1. 1
Programa Doutoral :: ISPA – Instituto Universitário
Técnicas de Análise de Dados II
JOÃO MAROCO, Ph.D.
4. jpmaroco@ispa.pt
Modelos Lineares Estruturais
Fundamentos teóricos
4.1. Introdução
4.2. Variáveis manifestas e variáveis latentes
4.3. O modelo de Equações Estruturais
4.4. Estratégia de Análise de Equações Estruturais
4.5. Pressupostos do modelo de Equações Estruturais
4.6. Problemas com o ajustamento do modelo

2. 2
4.1. Introdução
Análise de Equações Estruturais (Structural Equation Modelling):
• Extensão dos modelos GLM;
• Técnica de modelação generalizada (modelos teóricos sobre a forma como diferentes variáveis
latentes ou constructos são operacionalizados e como estes estão relacionados entre si)
• Permitem considerar erros de medida de forma explicita
Em termos simplistas:
AEE
=
Análise Factorial
(define modelo de medida)
+
Regressão linear
(define modelo estrutural)

3. 3
4.1. Introdução
Análise de Equações Estruturais (Structural Equation Modelling):
Porém o racional das AMEE é diferente do racional da Estatística clássica:
Estatística Clássica: AMEE:
Teoria
Teoria Dados Teoria
Dados Teoria
Teoria
1. Qual o modelo que descreve os dados 1. Poderá este modelo explicar/gerar os
observados? Método Exploratório dados observados? Método Confirmatório
2. Dados levam à dedução de Teorias 2. A teoria é o “motor” do processo
3. Novos dados, novas teorias 3. Teorias diferentes podem ser testadas por
formalização e avaliação de modelos
distintos

4. 4
4.1. Introdução
Porquê é que a Análise de Equações Estruturais é, actualmente, tão popular?
Luke, D. A. (2005) Getting the Big Picture in Community
Science: Methods That Capture Context. American
Journal of Community Science. 35(3/4): 185-200
Marôco, J. (2010) Análise de Equações Estruturais:
Fundamentos teóricos, Software & Aplicações.
ReportNumber. Pêro Pinheiro.

5. 5
4.1. Introdução
Porquê é que a Análise de Equações Estruturais é, actualmente, tão popular?
1. Nem todas as variáveis envolvidas num determinado ‘acontecimento’ são manifestas, i.e.
observáveis ou manipuláveis directamente.
• Variáveis Latentes: Não são directamente mensuráveis. Só se observam as suas
manifestações;
• Validade e fiabilidade de variáveis latentes (erros-nas-variáveis) limita conclusões sobre relações
estruturais
• Métodos clássicos de análise não consideram os ‘erros-nas-variáveis’.
2. Acréscimo da complexidade dos modelos teóricos capazes de explicar um determinado
acontecimento
• Múltiplas variáveis manifestas e variáveis latentes;
• Diferenças entre grupos e efeitos hierárquicos, de interacção, mediação, etc…
• AEE permite testar ajustamento global de modelos e significância individual de parâmetros num
enquadramento teórico que engloba vários tipos de modelos lineares.
3. Software para AEE de fácil utilização:
• <1993: LisRel exigia o domínio de uma linguagem de programação própria assente em
notação matricial e no alfabeto grego.
• AMOS, EQS, LisREL: Ambiente Windows; especificação visual do modelo

6. 6
4.2. Variáveis em A.E.E.
As variáveis nos modelos de equações estruturais são de dois tipos:
1. Variáveis manifestas ou variáveis observadas:
São variáveis medidas, manipuladas ou observadas directamente.
2. Variáveis latentes, Factores ou Constructos:
São variáveis não directamente observáveis ou mensuráveis, sendo a sua ‘existência’
indicada pela sua manifestação em variáveis indicadoras ou manifestas.
As variáveis (quer latentes quer manifestas) podem ser independentes ou dependentes:
1. Variáveis Independentes ou v. exógenas:
as causas destas variáveis residem fora do modelo, i.e. não são influenciadas por nenhuma
outra variável no modelo.
2. Variáveis Dependentes ou v. endógenas:
as causas da variação destas variáveis residem no modelo, i.e. a variação destas variáveis é
explicada por variáveis presentes no modelo.

7. 7
4.3. O modelo de equações estruturais
Um modelo de equações estruturais apresenta geralmente duas componentes:
1. Modelo de Medida : define a forma como os constructos hipotéticos ou variáveis latentes são
operacionalizados pelas variáveis observadas ou manifestas
2. Modelo Estrutural : define as relações causais ou de associação entre as variáveis latentes
Formalmente (modelo LISREL: Linear Structural Relationships), para uma amostra, as variáveis
centradas podem ser modeladas:
Modelo de Medida: Modelo Estrutural:
v.d.: y = Ly h + e h = B h + Gx + z
v.i.: x = Lx x + d
assumindo que (pressupostos):
a. e e h são independentes
b. d e x são independentes
c. z e x são independentes
d. z, e e d são mutuamente independentes
e. Os valores esperados dos erros é 0.
f. Bii=0 (uma v.d. não é causa e efeito dela mesmo) e (I-B) é não singular (i.e. tem inversa)

8. 8
4.3. O modelo de equações estruturais
Modelo de Equações Estruturais y Vector px1 das p v. dependentes ou de resposta
manifestas
y = Ly h + e
Modelo Medida x Vector qx1 das q v. independentes ou preditoras
x = Lx x + d
h Vector rx1 das r v. latentes dependentes ou
h = B h + Gx + z Modelo estrutural
(eta) endógenas
Onde: x Vector sx1 das s v. latentes independentes ou
(csi) exógenas
éy ù éx ù éh ù éx ù ée ù
ê 1ú ê 1ú ê 1ú ê 1ú ê 1ú
êy ú êx ú êh ú êx ú êe ú e Vector px1 dos erros de medida de y
y = êê 2 úú x = ê 2ú
êú h = êê 2 úú x = êê 2 úú e = êê 2 úú (epsilon)
êú ê ú êú êú êú
êy ú êx ú êh ú êx ú êe ú d Vector qx1 dos erros de medida de x
êë p úû êë q úû êë r úû êë s úû êë p úû (delta)
éd ù éz ù él l12  l1r ùú
ê 1ú ê 1ú ê 11 Ly Matriz pxr dos pesos da regressão de y em h
êd ú êz ú êl l22  l2r úú (lambda)
d = êê 2 úú z = êê 2 úú Ly = êê 21
ê     úú Lx Matriz qxs dos pesos da regressão de x em x
êú êú êl
êd ú êz ú êë p1 lp 2  lpr úú
êë q úû êë r úû û B Matriz rxr dos coeficientes de h no modelo
(beta) estrutural. bii=0
é0 b  b1r ùú ég g12  g1s ùú
ê 12 ê 11
êb G Matriz rxs dos coeficientes de x no modelo
0  b2r úú êg 0  g2s úú
B = êê 21 G= ê 21 (gamma) estrutural.
ê     úú ê 
ê    úú
êb z Vector rx1 dos r erros do modelo estrutural
êë r 1 br 2  0 úú êg
êë r 1 gr 2  grs úú (disturbances)
û û (zeta)

9. 9
4.3. O modelo de equações estruturais
As equações estruturais podem representar-se graficamente, por exemplo:
d1 x1 lx11
lx21 g11 ly11 y1 e1
d2 x2 x1 h1 ly21
lx 31 y2 e2
g21
d3 x3 z1
f12 b21 b12 y12 qe23
d4 x4 lx42 g12
z2
ly32 y3 e3
lx 52 h2
d5 x5 x2 ly42
lx62 g22 y4 e4
d6 x6
Neste modelo (Convenção):
- Variável latente (não observável directamente: factores; erros) (letras gregas)
- Variável manifesta (mensurável directamente: itens) (letras romanas)
- Relação causal (de causa para efeito). Os índices em subscrito são pela ordem v.d. v.i.
- Correlação (sem hipótese de causalidade)

10. 10
4.3. O modelo de equações estruturais
Formalmente as equações são:
Modelo de medida para x Modelo de medida para y Modelo estrutural
d1 x1 lx11 g11
x1
lx21 ly 11
y1 e1 h1
d2 x2 x1 h1 ly21 g21 z1
lx31 y2 e2 f12 b21 b12 y12
d3 x3 z2
qe23 g12
d4 x4 h2
lx42 x2
ly 32 y3 e3 g22
lx52 h2
d5 x5 x2 ly 42
lx 62
y4 e4 h1 = b12h2 + g11x1 + g12x2 + z1
d6 x6 h2 = b21h1 + g21x1 + g22x2 + z2
x
x 1 = l11x1 + d1 y
Variância-Covariância
y1 = l11h1 + e1 éf f ù éq e 0
x
x 2 = l21x1 + d2 ê 11 12 ú ê 11 0 0 ùú
y
y2 = l h + e2 F=ê ú ê
x
x 3 = l31x1 + d3 21 1
êëf21 f22 úû e ê 0 q22 q23
e e
0 úú
y
y 3 = l h + e3 Q =ê e e ú
x
x 4 = l42x2 + d4 32 2
éy ê 0 q32 q33 0ú
y
y 4 = l h + e4 y12 ùú ê e ú
x
x 5 = l52x2 + d5 42 2 Y = êê 11 ê0 0 0 q44 ú
êë y21 y22 úú ë û
x
x 6 = l62x2 + d6 û
Qd = diag éêq11, q22, , q66 ùú
d d e
ë û

11. 11
4.3. O modelo de equações estruturais
Os modelos de equações estruturais são classificados em duas classes:
A. Modelos Recursivos (mais frequentes): nenhuma variável é simultaneamente causa-e-efeito de
outra:
d1 x1 lx11
ly11 y1 e1
d2 x2 lx21 x1 g11 h1 ly21
lx31 y2 e2
d3 x3 g21 z1
h1 = g11x1 + g12x2 + z1
f12 b21 y12 qe23
d4 x4 z2 h2 = b21h1 + g21x1 + g22x2 + z2
lx42 g12 y3 e3
ly32
d5 x5 lx52 x2 h2
ly42 y e4
lx62 g22 4
d6 x6
B. Modelos não-recursivos: uma variável pode ser causa-e-efeito de outra (efeito de feedback):
d1 x1 lx11
ly11 y1 e1
d2 x2 lx21 x1 g11 h1 ly21
lx31 y2 e2
d3 x3 g21 z1 h1 = b12h2 + g11x1 + g12x2 + z1
f12 b21 b12 y12 qe23 h2 = b21h1 + g21x1 + g22x2 + z2
d4 x4 z2
lx42 g12 e3
ly32 y3
d5 x5 lx 52 x2 h2
ly42 y e4
lx62 g22 4
d6 x6

12. 12
4.3. O modelo de equações estruturais
Confuso? Vejamos um exemplo concreto:
Warren, White & Fuller (1974) estudaram 98 gestores de cooperativas agrícolas, estabelecendo um
modelo causal de performance em função de três constructos chave: Conhecimento, Valor e
Satisfação:
d1 C1
Conhecimento
d2 C2 z1
d5 V1 P1 e1
Valor Performance
d5 V2 P2 e2
d3 S1
Satisfação
d4 S2

13. 13
4.4. Estratégia de Análise de Eq. Estruturais
A Análise de Equações Estruturais desenrola-se, geralmente, nos seguintes passos:
Validação do
modelo Aceitação ou
Rejeição do
modelo
Estimação do
Modelo
Avaliação da
qualidade do
Recolha de Ajustamento
Dados Especificação e
identificação do
modelo
Elaboração do
modelo Teórico
TEORIA

14. 14
4.4.1. Especificação do modelo
“Desenho” formal do modelo, que reflecte, à priori, as hipóteses sobre o modelo de medida e
sobre o modelo estrutural:
d1 C1
Conhecimento
d2 C2 z1
d5 V1 P1 e1
Valor Performance
d5 V2 P2 e2
d3 S1
Satisfação
d4 S2
Decidir:
1. Que variáveis manifestas operacionalizam que variáveis latentes; erros correlacionados?
2. Que relações causais entre v. latentes e/ou v. manifestas devem ser incluídas / excluídas?
3. Que associações (não-causais) devem ser incluídas/omitidas do modelo?

15. 15
4.4.1. Especificação do modelo
d1 C1
Conhecimento
d2 C2 z1
d5 V1 P1 e1
Valor Performance
d5 V2 P2 e2
d3 S1
Satisfação
d4 S2
A inclusão/omissão de variáveis relevantes para explicar as relações de variâncias-covariâncias
entre as variáveis conduz a erros de especificação:
1. O modelo tem mais variáveis e ou relações entre variáveis do que aquelas que é possível
estimar pelos dados (matriz de variâncias-covariâncias das v. manifestas)
2. O modelo tem menos variáveis do que aquelas necessárias para explicar as verdadeiras
relações entre variáveis
Os erros de especificação podem impedir a obtenção de estimativas dos parâmetros
(problemas de identificação do modelo) ou pode produzir estimativas enviesadas dos
parâmetros do modelo (i.e. diferentes do valor real no verdadeiro modelo teórico).

16. 16
4.4.1. Especificação do modelo
A especificação do modelo é, segundo Cooley (1978) uma das etapas mais complexas da AEE.
Uma dificuldade comum é perceber o tipo de modelo de medida apropriado:
Modelos reflectivos: Modelos formativos:
As v. latentes ‘reflectem-se’ nos itens; As ‘v. latentes’ são ‘formadas’ pelas manifestas;
As v. latentes manifestam-se através das v. Os itens podem estar ou não correlacionados,
manifestas positivamente ou negativamente
Os itens devem estar correlacionados positivamente
e1
Português
Febre e1
Aptidão Matemática
Dores Musculares e2
Acesso
Gripe Universidade Biologia
Dores Garganta e3
Psicologia
Nariz congestionado e4
Cansaço e5 (Esta Aptidão de Acesso Univ. não é
verdadeiramente latente, já que é uma combinação
(estimáveis pelos modelos de Eq. Estruturais) de v. manifestas (média ponderada). Não é
estimável com AEE, mas sim com PLS)

17. 17
4.4.1. Especificação do modelo
Algumas ‘regras’ de especificação:
Modelo de Medida (AFC) Modelo Estrutural (RL)
1. Factores comuns latentes (x) causam as v. 1. As relações são ‘desenhadas’ de causa-
manifestas (x1,…,xi). O comportamento para-efeito
das v. manifestas resulta da manifestação 2. A variância da v. exógenas não explicada
dos factores latentes; pela combinação das v. endógenas é
2. A variância das v. manifestas (e.g. erros explicada por ‘erros’ (Disturbances ou
de medida) que não é explicada pelos Perturbações)
factores comuns latentes é explicado por
factores específicos latentes (e1,...,ei);
3. Os erros de medida são geralmente
Valor z1
independentes (mas podem estar
correlacionados indicando uma fonte de
variação comum dos itens não explicada Conhecimento Perfomance
pelos factores comuns presentes no
modelo).
Satisfação
P1 e1
Perform. P2 e2
P3 e3

18. 18
4.4.2. Identificação do modelo
Incluir conhecimento prévio sobre o valor dos parâmetros de forma a que o modelo global seja
ajustável aos dados recolhidos, i.e. que exista pelo menos uma estimativa única para cada
parâmetro do modelo.
Por exemplo, no modelo de medida da performance:
Dados (3):
le 1 2 variáveis manifestas: 1 covariância e 2 variâncias
lP1 P1 e1 Neste exemplo: (p+q)=2  (p+q)(p+q+1)/2 =2×3/2=3
Perform. Parâmetros a estimar (t=7):
l e2 l=[lP1, lP2, le1, le2] + V(P)+V(e1)+V(e2)
lP2 P2 e2 Graus de Liberdade do modelo = (p+q)(p+q+1)/2 -t=
= 3-7=-4
O modelo não é identificado: Não é possível estimar 4 parâmetros a partir de 3 ‘dados’.
Naturalmente, em AEE não é possível estimar as v. latentes sem assumir algum tipo de hipóteses
sobre elas:
1. Qual é a métrica (amplitude de medida) das v. latentes? ou
2. Qual a variância?
3. Qual a correlação com outras v. latentes?

19. 19
4.4.2. Identificação do modelo
… estas hipóteses reflectir-se-ão na indicação de quais os parâmetros livres (a estimar),quais os
parâmetros fixos (não-estimáveis) e quais os parâmetros constritos (estimáveis mas iguais entre si):
• Os parâmetros livres: estimados a partir das variâncias/covariâncias das variáveis manifestas;
• Os parâmetros fixos: não são estimados e são geralmente fixos em 0 (não existe relação) ou em
1 (estandardização face a outras variáveis).
• Os parâmetros constritos, são estimáveis, mas essa estimativa é igual para todos os parâmetros
restringidos.
No modelo de medida da performance, podemos tornar o modelo identificado:
1. Fixando um coeficiente de trajectória entre o factor e
1
pelo menos uma das v. manifestas: o factor tem uma
1 1 P1 e1 medida proporcional à v. manifesta. Por defeito: lei=1.
Naturalmente, esta trajectória tem um valor de 1 e é
Perform.
1 assumida como significativa.
lP2 P2 e2
2. Estandardizando o factor latente: Fixar a variância do
factor em 1. Vantagem: permite testar a significância
de todas as trajectórias entre os factores e as variáveis
manifestas

20. 20
4.4.2. Identificação do modelo
Relativamente à identificação um modelo pode classificar-se como:
A. Indeterminado ou sub-identificado (under-identified): O nº de parâmetros a estimar é superior à
informação presente nas v. manifestas (variâncias e covariâncias) sendo os graus de liberdade
<0!!!
l e1
lP1 P1 e1
Dados: (p+q)(p+q+1)/2 =2×3/2=3
Perform. Parâmetros a estimar (t ): l=[lP1, lP2, le1, le2] + V(P)+V(e1)+V(e2)
l e2 Graus de Liberdade = Dados  parâmetros a estimar
lP2 P2 e2
(p+q)(p+q+1)/2 -t =3-7=-4
Analogia com a Matemática:
x+y=6
Sistema indeterminado: Uma equação com duas incógnitas  Infinitas soluções: (2,4), (3,3), …
Problema: O modelo tem infinitas soluções, não é ajustável!...
Solução: fixar ou restringir um ou mais parâmetros livres; adicionar mais informação (v. manifestas)

21. 21
4.4.2. Identificação do modelo
Relativamente à identificação um modelo pode classificar-se como:
B. Determinado, identificado ou saturado (just-identified): o nº de parâmetros a estimar é igual ao
nº de elementos não redundantes da matriz de covariância, sendo os graus de liberdade=0!!!
1
P1 e1
1 Dados: (p+q)(p+q+1)/2 t=2×3/2=3
1 Perform. Parâmetros a estimar (t ):lP2 +V(e1)+V(e2)
1 Graus de Liberdade = (p+q)(p+q+1)/2 -t =3-3=0
lP2 P2 e2
Analogia com a Matemática:
x+y=6
x-y=2
Sistema determinado: Duas equação com duas incógnitas  Uma solução : (4,2)
Problema: Ao calcular as estimativas usa-se toda a informação disponível e portanto não é
possível avaliar a significância do modelo pois gl=0. MAS este modelo só tem uma solução e
portanto nunca pode estar errado – não vale a pena avaliar a significância!. Pode ter problemas de
convergência numérica durante o ajustamento. Cuidado com a Multicolinearidade! 2 v. manifestas
colineares, contam apenas como 1, tornando o modelo sub-identificado
Solução: fixar ou restringir pelo menos mais um parâmetro livre; adicionar mais v. manifestas

22. 22
4.4.2. Identificação do modelo
Relativamente à identificação um modelo pode classificar-se como:
C. Sobre-identificado ou sobre-saturado (overidentified): o nº de parâmetros a estimar é
inferior ao nº de elementos não redundantes da matriz de covariância. Graus de liberdade>0!
1
1 1 P1 e1
Dados: (p+q)(p+q+1)/2  t=3×4/2=6
1
Perform. lP2 P2 e2 Parâmetros a estimar (t): l=[lP2, lP3]+V(e1)+V(e2) +V(e3)
Graus de Liberdade = (p+q)(p+q+1)/2 -t =6-5=1
1
lP3 P3 e3
1
1 P1 e1
lP2 1 Dados: (p+q)(p+q+1)/2  t=4×5/2=10
P2 e2 Parâmetros a estimar (t): l=[lP2, lP3, lP4]+V(e1)+V(e2)
Perform. lP3
1 +V(e3) +V(P)
lP4 P3 e3
Graus de Liberdade = (p+q)(p+q+1)/2 -t =10-7=3
1
P4 e4

23. 23
4.4.2. Identificação do modelo
Relativamente à identificação um modelo pode classificar-se como:
C. Sobre-identificado ou sobre-saturado (overidentified):
Analogia com a Matemática:
x+y=6
3 quantidades conhecidas (6,3,11) e duas desconhecidas, mas o
2x-y=3 sistema não tem uma solução exacta. Para encontrar uma
3x+y=11 solução, é preciso impor algum tipo de modelo “teórico”
e.g. Encontrar os valores x, y positivos tal que o quadrado da diferença entre os valores estimados pelas
equações e os dados (6,3,11) sejam o menor possível:
x =2.816; y=2.789 é uma solução, ainda que imperfeita:
x + y = 5.605 2x – y = 2.842 3x + y=11.237
Apesar de a solução não ser perfeita nos modelos sobre-identificados, contrariamente aos modelos
saturados, a imposição de restrições aos parâmetros permite testar hipóteses sobre o modelo.
É agora possível avaliar a plausibilidade do modelo, para gerar os dados observados. Se os valores
estimados estiverem muito afastados dos valores observados, o modelo deve estar errado!
A maior parte dos investigadores prefere trabalhar com modelos sobre-identificados!

24. 24
4.4.2. Identificação do modelo
Sub-identificação empírica
Um modelo teoricamente identificado ou sobre-identificado, ainda poder apresentar problemas de
sub-identificação. Um problema mais ou menos frequente é a Sub-identificação empírica:
1. Quando parâmetro tem um valor próximo de zero. O processo iterativo da estimação do
modelo pode eliminar esse parâmetro e o modelo passa a estar sub-identificado
2. Quando duas ou mais variáveis manifestas são fortemente colineares (problema da
multicolinearieadade) as estimativas dos parâmetros associadas tornam-se instáveis e podem
ditar a eliminação das v. manifestas da análise, tornando o modelo sub-identificado.
Solução: Respecificação do modelo (remover v. manifestas colineares) e/ou aumentar a
dimensão da amostra
Existem várias regras mais ou menos complexas (e de difícil determinação manual) para avaliar
a identificação de um modelo (regra-t, Regra B=0, Regra Recursiva, Condições de ordem e
característica da matriz de covariância; ver e.g. Bollen (1989), p. 88-103) mas estas regras não
dão garantias absolutas. A maioria dos softwares (e.g. AMOS) avaliam a identificação do
modelo e identificam os parâmetros responsáveis pela não identificação do modelo.
Os Slides seguintes tem algumas ‘dicas’ para lidar com a indeterminação e/ou saturação do
modelo

25. 25
4.4.2. Identificação do modelo
Estratégias para lidar com a indeterminação do modelo:
Se um modelo for indeterminado (sub-identificado) ou mesmo saturado (identificado), é necessário tomar
uma ou mais das seguintes medidas correctivas:
1. Regra-t: Nº de parâmetros a estimar deve ser igual ou inferior ao nº de variâncias-covariâncias não-
redundantes (p+q)(p+q+1)/2
2. Fixar pelo menos um dos coeficientes entre uma variável latente e os seus indicadores (é necessário
indicar qual a métrica da variável latente...)
3. Fixar a variância de uma ou mais v. latentes (estandardizar as v. latentes)
4. Ter pelo menos 3-4 indicadores por v. latente (com 2 também funciona, com 1 também (fixando a
fiabilidade do indicador), mas tem problemas de fiabilidade/consistência interna)
5. Simplificar o modelo igualando trajectórias entre si: Usar testes à igualdade de parâmetros (Critical
Ratios for differences no AMOS; para amostras grandes CR<1.96 implica igualdade dos coef.)
6. Eliminar trajectórias de feedback, ou efeitos recíprocos X  Y
7. Fixar parâmetros (e.g. coeficientes de trajectória) cuja magnitude é conhecida (teoria)
8. Simplificar o modelo reduzindo o nº de variáveis latentes, eliminar v. manifestas multicolineares, fixar
trajectórias =0 (ou seja eliminar trajectórias); aumentar a dimensão da amostra
9. Caso existam missings, usar um método Listwise de eliminação de missings (não usar pairwise) ou
utilizar métodos de imputação de missings (Regressão, FIML,…).
10. Aumentar o nº de iterações, ou usar um outro método de estimação (GLS, ULS em vez do ML)

26. 26
4.4.3. Ajustamento do modelo e
estimação dos parâmetros
De acordo com a Teoria, o investigador estabelece:
1. Modelo de medida (para definir o modo de “medir” as variáveis latentes) e
2. Modelo estrutural (causal ou simplesmente correlacional) que relaciona as variáveis de interesse.
Se o modelo de EE for ‘correcto’, os dados “gerados” pelo modelo são suficientemente próximos
dos dados observados:
Covariâncias
estimadas
S(q)
Erros=
Modelo =? S-S(q)
Covariâncias
observadas
S
Assim, o investigador “colhe” os dados e avalia o ajustamento do modelo aos dados (Estratégia
Confirmatória). Se o modelo não for rejeitado, isto não demonstra que o modelo é único, mas sim
que aqueles “Dados” podem ser explicados pelo modelo em causa.
Se o modelo for rejeitado, pode proceder-se a refinamentos do modelo (Estratégia exploratória) para
encontrar um modelo que melhor explique os dados observados.

27. 27
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
O objectivo da AEE é então encontrar um vector de estimativas dos parâmetros do modelo (q)
que reproduza o melhor possível a matriz S das v. manifestas na população, i.e.
Estimar os parâmetros modelo tal que
S= S(q)
q – Vector dos parâmetros (coeficientes) do modelo.
S(q) – Matriz de variâncias estimadas pelo modelo teórico
Na prática não trabalhamos com populações mas sim com amostras, pelo que ˆ
S=S
A questão é então:
‘Dada a matriz S de covariâncias amostrais das v. manifestas (que estima S), qual é o melhor
vector de parâmetros do modelo teórico tal que:
S = S(q) ˆ
éS
ê xx Syx ùú éêSyy (q) Syx (q)ùú
ˆ ˆ
=
êS
êë xy Sxy úú êêSxy (q) Sxx (q)úú
ˆ ˆ
û ë û

28. 28
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
Consideremos um exemplo relativamente simples:
z
1 1 1
d1 x1 1 g 1 y1 e1
x h
1 l2 1
d2 x2 l1 y2 e2
As equações estruturais do modelo são:
éx ù é 1 ù é ù éy ù é 1 ù é ù
ê 1 ú = ê ú x + ê d1 ú ê 1 ú = ê ú h + ê e1 ú h = gx + z
êx ú êl ú êd ú êy ú êl ú êe ú
êë 2 úû êë 1 úû êë 2 úû êë 2 úû êë 2 úû êë 2 úû
Sendo as matrizes dos erros, matrizes diagonais (os erros não estão correlacionados):
diag(Qe ) = éêV (e11 ),V (e22 )ùú diag(Qd ) = éêV (d11 ),V (d22 )ùú
ë û ë û
O vector de parâmetros q a estimar é:
q ' = éêl1, l2, g,V (x ),V (e1 ),V (e2 ),V (d1 ),V (d2 ),V (z )ùú
ë û
Sendo (p+q)(p+q+1)/2=(4×5/2)=10 e t=9, o modelo é sobre-identificado com gl=10-9=1.

29. 29
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
O problema é então estimar o vector q tal que
é V (y ) ù
ê 1 ú
êCov(y , x ) V (y2 ) ú
ê
S=ê 2 1 ú seja igual
ú
êCov(x 1, y1 ) Cov(x 1, y2 ) V (x 1 ) ú
êCov(x , y ) Cov(x , y ) Cov(x , x ) V (x )ú
êë 2 1 2 2 2 1 2 ú
û
é g 2V (x ) +V (z ) +V (e ) ù
ê 1 ú
ê l [ g 2V (x ) +V (z )] 2 2
l2 [ g V (x) +V (z )] +V (e2 ) ú
ˆ) = ê
S(q 2 ú
ê ú
ê gV (x) l2 gV (x) V (x ) +V (d1 ) ú
ê 2 ú
ê lgV (x ) l1l2 gV (x ) l1V (x ) l1V (x ) +V (d2 )ú
ë û
Mas, mesmo este modelo simples, corresponde a um sistema de 10 equações com 9 incógnitas
(parâmetros)…
Os softwares de AEE utilizam um algoritmo iterativo que minimiza a ‘função de discrepância’.
ˆ
f = F (S - S(q))
Se o ajustamento for perfeito f=0;
Quanto menor for f melhor será o ajustamento do modelo teórico
O algoritmo para quando é atingido um critério de convergência (e.g. quando a variação das
estimativas ou da f é inferior a 0.001)

30. 30
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
Os métodos de ajustamento mais usuais em AEE e respectivas funções de discrepância (f ) são:
1. Máxima verosimilhança (ML):
Método iterativo que estima os parâmetros que maximizam a verosimilhança de observar a
matriz S. A função de discrepância a minimizar é
ˆ ˆ
fML = log | S(q) | +tr(SS(q)-1 ) - log | S | -(p + q )
Se o modelo exigir a estimação das médias e das ordenadas na origem, a função de
discrepância é:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
fML = log | S(q) | +tr(SS(q)-1 ) - log | S | -(p + q ) + (x - m(q))' S(q)-1(x - m(q))
Método mais usado em AEE. Produz estimativas centradas e consistentes: à medida que n
ˆ
aumenta, q aproxima-se do verdadeiro q (populacional) com distribuição Normal.
Exige normalidade multivariada das v. manifestas (é +/- robusto à violação deste pressuposto)
ou que SWishart.
Problemas associados à violação da normalidade:
a. Rejeição de modelos apropriados mais vezes do que o correcto (teste c2=(n-1)fML)
b. Concluir pela significância de parâmetros mais vezes do que o correcto (+ erros tipo I)

31. 31
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
Os métodos de ajustamento mais usuais em AEE e respectivas funções de discrepância (f ) são:
2. Mínimos quadrados não-ponderados (ULS):
Método iterativo que estima os parâmetros que minimizam a SQE da matriz residual:
ˆ
E = S - S(q)
A função de discrepância a minimizar é:
1 ˆ
fULS = tr[(S - S(q))2 ]
2
ˆ 2
onde tr[ ] é a função traço de uma matriz, i.e. tr[(S - S(q)) ] é a soma dos elementos diagonais
de E (SQE).
O método ULS não tem assumpções (à semelhança do OLS da Reg. Linear), é consistente,
mas não é assimptóticamente eficiente (i.e. a variância não é mínima à medida que n aumenta).
O AMOS (até v. 18 inclusive) não produz o teste do c2=(n-1)fULS uma vez que não é possível
assegurar a distribuição de c2.

32. 32
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
Os métodos de ajustamento mais usuais em AEE e respectivas funções de discrepância (f ) são:
3. Mínimos quadrados generalizados (GLS):
Método iterativo que estima os parâmetros ponderando os erros de estimação com pesos
correspondentes ao inverso da matriz de covariância amostral.
Os elementos da matriz E que tem maior variância amostral, tem menor peso no modelo. Desta
forma obtém-se estimativas mais eficientes do que se as observações não fossem ponderadas.
A função de discrepância a minimizar é:
1 é -1 ˆ))ù = 1 tr[(I - S-1S(q))2 ]
2
fGLS = tr êS (S - S(q ú ˆ
2 ë û 2
o que é equivalente a minimizar a SQE ponderada pelo inverso da matriz de covariância
amostral.
O método GLS tem as mesmas propriedades assimptóticas que o ML (consistência e eficiência)
com estimativas com distribuição normal assimptóticas.

33. 33
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
Os métodos de ajustamento mais usuais em AEE e respectivas funções de discrepância (f ) são:
4. Distribuição Assimptótica livre (ADF) (ou Mínimos quadrados ponderados generalizados (WLS):
Não exige Normalidade Multivariada. Contudo, exige que as variáveis manifestas permitam estimar
momentos de ordem 8 (a ver adiante) o que, geralmente, exige amostras de grande dimensão
(>1000’s)
ˆ ˆ
fADF = (s - (q))' W-1(s - (q))
s’=(s11, s21,s22,…,skk) vector de elementos da matriz triangular inferior S incluindo a diagonal
ˆ ˆ
(q) = (s11, s21, s22 ,..., skk ) vector de elementos da matriz triangular inferior S(q) incluindo a diagonal
W – matriz de distâncias de todas as observações às médias de todas as variáveis . W-1 corrige
Curtose dos itens. O elemento genérico de W é
[W ]ij ,kl = wij ,kl - wij wkl
1 n 1 n
wij = å (x ir - x i )(x jr - x j ) wij ,kl = å (x ir - x i )(x jr - x j )(x kr - x k )(xlr - xl )
n r =1 n r =1
Se a dimensão da amostra não for suficiente para o ADF e não for desejável assumir a validade
da distribuição (aproximadamente) normal dos itens (v. manifestas), podem usar-se métodos de
Bootstrap.

34. 34
4.4.3. Ajustamento do modelo e estimação dos
parâmetros
Os métodos de ajustamento mais usuais em AEE e respectivas funções de discrepância (f ) são:
5. Mínimos quadrados sem escala (Scale free Least Squares)
Método equivalente ao ULS, mas com a análise feita na matriz de correlações ( e não na matriz
de covariância) (Relembre: rxy=cov(x,y)/(sxsy)).
A função de discrepância a minimizar é:
1 ˆ
fSLS = tr[D-1(S - S(q))]2
2
onde D = diag(S)
As estimativas do SLS não são comparáveis com as estimativas dos restantes métodos
especialmente se forem feitas transformações lineares das v. manifestas. Por isso, o SLS
raramente é utilizado
Na prática, as estimativas obtidas por uma das funções 1-a-4 anteriores são suficientemente
próximas permitindo uma mesma interpretação dos resultados.

35. 35
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
Depois de encontrado o vector de estimativas dos parâmetros do modelo () que minimiza a
discrepância, é necessário avaliar a qualidade do ajustamento do modelo obtido aos dados
observados.
Três ‘estratégias’ para avaliar a Qualidade do Ajustamento:
1.Teste de significância à função de discrepância: Teste do Qui-quadrado
A. Hipóteses
H0: =() (a matriz de covariância populacional é igual à matriz de covariância
estimada pelo modelo) vs.
H1: ()
B. E.T.
a
X 2 = (N - 1)fML ~ c(2p +q )( p +q +1)/2-t p +q – nº variáveis manifestas no modelo
t - nº parâmetros estimados
C. Decisão
Rejeitar H0 se p-value ≤
Muito sensível à dimensão da amostra (amostras pequenas: raramente rejeita H0, Amostras
grandes: Rejeita quase sempre H0)
Sensível à violação da Normalidade multivariada levando à rejeição de bons modelos e
aceitação de modelos maus! (usar correcção de Satorra-Bentler; usar WLS (especialmente com
v. ordinais) com o LisREL; usar Bootstrap com o AMOS)

36. 36
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
2. Índices “empíricos” de qualidade de ajustamento
Os problemas associados ao teste do Qui-quadrado (um teste à mediocridade do ajustamento)
que testa, irrealisticamente, se o ajustamento é perfeito (100%), levaram à criação de várias
outras medidas de qualidade/mediocridade do ajustamento.
Índices de qualidade de ajustamento: avaliam a distância relativa entre: S - S(q)ˆ
A. Índices Absolutos: Avaliam a qualidade do modelo per se, sem comparação com outros modelos.
Sem grande utilidade (R. Fisher: ‘Nothing is good or bad, but by comparison’): RMR, GFI
B. Índices Relativos: Avaliam a qualidade do modelo sob teste relativamente: (i) ao modelo com pior
ajustamento possível (modelo de independência: não há relações entre quaisquer v. manifestas) e/ou (ii)
ao modelo com melhor ajustamento possível (modelo saturado: todas as v. manifestas estão
correlacionadas): NFI, CFI
C. Índices de Parcimónia: Índices relativos que penalizam a complexidade do modelo: Compensam a
melhoria ‘artificial’ do modelo por inclusão de mais parâmetros livres para melhorar o ajustamento (i.e.
menos graus de liberdade). Um modelo complexo pode ter melhor ajustamento mas ser menos
generalizável a outras amostras: AGFI, PGFI, PCFI
D. Índices de discrepância populacional: Baseados na distribuição c2 não-central de (n-1)f. Avaliam se
o modelo é ‘aproximadamente’ correcto (em oposição ao 100% correcto do c2 ): NCP, RMSEA
E. Índices baseados na teoria da informação: Apropriados quando é necessário comparar vários
modelos alternativos que ajustem aos dados (AIC, BIC, ECVI)

37. 37
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
2. Índices “empíricos” de qualidade de ajustamento
Várias dezenas: Alguns mais frequentes em AEE:
Índices Absolutos Valores de Referência
X2/df < 5 – ajustamento sofrível
Se H0: =() é verdadeira E(X2)=gl, logo um valor óptimo é ≤ 2 - ajustamento aceitável
X2/df=1. Normalização do c2 . ~ 1 – ajustamento bom
Root mean squared Residual Quanto menor, melhor.
Se for calculada a partir da matriz de
p +q i
correlação, varia entre 0 e 1. Quanto
å å (s ij
ˆ
- s(q))2
mais próximo de 0, melhor.
i =1 j =1
RMR = Só deve ser usado para comparar o
(p + q )(p + q + 1) / 2
ajustamento de 2 modelos alternativos
Média dos resíduos. ajustados aos mesmos dados
Goodness of Fit index
ˆ ˆ
(s - (q))' W-1(s - (q)) <0.9 – ajustamento mau
GFI = 1 -
s ' W-1s [0.9; 0.95[ – ajustamento bom
Numerador: mínimo da f depois do modelo ajustado 0.95 – ajustamento muito bom
Denominador: f antes do ajustamento 1 – ajustamento perfeito
W – matriz de ponderação dependente do método de estim.
GFI foi um dos primeiros índices. Proporção da covariância
observada explicada pelo modelo ajustado.

38. 38
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
2. Índices “empíricos” de qualidade de ajustamento
Várias dezenas: Alguns mais frequentes (Continuação)
Índices Relativos Valores de Referência
Normed Fit Index <0.8 – ajustamento mau
% de incremento na qualidade do ajustamento do modelo ajustado [0.8;0.9[ – ajustamento sofrível
(X2) relativamente ao modelo de independência (pior modelo [0.9 ;1.0[ – ajustamento Bom
possível) (X2b):
= 1 – ajustamento perfeito
NFI = 1-X2/X2b
Comparative Fit Index (CFI) <0.8 – ajustamento mau
Compara o ajustamento do modelo em estudo com o do modelo [0.8;0.9[ – ajustamento sofrível
basal ou modelo de independência [0.9 ;1.0[ – ajustamento Bom
CFI= 1- max(X2-gl,0)/max(X2b-glb,0) = 1 – ajustamento perfeito
Procura resolver o problema do NFI que tende a subestimar o
ajustamento em amostras pequenas.
Relative Fit Index (RFI) <0.8 – ajustamento mau
Compara o ajustamento do modelo em função do X2 normalizado [0.8;0.9[ – ajustamento sofrível
pelos gl em estudo com o do modelo basal ou modelo de [0.9 ;1.0[ – ajustamento Bom
independência, = 1 – ajustamento perfeito
X 2 / gl
RFI = 1 -
Xb2 / glb

39. 39
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
2. Índices “empíricos” de qualidade de ajustamento
Várias dezenas: Alguns mais frequentes (Continuação)
Índices de Parcimónia Valores de Referência
Parsimony CFI Os índices de Parcimónia tomam
(CFI penalizado com a complexidade do modelo) geralmente valores (muito)
PCFI=CFIgl/glb menores do que os índices
relativos.
Adjusted GFI De uma forma geral:
AGFI=1-(1-GFI)glb/gl . AGFI 1 e pode ser <0.
Abandonado! actualmente usa-se o: < 0.6 – Ajustamento mau
Parsimony GFI varia no intervalo [0;1] [06; 0.8[ - Ajustamento bom
PGFI=GFIgl/glb
Parsimony NFI 0.8 – Ajustamento muito bom
(NFI penalizado com a complexidade do modelo)
PNFI=NFIgl/glb
Nota: gl/glb designa-se ‘rácio de parcimónia’

40. 40
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
2. Índices “empíricos” de qualidade de ajustamento
Várias dezenas: Alguns mais frequentes (Continuação)
Índices de discrepância populacional Valores de Referência
Non-Centrality Parameter (NCP)
Estima o quão afastado o valor esperado do c2 sob H0 está do verdadeiro Quanto mais próximo de zero,
c2 . O parâmetro de não centralidade (d) é estimado por: melhor
NCP=max[X2- gl, 0]
Pode calcular-se I.C. a 90% para o NCP
F0 Quanto mais próximo de zero,
É o mínimo relativo do NCP melhor
F0=max[(X2- gl)/n, 0]=NCP/n
Root Mean square Error of Aproximation (RMSEA) > 0.10 - Inaceitável
Compensa o F0 devido à complexidade do modelo (quanto mais ]0.05;0.10] – ajustamento
complexo for o modelo menor será F0). sofrível
RMSEA = F0 / gl [0.05; 0.01[ – ajustamento bom
Diferença média entre as covariâncias observadas e as estimadas pelo ≤0.01 – ajustamento muito
modelo bom
Pode calcular-se I.C. e testar Não rejeitar H0.
H0: RMSEA ≤0.05 vs. H1: RMSEA >0.05 p-value0.05 (0.5 segundo
Jöreskog)

41. 41
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
2. Índices “empíricos” de qualidade de ajustamento
Várias dezenas: Alguns mais frequentes (Continuação)
Índices baseados na teoria da informação Valores de Referência
AIC (Akaike Information Criterion)
AIC=X2+2t
Penalize o modelo pela sua complexidade (i.e. nº de parâmetros a estimar
e falta de parcimónia).
BCC (Browne-Cudeck Criterion)
n[(p + q )(p + q + 3)]
N - (p + q ) - 2 Quanto menor, melhor.
BCC = X 2 + 2t
(p + q )(p + q + 3) Usar apenas para comparar
Penaliza ainda mais o modelo devido à sua complexidade do que o AIC. modelos alternativos
(aninhados e não aninhados)
BIC (Bayes Information Criterion)
BIC=X2+tLn(n)
Índice que atribui a maior penalização à complexidade do modelo .
Permite seleccionar os modelos mais parcimoniosos
ECVI (Expected Cross-validation index)
ECVI=AIC/n
Útil em estudos de validação cruzada (ajustamento numa amostra e
validação noutra amostra)

42. 42
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
Mas, mas… é mesmo preciso usar todos os índices? Não! Os índices mais recomendados são:
Estatística Valores de Referência
X2 e p-value (H0: O Ajustamento é perfeito) Quanto menor melhor
(Macro do AMOS: cmin; p) p>0.05
X2/df (Macro do AMOS: cmindf) < 5 – ajustamento sofrível
≤ 2 - ajustamento aceitável
~ 1 – ajustamento bom
CFI (Macro do AMOS: cfi) <0.8 – ajustamento mau
GFI (Macro do AMOS: gfi) [0.8;0.9[ – ajustamento sofrível
≥ 0.9 – ajustamento muito bom
PGFI (Macro do AMOS: pcfi) < 0.6 – Ajustamento mau
PCFI (Macro do AMOS: gfi) [06; 0.8[ - Ajustamento bom
0.8 – Ajustamento muito bom
RMSEA (com I.C. 90%) > 0.10 - Inaceitável
e ]0.05;0.10] – ajustamento sofrível
p-value (H0: rmsea0.05) ≤0.05 – ajustamento bom
(Macro do AMOS: rmsea; pclose) p-value0.05 (0.5 segundo Jöreskog)
AIC (Macro do AMOS: aic) Só para comparar modelos
ECVI (Macro do AMOS: ecvi) Quanto menor, melhor…

43. 43
4.4.4. Avaliação da qualidade do modelo
3. Análise de resíduos, estimativa de parâmetros e fiabilidade individual de indicadores
Os índices de qualidade de ajustamento são medidas do ajustamento global médio aos
dados. O modelo pode ter um bom ajustamento global, mas ainda assim apresentar um mau
ajustamento local. Para fazer o diagnóstico de possíveis problemas locais:
1. Avaliar os resíduos estandardizados do modelo estimados por
eij a
rij = ~ N (0,1) ˆ
e[ij ] = S - S(q)
se
ˆ
ij
rij >> 2 indicam outliers (com 95% de confiança) e problemas de ajustamento local
2. Avaliar os erros-padrão assimptóticos dos parâmetros do modelo e sua significância:
A significância dos parâmetros do modelo pode avaliar-se com um teste Z:
H0: gij=0 vs. H1: gij ¹ 0.
ˆ a
Para n grandes, Z = gij / sg ~ N (0,1) rejeitando-se H0 se |Z|  z1-a
ˆ
ij
3. Avaliar a fiabilidade individual dos indicadores ou v. manifestas: Apropriado para avaliar a
relevância dos indicadores nos modelos de medida.
Valores de R2<0.25 indicam possíveis problemas com o indicador.

44. 44
4.4.5. Respecificação do modelo
E se o modelo ajustado não apresentar um ‘bom’ ajustamento aos dados?
Prática corrente: modificar o modelo eliminando vias não significativas, libertando parâmetros
anteriormente fixos, fixando parâmetros anteriormente livres, correlacionar erros, etc...
Índices de Modificação (Modification Indices) para os parâmetros: Redução (conservadora) da
estatística X2 do modelo, se o parâmetro fixo ou restrição de igualdade for libertado e o modelo for
re-estimado, com perda de um grau de liberdade. Este teste poder obter-se como, um Rácio de
verosimilhança dos dois modelos:
LR = -2 éê log L(qr ) - log L(qu )ùú
ˆ ˆ
ë û
= (n - 1)( fMLr - fMLu )
Onde fMLr é a função de discrepância para o modelo restrito, e fMLu é a mesma função para o
modelo com o parâmetro livre
A maioria dos softwares (AMOS, LisRel,…) estima porem os Índices de Modificação pelo método
dos Multiplicadores de Lagrange que apenas precisa ser estimado para o modelo restrito :
-1
(n - 1) ç ¶fMLr ÷ ' êé ç ¶ fMLr öúù
æ ö æ 2
÷ ç ÷
÷
æ ö
ç ¶fMLr ÷
÷
LM = ç
ç ¶θ ÷ êE ç ¶θ ¶θ ' ÷ú
ç ÷ ç
ç ÷
ç
2 è r ø ÷ ê è ÷ ç
è ¶θr ø ÷
ë r r øú
û

45. 45
4.4.5. Respecificação do modelo
E se o modelo ajustado não apresentar um ‘bom’ ajustamento aos dados?
Tendo LM ~ c2 (1)
a
J. Arbuckle (o autor do AMOS): MI4 (c20.95;(1)=3.84)
Mais seguro: MI  11 (c20.999;(1)=10.82), já que só se deve modificar um modelo, se existirem
fortes fundamentos teóricos para o fazer!!!. Um modelo pode ser modificado até a um
ajustamento perfeito (quanto mais próximo estiver do modelo saturado, melhor será o
ajustamento…).
Análise sequencial: começar por libertar o parâmetro com maior MI até chegar ao parâmetro de
menor MI.
PERIGO: o modelo pode perder a validade para a população... i.e. O modelo ajusta-se bem
aqueles dados, mas pode não ser válido na população.
Deve-se sempre considerar possíveis modelos paralelos ou não-paralelos alternativos que possam
igualmente reproduzir os dados observados.
Deve-se também fazer a validação cruzada do modelo com outra amostra.

46. 46
4.5. Pressupostos do Modelo de Eq. Estruturais
1. Normalidade multivariada
1. As variáveis (manifestas) devem apresentar distribuição normal multivariada.
2. A normalidade multivariada é requerida pelo método ML que é o método dominante na AEE
(outros métodos não a exigem: WLS, ADF,...)
Como avaliar?
Não há testes de Normalidade multivariada implementados nos softwares.
Alternativa: Avaliar valores de Sk e Ku dos itens. Distribuição normal Sk=Ku=0
No AMOS:
n n
å (x i - x )3 6 å (x i
- x )4
24
sk = M 3 = i =1
3
; sesk = ku = M 4 - 3 = i =1
- 3; seku =
ns ' n ns 4
n
Schumaker & Lomax (2004): Valores |sk| e |ku|  2 não são problemáticos
Kline (1998): Valores de |Sk|<3 e |Ku|<8-10 são aceitáveis em AEE.
No AMOS:
1 n é 2 p(p + 2)(n - 1) 8 p(p + 2)
kuM = å êë(
n i =1
xi - x ) ' S-1 (xi - x )ùú -
û n +1
; seku =
n
Kline (1998); KuMult<10 não é problemática

47. 47
4.5. Pressupostos do Modelo de Eq. Estruturais
1. Normalidade multivariada
Sob a validade da hipótese de normalidade multivariada é possível testar as hipóteses:
sk a
H0: sk=0 vs. H1:sk¹0 Z = ~ N (0,1)
sesk
H0: ku=0 vs. H1:ku¹0 ku a para a=0.05, rej. H0 se |Z|≥1.96
H0: kuM=0 vs. H1:kuM¹0 Z = ~ N (0,1)
se ku
Mesmo problema do teste do c2: testa se a distribuição é ‘perfeitamente normal’… nunca é,
para amostras grandes (se=s/n), nem é preciso que seja para fazer AEE (ML)
Problemas com a violação da normalidade
a. Teste do Qui-quadrado inimputável (a distribuição da estatística é c2 não-central).
Inflação do erro de tipo I).
O teste pode ser corrigido por uma medida do enviesamento multivariado (correcção de
Satorra-Bentler); pode transformar-se as variáveis para forçar a normalidade; ou pode usar-se
um método de estimação que não exija a normalidade – e.g. ADF, ULS.
b. Estimativas dos parâmetros com significância inflacionada
As estimativas têm SE menor do que o correcto, o que faz que os coeficientes sejam
estatisticamente significativos mais vezes do que o que deviam (inflação do erro de tipo I).

48. 48
4.5. Pressupostos do Modelo de Eq. Estruturais
2. Linearidade: relações lineares entre as v. manifestas e as v. latentes, e entre as v. latentes. O
método ML não exige linearidade, mas é aplicado à matriz de covariâncias /correlações que
exigem associações de tipo linear.
3. Covariâncias amostrais não-nulas: as v. manifestas devem apresentar algum tipo de
associação.
4. Múltiplos indicadores: 3 ou mais variáveis manifestas ou indicadores por factor, e a
fiabilidade dos constructos (v. latentes) deve ser elevada.
5. Ausência de Multicolinearidade: A multicolinearidade inflaciona a estimação das
covariâncias dos parâmetros; produz coeficientes de trajectória estandardizados muito
superiores a 1 ou -1; pode produzir variâncias negativas. Pode mesmo causar o aborto das
iterações (matrix not positive definite) quando é perfeita ou quase (não é possível inverter a
matriz de correlações/covariâncias que são singulares). Avaliar multicolinearidade com o VIF
(SPSS).
6. Amostras de “grande” dimensão: Várias regras : N>200 – 400 ; 15 sujeitos por variável
manifesta; 5 sujeitos por parâmetro a estimar (v. manifestas, latentes, erros, correlações,
etc...). Quanto mais melhor (especialmente se os dados forem muito enviesados, não
mesocúrticos, com missings)... Mas nunca inferior a (p+q)(p+q)+1)/2 (caso contrário não é
possível calcular a matriz de covariâncias assimptótica).
7. Modelos sobre-identificados (ou quando muito identificados).

49. 49
4.5. Pressupostos do modelo de Eq. Estruturais
8. Medida forte
O cálculo de variâncias-covariâncias das v. manifestas exige medidas numa escala quantitativa.
Alguma controvérsia sobre o uso de métodos ML com escalas ordinais (5 ou 7 pontos):
Utilizadores do AMOS:
a. Se a escala for ordinal deve ter pelo menos 5 pontos (7, ou mesmo 9-10), e distribuição
aproximadamente em sino: estas variáveis comportam-se como v. intervalares
b. Se os itens forem nominais (0-não, 1-sim), usar compósitos somados
c. Usar métodos ‘Bootstrap’/ Estimação Bayesiana para v. ordinais
d. As assumpções das correlações policóricas e poliseriais de que existem variáveis latentes
com normalidade multivariada de cujos itens ordinais são manifestações, são irreais; o
cálculo exige amostras de grande dimensão(>2000, e pode usar-se o ADF)
Utilizadores do LisRel, EQS, MPlus:
a. Não faz sentido usar covariâncias de variáveis ordinais
b. Usar correlações policóricas (ordinal vs ordinal) ou poliserial ordinal vs quantitativa) ou
tetracórica (nominal vs. nominal)
c. Usar métodos WLS e matrizes de correlação policóricas.
d. Joreskog & Sorbom (1988): Correlações de Pearson, Spearman, Kendall t tem pior
performance do que policóricas com v. ordinais

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4.5. Pressupostos do modelo de Eq. Estruturais
9. Inexistência de Outliers
Outliers são observações que caem fora da tendência das restantes observações.
Podem ocorrer devido a problemas de observação/registo das variáveis ou podem ser valores
extremos que ocorrem naturalmente (ainda que com frequência muito baixa).
Problemas com a existência de outliers:
a. Afectam as estimativas das médias, desvios-padrão e covariâncias, tornando o modelo ‘mau’
b. Podem atenuar ou inflacionar as estimativas dos parâmetros
Como diagnosticar:
1. Medidas univariadas, box-wisker plots: Mas, um outlier poder ser multivariado sem ser univariado
2. Medidas multivariadas: Distância de Mahnalobis: Distância de uma observação xi à média de
todas as observações (centróide):
1 n 4 p(p + 2)(n - 1) 8 p(p + 2)
di2 = (xi - x ) ' S-1 (xi - x ) kuM = åd - ; seku =
n i =1 i n +1 n
AMOS sob a hipótese da normalidade multivariada, a partir da kuM:
p1: probabilidade de uma observação xi ter um valor de di2 superior ao di2 calculado
p2: probabilidade de a maior distância de Mahalanobis ser superior ao di2 de xi.
Convém que p1 seja pequeno (<0.05-0.10) e p2 seja grande (>0.05-0.10), caso contrário a observação
deve ser um outlier multivariado.

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4.6. Problemas com o ajustamento do modelo
É possível que o software não consiga encontrar um vector de parâmetros q que permita minimizar
S-S(q). Algumas das causas mais frequentes são:
1. Problemas de convergência do modelo: As iterações seleccionadas não permitem alcançar uma
solução. Pode dever-se a reduzidas dimensões de amostra; modelo mal especificado; variâncias muito
diferentes das v. manifestas; v. manifestas extremamente não-normais; outliers
Solução: Aumentar a amostra; Respecificar o modelo; uniformizar variâncias (e.g. alterando a
magnitude de medida Kgg; m  Km,…; ou estandardizando as escalas), transformações
matemáticas para normalizar variáveis (Sqrt, Ln, ArcSin); eliminar outliers; aumentar nº iterações.
2. Indeterminação do modelo: O modelo não é determinado ou sobre-identificado. A indeterminação
empírica é particularmente difícil de diagnosticar.
Solução: fixar trajectórias; analisar multicolinearidade; simplificar o modelo; aumentar nº de variáveis
manifestas; aumentar dimensão da amostra.
3. Problemas com variâncias: Estimativas das variâncias das v. latentes < 0 (!!!). Pode acontecer
quando: (i) a dimensão da amostra é demasiado pequena; (ii) quando correlações fortes entre itens
são ignoradas (i.e. não contemplando as correlações entre os itens e/ou outros factores).
Solução: Aumentar dimensão da amostra; correlacionar itens e/ou erros dos itens; Respecificar o
modelo adicionando trajectórias para outros factores e os itens.
4. Matrizes de Covariância singulares (not positive definite): Alguns dos valores próprios
(eigenvalues, raízes características = variância das componentes principais da matriz de covariância) <
0. Pode acontecer com as matrizes S, S(q) e W. A multicolinearidade (no caso de S) e especificação
errada do modelo (S(q) e W) são as causas mais frequentes
Solução: resolver os problemas de multicolinearidade; reespecificar o modelo.