)Consulte o Corte AA da planta e determine o ângulo de inclinação do telhado em relação à horizontal. Explique o método utilizado para encontrar esta resposta. b)É possível determinar alguma relação entre o tamanho do pendural, o tamanho da linha e a inclinação do telhado? Explique Empena Linha Pendural Diagonal
33 Orientações/ Sugestões O Desafio da Planta do Telhado proposto volta a interligar as atividades trigonométricas com a exploração de plantas baixas. Para o desenvolvimento dessa atividade é novamente entregue aos alunos a planta baixa utilizada na Atividade Preparatória B (ANEXO A). Esta atividade se inicia tecendo comentário sobre os telhados de uma casa e os nomes de suas partes: empena, linha e pendural. Chama-se a atenção para a inclinação do telhado e para a observação de um corte específico da planta. Além de mencionar qual a escala em que a planta foi desenhada. Na tarefa 1 pede-se que os alunos encontrem as medidas das partes do telhado na planta (em centímetros), no tamanho real (em metros) e descrevam que métodos foram utilizados. Espera-se que os alunos utilizem régua para extraírem as medidas da planta, possivelmente podem utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar o pendural. Esperamos que utilizem a escala para encontrarem as medidas em metros. Nas tarefas 2 e 3 é pedido que os alunos estabeleçam relações entre as partes do telhado e as associem às atividades desenvolvidas anteriormente. Espera- se que os alunos consigam associar a formação de um triângulo e o Teorema de Pitágoras aos elementos do telhado e perceber que as atividades 1, 2 e 3 têm relação com este desafio. A tarefa 4 explora a ideia de inclinação, na letra a analisa a inclinação dada em porcentagem pela planta e tenta associá-la a um ângulo; espera-se que os alunos, utilizando possivelmente um transferidor, encontrem o ângulo de inclinação em graus. Na letra b tentamos associar as partes do telhado e a inclinação do mesmo. Esperamos que os alunos associem a razão trigonométrica tangente ao ângulo de inclinação.
34 4.2.8 Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade. Que construções da sua cidade você acha interessante? Grupos Construção Grupo1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6 Cada grupo deverá fotografar a construção, desenhar um croqui (esboço de uma planta) utilizando a escala 1: 50, informando as devidas medidas e destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada. O trabalho deverá ser entregue em duas vias. Primeira via: em folha A4 contendo a fotografia (cópia scaneada ou imagem impressa), o croqui (esboço da planta), informando as devidas medidas e os cálculos feitos para obtê-las, destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada. Segunda via: em folha AG, na forma de um pôster, informando o nome do trabalho, os membros do grupo e a turma. Na folha AG será colada uma folha A4 contendo as mesmas informações da folha A4 da primeira via. Atenção: Diagramar o pôster e a folha A4, colocando margem e cuidando para não cometer erros ortográficos. *A entrega das duas vias do trabalho será dia 15/03, data em que cada grupo apresentará o seu pôster.
35 Orientações/ Sugestões No projeto os alunos serão indagados sobre que construções da cidade eles acham mais interessantes e que trigonometria pode ser associada a estas construções. Os alunos deverão proceder a uma coleta de dados referente a construção escolhida e de posse dos dados fazer um croqui da referida construção, sob determinada escala, efetuando os cálculos que acharem pertinentes para responder aos questionamentos iniciais. Esperamos que eles escolham construções de telhados de forma triangular com inclinações diferenciadas, tesouras de terraços, escadas comuns que lembram modelos triangulares, rampas, escadas que lembram modelos circulares, etc. Durante a execução do projeto esperamos que os alunos associem como trigonometria a estas construções: razões trigonométricas seno, cosseno ou tangente; triângulo retângulo; Teorema de Pitágoras; círculo trigonométrico; circunferência; semelhança de triângulos; soma dos ângulos internos de um triângulo; classificação de triângulos, etc.
36 4.3 Bloco 3: Transição do triângulo para o círculo trigonométrico Objetivos Atividade 4: fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco orientado, o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência. Explorar noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa. Atividade Complementar 4: explorar o conceito de comprimento de circunferência e comprimento de arcos.
37 4.3.1 Atividade 4: O círculo trigonométrico Atividade 4- O círculo trigonométrico Se fixarmos um sentido positivo em uma circunferência pode-se dizer que se trata de uma circunferência orientada. Uma circunferência orientada de centro na origem do sistema cartesiano, de raio unitário e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado círculo trigonométrico. Vamos considerar a origem do círculo trigonométrico no ponto A (1,0), interseção da semirreta Ox com a circunferência c. O eixo x e o eixo y dividem o círculo trigonométrico em 4 partes iguais, chamadas quadrantes. 1-Complete a tabela abaixo, indicando os intervalos de variação, em graus e em radianos, de cada quadrante: Quadrante Intervalo em graus Intervalo em radianos 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 2-Observe o círculo trigonométrico: Marque no círculo trigonométrico os pontos que correspondem aos ângulos: 15°, 75°, 30°, 60°, , 120°, 150°, , , 240°, , 330°, 420°, 480°, 540°, 600°, 750°, 780°, , - 135°, - 225°. 2-Há arcos que se posicionaram no mesmo ponto? Quais? 3-Há arcos que deram mais de uma volta no círculo trigonométrico? Como você descobriu? 4-O que podemos dizer sobre os ângulos - 60°, - 135° e - 225°? 5-O que têm em comum os ângulos: 420°, 480°, 540°, 600°, 750°, 780°? 6-Os ângulos de 60° e 420° são côngruos. Observando suas posições no círculo trigonométrico da tarefa 2, o que isso significa? 7-Um ponto que descreve um ângulo de 1500° dá várias voltas, no sentido anti-horário de um círculo trigonométrico. a)Quantas voltas exatamente ele dá? b)Em que quadrante ele para? c)Dê exemplos de outros dois ângulos, aos quais ele poderia ser côngruo.
38 Orientações/ Sugestões A Atividade 4 introduz o círculo trigonométrico, associando a circunferência ao sistema de coordenadas cartesianas. Orientando e estabelecendo sua origem. Na tarefa 1 os alunos são indagados acerca dos intervalos em que os quadrantes se encontram, em graus e em radianos. Esperamos que os alunos identifiquem a existência de intervalos de 90° em 90° e que estes podem ser representados em duas unidades diferentes. Na tarefa 2 após definidos os intervalos dos quadrantes, é pedido que os alunos posicionem alguns ângulos, em graus e radianos, num círculo trigonométrico. A tarefa 3 questiona a existência de arcos que se posicionam no mesmo ponto no círculo. Esperamos que os alunos percebam essa situação e identifiquem os ângulos 30° e 750°; 60°, 420° e 780; 120° e 480°; e – 225°; 240° e 600°; como ângulos que se posicionaram no mesmo ponto. Na tarefa 3 é pedido que se identifique se há ângulos que deram mais de uma volta no círculo trigonométrico e como se deu sua descoberta. Esperamos que os alunos mencionem: 420°, 480°, 540°, 600°, 750° e 780°; como ângulos que apresentam mais de uma volta, devido ao fato de serem ângulos maiores que 360°, o que representaria uma volta. Acreditamos que essa resposta auxiliará na resolução da tarefa 5, pois é perguntado o que os referidos ângulos têm em comum, esperamos que seja dito, que todos apresentam mais de 360°. Na tarefa 4 pedem-se observações acerca dos ângulos – 60°, –135° e – 225°, esperamos que informem que são ângulos negativos e, devido a isso, se posicionam no sentido horário do círculo trigonométrico. A tarefa 6 apresenta um exemplo de ângulos côngruos e questiona os alunos, a partir da observação do posicionamento de dois ângulos, sobre o significado de tal afirmação. Esperamos que os alunos informem que os ângulos são côngruos pois se posicionaram no mesmo ponto no círculo trigonométrico, diferindo entre si apenas pelo número de voltas dadas no círculo. A tarefa 7 representa uma tarefa de fixação, um ponto percorre no sentido anti-horário do círculo trigonométrico um ângulo de 1500°, após esta afirmação os alunos são questionados quanto a quantas voltas foram dadas no círculo, em que
39 quadrante o ângulo se posiciona e pede-se exemplos de outros ângulos côngruos a esse. Esperamos que os alunos encontrem como número de voltas completas o valor 4, como quadrante onde se localiza a primeira determinação positiva o primeiro e como exemplos de ângulos côngruos 420°, 780°, ou qualquer ângulo cuja primeira determinação positiva seja 60°.
40 4.3.2 Atividade Complementar 4: Explorando a circunferência e seus arcos Atividade Complementar 4- Explorando a circunferência e seus arcos Uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma mesma distância de um ponto dado. O ponto fixo dado é o chamado centro e a distância constante é chamada raio. Seu comprimento pode ser calculado pela expressão: C = 2..r. Nesta expressão o símbolo (pi) representa uma constante que vale aproximadamente 3,14. 1-Em uma casa, um arquiteto deseja projetar um jardim de forma circular. O diâmetro desse jardim deverá ser de 2m. Quanto de arame será necessário para contornar o jardim, a fim de protegê-lo de animais até que ele esteja totalmente formado? Descreva seu raciocínio. 2-No jardim da tarefa 1 serão plantados 4 tipos de flores, igualmente distribuídas neste canteiro circular. a)Represente a situação por meio de um desenho. b)Considerando que o canteiro tem forma circular e que sua representação pode ser associada a um círculo trigonométrico, quantos graus desse desenho são ocupados por este canteiro? Descreva os procedimentos. c)Entre as flores a serem plantadas, rosas vermelhas serão plantadas em uma das regiões do círculo. Para cercar com arame, apenas a região com rosas, é possível encontrar este comprimento, dado em metros? Descreva seus métodos e faça um desenho esquemático sobre a situação. 3-Se um determinado ponto descrevesse uma trajetória circular em uma circunferência, no sentido anti-horário, quando ele completasse uma volta, quantos graus ele teria percorrido? ______________ 4-a)Num relógio o ponteiro dos minutos descreve uma circunferência ao longo de seu movimento. Quantos graus o deslocamento do ponteiro dos minutos descreve em cada minuto? Descreva como obteve sua resposta. b)No relógio abaixo, o menor ângulo formado entre os ponteiros das horas e dos minutos, corresponde a quantos graus? Explique como você encontrou este valor.
41 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 4 explora noções intuitivas de comprimento de circunferência e comprimento de arcos de circunferência. A tarefa 1 propõe uma situação problema na qual os alunos devem, conhecido o diâmetro de um canteiro de flores circular, encontrar a quantidade de arame necessária para cercá-lo. Espera-se que os alunos associem a quantidade a indagação do problema ao conceito de comprimento de circunferência, citado no texto inicial, aplicando a expressão C = 2.π.r para encontrar a solução da tarefa. A tarefa 2 aproveita a ideia da tarefa 1 e propõe uma situação em que o canteiro circular precisará ser dividido em quatro partes iguais. Na letra a dessa tarefa é solicitado um desenho que representa a situação. Na letra b pede-se que este desenho seja associado a um círculo trigonométrico e pergunta-se quantos graus essa região ocuparia nesse círculo trigonométrico. Esperamos que os alunos associem essa região a um quarto do círculo trigonométrico, equivalente a 90°. Na letra c, temos o pedido para cercar com arame a região equivalente a um quarto do círculo trigonométrico. Espera-se que os alunos encontrem o comprimento do arco correspondente ao ângulo de 90°, possivelmente utilizando uma regra de três, e o adicionem a dois raios, que também limitam a região considerada. A tarefa 3, por nós considerada simples, pretende fixar o valor em graus de uma volta no círculo trigonométrico, tomado em seu sentido anti-horário. Esperamos que os alunos utilizem o valor 360° como resposta. A tarefa 4 associa o movimento do ponteiro dos minutos de um relógio à circunferência. Na letra a questiona-se quantos graus o deslocamento do ponteiro dos minutos descreve em cada minuto. Esperamos que os alunos encontrem o valor de 6°. Na letra b, sendo dado a figura de um relógio marcando três horas, indaga-se qual o valor em graus do menor ângulo descrito entre os ponteiros das horas e dos minutos nesse horário. Esperamos que seja encontrado o valor de um ângulo de 90°, podendo ser encontrado pela multiplicação de 15’x 6° ou dividindo-se 360° por 4.
42 4.4 Bloco 4: Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano Objetivos Atividade 5: perceber o que ocorre com os valores de seno, cosseno e tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo trigonométrico. Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno, cosseno ou tangente. E identificar os eixos correspondentes às funções seno, cosseno e tangente no circulo trigonométrico. Atividade Complementar 5: fixar os conceitos abordados na atividade com recurso computacional: comportamento das funções seno e cosseno em cada quadrante, as variações de sinais dessas funções em cada quadrante, comparar senos e cossenos de ângulos diferentes e utilizar senos e cossenos de arcos notáveis para resolver expressões que necessitem desses valores. Atividade 6: observar como são formados os gráficos das funções seno, cosseno e tangente, à medida que completamos uma volta na circunferência trigonométrica. Reconhecer o que é uma função periódica, avaliando se as funções trigonométricas citadas são ou não periódicas, podendo identificar tal período. Atividade Complementar 6: desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo plano cartesiano, para facilitar a descoberta da defasagem entre as funções. Destacar características dos gráficos e funções trigonométricas, associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras áreas de conhecimento. Atividade 7: analisar as situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical, horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução ao 1º quadrante, considerando o quadrante em que os ângulos se encontram. Atividade Complementar 7: fixar os conceitos sobre redução ao primeiro quadrante, abordados na atividade com recurso computacional. Atividade 8: perceber relações de complementaridade entre ângulos e como isso afeta os valores seno e de cosseno de ângulos de um mesmo quadrante. Explorar as fórmulas de soma e subtração de arcos através de abordagem geométrica em software dinâmico. Atividade Complementar 8: Fixar as relações de complementaridade entre ângulos e seus reflexos sobre os valores do seno e do cosseno de ângulos num mesmo quadrante. Aplicar as fórmulas de soma e subtração de ângulos e utilizá-las para
43 obter alguns modelos abstratos clássicos da trigonometria numa exploração algébrica. 4.4.1 Atividade 5: Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico Atividade 5- Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico 1-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_seno.html a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A. b)Observe o que ocorre com o valor do seno quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações: c1)Cada sentença apresenta resultados para o seno de um ângulo desconhecido x. Usando o applet, encontre valores de x, que satisfaçam as sentenças: a)sen x= 0.77 x= ____________ c)sen x= 0.50 x= ___________ b)sen x= - 0.34 x=___________ d)sen x= - 0.80 x= ____________ c2)É possível termos mais de um resultado em cada sentença? Explique 2-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_cosseno.html a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A. b)Observe o que ocorre com o valor do cosseno quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações: c)Cada sentença apresenta resultados para o cosseno de um ângulo desconhecido x. Usando o applet, encontre valores de x, que satisfaçam as sentenças: a)cos x= 0.77 x= ___________ c)cos x= 0.50 x=___________ b)cos x= - 0.34 x= ___________ d)cos x= - 0.68 x= ___________ 3-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_tangente.html a)Identifique a reta que representa o eixo das tangentes; b)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A. c)Observe o que ocorre com o valor da tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações: Orientações/ Sugestões A Atividade 5 é a primeira atividade que utiliza o recurso computacional. Nela realizam-se tarefas associadas a manipulação e observação de applets dinâmicos feitos no Geogebra. A primeira tarefa solicita que os alunos abram um link de internet que os permitirá acessar o applet da função seno no círculo trigonométrico. Na letra a dessa tarefa é pedido que os alunos movimentem um ponto do applet,
44 observem o que ocorre e façam registro de suas observações. Espera-se que os alunos citem, entre suas observações o fato de que o ponto A representa um ângulo marcado num círculo trigonométrico e no applet está associado a seu seno, que a medida que o ângulo muda de valor, também se altera. Na letra b, a pergunta é direcionada para que os alunos observem e mencionem como se dá a variação dos valores de seno do ângulo, em cada quadrante. Esperamos que além de perceber que o valor do seno aumenta no 1º e no 4º quadrantes e diminui no 2º e 3º quadrantes, os alunos associem os sinais assumidos pelo seno nos respectivos quadrantes. Na letra c, são apresentadas pequenas equações trigonométricas, são dados os resultados do seno e é pedido o valor dos ângulos associados a cada resultado. Esperamos que os alunos movimentem o applet e descubram que ângulos estão associados a cada valor de seno. Complementando esta letra c, perguntamos se é possível obter mais de um resultado para cada sentença, esperamos que os alunos identifiquem que dependendo dos quadrantes investigados, podemos obter resultados diferentes para o mesmo valor de seno. A tarefa 2 refere-se à função cosseno no círculo trigonométrico e são propostas tarefas similares à tarefa 1, só que agora referentes ao cosseno. Esperamos que sejam realizadas observações com o mesmo critério que na tarefa1, mas associando às características do cosseno: que aumenta no 3º e 4º quadrantes e diminui no 1º e 2º quadrantes, além de apresentar sinais diferenciados dependendo do quadrante. A tarefa 3 analisa a função tangente no círculo trigonométrico. Traz como diferencial em relação às duas tarefas anteriores o fato de questionar a reta que representa o eixo da tangente. Esperamos que os alunos identifiquem a reta como sendo paralela ao eixo y, passando pelo ponto (1,0), ou ainda como sendo uma reta do tipo x = 1. Pretendemos que eles percebam que diferente das funções seno e cosseno, a tangente posiciona-se externamente ao círculo e é uma função crescente, não tendo intervalos de decrescimento, mas pontos nos quais ela não se define.
45 4.4.2 Atividade Complementar 5: Fixação de conceitos no círculo trigonométrico Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo trigonométrico 1-Considere o círculo trigonométrico abaixo: a)Assinale neste círculo os seguintes pares de ângulos: e ; 120° e 150°; e ; 300° e 330°. Realizada esta tarefa, complete a tabela: Pares de ângulos em graus Pares de ângulos em radianos Quadrante Variação do seno neste quadrante Variação do cosseno neste quadrante e 120° e 150° e 300° e 330° b)Que relações é possível estabelecer entre os valores de seno e cosseno em cada par de ângulos? 2- a)Desenhe uma circunferência de raio 1 cm e assinale nela os ângulos de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°. b)Observando a posição deste ângulos na circunferência, complete a tabela com os valores de seno e cosseno dos ângulos do abaixo: Ângulo 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° seno cosseno 3-Você sabe já sabe que o seno está associado ao eixo y e o cosseno ao eixo x. Preencha, em cada quadrante, os sinais que o seno e o cosseno assumem: Seno Explicação para o sinal Cosseno Explicação para sinal 1ºQ: 1ºQ: 2º Q: 2º Q: 3º Q: 3º Q: 4º Q: 4º Q:
46 Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo trigonométrico- (Continuação) 4-Complete a tabela seguinte: Razão Sinal Justificativa Razão Sinal Justificativa sen40° cos20° sen140° cos 130° sen cos200° sen340° cos 5- Marque os ângulos no círculo trigonométrico e complete a tabela com o sinal < (menor que) ou > (maior que), de forma que as sentenças sejam verdadeiras: a)sen50° ____sen12° e)cos60° _____cos240º b)sen80° ____sen110º f)cos (- 270°)____cos300° c)sen60º ____sen300º g)sen60°_____ cos (- 300°) d)cos70° ____cos410° 6-Resolva as expressões abaixo, consultando a tabela de razões trigonométricas de arcos notáveis, que você completou na tarefa 2, letra a, dessa atividade: a)Sendo x = , calcule o valor de sen7x + cos14x. b)Calcule Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 5 visa fixar os conteúdos explorados na Atividade 5, sem utilizar o recurso computacional. A tarefa 1 oferece um círculo orientado, na letra a dessa tarefa, é pedido que nele sejam assinalados pares de ângulos, alguns em graus outros em radianos. Após posicionar os pares de ângulos no círculo é pedido que os alunos completem uma tabela, na qual deverão informar os valores dos ângulos em graus, se estes forem dados em radianos, ou em radianos, se forem dados em graus; a que quadrante eles pertencem; que variação sofrem os valores de seno e de cosseno desses pares de ângulos. Na letra b, pede-se que relações observadas sejam relatadas. Esperamos que os alunos percebam que dependendo do quadrante no qual os ângulos se posicionem, à medida que aumentamos ou diminuímos os valores dos ângulos isso acarretará uma mudança nos valores de
47 seno e cosseno que nem sempre serão diretamente proporcionais e que tal fato está intimamente relacionado ao quadrante. A tarefa 2 é uma tarefa de fixação que solicita aos alunos que desenhem um círculo de raio unitário e nele posicionem os arcos notáveis, depois completem uma tabela com os valores de seno e cosseno desses ângulos. Consideramos essa tarefa de simples resolução, pois os alunos poderão consultar livros ou apostilas para completar tanto a tabela quanto o círculo. Esperamos que os alunos não apresentem grandes dificuldades para resolvê-la. A tarefa 3 explora o sinal das funções seno e cosseno em cada quadrante, pedindo que os alunos justifiquem estes sinais. Esperamos que os alunos associem os sinais ao posicionamento dos eixos x (cosseno) e y (seno) , do plano cartesiano. A tarefa 4 complementa a tarefa 3, pois apresenta alguns senos e cossenos de ângulos em graus ou radianos e solicita o sinal de tais razões trigonométricas. Esperamos que os alunos, embasados nos quadrantes em que estes ângulos se posicionam, informem os sinais de cada uma das razões apresentadas. A tarefa 5 pede que os alunos comparem razões trigonométricas diferentes. Esperamos que os alunos utilizem o desenho do círculo trigonométrico dado para posicionar os ângulos e comparar os tamanhos de suas projeções no eixo x, no caso do cosseno, ou no eixo y, no caso do seno; para então afirmar quais razões são maiores ou menores em relação as outras. A tarefa 6 representa expressões comumente encontradas em livros didáticos, em que se faz necessário substituir e/ou aplicar valores de senos e cossenos de arcos notáveis para solucionar a expressão. Acreditamos que, como essa tarefa exige a aplicação de técnicas matemáticas e não somente uma análise, alguns alunos possam sentir dificuldade em desenvolvê-la, por mais simples que ela pareça.
48 4.4.3 Atividade 6: Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente Atividade 6 - Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente 1- Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_seno.html Movimente o ponto P e analise a função seno: a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico? b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo é periódica. A função seno é periódica? Por quê? 2-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_cosseno.html Movimente o ponto P e analise a função cosseno: a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico? b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo é periódica. A função cosseno é periódica? Por quê? 3-Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_tangente.html Movimente o ponto A e analise a função tangente: a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico? b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo é periódica. A função tangente é periódica? Por quê? 4- Que limitações você percebeu ao usar os applets? Orientações/ Sugestões A Atividade 6 utiliza um applet que associa as funções seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico aos gráficos no plano cartesiano. A tarefas 1, 2 e 3 pedem que os alunos observem o que acontece com os gráficos das funções seno, cosseno e tangente, à medida que é completa uma volta na movimentação de um ponto específico e analisem se tais funções são periódicas ou não e qual seria o respectivo valor desse período. Esperamos que os alunos notem que a cada volta completa no círculo um período do gráfico é desenhado, logo são funções periódicas e têm como períodos 2π, no caso das funções seno e cosseno, e π, no caso da tangente. Acreditamos que devido à presença das assíntotas verticais a função tangente traga um pouco de dificuldade a sua compreensão pelos alunos, no que achamos que a manipulação do applet minimizará tal situação. A tarefa 4 questiona os alunos acerca de possíveis limitações dos applets. Esperamos que os alunos mencionem o fato de que os applets não permitem o desenho do gráfico além da primeira volta no círculo trigonométrico, ou seja, só desenha o gráfico em seu primeiro período.
49 4.4.4 Atividade Complementar 6: Gráficos das funções seno e cosseno – fixação Atividade Complementar 6- Gráficos das funções seno e cosseno – fixação Vamos agora esboçar os gráficos das funções seno e cosseno. 1- Complete as tabelas: Ângulo (arco em radiano) Arco em graus Seno Ângulo (arco em radiano) Arco em graus Cosseno 0 0 2 2 3 3 4 4 A partir dos dados das tabelas, esboce o gráfico da função seno e da função cosseno na malha quadriculada: 2-a)Registre suas observações acerca dos gráficos. b)Os gráficos das funções seno e cosseno representam dois tipos de ondas. Observando seus desenhos na malha quadriculada percebemos que seus gráficos são defasados entre si, pois se iniciam em coordenadas diferentes. Você seria capaz de encontrar o valor dessa defasagem entre as ondas? Informe o valor dessa defasagem.
50 Atividade Complementar 6- Gráficos das funções seno e cosseno – fixação- (Continuação) 3- Você conheceu duas novas funções: a função seno e a função cosseno, complete de acordo com o que você aprendeu: Função Seno Função Cosseno Domínio Imagem Intervalo onde é crescente Intervalo onde é decrescente È par ou ímpar? 4- Você aprendeu que as funções seno e cosseno são periódicas. Diga com palavras o que isso significa. Se uma função é periódica, de período p, represente usando a linguagem simbólica o que isso significa. 5- A telha de amianto é muito usada em telhados. Se fizermos um corte transversal na telha, a que função ela pode ser associada? Justifique. 6-Analisando livros de Física da 2ª série, que assuntos você consideraria ter alguma relação com os gráficos das funções seno e cosseno? Justifique.
51 Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 6 visa fixar os conceitos sobre gráficos das funções seno e cosseno, explorados pelos applets em sala de aula. A tarefa 1 pede que os alunos montem gráficos das funções seno e cosseno na mesma malha quadriculada, após preencher duas tabelas acerca dos valores de seno e cosseno de ângulos notáveis que se posicionam para além de uma volta. Esperamos que os alunos desenhem os gráficos no mesmo plano, sobrepondo-os, facilitando a visualização da defasagem entre eles, mas podemos esperar que eles os desenhem separadamente, já que a malha oferecida é grande. Na tarefa 2 é pedido que os alunos registrem suas observações referentes aos dois gráficos e mencionem o valor da defasagem entre os dois. Esperamos que os alunos indiquem que as formas dos gráficos lembram duas ondas e que sua defasagem é de um quarto do círculo trigonométrico, ou seja, 90°. A tarefa 3 é uma tarefa de fixação, e pede que os alunos mencionem valores de domínio, imagem, intervalos crescentes ou decrescentes e se as funções seno e cosseno são pares ou ímpares. A tarefa 4, que consideramos um pouco mais complexa que as demais dessa atividade, pede que os alunos apresentem um modelo algébrico que represente uma função periódica. Acreditamos que essa tarefa seja mais complexa, pois exige dos alunos apresentar uma representação abstrata de um modelo geométrico, algo com o qual os alunos não estão acostumados. Esperamos que eles apresentem a representação: f(x) = f(x + p). A tarefa 5 pede que os alunos observem um corte transversal de uma telha de amianto e associem este corte a uma das funções trigonométricas: seno ou cosseno. Esperamos que os alunos associem o formato desse corte ou a função seno ou a função cosseno. A tarefa 6 pretende associar as funções seno e cosseno com conteúdos de Física, pede que os alunos associem tais funções a conteúdos de Física do livro da 2ª série. Pretendemos que os alunos encontrem no livro de Física conteúdos como Estudo de Ondas, Acústica, Óptica e os associem aos gráficos das funções seno e cosseno.
52 4.4.5 Atividade 7: Applet de simetrias e redução ao primeiro quadrante Atividade 7- Applet de simetrias e redução ao primeiro quadrante 1- Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_1_reducao_quadrante.html a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor . b) Em que quadrante varia o ângulo ? E o ângulo ? c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse matematicamente essa relação. d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? 2- Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet2_reducao_quadrante.html a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor . b)Em que quadrante varia ângulos ? E o ângulo ? c) Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse matematicamente essa relação. d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? 3- Acesse o seguinte endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_3_reducao_quadrante.html a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor . b) Em que quadrante varia o ângulo ? E o ângulo ? c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse matematicamente essa relação. d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? Orientações/ Sugestões A Atividade 7 apresenta applets que exploram as relações de simetria e redução ao uma primeiro quadrante. As tarefas 1, 2 e 3, cada uma se relacionando a um dos casos de redução ao 1º quadrante, pedem que os alunos observem e anotem suas observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor na tela do computador, pedem que informem em que quadrante variam os ângulos observados e que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos, bem como qual é a relação entre os senos e os cossenos deles. Esperamos que os alunos sejam capazes de produzir expressões do tipo: α+ β= 180°; β- α= 180° e α+ β= 360°, para representar as relações entre os ângulos em cada par de quadrantes e perceber que em cada um desses pares de quadrantes há uma relação diferente entre senos e cossenos, que podem ser iguais ou simétricos entre si.
53 4.4.6 Atividade complementar 7: simetrias e redução ao primeiro quadrante Atividade complementar 7- simetrias e redução ao primeiro quadrante As tabelas de razões trigonométricas apresentam senos, cossenos e tangentes de ângulos de 1° a 89°. O motivo para só constarem nestas tabelas os valores de seno, cosseno e tangente de ângulos do primeiro quadrante está no fato de existirem relações de simetria entre estes ângulos e os demais quadrantes do círculo trigonométrico. Estas relações simétricas permitem descobrir as razões trigonométricas nos demais quadrantes, por meio de associações geométricas no círculo trigonométrico. A partir das associações geométricas podemos estabelecer relações que nos permitem determinar as razões trigonométricas para todo o círculo trigonométrico. Observe: *arcos de 2º quadrante(x), compreendidos entre 90° e 180°, podem ser reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu suplemento, ou seja, subtraindo-os de 180°(): - x; *arcos de 3º quadrante(x), compreendidos entre 180° e 270°, podem ser reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu explemento, ou seja, subtraindo deles 180°(): x - ; *arcos de 4º quadrante(x), compreendidos entre 270° e 360°, podem ser reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu replemento, ou seja, subtraindo-os de 360°(2): 2- x; Os valores das razões trigonométricas serão iguais aos seus simétricos, modificando-se apenas os sinais, que respeitam o quadrante do arco original. Conhecendo estas relações, resolva as atividades abaixo: 1-Determine os valores de: a)sen300°: d)cos510° b)cos(-60°): e)cos225° c)sen f)sen450° 2-Calcule o valor de sen + cos + cos + sen Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 7 pretende fixar as técnicas de redução ao primeiro quadrante. A primeira tarefa explora situações em que estas técnicas devem ser aplicadas. A segunda tarefa associa estes conceitos com a resolução de expressões. Esperamos que os alunos apliquem corretamente as técnicas de redução ao primeiro quadrante e, especialmente, que resolvam a expressão da tarefa 2, que consideramos mais complexa, mas que já foi debatida anteriormente.
54 4.4.7 Atividade 8: Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de arcos Atividade 8- Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de arcos 1-Acesse o endereço eletrônico: http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_arcos_complementares.htmlF:homealunoMarlizeteappletarcoscomplementares.html a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor . Que relações é possível estabelecer entre os ângulos α e β? b)Em que quadrante variam os dois ângulos? c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse matematicamente essa relação. d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ? 2- Acesse o endereço eletrônico: http://www.iep.uminho.pt/aac/hsi/a2001/2001/trig/funcoes2.htm2 No applet presente nessa página, há dois ângulos desenhados em um círculo trigonométrico. Externamente ao círculo, temos três segmentos azul, vermelho e verde. 2.1. Clique na caixa sin(A + B) e na caixa “characters”: a) Seguindo esses comandos, que expressões são associadas a cada uma dos segmentos? Azul: ______________________ Vermelha: _____________________ Verde: _____________________ b)Clicando nos símbolos + ou - é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B. Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando aumentamos ou diminuímos um desses ângulos: Semirreta Aumentamos A Diminuímos A Aumentamos B Diminuímos B Azul Vermelha Verde c)O que você percebe após analisar a tabela acima? 2.2.Clique na caixa cos(A + B) e na caixa “characters”: a) Seguindo esses comandos, que expressões são associadas a cada uma dos segmentos? Azul: ______________________ Vermelha: _____________________ Verde: _____________________ b)Clicando nos símbolos + ou - é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B. Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando aumentamos ou diminuímos um desses ângulos: Semirreta Aumentamos A Diminuímos A Aumentamos B Diminuímos B Azul Vermelha Verde c) O que você percebe após analisar a tabela acima? 2 O site esteve disponível na época da aplicação da atividade, mas se encontra fora do ar desde 13/05/2011.
55 Orientações/ Sugestões A Atividade 8 explora tanto relações de complementaridade quanto fórmulas de soma de ângulos. A tarefa 1 pede que os alunos observem e anotem suas observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor na tela do computador, pede que informem em que quadrante variam os ângulos observados e que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos, bem como qual é a relação entre os senos e os cossenos deles. Esperamos que os alunos sejam capazes de produzir expressões do tipo: α + β= 90° para representar a relação de complementaridade entre os ângulos e que o seno de um dos ângulos é igual ao cosseno do outro. A tarefa 2 explora as fórmulas de soma entre os ângulos. A tarefa 2.1 e 2.2 analisam, respectivamente, a fórmula do seno e do cosseno da soma de dois ângulos. Nessas tarefas é pedido que os alunos observem o applet durante o movimento e anotem o que ocorre a cada ângulo e com seu somatório à medida que estes são manipulados e estabeleçam relações entre estes comportamentos. Esperamos que os alunos observem e destaquem que à medida que aumentam o valor da soma do ângulo o seno da soma aumenta, mas seu cosseno diminui e vice- versa e que somar os ângulos não significa somar diretamente os senos e cossenos pois estamos lidando com uma combinação gráfica de informações.
56 4.4.8 Atividade Complementar 8: Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos Ângulos complementares são ângulos cuja soma é 90°. A complementaridade interfere nas razões trigonométricas. O seno de um ângulo representa o cosseno de seu complemento e vice-versa. Com esta informação percebe-se que não precisamos conhecer o seno e o cosseno de todos os ângulos do primeiro quadrante, basta conhecer os valores de 1° a 45°, os demais poderão ser obtidos partindo da complementaridade. 1-Complete a tabela com as razões trigonométricas ausentes. Ângulo () sen cos Complemento de (ângulo ) sen cos 35° 0,57 0,82 25° 0,42 0,91 0,59 0,81 2- Você aprendeu que há fórmulas para a soma e para a diferença de senos e cossenos de ângulos no círculo trigonométrico: sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa sen(a – b) = sena.cosb – senb. Cosa cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb cos(a – b) = cosa.cosb + sena.cosb Conhecidas as fórmulas da soma e da diferença e os valores de seno e cosseno dos ângulos abaixo: Ângulos () sen cos 20° 0,34 0,94 30° 0,5 0,87 45° 0,71 0,71 55° 0,82 0,57 60° 0,87 0,5 70° 0,94 0,34 Encontre os valores de seno e de cosseno de: Ângulo Seno Cosseno a)50° b)75° c)90° d)100°
57 Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma e da diferença de arcos (Continuação) 3-Sabendo que sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa e cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb, estabeleça expressões matemáticas que representem: o sen(2) e o cos(2). sen(2) cos(2) 4-É possível afirmar que cos2 = ½ [ 1+cos(2)]?Verifique se a afirmativa é verdadeira. 5-Use as relações estabelecidas para cos(a+b) e cos(a – b) para expressar sen2 em função de cos(2). Orientações/ Sugestões A Atividade Complementar 8 objetiva fixar conceitos acerca de complementaridade e de soma e diferença de ângulos. A tarefa 1 aborda especificamente ângulos complementares. É dada uma tabela em que dois ângulos estão associados, numa relação de complementaridade. Esperamos que os alunos utilizem os conhecimentos adquiridos para completá-la, calculando ângulos complementares e percebendo que os senos desses ângulos são iguais aos cossenos de seus complementos e vice-versa. A tarefa 2 explora o conceito de soma e diferença de ângulos, são dadas as fórmulas de seno e cosseno e uma tabela de senos e cossenos de alguns ângulos e, baseados nessas informações, é solicitado aos alunos que completem uma tabela com senos e cossenos de ângulos obtidos pela soma ou diferença dos ângulos iniciais. As tarefas 3, 4 e 5, consideramos as mais complexas até aqui propostas, pois pedem que os alunos elaborem expressões algébricas a partir de outras expressões algébricas. Consideramos tarefas mais complexas, pois nossos alunos não estão habituados a lidar com este nível de abstração.
58 4.5 Bloco 5: Atividades Avaliativas Objetivos Dois testes: verificar a aprendizagem dos conteúdos abordados. Teste 1: resolver problemas aplicados que envolvessem razões trigonométricas no triângulo retângulo. Interpretar e converter informações em graus e radianos. Saber operar com ângulos maiores que 360°, obtendo sua 1ª determinação positiva, o nº de voltas feitas e o quadrante em que esta determinação positiva se encontra. Saber encontrar o comprimento de uma ou mais voltas na circunferência orientada, bem como o comprimento de um arco menor que 360°. Teste 2: comparar senos e cossenos de ângulos diferentes, no mesmo quadrante ou em quadrantes diferentes. Ser capaz de encontrar os valores de seno e cosseno de arcos fora do 1º quadrante, utilizando a redução ao primeiro quadrante. Analisar e extrair propriedades de gráficos das funções seno e cosseno. Resolver expressões que utilizem valores de seno e cosseno de ângulos notáveis. Questionário: verificar que impressões os alunos tiveram acerca da sequência de atividades aplicada, tanto das atividades que utilizaram materiais de medição quanto as que utilizaram recursos computacionais. Feira de Matemática: apresentar à comunidade escolar os resultados obtidos no projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. Elaborar modelos, como maquetes das construções e desafios com os dados coletados durante o desenvolvimento do projeto, para serem expostos durante a Feira.
59 4.5.1 Teste 1 Para a verificação da aprendizagem do conteúdo pensou-se dois tipos testes, chamados de Teste 1(A) e Teste 1(B) Teste 1(A) 1-(IMENES; LELLIS, 2009, p. 278) Para vencer o desnível de 3,15m será construída uma rampa com inclinação de 15°. Com que comprimento a rampa ficará? (Dados: sen15° = 0,26; cos 15°=0,97; tg 15° = 0,27) 2-Observe o telhado: x Sabendo que o pendural (viga vertical) mede 0,90 metros e que a empena e a linha (viga horizontal) formam um ângulo de 15° entre si, determine o valor da linha, representada pela variável x. (Dados sen15°= 0,26; cos15°=0,96 ; tg15°=0,27) 3-(DANTE, 2005, 199) na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20°=0,36.) 4-Uma pessoa numa bicicleta dá 6 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 8 m. a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste ciclista, em uma volta completa. (Use: = 3, 14) b)Determine a distância percorrida ao final das 6 voltas. c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45° de uma circunferência, quantos metros ele teria percorrido?
60 Teste 1(A) (Continuação) 5-Um ângulo de 4° em radianos corresponde a um ângulo de rad. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta. 6- Se transformarmos rad em graus, obteremos quantos graus? 7- Marque no plano cartesiano abaixo os ângulos: , , 8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente circular. Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy e alguns pontos. Veja a representação: Um atleta parte de A, correndo no sentido anti-horário. Ao correr o equivalente a um ângulo de 230°, ele estará entre os pontos: a)A e B b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C 9-Um móvel, partindo da origem dos arcos percorreu um arco de - 4750°. a)Quantas voltas completas ele deu? b)Em qual quadrante ele parou? c)Qual a 1ª determinação positiva desse arco? 10-Qual a questão que você mais gostou de resolver?
61 Orientações/ Sugestões Esta primeira Atividade Avaliativa será por nós chamada de Teste 1 (A). Nesta Atividade, as tarefas 1, 2 e 3 abordam as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Esperamos que os alunos apliquem corretamente a razão seno na tarefa 1 e a razão tangente nas tarefas 2 e 3. A tarefa 4 explora a ideia de comprimento de circunferência e comprimento de arco de circunferência. A letra a espera o cálculo do comprimento de uma volta na circunferência, utilizando a expressão C= 2.π. r; a letra b explora a descoberta do comprimento da circunferência quando são dadas mais voltas, esperando que o resultado seja obtido multiplicando-se o resultado da letra a, pelo número de voltas. A letra c pede o comprimento de um arco de 45° dessa mesma circunferência, para encontrar este valor esperamos certa criatividade, pois além da regra de três que pode ser aplicada a este caso, o aluno pode dividir a circunferência em oito partes e encontrar o comprimento desse arco a partir do resultado da letra a. As tarefas 5 e 6 exploram as conversões de unidades em graus e radianos, esperando que os alunos expliquem como chegaram aos respectivos resultados. As tarefas 7 e 8 pedem o posicionamento de alguns ângulos no círculo trigonométrico, tarefas que consideramos mais simples. A tarefa 9 explora a ideia de arcos côngruos apresentando um arco bem maior que 360° solicitando o número de voltas dadas além de 360°, em que quadrante sua determinação positiva parou e qual era seu valor. Considerando que o arco da tarefa é um arco negativo, acreditamos que os alunos podem ter dificuldade em encontrar a 1ª determinação positiva, mas não a negativa e o número de voltas dadas. A tarefa 10 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de resolver, na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida.
62 Teste 1 (B) 1-(DANTE, 2005, p.197) Uma rampa lisa de 10m de comprimento faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros verticalmente? (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87; tg30°= 0,58.) 2-(DANTE, 2005, p. 199) na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20°=0,36.) 3-Sabendo que metade da linha (viga horizontal) do telhado abaixo mede 3,80m e que o ângulo de inclinação é de 17°. Qual é o tamanho do pendural? (Dados: sen17°= 0,29; cos17° = 0,96; tg17°= 0,31) 4-Uma pessoa numa bicicleta dá 7 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 6 m . a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste ciclista, em uma volta completa. (Use: = 3, 14) b)Determine a distância percorrida ao final das 7 voltas. c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45° de uma circunferência, quantos metros ele teria percorrido? 5- Um ângulo de 36° em radianos corresponde a um ângulo de rad. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta. 6-Se transformarmos rad em graus, obteremos quantos graus? 3,80m 17° x
63 Teste 1 (B) (Continuação) 7- Marque no plano cartesiano abaixo os arcos: , , , 8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente circular. Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy e alguns pontos. Veja a representação: Um atleta parte de A, correndo no sentido anti-horário. Ao correr o equivalente a um ângulo de 130°, ele estará entre os pontos: a)A e B b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C 9-Um móvel, partindo da origem dos arcos percorreu um arco de - 4250°. a)Quantas voltas completas ele deu? b)Em qual quadrante ele parou? c)Qual a 1ª determinação positiva? 10-Qual a questão que você mais gostou de resolver? O Teste 1 (B) possui as mesmas características que o Teste 1(A) anteriormente comentado, com análises análogas.
64 4.5.2 Teste 2 Para a verificação da aprendizagem do conteúdo pensou-se em dois tipos testes, chamados de Teste 2 (A) e Teste 2(B). Teste 2 (A) 1-Marque os ângulos de 35°, 72°, 120°, 100°, 200°, 250°, 280° e 320°, no círculo trigonométrico: Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <, de forma que cada sentença seja verdadeira: a)sen 35° ______sen72° c)cos250° ______cos200° b)cos 280°______cos320° d)sen120°______sen100° 2-Sabendo que o ângulo x vale determine o valor da expressão: sen(6x) – cos(12x) 3- Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos notáveis: 4-Determine o sinal da expressão: x x 5- 1560° é um ângulo bem maior que 360°. a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico, em que quadrante ele pára? b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou, o valor do sen1560° vale: a) positivo b) negativo c) negativo d)positivo e) positivo 6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você aprendeu, encontre os valores abaixo: a)sen135°: b)cos240° c)sen300°
65 Teste 2 (A) (Continuação) 7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica: Esta função possui certas características. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso) para as sentenças abaixo, conforme elas pertençam ou não a esta função. a)( )Esta função é uma função par. b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a e de a 2π; e é decrescente no intervalo de . c)( )Esta função é uma função ímpar d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π; e decrescente no intervalo de 0 a π. e)( )este gráfico é da função y = senx. f)( )este gráfico é da função y = cosx. 8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo: I.Qual o seu domínio?__________ II-Qual a sua imagem?_________ III-Qual o seu período?_________ IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico: a)y= cosx b)y= 2cosx c)y= cos d)y= senx e)y= sen 9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique. π 5 6 7 8 – – 2 – 3 1 – 1
66 Orientações/ Sugestões Esta segunda Atividade Avaliativa é por nós chamada de Teste 2 (A). A primeira tarefa explora, como na Atividade Complementar 5, as relações entre senos e cossenos de alguns ângulos, inicialmente, oferecemos um círculo trigonométrico para que posicionem os ângulos e depois possam comparar se seus senos ou cossenos são maiores ou menores. As tarefas 2 e 3, como envolvem resolução de expressões já abordadas na Atividade Complementar 5, esperamos que os alunos sintam menos dificuldades ao resolvê-las. A tarefa 4 consideramos simples, pois solicita apenas o sinal da expressão envolvendo senos e cossenos de alguns ângulos, visto que não é necessário saber os valores de seno e de cosseno dos ângulos. As tarefas 5 e 6 abordam as reduções ao primeiro quadrante, diferindo apenas pelo fato de que a tarefa 5 oferece um ângulo maior que 360°. As tarefas 7 e 8 referem-se aos gráficos das funções seno e cosseno, pedindo que os alunos analisem os gráficos prontos, que apresentam mais de um período em seus desenhos, para depois destacarem suas características. A tarefa 7 apresenta sentenças prontas, pedindo a associação de V, para sentenças verdadeiras em relação ao gráfico dado, e F, em relação a sentenças falsas em relação ao gráfico dado. A tarefa 8, um pouco mais complexa, pede informações acerca do domínio, imagem, período e da função algébrica relacionada ao gráfico dado. A tarefa 9 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de resolver, na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida.
67 Teste 2 (B) 1-Marque os ângulos de 35°, 72°, 120°, 100°, 200°, 250°, 280° e 320°, no círculo trigonométrico: Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <, de forma que cada sentença seja verdadeira: a)cos 35° ______cos72° c)sen250° ______sen200° b)sen 280°______sen320° d)cos120°______cos100° 2-Sabendo que o ângulo x vale determine o valor da expressão: sen(6x) – cos(3x) 3- Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos notáveis: 4-Determine o sinal da expressão: x x 5- 1560° é um ângulo bem maior que 360°. a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico, em que quadrante ele pára? b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou, o valor do cos1560° vale: a) positivo b) negativo c) negativo d)positivo e) positivo 6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você aprendeu, encontre os valores abaixo: a)cos135°: b)sen240° c)cos300°
68 Teste 2 (B) (Continuação) 7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica: Esta função possui certas características. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso) para as sentenças abaixo, conforme elas pertençam ou não a esta função. a)( )Esta função é uma função par. b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a e de a 2π; e é decrescente no intervalo de . c)( )Esta função é uma função ímpar d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π; e decrescente no intervalo de 0 a π. e)( )este gráfico é da função y = senx. f)( )este gráfico é da função y = cosx. 8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo: I.Qual o seu domínio?__________ II-Qual a sua imagem?_________ III-Qual o seu período?_________ IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico: a)y= senx b)y= sen2x c)y= 2senx d)y= cosx e)y= 2cosx 9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique. O Teste 2 (B) possui as mesmas características que o Teste 2 (A) anteriormente comentado, com análises análogas. 2 – 2 – π π 2π 3π 4π – 2π
69 4.5.3 Questionário Avaliação das atividades integrantes do projeto de modelação em trigonometria- questionário 1-O que você achou das atividades que envolveram as medições em sala de aula, utilizando trena, esquadros, transferidor e canudo? (Descreva todas as suas impressões, com detalhes) 2-Destaque os pontos positivos e negativos do trabalho realizado durante as medições em sala de aula; 3-O que você achou do trabalho sobre a trigonometria das construções da cidade? (Descreva todas as suas impressões, com detalhes) 4-Destaque pontos positivos e negativos durante a execução do projeto: Trigonometria das construções da cidade; 5-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas em sala, efetuando as medições, e do projeto? 6-O que você achou das atividades realizadas com applets na sala de informática? (Descreva todas as suas impressões, com detalhes) 7-Destaque pontos positivos e negativos do trabalho realizado na sala de informática com o uso dos applets. 8-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas na sala de informática? Orientações/ Sugestões O Questionário avaliativo pretende analisar todo o percurso da sequência didática. As perguntas 1 e 2 referem-se às Atividades 1 e 2 aplicadas em sala de aula, em que os alunos efetuavam medições, utilizando materiais concretos e tinham que encontrar a altura da parede da sala de aula e/ou um ângulo de inclinação. Estas perguntas visam perceber quais impressões os alunos tiveram dessa forma de abordagem. As perguntas 3 e 4 pretendem avaliar o projeto que relacionava os conhecimentos trigonométricos aprendidos em sala de aula com as construções existentes na cidade. Objetivamos saber que impactos este trabalho teve na concepção dos alunos. As perguntas 6 e 7 referem-se às atividades realizadas na sala de informática e analisam como estas atividades influenciaram a visão dos alunos sobre sua aprendizagem utilizando esse recurso. As perguntas 5 e 8 pedem aos alunos sugestões para posteriores melhorias nas atividades, visamos aproveitar o envolvimento dos alunos para enriquecer estas atividades.
70 4.5.4 Feira de Matemática Ao final da aplicação da sequência didática uma Feira de Matemática pode ser proposta. Como um instrumento avaliativo, visa apresentar à comunidade escolar os resultados obtidos pelos alunos no desenvolvimento do projeto do bloco 2. Com o uso da pesquisa realizada durante o projeto pode-se sugerir que os alunos elaborem desafios, problemas associados aos dados coletados e maquetes, obedecendo a uma determinada escala, acerca das construções escolhidas.
71 5 UMA PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA Para implementar a sequência apresentamos uma proposta, desenvolvida num conjunto de 18 aulas3, distribuídas ao longo de 5 semanas, num regime de 4 aulas semanais. Na última aula de aplicação da sequência, pode ser proposto o questionário para que os alunos avaliem a sequência de atividades. A possibilidade de uma Feira de Matemática pode ocorrer após o término da aplicação da sequência. O Quadro 2 apresenta uma possibilidade de desenvolvimento da sequência didática de forma sintética, apresenta o tipo de atividades, objetivos e como o trabalho poderia ser desenvolvido junto aos alunos; Atividades Objetivos Tempo Disposição Preparatória A Casa Recuperar os conhecimentos anteriores dos alunos acerca de triângulos: classificação quanto aos lados, ângulos, soma dos ângulos de seus ângulos internos. 1h/a Dupla Preparatória B Casa Explorar a planta baixa de uma casa e os conceitos nela inseridos: escala, perímetro e área de retângulos. Estimular a observação e o manejo de plantas baixas, bem como o uso instrumentos de medida. 1h/a Dupla Atividade 1 Sala Aula 1 Mobilizar conhecimentos sobre semelhança de triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula, dispondo de régua, esquadro e canudo de refrigerante. 1h/a Grupos de 4 a 6 pessoas Complementar 1 Casa Atividades de fixação com semelhança de triângulos para verificar a invariância das relações. 1h/a Dupla Atividade 2 Sala Aula 2 Encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a distância até ela, dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante. 1h/a Grupos de 4 a 6 pessoas Complementar 2 Casa Formalizar a definição das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e explorar estas relações em triângulos variados, em posições diversas; Explorar relações fundamentais na trigonometria. 1h/a Dupla Sala Aula 3 Sistematização e socialização das atividades 1 e 2 (correção, comentários e formalização dos conceitos). 1h/a Individual Desafio Casa Conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de triângulos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Pitágoras; Explorar o telhado e sua inclinação a partir de sua planta. 1h/a Dupla Sala Aula 4 Discutir o desafio e explicar o projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. 1 h/a Individual 3 Para aulas em laboratório de informática pode ser necessário dividir a turma em dois grupos, para evitar tumulto e permitir aproveitar melhor as potencialidades das atividades. Um desses grupos poderá realizar as atividades em 4 aulas extraturno.
72 Quadro 2 (Continuação) Atividades Objetivos Tempo Disposição Projeto Casa Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. Selecionar, junto aos alunos, construções que eles achavam interessantes na cidade e delas extrair a trigonometria presente: telhados, escadas, rampas,etc. 8h/a Grupos de 4 a 6 pessoas Atividade 3 Sala Aula 5 Escolher e resolver três problemas aplicados, que abordem razões trigonométricas diferentes, a partir de uma lista de problemas aplicados retirados de livros didáticos. 1h/a Dupla Complementar 3 Casa Pedir aos alunos que elaborem exercícios a partir de situações práticas que envolvam razões trigonométricas no triângulo retângulo. 1h/a Dupla Sala Aula 6 Retomar a atividade de casa; Introduzir o conceito de circunferência, visualizando nela outro campo para o estudo de ângulos e razões trigonométricas; Introduzir o conceito de radiano e conversões de unidade de arcos; Formalizar conceitos de comprimento de arco e de circunferência. 1h/a Dupla Atividade 4 Sala Aula 7 Fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco orientado, o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência; Explorar noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa. 1h/a Dupla Complementar 4 Casa Explorar o conceito de comprimento de circunferência e comprimento de arcos. 1h/a Dupla Teste-Sala Aula 8 Verificação de aprendizagem do conteúdo trabalhado. 1h/a Individual Atividade 5 Sala de informática Aula 9 Perceber o que ocorre com os valores de seno, cosseno e tangente quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo trigonométrico; Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno, cosseno ou tangente; Identificar os eixos correspondentes às funções seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico. 1h/a Duplas Complementar 5 Casa Atividades de fixação dos conceitos abordados na atividade com recurso computacional. 1h/a Dupla Atividade 6 Sala de informática Aula 10 Observar como são formados os gráficos das funções seno, cosseno e tangente, à medida que completamos uma volta na circunferência; Reconhecer o que é uma função periódica, avaliando se as funções trigonométricas citadas são ou não periódicas, podendo identificar tal período. 1h/a Duplas Complementar 6 Casa Desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo plano cartesiano, para facilitar a descoberta da defasagem entre as funções. Destacar características dos gráficos e funções trigonométricas, associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras áreas de conhecimento. 2h/a Dupla
73 Quadro 2 (Continuação) Atividades Objetivos Tempo Disposição Sala Aula 11 Sistematização e retomada das atividades 5 e 6 da sala de informática Construção de gráficos das funções seno e cosseno em papel quadriculado; 1h/a individual Sala Aula 12 Apresentação dos resultados do projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade. Mostra de pôster. 1h/a Grupos de 4 a 6 pessoas Atividade 7 Sala de informática Aula 13 Analisar as situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical, horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução ao 1º quadrante, considerando o quadrante em que os ângulos se encontram. 1h/a Duplas Complementar 7 Casa Atividades de fixação dos conceitos sobre redução ao primeiro quadrante, abordados na atividade com recurso computacional. 1h/a Dupla Sala Aula 14 Retomada das atividades 7 e complementar 7, sistematização e fixação. Individual Teste Aula 15 Verificação de aprendizagem dos conteúdos abordados. 1h/a Individual Sala Aula 16 Aula expositiva: Identidades trigonométricas, relações fundamentais e outras funções trigonométricas. 1h/a Individual Atividade 8 Sala de informática Aula 17 Perceber relações de complementaridade entre ângulos e como isso afeta os valores de seno e de cosseno de arcos num mesmo quadrante; Explorar as fórmulas de soma e subtração de ângulos através de abordagem geométrica em software dinâmico. 1h/a Dupla Complementar 8 Casa Fixar as idéias sobre complementaridade de ângulos e sua influência sobre os valores de seno e cosseno; Fixar as fórmulas de soma e diferença de ângulos; Permitir aos alunos a recriação de alguns modelos algébricos abstratos clássicos em trigonometria. 1h/a Dupla Sala Aula 18 Retomada e sistematização da atividade complementar 8. Questionário de avaliação dos alunos. 1h/a Individual Feira de Matemática Expor os resultados do projeto para a comunidade escolar, apresentando modelos representativos das construções estudadas a luz da matemática e desafios elaborados a partir de dados obtidos ao longo do desenvolvimento do projeto. 4h/a Grupo 4 a 6 pessoas Quadro 2: Implementação da sequência de atividades Fonte: Dados da pesquisa Propomos algumas recomendações acerca da aplicação da sequência didática. Na primeira aula da aplicação da sequência, pode-se apresentar a proposta, proceder à divisão dos grupos, conforme a necessidade de cada atividade. Todas as atividades, tanto de sala quanto complementares, podem ser feitas em duas vias: ao grupo de alunos é entregue duas folhas, onde os alunos resolvem
74 os questionamentos colocando as observações que achem pertinentes. Ao terminar as atividades, uma folha é entregue à professora, a outra folha fica com o grupo que pode utilizá-la em momentos de discussão e socialização de descobertas e como parte do conteúdo escolar. O primeiro bloco de atividades retoma alguns conceitos como: Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras, triângulos e escala. Consistindo de duas atividades preparatórias A e B, que são propostas para serem resolvidas em casa e socializadas em sala de aula, momento em que o conteúdo nelas abordado é sistematizado. Sugerimos ao professor que faça um estudo sobre os assuntos mencionados para melhor orientar os alunos. Para realizar a Atividade Preparatória B, será necessário o uso da planta baixa de uma casa (ANEXO A), sugerimos imprimi-la em papel tamanho A3, que oferece melhor visualização. O segundo bloco de atividades se refere à Trigonometria no triângulo retângulo. Conta com atividades diversificadas: duas a serem realizadas em grupos, nas quais os alunos necessitam medir alturas de paredes, sem delas se aproximar, utilizando alguns materiais concretos. Uma em que os alunos escolhem, entre vários problemas aplicados de trigonometria, retirados de livros didáticos, três para serem resolvidos e depois elaborem seus próprios problemas aplicados. Um desafio com a planta de uma casa em que os alunos analisam a inclinação do telhado nela representado, empregando conceitos de escala e associando o telhado a modelos abstratos. E o projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade. No qual os alunos são estimulados a enxergar a trigonometria nas construções da cidade. Os alunos listam construções que eles consideram interessantes; a partir da enumeração dessas construções, os alunos são divididos em grupos de até 6 pessoas cada um, cada grupo analisa uma das construções enumeradas. Os alunos têm que fotografar a construção e desenhar um croqui, utilizando um modelo matemático que expresse a construção fotografada, numa escala de 1:50, informando nesse desenho as medidas correspondentes e destacando a trigonometria presente, com cálculos, descrições, desenhos auxiliares ou o que o grupo achar necessário para expressar suas conclusões. O trabalho é entregue em duas vias: uma escrita em folha A4 e uma em forma de pôster, em papel AG, para apreciação da comunidade escolar. Antes da aplicação das atividades do terceiro bloco, são introduzidos conceitos como: circunferência, comprimento de circunferência, ângulos medidos em
75 graus e em radianos, arcos de circunferência, comprimento de arcos de circunferência, círculo trigonométrico orientado. Após essas considerações, as atividades do bloco três são aplicadas como atividades de fixação necessárias para a estruturação do conteúdo. Abordam a transição da trigonometria do triângulo retângulo para o círculo trigonométrico. O quarto bloco contempla a trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano, desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus gráficos no plano cartesiano; reduções ao primeiro quadrante, relações de complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. Estas atividades utilizam recursos computacionais, explorando a manipulação de applets. A sistematização das atividades em sala e complementares ocorre nas aulas posteriores à atividade em laboratórios de informática. Sugerimos ao professor fazer um estudo preliminar acerca dos applets que pretende utilizar para melhor orientar os alunos e aproveitar as potencialidades do recurso, contornando possíveis limitações. Durante o desenvolvimento da sequência didática, são previstos dois testes, para verificação da aprendizagem do conteúdo ministrado. Ao final da sequência, é aplicado aos alunos um questionário, para que os próprios registrem suas impressões acerca da sequência didática. O questionário é analisado de forma a indicar os pontos positivos e negativos, destacados pelos alunos, da aplicação da sequência e da forma como as atividades foram conduzidas. Finalizando a sequência, uma Feira de Matemática pode ser proposta na qual os resultados obtidos no projeto: Enxergando e Modelando a trigonometria das construções, podem ser apresentados à comunidade escolar sob a forma de desafios, problemas aplicados elaborados a partir dos dados coletados e maquetes das construções pesquisadas.
76 REFERÊNCIAS AIMI, Silvia. Contribuições das tecnologias da informação e comunicação ao processo de generalização matemática. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 14, 2010, Campo Grande. Anais... Campo Grande, 2010. Disponível em: < http://ebrapem.mat.br/inscricoes/trabalhos/GT06_Aimi_TA.pdf>. Acesso em: 31 out. 2010. ALMEIDA, Lourdes Maria Werle; FERRUZZI, Elaine Cristina. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria, Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p.117-134, jul.2009. Disponível em: < http://www.ppgect.ufsc.br/alexandriarevista/numero_2_2009/lourdes.pdf>. Acesso em: 30 out. 2010. ARAÚJO, Jussara de Loiola. Uma abordagem sócio-crítica da modelagem matemática: a perspectiva da educação matemática crítica. Alexandria, Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p.55-68, jul.2009. Disponível em: < http://www.ppgect.ufsc.br/alexandriarevista/numero_2_2009/jussara.pdf>. Acesso em: 30 out. 2010. BARBIERI, Daniela Donisete; BURAK, Dionísio. Modelagem matemática e suas implicações para a “aprendizagem significativa”. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 4, 2005, Feira de Santana. Anais ... Feira de Santana, 2005. Disponível em: < http://www.inf.unioeste.br/~rogerio/MM-Aprendizagem-Cognitiva.pdf>. Acesso em: 30 out. 2010. BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem na educação matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, Caxambu, 2001. Anais... Caxambu, 2001. Disponível em: < http://www.anped.org.br/reunioes/24/tp1.htm#gt19> Acesso em: 24 abr. 2011. BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 2009. 389p. BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 4.ed. São Paulo: Contexto, 2007. 127p.
77 ERNEST, Paul. Investigações, Resolução de Problemas e Pedagogia; In: ABRANTES, P.; LEAL, L.C.; PONTE, J.P.(Eds.). Investigar para aprender matemática, Lisboa: Projecto MPT e APM, 1996, p.25-48. FRANCHI, Regina H. de Oliveira Lino. Ambientes de aprendizagem fundamentados na modelagem matemática e na informática como possibilidades para a educação matemática. In: BARBOSA, Jonei C.; CALDEIRA, Ademir D.; ARAÚJO, Jussara L. (orgs.). Modelagem matemática na educação matemática brasileira: pesquisas e práticas educacionais. v.3. Recife: SBEM, 2007. Cap. 1, p.177-193 FREITAS, Wanderley Sebastião. A modelagem matemática e suas concepções. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10, 2010, Salvador. Anais... Salvador, 2010. Disponível em:< http://www.moodle.ufba.br/file.php/11468/Modelagem_Matem_tica/MR22_Freitas.pdf> Acesso em: 30 out. 2010. KAISER, G.; SRIRAMAN, B. A global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, v. 38, n.3, p. 302-310, 2006. KATO, Lílian Akemi et al. Situações matemáticas sob o olhar da modelagem matemática, resolução de problemas e investigação. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10, 2010, Salvador. Anais... Salvador, 2010. KFOURI, William; D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Explorar e investigar para aprender matemática através da modelagem matemática. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES EM PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA, 10, 2006, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte, 2006. Disponível em:<http://www.fae.ufmg.br/ebrapem/completos/09-02.pdf>. Acesso em: 19 jan. 2011. LINDEGGER, Luiz Roberto de Moura. Construindo os conceitos básicos da trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de modelos. 2000. 212f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/luiz_lindegger.pdf>. Acesso em: 01 jan. 2010. LOSS, Gabriel Schneider; BIEMBENGUT, Maria Salett. Inteiração do professor com modelagem matemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10, 2010, Salvador. Anais... Salvador, 2010.
78 PONTE, João Pedro.; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006. QUINLAN, Cyril. Sparking interest in trigonometry. Australian Mathematics Teacher, Australian Association of Mathematics Teachers (AAMT), Australia, v.60, n.3, p.17-20, 2004. Disponível em: < http://www.eric.ed.gov/PDFS/EJ717841.pdf>. Acesso em: 29 out. 2010. RIBEIRO, Adriana Ramires; BITTAR, Marilena. O uso do computador nas práticas pedagógicas de professores de matemática que atuam como professor de tecnologia. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE ESTUDANTES DE PÓS- GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 14, 2010, Campo Grande. Anais... Campo Grande, 2010. Disponível em: < http://ebrapem.mat.br/inscricoes/trabalhos/GT06_RIBEIRO_TA.pdf>. Acesso em: 31 out. 2010. RICHIT, Adriana; MALTEMPI, Marcus Vinícius. Desafios e possibilidades do trabalho com projetos e com tecnologias na licenciatura em matemática. Zetetiké, FE, Unicamp, v. 18, n. 33, p. 15-41, jan./jun. 2010. Disponível em: < http://www.fae.unicamp.br/zetetike/viewarticle.php?id=474>. Acesso em: 19 jan. 2011. RIPARDO, Ronaldo B.; OLIVEIRA, Marcelo de S.; SILVA, Francisco H. da. Modelagem matemática e pedagogia de projetos: aspectos comuns. Alexandria, Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p.87-116, jul.2009. Disponível em: < http://www.ppgect.ufsc.br/alexandriarevista/numero_2_2009/ronaldoripardo.pdf>. Acesso em: 30 out. 2010. SANTOS, Lozicler Maria Moro dos; BISOGNIN, Vanilde. Experiências de ensino por meio da modelagem matemática na educação fundamental. In: BARBOSA, Jonei C.; CALDEIRA, Ademir D.; ARAÚJO, Jussara L. (orgs.). Modelagem matemática na educação matemática brasileira: pesquisas e práticas educacionais. v.3. Recife: SBEM, 2007. Cap. 1, p 99-114 SANTOS, Victor Cesar Paixão. Mathlets: possibilidades e potencialidades para uma abordagem dinâmica e questionadora no ensino de Matemática. 2008. 102f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. SILVA, Marlizete Franco da. Trigonometria, modelagem e tecnologias: um estudo sobre uma sequência didática. 2011. 236f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte.
79 SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. 3 volumes, São Paulo: Saraiva, 2005. SOUZA, Ana Paula Gestoso de; OLIVEIRA, Rosa Maria Moraes Anunciato de. Leitura, escrita e matemática: a apropriação de conhecimentos e a receptividade de alunos da 4ª série do ensino fundamental. Zetetiké, FE, Unicamp, v.18, n. 33, p. 173-209, jan./jun. 2010. Disponível em: < http://www.fae.unicamp.br/zetetike/viewarticle.php?id=481> Acesso em: 19 jan.2011. SPINILLO, A. G. e MAGINA, S. Alguns mitos sobre a Educação Matemática e suas conseqüências para o Ensino Fundamental. In PAVANELLO, Regina. Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: a pesquisa e a sala de aula. São Paulo: SBEM, 2004. Disponível em: <http://www.escolabr.com/virtual/wiki/index.php?title=%22Alguns_'mitos'_sobre_a_educa%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica_e_suas_conseq%C3%BC%C3%AAncias_para_o_Ensino_Fundamental%22>. Acesso em: 25 jan.2011. VALENTE, José Armando. Diferentes usos do computador na educação. In: VALENTE, J.A.. (Org.). Computadores e Conhecimento: repensando a Educação. 1ª Ed. Campinas: Gráfica Central da UNICAMP, 1999, v. 1, p.1-28 Disponível em: < http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/publicacao_detalhes.php?id=50>. Acesso em: 19 jan. 2011.
80 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados 1-(IMENES, LELLIS, 2009, p.165) Numa indústria, deseja-se construir uma rampa de comprimento c para vencer um desnível de 2,3m. O ângulo de inclinação da rampa deve ter 20°. Qual deve ser o comprimento c da rampa, sabendo que o ângulo de i = 20°, possui razões trigonométricas iguais a: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20° = 0,36. 2-(IMENES, LELLIS, 2009, p. 168) Para instalar um teleférico, os engenheiros mediram o ângulo  e o desnível entre os pontos A e B. Sabendo que sen35° = 0,57; cos35°= 0,82; tg 35°= 0,70. Calcule a medida de AB, segmento que representa a medida do cabo do teleférico a ser instalado. 3-(IMENES, LELLIS, 2009, p.164, modificado) Um rapaz observa um poste de uma determinada rua utilizando um transferidor e um canudo de refrigerante. O ângulo de inclinação sob o qual o rapaz vê o ponto mais alto do poste em relação à horizontal é de 15°. Considerando que este rapaz possui 1,5m de altura e que está a 22, 3 m do poste, qual é a altura aproximada do poste? (Dados: sen15° = 0,26; cos15°=0,97; tg 15° = 0,27) 4-(IMENES, LELLIS, 2009, p.277) Qual é a altura aproximada da torre? (Dados: sen35° = 0,57; cos35°= 0,82; tg 35°=0,70) 5-(IMENES, LELLIS, 2009, p.277) Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira? (Dados: sen 25°= 0,42; cos25°= 0,91; tg 25°= 0,47) x
81 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 6-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.323) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em m? (Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73) 7-(FERREIRA, 2001, p. 9) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 30° com uma das margens. Calcule a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio. (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87; tg30°= 0,58) 8-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324)Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20°. Após percorrer 2000m em linha reta, a altura atingida pelo avião será de, aproximadamente: (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20°= 0,36) a)728m b)1880m c)1000m d)1720m e)684m 9-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324) Na situação do mapa abaixo, deseja-e construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC. Essa estrada medirá: (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87; tg30°= 0,58) a)15km b)20km c)25km d)30km e)40km 10-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324) A fim de medir a largura de um rio, num certo local, adotou-se o seguinte procedimento: marcou-se um ponto B numa margem; 30m à direita marcou-se um ponto C, de tal forma que AB seja perpendicular a BC, e do ponto C mediu-se o ângulo BCA, encontrando-se 30°. Dessa forma, concluiu-se que a largura AB do rio é: (Dados: sen30°= ; cos30°= ; tg30°= ) a)m b)m c)5m d)10m e)50m 11-(IEZZI et al, 2002, p. 220) Observe a figura abaixo e determine a altura h do edifício, sabendo que AB mede 25m e senθ= 0,8; cosθ = 0,6; tgθ= 1,3. a)h= 22,5m b)h= 15m c)h= 18,5m d)h= 20m
82 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 12-(RUBIÓ, FREITAS, 2005, p.209) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no topo de um muro, em terreno plano. Ela faz ângulo de 40° com o solo. Obtenha a altura do muro e a distância do pé da escada à base do muro. (Dados: sen40°= 0,64; cos40°= 0,77; tg40°= 0,84) 13-( IMENES, LELLIS, 2009, p. 165, modificado) Para conhecer a largura de um rio o esquema abaixo ilustrado foi montado. Sabendo que sen63° = 0,89; cos63° = 0,45; tg63°= 1,96; calcule a largura aproximada do rio? 14-(IMENES, LELLIS, 2009, p. 292) Em certo momento do dia, um poste de 5m de altura projeta uma sombra de 1,8m. De acordo com a tabela, qual é, aproximadamente, o ângulo de inclinação do Sol nesse momento? a)68° b)69° c)70° d)71° e)n.d.a. Seno Cosseno Tangente 68° 0,92 0,37 2,4 69° 0,93 0,35 2,6 70° 0,94 0,34 2,7 71° 0,95 0,32 2,9 15-(IMENES; LELLIS, 2009, p.308)Na tarde em que Cícero foi pela primeira vez ao cinema, encantou-se com a grande tela da sala de projeção. O garoto ficou em pé a 15m da tela, com os olhos a 1,20m do piso horizontal, conforme mostra a figura. Nessa posição, Cícero via o ponto mais baixo da tela na altura AB de seus olhos e o ponto mais alto sob um ângulo de 30°. Qual é, aproximadamente, a altura AB da tela? (Dados: sen30°= ; cos30°= ; tg30°= ; = 1,7) 16-(FERREIRA, 2001, p. 10, modificado) Uma pessoa de 1,70m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo 40°. Conhecendo a distância de 6m do observador até a árvore, determinar a altura da árvore. (Dados: sen40°= 0,64; cos40°= 0,77; tg40°= 0,84) 17-(RUBIÓ; FREITAS, 2005, p.210) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20° com a horizontal. Após percorrer 1 km em linha reta, em que altitude ele estará? (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20° = 0,36)
83 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 18-(RUBIÓ; FREITAS, 2005, p.210) Um carro sobe uma ladeira de inclinação constante, que faz ângulo de 15° em relação à horizontal. Quantos metros ele terá percorrido sobre a rampa, quando a elevação vertical for de 20m? (Dados: sen15° = 0,26; cos 15°=0,97; tg 15° = 0,27) 19-(DANTE, 2005, p. 198) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10° em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? (Dados: sen10° = 0,17; cos10° = 0,98; tg10°= 0,18) 20-(SMOLE, DINIZ, 2005, p. 281) Observe o desenho. O vento conserva o fio esticado formando um ângulo de 60° com a horizontal. Quando se desenrolam 70m de fio, a que altura fica a pipa? (As mãos do menino estão a 1,80m do chão, aproximadamente.) (Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73) 21-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.320) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? (dados: sen15°= 0,26; cos15°= 0,97; tg15° = 0,27) 22-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.321) Uma torre vertical de altura 12m é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determinar a distância x.(Dados: sen30°= 0,5, cos30°= 0,87, tg30° = 0,58.) 23-(DANTE, 2005, p. 197) Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45 m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60°. A que distância o barco está da plataforma? (Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73)
84 APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados (Continuação) 24-(DANTE, 2005, p. 198)Queremos saber a largura l de um rio sem atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo: *marcamos dois pontos, A(uma estaca) e B(uma árvore), um em cada margem; *marcamos um ponto C, distante 8m de A, onde fixamos o aparelho de medir ângulos (teodolito), de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto; *obtemos uma medida de 70° para o ângulo ACB. Nessas condições, qual a largura l do rio? (Dados: sen70°= 0,94; cos70° = 0,34; tg70° = 2,75) 25-(IMENES, LELLIS, 2009, 277) Num certo instante, um muro de 1,82m de altura projeta uma sombra de 6,80m de largura. Qual é, nesse instante, a medida aproximada do ângulo ê de elevação do Sol? 26-(DANTE, 2005, p. 199) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada em uma ilha, avista-se um ponto da praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre.) (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87; tg30°= 0,58) 27-(DANTE, 2005, p. 199) Um avião levanta vôo em A e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen15°= 0,26; cos15°= 0,97; tg15°= 0,27) 28-(FERREIRA, 2001, p. 9) Um poste na vertical de 4m de altura projeta uma sombra de 4 m sobre o solo. Qual a inclinação dos raios luminosos que originaram a sombra?
85 ANEXO A – Planta baixa de uma casa