Medidas e Unidades.pdf

Fı́sica Aplicada I
Medidas e Unidades
Professor José Jacinto Cruz de Souza
Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ
Departamento de Engenharia Civil - Elétrica - Mecânica
Professor José Jacinto Cruz de Souza (Centro Universitário de João Pessoa - UNIPÊ Departamento de Engenharia Civil - Elétric
Medidas e Unidades 1 / 43

Grandezas Fı́sicas
Conceitos
A tudo aquilo que pode ser medido, associando-se um valor numérico a uma unidade
de medida, dá-se o nome de GRANDEZA FÍSICA. Ex: Tempo, distância, volume,
energia, massa e etc.
Classificações das grandezas fı́sicas
Grandezas Escalares
Fica perfeitamente entendida pelo valor numérico e pela unidade de medida; não
se associa às noções de direção e sentido. Exemplos: temperatura, massa, tempo,
energia, etc.
Grandezas vetoriais
Necessita, para ser perfeitamente caracterizada, das ideias de direção, sentido, de
valor numérico e de unidade de medida. Exemplos: força, impulso, quantidade de
movimento, velocidade, aceleração, força, etc.

O que significa medir uma Grandeza Fı́sica?
Noções gerais
Medimos cada grandeza fı́sica em unidades apropriadas, por comparação
com um padrão. A unidade é o nome particular que atribuı́mos às medidas
dessa grandeza. Ex: metro, segundo, grama e etc.

O que significa medir uma Grandeza Fı́sica?
Noções gerais
Medimos cada grandeza fı́sica em unidades apropriadas, por comparação
com um padrão. A unidade é o nome particular que atribuı́mos às medidas
dessa grandeza. Ex: metro, segundo, grama e etc.
Noções gerais
O processo de comparação envolvido numa medida é realizado utilizando-se
um instrumento previamente calibrado pelo padrão de medida, como uma
régua ou uma balança.
Noções gerais
Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui 1kg de massa, que-
remos dizer que, dentro de certa precisão, sua massa é igual ao padrão
convencionado de massa, cuja unidade de medida no sistema adotado é o
quilograma, denotada pelo sı́mbolo “kg”.

Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades (SI)
Noções gerais
O SI é um conjunto sistematizado e padronizado de definições para unidades
de medida, utilizado em quase todo o mundo moderno.
Noções gerais
Em 1971, na 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, foram selecionados
com fundamentais sete grandezas fı́sicas, para constituir o sistema interna-
cional de unidades ou sistema métrico.

Grandeza Unidade Abreviação (sı́mbolo)
Comprimento [L] metro m
Tempo [T] segundo s
Massa [M] quilograma kg
Corrente elétrica [A] ampère A
Temperatura [θ] kelvin K
Intensidade luminosa [I] candela cd
Quantidade de matéria [N] mol mol
Tabela: Exemplos de unidades adotadas no SI.
Unidades fundamentais do sistema internacional, relacionadas aos
fenômenos da Mecânica Clássica: Comprimento, Tempo e Massa.

Na Tabela abaixo são apresentados alguns exemplos de unidades
derivadas do SI.
Grandeza Unidade Sı́mbolo
Velocidade Metro por segundo m/s
Aceleração Metro por segundo ao quadrado m/s2
Massa especı́fica Quilograma por metro cúbico kg/m3
Frequência Hertz Hz ou s−1
Força Newton N ou m.kg.s−2
Carga elétrica Coulomb C ou s.A
Energia Joule J ou N.m
Potência Watt W ou J/s
Tabela: Unidades derivadas do SI.

Comprimento, Tempo e Massa
As unidades fundamentais da mecânica no SI são definidas como:
Metro (m)
O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante
um intervalo de tempo de 1/299792458 do segundo.
Segundo (s)
O segundo é a duração de 9.192.631.770 perı́odos da radiação correspon-
dente á transição entre os dois nı́veis hiperfinos do estado fundamental do
átomo de césio 133.
O Quilograma-Padrão (kg)
Quilograma é definido por um protótipo cilı́ndrico composto de uma liga de
platina e 10% de irı́dio, mantido sob condições de vácuo nas proximidades
de Paris.

Notação Cientı́fica e Ordem de Grandeza
Notação Cientı́fica
Para expressar as grandezas muito grandes ou muito pequenas frequen-
temente encontradas na fı́sica, usamos a notação cientifica, que emprega
potência de base 10, na forma a.10n, onde 1 < a < 10 e n expoente (indica
a quantidade de casas decimais). Exemplos:

3.560.000.000m = 3, 56 × 109
0, 000000492s = 4, 92 × 10−7
s

3.560.000.000m = 3, 56 × 109
0, 000000492s = 4, 92 × 10−7
s
Observação
Nos computadores a notação cientifica assumem a forma abreviada, 3.56E9
e 4.92E − 7, onde E é usado para designar o “expoente de dez‘.

Mudanças de Unidade
Mudanças de Unidades
Noções gerais
Muitas vezes é preciso mudar a unidade nas quais uma grandeza fı́sica está
expressa. Segue algumas relações importantes:

Mudanças de Unidade
Por conveniência, as grandezas muito grandes ou pequenas, usamos prefixos.

Exemplos - Mudanças de Unidade
Exemplo 1: Ao estudar a planta de uma construção, um engenheiro deparou-se
com unidades de área dadas em cm2
. Certo cômodo dessa construção apresentava
área de 120000cm2
. Qual valor dessa área, expressa em m2
?

área de 120000cm2
? R : 12m2
Exemplo 2: Um aquário tem o formato de um paralelepı́pedo retangular, de largura
50 cm, comprimento 32 cm e altura 25 cm. Para encher 3/4 dele com água, quantos
litros de água serão usados?

área de 120000cm2
? R : 12m2
litros de água serão usados? V = 30L
Exemplo 3: Quando era jovem, Arquimedes corria 15 km em 1h45min. Agora que
é idoso, ele caminha 8 km em 1h20min. Para percorrer 1 km agora que é idoso,
comparando com a época em que era jovem, Arquimedes precisa de mais quanto
tempo, em minutos?

área de 120000cm2
? R : 12m2
tempo, em minutos? R: Precisará de 3min
Exemplo 4: A velocidade da luz no vácuo é dada por c = 3.108
m/s. Escreva o
valor de c em: (a) km/s (b) km/h (c) milhas/h.

área de 120000cm2
? R : 12m2
m/s. Escreva o
valor de c em: (a) km/s (b) km/h (c) milhas/h.(a) 3.105
km/s. (b) 1, 08.109
km/h.
(c) ≈ 6, 72.108
milhas/h

área de 120000cm2
? R : 12m2
m/s. Escreva o
km/s. (b) 1, 08.109
km/h.
(c) ≈ 6, 72.108
milhas/h
Exemplo 5: O volume do tanque de combustı́vel de um ônibus é de 64000cm3
.
Sendo o consumo desse ônibus de 1 litro a cada 12km. Determine a distância
máxima que esse veı́culo pode percorrer até esgotar todo o combustı́vel.

área de 120000cm2
? R : 12m2
m/s. Escreva o
km/s. (b) 1, 08.109
km/h.
(c) ≈ 6, 72.108
milhas/h
Exemplo 5: O volume do tanque de combustı́vel de um ônibus é de 64000cm3
.
Sendo o consumo desse ônibus de 1 litro a cada 12km. Determine a distância
máxima que esse veı́culo pode percorrer até esgotar todo o combustı́vel. d = 768km

Analise Dimensional
Analise Dimensional
Uma grandeza fı́sica qualquer pode ser expressa, sob a forma de um produto
de potências das grandezas das quais ela depende. Consideremos uma gran-
deza fı́sica G que depende das grandezas X, Y e Z, logo, podemos escrever:
G = kXa
Y b
Zc
Em que, k, a, b e c são números reais.
Na mecânica adotamos como grandezas fundamentais: Comprimento (L),
massa (M) e tempo (T).
A expressão de uma grandeza fı́sica G em função das grandezas fundamen-
tais denomina-se fórmula ou equação dimensional.
Para simbolizar as dimensões de uma grandeza fı́sica usaremos colchetes.
Por exemplo:
[G] = Ma
Lb
Tc

Exemplos- Analise Dimensional
Exemplo 5: A posição de um ponto material é dada por x = kv2, onde v
representa a velocidade, e k é uma constante. Determine as unidades de k.
Exemplo 6: Uma formação rochosa porosa dentro da qual a água pode se
deslocar constitui um aquı́fero. O volume V de água que passa pela seção
reta de área A dessa formação rochosa, no tempo t, é dado por
V
t
= KA
H
L
onde H é a queda vertical da rocha, em relação à distância horizontal L. K
é a condutividade hidráulica da rocha. Quais são as unidades SI de K.?

*Exemplo 7: Considere como grandezas fundamentais o volume (V), a
pressão (p) e a aceleração (a). Mostre que para este sistema a equação
dimensional da potência é dada por: P = p.a1/2.V 5/6.

Solução:

Solução: Inicialmente sabemos que as Unidades no SI de volume, pressão e aceleração,
são respectivamente:
V : (m3
) p : (N/m2
) a : (m/s2
) P : (W ) = (J/s) = (N.m/s)

Solução: Inicialmente sabemos que as Unidades no SI de volume, pressão e aceleração,
são respectivamente:
V : (m3
) p : (N/m2
) a : (m/s2
) P : (W ) = (J/s) = (N.m/s)
Para verificar a equivalência da equação iremos substituir do lado direito as unidades de
pressão, aceleração e volume
[P] =
N
m2
.
m
s2
1/2
.

m3
5/6
[P] = N.m−2
.
m1/2
s
.m15/6
[P] = N.
m
s
.
Como podemos verificar a equação está dimensionalmente correta em termos das unidades
no SI.

Algarismos Significativos
Algarismos significativos de uma medida corresponde ao conjunto formado
por todos os seus algarismos corretos, mais o (único) algarismo duvidoso.
Algarismos corretos - São aqueles sobre os quais temos certeza, porque
foram mostrados pelo aparelho de medida.
Algarismo duvidoso - É aquele (único!) que foi avaliado. É sempre o último
algarismo da medida.

Algarismos significativos de uma medida corresponde ao conjunto formado
por todos os seus algarismos corretos, mais o (único) algarismo duvidoso.
Algarismos corretos - São aqueles sobre os quais temos certeza, porque
foram mostrados pelo aparelho de medida.
Algarismo duvidoso - É aquele (único!) que foi avaliado. É sempre o último
algarismo da medida.

Em toda a medição é importante expressar o resultado com números corretos
de algarismos significativos. Para isso, é preciso seguir as seguintes etapas:
1 Os algarismos significativos de uma medida são todos os corretos
mais o duvidoso.
2 O algarismo duvidoso é o que é afetado pela incerteza da medição.
3 Os zeros à esquerda do número, não são algarismos significativos,
pois o número de algarismos significativos não depende das unidades
de medida resultante. Assim, tanto L = 32, 5cm como L = 0, 325m
representam a mesma medida e tem 3 A.S.
4 Zeros à direita ou situado entre algarismos são significativos, pois
indicam um valor medido. Ex: L = 3,25 cm (3 A.S.), L= 3,025 m (4
A.S.)

Critérios de arredondamento
1 Quando o último algarismo for menor que 5, 50, 500, 5000, etc.,
desprezamos e todos que o seguem.
2 Quando o último algarismo significativo for maior que 5, 50, 500,
5000, etc., acrescentamos 1 unidade ao algarismo anterior.
3 Igual a 5: Se o algarismo anterior ao 5 for ı́mpar, acrescentamos 1
unidade. Caso contrário, conservamos o algarismo.
Observações:
❏ A operação não pode alterar a precisão da medida!
❏ Ao somar ou subtrair, as quantidades nessas operações, deve conter as
mesmas unidades de medidas antes de fazer essas operações.
❏ A potência de base 10 em uma medida não altera o número de algarismos
significativos.

Soma e Subtração - Arredondar todas as parcelas para a quantidade de
casas decimais da parcela que tiver menor número de casas decimais. Efetuar
a operação. Todos os algarismos do resultado serão significativos.

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m =

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m = 10, 72m.
■ 133, 35cm − 46, 7cm =

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m = 10, 72m.
■ 133, 35cm − 46, 7cm = 86, 65cm.
Multiplicação e Divisão - Efetuar normalmente a operação. Arredondar o
resultado para a quantidade de casas decimais da parcela que tiver menor
número de casas decimais.
Exemplo 8: Efetuar as seguintes operações usando as regras gerais de
arredondamento e o sistema internacional de unidades:
(a) (2, 0002cm × 1, 15cm × 0, 5hm)/23, 5cm =

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m = 10, 72m.
■ 133, 35cm − 46, 7cm = 86, 65cm.
(a) (2, 0002cm × 1, 15cm × 0, 5hm)/23, 5cm = 4, 9.10−2
m
(b) 6, 27m + 3, 7m − 50dam + 100cm + 55km =

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m = 10, 72m.
■ 133, 35cm − 46, 7cm = 86, 65cm.
(a) (2, 0002cm × 1, 15cm × 0, 5hm)/23, 5cm = 4, 9.10−2
m
(b) 6, 27m + 3, 7m − 50dam + 100cm + 55km = 54510m
(c) 2, 6cm2
× 1, 4cm × 0, 780m2
× 56, 3m2
=

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m = 10, 72m.
■ 133, 35cm − 46, 7cm = 86, 65cm.
(a) (2, 0002cm × 1, 15cm × 0, 5hm)/23, 5cm = 4, 9.10−2
m
(b) 6, 27m + 3, 7m − 50dam + 100cm + 55km = 54510m
(c) 2, 6cm2
× 1, 4cm × 0, 780m2
× 56, 3m2
= 1, 6.10−4
(d) (1, 2.103
m × 10.10−6
cm) + (1, 6.10−19
m × 8, 3cm) =

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m = 10, 72m.
■ 133, 35cm − 46, 7cm = 86, 65cm.
(a) (2, 0002cm × 1, 15cm × 0, 5hm)/23, 5cm = 4, 9.10−2
m
(b) 6, 27m + 3, 7m − 50dam + 100cm + 55km = 54510m
(c) 2, 6cm2
× 1, 4cm × 0, 780m2
× 56, 3m2
= 1, 6.10−4
(d) (1, 2.103
m × 10.10−6
cm) + (1, 6.10−19
m × 8, 3cm) = 1, 2.10−4
m2
(e) (1, 5h × 1, 5dias) − (50min + 1h) =

■ 2, 653m + 53, 8cm + 375cm + 3, 782m = 10, 72m.
■ 133, 35cm − 46, 7cm = 86, 65cm.
(a) (2, 0002cm × 1, 15cm × 0, 5hm)/23, 5cm = 4, 9.10−2
m
(b) 6, 27m + 3, 7m − 50dam + 100cm + 55km = 54510m
(c) 2, 6cm2
× 1, 4cm × 0, 780m2
× 56, 3m2
= 1, 6.10−4
(d) (1, 2.103
m × 10.10−6
cm) + (1, 6.10−19
m × 8, 3cm) = 1, 2.10−4
m2
(e) (1, 5h × 1, 5dias) − (50min + 1h) = 7, 0.108
s

Exemplos - Algarismos Significativos
Exemplo 9: Faça as transformações de unidades abaixo apresentando o
resultado em notação cientı́fica e mantendo o mesmo número de algarismos
significativos.
(a) 31,4 cm para m =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg = 2.10−5kg
(e) 2,01 kg/m3 para g/cm3 =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg = 2.10−5kg
(e) 2,01 kg/m3 para g/cm3 = 2, 01.10−3g/cm3
Exemplo 10: Faça os arredondamentos de modo que todos os valores
abaixo fiquem com dois algarismos significativos
(a) 0,00355 cal/g =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg = 2.10−5kg
(e) 2,01 kg/m3 para g/cm3 = 2, 01.10−3g/cm3
(a) 0,00355 cal/g = 0, 0036cal/g
(b) 29,555 g/s =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg = 2.10−5kg
(e) 2,01 kg/m3 para g/cm3 = 2, 01.10−3g/cm3
(a) 0,00355 cal/g = 0, 0036cal/g
(b) 29,555 g/s = 30g/s
(c) 26,578 m =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg = 2.10−5kg
(e) 2,01 kg/m3 para g/cm3 = 2, 01.10−3g/cm3
(a) 0,00355 cal/g = 0, 0036cal/g
(b) 29,555 g/s = 30g/s
(c) 26,578 m = 27m
(d) 98,523 J =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg = 2.10−5kg
(e) 2,01 kg/m3 para g/cm3 = 2, 01.10−3g/cm3
(a) 0,00355 cal/g = 0, 0036cal/g
(b) 29,555 g/s = 30g/s
(c) 26,578 m = 27m
(d) 98,523 J = 99J
(e) 0,04556 N =

significativos.
(a) 31,4 cm para m = 3, 14.10−1m
(b) 123,89 km2 para mm2 = 1, 2389.1014mm2
(c) 1,3 km/h para mm/s = 3, 6.101mm/s
(d) 0,02 g para kg = 2.10−5kg
(e) 2,01 kg/m3 para g/cm3 = 2, 01.10−3g/cm3
(a) 0,00355 cal/g = 0, 0036cal/g
(b) 29,555 g/s = 30g/s
(c) 26,578 m = 27m
(d) 98,523 J = 99J
(e) 0,04556 N = 0, 046N

Densidade
Densidade
A densidade de um corpo é definida como sendo a massa por unidade de
volume.
ρ =
m
V
A densidade é expressa em kg/m3 e , obviamente, a densidade da água é
ρ = 103kg/m3 (ou 1g/cm3, ou ainda 62, 4Ib/ft3).
Densidade relativa
Se ρ1 e ρ2 são as densidade de duas substâncias diferentes, a densidade
relativa da segunda, em relação a primeira, será
ρ12 =
ρ1
ρ2

Ângulos
Existem dois sistemas para medir ângulos planos: graus e radianos.
Ângulos planos
Para exprimir um ângulo plano em radianos, traça-se o arco AB com um
raio arbitrário R, com centro no vértice O do referido ângulo.
θ =
l
R
Lembrando que o comprimento da circun-
ferência é 2πR, o ângulo plano completo, em
torno de um ponto, medido em radianos é
2πR/R = 2πrad. Logo, 2πrad é equivalente
a 360.
1◦
=
π
180
= 0, 017453rad, 1rad =
180◦
π
≈ 57◦

Teoria dos Erros
Introdução a Teoria dos Erros
A fı́sica e a engenharia baseiam-se fundamentalmente em relações entre quantidades
mensuráveis, mediante a realização de observações experimentais, que chamamos
de medidas.

Teoria dos Erros
de medidas.
Qualquer medida ou valor experimental tem pouco valor (significado), a não ser
que se tenha uma estimativa do seu erro ou incerteza e o valor medido reflita a
precisão com que foi mensurado.

Teoria dos Erros
de medidas.
Qualquer medida ou valor experimental tem pouco valor (significado), a não ser
que se tenha uma estimativa do seu erro ou incerteza e o valor medido reflita a
precisão com que foi mensurado.
Toda medição é afetada por uma incerteza que provém das limitações impostas
pela precisão e exatidão dos instrumentos utilizados, método de medição, definição
do objeto a medir e influência do(s) observador(es) que realiza(m) a medição.
- O que se procura em cada medição é conhecer o valor medido (x) e a sua incerteza
(δx) na determinação do resultado, ou seja, determinar os limites probabilı́sticos
destas incertezas.

Teoria dos Erros
○ Verifica-se que as grandezas fı́sicas possui as seguintes caracterı́sticas:
(a) Um valor numérico;
(b) Uma indeterminação;
(c) Uma unidade (normalmente, pois algumas grandezas são adimensionais).
■ Exemplo:
1) Temperatura indicada pelo termômetro de um forno: 500◦C;
2) Pressão indicada pelo pressostato de uma caldeira: 200 bar;
3) Resistência elétrica de um condutor indicada por um multı́metro: 300 ohms.
○ No caso dos exemplos citados, considerando o erro dos sensores, cabos e todo
o tipo de componente bem como o próprio ambiente em que é feita a medição em
si, poderı́amos expor as informações como as seguintes:
1) Termômetro de um forno: (500 ± 3)◦C;
2) Pressão de um caldeira: (200 ± 2)bar;
3) Resistência elétrica: (300 ± 0, 5)ohms

Teoria dos Erros
Representação de uma medida experimental
Uma forma usual e geral de expressar um resultado de uma medição é (x̄ ± σ̄)u.
x é o número associado a medida, σ̄ é a incerteza da medida e u representa a
unidade da medida.
Tipos de Incerteza
Incerteza do Instrumento
Os instrumentos de medição têm uma incerteza finita que está associada à variação
mı́nima da magnitude que ele mesmo pode detectar.
Incerteza estatı́sticas ou aleatórias
São as devidas flutuações aleatórias na determinação do valor mensurando entre
uma medida e outra. Portanto, medindo várias vezes e calculando a média, é
possı́vel reduzir a incerteza significativamente. Estas incertezas são tratadas pela
teoria estatı́stica de erros de medições.

Teoria dos Erros
Tipos de Incerteza
Incerteza Sistemáticas
Acontecem pelas imperfeições dos instrumentos e métodos de medição e sempre
se produzem no mesmo sentido (não podem ser eliminados com varias medições).
Ex.: um relógio que atrasa ou adianta, uma régua que se dilata, o erro devido à
paralaxe, etc.
Erro Grosseiro
Ocorrem devido a falta de pratica (imperı́cia) ou distração do operador. Como
exemplos, podemos citar a escolha errada de escalas, erros de calculo, etc. Devem
ser evitados pela repetição cuidadosa das medições.

Teoria dos Erros
Precisão e Acurácia (exatidão)
Precisão
A precisão da medida diz respeito à dispersão do conjunto. Alta precisão significa
que medidas independentes fornecem valores similares se repetidas várias vezes.
Acurácia (exatidão)
A acurácia se refere ao quanto as medidas, tomadas como conjunto ou não, se
aproximam do valor verdadeiro da grandeza.
■ Precisão - relacionada a incerteza ¯
sigma
■ Exatidão - relacionada ao valor esperado x̄

Teoria dos Erros
- Podemos visualizar isso através da imagem de um alvo que foi atingido por
diversos dardos, jogados por atiradores com habilidades bem diferentes.

Teoria dos Erros

Teoria dos Erros
(A) Baixas precisão e acurácia. (C) Alta precisão e baixa acurácia.
(B) Baixa precisão e alta acurácia. (D) Altas precisão e acurácia.

Teoria dos Erros
De um modo geral, a maioria das situações que envolvem medidas pode ser dividida
em duas categorias: Medidas Direta e Indireta.
Medida Direta
Medidas tomadas com um tipo especı́fico de instrumento, como paquı́metro,
micrômetro, medidor de perfil etc. (exemplo: medição do diâmetro de um eixo,
aspereza de uma superfı́cie, perfil de uma rosca).
Medida Indireta
O valor da grandeza é determinado a partir da medição direta de outras grandezas
(exemplo: ensaio de fratura, torção, tração). A grandeza de interesse é obtida
em função de relações algébricas (fórmulas matemáticas) de outras grandezas e
afetada por seus respectivos erros.

Teoria dos Erros
Medidas Direta com flutuações aleatórias
Valor provável da medida
- Consideremos uma grandeza da qual se fazem N medições diretas, que chamare-
mos: x1, x2, x3, ..., xn. Estes valores serão geralmente distintos entre si, mas alguns
valores podem-se repetir. O valor mais provável da grandeza é a média aritmética
dos valores medidos
x̄ =
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
A média aritmética se caracteriza por apresentar as medições ao seu redor, de modo
que a soma dos desvios é igual a zero.

Teoria dos Erros
Dispersão das medições ou Desvio padrão
Para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio e
expressar qualidade das medições, utiliza-se o conceito de desvio padrão da medida:
σ2
=
1
n − 1
.
n
X
i=1
(xi − x̄)2
- O desvio padrão é um parâmetro que caracteriza o processo de medida. -
Quando as medições são poucas, pode flutuar, mas para muitas medidas (n grande)
estabiliza-se e não depende do número de medições.

Teoria dos Erros
Dispersão das medições ou Desvio padrão
Para quantificar o grau de dispersão das medidas em relação ao valor médio e
expressar qualidade das medições, utiliza-se o conceito de desvio padrão da medida:
σ2
=
1
n − 1
.
n
X
i=1
(xi − x̄)2
- O desvio padrão é um parâmetro que caracteriza o processo de medida. -
Quando as medições são poucas, pode flutuar, mas para muitas medidas (n grande)
estabiliza-se e não depende do número de medições.
Erro ou Incerteza do valor médio - A incerteza associada a um valor médio é
estimada por outro tipo de desvio padrão, chamado desvio padrão da média:
σ̄ =
σ
√
n
○ O erro do valor médio é a dispersão esperada para as médias de várias séries de
medições realizadas nas mesmas condições. Esse valor representa a incerteza
da medida direta de uma determinada grandeza.

Teoria dos Erros
Calculadora Cientı́fica
Para determinação de alguns parâmetros estatı́stico, utilizaremos alguns modelos
de calculadora cientı́ficas, conforme as ilustrações a seguir.
®Link - Emuladores de Calculadoras Casio Fx-82 e Vn-500ms (Modelo 1 e 2).

Teoria dos Erros
Exemplo 1: Em um teste balı́stico, são feitas medições do intervalo de
tempo entre o disparo de um projétil e o instante em que ele toca o solo.
Para isso, utiliza-se um cronômetro digital, com resolução de centésimos
de segundo. Determine o valor experimental do tempo e sua incerteza
estatı́stica.

Teoria dos Erros
estatı́stica.
Uso de Calculadora Cientı́fica.

Teoria dos Erros
estatı́stica.
Uso de Calculadora Cientı́fica. ○ Gabarito: t = (11, 21 ± 0, 03)s.

Teoria dos Erros
Exemplo 2: As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha
foram obtidas 8vezes e os resultados estão colocados na tabela a seguir.
Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, deter-
mine:
(a) Os valores médios da massa, comprimento e largura da folha.
(b) A incerteza das medidas da massa, comprimento e largura da
folha. E exponha o resultado experimental de cada uma das
grandezas fı́sicas (massa, comprimento e largura).

Teoria dos Erros
Solução - Exemplo 2.
(a) Valores Médios da Massa, Largura e Comprimento:
M̄ =
Pn
i=1
n
=
4, 51 + 4, 46 + 4, 56 + 4, 61 + 4, 43 + 4, 41 + 4, 56 + 4, 61
8
M̄ = 4, 52g

Teoria dos Erros
M̄ =
Pn
i=1
n
=
4, 51 + 4, 46 + 4, 56 + 4, 61 + 4, 43 + 4, 41 + 4, 56 + 4, 61
8
M̄ = 4, 52g
L̄ =
Pn
i=1
n
=
21, 0 + 21, 2 + 20, 8 + 21, 1 + 21, 1 + 20, 9 + 20, 9 + 20, 7
8
L̄ = 20, 95cm

Teoria dos Erros
M̄ =
Pn
i=1
n
=
4, 51 + 4, 46 + 4, 56 + 4, 61 + 4, 43 + 4, 41 + 4, 56 + 4, 61
8
M̄ = 4, 52g
L̄ =
Pn
i=1
n
=
21, 0 + 21, 2 + 20, 8 + 21, 1 + 21, 1 + 20, 9 + 20, 9 + 20, 7
8
L̄ = 20, 95cm
C̄ =
Pn
i=1
n
=
30, 2 + 29, 8 + 29, 9 + 30, 1 + 29, 8 + 30, 1 + 29, 9 + 29, 9
8
C̄ = 29, 96cm

Teoria dos Erros
(b) Incerteza da Massa, Largura, e Comprimento. Inicialmente determina-
mos o desvio padrão amostral.
Sm =
1
n − 1
n
X
i=1
(Mi − M̄)2
= 0, 08cm
SL =
1
n − 1
n
X
i=1
(Li − L̄)2
= 0, 18cm
SC =
1
n − 1
n
X
i=1
(Ci − C̄)2
= 0, 15cm
A incerteza das medidas serão definidas através do desvio padrão da média:
σ̄m =
Sm
√
n
= 0, 03g σ̄L =
SL
√
n
= 0, 06cm σ̄C =
SC
√
n
= 0, 05cm

Teoria dos Erros
Exemplo 3: Considere a peça plana aproximadamente circular da figura ao lado.
Um técnico mediu o diâmetro D e a altura h desta peça em 10 posições distintas
e independentes, obtendo a tabela abaixo.
(a) Calcule os desvios padrão e os desvios padrão da média para os
conjuntos de medidas acima.
(b) Expresse corretamente os resultados das medidas do diâmetro D e
da altura h da peça.
(c) Qual a incerteza relativa total para cada uma das dimensões da
peça? Supondo que a incerteza instrumental para ambas as medidas
seja σinstr = 0, 01mm. Dado: Incerteza total σtotal =
p
σ2
inst + σ2
est.

Teoria dos Erros
(a) Incerteza da Massa, Largura, e Comprimento. Inicialmente determina-
mos o desvio padrão amostral.
SD =
1
n − 1
n
X
i=1
(Di − D̄)2
= 0, 31mm
Sh =
1
n − 1
n
X
i=1
(hi − h̄)2
= 0, 04mm
A incerteza das medidas serão definidas através do desvio padrão da média:
σ̄D =
SD
√
n
= 0, 10mm σ̄h =
Sh
√
n
= 0, 01mm
(b) A forma adequada de expor o resultado experimental do diâmetro e da
altura será:
D = (25, 5 ± 0, 10)mm h = (0, 50 ± 0, 01)mm

Teoria dos Erros
(c) A incerteza total σtotal =
q
σ2
inst + σ2
est. Neste caso, substituiremos os
resultados anteriores do desvio padrão da média de cada grandeza fı́sica
juntamente com a incerteza instrumental.

Teoria dos Erros
Propagação dos Erros - Medidas Indiretas
A maior parte das quantidades ou relações que pretendemos obter não são dadas
por leitura direta, mas calculadas a partir dos valores experimentais e de uma
equação de definição.

Teoria dos Erros
O resultado do cálculo do erro é uma função das variáveis independentes. Con-
sideremos que a grandeza Y a ser determinada dependente de outras grandezas
x1, x2, x3, ..., xn através da relação:
∆Y = f (x1, x2, x3, ..., xn) (1)

Teoria dos Erros
O resultado do cálculo do erro é uma função das variáveis independentes. Con-
sideremos que a grandeza Y a ser determinada dependente de outras grandezas
x1, x2, x3, ..., xn através da relação:
∆Y = f (x1, x2, x3, ..., xn) (1)
A variação de ∆Y em função de cada uma das variações infinitesimais de cada
uma dos xi , é dada pela diferencial de Y . Chamando de ∆Z o erro do resultado
(sendo ∆x1, ∆x2, ∆x3, ...∆xn) os erros das variáveis independentes:
∆Y =
s
∂f
∂x1
∆x1
2
+

∂f
∂x2
∆x2
2
+ .... +

∂f
∂xn
∆xn
2
(2)
onde os ∂f
∂xi
representam as derivadas parciais da função f em relação a cada uma
das variáveis xi de que depende.

Teoria dos Erros
Exemplo 4: Para poder produzir a quantidade de concreto necessária, um engenheiro precisa
saber a massa final M de uma viga de concreto, cujas dimensões são:
C = 2500, 00cm, H = 150, 0cm e L = 50, 0cm
conforme largura abaixo, mensuradas com uma trena cuja menor divisão é 1cm.
Como M = ρc V , é necessário saber a densidade ρc do concreto produzido na obra. Para obter
ρc , ele manda medir a massa m, e as dimensões h e ϕ de um corpo de prova cilı́ndrico, como o
esquematizado na largura ao lado. Os resultados recebidos foram:
m = 3, 8kg, h = 19, 85cm e ϕ = 10, 50cm,
As medições foram feitas com uma balança digital, cuja menor divisão é 0, 1kg, e com uma régua
cuja menor divisão é 1mm.
(a) Escreva todas as grandezas dadas C, H, L, h, ϕ e m com suas incertezas e res-
pectivos algarismos significativos no sistema S.I.
(b) Usando os dados do corpo de prova, calcule a densidade ρc e sua incerteza
σρc , considerando apenas a incerteza da massa m. Expresse o resultado desta
medida.
(c) Determine a massa total da viga M = ρc V e a incerteza σM resultante deste
cálculo, onde V = CHL é o volume da viga. Considere apenas a incerteza da
densidade ρc .

Teoria dos Erros
Exemplo 5: Uma junta de vedação de formato quadrado L×L, tem uma abertura circular
de diâmetro d e massa m = 78 ± 2g. As dimensões L e d podem ser obtidas através da
leitura das réguas, com escala em centı́metro, a partir da figura ao lado. A junta tem
espessura uniforme de dimensão δ = 5mm com incerteza desprezı́vel.
(a) Obtenha as dimensões do lado L e do diâmetro d, indicando claramente
os valores confiáveis e suas respectivas incertezas na forma apropriada.
(b) Calcule o volume da junta e sua incerteza. Escreva claramente as fórmulas
usadas para os cálculos do volume e da incerteza. Justifique suas respos-
tas.
(c) A junta deve ser produzida com borracha. Calcule a densidade ρ da junta
e indique qual (ou quais) tipo(s) de borracha poderiam ter sido usados
para esta finalidade, de acordo com a tabela de valores ao lado. A(s)
indicação(ões) só terão valor quando baseada(s) no cálculo da densidade
e da sua incerteza.

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