Modelos Lineares Mistos Aplicados em Ciˆencias Atuariais
Luis Gustavo Bastos Pinho e Juvˆencio Santos Nobre
Departamento d...
2 Metodologia
Para estimar os parˆametros dos poss´ıveis modelos a serem utilizados,
geralmente s˜ao utilizados m´etodos d...
• i ∼ N(0, σ2Ini ) para todo i;
• bi ∼ N(0, Ψ∗
) para todo i;
• i e bj s˜ao independentes para todo i e j;
Existe uma mane...
de vendas (Y) em fun¸c˜ao do pre¸co (X) e para ele foi ajustado o modelo
linear de coeficientes aleat´orios, yij = αi + xij...
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Modelos lineares mistos aplicados em ciências atuariais.

  1. 1. Modelos Lineares Mistos Aplicados em Ciˆencias Atuariais Luis Gustavo Bastos Pinho e Juvˆencio Santos Nobre Departamento de Estat´ıstica e Matem´atica Aplicada - UFC RESUMO: Muitos modelos utilizados em Estat´ıstica s˜ao formulados com base na indepˆendencia entre as observa¸c˜oes. Por´em nem sempre essa su- posi¸c˜ao ´e razo´avel, especialmente em estudos com medidas repetidas. Mo- delos mistos apresentam uma maneira de modelar a dependˆencia entre ob- serva¸c˜oes atrav´es da inclus˜ao de efeitos aleat´orios. S˜ao denominados mode- los mistos aqueles que cont´em um ou mais efeitos aleat´orios. Em Atu´aria esses modelos vˆem sendo utilizados com crescente sucesso. Nesse trabalho ser˜ao apresentadas algumas defini¸c˜oes, exemplos, resultados e analisado um exemplo de aplica¸c˜ao em Ciˆencias Atuariais. Palavras-chave: Modelos lineares mistos, medidas repetidas, estudos lon- gitudinais, Atu´aria. 1 Introdu¸c˜ao Estudos com medidas repetidas s˜ao aqueles nos quais uma ou mais va- riav´eis resposta s˜ao observadas por v´arias vezes para cada unidade amostral. Por unidade amostral entende-se cada elemento que comp˜oe o conjunto ob- servado e sob o qual se deseja investigar algo. As medidas repetidas podem ser obtidas em condi¸c˜oes diversas ou sob as mesmas condi¸c˜oes. Quando as medidas s˜ao obtidas ao longo de uma escala ordenada (tempo, dosagem, velocidade, etc) ´e dado ao estudo o nome de estudo de dados longitudinais. A utiliza¸c˜ao de poucas unidades amostrais e a possibilidade de modelar o comportamento individual de cada unidade amostral s˜ao, entre outras, vantagens dos estudos com medidas repetidas. Por outro lado, a utiliza¸c˜ao de medidas repetidas insere novas dificuldades aos processos de modelagem e estima¸c˜ao. Uma delas ´e a poss´ıvel correla¸c˜ao existente entre medidas obtidas de uma mesma unidade amostral. Essa correla¸c˜ao, em geral, torna o processo de estima¸c˜ao mais complicado, pois ´e necess´ario estimar a estrutura de covariˆancia do modelo. 1
  2. 2. 2 Metodologia Para estimar os parˆametros dos poss´ıveis modelos a serem utilizados, geralmente s˜ao utilizados m´etodos de m´axima verossimilhan¸ca, e m´etodos iterativos s˜ao usados para maximizar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. Entre esses m´etodos iterativos podemos citar os de Newton-Raphson, algoritmo EM, e Escores de Fisher. No caso de modelos lineares mistos mais simples, ´e poss´ıvel obter estimadores para os parˆametros de maneira descomplicada. `A medida que o modelo se torna mais geral o aux´ılio de pacotes computacionais ´e mais necess´ario. O modelo usado para a matriz de covariˆancia do modelo deve depender da natureza dos dados e permitir como fonte de varia¸c˜ao os erros aleat´orios e os efeitos aleat´orios, pelo menos. Outra poss´ıvel fonte de varia¸c˜ao ´e a cor- rela¸c˜ao serial. O crit´erio de informa¸c˜ao de Akaike (AIC) pode ser utilizado para escolher a estrutura da matriz de covariˆancia mais adequada quando houver mais de uma op¸c˜ao plaus´ıvel. Ap´os obter estimativas para os parˆametros dos modelos ´e necess´ario va- lidar as suposi¸c˜oes feitas. Isso, em geral, ´e conseguido atrav´es da an´alise de res´ıduos. Para os modelos lineares mistos os res´ıduos s˜ao observados para verificar lineariedade, observa¸c˜oes discrepantes, observa¸c˜oes com alavanca- gem alta, al´em de outros eventos, como por exemplo a homocedasticidade dos erros aleat´orios e a independˆencia condicional das observa¸c˜oes, caso seja especificado no modelo utilizado tais caracter´ısticas. 3 Modelos Lineares Mistos A forma funcional do modelo ´e a seguinte: Yi = Xiβ + Zibi + i i = 1, 2, 3 . . . , k em que Yi ´e um vetor (ni ×1) com as observa¸c˜oes da i-´esima unidade amos- tral. Xi ´e uma matriz (ni ×m), em que m ´e o total de vari´aveis explicativas (regressores). β ´e um vetor m × 1 com os coeficientes de regress˜ao, tamb´em chamados de efeitos fixos. Zi ´e uma matriz de planejamento, tem dimens˜ao ni × p e posto completo e ´e conhecida. bi tem dimens˜ao p × 1 e ´e chamado vetor de efeitos aleat´orios, que ser˜ao usados para modelar a covariˆancia entre medidas obtidas a partir de uma mesma unidade amostral. E finalmente i ´e o vetor ni × 1 de erros aleat´orios. ´E assumido ainda que: 2
  3. 3. • i ∼ N(0, σ2Ini ) para todo i; • bi ∼ N(0, Ψ∗ ) para todo i; • i e bj s˜ao independentes para todo i e j; Existe uma maneira ainda mais concisa de representar modelos lineares mistos: Y = Xβ + Zb + em que Y = (Y1, Y2, . . . , Yk) , X = (X1, X2, . . . , Xk) , Z = k i=1 Zi, b = (b1, b2, . . . , bk) e = ( 1, 2, . . . k) . ´E assumido que b e possuˆem estruturas de covariˆancia respectivamente iguais a Ψ = Ik Ψ∗ e R = k i=1 Ri, com Ri = σ2Ini . Ent˜ao: Y ∼ N(Xβ, ZΨZ + R) Y|b ∼ N(Xβ + Zb, R) Conhecidas as matrizes de covariˆancia, β e b s˜ao estimados por: ˆβ = (X V−1 X)−1 X V−1 Y ˆb = ΨZ V−1 (Y − Xˆβ) Em que V = ZΨZ +R. As matrizes V,R e Ψ podem ser estimadas atrav´es de m´etodos de m´axima verssimilhan¸ca e m´axima verossimilhan¸ca restrita. Esse processo ir´a envolver m´etodos iterativos e pode ser conferido em mais detalhes em Searle(2001) e Demidenko(2004). 4 Discuss˜ao e Exemplos de Aplica¸c˜ao Foram apresentados na primeira parte do trabalho trˆes exemplos de da- dos com medidas repetidas e trˆes modelos foram ajustados aos dois primeiros exemplos. Um exemplo traz dados sobre a taxa de juros para vendas de car- ros novos retirado de Tukey(1991). Para esses dados foi ajustado o modelo yij = µi + ij, em que yij corresponde a j-´esima observa¸c˜ao na i-´esima cidade, e em seguida foi ajustado o modelo de interceptos aleat´orios yij = αi+jβ+ ij para o mesmo conjunto de dados. Para esses dois modelos foram calcula- dos os estimadores dos parˆametros sem aux´ılio de m´etodos iterativos para demonstrar os processos de m´axima verossimilhan¸ca e m´axima verossimi- lhan¸ca restrita. O segundo exemplo traz dados simulados para quantidade 3
  4. 4. de vendas (Y) em fun¸c˜ao do pre¸co (X) e para ele foi ajustado o modelo linear de coeficientes aleat´orios, yij = αi + xijβi + ij, j´a com aux´ılios com- putacionais para demonstrar a utiliza¸c˜ao dos m´etodos de estima¸c˜ao no caso mais geral. Em seguida foi feita a an´alise de res´ıduos dos modelos ajustados e mais um conjunto de dados atuariais foi examinado. 5 Considera¸c˜oes Modelos lineares mistos s˜ao uma ´otima alternativa para modelar a de- pendˆencia entre observa¸c˜oes e o comportamento individual das unidades amostrais. Em Atu´aria a aplica¸c˜ao torna-se evidente devido a grande quan- tidade de problemas pr´aticos envolvendo dados agrupados ou com medidas repetidas. ´E necess´ario registrar que dentre os problemas em Atu´aria a suposi¸c˜ao de distribui¸c˜ao normal dos erros nem sempre ´e atendida. Al- guns trabalhos mostram aplica¸c˜oes de modelos lineares mistos e modelos lineares mistos generalizados em Atu´aria, como exemplo podemos citar An- tonio(2007) e Jong e Heller(2008). REFERˆENCIAS BIBLIOGR´AFICAS Antonio, K. and Beirlant, J. (2007). Actuarial statistics with generalized linear mixed models. Insurance: Mathematics and Economics 40(1), 58-76. De Jong, P. and Gillian, G.Z. (2008). Generalized Linear Models for Insure Data. Cambridge University Press. Demidenko, E. (2004). Mixed models: theory and applications. John Wiley & Sons, New York. Hoaglin, D., Mosteller, F. and Tukey, J. (1991). Fundamentals of Expla- natory Analysis of Variance. John Wiley & Sons, New York. McCulloch, C.E. and Searle S.R. (2001). Generalized, Linear and Mixed Models. John Wiley & Sons, New York. 4

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