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Sum´rio
   a

1 Tipos de Provas                                                                            3
  1.1   introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               ca                                                                            3
  1.2   Provas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     3
  1.3   Provas por redu¸ao ao absurdo
                       c˜                   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    5

2 Conjuntos                                                                                  9
  2.1   Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               c˜                                                                            9
  2.2   Defini¸oes B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
             c˜    a                                                                        10
  2.3   Inclus˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
              a                                                                             12
  2.4   Opera¸oes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
             c˜                                                                             15

3 Fam´
     ılias indexadas de conjuntos                                                           21

4 Rela¸˜es
      co                                                                                    23
  4.1   Pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     23
  4.2   Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      23
  4.3   Rela¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
            c˜                                                                              25
  4.4   Dom´
           ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        26
  4.5   Rela¸ao Composta e Rela¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
            c˜                 c˜                                                           26
  4.6   Rela¸oes de Equivalˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
            c˜             e                                                                29

5 Fun¸˜es
     co                                                                                     37
  5.1   Defini¸oes e nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
             c˜                                                                             37
  5.2   Imagens diretas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      39
  5.3   Fun¸oes injetoras, sobrejetoras e bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . .
           c˜                                                                               43
  5.4   Fun¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
           c˜                                                                               44
  5.5   Composi¸ao de Fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               c˜        c˜                                                                 45

                                             1
2                                                                                      ´
                                                                                    SUMARIO

6 Cardinais                                                                                  47
    6.1   Defini¸oes e alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               c˜                                                                            47
    6.2   N´meros Cardinais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
           u                                                                                 49
    6.3   N´meros cardinais infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
           u                                                                                 54
    6.4   Mais exemplos de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                            u                                                                60
    6.5   Compara¸˜o de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                 ca      u                                                                   63
    6.6   Opera¸oes com n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               c˜        u                                                                   67

7 Ordinais                                                                                   75
    7.1   Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                 c˜                                                                          75
    7.2   Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       75
    7.3   Conjuntos totalmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       77
    7.4   Um pouco mais de nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          78
    7.5   Conjuntos Bem Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        84
    7.6   Conjuntos semelhantes e tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       85
    7.7   Opera¸oes com tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               c˜                                                                            88
Matem´tica Elementar - Primeiro Semestre de 2012
     a



                 19 de maio de 2012
2      ´
    SUMARIO
Cap´
   ıtulo 1

Tipos de Provas

1.1     introdu¸˜o
               ca
Uma das principais atividades dos matem´ticos ´ classificar como verdadeiras ou falsas
                                       a      e
as senten¸as que surgem em seu trabalho. A veracidade de uma senten¸a, em geral,
         c                                                         c
´ obtida atrav´s de uma demonstra¸ao. Uma demonstra¸˜o s´ ´ considerada correta
e             e                  c˜                ca o e
se todas as senten¸as usadas na sua constru¸˜o forem verdadeiras, ou admitidas como
                  c                        ca
verdadeiras em contextos anteriores. N˜o existem regras para se fazer uma demonstra¸ao.
                                      a                                            c˜
E nem poderiam mesmo existir, pois o mist´rio que envolve a sua elabora¸ao ´ um dos
                                         e                             c˜ e
motores que faz da Matem´tica um organismo vivo. Segundo o matem´tico h´ngaro
                        a                                       a      u
Paul Erd¨s (1913-1996), Deus possuiria um livro no qual estariam guardadas as provas
        o
mais perfeitas dos teoremas matem´ticos. Ainda segundo Erd¨s, vocˆ poderia at´ nem
                                 a                        o      e           e
acreditar em Deus, mas como matem´tico deveria acreditar no Livro. Para o matem´tico
                                 a                                             a
inglˆs Goodfrey Hardy (1877-1947), o quesito beleza ´ fundamental. No mundo, para
    e                                               e
ele, n˜o haveria lugar para matem´tica feia. Depreende-se de sua afirma¸ao que, al´m da
      a                          a                                    c˜         e
busca pela verdade, pelo conhecimento da prova de um resultado, o matem´tico tamb´m
                                                                       a         e
persegue a beleza. Uma bela prova de um resultado dif´ ´ o sonho de todo matem´tico.
                                                     ıcil e                   a



1.2     Provas diretas
H´ basicamente dois tipos de demonstra¸oes: as que s˜o diretas e aquelas em que se
 a                                    c˜            a
recorre ao m´todo da redu¸ao ao absurdo. Em uma demonstra¸ao direta mostramos
            e            c˜                              c˜
que, a partir das informa¸oes fornecida(s) pela(s) hip´tese(s), podemos concluir a tese.
                         c˜                           o
Isso em geral ´ obtido atrav´s de rela¸oes entre os fatos que est˜o sendo admitidos na(s)
              e             e         c˜                         a

                                           3
4                                                   CAP´
                                                       ITULO 1. TIPOS DE PROVAS

hip´tese(s) e fatos que s˜o conhecidos previamente. Veremos nos exemplos a seguir alguns
   o                     a
exemplos desse tipo de demonstra¸ao.
                                c˜

    1. Imagine a seguinte afirma¸ao: Se um aluno est´ matriculado na turma de Matem´tica
                               c˜                  a                              a
      Elementar ent˜o ele ´ paraibano. Essa afirma¸˜o ´ falsa pois temos alunos na
                   a      e                      ca e
      turma que nasceram em outros estados. Basta um aluno que satisfa¸a a hip´tese
                                                                      c       o
      dessa afirma¸ao mas que n˜o satisfa¸a a tese dessa afirma¸ao para torn´-la falsa.
                 c˜           a         c                    c˜           a
      Agora analisemos a outra afirma¸˜o: Se um aluno est´ matriculado na turma de
                                    ca                  a
      Matem´tica Elementar ent˜o ele ´ brasileiro. Como n˜o temos alunos estrangeiros
           a                  a      e                   a
      matriculados no curso, somos levados a concluir que todos s˜o brasileiros. Tamb´m
                                                                 a                   e
      poder´
           ıamos ter perguntado, aluno por aluno, qual a sua nacionalidade e ver´
                                                                                ıamos
      que todos s˜o brasileiros. Isso ´ uma demonstra¸ao direta desse fato.
                 a                    e              c˜

    2. Se m e n s˜o n´meros pares ent˜o a soma m + n ´ um n´mero par. Vamos
                 a   u               a               e     u
      demonstrar esse fato. Em primeiro lugar, vamos identificar claramente o nosso
      objetivo. Queremos provar que um certo n´mero ´ par. Muito bem! Mas o que
                                              u     e
      siginfica um n´mero ser par? Aqui precisamos recordar a defini¸ao. Um n´mero
                   u                                              c˜       u
      inteiro b ser´ chamado par se puder ser escrito na forma b = 2a, onde a ´ um
                   a                                                          e
      n´mero inteiro. A senten¸a que assumimos como verdadeira ´ que m e n s˜o
       u                      c                                e            a
      n´meros inteiros pares. Isso quer dizer que m = 2p e que n = 2q, com p e q sendo
       u
      inteiros. Portanto, m + n = 2p + 2q = 2 (p + q) , pela propriedade distributiva da
      multiplica¸˜o com rela¸ao ` adi¸ao. Como p + q tamb´m ´ um n´mero inteiro,
                ca          c˜ a     c˜                  e e      u
      podemos cham´-lo de r. Da´ temos que m + n = 2r, o que comprova ser m + n um
                  a            ı,
      n´mero par.
       u

    3. Se n ´ um n´mero inteiro ent˜o n2 +n ´ um n´mero inteiro par. Inicialmente vamos
            e     u                a        e     u
      supor que n seja um inteiro par. Ent˜o n = 2k, onde k ´ um inteiro. Portanto,
                                          a                 e

                        n2 + n = (2k)2 + 2k = 4k 2 + 2k = 2k (2k + 1) = 2m,

      onde m = k (2k + 1) , de modo que n2 + n ´ par.
                                               e
      Suponhamos agora que n ´ ´
                             e ımpar. Ent˜o n = 2k +1, onde k ´ um inteiro. Portanto,
                                         a                    e

       n2 + n = (2k + 1)2 + (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 2 2k 2 + 3k + 1 = 2m,

      onde m = 2k 2 + 3k + 1, de modo que n2 + n ´ par, tamb´m nesse caso.
                                                 e          e

                    x      y
    4. Seja M =             uma matriz triangular superior 2 × 2 e suponha que x, y e z
                    0   z
      s˜o inteiros. Vamos demonstrar que as seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes.
       a                                                    c˜    a
¸˜
1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO                                                     5

      (a) det M = 1,

      (b) x = z = ±1,

       (c) x + z = ±2 e x = z.

      O que se afirma nesse resultado ´ que a ↔ b, a ↔ c, b ↔ c. Para isso, dever´
                                     e                                          ıamos
      provar que a → b, b → a, a → c, c → a, b → c e c → b. Na pr´tica n˜o fazemos
                                                                 a      a
      assim. A id´ia ´ usar uma certa transitividade que existe nas implica¸oes e provar,
                 e e                                                       c˜
      por exemplo, que a → b → c → a. Poder´
                                           ıamos provar tamb´m que a → c, c → b e
                                                            e
      que b → a. Tamb´m poder´
                     e       ıamos, alternativamente, provar que a → c, c → a, a → b
      e b → a. O que ´ fundamental na escolha da seq¨ˆncia ´ que ela traduza o fato de
                     e                              ue     e
      que as senten¸as sejam equivalentes entre si.
                   c
      Vejamos ent˜o a prova de que a → b, b → c e c → a.
                 a
      Vamos provar que a → b. Suponha que det M = 1. Da´ temos que xz = 1. Como
                                                       ı,
      x e z s˜o n´meros inteiros, devemos ter x = 1 = z ou x = −1 = z.
             a u
      Provemos agora que b → c. Suponha que x = z = ±1. Primeiro vamos supor que
      x = z = 1. Ent˜o x + z = 2. Suponhamos agora que x = z = −1. Ent˜o x + z = −2.
                    a                                                 a
      Da´ x = z e x + z = ±2.
        ı
      Provemos agora que c → a. Como x + z = ±2, devemos ter (x + z)2 = 4. Assim,
      x2 + 2xz + z 2 = 4. Como x = z, devemos ter x2 = z 2 . Dessa forma, 4 = 4xz, ou
      seja, xz = 1. Como det M = xz, conclu´
                                           ımos que det M = 1.


1.3     Provas por redu¸˜o ao absurdo
                       ca
Vejamos agora como se processa uma demonstra¸ao por redu¸ao ao absurdo ou por
                                            c˜          c˜
contradi¸˜o. Vamos supor que estamos interessados em provar um determinado fato.
        ca
Se n˜o soubermos como fazˆ-lo diretamente, como nos exemplos acima, ent˜o podemos
    a                    e                                             a
supor que tal fato n˜o ocorra. Usamos ent˜o a hip´tese - que ´ admitida como verdadeira
                    a                    a       o           e
- e essa informa¸ao adicional, a nega¸ao do que se est´ tentando demonstrar. Atrav´s
                c˜                   c˜               a                           e
de uma sucess˜o de argumentos usando fatos conhecidos e esses fatos novos, chega-se a
             a
algo contradit´rio, absurdo, como por exemplo a nega¸˜o da hip´tese ou a viola¸˜o de
              o                                     ca        o               ca
uma verdade anteriormente aceita. Veremos a seguir trˆs exemplos de demonstra¸oes por
                                                     e                       c˜
redu¸ao ao absurdo.
    c˜

  1. Se m2 ´ um n´mero par, vamos demonstrar que m ´ um n´mero par. Vamos negar
           e     u                                 e     u
      a tese, isto ´, supor tamb´m que n seja ´
                   e            e             ımpar. Aqui precisamos da defini¸ao. Um
                                                                             c˜
6                                                        CAP´
                                                            ITULO 1. TIPOS DE PROVAS

      n´mero inteiro b ´ dito ´
       u               e      ımpar quando ele puder ser escrito na forma b = 2a+1, sendo
      a um n´mero inteiro. Assim, assumindo que m ´ ´
            u                                     e ımpar, temos que m = 2a + 1,
      para algum inteiro a. Logo,

                                  m2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 2a2 + a + 1.

      Mas 2a2 + a ´ um inteiro. Chamando-o de p, temos que m2 = 2p + 1, ou seja,
                  e
      m2 ´ um n´mero ´
         e     u     ımpar. Mas a hip´tese era de que m2 era par. Logo isso que
                                     o
      obtivemos ´ uma contradi¸˜o, um absurdo. E de onde veio esse absurdo? Veio do
                e             ca
      fato de supormos que m era ´
                                 ımpar. Logo, ele n˜o pode ser ´
                                                   a           ımpar e portanto ser´
                                                                                   a
      necessariamente par.

    2. Vamos provar que o n´mero log10 3 ´ irracional. Aqui cabe uma pergunta: o que
                           u             e
      ´ um n´mero irracional? Uma resposta meio evasiva poderia ser: um n´mero
      e     u                                                            u
      irracional aquele que n˜o ´ racional. E um n´mero racional ´ aquele que pode ser
                             a e                  u              e
                           m
      escrito na forma     n
                             ,   com m e n sendo n´meros inteiros e n = 0. Portanto, vamos
                                                  u
      supor que log10 3 seja racional, isto ´ o mesmo que dizer que existem n´meros
                                            e                                u
                                           m
      inteiros m, n tais que log10 3 =     n
                                             .   Usando as propriedades dos logar´
                                                                                 ıtmos, temos
           m
      10   n   = 3. Elevando ambos os membros a n, temos 10m = 3n . Nessa igualdade temos
      algo impossvel de acontecer, pois o n´mero 10m ´ par, enquanto que o n´mero 3n
                                           u         e                      u
      ´´
      e ımpar. Esse absurdo veio de supormos que o n´mero log3 10 era racional. Como
                                                    u
      s´ existem duas possibilidades para ele e, ele n˜o pode ser racinal, ele s´ pode ser
       o                                              a                         o
      irracional.

    3. Vamos mostrar que n˜o existem n´meros inteiros ´
                          a           u               ımpares a, b, c, d, e, f tais que:
                                      1 1 1 1 1 1
                                       + + + + + = 1.
                                      a b c d e f


      Suponhamos, por absurdo, que existam os tais n´meros. Ent˜o usando as pro-
                                                    u          a
      priedades de soma de fra¸oes, temos que:
                              c˜
                        bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde
                                                                      = 1,
                                           abcdef
      ou seja,

                      bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = abcdef.

      Agora vamos olhar para os dois lados dessa igualdade. Do lado esquerdo cada
      parcela ´ um n´mero ´
              e     u     ımpar, pois ´ igual a um produto de n´meros ´
                                      e                        u      ımpares. Como
¸˜
1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO                                                   7

   s˜o seis parcelas, a sua soma resultar´ num n´mero par. Do lado direito, temos
    a                                    a      u
   um produto de n´meros ´
                  u      ımpares, cujo resultado ´ um n´mero ´
                                                 e     u     ımpar. Aqui temos
   uma contradi¸ao: um n´mero que ´ ao mesmo tempo par e ´
               c˜       u         e                      ımpar. Como essa
   contradi¸˜o surgiu? Surgiu do fato de termos afirmado a existˆncia dos n´meros
           ca                                                  e          u
   ´
   ımpares satisfazendo aquela propriedade. Portanto, os tais n´meros n˜o existem.
                                                               u       a
                         √                                         √
 4. Vamos mostrar que        2 ´ um n´mero irracional. Negar que
                               e     u                              2 seja um n´mero
                                                                               u
   irracional ´ dizer que ele ´ racional. Sendo ent˜o ele racional, existem m e n in-
              e               e                    a
                   √
   teiros tais que 2 = m . Esse ser´ o ponto de partida que nos conduzir´ a uma
                                      a                                     a
                        √n
   contradi¸˜o. Como 2 = m , podemos supor que os fatores comuns de m e de n
            ca                  n
   j´ foram cancelados. Isso ´ absolutamente plaus´
    a                        e                    ıvel, uma vez que estamos lidando
   com fra¸˜es. Vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Feito isso, teremos
          co
        m2
   2=   n2
           ,   ou seja, m2 = 2n2 . Essa ultima igualdade nos diz que m2 ´ par. Como
                                        ´                               e
   vimos acima, isso acarreta que m tamb´m ´ par, ou seja, m = 2p, para algum
                                        e e
   inteiro p. De volta aquela igualdade, vemos que m2 = 4p2 = 2n2 , ou seja, 2p2 = n2 ,
                       `
   o que acarreta que n2 ´ par e pelo mesmo motivo, n ´ par. Agora vemos que tanto
                         e                            e
   m como n s˜o ambos pares, ou seja possuem um fator primo em comum. Mas isso
              a
                                              √
   est´ em contradi¸˜o a nossa hip´tese. Logo, 2 n˜o pode ser racional, ou seja, ele
      a            ca `           o               a
   ´ irracional.
   e

 5. Sejam m e n inteiros. Vamos provar que mn ´ ´
                                              e ımpar se e somente se ambos m e n
   s˜o ´
    a ımpares. Como se trata de uma equivalˆncia, ´ interessante identificarmos as
                                           e      e
   duas senten¸as que a comp˜em. Uma delas diz que: se m e n s˜o ´
              c             o                                 a ımpares ent˜o
                                                                           a
   mn ´ um n´mero ´
      e     u     ımpar. A outra diz que: se mn ´ ´
                                                e ımpar ent˜o m e n s˜o ´
                                                           a         a ımpares.
   Comecemos pela primeira delas. Suponhamos que m e n sejam ´
                                                             ımpares. Ent˜o
                                                                         a
   m = 2p + 1 e n = 2q + 1, onde p e q s˜o n´meros inteiros. Agora note que
                                        a u

       mn = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 2 (2pq + p + q) + 1 = 2r + 1,

   onde r = 2pq + p + q. Da´ podemos concluir que mn ´ um n´mero ´
                           ı                         e     u     ımpar.
   Suponhamos agora que o produto mn ´ ´
                                     e ımpar. Vamos supor, por absurdo, que pelo
   menos um deles - m ou n - ´ par. Digamos que m seja par (se fosse n o racioc´
                             e                                                 ınio
   seria an´logo). Ent˜o m = 2k, onde k ´ um n´mero inteiro. Logo
           a          a                 e     u

                                      mn = 2kn = 2r,

   onde r = kn. Assim, mn ´ um n´mero par. Mas isso ´ uma contradi¸ao, pois
                          e     u                   e             c˜
8                                           CAP´
                                               ITULO 1. TIPOS DE PROVAS

    estamos supondo que o produto ´ ´
                                  e ımpar. Logo, nenhum dos dois - m e n - pode
    ser par, donde ambos s˜o ´
                          a ımpares, como quer´
                                              ıamos.
Cap´
   ıtulo 2



Conjuntos




2.1     Introdu¸˜o
               ca




O termo conjunto n˜o ser´ definido. Para n´s ele ser´ um sinˆnimo de cole¸ao ou
                  a     a                o         a       o            c˜
agrupamento de objetos. Esses objetos ser˜o chamados os seus elementos. A natureza
                                         a
dos elementos de um conjunto pode ser bastante diversa. Podemos ter conjuntos de
canetas, cores, bolas, n´meros, fun¸oes, matrizes, etc. Um dos pioneiros no estudo
                        u          c˜
dos conjuntos foi o matem´tico alem˜o Georg Cantor (1845-1918) que fez relevantes
                         a         a
contribui¸˜es ` Teoria dos Conjuntos quando estava estudando s´ries trigonom´tricas.
         co a                                                 e             e

                                          9
10                                                    CAP´
                                                         ITULO 2. CONJUNTOS




Observa¸˜o 2.1.1 O ponto de vista aqui usado ´ chamado de ingˆnuo, pois n˜o se
       ca                                    e               e           a
faz uso de axiomas para construir uma teoria. O outro ponto de vista ´ o axiom´tico,
                                                                     e        a
onde se enunciam axiomas para se construir de modo rigoroso toda a teoria. Dentre os
modos axiom´ticos de tratar a teoria dos conjuntos, destacamos o modelo axiom´tico de
           a                                                                 a
Zermelo-Fraenkel desenvolvido pelos matem´ticos Ernest Zermelo (1871-1953) e Adolf
                                         a
Fraenkel (1891-1965).


2.2     Defini¸oes B´sicas
             c˜    a
Introduziremos agora uma s´rie de termos e defini¸oes que encontraremos pela frente no
                          e                     c˜
decorrer do curso. Sejam A um conjunto e a um objeto. Se a for um elemento de A
escreveremos a ∈ A para simbolizar esse fato. Caso o elemento a n˜o seja um elemento
                                                                 a
de A, escreveremos a ∈ A, para simbolizar isso.
Para repesentarmos um conjunto podemos escrever todos seus elementos entre chaves,
quando isso for poss´
                    ıvel. Tamb´m podemos descrever um conjunto por uma propriedade
                              e
comum que todos os seus elementos possuam. Uma outra representa¸˜o muito util dos
                                                               ca        ´
conjuntos ´ feita atrav´s dos chamados Diagramas de Venn criados pelo l´gico inglˆs
          e            e                                               o         e
John Venn (1834-1923). Um Diagrama de Venn ´ uma curva fechada no plano, tendo
                                           e
¸˜    ´
2.2. DEFINICOES BASICAS                                                            11

em seu interior os elementos do conjunto, conforme o conjunto da figura a seguir. No
conjunto M est˜o representadas as vogais.
              a




Vamos discutir agora alguns exemplos.

Exemplo 2.2.1 Seja A o conjunto das letras da palavra Atordoado. Ent˜o podemos
                                                                    a
escrever simplesmente
                                  A = {a, t, o, r, d} .

Exemplo 2.2.2 Existem quatro conjuntos num´ricos que estudamos desde os primeiros
                                          e
anos na escola. S˜o eles o conjunto dos n´meros naturais, representado por
                 a                       u

                                   N = {1, 2, 3, ...} .

O conjuntos dos n´meros inteiros, representado por
                 u

                             Z = {... − 2, −1, 0, 1, 2, ...} .

O conjunto dos n´meros racionais, representado por
                u
                                 m
                           Q=      ; m, n ∈ Z com n = 0 .
                                 n
E finalmente o conjunto dos n´meros reais, simplesmente representado por R.
                            u

Exemplo 2.2.3 Seja A o conjunto dos n´meros reais maiores ou iguais a 2. Evident-
                                     u
mente n˜o podemos listar todos os elementos de A como foi feito no exemplo precedente.
       a
Por´m, podemos escrever
   e
                                 A = {x ∈ R; x ≥ 2} .
12                                                     CAP´
                                                          ITULO 2. CONJUNTOS

Na nota¸˜o acima utilizamos a propriedade comum aos elementos de A para, ao inv´s
       ca                                                                      e
de listar os seus elementos, darmos um crit´rio de quando um elemento pertence ou n˜o
                                           e                                       a
ao dito conjunto. Mais especificamente: para que um n´mero real perten¸a ao conjunto
                                                    u                c
A, ´ preciso que ele seja maior que ou igual a 2.
   e

Observa¸˜o 2.2.1 Existe um conjunto muito importante em Matem´tica que ´ o con-
       ca                                                    a         e
junto que n˜o possui elemento algum. Este conjunto ser´ chamado de conjunto vazio
           a                                          a
e ser´ representado por ∅ que ´ uma letra do alfabeto norueguˆs. Podemos descrever
     a                        e                              e
o conjunto vazio atrav´s de uma propriedade que n˜o ´ satisfeita por qualquer objeto.
                      e                          a e
Por exemplo, o conjunto {x ∈ R; x > x + 1} ´ vazio, uma vez que essa propriedade n˜o
                                           e                                      a
´ satisfeita por nenhum n´mero real.
e                        u


2.3     Inclus˜o
              a
Uma importante rela¸˜o entre conjuntos ´ a rela¸˜o de inclus˜o que veremos a seguir.
                   ca                  e       ca           a
Dados dois conjuntos A e B, diremos que A ´ um subconjunto de B se todo elemento
                                          e
                                           ımbolo A ⊆ B para denotar este fato.
de A for tamb´m elemento de B. Usaremos o s´
             e
Simbolicamente podemos escrever:

                         A ⊆ B quando (∀x) (x ∈ A → x ∈ B )

Uma maneira de visualizar a inclus˜o de conjuntos utilizando os diagramas de Venn est´
                                  a                                                  a
mostrada abaixo. Na figura temos A ⊂ B.
˜
2.3. INCLUSAO                                                                     13

Quando A n˜o for um subconjunto de B, simbolizaremos isso por A ⊆ B. Isso siginifica
          a
que existe pelo menos um elemento de A que n˜o pertence a B.
                                            a

Observa¸˜o 2.3.1 Existem na literatura outros termos que tamb´m significam que A ´
       ca                                                    e                  e
um subconjunto de B. Diz-se tamb´m que A est´ contido em B, que A ´ uma parte
                                e           a                     e
de B, que B ´ um superconjunto de A, ou que B cont´m A.
            e                                     e

Observa¸˜o 2.3.2 A nota¸˜o A ⊂ B, no nosso curso indicar´ o fato de que A ´ um
       ca              ca                               a                 e
subconjunto de B mas que ´ diferente dele. Diz-se nesse caso que A ´ um subconjunto
                         e                                         e
pr´prio de B.
  o

       ca        ´
Observa¸˜o 2.3.3 E preciso ter bastante cuidado no uso dos s´mbolos ∈ e ⊆ . Em alguns
                                                            ı
casos um conjunto pode ser, ele mesmo, elemento de um outro conjunto.

Veremos agora alguns exemplos.

Exemplo 2.3.1 Sejam A e B conjuntos dados respectivamente por A = {1, 3} e B =
{1, 2, 3, 4} . Temos que A ⊂ B e que B ⊆ A.

Exemplo 2.3.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} . Nesse caso n˜o temos nem A ⊆ B
                                                                a
nem B ⊆ A.

Exemplo 2.3.3 Seja A = {a, b, c} . As afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas ver-
                                           co                    a
dadeiras. Agora, se A = {{a} , b, c} , ent˜o as afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas
                                          a          co                    a
falsas.

Veremos agora algumas propriedades da inclus˜o de conjuntos.
                                            a

Teorema 2.3.1 Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o valem as seguintes propriedades:
                           a               a

(i) A ⊆ A,

(ii) ∅ ⊆ A,

(iii) Se A ⊆ B e B ⊆ C, ent˜o A ⊆ C,
                           a

Demonstra¸˜o: A primeira propriedade decorre imediatamente da defini¸ao de in-
         ca                                                        c˜
clus˜o.
    a
Provemos a segunda. Ela equivale a provar que se a ∈ ∅ ent˜o a ∈ A. Como uma
                                                          a
implica¸ao deste tipo ser´ sempre verdadeira, uma vez que a hip´tese nunca acontece,
       c˜                a                                     o
14                                                      CAP´
                                                           ITULO 2. CONJUNTOS

somos levados a concluir que vale a propriedade (ii).
Para mostrar que A ⊆ C, devemos mostrar que, dado a ∈ A, temos que a ∈ C. Ora, mas
dado a ∈ A, segue que a ∈ B, por hip´tese e, tamb´m por hip´tese, segue que a ∈ C,
                                    o            e         o
como quer´
         ıamos.
Surge agora uma importante pergunta: Quando dois conjuntos s˜o iguais? A resposta
                                                            a
mais simples ´ dizer que eles s˜o iguais quando tiverem os mesmos elementos. Para os
             e                 a
nossos prop´sitos usaremos uma defini¸ao que ´ bem mais f´cil de se trabalhar que ´ a
           o                        c˜      e           a                        e
seguinte: Dados dois conjuntos A e B diremos que ele s˜o iguais e representamos isso
                                                      a
por A = B, se A ⊆ B e B ⊆ A.

Exemplo 2.3.4 Os conjuntos A = {a, t, o, r, d} e B = { letras da palavra atordoado }
s˜o iguais.
 a


Exemplo 2.3.5 Os conjuntos A = {x ∈ R|x2 − 5x + 6 < 0} e B = {x ∈ R|2 < x < 3}
s˜o iguais. De fato, seja x ∈ A. Assim, x2 −5x+6 < 0. Mas x2 −5x+6 = (x − 2) (x − 3) .
 a
Assim, se x ∈ A, ent˜o (x − 2) (x − 3) < 0. Portanto, devemos ter
                    a

     1. (x − 2) > 0 e (x − 3) < 0 ou

     2. (x − 2) < 0 e (x − 3) > 0.

No primeiro caso, devemos ter x > 2 e x < 3, ou seja, 2 < x < 3. No segundo caso,
devemos ter x − 2 < 0 e x − 3 > 0. Como n˜o existem n´meros satisfazendo as essas duas
                                         a           u
condi¸˜es simultaneamente, esse caso n˜o pode ocorrer. Logo, devemos ter 2 < x < 3,
     co                               a
ou seja, x ∈ B.
Seja x ∈ B. Ent˜o x − 2 > 0 e x − 3 < 0, donde x2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3) < 0, ou
               a
seja, x ∈ A.



Observa¸˜o 2.3.4 A defini¸˜o de igualdade entre conjuntos possui interessantes pro-
       ca               ca
priedades, a saber: Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o vale o seguinte
                                 a               a

     1. A = A,

     2. se A = B ent˜o B = A,
                    a

     3. se A = B e B = C ent˜o A = C.
                            a
¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS                                                         15

Como vimos anteriormente, um conjunto pode ser elemento de um outro conjunto. Vamos
nos aprofundar um pouco mais nessa id´ia e definirmos um importante conjunto cujos
                                     e
elementos s˜o conjuntos. Seja A um conjunto. Definimos o Conjunto das Partes de A
           a
como sendo o conjunto cujos elementos s˜o os subconjuntos de A. Vamos represent´-lo
                                       a                                       a
por ℘ (A) . Em s´
                ımbolos:
                                 ℘ (A) = {X|X ⊆ A} .

Exemplo 2.3.6 Se A = {a} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a}} .
                            a


Exemplo 2.3.7 Se A = ∅, ent˜o ℘ (∅) = {∅} .
                           a


Exemplo 2.3.8 Se A = {a, b} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}} .
                               a


Observa¸˜o 2.3.5 O conjunto ℘ (A) nunca ´ vazio pois o conjunto vazio ´ subconjunto
       ca                               e                             e
de todo conjunto.


Observa¸˜o 2.3.6 Se o conjunto A tiver n elementos ent˜o o conjunto ℘ (A) ter´ 2n
       ca                                             a                      a
elementos. N˜o vamos provar isso agora. Primeiro vamos entender o que significa ter
            a
n elementos. Isso ficar´ para breve quando estivermos falando de conjuntos finitos e
                      a
infinitos.



2.4     Opera¸˜es com conjuntos
             co
A nossa id´ia agora ´ formar novos conjuntos a partir de outros. A forma¸˜o desses novos
          e         e                                                   ca
conjuntos usar´ fortemente os termos e, ou e n˜o vistos na disciplina de Argumenta¸ao
              a                               a                                   c˜
em Matem´tica.
        a
Sejam A e B conjuntos. A uni˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que pertencem a
                            a           e
pelo menos um dos dois conjuntos A ou B. Vamos represent´-la por A ∪ B. Em s´
                                                        a                   ımbolos
temos
                             A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} .

Em outras palavras, o conjunto A ∪ B ´ o conjunto contendo todos os elementos que
                                     e
est˜o em A, em B ou em ambos. Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∪ B
   a                                                                c˜
em um diagrama de Venn. Nessa figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U
                                             a
denominado Conjunto Universo.
16                                                   CAP´
                                                        ITULO 2. CONJUNTOS




     Sejam A e B conjuntos. A interse¸˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que
                                     ca           e
pertencem a ambos os conjuntos A e B. Vamos represent´-la por A ∩ B. Em s´
                                                     a                   ımbolos
temos
                            A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .

Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∩ B em um diagrama de Venn. Nessa
                                      c˜
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo.
               a




Exemplo 2.4.1 Sejam A = {x, y, z, p} e B = {x, q} . Ent˜o A ∪ B = {x, y, z, p, q} e
                                                       a
A ∩ B = {x} .

Exemplo 2.4.2 Sejam A = {p ∈ N|p ´ um n´mero par} e B = {p ∈ N|p ´ um n´mero ´
                                 e     u                         e     u     ımpar} .
Ent˜o A ∪ B = N e A ∩ B = ∅.
   a

Observa¸˜o 2.4.1 Vemos imediatamente da defini¸˜o que A, B ⊆ A ∪ B e que A ∩ B ⊆
       ca                                    ca
A, B.

Observa¸˜o 2.4.2 Se A e B s˜o conjuntos tais que A ∩ B = ∅, diremos que A e B s˜o
       ca                  a                                                   a
Conjuntos disjuntos.
¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS                                                       17

Reuniremos no Teorema a seguir as principais propriedades das Uni˜o e da Interse¸ao de
                                                                 a              c˜
conjuntos:

Teorema 2.4.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades:
                                           a

  1. Se X ⊆ A e X ⊆ B ent˜o X ⊆ A ∩ B,
                         a

  2. Se A ⊆ Y e B ⊆ Y ent˜o A ∪ B ⊆ Y,
                         a

  3. Comutatividade A ∪ B = B ∪ A, e A ∩ B = B ∩ A,

  4. Associatividade (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) , e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ,

  5. Distributividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩
     (A ∪ C)

  6. Identidade A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅,

  7. Idempotˆncia A ∪ A = A e A ∩ A = A,
            e

  8. Absor¸˜o Se A ⊆ B ent˜o A ∪ B = B e A ∩ B = A,
          ca              a

  9. Monotonicidade Se A ⊆ B ent˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C.
                                a

Demonstra¸˜o: Todas as propriedades decorrem das defini¸˜es. Vamos provar uma
         ca                                           co
das igualdades da propriedade (5), ficando outra igualdade e as demais como exerc´
                                                                                ıcio
para o leitor. Seja x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Ent˜o x ∈ A e x ∈ B ∪ C. Assim, x ∈ B ou
                                         a
x ∈ C. No primeiro caso, temos que x ∈ A ∩ B, enquanto que no segundo, temos que
x ∈ A ∩ C. Em qualquer dos casos teremos ent˜o x ∈ (A ∩ B) ou x ∈ (A ∩ C) , ou seja,
                                            a
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , provando que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Seja agora
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Ent˜o x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C. No primeiro caso, temos que
                           a
x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ B, segue que x ∈ B ∪ C. Portanto, do primeiro caso, con-
   ımos que x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Por um racioc´
clu´                                       ınio totalmente an´logo conclu´
                                                             a           ımos que,
ocorrendo o segundo caso, teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Portanto, em qualquer dos casos
teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) , mostrando que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C) . Portanto,
a igualdade est´ provada.
               a



Observa¸˜o 2.4.3 Os adjetivos dados a algumas das propriedades acima vˆm dos mes-
       ca                                                             e
mos adjetivos dados a propriedades an´logas que os n´meros e as opera¸˜es com eles
                                     a              u                co
18                                                            CAP´
                                                                 ITULO 2. CONJUNTOS

definidas possuem. Apenas a t´tulo de curiosidade, vamos atentar para a propriedade
                            ı
distributiva do produto com rela¸˜o ` adi¸˜o que nos diz que se x, y e z s˜o n´meros
                                ca a     ca                               a u
reais, ent˜o
          a
                               x · (y + z) = x · y + x · z.

Perceba a analogia existente entre essa propriedade e aquela que ´ v´lida para conjuntos.
                                                                 e a

Sejam A e B conjuntos. A Diferen¸a entre A e B ´ o conjunto dos elementos que
                                c              e
pertencem ao conjunto A mas que n˜o pertencem ao conjunto B. Vamos represent´-la
                                 a                                          a
por A − B. Em s´
               ımbolos temos

                             A − B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .

Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A − B em um diagrama de Venn. Nessa
                                      ca
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo.
               a




Exemplo 2.4.3 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Ent˜o A − B =
                                                                             a
{1, 2, 3} . Tamb´m vemos que B − A = {7, 8, 9, 10} .
                e

Exemplo 2.4.4 Se A = N e B = {x ∈ N|x > 10} . Ent˜o A−B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
                                                 a
Nesse caso, B − A = ∅, uma vez que B ⊂ A.

Vejamos agora as principais propriedades da diferen¸a de conjuntos.
                                                   c

Teorema 2.4.2 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades:
                                           a

     1. A − B ⊆ A,

     2. (A − B) ∩ B = ∅,

     3. A − B = ∅ ↔ A ⊆ B,
¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS                                                       19

  4. Se A ⊆ B, ent˜o A − C = A ∩ (B − C) ,
                  a

  5. Se A ⊆ B, ent˜o C − B ⊆ C − A,
                  a

  6. C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B) e C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B) ,

Demonstra¸˜o: Vamos provar apenas uma das igualdades da parte (6), deixando a
         ca
outra e as demais propriedades como exerc´ para o leitor. Seja x ∈ C −(A ∪ B) . Ent˜o
                                         ıcio                                      a
x ∈ C e x ∈ A∪B. Assim conclu´
                             ımos que x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ C e x ∈ A, temos que
x ∈ (C − A) . Analogamente, x ∈ C e x ∈ B, da´ x ∈ (C − A) ∩ (C − B) , acarretando
                                             ı,
que C − (A ∪ B) ⊆ (C − A) ∩ (C − B) . Suponha agora que x ∈ (C − A) ∩ (C − B) .
      ımos que x ∈ C − A e que x ∈ C − B. Logo, x ∈ C e x ∈ A e x ∈ B. Assim,
Conclu´
x ∈ C −(A ∪ B) . Isso acarreta que (C − A)∩(C − B) ⊂ C −(A ∪ B) , donde a igualdade
est´ provada.
   a



Observa¸˜o 2.4.4 A propriedade (6) ´ conhecida como as Leis de De Morgan, em
       ca                          e
homenagem ao matem´tico Augustus de Morgan.
                  a

A existˆncia de um conjunto de todos os conjuntos, ou um conjunto universo leva a
       e
algumas contradi¸oes na Teoria dos Conjuntos. Entretanto, tomando-se o devido cuidado,
                c˜
podemos assumir essa hip´tese sem problemas. Faremos isso a seguir para definirmos
                        o
um importante conjunto. Suponha que U seja um conjunto universo e que A ⊆ U. O
Complementar de A com rela¸˜o a U ´ o conjunto U − A. Vamos represent´-lo por
                          ca      e                                  a
A . Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A em um diagrama de Venn. Nessa
                                          ca
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U .
               a




Supondo que A e B estejam contidos em um conjunto universo U, podemos dar algumas
propriedades dos complementares:
20                                                   CAP´
                                                        ITULO 2. CONJUNTOS

Teorema 2.4.3 Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Ent˜o valem as
                                                                     a
seguintes propriedades:

     1. A − B = A ∩ B ,

     2. (A ) = A,

     3. ∅ = U e U = ∅,

     4. A ∩ A = ∅ e A ∪ A = U,

     5. A ⊆ B ↔ B ⊆ A ,

     6. (A ∪ B) = A ∩ B ,

     7. (A ∩ B) = A ∪ B .

Demonstra¸˜o: A demonstra¸˜o ´ feita usando as defini¸˜es e o Teorema (2.4.2). Deix-
         ca              ca e                       co
amos para o leitor como exerc´
                             ıcio.
Cap´
   ıtulo 3

Fam´
   ılias indexadas de conjuntos

Vamos supor que I seja um conjunto n˜o-vazio e que, a cada i ∈ I, esteja associado um
                                    a
conjunto Ai . O conjunto F cujos elementos s˜o os conjuntos Ai ´ chamado de Fam´
                                            a                  e               ılia
de conjuntos indexada pelo conjunto I. O conjunto I ´ chamado de Conjunto de
                                                    e
ındices. Em geral usa-se a nota¸ao {Ai }i∈I para se representar a fam´ F. Uma outra
´                              c˜                                    ılia
nota¸ao ´ F = {Ai |i ∈ I} .
    c˜ e
Se F ´ uma fam´ indexada por I, diremos que A ∈ F se existir i ∈ I de tal modo que
     e        ılia
A = Ai .

Exemplo 3.0.5 A fam´lia A1 = {1, 2} , A2 = {2, 4} , ..., An = {n, 2n} , ... ´ uma fam´lia
                   ı                                                        e        ı
de conjuntos indexada pelo conjunto N.

Exemplo 3.0.6 A fam´lia A∂ = ∅, A = N, A∞ = Z, A = Q e A = R ´ uma fam´lia
                   ı                                         e        ı
indexada pelo conjunto I = {∂,       , ∞, , } .

Veremos agora como definir a uni˜o e a interse¸˜o de elementos em uma fam´
                               a             ca                         ılia. Seja F
uma fam´ indexada pelo conjunto I. Definimos a Uni˜o dos conjuntos de F como
       ılia                                      a
sendo o conjunto
                               Ai = {x|x ∈ Ai , para algum i ∈ I} .
                         i∈I

A Interse¸˜o dos conjuntos de F ´ o conjunto
         ca                     e

                                Ai = {x|x ∈ Ai , para todo i ∈ I} .
                          i∈I

Exemplo 3.0.7 Seja F = {[−n, n] |n ∈ N} . Ent˜o
                                             a

                                                An = R
                                          n∈N


                                                21
22                                    CAP´
                                         ITULO 3. FAM´
                                                     ILIAS INDEXADAS DE CONJUNTOS

e
                                                             An = [−1, 1] .
                                                       n∈N


Exemplo 3.0.8 Para cada n ∈ N, considere a fam´lia
                                              ı

                                                              1 1
                                                 F=          − ,  |n ∈ N .
                                                              n n

Ent˜o
   a         n∈N   Cn = [−1, 1] e          n∈N    Cn = {0} .

Reuniremos agora no Teorema abaixo as principais propriedades de uni˜es, interse¸oes e
                                                                    o           c˜
diferen¸as entre fam´
       c            ılias de conjuntos:

Teorema 3.0.4 Sejam I um conjunto n˜o-vazio, {Ai }i∈I uma fam´lia de conjuntos in-
                                   a                         ı
dexada por I, e B um conjunto. Ent˜o:
                                  a

     1.     i∈I   Ai ⊆ Ak , para todo k ∈ I. Se B ⊆ Ak , para todo k ∈ I, ent˜o B ⊆
                                                                             a                                           i∈I   Ai ,

     2. Ak ⊆        i∈I   Ai , para todo k ∈ I. Se Ak ⊆ B, para todo k ∈ I, ent˜o
                                                                               a                                  i∈I   Ai ⊆ B,

     3. Lei distributiva B ∩                     i∈I   Ai =      i∈I   (B ∩ Ai ) ,

     4. Lei distributiva B ∪                     i∈I   Ai =      i∈I   (B ∪ Ai ) ,

     5. Lei de De Morgan B −                           i∈I   Ai =      i∈I   (B − Ai ) ,

     6. Lei de De Morgan B −                           i∈I   Ai =      i∈I   (B − Ai ) .

Demonstra¸˜o: Provaremos apenas a parte (3), deixando as demais como exerc´
         ca                                                               ıcio.
Seja x ∈ B ∩                i∈I   Ai . Ent˜o x ∈ B e x ∈
                                          a                                    i∈I   Ai . Assim, x ∈ Ak para algum
k ∈ I. Assim, x ∈ B ∩ Ak . Dessa forma, x ∈                                      i∈I   (B ∩ Ai ) , pela parte (1). As-
sim B ∩            i∈I   Ai ⊆       i∈I   (B ∩ Ai ) . Agora seja x ∈                    i∈I   (B ∩ Ai ) . Assim, x ∈ B e
x ∈ Ak . Dessa forma, x ∈                  i∈I   Ai pela parte (1). Assim, x ∈ B ∩                         i∈I   Ai . Portanto,
    i∈I   (B ∩ Ai ) ⊆ B ∩           i∈I                  ımos que B ∩
                                          Ai . Da´ conclu´
                                                 ı                                            i∈I   Ai =    i∈I   (B ∩ Ai ) .
Cap´
   ıtulo 4

Rela¸˜es
    co

4.1      Pares ordenados
Sejam A e B conjuntos e a ∈ A e b ∈ B. O Par ordenado cujo primeiro elemento ´
                                                                             e
a e o segundo elemento ´ b ´, por defini¸ao, o conjunto {{a} , {a, b}} . Vamos denot´-
                       e e             c˜                                          a
lo por (a, b) . A principal propriedade dos pares ordenados ´ aquela que diz respeito a
                                                            e                         `
igualdade entre dois deles. Sendo mais espec´
                                            ıficos, temos o seguinte

Teorema 4.1.1 (a, b) = (c, d) se e somente se a = c ∧ b = d.

Demonstra¸˜o: De fato, se a = c e b = d ent˜o (a, b) = (c, d) , imediatamente. Suponha
         ca                                a
agora que (a, b) = (c, d) . Ent˜o os conjuntos {{a} , {a, b}} e {{c} , {c, d}} s˜o iguais. Da´
                               a                                                a            ı
conclu´
      ımos que a = c e que b = d.

Observa¸˜o 4.1.1 Daqui por diante e, em praticamente toda a sua vida, vocˆ s´ vai
       ca                                                                e o
utilizar o s´
            ımbolo (a, b) para falar do par ordenado cujo primeiro elemento ´ a e o segundo
                                                                            e
´ b.
e



4.2      Produto cartesiano
Sejam A e B conjuntos. O Produto cartesiano de A por B, denotado por A × B, ´ o
                                                                            e
conjunto dos pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo
elemento pertence ao conjunto B. Em s´
                                     ımbolos:

                            A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} .

                                             23
24                                                                       CAP´            ¸˜
                                                                            ITULO 4. RELACOES

Exemplo 4.2.1 Se A = {a, b} e B = {1, 2, 3} , ent˜o
                                                 a

                      A × B = {(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b, 1) , (b, 2) , (b, 3)} .

Exemplo 4.2.2 Se A = {1, 3, 5} , ent˜o
                                    a

          A × A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5)} .

Algumas das principais propriedades do produto cartesiano de dois conjuntos est˜o lis-
                                                                               a
tadas no Teorema a seguir. Vamos provar apenas uma e deixar o restante como exerc´
                                                                                 ıcio.

Teorema 4.2.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as propriedades:
                                           a

     1. Se A ⊆ B ∧ C ⊆ D ent˜o A × C ⊆ B × D,
                            a

     2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ,

     3. (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A) ,

     4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) ,

     5. (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C × A) ,

     6. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) .

Demonstra¸˜o: Vamos provar a propriedade (2) . Seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Ent˜o
         ca                                                                   a
a ∈ A e b ∈ B ∪ C. Assim, b ∈ B ou b ∈ C. No primeiro caso, teremos (a, b) ∈ A × B ⊆
A×B ∪A×C. No segundo teremos (a, b) ∈ A×C ⊆ A×B ∪A×C. Portanto, em qualquer
dos casos teremos A × (B ∪ C) ⊆ A × B ∪ A × C. Seja agora (a, b) ∈ A × B ∪ A × C.
Ent˜o h´ dois casos: (a, b) ∈ A × B ou (a, b) ∈ A × C. Se ocorrer o primeiro caso, ent˜o
   a a                                                                                a
a ∈ A e b ∈ B ⊂ B ∪ C, ou seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Se ocorrer o segundo caso, ent˜o
                                                                                    a
(a, b) ∈ A × C. Da´ a ∈ A e b ∈ C ⊆ B ∪ C, ou seja, (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Portanto,
                  ı,
qualquer que seja o caso, temos A × B ∪ A × C ⊆ A × (B ∪ C) .


Observa¸˜o 4.2.1 Em geral A × B = B × A. Dˆ um exemplo para ilustrar isso.
       ca                                 e

Observa¸˜o 4.2.2 Se B = A ent˜o A × B ser´ denotado por A2 ou B 2 .
       ca                    a           a

Observa¸˜o 4.2.3 Pode-se definir o produto cartesiano sem necessariamente se fazer
       ca
men¸˜o a pares ordenados. Esse ponto de vista ser´ abordado quando formos definir
   ca                                            a
produtos cartesianos de uma quantidade infinita de conjuntos. Isso ser´ feito no curso
                                                                     a
de Matem´tica Elementar II.
        a
¸˜
4.3. RELACOES                                                                               25

4.3      Rela¸˜es
             co
Sejam A e B conjuntos. Uma Rela¸˜o bin´ria
                               ca     a                 de A em B ou simplesmente uma
Rela¸˜o
    ca       de A em B ´ qualquer subconjunto de A × B.
                       e

Observa¸˜o 4.3.1 Se B = A ent˜o diremos que
       ca                    a                          ´ uma rela¸˜o em A ou sobre A.
                                                        e         ca

Observa¸˜o 4.3.2 Se (x, y) ∈
       ca                          , escreveremos x y. Caso contr´rio, isto ´, se (x, y) ∈
                                                                 a          e
 , escreveremos x     y, para simbolizar isso.

Exemplo 4.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {x, y, z} e          = {(1, y) , (1, z) , (2, y)} ´ uma
                                                                                          e
rela¸˜o de A em B.
    ca

Exemplo 4.3.2 Sejam A = B = R e             = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} . Ent˜o
                                                                               a       ´ uma
                                                                                       e
rela¸˜o de R em R ou simplesmente uma rela¸˜o em R. Geometricamente ela pode ser
    ca                                    ca
representada por um c´rculo de centro na origem e raio 1, conforme a figura a seguir.
                     ı




Exemplo 4.3.3 Sejam A = B = R e             definida por x y ↔ x + 2y = 1. Geometrica-
mente podemos represent´-la por uma reta no plano.
                       a

Exemplo 4.3.4 Seja X = {1, 2, 3} . Em A = ℘ (X) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}
podemos definir a seguinte rela¸˜o: P Q ↔ P ⊆ Q. Observe que ∅ X, qualquer que seja
                              ca
X ⊂ {1, 2, 3} . Temos {1}    {1, 2} e {2}    {1, 3} .

Exemplo 4.3.5 Podemos definir em A = Z a seguinte rela¸˜o
                                                     ca

                              a b ↔ a − b ´ divis´vel por 5.
                                          e      ı

Observe que 8 − 2, −4 6 e 3        9. Esa rela¸˜o ser´ estudada bastante por n´s em dois
                                              ca     a                        o
momentos. O primeiro quando estudarmos Rela¸˜es de Equivalˆncia e o segundo, quando
                                           co             e
estudarmos Teoria dos N´meros.
                       u
26                                                             CAP´            ¸˜
                                                                  ITULO 4. RELACOES

Exemplo 4.3.6 Seja A = M2×2 (R) , o conjunto das matrizes quadradas 2 × 2. Em A
definimos a seguinte rela¸˜o:
                        ca

                                X Y ↔ x11 + x22 = y11 + y22 .

Exemplo 4.3.7 Seja A o conjunto das retas no plano. Em A, podemos definir a seguinte
rela¸˜o:
    ca
                                    r s ↔ r ´ paralela a s.
                                            e

Observa¸˜o 4.3.3 Observe que em quase todos os exemplos acima n˜o dissemos quem
       ca                                                      a
eram explicitamente os pares ordenados que pertenciam ` rela¸˜o. Ao inv´s disso, disse-
                                                      a     ca         e
                                          ´
mos quando dois elementos se relacionam. E muito importante que vocˆ se conven¸a de
                                                                     e           c
que isso que fizemos ´ equivalente a dar os pares ordenados da rela¸˜o.
                    e                                             ca


4.4         Dom´
               ınio e Imagem
Seja    uma rela¸ao de A em B. O conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares
                c˜
ordenados que pertencem a         ´ chamado de Dom´
                                  e               ınio da rela¸˜o
                                                              ca            e representado por
D ( ) ou por Dom ( ) . Em s´
                           ımbolos

                      D ( ) = {a ∈ A| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈    }.

A Imagem de         , por sua vez, ´ o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares
                                   e
ordenados que pertencem a        . Vamos denot´-la por I ( ) ou Im ( ) . Em s´
                                              a                              ımbolos

                      I ( ) = {b ∈ B| Existe a ∈ A tal que (a, b) ∈    }.

Exemplo 4.4.1 No caso do exemplo (4.3.1), temos que D ( ) = {1, 2} e I ( ) = {y, z} .

Exemplo 4.4.2 No caso do exemplo (4.3.2), temos que D ( ) = [−1, 1] e I ( ) =
[−1, 1] .

Exemplo 4.4.3 No caso do exemplo (4.3.3), temos que D ( ) = I ( ) = R.


4.5         Rela¸˜o Composta e Rela¸˜o Inversa
                ca                 ca
Sejam A, B e C conjuntos e R uma rela¸ao de A em B e S uma rela¸ao de B em C. A
                                     c˜                        c˜
Rela¸˜o Composta de S e R ´ rela¸˜o de A em C, denotada por S ◦ R, e definida por
    ca                    e     ca

            S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S} .

Vejamos agora alguns exemplos:
¸˜                 ¸˜
4.5. RELACAO COMPOSTA E RELACAO INVERSA                                              27

Exemplo 4.5.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} , B = {x, y, z, w} e C = {5, 6, 7, 8} e as rela¸˜es
                                                                                    co
R de A em B e S de B em C definidas, respectivamente, por

                         R = {(1, x) , (1, y) , (2, x) , (3, w) , (4, w)}

e
                             S = {(y, 5) , (y, 6) , (z, 8) , (w, 7)} .

Ent˜o
   a
                           S ◦ R = {(1, 5) , (1, 6) , (3, 7) , (4, 7)} .

Exemplo 4.5.2 Sejam A = B = C = R e as rela¸˜es em A definidas por
                                           co

                              R = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1

e
                              S = (y, z) ∈ R2 |2y + 3z = 4 .

Se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ S, ent˜o
                               a
                                           x2 + y 2 = 1

e
                                           2y + 3z = 4.
                4 − 3z                      16 − 24z + 9z 2
Portanto, y =          o que acarreta y 2 =                 . Logo,
                   2                              4
                                          16 − 24z + 9z 2
                                   x2 +                   = 1,
                                                4
ou seja,
                                   4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0

e da´
    ı
                    S ◦ R = (x, z) ∈ R2 |4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0 .

Sejam A e B conjuntos e      uma rela¸ao de A em B. A Rela¸˜o Inversa de
                                     c˜                   ca                 ´ a rela¸ao
                                                                             e       c˜
                              −1
de B em A, denotada por            e definida por

                             −1
                                   = {(b, a) ∈ B × A| (a, b) ∈      }.

Vejamos alguns exemplos
28                                                                               CAP´            ¸˜
                                                                                    ITULO 4. RELACOES

Exemplo 4.5.3 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b} e considere a rela¸˜o de A em B
                                                                 ca
definida por
                                             = {(1, a) , (1, b) , (1, c)} .

Ent˜o, por defini¸˜o segue que
   a            ca

                                           −1
                                                = {(a, 1) , (b, 1) , (a, 3)} .


Exemplo 4.5.4 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por
                                                ca

                                             = (x, y) ∈ R2 |y = 2x .

Vemos que
                            −1
                                 = (y, x) ∈ R2 |y = 2x = (x, y) ∈ R2 |x = 2y .


Exemplo 4.5.5 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por
                                                ca

                                          = (x, y) |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 .

Ent˜o vemos que
   a
                                    −1
                                         = (y, x) ∈ R2 |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 ,

ou seja,
                                    −1
                                         = (x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 ≤ 1 .


Observa¸˜o 4.5.1 Se
       ca                            ´ uma rela¸˜o de A em B ent˜o valem as seguintes pro-
                                     e         ca               a
priedades:

                −1
     1. D (          ) = Im ( ),

               −1
     2. I (         ) = D( )

              −1 −1
     3. (       )     = .

Todos esses fatos seguem das defini¸˜es. Para treinar no uso delas sugerimos que vocˆ
                                  co                                               e
prove-os como exerc´cio.
                   ı
¸˜             ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA                                                                   29

4.6        Rela¸˜es de Equivalˆncia
               co             e
H´ dois tipos muito importantes de rela¸oes: as Rela˜es de Ordem e as Rela¸oes de
 a                                     c˜           o                     c˜
Equivalˆncia. Aqui vamos estudar as Rela¸oes de Equivalˆncia. Para isso, definiremos
       e                                c˜             e
alguns termos.

Defini¸˜o 4.6.1 Seja A um conjunto e
     ca                                           uma rela¸˜o em A. Diremos que
                                                          ca                               ´ uma
                                                                                           e
rela¸˜o:
    ca

   • Reflexiva Se para todo x ∈ A, tivermos (x, x) ∈ A. Em outros termos,                   ´ uma
                                                                                           e
       rela¸˜o reflexiva se, para todo x ∈ A, tivermos x x.
           ca

   • Sim´trica Se (x, y) ∈
        e                          implicar (y, x) ∈      . Em outros termos,    ´ uma rela¸˜o
                                                                                 e         ca
       sim´trica se x y ⇒ y x.
          e

   • Transitiva Se (x, y) ∧ (y, z) ∈        implicar (x, z) ∈    . Em outros termos,       ´ uma
                                                                                           e
       rela¸˜o transitiva se x y ∧ y z ⇒ x z.
           ca

Veremos agora v´rios exemplos.
               a

Exemplo 4.6.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e          a rela¸˜o em A definida por
                                                      ca                        = {(1, 1) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 1) ,
Observe que:

  1.       n˜o ´ reflexiva pois (2, 2) ∈ .
            a e

  2.       n˜o ´ sim´trica pois (4, 1) ∈
            a e     e                       , mas (1, 4) ∈ .

  3.       n˜o ´ transitiva pois (2, 4) ∈
            a e                              e (4, 1) ∈    mas (2, 1) ∈ .

Exemplo 4.6.2 Sejam A = R e              a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x < y. Observe
                                               ca
que:

  1.       n˜o ´ reflexiva pois 1
            a e                     1.

  2.       n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2
            a e     e                           1.

  3.       ´ transitiva pois se x, y, z ∈ R e x < y e y < z, ent˜o x < z.
           e                                                    a

Exemplo 4.6.3 Sejam X = {1, 2, 3} e A = ℘ (X) . Defina em A a rela¸˜o P Q ↔ P ⊆
                                                                 ca
Q. Observe que:

  1.       ´ reflexiva pois, para cada P ∈ A, teremos P P uma vez que todo conjunto est´
           e                                                                          a
       contido em si mesmo.
30                                                                          CAP´            ¸˜
                                                                               ITULO 4. RELACOES

     2.       n˜o ´ sim´trica pois ∅ {1} mas {1}
               a e     e                                    ∅.

     3.       ´ transitiva pois se P Q e Q T ent˜o teremos P ⊆ Q e Q ⊆ T e da´ P ⊆ T,
              e                                 a                            ı
           ou seja, P T.

Exemplo 4.6.4 Sejam A = N e                    a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x ´ divisor de y.1 Observe
                                                     ca                           e
que:

     1.       ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x ´ divisor de x.
              e                                             e

     2.       n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2
               a e     e                              1.

     3.       ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o y = k1 x e z = k2 y. Logo z = k1 k2 x, donde
              e                                 a
           x z.

Exemplo 4.6.5 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e                 a rela¸˜o em A definida por
                                                             ca                              = {(1, 3) , (4, 2) , (2, 4) , (2, 3) ,
Observe que:

     1.       n˜o ´ reflexiva pois (1, 1) ∈ .
               a e

     2.       n˜o ´ sim´trica pois (2, 3) ∈
               a e     e                           mas (3, 2) ∈ .

     3.       n˜o ´ transitiva pois (1, 3) ∈
               a e                                 e (3, 1) ∈         mas (1, 1) ∈ .

Exemplo 4.6.6 Sejam A = N e                      a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x + y = 8.
                                                       ca
Observe que

     1.       n˜o ´ reflexiva pois 3
               a e                        3.

     2.       ´ sim´trica pois se x y ent˜o x + y = 8 = y + x, logo y x.
              e    e                     a

     3.       n˜o ´ transitiva pois 2 6 e 6 2 mas 2
               a e                                               2.

Exemplo 4.6.7 Sejam A = {a, b, c} e                 a rela¸˜o em A por
                                                          ca                   = {(a, b) , (c, b) , (b, a) , (a, c)} .
Observe que:

     1.       n˜o ´ reflexiva pois (a, a) ∈ .
               a e

     2.       n˜o ´ sim´trica pois (c, b) ∈
               a e     e                           mas (b, c) ∈        ,

     3.       n˜o ´ transitiva pois (a, b) ∈
               a e                                 e (b, a) ∈         mas (a, a) ∈ .
     1
         Lembre que x ser divisor de y significa que existe um k ∈ N tal que y = kx.
¸˜             ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA                                                           31

Agora podemos definir o que entendemos por uma Rela¸˜o de Equivalˆncia.
                                                  ca            e

Defini¸˜o 4.6.2 Sejam A um conjunto e
     ca                                        uma rela¸˜o em A. Diremos que
                                                       ca                          ´ uma
                                                                                   e
Rela¸˜o de Equivalˆncia se ela for reflexiva, sim´trica e transitiva.
    ca            e                             e

Vejamos alguns exemplos

Exemplo 4.6.8 Sejam A = Z e         a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x−y ´ divis´vel por 5.
                                          ca                             e      ı
Observe que:

  1.     ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x − x = 0 e 0 ´ divis´vel por 5.
         e                                                         e      ı

  2.     ´ sim´trica pois se x y ent˜o x − y ´ divis´vel por 5. Mas isso siginifica que
         e    e                     a        e      ı
       x − y = 5k para algum k ∈ Z. Logo, y − x = −5k = 5 (−k) = 5p, donde conclu´mos
                                                                                 ı
       que y x.

  3.     ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o x − y = 5k1 e y − z = 5k2 , com k1 , k2 ∈ Z.
         e                                 a
       Da´ x − z = 5 (k1 − k2 ) = 5p, ou seja, x z.
         ı

Exemplo 4.6.9 Sejam A o conjunto dos triˆngulos do plano e
                                        a                         a rela¸˜o em A definida
                                                                        ca
por S T ↔ S ´ congruente a T. Observe que
            e                                     ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A.
                                                  e         ca            e

Exemplo 4.6.10 Sejam A = Q, o conjunto dos n´meros racionais e R a rela¸˜o definida
                                            u                          ca
         p s
em A por      ↔ pt = sq. Observe que:
          q t
  1.   ´ reflexiva pois pq = pq.
       e
                           p    s                                      s    p
  2.     ´ sim´trica pois se
         e    e                   ent˜o pt = sq. Mas isso acarreta que
                                     a                                        .
                           q    t                                      t    q
                           p    s s u
  3.  ´ transitiva pois se
       e                          e      ent˜o pt = sq e sv = tu. Logo pv
                                            a                               = uq, ou seja,
                           q    t t v
     p u
         .
     q v
Exemplo 4.6.11 Sejam A o conjunto dos segmentos orientados do plano ou do espa¸o e
                                                                              c
  a rela¸˜o em A definida por u v ↔ u e v tˆm o mesmo m´dulo, mesma dire¸˜o e mesmo sentido.
        ca                                e           o                ca
Observe que a rela¸˜o
                  ca      ´ de equivalˆncia.
                          e           e

Ap´s os exemplos, vamos definir alguns termos.
  o

Defini¸˜o 4.6.3 Sejam A um conjunto,
     ca                                        uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a ∈
                                                       ca            e
A. O conjunto dos elementos de A que se relacionam com a ´ chamado Classe de
                                                         e
Equivalˆncia do elemento a e ser´ representado por [a] . Em s´mbolos:
       e                        a                            ı

                                    [a] = {b ∈ A|a b} .
32                                                                           CAP´            ¸˜
                                                                                ITULO 4. RELACOES

Vejamos alguns exemplos

Exemplo 4.6.12 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e                       a rela¸˜o de equivalˆncia definida em A
                                                                    ca            e
por
                               = {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2) , (2, 1)} .

Ent˜o:
   a

     1. [1] = {1, 2} ,

     2. [2] = {1, 2} = [1] ,

     3. [3] = {3} ,

     4. [4] = {4} .

Exemplo 4.6.13 No exemplo (4.6.8) observe que:

     1. [0] = {..., −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, ...} ,

     2. [1] = {..., −14, −9, −4, 1, 6, 11, 16, ...} ,

     3. [2] = {..., −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, ...} ,

     4. [3] = {..., −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, ...} ,

     5. [4] = {..., −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, ...} ,

Vamos agora provar uma importante propriedade das classes de equivalˆncia
                                                                    e

Teorema 4.6.1 Sejam A um conjunto,                      uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a, b ∈ A,
                                                                ca            e
dois elementos quaisquer. As seguintes condi¸˜es sobre a e b s˜o equivalentes:
                                            co                a

     1. a b,

     2. a ∈ [b] ,

     3. b ∈ [a] ,

     4. [a] = [b] .

Demonstra¸˜o:
         ca

(1)→(2) Suponha que a b. Ent˜o, pela defini¸ao de [b] , segue que a ∈ [b] .
                            a             c˜
¸˜             ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA                                                                      33

(2)→(3) Suponha que a ∈ [b] . Ent˜o a b. Como
                                 a                           ´ sim´trica, temos que b a. Da´
                                                             e    e                        ı,
     b ∈ [a] .

(3)→(4) Suponha que b ∈ [a] e seja x ∈ [b] . Ent˜o temos que b a e x b. Como
                                                a                                                   ´
                                                                                                    e
     sim´trica, segue que a b e b x. Pela transitividade de
        e                                                             segue que a x. Novamente
     usando a simetria de       , segue que x a, e da´ x ∈ [a] . Logo [b] ⊆ [a] . Seja x ∈ [a] .
                                                     ı
     Da´ x a. Como b ∈ [a] e
       ı                             ´ sim´trica, temos que x b, ou seja, x ∈ [b] . Portanto
                                     e    e
     [a] ⊆ [b] .

(4)→(1) Como           ´ reflexiva, segue que a ∈ [a] = [b] . Portanto, a b.
                       e

   O teorema anterior traz algumas interessantes conclus˜es:
                                                        o

Corol´rio 4.6.1 [a] = [b] ⇔ a b.
     a

Corol´rio 4.6.2 [a] ∩ [b] = ∅ ⇒ [a] = [b] .
     a

Defini¸˜o 4.6.4 Sejam A um conjunto e
     ca                                          uma rela¸˜o de equivalˆncia em A. O con-
                                                         ca            e
junto cujos elementos s˜o as classes de equivalˆncia de
                       a                       e                      ´ chamado de Conjunto
                                                                      e
Quociente da rela¸˜o
                 ca         e ´ representado por A/ . Em s´mbolos
                              e                           ı

                                     A/ = {[a] |a ∈ A} .

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 4.6.14 No exemplo (4.6.8) temos A/             = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4]} .

Exemplo 4.6.15 No exemplo (4.6.12) temos A/ = {[1] , [3] , [4]} .

Observa¸˜o 4.6.1 Do Teorema (4.6.1) tiramos importantes conclus˜es acerca das classes
       ca                                                      o
de equivalˆncia:
          e

  1. Toda classe de equivalˆncia ´ n˜o vazia, isto ´, para todo a ∈ A, temos [a] = ∅,
                           e     e a               e

  2. Duas classes de equivalˆncia distintas s˜o disjuntas, isto ´, [a] = [b] ⇒ [a] ∩ [b] = ∅.
                            e                a                  e

  3. A uni˜o de todas as classes de equivalˆncia ´ igual ao conjunto A, isto ´,
          a                                e     e                           e             a∈A   [a] =
     A.

Por causa das propriedades acima, diremos que o conjunto quociente de uma rela¸˜o de
                                                                              ca
equivalˆncia
       e           num conjunto A ´ uma parti¸˜o do conjunto A.
                                  e          ca
34                                                          CAP´            ¸˜
                                                               ITULO 4. RELACOES

Defini¸˜o 4.6.5 Seja A um conjunto n˜o vazio. Um subconjunto A ⊆ ℘ (A) ´ dito uma
     ca                            a                                  e
Parti¸˜o do conjunto A se satisfizer as seguintes condi¸˜es:
     ca                                               co

P1 - X = ∅ para todo X ∈ A,

P2 - Quaisquer que sejam X, Y ∈ A, vale X = Y ⇒ X ∩ Y = ∅,

P3 -       X∈A   = A.

Exemplo 4.6.16 Seja A = {1, 2} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o:
                                    a     ´           co         a

     1. A1 = {A} ,

     2. A2 = {{1} , {2}} .

Exemplo 4.6.17 Seja A = {1, 2, 3} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o:
                                       a     ´           co         a

     1. A1 = {A} ,

     2. A2 = {{1} , {2} , {3}} ,

     3. A3 = {{1} , {2, 3}} ,

     4. A4 = {{2} , {1, 3}} ,

     5. A5 = {{3} , {1, 2}} .

Exemplo 4.6.18 Seja A = N e considere A = {A1 , A1 }, onde A1 = { naturais pares }
e A2 = { naturais ´mpares } . Vemos que A ´ uma parti¸˜o de A.
                  ı                       e          ca

     Se tivermos definida em um conjunto A uma rela¸˜o de equivalˆncia ent˜o o conjunto
                                                  ca            e        a
quociente fornece uma parti¸˜o de A. Isso foi o que vimos anteriormente. O que provare-
                           ca
mos agora ´ que dada uma parti¸˜o de um conjunto A podemos definir uma rela¸ao de
          e                   ca                                          c˜
equivalˆncia em A e o conjunto quociente desta rela¸ao ´ justamente a parti¸˜o dada.
       e                                           c˜ e                    ca

Teorema 4.6.2 Seja A um conjunto n˜o vazio e seja A uma parti¸˜o de A. Defina em
                                  a                          ca
A a seguinte rela¸˜o
                 ca

                   x y ⇔ x, y pertencem ao mesmo conjunto da parti¸˜o.
                                                                  ca

Ent˜o
   a       ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e A/
           e         ca            e                 = A.
¸˜             ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA                                                                                  35

Demonstra¸˜o: Vejamos a reflexividade. Dado x ∈ A temos, pela defini¸ao de parti¸ao,
         ca                                                       c˜          c˜
que ele pertence a algum membro, digamos X de A. Da´ x x, portanto,
                                                   ı                                                ´ reflexiva.
                                                                                                    e
Vejamos agora a simetria. Suponha que x y. Ent˜o x, y est˜o no mesmo membro da
                                              a          a
parti¸ao, ou seja, y x. Suponha agora que x y e que y z. Ent˜o x e y pertencem ao
     c˜                                                     a
mesmo membro da parti¸ao e y e z tamb´m. Como dois membros quaisquer da parti¸ao
                     c˜              e                                       c˜
n˜o se interceptam, segue que x e z pertencem ao mesmo membro da parti¸ao. Assim
 a                                                                    c˜
    ´ de equivalˆncia. Vamos provar agora a ultima afirma¸ao. Seja X ∈ A. Ent˜o dado
    e           e                           ´           c˜                  a
x ∈ X, temos que [x] = X, portanto X ∈ A/ , ou seja A ⊆ A/ . Seja agora a ∈ A e
considere a classe de equivalˆncia determinada por a. Ent˜o, pela defini¸˜o da rela¸ao
                             e                           a             ca         c˜                             ,
a classe de equivalˆncia [a] coincide com o conjunto ao qual a pertence. Logo, [a] ∈ A.
                   e
Portanto A/        ⊆ A.
.

Exemplo 4.6.19 Considere A o conjunto dos alunos de nossa sala de aula. Se agrupar-
mos os alunos em conjuntos formados por alunos que nasceram no mesmo ano, teremos
uma parti¸˜o do conjunto A. A rela¸˜o de equivalˆncia associada a essa parti¸˜o ´: o
         ca                       ca            e                           ca e
aluno x est´ relacionado com o aluno y quando x e y tiverem nascido no mesmo ano.
           a

Exemplo 4.6.20 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {{1, 2}, {3, 5}, {4, 6, 7}}. Essa
parti¸˜o de A induz uma rela¸˜o de equivalˆncia
     ca                     ca            e                        em A dada por

    = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (6, 4), (6, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 6)

Exemplo 4.6.21 Encontre as rela¸˜es de equivalˆncia associadas `s parti¸˜es dadas nos
                               co             e                a       co
exemplos (4.6.16),(4.6.17) e (4.6.18).
36   CAP´            ¸˜
        ITULO 4. RELACOES
Cap´
   ıtulo 5

Fun¸˜es
   co

5.1      Defini¸oes e nomenclatura
              c˜
Defini¸˜o 5.1.1 Sejam A e B conjuntos e f uma rela¸˜o de A em B. Diremos que f ´
     ca                                          ca                           e
uma fun¸˜o de A em B se, para cada a ∈ A, existir um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f.
       ca                                            ´

Observa¸˜o 5.1.1 Se f ´ uma fun¸˜o de A em B usaremos a nota¸˜o f : A → B para
       ca             e        ca                           ca
denotarmos isso.

Exemplo 5.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . Nesse
caso, f ´ uma fun¸˜o de A em B.
        e        ca

Exemplo 5.1.2 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e g = {(1, 5) , (2, 4) , (1, 6)} . Nesse
caso, g n˜o ´ uma fun¸˜o de A em B pois n˜o existe b ∈ B de modo que (3, b) ∈ f. Al´m
         a e         ca                  a                                         e
disso, temos (1, 5) ∈ f e (1, 6) ∈ f.

Exemplo 5.1.3 Sejam C o conjunto das cidades, P o conjunto dos pa´ses e
                                                                 ı

                     h = {(c, p) ∈ C × P | a cidade c est´ no pa´s p} .
                                                         a      ı

Como cada cidade pertence a exatamente um pa´s, temos que h ´ uma fun¸˜o de C em
                                            ı               e        ca
P.

Exemplo 5.1.4 Sejam P o conjunto das pessoas e i = {(p, q) ∈ P × P | A pessoa p ´ genitor(a) da pess
                                                                                e
Observe que como existem pessoas que n˜o s˜o genitores ent˜o i n˜o ´ fun¸˜o. Al´m do
                                      a a                 a     a e     ca     e
mais, existem pessoas que s˜o genitoras de mais de uma pessoa.
                           a

                                            37
38                                                           CAP´           ¸˜
                                                                ITULO 5. FUNCOES

Exemplo 5.1.5 Sejam P o conjunto das pessoas e seja

             d = {(p, x) ∈ P × ℘ (P ) |x ´ conjunto de todos os filhos de p} .
                                         e

Nesse caso, d ´ uma fun¸˜o de P em ℘ (P ) .
              e        ca

Exemplo 5.1.6 Sejam A um conjunto n˜o-vazio e iA = {(a, a) ∈ A × A|a ∈ A} . Nesse
                                   a
caso, iA ´ uma fun¸˜o de A em A conhecida como fun¸˜o identidade em A.
         e        ca                              ca

Exemplo 5.1.7 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |y = x2 } . Nesse caso temos que
f ´ uma fun¸˜o de R em R, pois o dado x ∈ R, o seu quadrado assume apenas um valor.
  e        ca

Exemplo 5.1.8 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |x = y 2 } . Nesse caso temos que
f n˜o ´ uma fun¸˜o de R em R. De fato, (1, 1) ∈ f e (1, −1) ∈ f. Al´m disso, n˜o existe
   a e         ca                                                  e          a
b ∈ R tal que (−1, b) ∈ f, j´ que o quadrado de qualquer n´mero real ´ positivo.
                            a                             u          e

Observa¸˜o 5.1.2 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Ent˜o dado a ∈ A, a
       ca                              ca                a
defini¸˜o de fun¸˜o atesta que existe um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. Este unico b ´
     ca        ca                       ´                                    ´       e
chamado de Valor de f em a ou imagem de a por f ou resultado de aplicar f
em a ou apenas f de a. Vamos represent´-lo de uma forma bem sugestiva, por f (a)) .
                                      a
A rela¸˜o mais importante entre a e f (a) ´
      ca                                  e

                                 (a, b) ∈ f ⇔ b = f (a) .

Observa¸˜o 5.1.3 Em geral uma fun¸˜o f : A → B ´ dada especificando um modo que
       ca                        ca            e
permita obter, de maneira unica f (a) a partir de a. Essa maneira pode ser atrav´s
                          ´                                                     e
de

     • Uma F´rmula, como nos cursos de C´lculo, no ensino m´dio.
            o                           a                  e

     • Uma Tabela, como nas copiadoras, padarias, etc.

     • Um Gr´fico, como nos eletrocardiogramas.
            a

Tanto ´ assim que temos a seguinte defini¸˜o alternativa de fun¸ao que tamb´m ´ bastante
      e                                 ca                    c˜          e e
utilizada, principalmente no ensino m´dio e na maioria dos cursos universit´rios.
                                     e                                     a

Defini¸˜o 5.1.2 Dados os conjuntos A e B, uma fun¸˜o de A em B (simbolizada por
     ca                                         ca
f : A → B) ´ uma regra (uma maneira, um modo, um procedimento) que permite associar
           e
a cada elemento a ∈ A, um unico elemento do conjunto B.
                          ´
5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS                                                    39

   Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 5.1.9 Sejam A o conjunto de todos os triˆngulos do plano, B = R e f a regra
                                                a
que associa cada triˆngulo ` sua ´rea. Essa regra determina una fun¸˜o de f : A → B.
                    a      a     a                                 ca

Exemplo 5.1.10 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano, ∆ o conjunto das
retas desse mesmo plano e g a regra que associa cada segmento ` sua mediatriz (i.e. a
                                                              a
reta que passa pelo seu ponto m´dio e ´ perpendicular a ele). Essa regra determina uma
                               e      e
fun¸˜o g : A → ∆.
   ca

Exemplo 5.1.11 Sejam A = M2×2 (R), B = R e det a regra que associa cada matriz ao
seu determinante. Essa regra determina uma fun¸˜o det : A → B.
                                              ca

Exemplo 5.1.12 Sejam A = B = R e j a regra que associa cada n´mero x ao seu
                                                             u
quadrado x2 . Essa regra determina uma fun¸˜o j : A → B.
                                          ca

Defini¸˜o 5.1.3 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. O conjunto A ´ chamado de
     ca                              ca                          e
Dom´
   ınio da fun¸˜o f e o conjunto B de Contra-dom´
              ca                                ınio da fun¸˜o f .
                                                           ca

Defini¸˜o 5.1.4 Sejam f : A → B e g : A → B duas fun¸˜es. Diremos que elas s˜o
     ca                                            co                      a
iguais e representaremos isso por f = g, se f (a) = g (a) para todo a ∈ A.


5.2      Imagens diretas e inversas
Defini¸˜o 5.2.1 Seja f : A → B uma fun¸˜o e P ⊆ A. A Imagem direta do con-
     ca                              ca
junto P pela fun¸˜o f ´ o conjunto representado por f (P ) e definido por
                ca    e

             f (P ) = {f (p) |p ∈ P } = {b ∈ B|b = f (p) para algum p ∈ P } .

Em palavras, a imagem direta de um conjunto P por uma fun¸˜o f ´ o conjunto formado
                                                         ca    e
pelos valores assumidos por f quando olhamos para a fun¸ao restrita ao conjunto P.
                                                       c˜
Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 5.2.1 Sejam A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} e f : A → B dada por f (a) =
1, f (b) = 2 e f (c) = 1. Ent˜o:
                             a

   • P = {a, b} ⇒ f (P ) = {f (a) , f (b)} = {1, 2} ,

   • P = {b, c} ⇒ f (P ) = {f (b) , f (c)} = {2, 1} = {1, 2} ,
Livro eduardo
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  • 1. Sum´rio a 1 Tipos de Provas 3 1.1 introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3 1.2 Provas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Provas por redu¸ao ao absurdo c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Conjuntos 9 2.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 9 2.2 Defini¸oes B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ a 10 2.3 Inclus˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 12 2.4 Opera¸oes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 15 3 Fam´ ılias indexadas de conjuntos 21 4 Rela¸˜es co 23 4.1 Pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3 Rela¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 25 4.4 Dom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5 Rela¸ao Composta e Rela¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 26 4.6 Rela¸oes de Equivalˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ e 29 5 Fun¸˜es co 37 5.1 Defini¸oes e nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 37 5.2 Imagens diretas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.3 Fun¸oes injetoras, sobrejetoras e bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 43 5.4 Fun¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 44 5.5 Composi¸ao de Fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 45 1
  • 2. 2 ´ SUMARIO 6 Cardinais 47 6.1 Defini¸oes e alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 47 6.2 N´meros Cardinais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 49 6.3 N´meros cardinais infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 54 6.4 Mais exemplos de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 60 6.5 Compara¸˜o de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca u 63 6.6 Opera¸oes com n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ u 67 7 Ordinais 75 7.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 75 7.2 Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.3 Conjuntos totalmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.4 Um pouco mais de nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.5 Conjuntos Bem Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.6 Conjuntos semelhantes e tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.7 Opera¸oes com tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 88
  • 3. Matem´tica Elementar - Primeiro Semestre de 2012 a 19 de maio de 2012
  • 4. 2 ´ SUMARIO
  • 5. Cap´ ıtulo 1 Tipos de Provas 1.1 introdu¸˜o ca Uma das principais atividades dos matem´ticos ´ classificar como verdadeiras ou falsas a e as senten¸as que surgem em seu trabalho. A veracidade de uma senten¸a, em geral, c c ´ obtida atrav´s de uma demonstra¸ao. Uma demonstra¸˜o s´ ´ considerada correta e e c˜ ca o e se todas as senten¸as usadas na sua constru¸˜o forem verdadeiras, ou admitidas como c ca verdadeiras em contextos anteriores. N˜o existem regras para se fazer uma demonstra¸ao. a c˜ E nem poderiam mesmo existir, pois o mist´rio que envolve a sua elabora¸ao ´ um dos e c˜ e motores que faz da Matem´tica um organismo vivo. Segundo o matem´tico h´ngaro a a u Paul Erd¨s (1913-1996), Deus possuiria um livro no qual estariam guardadas as provas o mais perfeitas dos teoremas matem´ticos. Ainda segundo Erd¨s, vocˆ poderia at´ nem a o e e acreditar em Deus, mas como matem´tico deveria acreditar no Livro. Para o matem´tico a a inglˆs Goodfrey Hardy (1877-1947), o quesito beleza ´ fundamental. No mundo, para e e ele, n˜o haveria lugar para matem´tica feia. Depreende-se de sua afirma¸ao que, al´m da a a c˜ e busca pela verdade, pelo conhecimento da prova de um resultado, o matem´tico tamb´m a e persegue a beleza. Uma bela prova de um resultado dif´ ´ o sonho de todo matem´tico. ıcil e a 1.2 Provas diretas H´ basicamente dois tipos de demonstra¸oes: as que s˜o diretas e aquelas em que se a c˜ a recorre ao m´todo da redu¸ao ao absurdo. Em uma demonstra¸ao direta mostramos e c˜ c˜ que, a partir das informa¸oes fornecida(s) pela(s) hip´tese(s), podemos concluir a tese. c˜ o Isso em geral ´ obtido atrav´s de rela¸oes entre os fatos que est˜o sendo admitidos na(s) e e c˜ a 3
  • 6. 4 CAP´ ITULO 1. TIPOS DE PROVAS hip´tese(s) e fatos que s˜o conhecidos previamente. Veremos nos exemplos a seguir alguns o a exemplos desse tipo de demonstra¸ao. c˜ 1. Imagine a seguinte afirma¸ao: Se um aluno est´ matriculado na turma de Matem´tica c˜ a a Elementar ent˜o ele ´ paraibano. Essa afirma¸˜o ´ falsa pois temos alunos na a e ca e turma que nasceram em outros estados. Basta um aluno que satisfa¸a a hip´tese c o dessa afirma¸ao mas que n˜o satisfa¸a a tese dessa afirma¸ao para torn´-la falsa. c˜ a c c˜ a Agora analisemos a outra afirma¸˜o: Se um aluno est´ matriculado na turma de ca a Matem´tica Elementar ent˜o ele ´ brasileiro. Como n˜o temos alunos estrangeiros a a e a matriculados no curso, somos levados a concluir que todos s˜o brasileiros. Tamb´m a e poder´ ıamos ter perguntado, aluno por aluno, qual a sua nacionalidade e ver´ ıamos que todos s˜o brasileiros. Isso ´ uma demonstra¸ao direta desse fato. a e c˜ 2. Se m e n s˜o n´meros pares ent˜o a soma m + n ´ um n´mero par. Vamos a u a e u demonstrar esse fato. Em primeiro lugar, vamos identificar claramente o nosso objetivo. Queremos provar que um certo n´mero ´ par. Muito bem! Mas o que u e siginfica um n´mero ser par? Aqui precisamos recordar a defini¸ao. Um n´mero u c˜ u inteiro b ser´ chamado par se puder ser escrito na forma b = 2a, onde a ´ um a e n´mero inteiro. A senten¸a que assumimos como verdadeira ´ que m e n s˜o u c e a n´meros inteiros pares. Isso quer dizer que m = 2p e que n = 2q, com p e q sendo u inteiros. Portanto, m + n = 2p + 2q = 2 (p + q) , pela propriedade distributiva da multiplica¸˜o com rela¸ao ` adi¸ao. Como p + q tamb´m ´ um n´mero inteiro, ca c˜ a c˜ e e u podemos cham´-lo de r. Da´ temos que m + n = 2r, o que comprova ser m + n um a ı, n´mero par. u 3. Se n ´ um n´mero inteiro ent˜o n2 +n ´ um n´mero inteiro par. Inicialmente vamos e u a e u supor que n seja um inteiro par. Ent˜o n = 2k, onde k ´ um inteiro. Portanto, a e n2 + n = (2k)2 + 2k = 4k 2 + 2k = 2k (2k + 1) = 2m, onde m = k (2k + 1) , de modo que n2 + n ´ par. e Suponhamos agora que n ´ ´ e ımpar. Ent˜o n = 2k +1, onde k ´ um inteiro. Portanto, a e n2 + n = (2k + 1)2 + (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 2 2k 2 + 3k + 1 = 2m, onde m = 2k 2 + 3k + 1, de modo que n2 + n ´ par, tamb´m nesse caso. e e x y 4. Seja M = uma matriz triangular superior 2 × 2 e suponha que x, y e z 0 z s˜o inteiros. Vamos demonstrar que as seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes. a c˜ a
  • 7. ¸˜ 1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 5 (a) det M = 1, (b) x = z = ±1, (c) x + z = ±2 e x = z. O que se afirma nesse resultado ´ que a ↔ b, a ↔ c, b ↔ c. Para isso, dever´ e ıamos provar que a → b, b → a, a → c, c → a, b → c e c → b. Na pr´tica n˜o fazemos a a assim. A id´ia ´ usar uma certa transitividade que existe nas implica¸oes e provar, e e c˜ por exemplo, que a → b → c → a. Poder´ ıamos provar tamb´m que a → c, c → b e e que b → a. Tamb´m poder´ e ıamos, alternativamente, provar que a → c, c → a, a → b e b → a. O que ´ fundamental na escolha da seq¨ˆncia ´ que ela traduza o fato de e ue e que as senten¸as sejam equivalentes entre si. c Vejamos ent˜o a prova de que a → b, b → c e c → a. a Vamos provar que a → b. Suponha que det M = 1. Da´ temos que xz = 1. Como ı, x e z s˜o n´meros inteiros, devemos ter x = 1 = z ou x = −1 = z. a u Provemos agora que b → c. Suponha que x = z = ±1. Primeiro vamos supor que x = z = 1. Ent˜o x + z = 2. Suponhamos agora que x = z = −1. Ent˜o x + z = −2. a a Da´ x = z e x + z = ±2. ı Provemos agora que c → a. Como x + z = ±2, devemos ter (x + z)2 = 4. Assim, x2 + 2xz + z 2 = 4. Como x = z, devemos ter x2 = z 2 . Dessa forma, 4 = 4xz, ou seja, xz = 1. Como det M = xz, conclu´ ımos que det M = 1. 1.3 Provas por redu¸˜o ao absurdo ca Vejamos agora como se processa uma demonstra¸ao por redu¸ao ao absurdo ou por c˜ c˜ contradi¸˜o. Vamos supor que estamos interessados em provar um determinado fato. ca Se n˜o soubermos como fazˆ-lo diretamente, como nos exemplos acima, ent˜o podemos a e a supor que tal fato n˜o ocorra. Usamos ent˜o a hip´tese - que ´ admitida como verdadeira a a o e - e essa informa¸ao adicional, a nega¸ao do que se est´ tentando demonstrar. Atrav´s c˜ c˜ a e de uma sucess˜o de argumentos usando fatos conhecidos e esses fatos novos, chega-se a a algo contradit´rio, absurdo, como por exemplo a nega¸˜o da hip´tese ou a viola¸˜o de o ca o ca uma verdade anteriormente aceita. Veremos a seguir trˆs exemplos de demonstra¸oes por e c˜ redu¸ao ao absurdo. c˜ 1. Se m2 ´ um n´mero par, vamos demonstrar que m ´ um n´mero par. Vamos negar e u e u a tese, isto ´, supor tamb´m que n seja ´ e e ımpar. Aqui precisamos da defini¸ao. Um c˜
  • 8. 6 CAP´ ITULO 1. TIPOS DE PROVAS n´mero inteiro b ´ dito ´ u e ımpar quando ele puder ser escrito na forma b = 2a+1, sendo a um n´mero inteiro. Assim, assumindo que m ´ ´ u e ımpar, temos que m = 2a + 1, para algum inteiro a. Logo, m2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 2a2 + a + 1. Mas 2a2 + a ´ um inteiro. Chamando-o de p, temos que m2 = 2p + 1, ou seja, e m2 ´ um n´mero ´ e u ımpar. Mas a hip´tese era de que m2 era par. Logo isso que o obtivemos ´ uma contradi¸˜o, um absurdo. E de onde veio esse absurdo? Veio do e ca fato de supormos que m era ´ ımpar. Logo, ele n˜o pode ser ´ a ımpar e portanto ser´ a necessariamente par. 2. Vamos provar que o n´mero log10 3 ´ irracional. Aqui cabe uma pergunta: o que u e ´ um n´mero irracional? Uma resposta meio evasiva poderia ser: um n´mero e u u irracional aquele que n˜o ´ racional. E um n´mero racional ´ aquele que pode ser a e u e m escrito na forma n , com m e n sendo n´meros inteiros e n = 0. Portanto, vamos u supor que log10 3 seja racional, isto ´ o mesmo que dizer que existem n´meros e u m inteiros m, n tais que log10 3 = n . Usando as propriedades dos logar´ ıtmos, temos m 10 n = 3. Elevando ambos os membros a n, temos 10m = 3n . Nessa igualdade temos algo impossvel de acontecer, pois o n´mero 10m ´ par, enquanto que o n´mero 3n u e u ´´ e ımpar. Esse absurdo veio de supormos que o n´mero log3 10 era racional. Como u s´ existem duas possibilidades para ele e, ele n˜o pode ser racinal, ele s´ pode ser o a o irracional. 3. Vamos mostrar que n˜o existem n´meros inteiros ´ a u ımpares a, b, c, d, e, f tais que: 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 1. a b c d e f Suponhamos, por absurdo, que existam os tais n´meros. Ent˜o usando as pro- u a priedades de soma de fra¸oes, temos que: c˜ bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = 1, abcdef ou seja, bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = abcdef. Agora vamos olhar para os dois lados dessa igualdade. Do lado esquerdo cada parcela ´ um n´mero ´ e u ımpar, pois ´ igual a um produto de n´meros ´ e u ımpares. Como
  • 9. ¸˜ 1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 7 s˜o seis parcelas, a sua soma resultar´ num n´mero par. Do lado direito, temos a a u um produto de n´meros ´ u ımpares, cujo resultado ´ um n´mero ´ e u ımpar. Aqui temos uma contradi¸ao: um n´mero que ´ ao mesmo tempo par e ´ c˜ u e ımpar. Como essa contradi¸˜o surgiu? Surgiu do fato de termos afirmado a existˆncia dos n´meros ca e u ´ ımpares satisfazendo aquela propriedade. Portanto, os tais n´meros n˜o existem. u a √ √ 4. Vamos mostrar que 2 ´ um n´mero irracional. Negar que e u 2 seja um n´mero u irracional ´ dizer que ele ´ racional. Sendo ent˜o ele racional, existem m e n in- e e a √ teiros tais que 2 = m . Esse ser´ o ponto de partida que nos conduzir´ a uma a a √n contradi¸˜o. Como 2 = m , podemos supor que os fatores comuns de m e de n ca n j´ foram cancelados. Isso ´ absolutamente plaus´ a e ıvel, uma vez que estamos lidando com fra¸˜es. Vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Feito isso, teremos co m2 2= n2 , ou seja, m2 = 2n2 . Essa ultima igualdade nos diz que m2 ´ par. Como ´ e vimos acima, isso acarreta que m tamb´m ´ par, ou seja, m = 2p, para algum e e inteiro p. De volta aquela igualdade, vemos que m2 = 4p2 = 2n2 , ou seja, 2p2 = n2 , ` o que acarreta que n2 ´ par e pelo mesmo motivo, n ´ par. Agora vemos que tanto e e m como n s˜o ambos pares, ou seja possuem um fator primo em comum. Mas isso a √ est´ em contradi¸˜o a nossa hip´tese. Logo, 2 n˜o pode ser racional, ou seja, ele a ca ` o a ´ irracional. e 5. Sejam m e n inteiros. Vamos provar que mn ´ ´ e ımpar se e somente se ambos m e n s˜o ´ a ımpares. Como se trata de uma equivalˆncia, ´ interessante identificarmos as e e duas senten¸as que a comp˜em. Uma delas diz que: se m e n s˜o ´ c o a ımpares ent˜o a mn ´ um n´mero ´ e u ımpar. A outra diz que: se mn ´ ´ e ımpar ent˜o m e n s˜o ´ a a ımpares. Comecemos pela primeira delas. Suponhamos que m e n sejam ´ ımpares. Ent˜o a m = 2p + 1 e n = 2q + 1, onde p e q s˜o n´meros inteiros. Agora note que a u mn = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 2 (2pq + p + q) + 1 = 2r + 1, onde r = 2pq + p + q. Da´ podemos concluir que mn ´ um n´mero ´ ı e u ımpar. Suponhamos agora que o produto mn ´ ´ e ımpar. Vamos supor, por absurdo, que pelo menos um deles - m ou n - ´ par. Digamos que m seja par (se fosse n o racioc´ e ınio seria an´logo). Ent˜o m = 2k, onde k ´ um n´mero inteiro. Logo a a e u mn = 2kn = 2r, onde r = kn. Assim, mn ´ um n´mero par. Mas isso ´ uma contradi¸ao, pois e u e c˜
  • 10. 8 CAP´ ITULO 1. TIPOS DE PROVAS estamos supondo que o produto ´ ´ e ımpar. Logo, nenhum dos dois - m e n - pode ser par, donde ambos s˜o ´ a ımpares, como quer´ ıamos.
  • 11. Cap´ ıtulo 2 Conjuntos 2.1 Introdu¸˜o ca O termo conjunto n˜o ser´ definido. Para n´s ele ser´ um sinˆnimo de cole¸ao ou a a o a o c˜ agrupamento de objetos. Esses objetos ser˜o chamados os seus elementos. A natureza a dos elementos de um conjunto pode ser bastante diversa. Podemos ter conjuntos de canetas, cores, bolas, n´meros, fun¸oes, matrizes, etc. Um dos pioneiros no estudo u c˜ dos conjuntos foi o matem´tico alem˜o Georg Cantor (1845-1918) que fez relevantes a a contribui¸˜es ` Teoria dos Conjuntos quando estava estudando s´ries trigonom´tricas. co a e e 9
  • 12. 10 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS Observa¸˜o 2.1.1 O ponto de vista aqui usado ´ chamado de ingˆnuo, pois n˜o se ca e e a faz uso de axiomas para construir uma teoria. O outro ponto de vista ´ o axiom´tico, e a onde se enunciam axiomas para se construir de modo rigoroso toda a teoria. Dentre os modos axiom´ticos de tratar a teoria dos conjuntos, destacamos o modelo axiom´tico de a a Zermelo-Fraenkel desenvolvido pelos matem´ticos Ernest Zermelo (1871-1953) e Adolf a Fraenkel (1891-1965). 2.2 Defini¸oes B´sicas c˜ a Introduziremos agora uma s´rie de termos e defini¸oes que encontraremos pela frente no e c˜ decorrer do curso. Sejam A um conjunto e a um objeto. Se a for um elemento de A escreveremos a ∈ A para simbolizar esse fato. Caso o elemento a n˜o seja um elemento a de A, escreveremos a ∈ A, para simbolizar isso. Para repesentarmos um conjunto podemos escrever todos seus elementos entre chaves, quando isso for poss´ ıvel. Tamb´m podemos descrever um conjunto por uma propriedade e comum que todos os seus elementos possuam. Uma outra representa¸˜o muito util dos ca ´ conjuntos ´ feita atrav´s dos chamados Diagramas de Venn criados pelo l´gico inglˆs e e o e John Venn (1834-1923). Um Diagrama de Venn ´ uma curva fechada no plano, tendo e
  • 13. ¸˜ ´ 2.2. DEFINICOES BASICAS 11 em seu interior os elementos do conjunto, conforme o conjunto da figura a seguir. No conjunto M est˜o representadas as vogais. a Vamos discutir agora alguns exemplos. Exemplo 2.2.1 Seja A o conjunto das letras da palavra Atordoado. Ent˜o podemos a escrever simplesmente A = {a, t, o, r, d} . Exemplo 2.2.2 Existem quatro conjuntos num´ricos que estudamos desde os primeiros e anos na escola. S˜o eles o conjunto dos n´meros naturais, representado por a u N = {1, 2, 3, ...} . O conjuntos dos n´meros inteiros, representado por u Z = {... − 2, −1, 0, 1, 2, ...} . O conjunto dos n´meros racionais, representado por u m Q= ; m, n ∈ Z com n = 0 . n E finalmente o conjunto dos n´meros reais, simplesmente representado por R. u Exemplo 2.2.3 Seja A o conjunto dos n´meros reais maiores ou iguais a 2. Evident- u mente n˜o podemos listar todos os elementos de A como foi feito no exemplo precedente. a Por´m, podemos escrever e A = {x ∈ R; x ≥ 2} .
  • 14. 12 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS Na nota¸˜o acima utilizamos a propriedade comum aos elementos de A para, ao inv´s ca e de listar os seus elementos, darmos um crit´rio de quando um elemento pertence ou n˜o e a ao dito conjunto. Mais especificamente: para que um n´mero real perten¸a ao conjunto u c A, ´ preciso que ele seja maior que ou igual a 2. e Observa¸˜o 2.2.1 Existe um conjunto muito importante em Matem´tica que ´ o con- ca a e junto que n˜o possui elemento algum. Este conjunto ser´ chamado de conjunto vazio a a e ser´ representado por ∅ que ´ uma letra do alfabeto norueguˆs. Podemos descrever a e e o conjunto vazio atrav´s de uma propriedade que n˜o ´ satisfeita por qualquer objeto. e a e Por exemplo, o conjunto {x ∈ R; x > x + 1} ´ vazio, uma vez que essa propriedade n˜o e a ´ satisfeita por nenhum n´mero real. e u 2.3 Inclus˜o a Uma importante rela¸˜o entre conjuntos ´ a rela¸˜o de inclus˜o que veremos a seguir. ca e ca a Dados dois conjuntos A e B, diremos que A ´ um subconjunto de B se todo elemento e ımbolo A ⊆ B para denotar este fato. de A for tamb´m elemento de B. Usaremos o s´ e Simbolicamente podemos escrever: A ⊆ B quando (∀x) (x ∈ A → x ∈ B ) Uma maneira de visualizar a inclus˜o de conjuntos utilizando os diagramas de Venn est´ a a mostrada abaixo. Na figura temos A ⊂ B.
  • 15. ˜ 2.3. INCLUSAO 13 Quando A n˜o for um subconjunto de B, simbolizaremos isso por A ⊆ B. Isso siginifica a que existe pelo menos um elemento de A que n˜o pertence a B. a Observa¸˜o 2.3.1 Existem na literatura outros termos que tamb´m significam que A ´ ca e e um subconjunto de B. Diz-se tamb´m que A est´ contido em B, que A ´ uma parte e a e de B, que B ´ um superconjunto de A, ou que B cont´m A. e e Observa¸˜o 2.3.2 A nota¸˜o A ⊂ B, no nosso curso indicar´ o fato de que A ´ um ca ca a e subconjunto de B mas que ´ diferente dele. Diz-se nesse caso que A ´ um subconjunto e e pr´prio de B. o ca ´ Observa¸˜o 2.3.3 E preciso ter bastante cuidado no uso dos s´mbolos ∈ e ⊆ . Em alguns ı casos um conjunto pode ser, ele mesmo, elemento de um outro conjunto. Veremos agora alguns exemplos. Exemplo 2.3.1 Sejam A e B conjuntos dados respectivamente por A = {1, 3} e B = {1, 2, 3, 4} . Temos que A ⊂ B e que B ⊆ A. Exemplo 2.3.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} . Nesse caso n˜o temos nem A ⊆ B a nem B ⊆ A. Exemplo 2.3.3 Seja A = {a, b, c} . As afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas ver- co a dadeiras. Agora, se A = {{a} , b, c} , ent˜o as afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas a co a falsas. Veremos agora algumas propriedades da inclus˜o de conjuntos. a Teorema 2.3.1 Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o valem as seguintes propriedades: a a (i) A ⊆ A, (ii) ∅ ⊆ A, (iii) Se A ⊆ B e B ⊆ C, ent˜o A ⊆ C, a Demonstra¸˜o: A primeira propriedade decorre imediatamente da defini¸ao de in- ca c˜ clus˜o. a Provemos a segunda. Ela equivale a provar que se a ∈ ∅ ent˜o a ∈ A. Como uma a implica¸ao deste tipo ser´ sempre verdadeira, uma vez que a hip´tese nunca acontece, c˜ a o
  • 16. 14 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS somos levados a concluir que vale a propriedade (ii). Para mostrar que A ⊆ C, devemos mostrar que, dado a ∈ A, temos que a ∈ C. Ora, mas dado a ∈ A, segue que a ∈ B, por hip´tese e, tamb´m por hip´tese, segue que a ∈ C, o e o como quer´ ıamos. Surge agora uma importante pergunta: Quando dois conjuntos s˜o iguais? A resposta a mais simples ´ dizer que eles s˜o iguais quando tiverem os mesmos elementos. Para os e a nossos prop´sitos usaremos uma defini¸ao que ´ bem mais f´cil de se trabalhar que ´ a o c˜ e a e seguinte: Dados dois conjuntos A e B diremos que ele s˜o iguais e representamos isso a por A = B, se A ⊆ B e B ⊆ A. Exemplo 2.3.4 Os conjuntos A = {a, t, o, r, d} e B = { letras da palavra atordoado } s˜o iguais. a Exemplo 2.3.5 Os conjuntos A = {x ∈ R|x2 − 5x + 6 < 0} e B = {x ∈ R|2 < x < 3} s˜o iguais. De fato, seja x ∈ A. Assim, x2 −5x+6 < 0. Mas x2 −5x+6 = (x − 2) (x − 3) . a Assim, se x ∈ A, ent˜o (x − 2) (x − 3) < 0. Portanto, devemos ter a 1. (x − 2) > 0 e (x − 3) < 0 ou 2. (x − 2) < 0 e (x − 3) > 0. No primeiro caso, devemos ter x > 2 e x < 3, ou seja, 2 < x < 3. No segundo caso, devemos ter x − 2 < 0 e x − 3 > 0. Como n˜o existem n´meros satisfazendo as essas duas a u condi¸˜es simultaneamente, esse caso n˜o pode ocorrer. Logo, devemos ter 2 < x < 3, co a ou seja, x ∈ B. Seja x ∈ B. Ent˜o x − 2 > 0 e x − 3 < 0, donde x2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3) < 0, ou a seja, x ∈ A. Observa¸˜o 2.3.4 A defini¸˜o de igualdade entre conjuntos possui interessantes pro- ca ca priedades, a saber: Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o vale o seguinte a a 1. A = A, 2. se A = B ent˜o B = A, a 3. se A = B e B = C ent˜o A = C. a
  • 17. ¸˜ 2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 15 Como vimos anteriormente, um conjunto pode ser elemento de um outro conjunto. Vamos nos aprofundar um pouco mais nessa id´ia e definirmos um importante conjunto cujos e elementos s˜o conjuntos. Seja A um conjunto. Definimos o Conjunto das Partes de A a como sendo o conjunto cujos elementos s˜o os subconjuntos de A. Vamos represent´-lo a a por ℘ (A) . Em s´ ımbolos: ℘ (A) = {X|X ⊆ A} . Exemplo 2.3.6 Se A = {a} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a}} . a Exemplo 2.3.7 Se A = ∅, ent˜o ℘ (∅) = {∅} . a Exemplo 2.3.8 Se A = {a, b} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}} . a Observa¸˜o 2.3.5 O conjunto ℘ (A) nunca ´ vazio pois o conjunto vazio ´ subconjunto ca e e de todo conjunto. Observa¸˜o 2.3.6 Se o conjunto A tiver n elementos ent˜o o conjunto ℘ (A) ter´ 2n ca a a elementos. N˜o vamos provar isso agora. Primeiro vamos entender o que significa ter a n elementos. Isso ficar´ para breve quando estivermos falando de conjuntos finitos e a infinitos. 2.4 Opera¸˜es com conjuntos co A nossa id´ia agora ´ formar novos conjuntos a partir de outros. A forma¸˜o desses novos e e ca conjuntos usar´ fortemente os termos e, ou e n˜o vistos na disciplina de Argumenta¸ao a a c˜ em Matem´tica. a Sejam A e B conjuntos. A uni˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que pertencem a a e pelo menos um dos dois conjuntos A ou B. Vamos represent´-la por A ∪ B. Em s´ a ımbolos temos A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} . Em outras palavras, o conjunto A ∪ B ´ o conjunto contendo todos os elementos que e est˜o em A, em B ou em ambos. Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∪ B a c˜ em um diagrama de Venn. Nessa figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U a denominado Conjunto Universo.
  • 18. 16 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS Sejam A e B conjuntos. A interse¸˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que ca e pertencem a ambos os conjuntos A e B. Vamos represent´-la por A ∩ B. Em s´ a ımbolos temos A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} . Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∩ B em um diagrama de Venn. Nessa c˜ figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo. a Exemplo 2.4.1 Sejam A = {x, y, z, p} e B = {x, q} . Ent˜o A ∪ B = {x, y, z, p, q} e a A ∩ B = {x} . Exemplo 2.4.2 Sejam A = {p ∈ N|p ´ um n´mero par} e B = {p ∈ N|p ´ um n´mero ´ e u e u ımpar} . Ent˜o A ∪ B = N e A ∩ B = ∅. a Observa¸˜o 2.4.1 Vemos imediatamente da defini¸˜o que A, B ⊆ A ∪ B e que A ∩ B ⊆ ca ca A, B. Observa¸˜o 2.4.2 Se A e B s˜o conjuntos tais que A ∩ B = ∅, diremos que A e B s˜o ca a a Conjuntos disjuntos.
  • 19. ¸˜ 2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 17 Reuniremos no Teorema a seguir as principais propriedades das Uni˜o e da Interse¸ao de a c˜ conjuntos: Teorema 2.4.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades: a 1. Se X ⊆ A e X ⊆ B ent˜o X ⊆ A ∩ B, a 2. Se A ⊆ Y e B ⊆ Y ent˜o A ∪ B ⊆ Y, a 3. Comutatividade A ∪ B = B ∪ A, e A ∩ B = B ∩ A, 4. Associatividade (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) , e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) , 5. Distributividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 6. Identidade A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅, 7. Idempotˆncia A ∪ A = A e A ∩ A = A, e 8. Absor¸˜o Se A ⊆ B ent˜o A ∪ B = B e A ∩ B = A, ca a 9. Monotonicidade Se A ⊆ B ent˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C. a Demonstra¸˜o: Todas as propriedades decorrem das defini¸˜es. Vamos provar uma ca co das igualdades da propriedade (5), ficando outra igualdade e as demais como exerc´ ıcio para o leitor. Seja x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Ent˜o x ∈ A e x ∈ B ∪ C. Assim, x ∈ B ou a x ∈ C. No primeiro caso, temos que x ∈ A ∩ B, enquanto que no segundo, temos que x ∈ A ∩ C. Em qualquer dos casos teremos ent˜o x ∈ (A ∩ B) ou x ∈ (A ∩ C) , ou seja, a x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , provando que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Seja agora x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Ent˜o x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C. No primeiro caso, temos que a x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ B, segue que x ∈ B ∪ C. Portanto, do primeiro caso, con- ımos que x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Por um racioc´ clu´ ınio totalmente an´logo conclu´ a ımos que, ocorrendo o segundo caso, teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Portanto, em qualquer dos casos teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) , mostrando que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C) . Portanto, a igualdade est´ provada. a Observa¸˜o 2.4.3 Os adjetivos dados a algumas das propriedades acima vˆm dos mes- ca e mos adjetivos dados a propriedades an´logas que os n´meros e as opera¸˜es com eles a u co
  • 20. 18 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS definidas possuem. Apenas a t´tulo de curiosidade, vamos atentar para a propriedade ı distributiva do produto com rela¸˜o ` adi¸˜o que nos diz que se x, y e z s˜o n´meros ca a ca a u reais, ent˜o a x · (y + z) = x · y + x · z. Perceba a analogia existente entre essa propriedade e aquela que ´ v´lida para conjuntos. e a Sejam A e B conjuntos. A Diferen¸a entre A e B ´ o conjunto dos elementos que c e pertencem ao conjunto A mas que n˜o pertencem ao conjunto B. Vamos represent´-la a a por A − B. Em s´ ımbolos temos A − B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} . Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A − B em um diagrama de Venn. Nessa ca figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo. a Exemplo 2.4.3 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Ent˜o A − B = a {1, 2, 3} . Tamb´m vemos que B − A = {7, 8, 9, 10} . e Exemplo 2.4.4 Se A = N e B = {x ∈ N|x > 10} . Ent˜o A−B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . a Nesse caso, B − A = ∅, uma vez que B ⊂ A. Vejamos agora as principais propriedades da diferen¸a de conjuntos. c Teorema 2.4.2 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades: a 1. A − B ⊆ A, 2. (A − B) ∩ B = ∅, 3. A − B = ∅ ↔ A ⊆ B,
  • 21. ¸˜ 2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 19 4. Se A ⊆ B, ent˜o A − C = A ∩ (B − C) , a 5. Se A ⊆ B, ent˜o C − B ⊆ C − A, a 6. C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B) e C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B) , Demonstra¸˜o: Vamos provar apenas uma das igualdades da parte (6), deixando a ca outra e as demais propriedades como exerc´ para o leitor. Seja x ∈ C −(A ∪ B) . Ent˜o ıcio a x ∈ C e x ∈ A∪B. Assim conclu´ ımos que x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ C e x ∈ A, temos que x ∈ (C − A) . Analogamente, x ∈ C e x ∈ B, da´ x ∈ (C − A) ∩ (C − B) , acarretando ı, que C − (A ∪ B) ⊆ (C − A) ∩ (C − B) . Suponha agora que x ∈ (C − A) ∩ (C − B) . ımos que x ∈ C − A e que x ∈ C − B. Logo, x ∈ C e x ∈ A e x ∈ B. Assim, Conclu´ x ∈ C −(A ∪ B) . Isso acarreta que (C − A)∩(C − B) ⊂ C −(A ∪ B) , donde a igualdade est´ provada. a Observa¸˜o 2.4.4 A propriedade (6) ´ conhecida como as Leis de De Morgan, em ca e homenagem ao matem´tico Augustus de Morgan. a A existˆncia de um conjunto de todos os conjuntos, ou um conjunto universo leva a e algumas contradi¸oes na Teoria dos Conjuntos. Entretanto, tomando-se o devido cuidado, c˜ podemos assumir essa hip´tese sem problemas. Faremos isso a seguir para definirmos o um importante conjunto. Suponha que U seja um conjunto universo e que A ⊆ U. O Complementar de A com rela¸˜o a U ´ o conjunto U − A. Vamos represent´-lo por ca e a A . Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A em um diagrama de Venn. Nessa ca figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U . a Supondo que A e B estejam contidos em um conjunto universo U, podemos dar algumas propriedades dos complementares:
  • 22. 20 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS Teorema 2.4.3 Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Ent˜o valem as a seguintes propriedades: 1. A − B = A ∩ B , 2. (A ) = A, 3. ∅ = U e U = ∅, 4. A ∩ A = ∅ e A ∪ A = U, 5. A ⊆ B ↔ B ⊆ A , 6. (A ∪ B) = A ∩ B , 7. (A ∩ B) = A ∪ B . Demonstra¸˜o: A demonstra¸˜o ´ feita usando as defini¸˜es e o Teorema (2.4.2). Deix- ca ca e co amos para o leitor como exerc´ ıcio.
  • 23. Cap´ ıtulo 3 Fam´ ılias indexadas de conjuntos Vamos supor que I seja um conjunto n˜o-vazio e que, a cada i ∈ I, esteja associado um a conjunto Ai . O conjunto F cujos elementos s˜o os conjuntos Ai ´ chamado de Fam´ a e ılia de conjuntos indexada pelo conjunto I. O conjunto I ´ chamado de Conjunto de e ındices. Em geral usa-se a nota¸ao {Ai }i∈I para se representar a fam´ F. Uma outra ´ c˜ ılia nota¸ao ´ F = {Ai |i ∈ I} . c˜ e Se F ´ uma fam´ indexada por I, diremos que A ∈ F se existir i ∈ I de tal modo que e ılia A = Ai . Exemplo 3.0.5 A fam´lia A1 = {1, 2} , A2 = {2, 4} , ..., An = {n, 2n} , ... ´ uma fam´lia ı e ı de conjuntos indexada pelo conjunto N. Exemplo 3.0.6 A fam´lia A∂ = ∅, A = N, A∞ = Z, A = Q e A = R ´ uma fam´lia ı e ı indexada pelo conjunto I = {∂, , ∞, , } . Veremos agora como definir a uni˜o e a interse¸˜o de elementos em uma fam´ a ca ılia. Seja F uma fam´ indexada pelo conjunto I. Definimos a Uni˜o dos conjuntos de F como ılia a sendo o conjunto Ai = {x|x ∈ Ai , para algum i ∈ I} . i∈I A Interse¸˜o dos conjuntos de F ´ o conjunto ca e Ai = {x|x ∈ Ai , para todo i ∈ I} . i∈I Exemplo 3.0.7 Seja F = {[−n, n] |n ∈ N} . Ent˜o a An = R n∈N 21
  • 24. 22 CAP´ ITULO 3. FAM´ ILIAS INDEXADAS DE CONJUNTOS e An = [−1, 1] . n∈N Exemplo 3.0.8 Para cada n ∈ N, considere a fam´lia ı 1 1 F= − , |n ∈ N . n n Ent˜o a n∈N Cn = [−1, 1] e n∈N Cn = {0} . Reuniremos agora no Teorema abaixo as principais propriedades de uni˜es, interse¸oes e o c˜ diferen¸as entre fam´ c ılias de conjuntos: Teorema 3.0.4 Sejam I um conjunto n˜o-vazio, {Ai }i∈I uma fam´lia de conjuntos in- a ı dexada por I, e B um conjunto. Ent˜o: a 1. i∈I Ai ⊆ Ak , para todo k ∈ I. Se B ⊆ Ak , para todo k ∈ I, ent˜o B ⊆ a i∈I Ai , 2. Ak ⊆ i∈I Ai , para todo k ∈ I. Se Ak ⊆ B, para todo k ∈ I, ent˜o a i∈I Ai ⊆ B, 3. Lei distributiva B ∩ i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) , 4. Lei distributiva B ∪ i∈I Ai = i∈I (B ∪ Ai ) , 5. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) , 6. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) . Demonstra¸˜o: Provaremos apenas a parte (3), deixando as demais como exerc´ ca ıcio. Seja x ∈ B ∩ i∈I Ai . Ent˜o x ∈ B e x ∈ a i∈I Ai . Assim, x ∈ Ak para algum k ∈ I. Assim, x ∈ B ∩ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) , pela parte (1). As- sim B ∩ i∈I Ai ⊆ i∈I (B ∩ Ai ) . Agora seja x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) . Assim, x ∈ B e x ∈ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I Ai pela parte (1). Assim, x ∈ B ∩ i∈I Ai . Portanto, i∈I (B ∩ Ai ) ⊆ B ∩ i∈I ımos que B ∩ Ai . Da´ conclu´ ı i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) .
  • 25. Cap´ ıtulo 4 Rela¸˜es co 4.1 Pares ordenados Sejam A e B conjuntos e a ∈ A e b ∈ B. O Par ordenado cujo primeiro elemento ´ e a e o segundo elemento ´ b ´, por defini¸ao, o conjunto {{a} , {a, b}} . Vamos denot´- e e c˜ a lo por (a, b) . A principal propriedade dos pares ordenados ´ aquela que diz respeito a e ` igualdade entre dois deles. Sendo mais espec´ ıficos, temos o seguinte Teorema 4.1.1 (a, b) = (c, d) se e somente se a = c ∧ b = d. Demonstra¸˜o: De fato, se a = c e b = d ent˜o (a, b) = (c, d) , imediatamente. Suponha ca a agora que (a, b) = (c, d) . Ent˜o os conjuntos {{a} , {a, b}} e {{c} , {c, d}} s˜o iguais. Da´ a a ı conclu´ ımos que a = c e que b = d. Observa¸˜o 4.1.1 Daqui por diante e, em praticamente toda a sua vida, vocˆ s´ vai ca e o utilizar o s´ ımbolo (a, b) para falar do par ordenado cujo primeiro elemento ´ a e o segundo e ´ b. e 4.2 Produto cartesiano Sejam A e B conjuntos. O Produto cartesiano de A por B, denotado por A × B, ´ o e conjunto dos pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B. Em s´ ımbolos: A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} . 23
  • 26. 24 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES Exemplo 4.2.1 Se A = {a, b} e B = {1, 2, 3} , ent˜o a A × B = {(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b, 1) , (b, 2) , (b, 3)} . Exemplo 4.2.2 Se A = {1, 3, 5} , ent˜o a A × A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5)} . Algumas das principais propriedades do produto cartesiano de dois conjuntos est˜o lis- a tadas no Teorema a seguir. Vamos provar apenas uma e deixar o restante como exerc´ ıcio. Teorema 4.2.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as propriedades: a 1. Se A ⊆ B ∧ C ⊆ D ent˜o A × C ⊆ B × D, a 2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) , 3. (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A) , 4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) , 5. (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C × A) , 6. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) . Demonstra¸˜o: Vamos provar a propriedade (2) . Seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Ent˜o ca a a ∈ A e b ∈ B ∪ C. Assim, b ∈ B ou b ∈ C. No primeiro caso, teremos (a, b) ∈ A × B ⊆ A×B ∪A×C. No segundo teremos (a, b) ∈ A×C ⊆ A×B ∪A×C. Portanto, em qualquer dos casos teremos A × (B ∪ C) ⊆ A × B ∪ A × C. Seja agora (a, b) ∈ A × B ∪ A × C. Ent˜o h´ dois casos: (a, b) ∈ A × B ou (a, b) ∈ A × C. Se ocorrer o primeiro caso, ent˜o a a a a ∈ A e b ∈ B ⊂ B ∪ C, ou seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Se ocorrer o segundo caso, ent˜o a (a, b) ∈ A × C. Da´ a ∈ A e b ∈ C ⊆ B ∪ C, ou seja, (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Portanto, ı, qualquer que seja o caso, temos A × B ∪ A × C ⊆ A × (B ∪ C) . Observa¸˜o 4.2.1 Em geral A × B = B × A. Dˆ um exemplo para ilustrar isso. ca e Observa¸˜o 4.2.2 Se B = A ent˜o A × B ser´ denotado por A2 ou B 2 . ca a a Observa¸˜o 4.2.3 Pode-se definir o produto cartesiano sem necessariamente se fazer ca men¸˜o a pares ordenados. Esse ponto de vista ser´ abordado quando formos definir ca a produtos cartesianos de uma quantidade infinita de conjuntos. Isso ser´ feito no curso a de Matem´tica Elementar II. a
  • 27. ¸˜ 4.3. RELACOES 25 4.3 Rela¸˜es co Sejam A e B conjuntos. Uma Rela¸˜o bin´ria ca a de A em B ou simplesmente uma Rela¸˜o ca de A em B ´ qualquer subconjunto de A × B. e Observa¸˜o 4.3.1 Se B = A ent˜o diremos que ca a ´ uma rela¸˜o em A ou sobre A. e ca Observa¸˜o 4.3.2 Se (x, y) ∈ ca , escreveremos x y. Caso contr´rio, isto ´, se (x, y) ∈ a e , escreveremos x y, para simbolizar isso. Exemplo 4.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {x, y, z} e = {(1, y) , (1, z) , (2, y)} ´ uma e rela¸˜o de A em B. ca Exemplo 4.3.2 Sejam A = B = R e = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} . Ent˜o a ´ uma e rela¸˜o de R em R ou simplesmente uma rela¸˜o em R. Geometricamente ela pode ser ca ca representada por um c´rculo de centro na origem e raio 1, conforme a figura a seguir. ı Exemplo 4.3.3 Sejam A = B = R e definida por x y ↔ x + 2y = 1. Geometrica- mente podemos represent´-la por uma reta no plano. a Exemplo 4.3.4 Seja X = {1, 2, 3} . Em A = ℘ (X) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}} podemos definir a seguinte rela¸˜o: P Q ↔ P ⊆ Q. Observe que ∅ X, qualquer que seja ca X ⊂ {1, 2, 3} . Temos {1} {1, 2} e {2} {1, 3} . Exemplo 4.3.5 Podemos definir em A = Z a seguinte rela¸˜o ca a b ↔ a − b ´ divis´vel por 5. e ı Observe que 8 − 2, −4 6 e 3 9. Esa rela¸˜o ser´ estudada bastante por n´s em dois ca a o momentos. O primeiro quando estudarmos Rela¸˜es de Equivalˆncia e o segundo, quando co e estudarmos Teoria dos N´meros. u
  • 28. 26 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES Exemplo 4.3.6 Seja A = M2×2 (R) , o conjunto das matrizes quadradas 2 × 2. Em A definimos a seguinte rela¸˜o: ca X Y ↔ x11 + x22 = y11 + y22 . Exemplo 4.3.7 Seja A o conjunto das retas no plano. Em A, podemos definir a seguinte rela¸˜o: ca r s ↔ r ´ paralela a s. e Observa¸˜o 4.3.3 Observe que em quase todos os exemplos acima n˜o dissemos quem ca a eram explicitamente os pares ordenados que pertenciam ` rela¸˜o. Ao inv´s disso, disse- a ca e ´ mos quando dois elementos se relacionam. E muito importante que vocˆ se conven¸a de e c que isso que fizemos ´ equivalente a dar os pares ordenados da rela¸˜o. e ca 4.4 Dom´ ınio e Imagem Seja uma rela¸ao de A em B. O conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares c˜ ordenados que pertencem a ´ chamado de Dom´ e ınio da rela¸˜o ca e representado por D ( ) ou por Dom ( ) . Em s´ ımbolos D ( ) = {a ∈ A| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ }. A Imagem de , por sua vez, ´ o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares e ordenados que pertencem a . Vamos denot´-la por I ( ) ou Im ( ) . Em s´ a ımbolos I ( ) = {b ∈ B| Existe a ∈ A tal que (a, b) ∈ }. Exemplo 4.4.1 No caso do exemplo (4.3.1), temos que D ( ) = {1, 2} e I ( ) = {y, z} . Exemplo 4.4.2 No caso do exemplo (4.3.2), temos que D ( ) = [−1, 1] e I ( ) = [−1, 1] . Exemplo 4.4.3 No caso do exemplo (4.3.3), temos que D ( ) = I ( ) = R. 4.5 Rela¸˜o Composta e Rela¸˜o Inversa ca ca Sejam A, B e C conjuntos e R uma rela¸ao de A em B e S uma rela¸ao de B em C. A c˜ c˜ Rela¸˜o Composta de S e R ´ rela¸˜o de A em C, denotada por S ◦ R, e definida por ca e ca S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S} . Vejamos agora alguns exemplos:
  • 29. ¸˜ ¸˜ 4.5. RELACAO COMPOSTA E RELACAO INVERSA 27 Exemplo 4.5.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} , B = {x, y, z, w} e C = {5, 6, 7, 8} e as rela¸˜es co R de A em B e S de B em C definidas, respectivamente, por R = {(1, x) , (1, y) , (2, x) , (3, w) , (4, w)} e S = {(y, 5) , (y, 6) , (z, 8) , (w, 7)} . Ent˜o a S ◦ R = {(1, 5) , (1, 6) , (3, 7) , (4, 7)} . Exemplo 4.5.2 Sejam A = B = C = R e as rela¸˜es em A definidas por co R = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1 e S = (y, z) ∈ R2 |2y + 3z = 4 . Se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ S, ent˜o a x2 + y 2 = 1 e 2y + 3z = 4. 4 − 3z 16 − 24z + 9z 2 Portanto, y = o que acarreta y 2 = . Logo, 2 4 16 − 24z + 9z 2 x2 + = 1, 4 ou seja, 4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0 e da´ ı S ◦ R = (x, z) ∈ R2 |4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0 . Sejam A e B conjuntos e uma rela¸ao de A em B. A Rela¸˜o Inversa de c˜ ca ´ a rela¸ao e c˜ −1 de B em A, denotada por e definida por −1 = {(b, a) ∈ B × A| (a, b) ∈ }. Vejamos alguns exemplos
  • 30. 28 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES Exemplo 4.5.3 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b} e considere a rela¸˜o de A em B ca definida por = {(1, a) , (1, b) , (1, c)} . Ent˜o, por defini¸˜o segue que a ca −1 = {(a, 1) , (b, 1) , (a, 3)} . Exemplo 4.5.4 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por ca = (x, y) ∈ R2 |y = 2x . Vemos que −1 = (y, x) ∈ R2 |y = 2x = (x, y) ∈ R2 |x = 2y . Exemplo 4.5.5 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por ca = (x, y) |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 . Ent˜o vemos que a −1 = (y, x) ∈ R2 |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 , ou seja, −1 = (x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 ≤ 1 . Observa¸˜o 4.5.1 Se ca ´ uma rela¸˜o de A em B ent˜o valem as seguintes pro- e ca a priedades: −1 1. D ( ) = Im ( ), −1 2. I ( ) = D( ) −1 −1 3. ( ) = . Todos esses fatos seguem das defini¸˜es. Para treinar no uso delas sugerimos que vocˆ co e prove-os como exerc´cio. ı
  • 31. ¸˜ ˆ 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 29 4.6 Rela¸˜es de Equivalˆncia co e H´ dois tipos muito importantes de rela¸oes: as Rela˜es de Ordem e as Rela¸oes de a c˜ o c˜ Equivalˆncia. Aqui vamos estudar as Rela¸oes de Equivalˆncia. Para isso, definiremos e c˜ e alguns termos. Defini¸˜o 4.6.1 Seja A um conjunto e ca uma rela¸˜o em A. Diremos que ca ´ uma e rela¸˜o: ca • Reflexiva Se para todo x ∈ A, tivermos (x, x) ∈ A. Em outros termos, ´ uma e rela¸˜o reflexiva se, para todo x ∈ A, tivermos x x. ca • Sim´trica Se (x, y) ∈ e implicar (y, x) ∈ . Em outros termos, ´ uma rela¸˜o e ca sim´trica se x y ⇒ y x. e • Transitiva Se (x, y) ∧ (y, z) ∈ implicar (x, z) ∈ . Em outros termos, ´ uma e rela¸˜o transitiva se x y ∧ y z ⇒ x z. ca Veremos agora v´rios exemplos. a Exemplo 4.6.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por ca = {(1, 1) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 1) , Observe que: 1. n˜o ´ reflexiva pois (2, 2) ∈ . a e 2. n˜o ´ sim´trica pois (4, 1) ∈ a e e , mas (1, 4) ∈ . 3. n˜o ´ transitiva pois (2, 4) ∈ a e e (4, 1) ∈ mas (2, 1) ∈ . Exemplo 4.6.2 Sejam A = R e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x < y. Observe ca que: 1. n˜o ´ reflexiva pois 1 a e 1. 2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2 a e e 1. 3. ´ transitiva pois se x, y, z ∈ R e x < y e y < z, ent˜o x < z. e a Exemplo 4.6.3 Sejam X = {1, 2, 3} e A = ℘ (X) . Defina em A a rela¸˜o P Q ↔ P ⊆ ca Q. Observe que: 1. ´ reflexiva pois, para cada P ∈ A, teremos P P uma vez que todo conjunto est´ e a contido em si mesmo.
  • 32. 30 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES 2. n˜o ´ sim´trica pois ∅ {1} mas {1} a e e ∅. 3. ´ transitiva pois se P Q e Q T ent˜o teremos P ⊆ Q e Q ⊆ T e da´ P ⊆ T, e a ı ou seja, P T. Exemplo 4.6.4 Sejam A = N e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x ´ divisor de y.1 Observe ca e que: 1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x ´ divisor de x. e e 2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2 a e e 1. 3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o y = k1 x e z = k2 y. Logo z = k1 k2 x, donde e a x z. Exemplo 4.6.5 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por ca = {(1, 3) , (4, 2) , (2, 4) , (2, 3) , Observe que: 1. n˜o ´ reflexiva pois (1, 1) ∈ . a e 2. n˜o ´ sim´trica pois (2, 3) ∈ a e e mas (3, 2) ∈ . 3. n˜o ´ transitiva pois (1, 3) ∈ a e e (3, 1) ∈ mas (1, 1) ∈ . Exemplo 4.6.6 Sejam A = N e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x + y = 8. ca Observe que 1. n˜o ´ reflexiva pois 3 a e 3. 2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x + y = 8 = y + x, logo y x. e e a 3. n˜o ´ transitiva pois 2 6 e 6 2 mas 2 a e 2. Exemplo 4.6.7 Sejam A = {a, b, c} e a rela¸˜o em A por ca = {(a, b) , (c, b) , (b, a) , (a, c)} . Observe que: 1. n˜o ´ reflexiva pois (a, a) ∈ . a e 2. n˜o ´ sim´trica pois (c, b) ∈ a e e mas (b, c) ∈ , 3. n˜o ´ transitiva pois (a, b) ∈ a e e (b, a) ∈ mas (a, a) ∈ . 1 Lembre que x ser divisor de y significa que existe um k ∈ N tal que y = kx.
  • 33. ¸˜ ˆ 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 31 Agora podemos definir o que entendemos por uma Rela¸˜o de Equivalˆncia. ca e Defini¸˜o 4.6.2 Sejam A um conjunto e ca uma rela¸˜o em A. Diremos que ca ´ uma e Rela¸˜o de Equivalˆncia se ela for reflexiva, sim´trica e transitiva. ca e e Vejamos alguns exemplos Exemplo 4.6.8 Sejam A = Z e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x−y ´ divis´vel por 5. ca e ı Observe que: 1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x − x = 0 e 0 ´ divis´vel por 5. e e ı 2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x − y ´ divis´vel por 5. Mas isso siginifica que e e a e ı x − y = 5k para algum k ∈ Z. Logo, y − x = −5k = 5 (−k) = 5p, donde conclu´mos ı que y x. 3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o x − y = 5k1 e y − z = 5k2 , com k1 , k2 ∈ Z. e a Da´ x − z = 5 (k1 − k2 ) = 5p, ou seja, x z. ı Exemplo 4.6.9 Sejam A o conjunto dos triˆngulos do plano e a a rela¸˜o em A definida ca por S T ↔ S ´ congruente a T. Observe que e ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A. e ca e Exemplo 4.6.10 Sejam A = Q, o conjunto dos n´meros racionais e R a rela¸˜o definida u ca p s em A por ↔ pt = sq. Observe que: q t 1. ´ reflexiva pois pq = pq. e p s s p 2. ´ sim´trica pois se e e ent˜o pt = sq. Mas isso acarreta que a . q t t q p s s u 3. ´ transitiva pois se e e ent˜o pt = sq e sv = tu. Logo pv a = uq, ou seja, q t t v p u . q v Exemplo 4.6.11 Sejam A o conjunto dos segmentos orientados do plano ou do espa¸o e c a rela¸˜o em A definida por u v ↔ u e v tˆm o mesmo m´dulo, mesma dire¸˜o e mesmo sentido. ca e o ca Observe que a rela¸˜o ca ´ de equivalˆncia. e e Ap´s os exemplos, vamos definir alguns termos. o Defini¸˜o 4.6.3 Sejam A um conjunto, ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a ∈ ca e A. O conjunto dos elementos de A que se relacionam com a ´ chamado Classe de e Equivalˆncia do elemento a e ser´ representado por [a] . Em s´mbolos: e a ı [a] = {b ∈ A|a b} .
  • 34. 32 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES Vejamos alguns exemplos Exemplo 4.6.12 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o de equivalˆncia definida em A ca e por = {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2) , (2, 1)} . Ent˜o: a 1. [1] = {1, 2} , 2. [2] = {1, 2} = [1] , 3. [3] = {3} , 4. [4] = {4} . Exemplo 4.6.13 No exemplo (4.6.8) observe que: 1. [0] = {..., −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, ...} , 2. [1] = {..., −14, −9, −4, 1, 6, 11, 16, ...} , 3. [2] = {..., −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, ...} , 4. [3] = {..., −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, ...} , 5. [4] = {..., −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, ...} , Vamos agora provar uma importante propriedade das classes de equivalˆncia e Teorema 4.6.1 Sejam A um conjunto, uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a, b ∈ A, ca e dois elementos quaisquer. As seguintes condi¸˜es sobre a e b s˜o equivalentes: co a 1. a b, 2. a ∈ [b] , 3. b ∈ [a] , 4. [a] = [b] . Demonstra¸˜o: ca (1)→(2) Suponha que a b. Ent˜o, pela defini¸ao de [b] , segue que a ∈ [b] . a c˜
  • 35. ¸˜ ˆ 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 33 (2)→(3) Suponha que a ∈ [b] . Ent˜o a b. Como a ´ sim´trica, temos que b a. Da´ e e ı, b ∈ [a] . (3)→(4) Suponha que b ∈ [a] e seja x ∈ [b] . Ent˜o temos que b a e x b. Como a ´ e sim´trica, segue que a b e b x. Pela transitividade de e segue que a x. Novamente usando a simetria de , segue que x a, e da´ x ∈ [a] . Logo [b] ⊆ [a] . Seja x ∈ [a] . ı Da´ x a. Como b ∈ [a] e ı ´ sim´trica, temos que x b, ou seja, x ∈ [b] . Portanto e e [a] ⊆ [b] . (4)→(1) Como ´ reflexiva, segue que a ∈ [a] = [b] . Portanto, a b. e O teorema anterior traz algumas interessantes conclus˜es: o Corol´rio 4.6.1 [a] = [b] ⇔ a b. a Corol´rio 4.6.2 [a] ∩ [b] = ∅ ⇒ [a] = [b] . a Defini¸˜o 4.6.4 Sejam A um conjunto e ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A. O con- ca e junto cujos elementos s˜o as classes de equivalˆncia de a e ´ chamado de Conjunto e Quociente da rela¸˜o ca e ´ representado por A/ . Em s´mbolos e ı A/ = {[a] |a ∈ A} . Vejamos alguns exemplos. Exemplo 4.6.14 No exemplo (4.6.8) temos A/ = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4]} . Exemplo 4.6.15 No exemplo (4.6.12) temos A/ = {[1] , [3] , [4]} . Observa¸˜o 4.6.1 Do Teorema (4.6.1) tiramos importantes conclus˜es acerca das classes ca o de equivalˆncia: e 1. Toda classe de equivalˆncia ´ n˜o vazia, isto ´, para todo a ∈ A, temos [a] = ∅, e e a e 2. Duas classes de equivalˆncia distintas s˜o disjuntas, isto ´, [a] = [b] ⇒ [a] ∩ [b] = ∅. e a e 3. A uni˜o de todas as classes de equivalˆncia ´ igual ao conjunto A, isto ´, a e e e a∈A [a] = A. Por causa das propriedades acima, diremos que o conjunto quociente de uma rela¸˜o de ca equivalˆncia e num conjunto A ´ uma parti¸˜o do conjunto A. e ca
  • 36. 34 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES Defini¸˜o 4.6.5 Seja A um conjunto n˜o vazio. Um subconjunto A ⊆ ℘ (A) ´ dito uma ca a e Parti¸˜o do conjunto A se satisfizer as seguintes condi¸˜es: ca co P1 - X = ∅ para todo X ∈ A, P2 - Quaisquer que sejam X, Y ∈ A, vale X = Y ⇒ X ∩ Y = ∅, P3 - X∈A = A. Exemplo 4.6.16 Seja A = {1, 2} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o: a ´ co a 1. A1 = {A} , 2. A2 = {{1} , {2}} . Exemplo 4.6.17 Seja A = {1, 2, 3} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o: a ´ co a 1. A1 = {A} , 2. A2 = {{1} , {2} , {3}} , 3. A3 = {{1} , {2, 3}} , 4. A4 = {{2} , {1, 3}} , 5. A5 = {{3} , {1, 2}} . Exemplo 4.6.18 Seja A = N e considere A = {A1 , A1 }, onde A1 = { naturais pares } e A2 = { naturais ´mpares } . Vemos que A ´ uma parti¸˜o de A. ı e ca Se tivermos definida em um conjunto A uma rela¸˜o de equivalˆncia ent˜o o conjunto ca e a quociente fornece uma parti¸˜o de A. Isso foi o que vimos anteriormente. O que provare- ca mos agora ´ que dada uma parti¸˜o de um conjunto A podemos definir uma rela¸ao de e ca c˜ equivalˆncia em A e o conjunto quociente desta rela¸ao ´ justamente a parti¸˜o dada. e c˜ e ca Teorema 4.6.2 Seja A um conjunto n˜o vazio e seja A uma parti¸˜o de A. Defina em a ca A a seguinte rela¸˜o ca x y ⇔ x, y pertencem ao mesmo conjunto da parti¸˜o. ca Ent˜o a ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e A/ e ca e = A.
  • 37. ¸˜ ˆ 4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 35 Demonstra¸˜o: Vejamos a reflexividade. Dado x ∈ A temos, pela defini¸ao de parti¸ao, ca c˜ c˜ que ele pertence a algum membro, digamos X de A. Da´ x x, portanto, ı ´ reflexiva. e Vejamos agora a simetria. Suponha que x y. Ent˜o x, y est˜o no mesmo membro da a a parti¸ao, ou seja, y x. Suponha agora que x y e que y z. Ent˜o x e y pertencem ao c˜ a mesmo membro da parti¸ao e y e z tamb´m. Como dois membros quaisquer da parti¸ao c˜ e c˜ n˜o se interceptam, segue que x e z pertencem ao mesmo membro da parti¸ao. Assim a c˜ ´ de equivalˆncia. Vamos provar agora a ultima afirma¸ao. Seja X ∈ A. Ent˜o dado e e ´ c˜ a x ∈ X, temos que [x] = X, portanto X ∈ A/ , ou seja A ⊆ A/ . Seja agora a ∈ A e considere a classe de equivalˆncia determinada por a. Ent˜o, pela defini¸˜o da rela¸ao e a ca c˜ , a classe de equivalˆncia [a] coincide com o conjunto ao qual a pertence. Logo, [a] ∈ A. e Portanto A/ ⊆ A. . Exemplo 4.6.19 Considere A o conjunto dos alunos de nossa sala de aula. Se agrupar- mos os alunos em conjuntos formados por alunos que nasceram no mesmo ano, teremos uma parti¸˜o do conjunto A. A rela¸˜o de equivalˆncia associada a essa parti¸˜o ´: o ca ca e ca e aluno x est´ relacionado com o aluno y quando x e y tiverem nascido no mesmo ano. a Exemplo 4.6.20 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {{1, 2}, {3, 5}, {4, 6, 7}}. Essa parti¸˜o de A induz uma rela¸˜o de equivalˆncia ca ca e em A dada por = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (6, 4), (6, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 6) Exemplo 4.6.21 Encontre as rela¸˜es de equivalˆncia associadas `s parti¸˜es dadas nos co e a co exemplos (4.6.16),(4.6.17) e (4.6.18).
  • 38. 36 CAP´ ¸˜ ITULO 4. RELACOES
  • 39. Cap´ ıtulo 5 Fun¸˜es co 5.1 Defini¸oes e nomenclatura c˜ Defini¸˜o 5.1.1 Sejam A e B conjuntos e f uma rela¸˜o de A em B. Diremos que f ´ ca ca e uma fun¸˜o de A em B se, para cada a ∈ A, existir um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. ca ´ Observa¸˜o 5.1.1 Se f ´ uma fun¸˜o de A em B usaremos a nota¸˜o f : A → B para ca e ca ca denotarmos isso. Exemplo 5.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . Nesse caso, f ´ uma fun¸˜o de A em B. e ca Exemplo 5.1.2 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e g = {(1, 5) , (2, 4) , (1, 6)} . Nesse caso, g n˜o ´ uma fun¸˜o de A em B pois n˜o existe b ∈ B de modo que (3, b) ∈ f. Al´m a e ca a e disso, temos (1, 5) ∈ f e (1, 6) ∈ f. Exemplo 5.1.3 Sejam C o conjunto das cidades, P o conjunto dos pa´ses e ı h = {(c, p) ∈ C × P | a cidade c est´ no pa´s p} . a ı Como cada cidade pertence a exatamente um pa´s, temos que h ´ uma fun¸˜o de C em ı e ca P. Exemplo 5.1.4 Sejam P o conjunto das pessoas e i = {(p, q) ∈ P × P | A pessoa p ´ genitor(a) da pess e Observe que como existem pessoas que n˜o s˜o genitores ent˜o i n˜o ´ fun¸˜o. Al´m do a a a a e ca e mais, existem pessoas que s˜o genitoras de mais de uma pessoa. a 37
  • 40. 38 CAP´ ¸˜ ITULO 5. FUNCOES Exemplo 5.1.5 Sejam P o conjunto das pessoas e seja d = {(p, x) ∈ P × ℘ (P ) |x ´ conjunto de todos os filhos de p} . e Nesse caso, d ´ uma fun¸˜o de P em ℘ (P ) . e ca Exemplo 5.1.6 Sejam A um conjunto n˜o-vazio e iA = {(a, a) ∈ A × A|a ∈ A} . Nesse a caso, iA ´ uma fun¸˜o de A em A conhecida como fun¸˜o identidade em A. e ca ca Exemplo 5.1.7 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |y = x2 } . Nesse caso temos que f ´ uma fun¸˜o de R em R, pois o dado x ∈ R, o seu quadrado assume apenas um valor. e ca Exemplo 5.1.8 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |x = y 2 } . Nesse caso temos que f n˜o ´ uma fun¸˜o de R em R. De fato, (1, 1) ∈ f e (1, −1) ∈ f. Al´m disso, n˜o existe a e ca e a b ∈ R tal que (−1, b) ∈ f, j´ que o quadrado de qualquer n´mero real ´ positivo. a u e Observa¸˜o 5.1.2 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Ent˜o dado a ∈ A, a ca ca a defini¸˜o de fun¸˜o atesta que existe um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. Este unico b ´ ca ca ´ ´ e chamado de Valor de f em a ou imagem de a por f ou resultado de aplicar f em a ou apenas f de a. Vamos represent´-lo de uma forma bem sugestiva, por f (a)) . a A rela¸˜o mais importante entre a e f (a) ´ ca e (a, b) ∈ f ⇔ b = f (a) . Observa¸˜o 5.1.3 Em geral uma fun¸˜o f : A → B ´ dada especificando um modo que ca ca e permita obter, de maneira unica f (a) a partir de a. Essa maneira pode ser atrav´s ´ e de • Uma F´rmula, como nos cursos de C´lculo, no ensino m´dio. o a e • Uma Tabela, como nas copiadoras, padarias, etc. • Um Gr´fico, como nos eletrocardiogramas. a Tanto ´ assim que temos a seguinte defini¸˜o alternativa de fun¸ao que tamb´m ´ bastante e ca c˜ e e utilizada, principalmente no ensino m´dio e na maioria dos cursos universit´rios. e a Defini¸˜o 5.1.2 Dados os conjuntos A e B, uma fun¸˜o de A em B (simbolizada por ca ca f : A → B) ´ uma regra (uma maneira, um modo, um procedimento) que permite associar e a cada elemento a ∈ A, um unico elemento do conjunto B. ´
  • 41. 5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS 39 Vejamos alguns exemplos: Exemplo 5.1.9 Sejam A o conjunto de todos os triˆngulos do plano, B = R e f a regra a que associa cada triˆngulo ` sua ´rea. Essa regra determina una fun¸˜o de f : A → B. a a a ca Exemplo 5.1.10 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano, ∆ o conjunto das retas desse mesmo plano e g a regra que associa cada segmento ` sua mediatriz (i.e. a a reta que passa pelo seu ponto m´dio e ´ perpendicular a ele). Essa regra determina uma e e fun¸˜o g : A → ∆. ca Exemplo 5.1.11 Sejam A = M2×2 (R), B = R e det a regra que associa cada matriz ao seu determinante. Essa regra determina uma fun¸˜o det : A → B. ca Exemplo 5.1.12 Sejam A = B = R e j a regra que associa cada n´mero x ao seu u quadrado x2 . Essa regra determina uma fun¸˜o j : A → B. ca Defini¸˜o 5.1.3 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. O conjunto A ´ chamado de ca ca e Dom´ ınio da fun¸˜o f e o conjunto B de Contra-dom´ ca ınio da fun¸˜o f . ca Defini¸˜o 5.1.4 Sejam f : A → B e g : A → B duas fun¸˜es. Diremos que elas s˜o ca co a iguais e representaremos isso por f = g, se f (a) = g (a) para todo a ∈ A. 5.2 Imagens diretas e inversas Defini¸˜o 5.2.1 Seja f : A → B uma fun¸˜o e P ⊆ A. A Imagem direta do con- ca ca junto P pela fun¸˜o f ´ o conjunto representado por f (P ) e definido por ca e f (P ) = {f (p) |p ∈ P } = {b ∈ B|b = f (p) para algum p ∈ P } . Em palavras, a imagem direta de um conjunto P por uma fun¸˜o f ´ o conjunto formado ca e pelos valores assumidos por f quando olhamos para a fun¸ao restrita ao conjunto P. c˜ Vejamos alguns exemplos: Exemplo 5.2.1 Sejam A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} e f : A → B dada por f (a) = 1, f (b) = 2 e f (c) = 1. Ent˜o: a • P = {a, b} ⇒ f (P ) = {f (a) , f (b)} = {1, 2} , • P = {b, c} ⇒ f (P ) = {f (b) , f (c)} = {2, 1} = {1, 2} ,