Este documento contém notas de aula sobre limites de funções reais de uma variável. Aborda tópicos como definição formal de limite, limites laterais, propriedades para cálculo de limites, limites infinitos, limites no infinito, limites especiais como indeterminações, teorema do confronto e limites de funções trigonométricas e exponenciais. Inclui também uma lista de exercícios sobre limites no final.
Este documento apresenta o programa e os objetivos gerais do curso de Análise Matemática I. Aborda conceitos fundamentais como sucessões, séries, funções reais, cálculo diferencial e integral em R. O documento estrutura-se em 5 capítulos que cobrem estes tópicos, definindo conceitos, apresentando propriedades e métodos de resolução de problemas.
Algebra linear um_livro_colaborativo_ufrgs_reamat_2018_210pagOnariClaudeGrossl
1) Este documento apresenta um livro colaborativo sobre álgebra linear dividido em capítulos semanais.
2) O livro é escrito de forma colaborativa por professores e alunos de universidades e está licenciado sob Creative Commons para que qualquer pessoa possa copiar, redistribuir e construir sobre o conteúdo.
3) O objetivo do livro é fomentar o desenvolvimento colaborativo de materiais didáticos sobre álgebra linear para aplicação em diversas áreas da ciência e tecnologia.
1. O documento discute sistemas lineares e suas aplicações, incluindo exemplos de problemas envolvendo provetas, petróleo e interpolação polinomial.
2. É apresentado o método de escalonamento para resolver sistemas lineares. Discute-se também métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel.
3. O documento também trata de ajuste de funções, incluindo funções lineares nos parâmetros e famílias ortogonais. Além disso, aborda métodos para encontrar zeros de funções como a dicotomia
Este documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de cálculo, incluindo sucessões, séries, funções reais, derivadas, integrais e seus teoremas associados. O documento está organizado em seis capítulos principais que abordam esses tópicos.
1. O documento é um livro sobre cálculo numérico e suas aplicações.
2. O livro está dividido em cinco partes, cobrindo sistemas lineares, ajuste de funções, equações e zeros de funções, interpolação polinomial e integração numérica.
3. Cada parte contém vários capítulos explorando técnicas e métodos numéricos relacionados ao tópico, com exemplos de aplicações.
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...Silvio Gomes
1. Este é um manual sobre cálculo 1 dividido em capítulos que abordam tópicos como números reais, funções, trigonometria, limites, derivadas e integral.
2. O documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo 1 de forma acessível e inclui exemplos para facilitar a compreensão dos tópicos.
3. O manual foi produzido por S. Friedli para o Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais e está disponível on-line de forma gratuita.
1) O documento apresenta apontamentos sobre análise numérica destinados a apoiar as aulas da disciplina de Análise Numérica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
2) Os apontamentos abordam tópicos como fundamentos de cálculo numérico, equações não lineares e lineares, aproximação dos mínimos quadrados, interpolação numérica, integração numérica e equações diferenciais ordinárias.
3) O documento é organizado em nove capítulos, contendo introduções, métodos e exemp
Para entender el proceso de la Optimización Diámica, antes debemos comprender los procesos de Optimización estática. Este es una buena revisión del Prof. Fabio Augusto
Este documento apresenta o programa e os objetivos gerais do curso de Análise Matemática I. Aborda conceitos fundamentais como sucessões, séries, funções reais, cálculo diferencial e integral em R. O documento estrutura-se em 5 capítulos que cobrem estes tópicos, definindo conceitos, apresentando propriedades e métodos de resolução de problemas.
Algebra linear um_livro_colaborativo_ufrgs_reamat_2018_210pagOnariClaudeGrossl
1) Este documento apresenta um livro colaborativo sobre álgebra linear dividido em capítulos semanais.
2) O livro é escrito de forma colaborativa por professores e alunos de universidades e está licenciado sob Creative Commons para que qualquer pessoa possa copiar, redistribuir e construir sobre o conteúdo.
3) O objetivo do livro é fomentar o desenvolvimento colaborativo de materiais didáticos sobre álgebra linear para aplicação em diversas áreas da ciência e tecnologia.
1. O documento discute sistemas lineares e suas aplicações, incluindo exemplos de problemas envolvendo provetas, petróleo e interpolação polinomial.
2. É apresentado o método de escalonamento para resolver sistemas lineares. Discute-se também métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel.
3. O documento também trata de ajuste de funções, incluindo funções lineares nos parâmetros e famílias ortogonais. Além disso, aborda métodos para encontrar zeros de funções como a dicotomia
Este documento apresenta um resumo de conceitos fundamentais de cálculo, incluindo sucessões, séries, funções reais, derivadas, integrais e seus teoremas associados. O documento está organizado em seis capítulos principais que abordam esses tópicos.
1. O documento é um livro sobre cálculo numérico e suas aplicações.
2. O livro está dividido em cinco partes, cobrindo sistemas lineares, ajuste de funções, equações e zeros de funções, interpolação polinomial e integração numérica.
3. Cada parte contém vários capítulos explorando técnicas e métodos numéricos relacionados ao tópico, com exemplos de aplicações.
Friedli, s. cálculo 1. 1ª ed. belo horizonte, imprensa universitária da ufmg,...Silvio Gomes
1. Este é um manual sobre cálculo 1 dividido em capítulos que abordam tópicos como números reais, funções, trigonometria, limites, derivadas e integral.
2. O documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo 1 de forma acessível e inclui exemplos para facilitar a compreensão dos tópicos.
3. O manual foi produzido por S. Friedli para o Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais e está disponível on-line de forma gratuita.
1) O documento apresenta apontamentos sobre análise numérica destinados a apoiar as aulas da disciplina de Análise Numérica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.
2) Os apontamentos abordam tópicos como fundamentos de cálculo numérico, equações não lineares e lineares, aproximação dos mínimos quadrados, interpolação numérica, integração numérica e equações diferenciais ordinárias.
3) O documento é organizado em nove capítulos, contendo introduções, métodos e exemp
Para entender el proceso de la Optimización Diámica, antes debemos comprender los procesos de Optimización estática. Este es una buena revisión del Prof. Fabio Augusto
Este documento apresenta os principais conceitos de probabilidade e estatística. Aborda tópicos como probabilidade, variáveis aleatórias, médias estatísticas, geração de números aleatórios, somas de variáveis aleatórias e o teorema do limite central. O texto é dividido em sete capítulos, com definições, propriedades e exemplos de cada um dos principais conceitos discutidos.
1) O documento é um livro de exercícios de cálculo dividido em várias seções que abordam tópicos como geometria analítica, números, derivadas, integrais e desigualdades.
2) O livro é de copyleft e pode ser copiado livremente para uso individual ou não comercial.
3) O livro fornece exercícios resolvidos sobre vários tópicos do cálculo diferencial e integral como derivadas, integrais, funções logarítmicas e exponenciais.
Este documento apresenta um minicurso sobre análise de algoritmos. Ele introduz conceitos básicos como problemas versus instâncias, análise assintótica de funções e resolução de recorrências. Também analisa algoritmos clássicos como ordenação, segmento de soma máxima e multiplicação de números, discutindo estratégias como divisão e conquista e programação dinâmica. Por fim, aborda problemas em grafos como cobertura, conjuntos independentes e busca.
Este documento apresenta notas de aula sobre cálculo I. Aborda tópicos como números reais, funções, limites, derivadas e suas aplicações. Apresenta definições, propriedades e exercícios relacionados a esses conceitos fundamentais do cálculo.
Este documento apresenta um resumo de um livro sobre álgebra linear e suas aplicações. O capítulo 2 discute matrizes e sistemas lineares, incluindo tipos especiais de matrizes, operações elementares, sistemas de equações lineares e decomposições de matrizes.
1. Este é um resumo de uma apostila sobre física matemática preparada para cursos de graduação em física.
2. A apostila contém informações sobre sistemas de coordenadas curvilíneas, funções de variáveis complexas, distribuições e a função delta de Dirac.
3. O documento fornece os conceitos fundamentais dessas áreas da física matemática de forma a auxiliar os estudantes nos cursos para os quais a apostila foi preparada.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, o conceito de estado quântico, a equação de Schrödinger e suas aplicações como o oscilador harmônico e o átomo de hidrogênio. O documento também discute tópicos como operadores, perturbações, momento angular e spin.
Este documento apresenta um resumo de um curso introdutório de álgebra. Aborda tópicos como princípios de indução matemática, divisibilidade, números primos, equações diofantinas lineares, congruências e sistemas de congruências lineares. Inclui também uma bibliografia com referências sobre os assuntos tratados.
1. O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de análise matemática, incluindo conceitos de conjuntos, funções, sequências, séries numéricas e cálculo.
2. Os capítulos abordam noções preliminares como teoria de conjuntos, números reais, funções e suas propriedades, gráficos de funções, limites e continuidade.
3. Também são tratados conceitos mais avançados como derivada, integral e suas aplicações. O documento parece ser um material didático sobre os fundamentos da an
1. Este documento trata de equações diferenciais e equações de diferenças, apresentando conceitos básicos e métodos de resolução.
2. As equações diferenciais de primeira ordem são analisadas em detalhe, incluindo exemplos de aplicações em diversas áreas.
3. Equações lineares de ordem superior são introduzidas, assim como métodos para resolvê-las, como a transformada de Laplace.
Este documento apresenta uma coleção de problemas de eletromagnetismo e óptica para o mestrado em engenharia eletrotécnica no Instituto Superior Técnico. Inclui seções sobre eletrostática, corrente elétrica estacionária, magnetostática, movimento de partículas em campos, campo magnético variável, circuitos elétricos, equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas, e óptica, com problemas propostos e resolvidos para cada tópico, além de constantes físicas e f
1. O documento apresenta notas de aulas sobre equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem.
2. São discutidos conceitos preliminares como problemas onde surgem EDOs, existência e unicidade de soluções.
3. Também são apresentados métodos de resolução de EDOs lineares e não lineares de primeira e segunda ordem, como equações exatas, variáveis separáveis, transformada de Laplace e sistemas de equações.
Os principais pontos abordados no documento são: 1) Resumo das soluções de exercícios de análise real do livro de Elon Lages Lima, dividido em 12 capítulos que abordam conjuntos, números reais, sequências, séries numéricas e outros tópicos; 2) Fornece soluções detalhadas para os exercícios, incluindo passos, fórmulas e propriedades matemáticas utilizadas; 3) Tem o objetivo de ajudar estudantes que usam o livro de Elon Lages Lima para
Teoria sobre Controle Discreto (ou amostrado no tempo). Não inclui controle no espaço de estados. Exige como pré-requisitos: base teória inicial na área de controle automático clássico (contínuo no tempo). Material atualizado em 22/mar/2017. Material usado na disciplina de Controle Automático III, Engenharia Elétrica, Universidade de Passo Fundo.
1. Este documento apresenta anotações sobre séries. Ele discute conceitos básicos como convergência e divergência de séries, critérios para testar a convergência como o critério de comparação e o critério de Cauchy, e exemplos de séries como a série harmônica.
2. O texto também aborda séries absolutamente convergentes, propriedades como comutatividade e extensão do conceito de série para somatórios infinitos negativos.
3. As anotações parecem ter o objetivo de apresentar os principais
O documento apresenta um livro sobre a linguagem de programação Fortran 95. O livro inclui capítulos sobre conceitos básicos da linguagem, trabalhar com arquivos de entrada e saída, estruturas de controle, variáveis compostas como vetores e matrizes, alocação dinâmica de memória, e sub-rotinas e funções. O livro é destinado a estudantes e profissionais interessados em aprender os fundamentos da linguagem Fortran.
1. O documento apresenta um resumo dos principais métodos numéricos para resolução de equações, sistemas lineares, interpolação e integração numérica.
2. São descritos métodos como bissecção, Newton-Raphson, Gauss-Jordan, mínimos quadrados, Lagrange e Simpson para cálculo numérico.
3. O documento é um guia sobre métodos numéricos escrito por um professor da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul no Brasil.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de algoritmos e programação, incluindo a história dos computadores, arquitetura básica, conceito de algoritmo, representações de algoritmos, linguagens de programação e estruturas de controle.
2. Os tópicos incluem representação de dados, variáveis, expressões, entrada e saída, estruturas de condição e repetição. Além disso, aborda estruturas de dados como vetores e modularização.
3. O documento fornece uma introdução abrangente sobre algoritmos e programa
Este documento apresenta um resumo de três capítulos sobre cálculo numérico e suas aplicações: (1) sistemas lineares, (2) ajuste de funções e (3) equações e zeros de funções. O documento discute tópicos como métodos para resolver sistemas lineares, ajuste de curvas por mínimos quadrados, interpolação polinomial, integração numérica e métodos iterativos para encontrar zeros de funções.
Este documento fornece uma introdução ao software Winplot, incluindo sua história, instalação e interface. Discute como o Winplot pode ser usado para plotar gráficos de funções e foi desenvolvido originalmente para rodar no DOS.
Este documento apresenta os principais conceitos de probabilidade e estatística. Aborda tópicos como probabilidade, variáveis aleatórias, médias estatísticas, geração de números aleatórios, somas de variáveis aleatórias e o teorema do limite central. O texto é dividido em sete capítulos, com definições, propriedades e exemplos de cada um dos principais conceitos discutidos.
1) O documento é um livro de exercícios de cálculo dividido em várias seções que abordam tópicos como geometria analítica, números, derivadas, integrais e desigualdades.
2) O livro é de copyleft e pode ser copiado livremente para uso individual ou não comercial.
3) O livro fornece exercícios resolvidos sobre vários tópicos do cálculo diferencial e integral como derivadas, integrais, funções logarítmicas e exponenciais.
Este documento apresenta um minicurso sobre análise de algoritmos. Ele introduz conceitos básicos como problemas versus instâncias, análise assintótica de funções e resolução de recorrências. Também analisa algoritmos clássicos como ordenação, segmento de soma máxima e multiplicação de números, discutindo estratégias como divisão e conquista e programação dinâmica. Por fim, aborda problemas em grafos como cobertura, conjuntos independentes e busca.
Este documento apresenta notas de aula sobre cálculo I. Aborda tópicos como números reais, funções, limites, derivadas e suas aplicações. Apresenta definições, propriedades e exercícios relacionados a esses conceitos fundamentais do cálculo.
Este documento apresenta um resumo de um livro sobre álgebra linear e suas aplicações. O capítulo 2 discute matrizes e sistemas lineares, incluindo tipos especiais de matrizes, operações elementares, sistemas de equações lineares e decomposições de matrizes.
1. Este é um resumo de uma apostila sobre física matemática preparada para cursos de graduação em física.
2. A apostila contém informações sobre sistemas de coordenadas curvilíneas, funções de variáveis complexas, distribuições e a função delta de Dirac.
3. O documento fornece os conceitos fundamentais dessas áreas da física matemática de forma a auxiliar os estudantes nos cursos para os quais a apostila foi preparada.
Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, o conceito de estado quântico, a equação de Schrödinger e suas aplicações como o oscilador harmônico e o átomo de hidrogênio. O documento também discute tópicos como operadores, perturbações, momento angular e spin.
Este documento apresenta um resumo de um curso introdutório de álgebra. Aborda tópicos como princípios de indução matemática, divisibilidade, números primos, equações diofantinas lineares, congruências e sistemas de congruências lineares. Inclui também uma bibliografia com referências sobre os assuntos tratados.
1. O documento apresenta um resumo de tópicos fundamentais de análise matemática, incluindo conceitos de conjuntos, funções, sequências, séries numéricas e cálculo.
2. Os capítulos abordam noções preliminares como teoria de conjuntos, números reais, funções e suas propriedades, gráficos de funções, limites e continuidade.
3. Também são tratados conceitos mais avançados como derivada, integral e suas aplicações. O documento parece ser um material didático sobre os fundamentos da an
1. Este documento trata de equações diferenciais e equações de diferenças, apresentando conceitos básicos e métodos de resolução.
2. As equações diferenciais de primeira ordem são analisadas em detalhe, incluindo exemplos de aplicações em diversas áreas.
3. Equações lineares de ordem superior são introduzidas, assim como métodos para resolvê-las, como a transformada de Laplace.
Este documento apresenta uma coleção de problemas de eletromagnetismo e óptica para o mestrado em engenharia eletrotécnica no Instituto Superior Técnico. Inclui seções sobre eletrostática, corrente elétrica estacionária, magnetostática, movimento de partículas em campos, campo magnético variável, circuitos elétricos, equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas, e óptica, com problemas propostos e resolvidos para cada tópico, além de constantes físicas e f
1. O documento apresenta notas de aulas sobre equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem.
2. São discutidos conceitos preliminares como problemas onde surgem EDOs, existência e unicidade de soluções.
3. Também são apresentados métodos de resolução de EDOs lineares e não lineares de primeira e segunda ordem, como equações exatas, variáveis separáveis, transformada de Laplace e sistemas de equações.
Os principais pontos abordados no documento são: 1) Resumo das soluções de exercícios de análise real do livro de Elon Lages Lima, dividido em 12 capítulos que abordam conjuntos, números reais, sequências, séries numéricas e outros tópicos; 2) Fornece soluções detalhadas para os exercícios, incluindo passos, fórmulas e propriedades matemáticas utilizadas; 3) Tem o objetivo de ajudar estudantes que usam o livro de Elon Lages Lima para
Teoria sobre Controle Discreto (ou amostrado no tempo). Não inclui controle no espaço de estados. Exige como pré-requisitos: base teória inicial na área de controle automático clássico (contínuo no tempo). Material atualizado em 22/mar/2017. Material usado na disciplina de Controle Automático III, Engenharia Elétrica, Universidade de Passo Fundo.
1. Este documento apresenta anotações sobre séries. Ele discute conceitos básicos como convergência e divergência de séries, critérios para testar a convergência como o critério de comparação e o critério de Cauchy, e exemplos de séries como a série harmônica.
2. O texto também aborda séries absolutamente convergentes, propriedades como comutatividade e extensão do conceito de série para somatórios infinitos negativos.
3. As anotações parecem ter o objetivo de apresentar os principais
O documento apresenta um livro sobre a linguagem de programação Fortran 95. O livro inclui capítulos sobre conceitos básicos da linguagem, trabalhar com arquivos de entrada e saída, estruturas de controle, variáveis compostas como vetores e matrizes, alocação dinâmica de memória, e sub-rotinas e funções. O livro é destinado a estudantes e profissionais interessados em aprender os fundamentos da linguagem Fortran.
1. O documento apresenta um resumo dos principais métodos numéricos para resolução de equações, sistemas lineares, interpolação e integração numérica.
2. São descritos métodos como bissecção, Newton-Raphson, Gauss-Jordan, mínimos quadrados, Lagrange e Simpson para cálculo numérico.
3. O documento é um guia sobre métodos numéricos escrito por um professor da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul no Brasil.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de algoritmos e programação, incluindo a história dos computadores, arquitetura básica, conceito de algoritmo, representações de algoritmos, linguagens de programação e estruturas de controle.
2. Os tópicos incluem representação de dados, variáveis, expressões, entrada e saída, estruturas de condição e repetição. Além disso, aborda estruturas de dados como vetores e modularização.
3. O documento fornece uma introdução abrangente sobre algoritmos e programa
Este documento apresenta um resumo de três capítulos sobre cálculo numérico e suas aplicações: (1) sistemas lineares, (2) ajuste de funções e (3) equações e zeros de funções. O documento discute tópicos como métodos para resolver sistemas lineares, ajuste de curvas por mínimos quadrados, interpolação polinomial, integração numérica e métodos iterativos para encontrar zeros de funções.
Este documento fornece uma introdução ao software Winplot, incluindo sua história, instalação e interface. Discute como o Winplot pode ser usado para plotar gráficos de funções e foi desenvolvido originalmente para rodar no DOS.
O documento descreve os conceitos fundamentais de espaço vetorial, subespaços vetoriais e transformações lineares. No Capítulo 1, introduz os conceitos de espaço vetorial através de exemplos como o conjunto de funções e matrizes, definindo formalmente espaço vetorial e suas propriedades algébricas.
1. O documento é uma apostila sobre eletrônica digital que apresenta conceitos como sistemas de numeração, álgebra de Boole, circuitos lógicos combinatórios e sequenciais.
2. A apostila inclui 10 capítulos que abordam tópicos como numeração binária e hexadecimal, portas lógicas, famílias de circuitos digitais, flip-flops e contadores.
3. O documento fornece uma introdução abrangente aos fundamentos da eletrônica digital.
Este livro apresenta os conceitos fundamentais do cálculo diferencial e integral de uma variável de forma intuitiva e com exemplos. O livro inclui definições de funções, gráficos, limites, derivadas, integrais e aplicações destes conceitos em outros campos como física e economia.
Este documento apresenta um resumo de três frases sobre séries de Fourier:
1) Séries de Fourier são usadas para representar funções periódicas como combinações de senos e cossenos, permitindo aproximar funções de maneira global ao invés de local como séries de potências.
2) Jean Baptiste Fourier introduziu séries de Fourier em 1822 para resolver problemas de aproximação, limite e integral que não podiam ser resolvidos com séries de potências devido ao seu caráter local.
3) Séries de Fourier representam funções perió
Este documento apresenta conceitos básicos de algoritmos e programação em C, incluindo variáveis, tipos de dados, estruturas de controle como if/else e for, e estruturas como vetores e matrizes. O documento serve como um guia introdutório para estudantes aprenderem programação usando a linguagem C.
1. O documento apresenta um capítulo sobre espaços vetoriais. É introduzido o conceito de espaço vetorial de forma abstrata e são dados exemplos dos conjuntos de funções e matrizes.
2. São definidas as propriedades algébricas que devem ser satisfeitas para um conjunto qualquer ser considerado um espaço vetorial.
3. O capítulo continua abordando propriedades de espaços vetoriais como a unicidade do elemento neutro e a existência de inverso aditivo.
O documento apresenta um capítulo sobre séries numéricas. Discute a generalização da operação de soma para um número infinito de parcelas, definindo convergência de séries. Apresenta exemplos de séries geométricas e harmônicas e discute propriedades gerais como a convergência absoluta e a multiplicação de séries.
1) O documento é um guia de revisão de conceitos matemáticos pré-requisitos para as disciplinas de Cálculo lecionadas no Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro.
2) O guia abrange tópicos como números, polinômios, equações, funções e sucessões para preparar os alunos para as aulas de Cálculo.
3) O objetivo é fornecer uma revisão rápida dos conceitos-chave de forma a facilitar a integração dos alunos no ensino superior.
Este documento fornece instruções sobre programação e operação de um torno CNC Siemens 802D. Ele descreve os sistemas de coordenadas, funções de programação, ciclos de usinagem e operação do painel de controle.
1. O documento discute fundamentos de controle clássico, incluindo modelagem, representação e análise de sistemas de controle.
2. As seções abordam tópicos como diagramas de blocos, resposta no tempo e frequência, propriedades básicas de sistemas realimentados e estruturas de controladores.
3. Há também discussões sobre objetivos de controle, métodos diretos de projeto e projeto no domínio da frequência.
1. O documento discute fundamentos de controle clássico, incluindo modelagem, representação e análise de sistemas de controle.
2. As seções abordam tópicos como diagramas de blocos, resposta no tempo e frequência, propriedades básicas de sistemas realimentados e estruturas de controladores.
3. Há também discussões sobre objetivos de controle, métodos diretos de projeto e projeto no domínio da frequência.
O documento discute sequências e séries numéricas. No capítulo 1, apresenta conceitos básicos de aritmética infinitesimal. No capítulo 2, trata de propriedades e testes de convergência de sequências numéricas, incluindo o teste da subsequência e o teorema de sanduíche. No capítulo 3, aborda propriedades e testes de convergência de séries numéricas, como séries geométricas e alternadas.
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Capítulo 1
Limites de funções reais de uma
variável
Apresentação
O Cálculo apresentado no Ensino Superior é fundamentalmente diferente
da matemática estudada durante o Ensino Médio. Ele trata de variação e de mo-
vimento, bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. Ele teve
sua origem em quatro problemas nos quais os matemáticos europeus estavam tra-
balhando durante o século XVII. São eles:
• O problema da reta tangente;
• O problema da velocidade e da aceleração;
• O problema de máximos e mínimos;
• O problema da área.
Cada um destes problemas envolve o conceito de limite e é possível in-
troduzir o cálculo diferencial e integral a partir de qualquer um deles.
Neste capítulo serão apresentados os conceitos de limites que permitem
estudar o comportamento de uma função nas proximidades de um determinado
ponto.
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1.1. DEFINIÇÕES IMPORTANTES
1.1 Definições importantes
a) Vizinhança: Chama-se vizinhança (ou entorno) de centro em a e raio δ o inter-
valo aberto (a − δ, a + δ), onde δ > 0.
Notação: V (a, δ) = (a − δ, a + δ) = {x ∈ R| |x − a| < δ}.
Veja a representação gráfica na Figura 1.1 (a).
( )
a d
_ a a d
+
( )
a d
_ a a d
+
(a) vizinhança (b) vizinhança perfurada
Figura 1.1: Representação gráfica de vizinhança e vizinhança perfurada.
b) Vizinhança perfurada: É o intervalo (a − δ, a) ∪ (a, a + δ). Ou seja, é um
entorno de raio δ onde o centro a não está incluído.
Notação: Vp(a, δ) = (a − δ, a) ∪ (a, a + δ)
Vp(a, δ) = {x ∈ R|a − δ < x < a + δ ∧ x 6= a}.
A representação gráfica pode ser vista na Figura 1.1 (b).
c) Ponto de acumulação ou ponto limite: Um número a é dito ponto de acumu-
lação de um conjunto C se, e somente se, para toda vizinhança perfurada Vp(a, δ)
de centro a, existe pelo menos um ponto x 6= a tal que x ∈ C e x ∈ Vp(a, δ).
Exemplo 1.1.1. Se C = R, então todo elemento de C é ponto de acumula-
ção, pois toda vizinhança de qualquer elemento de C contém uma infinidade de
elementos de C.
Exercício 1.1.1. Seja A o intervalo [1, 4). Determine os pontos de acumulação
de A.
d) Ponto isolado: Um ponto a pertencente a C é ponto isolado de C se existe
Vp(a, δ) tal que ∀x ∈ C, x 6= a então x /
∈ Vp(a, δ).
Exemplo 1.1.2. Represente a vizinhança |x − 5| < 1
2
.
6 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE
Solução:
Comparando com a definição de Vizinhança, tem-se que o centro é
a = 5 e o raio é δ = 1
2
. Para comprovar, utiliza-se a definição de módulo para
encontrar o intervalo que representa a vizinhança:
|x − 5| <
1
2
⇔ −
1
2
< x − 5 <
1
2
.
Assim, tem-se:
−
1
2
< x − 5 <
1
2
−
1
2
+ 5 < x − 5 + 5 <
1
2
+ 5
9
2
< x <
11
2
.
Portanto, a vizinhança é representada por V 5, 1
2
= 9
2
, 11
2
. A re-
presentação gráfica pode ser vista na Figura 1.2.
( )
5 0,5
_
5 5 0,5
+
Figura 1.2: Representação da vizinhança V 5, 1
2
.
1.2 Motivação para a definição de limite
A idéia de limite aparece intuitivamente em muitas situações. Na Física,
por exemplo, para definir a velocidade instantânea de um móvel utiliza-se o cálculo
da velocidade média para o caso onde o intervalo de tempo seja muito próximo de
zero. A velocidade média vm é calculada como vm =
s1 − s0
t1 − t0
=
4s
4t
, onde s é a
posição e t é o tempo (veja na Figura 1.3). Então, a velocidade instantânea vi é
definida como:
vi = lim
4t→0
4s
4t
.
7 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.2. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE
s0
s1
t1
t0
t
s
D
D
t
s
Figura 1.3: Gráfico da posição de um móvel ao longo do tempo.
Em outras palavras, a velocidade instantânea é o limite da velocidade
média quando 4t tende a zero.
O estudo de limites serve para descrever como uma função se comporta
quando a variável independente tende a um dado valor.
Notação: lim
x→a
f(x) = L.
Lê-se: “L é o limite de f(x) quando x se aproxima de a”.
O matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) foi a primeira
pessoa a atribuir um significado matematicamente rigoroso às frases “f(x) se apro-
xima arbitrariamente de L”e “x se aproxima de a”.
Observação 1.2.1. A expressão lim
x→a
f(x) = L descreve o comportamento de f(x)
quando x está muito próximo de a, e não quando x = a.
Exemplo 1.2.1. Como será o comportamento da função f(x) = x2
− x + 1 quando
x se aproximar cada vez mais de 2?
Solução:
A determinação do comportamento de f(x) para valores próximos de 2
pode ser analisada de várias formas. Inicialmente, atribuem-se valores que se aproxi-
mam de 2 para x e, calculando f(x) para cada um desses valores, pode-se construir
a Tabela 1:
Tabela 1: Valores da função f(x) para valores próximos de 2.
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1 2,5 3
f(x) 1 1,75 2,71 2,9701 2,997001 - 3,003001 3,0301 3,31 4,75 7
aproximação à esquerda → ← aproximação à direita
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1.2. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE
Primeiramente, observe que não foi colocado na Tabela 1 o valor de f(x)
quando x = 2. Esse valor foi omitido, pois se deseja estudar apenas os valores de
f(x) quando x está próximo de 2, e não o valor da função quando x = 2.
Percebe-se que quando x se aproxima de 2 (em qualquer sentido) f(x) se
aproxima de 3. Logo, pode-se dizer que lim
x→2
f(x) = 3.
Observe a Figura 1.4. Comprova-se que o gráfico da função se aproxima
para o mesmo valor quando x está se aproximando de 2, tanto para valores maiores
quanto para valores menores do que 2.
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.4: Gráfico de f(x).
Nesse caso, o valor do limite coincidiu com o valor da função quando
x = 2, pois f(2) = 3. Mas nem sempre esse comportamento vai se verificar, como
pode ser visto no próximo exemplo.
Exemplo 1.2.2. Como será o comportamento da função f(x) =
2x − 1, se x 6= 3
3, se x = 3
quando x está cada vez mais próximo de 3?
Solução:
Assim como no exemplo anterior, primeiramente atribuem-se valores para
x e, encontrando os valores de f(x) correspondentes, pode-se construir a Tabela 2:
Tabela 2: Valores da função f(x) para valores próximos de 3.
x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 3 3,001 3,01 3,1 3,5 4
f(x) 3 4 4,8 4,98 4,998 - 5,002 5,02 5,2 6 7
aproximação à esquerda → ← aproximação à direita
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1.2. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE
Percebe-se que quando x se aproxima de 3 em ambos os sentidos, f(x)
se aproxima cada vez mais de 5. Logo, lim
x→3
f(x) = 5. Esse comportamento pode ser
observado na Figura 1.5.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
Figura 1.5: Gráfico de f(x).
Observe que nesse caso, o valor de f(x) quando x = 3 é f(3) = 3,
justamente o ponto que se encontra fora da curva descrita por f(x). Ou seja,
f(3) 6= lim
x→3
f(x). Por isso, enfatiza-se o fato de que o limite descreve o compor-
tamento da função à medida em que x se aproxima de 3, e não no próprio x = 3.
Exemplo 1.2.3. Como será o comportamento da função f(x) =
2, se x ≥ 0
1, se x 0
quando x está cada vez mais próximo de 0?
Solução:
Observe o gráfico da função na Figura 1.6.
Figura 1.6: Gráfico de f(x).
Percebe-se que quando x se aproxima de 0 por valores menores do que
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1.2. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE
0, f(x) se aproxima de 1 e quando x se aproxima de 0 por valores maiores do que
0, f(x) se aproxima de f(0) = 2. Ou seja, não há um único valor ao qual f(x) se
aproxima quando x tende a 0.
Observação 1.2.2. Veja os gráficos das funções f, g e h na Figura 1.7, e o gráfico
da função i na figura 1.8.
x
y
a
L
f x
( )
x
y
a
L
g x
( )
g a
( )
x
y
a
L
h x
( )
Figura 1.7: Gráfico das funções f, g e h.
Nota-se que nos gráficos das funções f, g e h quando x se aproxima de
a, y se aproxima de L, independente do valor de y quando x = a. Assim, pode-se
dizer que o limite da função f quando x tende a a é L (escreve-se lim
x→a
f(x) = L) e o
mesmo pode ser dito sobre as funções g e h.
x
y
a
L
i x
( )
i a
( )
Figura 1.8: Gráfico da função i.
Já para a função i, quando x se aproxima de a para valores maiores que
a, i se aproxima de i(a), e quando x se aproxima de a por valores menores que a,
i(x) tende a L. Ou seja, não há um valor único ao qual i(x) se aproxima quando x
tende a a. Assim, não existe o limite da função i para x tendendo a a.
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1.3. DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE FINITO
1.3 Definição formal de limite finito
A linguagem utilizada até aqui não é uma linguagem matemática, pois ao
dizer, por exemplo, “x suficientemente próximo de a”, não se sabe quantificar o quão
próximo x está de a. Então como exprimir em linguagem matemática a definição
de lim
x→a
f(x) = L?
(a) f(x) deve ser arbitrariamente próximo de L para todo x sufici-
entemente próximo de a (mas diferente de a).
É necessário definir o conceito de proximidade arbitrária. Para tal,
utilizam-se pequenos valores representados geralmente pelas letras gregas como
(epsilon) e δ (delta), que servem de parâmetro de comparação para determinar se
um valor está ou não próximo de outro.
Considere um 0, arbitrário. Os valores de f(x) são tais que
L − f(x) L + ,
isto é, sua distância a L é menor do que , ou seja, |f(x) − L| . Portanto, dizer
que f(x) é arbitrariamente próximo de L é o mesmo que dizer: dado um 0,
tem-se |f(x) − L| .
Assim, (a) pode ser reescrito como:
(b) Dado 0, deve-se ter |f(x) − L| para todo x suficientemente
próximo de a (e diferente de a).
Dizer que x é suficientemente próximo de a para |f(x) − L| significa
dizer que a sua distância a a é suficientemente pequena para que isto ocorra, ou
seja, existe δ 0 tal que, se |x − a| δ e x 6= a, então |f(x) − L| .
Em suma, dando um 0 qualquer, fixa-se a proximidade de f(x) a L.
Então se lim
x→a
f(x) = L, deve ser possível encontrar um δ 0 em correspondência a
0 , tal que para todo x 6= a cuja a distância até a seja menor que δ , tem-se a
distância de f(x) a L menor que . A partir de (a) e (b), pode-se agora formular a
definição formal de limite finito:
Definição 1.3.1. Seja uma função f com domínio D(f), “a” um ponto de acumu-
lação de D(f), e L um número real, diz-se que o número L é o limite de f(x) com
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1.3. DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE FINITO
x tendendo a “a” se, dado qualquer 0, existe δ 0 tal que se ∀x ∈ D(f) e
0 |x − a| δ então |f(x) − L| .
Para indicar essa definição, escreve-se lim
x→a
f(x) = L.
Observe que a Definição 1.3.1 pode ser reescrita como
Definição 1.3.2. Seja uma função f com domínio D(f), “a” um ponto de acumula-
ção de D(f) e L um número real. Dado 0, existe δ() 0 tal que se x ∈ Vp(a, δ),
então f(x) ∈ Vp(L, ).
Observação 1.3.1. Na definição formal de limites, emprega-se o conceito de mó-
dulo. A ideia básica no conceito de módulo de um número real é medir a distância
desse número até a origem. Por exemplo, |2| = 2 significa que 2 dista duas unidades
da origem da reta real 0.
Teorema 1.3.1. (Unicidade do limite) Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
f(x) = M, então
L = M.
Demonstração:
Supondo-se por absurdo que L 6= M. Sem perda de generalidade, pode-
se escrever que L M. Tomando-se =
L − M
2
0.
Se lim
x→a
f(x) = L, então existe δ1 0, tal que se 0 |x − a| δ1 ⇒
|f(x) − M|
L − M
2
, então
f(x)
L + M
2
. (1.3.1)
Se lim
x→a
f(x) = M, então existe δ2 0, tal que se 0 |x − a| δ2 ⇒
|f(x) − L|
L − M
2
, então
L + M
2
f(x). (1.3.2)
De (1.3.1) e (1.3.2), tem-se que para δ = min{δ1, δ2}, 0 |x − a| δ
que implica que f(x) f(x), o que é um absurdo. Logo a suposição inicial é falsa
e L = M.
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1.4. CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇÃO DE LIMITE
1.4 Construção geométrica que ilustra a noção de
limite
Sendo conhecidos f, a, L e , sabendo que lim
x→a
f(x) = L, necessita-se
achar δ que satisfaça a definição de limite. Observe a Figura 1.9. Marcam-se L+ e
L− no eixo y e por esses pontos traçam-se retas paralelas ao eixo x , que encontram
o gráfico de f nos pontos A e B. Traçando retas paralelas ao eixo dos y por esses
pontos, obtêm-se os pontos C e D, intersecções dessas retas com o eixo x. Basta
tomar δ 0 tal que a−δ e a+δ sejam pontos do segmento CD. Observe que δ não é
único e equivale à distância de a ao extremo mais próximo do intervalo representado
pelo segmento CD.
x
y
a
L
f x
( )
x
y
a
L
f x
( )
L +e
L _ e
A
B
C D
a _ d a d
+
d d
Figura 1.9: Representação geométrica de limite.
Exemplo 1.4.1. Prove formalmente que lim
x→3
(2x − 4) = 2.
Solução:
Comparando ao limite geral lim
x→a
f(x) = L, tem-se nesse caso que a = 3,
f(x) = 2x − 4 e L = 2. Assim, deve-se provar que dado qualquer 0, existe δ 0
tal que se x ∈ D(f) e 0 |x − 3| δ então |(2x − 4) − 2| .
Obtemos o delta procurado a partir da equação:
|(2x − 4) − 2| = |2x − 6| = 2 · |x − 3|,
pois, como 0 |x − 3| δ, então 2 · |x − 3| 2 · δ. Escolhendo δ =
2
:
|(2x − 4) − 2| = 2 · |x − 3| 2 · δ = 2 ·
2
= . Portanto, |(2x − 4) − 2| .
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1.4. CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇÃO DE LIMITE
Logo, dado qualquer 0, existe δ =
2
tal que se x ∈ D(f) e
0 |x − 3| δ então |(2x − 4) − 2| , que é justamente a definição de limite.
Assim, lim
x→3
(2x − 4) = 2.
Exemplo 1.4.2. Prove formalmente que lim
x→2
x2
= 4.
Solução:
Comparando com o limite geral lim
x→a
f(x) = L, tem-se que a = 2,
f(x) = x2
e L = 4. Assim, deve-se provar que dado um 0, existe δ 0 tal que se
x ∈ D(f) e 0 |x−2| δ, então |(x2
)−4| . Fatorando: |x2
−4| = |x−2|·|x+2|.
É preciso determinar uma desigualdade envolvendo |x + 2| e um valor
constante. Como |x−2| δ , então supondo δ = 1 tem-se que |x−2| 1. Portanto:
−1 x − 2 1
1 x 3
3 x + 2 5.
Como |x − 2| δ e |x + 2| 5, então |x − 2| · |x + 2| 5 · δ. Assim,
escolhendo δ = min
n
1,
5
o
, ou seja, o menor entre os valores 1 e
5
, tem-se:
|x − 2| · |x + 2| 5 · δ
|x2
− 4| 5 ·
5
|x2
− 4| .
Logo, dado qualquer 0, existe δ = min
n
1,
5
o
tal que se x ∈ D(f) e
0 |x − 2| δ, então |x2
− 4| .
Portanto, lim
x→2
x2
= 4.
Exemplo 1.4.3. Considere que lim
x→2
x2
= 4. Dado = 0, 05, determine δ 0 tal
que |x − 2| δ sempre que |(x2
) − 4| .
Solução:
No exemplo 1.4.1, foi visto que escolhendo δ = min
n
1,
5
o
obtém-se a
definição do limite para esse caso. Como = 0, 05, então:
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1.5. LIMITES LATERAIS
δ = min
1, 0,05
5
= min
1,
1
100
=
1
100
δ = 0, 01.
Assim, |x − 2| 0, 01 sempre que |(x2
) − 4| 0, 05.
Exercício 1.4.1. Mostre que lim
x→−2
(3x + 7) = 1. Em seguida, dado = 0, 03,
determine δ 0 tal que |(3x + 7) − 1| sempre que |x + 2| δ.
Exercício 1.4.2. Prove que o limite de f(x) =
1, se x ≤ 0
2, se x 0
quando x tende a
zero não existe.
1.5 Limites Laterais
1.5.1 Definição de limite à direita
Seja uma função f definida pelo menos em um intervalo (a, b), diz-se que
o número L é o limite de f(x) com x tendendo a a pela direita se, dado qualquer
0 , existe δ 0 tal que se 0 x − a δ então |f(x) − L| .
Para indicar essa expressão, escreve-se lim
x→a+
f(x) = L.
1.5.2 Definição de limite à esquerda
Seja uma função f definida pelo menos em um intervalo (c, a) , diz-se que
o número L é o limite de f(x) com x tendendo a a pela esquerda se, dado qualquer
0 , existe δ 0 tal que se −δ x − a 0 então |f(x) − L| .
Para indicar essa expressão, escreve-se lim
x→a−
f(x) = L.
Teorema 1.5.1. (Existência do limite finito) O limite lim
x→a
f(x) = L existe e é
igual a L se, e somente se, os limites laterais lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x) existirem e ambos
forem iguais a L.
Demonstração:
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1.5. LIMITES LATERAIS
Tem-se que lim
x→a
f(x) = L. Portanto, pela definição de limite, ∀ 0
∃ δ 0 tal que se 0 |x − a| δ, então |f(x) − L| .
Note que
0 |x − a| δ se e somente se − δ |x − a| 0 ou 0 x − a δ.
Pode-se afirmar que ∀ 0 ∃ δ 0 tal que
se − δ x − a 0, então |f(x) − L|
e
se 0 x − a δ, então |f(x) − L| .
Finalmente, lim
x→a−
f(x) = L e lim
x→a+
f(x) = L.
Exemplo 1.5.1. Considere as funções f(x) =
|x|
x
e g(x) = |x|. Calcule, se houver:
a) lim
x→0+
f(x)
b) lim
x→0−
f(x)
c) lim
x→0
f(x)
d) lim
x→0+
g(x)
e) lim
x→0−
g(x)
f) lim
x→0
g(x).
Solução:
Antes de determinar os limites solicitados será construído o gráfico da
função f(x).
Considere um número real a 0. Calculando o valor de f(x) para x = a:
f(a) =
|a|
a
=
a
a
f(a) = 1.
Agora, calculando f(x) quando x = −a:
f(−a) =
| − a|
−a
=
a
−a
f(−a) = −1.
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1.5. LIMITES LATERAIS
Como o denominador de f(x) não pode ser nulo, então essa função não
está definida para x = 0. Assim, a função f(x) pode ser reescrita como:
f(x) =
−1, se x 0
1, se x 0
e seu gráfico pode ser visto na Figura 1.10 a). Na Figura
1.10 b) está a representação gráfica de g(x) = |x|.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
f ( )
x =
| |
x
x g x x
( ) = | |
a) b)
Figura 1.10: Gráficos de f(x) e g(x).
Resolvendo cada um dos itens:
a) lim
x→0+
f(x) corresponde ao limite lateral para x tendendo a 0 pela direita. Na
Figura 1.11, pode-se ver que quando x se aproxima de 0 pela direita, o valor de
y se mantém igual a 1.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.11: Representação do limite lateral à direita em f(x).
Assim, lim
x→0+
f(x) = 1.
18 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.5. LIMITES LATERAIS
b) lim
x→0−
f(x) corresponde ao limite lateral para x tendendo a 0 pela esquerda. Observa-
se na Figura 1.12 que à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda, y se mantém
com valor igual a −1.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.12: Representação do limite lateral à esquerda em f(x).
Ou seja, lim
x→0−
f(x) = −1.
c) Para lim
x→0
f(x) existir, os limites laterais para x tendendo a 0 pela direita e pela
esquerda devem existir e serem iguais. Como foi visto nos itens anteriores, esses
limites existem, mas são diferentes. Logo, lim
x→0
f(x) não existe. Observe na Figura
1.13 como os valores da função não se aproximam de um mesmo valor para valores
x próximos de 0.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.13: Gráfico de f(x).
d) Para calcular lim
x→0+
g(x), analisam-se os valores de y quando x se aproxima de
0 pela direita. Observando o gráfico de g(x) na Figura 1.14, percebe-se que y
19 Notas de aula de Cálculo - FURG
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I
1.5. LIMITES LATERAIS
também fica cada vez mais próximo de 0 nesse sentido, ou seja, lim
x→0+
g(x) = 0.
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.14: Representação do limite lateral à direita em g(x).
e) lim
x→0−
g(x) é obtido observando o comportamento de y quando x se aproxima de 0
pela esquerda. Pode ser verificado na Figura 1.15 que y se aproxima de 0 quando
x tende a 0 pela esquerda, então lim
x→0−
g(x) = 0.
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.15: Representação do limite lateral à esquerda em g(x).
f) Para lim
x→0
g(x) existir, os limites laterais para x tendendo a 0 pela direita e pela
esquerda devem existir e serem iguais. Foi visto nos itens anteriores que eles de
fato existem e ambos são iguais a 0. Assim, lim
x→0
g(x) = 0. Veja na Figura 1.16
como as imagens da função se aproximam do mesmo número para valores de x
próximos de zero.
Exercício 1.5.1. Seja a função f(x) =
√
x, determine, se houver:
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
1.6 Propriedades usadas no cálculo de limites
Sejam L, M, a e k números reais e lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M. Então,
as seguintes propriedades são válidas:
1.6.1 Limite de uma constante
O limite de uma constante é a própria constante:
lim
x→a
k = k.
Figura 1.17: Limite de uma constante.
Demonstração:
Seja 0, deve-se mostrar que existe δ 0 tal que se 0 |x − a| δ,
então |k − k| .
Mas como |k − k| = 0, pode-se atribuir qualquer número positivo para δ
tal que se 0 |x − a| δ então |k − k| .
Logo lim
x→a
k = k.
Exemplo 1.6.1. Calcule os limites:
a) lim
x→4
1
2
b) lim
x→−1
π.
Solução:
Pela propriedade 1.6.1, tem-se:
a) lim
x→4
1
2
=
1
2
b) lim
x→−1
π = π.
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Existe δ2 0 tal que se 0 |x − a| δ2 então |f(x) − M|
2
. (1.6.2)
Deve-se escolher δ 0 tal que (1.6.1) e (1.6.2) sejam verdadeiras, o que
acontece para δ = min{δ1, δ2}. De fato:
Se 0 |x−a| δ então |f(x)+g(x)−(L+M)| ≤ |f(x)−L|+|g(x)−M|
2
+
2
= .
Portanto, lim
x→a
{f(x) + g(x)} = L + M.
1.6.4 Limite da diferença
O limite da diferença de duas funções é a diferença de seus limites:
lim
x→a
{f(x) − g(x)} = L − M.
Exemplo 1.6.3. Verifique que lim
x→3
(2 + x) = 5 e lim
x→−1
(x − 4) = −5.
Solução:
Pelas propriedades 1.6.3 e 1.6.4, tem-se:
lim
x→3
(2 + x) = lim
x→3
2 + lim
x→3
x = 2 + 3 = 5
lim
x→−1
(x − 4) = lim
x→−1
x − lim
x→−1
4 = −1 − 4 = −5.
Exercício 1.6.2. Aplicando a definição formal de limite, mostre que:
lim
x→a
{f(x) − g(x)} = L − M.
1.6.5 Limite do produto
O limite do produto de duas funções é o produto de seus limites:
lim
x→a
{f(x) · g(x)} = L · M.
Demonstração:
Deseja-se provar que lim
x→a
{f(x) · g(x)} = L · M. Primeiro demonstrar-
se-á um caso particular onde o produto dos limites de duas funções resulta em
zero, através da definição de limite, para posteriormente, através das propriedades
apresentadas nessa seção, obter a expressão procurada.
24 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Considerando o caso particular onde h é uma função tal que lim
x→a
h(x) = 0,
logo deseja-se provar que lim
x→a
[ h(x) · f(x)] = 0.
Como lim
x→a
f(x) = L e sendo 0, considera-se = 1 para ser utilizado
na definição de limite. Assim existe δ1 0, tal que se 0 |x − a| δ1, então
|f(x) − L| 1. (1.6.3)
Pode-se escrever |f(x)| = |f(x) − L + L| |f(x) − L| + |L| 1 + L, e
portanto, existe δ1 0 tal que se 0 |x − a| δ1 então
|h(x)| · |f(x)| |h(x)| · (1 + |L|). (1.6.4)
Assim, sendo 0, considera-se
1 + |L|
para ser utilizado na definição
de limite da função h tendendo a a da seguinte forma: existe δ2 0, tal que se
0 |x − a| δ2, então
|h(x) − 0| = |h(x)|
1 + |L|
. (1.6.5)
Para que (1.6.4) e (1.6.5) se verifiquem, toma-se δ = min{δ1, δ2}, logo
existe δ 0, tal que se 0 |x − a| δ, então
|h(x) · f(x) − 0| (1 + |L|) ·
1 + |L|
= . (1.6.6)
Portanto, lim
x→a
h(x) · f(x) = 0.
Agora, lembrando que lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M, observa-se que:
f(x) · g(x) − L · M = f(x) · g(x) − f(x) · M + f(x) · M − L · M
= f(x) · [g(x) − M] + M · [f(x) − L].
Ou ainda, através da propriedade do limite da soma 1.6.3:
lim
x→a
[f(x) · g(x) − L · M] = lim
x→a
{f(x) · [g(x) − M] + lim
x→a
{M · [f(x) − L]}. (1.6.7)
Como lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M, então lim
x→a
f(x) − L = 0 e
lim
x→a
g(x) − M = 0, e portanto, através da propriedade demonstrada no caso parti-
cular, tem-se que:
lim
x→a
f(x) · [g(x) − M] = 0 e lim
x→a
g(x) · [f(x) − L] = 0. (1.6.8)
25 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
De (1.6.7) e (1.6.8), e utilizando as propriedades do limite da diferença
1.6.4 e do limite de uma constante 1.6.1 conclui-se que:
lim
x→a
[f(x) · g(x) − L · M] = 0 + 0
lim
x→a
[f(x) · g(x)] − lim
x→a
[L · M] = 0
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
[L · M]
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = L · M.
Logo, lim
x→a
[f(x) · g(x)] = L · M.
1.6.6 Limite do quociente
O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde
que o limite do denominador não seja zero:
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
, M 6= 0.
Exemplo 1.6.4. Resolva os limites:
a) lim
x→2
(2 + x)x
b) lim
x→−3
x + 1
3 − x
.
Solução:
Pelas propriedades 1.6.5 e 1.6.6, tem-se:
a) lim
x→2
(2 + x)x = lim
x→2
(2 + x) · lim
x→2
x = (2 + 2) · 2 = 8
b) lim
x→−3
x + 1
3 − x
=
lim
x→−3
(x + 1)
lim
x→−3
(3 − x)
= −
2
6
= −
1
3
.
1.6.7 Limite da multiplicação por uma constante
O limite de uma constante multiplicada por uma função é a constante
multiplicada pelo limite da função:
lim
x→a
{k · f(x)} = k · L.
Exemplo 1.6.5. Usando a propriedade 1.6.7, calcule os limites:
26 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
a) lim
x→0
3x
b) lim
x→−1
1
3
x.
Solução:
a) lim
x→0
3x = 3 · lim
x→0
x = 3 · 0 = 0
b) lim
x→−1
1
3
x =
1
3
· lim
x→−1
x =
1
3
· (−1) = −
1
3
.
Exercício 1.6.3. Através da definição formal de limite, sabendo que lim
x→a
f(x) = L,
mostre que lim
x→a
{k · f(x)} = k · L.
1.6.8 Limite da potenciação
O limite da n-ésima potência de uma função é igual à n-ésima potência
do limite da função:
lim
x→a
[f(x)]n
=
h
lim
x→a
f(x)
in
= Ln
.
Ou ainda:
lim
x→a
[f(x)]g(x)
=
h
lim
x→a
f(x)
i lim
x→a
g(x)
= LM
.
Demonstração:
Reescreve-se a potência como uma multiplicação de n fatores:
lim
x→a
[f(x)]n
= lim
x→a
[f(x) · f(x) · f(x) · ... · f(x)].
Da propriedade do limite do produto 1.6.5, tem-se:
lim
x→a
[f(x)]n
= lim
x→a
f(x) · lim
x→a
f(x) · lim
x→a
f(x) · ... · lim
x→a
f(x).
Mas como são n fatores, então:
lim
x→a
[f(x)]n
=
h
lim
x→a
f(x)
in
.
Logo, lim
x→a
[f(x)]n
=
h
lim
x→a
f(x)
in
= Ln
.
Exemplo 1.6.6. Usando a propriedade 1.6.8, resolva os limites:
a) lim
x→−1
(3x)4
b) lim
x→1
4x2
.
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Solução:
a) lim
x→−1
(3x)4
=
lim
x→−1
3x
4
= (−3)4
= 81
b) lim
x→1
4x2
= 4 · lim
x→1
x2
= 4 ·
lim
x→1
x
2
= 4(1)2
= 4.
1.6.9 Limite da radiciação
O limite da raiz n-ésima de uma função é igual à raiz n-ésima do limite
da função:
lim
x→a
n
p
f(x) = n
q
lim
x→a
f(x) = n
√
L,
se L 0 e n é um inteiro positivo ou se L ≤ 0 e n é um inteiro positivo ímpar.
Exemplo 1.6.7. Calcule os limites:
a) lim
x→4
√
x
b) lim
x→2
5
√
3x.
Solução:
Aplicando as propriedades 1.6.7, 1.6.8 e 1.6.9, tem-se:
a) lim
x→4
√
x =
q
lim
x→4
x =
√
4 = 2
b) lim
x→2
5
√
3x = 5
q
lim
x→2
3x = 5
q
lim
x→2
3 · lim
x→2
x = 5
√
6.
1.6.10 Limite de uma função polinomial
Para qualquer polinômio, p(x) = c0 + c1x + c2x2
+ ... + cnxn
e qualquer
número real a, então:
lim
x→a
p(x) = p(a).
Demonstração:
Essa propriedade é consequência direta das propriedades do limite da
soma 1.6.3 e do limite da multiplicação por uma constante 1.6.7:
28 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
1.6.12 Limite do logaritmo de uma função
O limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite da
função:
lim
x→a
logβ[f(x)]
= logβ
h
lim
x→a
f(x)
i
= logβ(L), L 0, 0 β 6= 1.
Exemplo 1.6.10. Pela propriedade 1.6.12, tem-se:
lim
x→e
ln(x2
) = ln
lim
x→e
x2
= ln(e2
) = 2.
Observação 1.6.1. A propriedade 1.6.12 pode ser utilizada para logaritmos de base
β tal que 0 β 6= 1.
Exemplo 1.6.11. Calcule os limites:
a) lim
x→5
(x2
+ 3x)
b) lim
x→3
x2
− 1
x + 5
c) lim
x→2+
(2x + 5)
d) lim
x→3−
(x + 4)5
e) lim
x→1+
√
x − 1
f) lim
x→3−
√
9 − x2
g) lim
x→1+
[ln(x2
+ 1)]
h) lim
x→3
[ln(x2
− 4x + 4)].
Solução:
a) Como lim
x→5
(x2
+ 3x) representa o limite de uma função polinomial, então basta
calcular o valor da função para x = 5 (para onde x está tendendo) utilizando a
propriedade do limite de um polinômio 1.6.10. Assim:
lim
x→5
(x2
+ 3x) = (5)2
+ 3(5) = 40.
Portanto, lim
x→5
(x2
+ 3x) = 40.
b) Pelo fato de lim
x→3
x2
− 1
x + 5
representar o limite de uma função racional, utilizando a
propriedade do limite de um quociente 1.6.6 basta calcular o valor dessa função
para x = 3, desde que o denominador não seja nulo. Então:
30 Notas de aula de Cálculo - FURG
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I
1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
lim
x→3
x2
− 1
x + 5
=
lim
x→3
(x2
− 1)
lim
x→3
(x + 5)
=
(3)2
− 1
(3) + 5
= 1.
Logo, lim
x→3
x2
− 1
x + 5
= 1.
c) Sendo lim
x→2+
(2x + 5) um limite lateral com x tendendo a 2 pela direita, pode-se
fazer uma mudança de variável para se obter uma expressão que resulte no mesmo
limite solicitado. Note que se x tende a 2 por valores um pouco maiores do que
2, pode-se dizer que x = 2 + h, onde h é um número positivo muito próximo de
zero, e assim, obtém-se:
lim
h→0
[2(2 + h) + 5].
Observe que h é a distância de x até o ponto para o qual x está tendendo,
assim, quando h se aproxima muito de 0, (2 + h) se aproxima muito de 2 pela
direita, por isso as duas expressões são equivalentes. Como o lado direito da
igualdade representa o limite finito de uma função polinomial, basta calcular o
valor dessa função para h = 0. Assim:
lim
h→0
2(2 + h) + 5 = 2(2 + 0) + 5 = 9.
Portanto, lim
x→2+
(2x + 5) = 9.
d) Assim como no item anterior, pode-se obter um limite que produza o mesmo
resultado de lim
x→3−
(x + 4)5
. Como x se aproxima de 3 por valores um pouco
menores do que 3, substitui-se x por (3 − h), onde h é positivo e muito próximo
de zero, e obtém-se:
lim
h→0
[(3 − h) + 4]5
.
O valor de h segue representando a distância de x até o ponto para onde
x está tendendo, nesse caso a distância até 3, e por isso se utiliza a expressão
3 − h para representar valores à esquerda (menores) do que 3. E quando h tende
a 0, a função se aproxima do mesmo ponto de quando x se aproxima de 3 pela
esquerda. Calculando:
lim
h→0
[(3 − h) + 4]5
= [(3 − 0) + 4]5
= 16.807.
31 Notas de aula de Cálculo - FURG
32. -
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I
1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Logo, lim
x→3−
(x + 4)5
= 16.807.
e) Sendo h a distância de x até o ponto para onde x está tendendo, substitui-se x
por (1 + h) e obtém-se o limite:
lim
h→0
p
(1 + h) − 1.
A propriedade do limite de uma radiciação 1.6.9 permite que se obtenha a
igualdade: lim
h→0
p
(1 + h) − 1 =
q
lim
h→0
(1 + h) − 1. Como o índice da raiz é par, o
limite lim
h→0
(1 + h) − 1 deve ser maior ou igual a zero para que lim
h→0
p
(1 + h) − 1
exista. E como (1 + h) − 1 representa uma função polinomial, pode-se encontrar
o limite dessa função quando h tende a zero calculando o valor dessa função para
h = 0, logo:
lim
h→0
p
(1 + h) − 1 =
q
lim
h→0
(1 + h) − 1
=
p
(1 + 0) − 1
lim
h→0
p
(1 + h) − 1 = 0.
Portanto, lim
x→1+
√
x − 1 = 0.
f) Pelo fato de h representar a distância de x até o ponto para onde x está tendendo,
substituindo x por (3 − h) tem-se que:
lim
h→0
p
9 − (3 − h)2.
Utilizando as propriedades do limite da radiciação 1.6.9 e do limite de um
polinômio 1.6.10, calcula-se:
lim
h→0
p
9 − (3 − h)2 =
q
lim
h→0
9 − (3 − h)2
=
p
9 − (3 − 0)2
=
√
9 − 9
lim
h→0
p
9 − (3 − h)2 = 0.
Portanto, lim
x→3−
√
9 − x2 = 0.
g) Sendo h a distância de x até o ponto para onde x está tendendo, substitui-se x
por (1 + h) e se obtém o limite:
lim
h→0
ln[(1 + h)2
+ 1].
32 Notas de aula de Cálculo - FURG
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I
1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Utilizando as propriedades do limite de um logaritmo natural 1.6.12
e do limite de um polinômio 1.6.10, calcula-se:
lim
h→0
ln[(1 + h)2
+ 1] = ln
h
lim
h→0
(1 + h)2
+ 1
i
= ln[(1 + 0)2
+ 1]
lim
h→0
ln[(1 + h)2
+ 1] = ln(2).
Portanto, lim
x→1+
[ln(x2
+ 1)] = ln(2).
h) Utilizando a propriedade do limite de um logaritmo natural 1.6.12 e do limite de
um polinômio 1.6.10, calcula-se:
lim
x→3
[ln(x2
− 4x + 4)] = ln
h
lim
x→3
(x2
− 4x + 4)
i
= ln [(3)2
− 4(3) + 4]
= ln(1)
lim
x→3
[ln(x2
− 4x + 4)] = 0.
Logo, lim
x→3
[ln(x2
− 4x + 4)] = 0.
Exemplo 1.6.12. Esboce o gráfico da função f(x) =
x + 1, se x 1
x2
− 1, se x ≥ 1
. Cal-
cule, se houver:
a) lim
x→1+
f(x)
b) lim
x→1−
f(x)
c) lim
x→1
f(x).
Solução:
O gráfico da função f(x) pode ser visualizado na Figura 1.19.
a) Calcular o limite de f(x) quando x tende a 1 pela direita significa determinar o
comportamento de f(x) quando x assume valores muito próximos de 1, mas
maiores que 1. Assim, para x ≥ 1, f(x) = x2
− 1. Para calcular o limite
lateral à direita, substitui-se x por (1 + h), e obtém-se o seguinte limite com
h tendendo a zero:
lim
h→0
(1 + h)2
− 1.
33 Notas de aula de Cálculo - FURG
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I
1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
Figura 1.19: Gráfico de f(x).
Utilizando a propriedade do limite de um polinômio 1.6.10, calcula-se:
lim
h→0
(1 + h)2
− 1 = (1 + 0)2
− 1 = 0.
Logo, lim
x→1+
f(x) = 0.
b) Da mesma forma, quando x tende a 1 pela esquerda, significa que x está assu-
mindo valores menores que 1. Como para x 1, f(x) = x + 1, então o limite
lateral pode ser calculado substituindo x por (1 − h), e obtendo o seguinte
limite com h tendendo a zero:
lim
h→0
(1 − h) + 1.
Utilizando a propriedade do limite de um polinômio 1.6.10, calcula-se:
lim
h→0
(1 − h) + 1 = (1 − 0) + 1 = 2.
Portanto, lim
x→1−
f(x) = 2.
c) Segundo o teorema da existência do limite finito 1.5.1, como lim
x→1+
f(x) 6=
lim
x→1−
f(x), então não existe limite de f(x) para x tendendo a 1.
Exemplo 1.6.13. A derivada de uma função f(x) representa a inclinação da reta
tangente à curva em um ponto e é definida como f0
(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
Determine a derivada da função f(x) = x2
.
Solução:
Aplicando a fórmula de f0
(x) para o caso onde f(x) = x2
, calcula-se:
34 Notas de aula de Cálculo - FURG
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I
1.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES
f0
(x) = lim
h→0
(x + h)2
− x2
h
= lim
h→0
x2
+ 2xh + h2
− x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
f0
(x) = lim
h→0
(2x + h).
Utilizando a propriedade do limite de um polinômio 1.6.10
lim
h→0
(2x + h) = 2x + (0) = 2x.
Portanto, f0
(x) = 2x.
Exercício 1.6.4. Considere a função f(x) =
x2
− 1, se − 1 ≤ x 0
2x, se 0 x 1
1, se x = 1
−2x + 4, se 1 x 2
0, se 2 x 3
, res-
ponda:
a) Existe f(−1)? Em caso afirmativo, calcule seu valor.
b) Existe lim
x→−1+
f(x)? Em caso afirmativo, calcule seu valor.
c) O valor de lim
x→−1+
f(x) é igual a f(−1)?
d) Existe f(1)? Em caso afirmativo, calcule f(1).
e) Existe lim
x→1
f(x)? Justifique sua resposta.
f) Os valores de lim
x→1
f(x) e f(1) são iguais?
Resposta do exercício
1.6.4.
a) Sim, f(−1) = 0. b) Sim, lim
x→−1+
f(x) = 0. c) Sim.
d) Sim, f(1) = 1. e) Sim, lim
x→1
f(x) = 2. f) Não.
35 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.7. LIMITES INFINITOS
lim
x→a+
f(x) = +∞ lim
x→a+
f(x) = −∞
lim
x→a−
f(x) = +∞ lim
x→a−
f(x) = −∞.
Observação 1.7.1. Basta que um dos quatro limites da Definição 1.7.1 se verifique
para que o gráfico de f(x) tenha uma assíntota vertical.
Observação 1.7.2. Uma maneira de determinar as assíntotas verticais em um grá-
fico consiste em investigar os pontos onde a função não está definida, pois caso a
assíntota vertical seja a reta x = a, então obrigatoriamente a /
∈ D(f).
Exemplo 1.7.1. Mostre que lim
x→0
1
x2
= +∞.
Solução:
Deve-se mostrar que para qualquer M 0, existe δ 0 tal que,
1
x2
M. (1.7.1)
sempre que 0 |x − 0| δ, ou seja, 0 |x| δ.
Tomando-se x 0, tem-se que |x| = x.
Pela desigualdade (1.7.1), obtém-se um indicativo para a melhor escolha
de δ. Para x 0, as seguintes desigualdades são equivalentes,
1
x2
M
x2
1
M
x
r
1
M
.
Assim, tomando-se δ =
r
1
M
, tem-se que
1
x2
M sempre que 0 |x − 0| δ, ou seja, 0 |x| δ.
Exemplo 1.7.2. Considerando a função f(x) =
1
x
.
a) Calcule lim
x→0+
f(x).
37 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.7. LIMITES INFINITOS
b) Determine a(s) assíntota(s) vertical(is), se houver.
Solução:
a) A definição de limite permite mostrar que lim
x→0+
f(x) = +∞. Deve-se mostrar
que para qualquer M 0, existe δ 0 tal que se 0 x δ, então
1
|x|
M.
Tomando-se δ =
1
M
, tem-se que |x|
1
M
e, portanto,
1
|x|
M. Logo,
lim
x→0+
f(x) = +∞.
b) Pela Definição 1.7.1 e pelo resultado do item anterior, conclui-se que x = 0 é
assíntota vertical de f(x) =
1
x
.
Para valores inteiros positivos de n, o comportamento da função f(x) =
1
xn
na vizinhança de x = 0 é caracterizado no Teorema 1.7.1.
Teorema 1.7.1. (Comportamento da função f(x) =
1
xn
quando x tende a
zero) Se n é um número inteiro positivo, então
lim
x→0
1
xn
=
+∞, se n ∈ {2, 4, 6, 8, ...}
não existe , se n ∈ {1, 3, 5, 7, ...}
.
Exemplo 1.7.3. Em cada caso, calcule lim
x→a
f(x) e indique se a reta x = a é assíntota
vertical:
a)lim
x→4
x
x − 4
b)lim
x→3
1
(x − 3)2
c)lim
x→0
√
3 + x2
x
.
Solução:
a) lim
x→4
x
x − 4
Para calcular lim
x→4
x
x − 4
deve-se, primeiramente, obter os limites
laterais, uma vez que para x = 4 o denominador é nulo.
Estudar o limite quando x tende a 4 pela esquerda significa deter-
minar o comportamento da função quando x assume valores muito próximos de
38 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.7. LIMITES INFINITOS
4, mas menores que 4. Para determinar o limite lateral à esquerda, substitui-se
x por (4 − h) e obtém-se,
lim
x→4−
x
x − 4
= lim
h→0
4 − h
(4 − h) − 4
= lim
h→0
4 − h
−h
= lim
h→0
4
−h
+ 1
.
Aplicando-se as propriedades operatórias 1.6.3, 1.6.1 e 1.6.7,
lim
x→4−
x
x − 4
= 1 − 4 lim
h→0
1
h
.
Pelo teorema 1.7.1, lim
h→0
1
h
= +∞. Portanto,
lim
x→4−
x
x − 4
= 1 − 4 lim
h→0
1
h
= −∞.
Repete-se o processo para obter o limite lateral à direita, ou seja,
determinar o comportamento da função quando x assume valores muito pró-
ximos de 4, mas maiores que 4. Para determinar o limite lateral à direita,
substitui-se x por (4 + h) e obtém-se,
lim
x→4+
x
x − 4
= lim
h→0
4 + h
(4 + h) − 4
= lim
h→0
4 + h
h
= lim
h→0
4
h
+ 1
= +∞.
Como
lim
x→4−
x
x − 4
= −∞ e lim
x→4+
x
x − 4
= +∞, (1.7.2)
pode-se afirmar que não existe lim
x→4
x
x − 4
.
Pela Definição 1.7.1 e pelo resultado (1.7.2), pode-se afirmar que
x = 4 é assíntota vertical de f(x) =
x
x − 4
.
b)lim
x→3
1
(x − 3)2
Deve-se, primeiramente, obter os limites laterais, uma vez que para
x = 3 o denominador é nulo.
Para determinar o limite lateral à esquerda, substitui-se x por (3−
h) e obtém-se,
lim
x→3−
1
(x − 3)2
= lim
h→0
1
(3 − h − 3)2
= lim
h→0
1
(−h)2
= lim
h→0
1
h2
.
39 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.7. LIMITES INFINITOS
Pelo Teorema 1.7.1, lim
h→0
1
h2
= +∞. Portanto,
lim
x→3−
1
(x − 3)2
= lim
h→0
1
h2
= +∞.
Para determinar o limite lateral à direita, substitui-se x por (3+h)
e obtém-se,
lim
x→3+
1
(x − 3)2
= lim
h→0
1
(3 + h − 3)2
= lim
h→0
1
h2
= lim
h→0
1
h2
= +∞.
Como
lim
x→3−
1
(x − 3)2
= lim
x→3+
1
(x − 3)2
= +∞, (1.7.3)
pode-se afirmar que lim
x→3
1
(x − 3)2
= +∞.
Pela Definição 1.7.1 e pelo resultado (1.7.3), pode-se afirmar que
x = 3 é assíntota vertical de f(x) =
1
(x − 3)2
.
c)lim
x→0
√
3 + x2
x
Calculam-se os limites laterais, uma vez que para x = 0 o deno-
minador é nulo. O limite lateral à esquerda é obtido substituindo-se x por
(0 − h),
lim
x→0−
√
3 + x2
x
= lim
h→0
p
3 + (0 − h)2
0 − h
= −lim
h→0
√
3 + h2
h
= −lim
h→0
r
3 + h2
h2
.
Reescrevendo-se o quociente
3 + h2
h2
como
3
h2
+ 1 e aplicando as
propriedades operatórias dos limites 1.6.9, 1.6.3 e 1.6.7 tem-se,
lim
x→0−
√
3 + x2
x
= −
s
lim
h→0
3
h2
+ 1
= −
r
3lim
h→0
1
h2
+ lim
h→0
1.
Pelo teorema 1.7.1, lim
h→0
1
h2
= +∞. Portanto,
lim
x→0−
√
3 + x2
x
= −∞.
Para determinar o limite lateral à direita, substitui-se x por (0+h)
e obtém-se,
lim
x→0+
√
3 + x2
x
= +∞.
40 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.8. LIMITES NO INFINITO
Como
lim
x→0−
√
3 + x2
x
= −∞ e lim
x→0+
√
3 + x2
x
= +∞. (1.7.4)
pode-se afirmar que lim
x→0
√
3 + x2
x
não existe.
Pela Definição 1.7.1 e pelo resultado (1.7.4), pode-se afirmar que
x = 0 é assíntota vertical de f(x) =
√
3 + x2
x
.
Exemplo 1.7.4. Para a função f(x) =
1
|x − 3|
, calcule lim
x→3
f(x).
Solução:
Note que a função f(x) pode ser reescrita como, f(x) =
1
x − 3
, se x 3
1
3 − x
, se x 3
.
Calculam-se os limites laterais, uma vez que para x = 3 o denominador é nulo. O
limite lateral à esquerda é obtido substituindo-se x por (3 + h) e aplicando-se o
Teorema 1.7.1 tem-se,
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
1
x − 3
= lim
h→0
1
(3 + h) − 3
= lim
h→0
1
h
= +∞.
Para determinar o limite lateral à esquerda, substitui-se x por (3 − h) e
obtém-se,
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
1
3 − x
= lim
h→0
1
3 − (3 − h)
= lim
h→0
1
h
= +∞.
Pode-se então afirmar que lim
x→3
f(x) = +∞.
Neste caso, diz-se que a função f(x) não possui limite finito quando x
tende a 3.
1.8 Limites no infinito
Seja uma função f definida para todo x pertencente a um intervalo aberto
infinito, o qual se estende na direção positiva do eixo x, escreve-se lim
x→+∞
f(x) = L
se dado qualquer 0, há um número correspondente M 0 tal que |f(x)−L|
se x M, como pode ser visto na Figura 1.22.
41 Notas de aula de Cálculo - FURG
42. -
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I
1.8. LIMITES NO INFINITO
x
y
L
L - e
)
)
L + e
f x
( )
M x
x M
Figura 1.22: Gráfico de f(x).
Da mesma forma, seja f uma função definida para todo x pertencente a
um intervalo aberto infinito, o qual se estende na direção negativa do eixo x, escreve-
se lim
x→−∞
f(x) = L se dado qualquer 0, há um número correspondente N 0 tal
que |f(x) − L| se x N. Veja a representação gráfica na Figura 1.23.
x
y
L
L - e
)
)
L + e
f x
( )
x N
x N
Figura 1.23: Gráfico de f(x).
Definição 1.8.1. A reta horizontal y = L é chamada de assíntota horizontal ao
gráfico de f(x) se
lim
x→+∞
f(x) = L ou lim
x→−∞
f(x) = L.
Observação 1.8.1. Basta que apenas um dos limites da Definição 1.8.1 se verifique
para que se tenha uma assíntota horizontal.
Observação 1.8.2. O gráfico de uma função f(x) pode ter até duas assíntotas
horizontais lim
x→−∞
f(x) = L1 e lim
x→+∞
f(x) = L2. Veja na Figura 1.24.
42 Notas de aula de Cálculo - FURG
59. . Portanto,
lim
x→+∞
1
x
= 0. De acordo com a Definição 1.8.1, pode-se afirmar que y = 0 é assíntota
horizontal de f(x).
Para valores inteiros positivos de n, o comportamento da função f(x) =
1
xn
no infinito é caracterizado no Teorema 1.8.1.
Teorema 1.8.1. (Comportamento da função f(x) =
1
xn
no infinito) Se n é
um número inteiro positivo, então lim
x→+∞
1
xn
= 0 e lim
x→−∞
1
xn
= 0.
Exemplo 1.8.2. Calcule os limites:
a) lim
x→+∞
1
x + 1
b) lim
x→+∞
1
√
x + 2
c) lim
x→−∞
1
√
x − 2
.
Solução:
a) Para resolver lim
x→+∞
1
x + 1
, aplica-se uma mudança de variável, considera-se u =
x + 1. Quando x tende a infinito, a variável u também tende a infinito. Logo,
43 Notas de aula de Cálculo - FURG
60. -
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I
1.8. LIMITES NO INFINITO
o novo limite pode ser escrito como lim
u→+∞
1
u
. Pelo Teorema 1.8.1, lim
u→+∞
1
u
= 0.
Portanto, lim
x→+∞
1
x + 1
= 0.
b) A solução de lim
x→+∞
1
√
x + 2
segue as mesmas etapas do item anterior. Aplica-se
uma mudança de variável, considera-se u =
√
x + 2. Quando x tende a infinito,
a variável u também tende a infinito. Logo, o novo limite pode ser escrito como
lim
u→+∞
1
u
. Pelo Teorema 1.8.1, lim
u→+∞
1
u
= 0. Portanto, lim
x→+∞
1
√
x + 2
= 0.
c) O domínio de f(x) =
1
√
x − 2
corresponde ao conjunto D(f) = {x ∈ R|x 2},
portanto o cálculo do limite não faz sentido.
Exemplo 1.8.3. O preço de um certo aparelho eletrônico sofre uma desvalorização
ao longo do tempo t de acordo com a função p(t) = 40+
40
2 + t
unidades monetárias.
O que acontecerá com o preço desse aparelho quando o tempo crescer indefinida-
mente?
Solução:
Para avaliar o preço do aparelho quando o tempo cresce indefinidamente,
deve-se calcular o limite da função p(t) quando x tende para mais infinito, ou seja,
lim
x→+∞
p(t) = lim
x→+∞
40 +
40
2 + t
.
Aplicando-se as propriedades do limite da soma 1.6.3 e do quociente 1.6.6
tem-se
lim
x→+∞
p(t) = lim
x→+∞
40 + lim
x→+∞
40
2 + t
= 40.
Isto significa que a medida que o tempo passa o preço do aparelho ele-
trônico sofre uma desvalorização até atingir o preço de 40 unidades monetárias.
1.8.1 Limites no infinito de xn
A função f(x) = xn
tem os seguintes limites no infinito:
a) lim
x→+∞
xn
= +∞, para qualquer n 0.
b) lim
x→−∞
xn
=
+∞, se n ∈ {2, 4, 6, 8, ...}
−∞, se n ∈ {1, 3, 5, 7, ...}
.
44 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.8. LIMITES NO INFINITO
Observação 1.8.3. Um polinômio se comporta como o seu termo de maior grau
quando x → +∞ ou x → −∞.
Exemplo 1.8.4. Calcule:
a) lim
x→+∞
(8x2
+ 3x)
b) lim
x→−∞
(7x5
− 6x4
).
Solução:
a) Para calcular lim
x→+∞
(8x2
+ 3x) deve-se lembrar que um polinômio se comporta
como o seu termo de maior grau quando x → +∞ ou x → −∞. Portanto,
neste caso, o comportamento do polinômio 8x2
+ 3x é definido pelo termo 8x2
quando x tende para +∞. Isto implica que
lim
x→+∞
(8x2
+ 3x) = +∞.
b) Para determinar lim
x→−∞
(7x5
− 6x4
) deve-se proceder da mesma forma do item
a). Portanto, neste caso, o comportamento do polinômio 7x5
− 6x4
é definido
pelo termo 7x5
quando x tende para −∞. Isto implica que
lim
x→−∞
(7x5
− 6x4
) = −∞.
Exercício 1.8.1. Calcule os limites:
a) lim
x→3
(5x − 2) g) lim
x→3
x2
− 2x
x + 1
b) lim
x→0
5
x − 1
h) lim
x→2
x
x2 − 4
c) lim
x→2
3x
2x − 4
i) lim
x→−1
x2
− 6x + 7
x2 − 3x + 2
d) lim
x→3
x2
+ 3x
x2 − x + 3
j) lim
x→5
x
x − 5
e) lim
x→−3
4x
x + 3
+
12
x + 3
k) lim
x→2
(x − 1)(x − 2)
x + 2
f) lim
x→2
x4
+ x2
− 2
x2 + 2
l) lim
x→2
e
3x − 4
.
Resposta do exercício
45 Notas de aula de Cálculo - FURG
62. -
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1.9. LIMITES ESPECIAIS
1.8.1.
a) 13 b) −5 c) Não existe. d) 2
e) 4 f) 3 g)
3
4
h) Não existe.
i)
7
3
j) Não existe. k) 0 l)
e
2
1.9 Limites especiais
Determina-se o comportamento de uma função f de variável real nas
proximidades de determinado valor da variável, calculando-se o limite de f através
da aplicação das propriedades para o cálculo de limites. Em certos casos, obtêm-se
expressões que não têm um significado conhecido. Observe os limites abaixo:
a) lim
x→0
x
2x
=
1
2
b) lim
x→0
x2
4x
= 0
c) lim
x→0
e1/x
x
= e
d) lim
x→+∞
(2x
)2/x
= 4
e) lim
x→+∞
x
x
= 1
f) lim
x→−∞
2x
x
= 2
g) lim
x→+∞
(x − x) = 0
h) lim
x→+∞
[x − (x + 1)] = −1.
Os exemplos anteriores ilustram situações onde não é possível atribuir
de imediato o valor do limite, caso ele exista. Nos itens a) - d), pode-se observar o
quociente de duas quantidades variáveis que tendem a zero, chamadas infinitésimos.
Nos itens de e) - h) estão representadas outras relações: infinitamente
grandes com quantidades infinitamente grandes (representadas por ∞).
Tais expressões recebem o nome de indeterminações. Nestes casos,
diz-se que se deve levantar estas indeterminações. Este processo consiste, basica-
mente, em redefinir o próprio limite com o objetivo de eliminar pelo menos um
infinitésimo ou um infinitamente grande.
46 Notas de aula de Cálculo - FURG
63. -
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1.9. LIMITES ESPECIAIS
São indeterminações as substituições obtidas no cálculo de limites que
resultam em
0
0
,
∞
∞
, ∞ − ∞ ou nas potências 1∞
, 00
, ∞0
.
1.9.1 Indeterminação do tipo
0
0
Função racional
Em um limite de uma função racional do tipo lim
x→a
P(x)
Q(x)
, quando o de-
nominador e o numerador forem ambos nulos em x = a, fatoram-se o numerador e
o denominador, cancelando seus fatores comuns. Assim, pode-se reduzir a fração à
outra, onde o numerador e o denominador não sejam mais ambos nulos em x = a.
Se isso acontecer, obtém-se o limite por substituição na fração simplificada.
Exemplo 1.9.1. Como é o comportamento da função f(x) =
x2
− 6x + 9
x − 3
quando
x se aproxima de 3?
Solução:
Para estudar o comportamento da função f(x) quando x se aproxima
de 3, calcula-se
lim
x→3
x2
− 6x + 9
x − 3
.
Fatorando-se o numerador, tem-se
lim
x→3
x2
− 6x + 9
x − 3
= lim
x→3
(x − 3)2
x − 3
.
Simplificando e aplicando a propriedade do limite de um polinômio 1.6.10,
obtém-se
lim
x→3
x2
− 6x + 9
x − 3
= lim
x→3
(x − 3) = 0.
Observação 1.9.1. Observa-se que o mesmo resultado pode ser obtido efetuando-se
a divisão entre os polinômios x2
− 6x + 9 e x − 3.
Exemplo 1.9.2. Calcule os limites:
a) lim
x→6
x2
− 36
x − 6
47 Notas de aula de Cálculo - FURG
64. -
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1.9. LIMITES ESPECIAIS
b) lim
x→1
x − 1
x3 − x2 − 9x + 9
.
Solução:
a) lim
x→6
x2
− 36
x − 6
Observa-se que o grau do polinômio do numerador é maior que o
grau do polinômio do denominador, portanto é possível dividir um polinômio
pelo outro, obtendo-se
lim
x→6
x2
− 36
x − 6
= lim
x→6
(x + 6).
Aplicando-se a propriedade do limite de um polinômio 1.6.10, tem-se
lim
x→6
x2
− 36
x − 6
= 12.
b) lim
x→1
x − 1
x3 − x2 − 9x + 9
.
Observa-se que o grau do polinômio do numerador é menor que
o grau do polinômio do denominador, portanto fatora-se o polinômio do de-
nominador, obtendo-se x3
− x2
− 9x + 9 = (x − 1)(x2
− 9). Substituindo a
expressão fatorada no limite original, resulta
lim
x→1
x − 1
x3 − x2 − 9x + 9
= lim
x→1
x − 1
(x − 1)(x2 − 9)
.
Assim,
lim
x→1
x − 1
x3 − x2 − 9x + 9
= lim
x→1
1
x2 − 9
.
Usando a propriedade do limite do quociente 1.6.6,
lim
x→1
x − 1
x3 − x2 − 9x + 9
= −
1
8
.
Exemplo 1.9.3. Seja f(x) =
x2
+ x − 6
x − 2
, se x 2
2x3
− 3x2
− 8x + 12
x2 − 4
, se x 2
, calcule lim
x→2
f(x).
Solução:
O limite lim
x→2
f(x) existe se lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
f(x).
48 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.9. LIMITES ESPECIAIS
O cálculo de lim
x→2−
f(x) utiliza a expressão que define f(x) para x 2,
isto é,
x2
+ x − 6
x − 2
. Escreve-se
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2
x2
+ x − 6
x − 2
.
Fatora-se o numerador, obtendo-se x2
+ x − 6 = (x − 2)(x + 3).
Substituindo no limite:
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2
(x − 2)(x + 3)
x − 2
.
Cancelando os fatores comuns, chega-se a
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2
(x + 3).
Calcula-se o último limite aplicando a propriedade do limite de uma
função polinomial 1.6.10 e obtém-se:
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2
(x + 3) = 5.
O cálculo de lim
x→2+
f(x) utiliza a expressão que define f(x) para x 2,
isto é,
2x3
− 3x2
− 8x + 12
x2 − 4
. Escreve-se
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2
2x3
− 3x2
− 8x + 12
x2 − 4
.
Fatoram-se os polinômios do numerador e do denominador, obtendo-se,
respectivamente:
2x3
− 3x2
− 8x + 12 = (x − 2)(x + 2)(2x − 3)
e
x2
− 4 = (x − 2)(x + 2).
Substituindo no limite:
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2
(x − 2)(x + 2)(2x − 3)
(x − 2)(x + 2)
.
Cancelando os fatores comuns, chega-se a
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2
(2x − 3).
Calcula-se o último limite aplicando a propriedade do limite de uma
função polinomial 1.6.10 e obtém-se:
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2
(2x − 3) = 1.
Como lim
x→2+
f(x) 6= lim
x→2−
f(x), conclui-se que não existe lim
x→2
f(x).
49 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.9. LIMITES ESPECIAIS
Função irracional
Em uma função algébrica irracional, uma maneira de determinar o limite
de uma função para qual a substituição direta leva a uma forma
0
0
é usar a técnica
de racionalização. Essa técnica pode ser usada para racionalizar o denominador ou
o numerador. Outra forma alternativa consiste em realizar mudanças de variáveis
adequadas que eliminem os termos de expoentes fracionários.
Exemplo 1.9.4. Calcule os limites:
a) lim
x→0
x
√
x + 1 − 1
b) lim
x→1
4
√
x − 1
√
x − 1
.
Solução:
a) lim
x→0
x
√
x + 1 − 1
A substituição de x por 0 no limite lim
x→0
x
√
x + 1 − 1
leva a uma
indeterminação do tipo
0
0
. Como se trata de uma função irracional, neste
caso, racionaliza-se, isto é, multiplica-se o numerador e o denominador pelo
termo
√
x + 1 + 1, ou seja,
lim
x→0
x
√
x + 1 − 1
= lim
x→0
x(
√
x + 1 + 1)
(
√
x + 1 − 1)(
√
x + 1 + 1)
.
Multiplicando os fatores do denominador
lim
x→0
x
√
x + 1 − 1
= lim
x→0
x(
√
x + 1 + 1)
x + 1 − 1
.
Simplificando, o limite resultante fica
lim
x→0
x
√
x + 1 − 1
= lim
x→0
√
x + 1 + 1.
Logo,
lim
x→0
x
√
x + 1 − 1
= 2.
b) lim
x→1
4
√
x − 1
√
x − 1
A substituição de x por 1 no limite lim
x→1
4
√
x − 1
√
x − 1
leva a uma indeter-
minação do tipo
0
0
. Neste caso, realiza-se uma mudança de variável de modo a
50 Notas de aula de Cálculo - FURG
67. -
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-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
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IMEF
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I
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FURG
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FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.9. LIMITES ESPECIAIS
eliminar os termos com expoente fracionário. Considera-se x = t4
. Observa-se
que quando x tende a 1, a nova variável t também tende a 1. Escreve-se o
novo limite:
lim
x→1
4
√
x − 1
√
x − 1
= lim
t→1
4
√
t4 − 1
√
t4 − 1
= lim
t→1
t − 1
t2 − 1
.
Observa-se que a função obtida neste processo é racional, porém a
indeterminação do tipo
0
0
não foi eliminada. Para continuar o cálculo, fatora-
se o denominador, isto é, escreve-se t2
− 1 = (t − 1)(t + 1) e se substitui no
limite, obtendo-se
lim
t→1
t − 1
t2 − 1
= lim
t→1
t − 1
(t − 1)(t + 1)
.
Simplificando os fatores comuns, chega-se ao limite de um quoci-
ente que pode ser resolvido pela propriedade 1.6.6:
lim
t→1
t − 1
(t − 1)(t + 1)
= lim
t→1
1
t + 1
=
1
2
.
Portanto,
lim
x→1
4
√
x − 1
√
x − 1
=
1
2
.
Exercício 1.9.1. Calcule:
a) lim
x→0
x2
− x
x3 − x
e) lim
x→7
2 −
√
x − 3
x2 − 49
b) lim
x→1
√
x − 1
3
√
x − 1
f) lim
x→0
√
x + 1 −
√
1 − x
x
c) lim
x→8
x − 8
3
√
x − 2
g) lim
x→4
3 −
√
5 + x
1 −
√
5 − x
d) lim
x→a
x2
− a2
√
x −
√
a
, a 6= 0 h) lim
x→−1
x2
+ 6x + 5
x2 − 3x − 4
.
Resposta do exercício
1.9.1.
a) 1 b)
3
2
c) 12 d) 4a
√
a
e) −
1
56
f) 1 g) −
1
3
h) −
4
5
.
51 Notas de aula de Cálculo - FURG
68. -
IMEF
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-
IMEF
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-
IMEF
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I
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-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.9. LIMITES ESPECIAIS
1.9.2 Indeterminação do tipo ∞
∞
Se lim
x→+∞
f(x)
g(x)
=
∞
∞
ou lim
x→−∞
f(x)
g(x)
=
∞
∞
, divide-se o numerador e o
denominador pela maior potência de x que aparece no denominador.
Exemplo 1.9.5. Determine o valor dos seguintes limites:
a) lim
x→+∞
x
x − 3
b) lim
x→+∞
3x6
− 5x2
+ 9
2x4 + 1
c) lim
x→+∞
3x + 5
6x3 − 7
d) lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
2x +
√
4x2 + 9
.
Solução:
a) lim
x→+∞
x
x − 3
Este limite resulta na forma indeterminada
∞
∞
. Com o objetivo de
levantar a indeterminação, divide-se o numerador e o denominador pela maior
potência de x do denominador (neste caso, x). Assim,
lim
x→+∞
x
x − 3
= lim
x→+∞
x
x
x − 3
x
= lim
x→+∞
1
1 −
3
x
.
Aplicando as propriedades do limite do quociente 1.6.6 e do limite
da diferença 1.6.4, obtém-se:
lim
x→+∞
x
x − 3
=
lim
x→+∞
1
lim
x→+∞
1
1 −
3
x
=
1
lim
x→+∞
1 −
3
x
.
O Teorema 1.8.1 permite escrever que lim
x→+∞
3
x
= 0.
Portanto,
lim
x→+∞
x
x − 3
=
lim
x→+∞
1
lim
x→+∞
1
1 −
3
x
= 1.
52 Notas de aula de Cálculo - FURG
69. -
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
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IMEF
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-
I
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IMEF
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-
IMEF
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IMEF
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IMEF
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IMEF
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FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.9. LIMITES ESPECIAIS
b) lim
x→+∞
3x6
− 5x2
+ 9
2x4 + 1
A tentativa de cálculo deste limite resulta na forma indeterminada
∞
∞
. Com o objetivo de levantar a indeterminação, divide-se o numerador e
o denominador pela maior potência de x do denominador (neste caso, x4
).
Assim,
lim
x→+∞
3x6
− 5x2
+ 9
2x4 + 1
= lim
x→+∞
3x6
− 5x2
+ 9
x4
2x4
+ 1
x4
= lim
x→+∞
3x2
−
5
x2
+
9
x4
2 +
1
x4
.
Aplicando as propriedades do limite do quociente 1.6.6, do limite
da diferença 1.6.4 e do limite da soma 1.6.3, obtém-se:
lim
x→+∞
3x6
− 5x2
+ 9
2x4 + 1
=
lim
x→+∞
3x2
− lim
x→+∞
5
x2
+ lim
x→+∞
9
x4
lim
x→+∞
2 + lim
x→+∞
1
x4
.
O teorema 1.8.1 permite escrever que
lim
x→+∞
5
x2
= 0, lim
x→+∞
9
x4
= 0 e lim
x→+∞
1
x4
= 0.
Portanto, lim
x→+∞
3x6
− 5x2
+ 9
2x4 + 1
=
lim
x→+∞
3x2
2
= +∞.
c) lim
x→+∞
3x + 5
6x3 − 7
O cálculo deste limite resulta na forma indeterminada
∞
∞
. Com o
objetivo de levantar a indeterminação, divide-se o numerador e o denominador
pela maior potência de x do denominador (neste caso, x3
). Assim,
lim
x→+∞
3x + 5
6x3 − 7
= lim
x→+∞
3x + 5
x3
6x3
− 7
x3
= lim
x→+∞
3x
x3
+
5
x3
6x3
x3
−
7
x3
.
Simplificando
lim
x→+∞
3x + 5
6x3 − 7
= lim
x→+∞
3
x2
+
5
x3
6 −
7
x3
.
53 Notas de aula de Cálculo - FURG
70. -
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.9. LIMITES ESPECIAIS
Aplicando as propriedades do limite do quociente 1.6.6, do limite
da diferença 1.6.4 e do limite da soma 1.6.3, obtém-se:
lim
x→+∞
3x + 5
6x3 − 7
=
lim
x→+∞
3
x2
+ lim
x→+∞
5
x3
lim
x→+∞
6 − lim
x→+∞
7
x3
.
O Teorema 1.8.1 permite escrever que
lim
x→+∞
3
x2
= 0 lim
x→+∞
5
x3
= 0 e lim
x→+∞
7
x3
= 0.
Portanto, lim
x→+∞
3x + 5
6x3 − 7
=
lim
x→+∞
0
6
= 0.
d) lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
2x +
√
4x2 + 9
.
Este limite resulta na forma indeterminada
∞
∞
. Com o objetivo de
levantar a indeterminação, divide-se o numerador e o denominador pela maior
potência de x do denominador (neste caso, x). Assim,
lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
2x +
√
4x2 + 9
= lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
x
2x +
√
4x2 + 9
x
.
Efetuando as operações de divisão, escreve-se:
lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
2x +
√
4x2 + 9
= lim
x→+∞
3x
x
+
r
x2
+ 9
x2
2x
x
+
r
4x2
+ 9
x2
= lim
x→+∞
3 +
r
1 +
9
x2
2 +
r
4 +
9
x2
.
Aplicando as propriedades do limite do quociente 1.6.6 e do limite
da soma 1.6.3, obtém-se:
lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
2x +
√
4x2 + 9
=
lim
x→+∞
3 +
r
1 +
9
x2
lim
x→+∞
2 +
r
4 +
9
x2
=
lim
x→+∞
3 + lim
x→+∞
r
1 +
9
x2
lim
x→+∞
2 + lim
x→+∞
r
4 +
9
x2
.
Utilizando a propriedade do limite da radiciação 1.6.9, pode-se
escrever
lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
2x +
√
4x2 + 9
=
lim
x→+∞
3 +
r
lim
x→+∞
1 + lim
x→+∞
9
x2
lim
x→+∞
2 +
r
lim
x→+∞
4 + lim
x→+∞
9
x2
.
54 Notas de aula de Cálculo - FURG
71. -
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.9. LIMITES ESPECIAIS
O Teorema 1.8.1 permite escrever que lim
x→+∞
9
x2
= 0.
Portanto,
lim
x→+∞
3x +
√
x2 + 9
2x +
√
4x2 + 9
==
lim
x→+∞
3 +
q
lim
x→+∞
1
lim
x→+∞
2 +
q
lim
x→+∞
4
= 1.
1.9.3 Indeterminação do tipo ∞ − ∞
Para resolver limites do tipo lim
x→a
[f(x) − g(x)] = ∞ − ∞, utilizam-se
artifícios algébricos para se obter indeterminações do tipo
0
0
ou
∞
∞
.
Exemplo 1.9.6. Resolva os limites:
a) lim
x→+∞
[x(
√
x2 + 1 − x)]
b) lim
x→+∞
(
√
3x2 + x − 2x)
Solução:
a) lim
x→+∞
[x(
√
x2 + 1 − x)]
Com o intuito de eliminar a indeterminação do tipo ∞ − ∞,
multiplica-se e divide-se a função original pelo seu conjugado, assim:
lim
x→+∞
[x(
√
x2 + 1 − x)] = lim
x→+∞
[x(
√
x2 + 1 − x)] ·
√
x2 + 1 + x
√
x2 + 1 + x
lim
x→+∞
[x(
√
x2 + 1 − x)] = lim
x→+∞
x(x2
+ 1 − x2
)
x(
√
x2 + 1 + x)
= lim
x→+∞
x
x(
√
x2 + 1 + x)
.
lim
x→+∞
[x(
√
x2 + 1 − x)] = lim
x→+∞
1
(
√
x2 + 1 + x)
.
Portanto, lim
x→+∞
[x(
√
x2 + 1 − x)] =
1
2
.
b) lim
x→+∞
(
√
3x2 + x − 2x)
Com o intuito de eliminar a indeterminação do tipo ∞ − ∞,
multiplica-se e divide-se a função original pelo seu conjugado, assim:
55 Notas de aula de Cálculo - FURG
72. -
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.9. LIMITES ESPECIAIS
lim
x→+∞
(
√
3x2 + x − 2x) = lim
x→+∞
(
√
3x2 + x − 2x) ·
√
3x2 + x + 2x
√
3x2 + x + 2x
.
lim
x→+∞
(
√
3x2 + x − 2x) = lim
x→+∞
−x2
+ x
√
3x2 + x + 2x
.
A fração resultante consiste de uma indeterminação do tipo
∞
∞
.
Neste caso, divide-se o numerador e o denominador pela maior potência de x
no denominador:
lim
x→+∞
(
√
3x2 + x − 2x) =
lim
x→+∞
−x2
+ x
x
lim
x→+∞
√
3x2 + x + 2x
x
=
1 − lim
x→+∞
x
2 +
r
3 + lim
x→+∞
1
x
= −∞.
Logo, lim
x→+∞
(
√
3x2 + x − 2x) = −∞.
1.9.4 Indeterminação tipo 0 · ∞
Se lim
x→a
[f(x) · g(x)] = 0 · ∞, transforma-se o limite para que resulte em
indeterminação
0
0
ou
∞
∞
, através de artifícios algébricos.
Os limites lim
x→0+
1
x
· ln(1 + x)
e lim
x→0+
1
x
· (e2x
− ex
)
exemplificam esta
indeterminação. O estudo dos limites fundamentais exponenciais serão importantes
para a obtenção dos resultados destes exemplos.
Exercício 1.9.2. Calcule os limites:
56 Notas de aula de Cálculo - FURG
74. -
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
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-
IMEF
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-
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-
IMEF
-
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IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.10. TEOREMA DO CONFRONTO
1.10 Teorema do confronto
Teorema 1.10.1. Suponha que h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para qualquer x em um dado
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente quando x = a. Suponha também
que lim
x→a
g(x) = lim
x→a
h(x) = L, então lim
x→a
f(x) = L.
Veja os gráficos de f(x), g(x) e h(x) na Figura 1.25.
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
g x
( )
f x
( )
h x
( )
Figura 1.25: Gráficos de f(x), g(x) e h(x).
Demonstração:
Para 0, existem δ1 0 e δ2 0 tais que |h(x) − L| sempre que
0 |x − a| δ1 e |g(x) − L| sempre que 0 |x − a| δ2.
Seja δ = min{δ1, δ2}, então se 0 |x − a| δ, tem-se que |h(x) − L|
e |g(x) − L| o que implica que − h(x) − L e L − h(x), e ainda
− g(x) − L e g(x) L + .
Por outro lado, como h(x) f(x) g(x), tem-se L − f(x) L + ,
isto é, |f(x) − L| .
Portanto, lim
x→a
f(x) = L.
Exemplo 1.10.1. Utilize o Teorema do Confronto para determinar lim
x→0
f(x), sa-
bendo que 4 − x2
≤ f(x) ≤ 4 + x2
.
Solução:
Neste caso, pelo Teorema 1.10.1, considera-se que h(x) = 4 − x2
e
g(x) = 4 + x2
.
58 Notas de aula de Cálculo - FURG
75. -
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
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IMEF
-
FURG
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IMEF
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IMEF
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-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
I
1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Pode-se escrever: lim
x→0
4 − x2
≤ lim
x→0
f(x) ≤ lim
x→0
4 + x2
.
Isto é, 4 ≤ lim
x→0
f(x) ≤ 4.
Portanto, lim
x→0
f(x) = 4.
Exercício 1.10.1. Mostre que lim
x→+∞
sen(x)
x
= 0, utilizando o Teorema do Con-
fronto.
1.11 Limite de funções transcendentes
Nesta seção, estudam-se os limites das funções transcendentes, isto é,
funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas.
A unidade de medida de ângulo considerada para as funções trigonomé-
tricas é radianos.
1.11.1 Função seno
Teorema 1.11.1. lim
x→a
sen(x) = sen(a), ∀a ∈ R.
Demonstração:
Note que lim
x→a
sen(x) = sen(a) se e somente se lim
x→a
(sen(x) − sen(a)) = 0,
portanto para demonstrar o teorema, basta provar que lim
x→a
(sen(x) − sen(a)) = 0.
Da Trigonometria tem-se que
0 ≤ |sen(x)−sen(a)| =
132. IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
-
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-
IMEF
-
FURG
-
IMEF
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FURG
-
IMEF
-
FURG
-
1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Segue pelo Teorema do Confronto que lim
x→a
|sen(x) − sen(a)| = 0 e, por-
tanto, lim
x→a
sen(x) − sen(a) = 0, ou seja, lim
x→a
sen(x) = sen(a).
Exemplo 1.11.1. Seja f(x) = sen(x). Estude o comportamento de f(x) quando x
aproxima-se de zero.
Solução:
Pelo Teorema 1.11.1 tem-se que
lim
x→0
sen(x) = sen(0) = 0.
Note que este resultado pode ser facilmente confirmado graficamente.
Observe o gráfico da função f(x) = sen(x) na Figura 1.28.
Figura 1.26: Representação do comportamento de f(x) = sen(x) para x → 0.
1.11.2 Função cosseno
Teorema 1.11.2. lim
x→a
cos(x) = cos(a), ∀a ∈ R.
Demonstração:
A demonstração deste teorema é feita de modo análogo a do anterior,
usando o fato de que cos(x) = sen
π
2
− x
.
Exemplo 1.11.2. Seja f(x) = cos(x). Estude o comportamento de f(x) quando x
aproxima-se de π.
Solução:
Pelo Teorema 1.11.2, tem-se que
lim
x→π
cos(x) = cos(π) = −1.
Note que este resultado pode ser facilmente confirmado graficamente.
Observe o gráfico da função f(x) = cos(x) na Figura 1.28.
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I
1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Figura 1.27: Representação do comportamento de f(x) = cos(x) para x → π.
1.11.3 Função tangente
Teorema 1.11.3. lim
x→a
tg(x) = tg(a), ∀a 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
Demonstração:
Da Trigonometria tem-se que tg(x) =
sen(x)
cos(x)
. Aplicando-se a proprie-
dade operatória dos limites 1.6.6 e os teoremas 1.11.1 e 1.11.2 tem-se,
lim
x→a
tg(x) = lim
x→a
sen(x)
cos(x)
=
lim
x→a
sen(x)
lim
x→a
cos(x)
=
sen(a)
cos(a)
= tg(a).
Exemplo 1.11.3. Calcule lim
x→ π
2
tg(π − x).
Solução:
Note que quando x aproxima-se de
π
2
, π − x tende para
π
2
. Portanto
o teorema 1.11.3 não pode ser aplicado, uma vez que a tangente de
π
2
não está
definida. Neste caso, utiliza-se a representação gráfica da função.
Observa-se que quando x tende para
π
2
à direita, ou seja, por valores
maiores que
π
2
, a função tg(x) tende para −∞. Por outro lado, quando x tende
para
π
2
à esquerda, ou seja, por valores menores que
π
2
, a função tg(x) tende para
+∞. Observe a Figura 1.28.
Portanto, não existe lim
x→ π
2
tg(π − x).
Exemplo 1.11.4. Resolva o limite
lim
x→0
[cosec(x) − cotg(x)].
Solução:
A substituição de x por 0 leva a uma indeterminação do tipo ∞ − ∞.
Neste caso, para levantar a indeterminação, escrevem-se as funções trigonométricas
em termos de senos e cossenos. Multiplica-se o numerador e o denominador da
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I
1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Figura 1.28: Representação do comportamento de f(x) = tg(x) para x → π
2
.
fração resultante pelo conjugado do numerador, obtendo-se:
lim
x→0
[cosec(x) − cotg(x)] = lim
x→0
1
sen(x)
−
cos(x)
sen(x)
= lim
x→0
1 − cos(x)
sen(x)
·
1 + cos(x)
1 + cos(x)
.
A multiplicação dos numeradores, a aplicação da identidade trigonomé-
trica fundamental e dos Teoremas 1.11.1 e 1.11.2 produz:
lim
x→0
[cosec(x) − cotg(x)] = lim
x→0
sen(x)
[1 + cos(x)]
= 0.
Portanto, lim
x→0
[cosec(x) − cotg(x)] = 0.
Exemplo 1.11.5. Calcule lim
x→0
[sen(x) · cosec(x)].
Solução:
O limite dado da forma como está escrito corresponde a uma indeter-
minação do tipo 0 · ∞. Para eliminar esta indeterminação, basta escrever a função
cossecante em termos da função seno:
lim
x→0
[sen(x) · cosec(x)] = lim
x→0
sen(x) ·
1
sen(x)
= lim
x→0
1 = 1.
Portanto, lim
x→0
[sen(x) · cosec(x)] = 1.
1.11.4 Função exponencial
Teorema 1.11.4. Se a ∈ R e 0 a 6= 1, então lim
x→0
ax
= 1.
Demonstração:
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I
1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Para a 1 e 0 1 tem-se que como
|ax
− 1| ,
então,
− ax
− 1 .
Somando-se uma unidade à desigualdade obtém-se
1 − ax
1 + .
Aplicando-se a função logarítmica de base a à desigualdade tem-se
loga(1 − ) x loga(1 + ).
Mas, se a 1 e 0 1, então loga(1 − ) 0 e loga(1 + ) 0 e,
portanto,
loga(1 − ) x loga(1 + ). (1.11.1)
A desigualdade (1.11.1) implica que
x loga(1 + ) e − x − loga(1 − ),
ou seja,
|x| loga(1 + ) e |x| loga(1 + ).
Assim, para todo 0 1, existe δ = min{loga(1 + ), − loga(1 − )},
tal que 0 |x| δ e |ax
− 1| .
Se a 1 e ≥ 1, tome 0
1 ≤ . Então existe δ0
= min{loga(1 +
0
), − loga(1 − 0
)}, tal que 0 |x| δ0
e |ax
− 1| 0
.
De forma análoga, obtém-se o resultado para 0 a 1.
Teorema 1.11.5. Se a ∈ R e 0 a 6= 1, então lim
x→b
ax
= ab
.
Demonstração:
Para demonstrar este Teorema, basta provar que lim
x→b
(ax
− ab
) = 0.
Prova-se inicialmente que lim
x→b
ax−b
= 1, isto é,
∀ 0 ∃ δ 0 tal que 0 |x − b| δ implica que |ax−b
− 1| .
Tomado-se x − b = w tem-se pelo Teorema 1.11.4 que,
∀ 0 ∃ δ 0 tal que 0 |w| δ implica que |aw
− 1| .
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1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
Basta provar que lim
x→b
(ax
− ab
) = 0. De fato,
lim
x→b
(ax
− ab
) = lim
x→b
[ab
(ax−b
− 1)] = ab
lim
x→b
(ax−b
− 1) = ab
[1 − 1] = 0.
Teorema 1.11.6. Se a ∈ R e a 1, então lim
x→+∞
ax
= +∞ e lim
x→−∞
ax
= 0.
Demonstração:
Primeiramente demonstrar-se-á que se a ∈ R e a 1, então lim
x→+∞
ax
=
+∞.
Note que para todo M 0, ax
M implica que x loga M. Se M 1,
tomando-se N = loga M 0 tem-se que para todo M 1, existe N = loga M 0
tal que x N implica que ax
M.
Se 0 M 1, tomando-se M0
1 M, N = loga M0
0 tem-se que
para todo M 1, existe N = loga M0
0 tal que x N implica que ax
M.
Portanto, tem-se que lim
x→+∞
ax
= +∞.
Para provar que se a ∈ R e a 1, então lim
x→−∞
ax
= 0, note que |ax
|
implica que ax
e portanto x loga .
Se 0 1, toma-se N = loga 0 tal que se x N, |ax
| .
Se 1, toma-se 0
1 e N = loga 0
0. Seque que, para todo
1, existe N = loga 0
0 tal que se x N, |ax
| 0
.
Portanto tem-se que lim
x→−∞
ax
= 0.
Teorema 1.11.7. Se a ∈ R e 0 a 1, então lim
x→+∞
ax
= 0 e lim
x→−∞
ax
= +∞.
Demonstração:
A demonstração deste Teorema fica a cargo do leitor.
Exemplo 1.11.6. Estude o comportamento da função exponencial f(x) = ex
quando
a) x tende a zero.
b) x tende a +∞.
c) x tende a −∞.
Solução:
a) Pelo Teorema 1.11.4, tem-se que lim
x→0
ex
= 1.
64 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
b) Aplicando-se o resultado do Teorema 1.11.6 verifica-se que a função exponencial
f(x) = ex
tende para +∞ quando x → +∞ , ou seja,
lim
x→+∞
ex
= +∞.
c) Pelo Teorema 1.11.6 tem-se que a função exponencial f(x) = ex
aproxima-se de
zero quando x → −∞, isto é,
lim
x→−∞
ex
= 0.
O comportamento da função f(x) = ex
pode ser verificado grafi-
camente na Figura 1.29.
Figura 1.29: Representação do comportamento de f(x) = ex
.
Exemplo 1.11.7. Estude o comportamento da função exponencial f(x) = e−x
quando
a) x tende a +∞.
b) x tende a −∞.
Solução:
Note que a função exponencial g(x) = e−x
pode ser reescrita como
g(x) =
1
e
x
, logo g(x) é uma função exponencial com o valor da base entre 0 e 1.
a) Aplicando-se o Teorema 1.11.7, verifica-se que a função exponencial g(x) = e−x
aproxima-se de 0 quando x → +∞ , ou seja,
lim
x→+∞
e−x
= 0.
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1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
b) Pelo Teorema 1.11.7, tem-se que a função exponencial g(x) = e−x
tende para
+∞ quando x → −∞, isto é,
lim
x→−∞
e−x
= +∞.
O comportamento da função g(x) = e−x
pode ser verificado grafi-
camente na Figura 1.30.
Figura 1.30: Comportamento de g(x) = e−x
.
Teorema 1.11.8. Se a ∈ R e 0 a 6= 1 e lim
x→b
f(x) = 0, então lim
x→b
af(x)
= 1.
Demonstração:
Seja a 1 e lim
x→b
f(x) = 0. Dado 1 0, existe δ1 0 tal que se
0 |x − b| δ1 então |f(x)| loga(1 + 1), logo
− loga(1 + 1) f(x) loga(1 + 1).
Dado 0 2 1, existe δ2 0 tal que se 0 |x − b| δ2 então
|f(x)| − loga(1 − 2), logo
loga(1 − 2) f(x) − loga(1 − 2).
Note que, para 1 0 e 0 2 1, tem-se que loga(1 − 2) 0
loga(1 + 1). Então para todo 0 tem-se que,
1) Se 0 1, então existe δ = min{δ1, δ2} tal que se 0 |x − b| δ então
loga(1 − ) f(x) loga(1 + ), logo 1 − af(x)
1 + o que implica que
|ax
− 1| .
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1.11. LIMITE DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES
2) Se 1, tomando-se 0 0
1 existe δ0
0 tal que se 0 |x − b| δ
então |af(x)
− 1| 0
. Logo, lim
x→b
af(x)
= 1 para a 1.
A demonstração para 0 a 1 é feita de modo análogo.
Teorema 1.11.9. Se a ∈ R e 0 a 6= 1 e lim
x→b
f(x) = c, então
lim
x→b
af(x)
= a
lim
x→b
f(x)
= ac
.
Demonstração:
Por hipótese, tem-se que lim
x→b
f(x) = c, isto é, lim
x→b
[f(x) − c] = 0.
Pelo Teorema 1.11.8,
lim
x→b
[f(x) − c] = 0
que implica que lim
x→b
a[f(x)−c]
= 1.
Demonstra-se que lim
x→b
af(x)
= ac
, provando-se que lim
x→b
[af(x)
− ac
] = 0.
Assim,
lim
x→b
[af(x)
− ac
] = lim
x→b
ac
· [af(x)−c
− 1] = ac
· lim
x→b
[af(x)−c
− 1] = ac
(1 − 1) = 0.
Exemplo 1.11.8. Calcule o valor dos limites:
a)lim
x→3
2x2−1
b)lim
x→0
e
x+2
x−1 .
Solução:
Aplicando-se o Teorema 1.11.9 na solução dos itens a) e b) obtém-se,
a)lim
x→3
2x2−1
= 2
lim
x→3
x2−1
= 28
= 256
b)lim
x→0
e
x+2
x−1 = e
lim
x→0
x+2
x−1
= e−2
=
1
e2
.
Exemplo 1.11.9. As vendas cumulativas V (em milhares de unidades) de um novo
produto X após sua permanência no mercado por t anos é modelada por
V (t) = 30 · e
− ln(6)
t .
Sabendo-se que o ponto de saturação do mercado para um produto é obtido calculando-
se o limite da função V (t) quando t tende para +∞, determine o ponto de saturação
para o produto X.
67 Notas de aula de Cálculo - FURG