O documento discute tipos de provas matemáticas, incluindo provas diretas e provas por redução ao absurdo. Ele também aborda conjuntos, relações, funções, cardinais e ordinais.

1. Sum´rio
a
1 Tipos de Provas 3
1.1 introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca 3
1.2 Provas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Provas por redu¸ao ao absurdo
c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Conjuntos 9
2.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 9
2.2 Defini¸oes B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ a 10
2.3 Inclus˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 12
2.4 Opera¸oes com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 15
3 Fam´
ılias indexadas de conjuntos 21
4 Rela¸˜es
co 23
4.1 Pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Rela¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 25
4.4 Dom´
ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Rela¸ao Composta e Rela¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ 26
4.6 Rela¸oes de Equivalˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ e 29
5 Fun¸˜es
co 37
5.1 Defini¸oes e nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 37
5.2 Imagens diretas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Fun¸oes injetoras, sobrejetoras e bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 43
5.4 Fun¸ao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 44
5.5 Composi¸ao de Fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ c˜ 45
1

2. 2 ´
SUMARIO
6 Cardinais 47
6.1 Defini¸oes e alguns exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 47
6.2 N´meros Cardinais Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 49
6.3 N´meros cardinais infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 54
6.4 Mais exemplos de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u 60
6.5 Compara¸˜o de n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca u 63
6.6 Opera¸oes com n´meros cardinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ u 67
7 Ordinais 75
7.1 Introdu¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 75
7.2 Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.3 Conjuntos totalmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4 Um pouco mais de nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.5 Conjuntos Bem Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.6 Conjuntos semelhantes e tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.7 Opera¸oes com tipos ordinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c˜ 88

3. Matem´tica Elementar - Primeiro Semestre de 2012
a
19 de maio de 2012

4. 2 ´
SUMARIO

5. Cap´
ıtulo 1
Tipos de Provas
1.1 introdu¸˜o
ca
Uma das principais atividades dos matem´ticos ´ classificar como verdadeiras ou falsas
a e
as senten¸as que surgem em seu trabalho. A veracidade de uma senten¸a, em geral,
c c
´ obtida atrav´s de uma demonstra¸ao. Uma demonstra¸˜o s´ ´ considerada correta
e e c˜ ca o e
se todas as senten¸as usadas na sua constru¸˜o forem verdadeiras, ou admitidas como
c ca
verdadeiras em contextos anteriores. N˜o existem regras para se fazer uma demonstra¸ao.
a c˜
E nem poderiam mesmo existir, pois o mist´rio que envolve a sua elabora¸ao ´ um dos
e c˜ e
motores que faz da Matem´tica um organismo vivo. Segundo o matem´tico h´ngaro
a a u
Paul Erd¨s (1913-1996), Deus possuiria um livro no qual estariam guardadas as provas
o
mais perfeitas dos teoremas matem´ticos. Ainda segundo Erd¨s, vocˆ poderia at´ nem
a o e e
acreditar em Deus, mas como matem´tico deveria acreditar no Livro. Para o matem´tico
a a
inglˆs Goodfrey Hardy (1877-1947), o quesito beleza ´ fundamental. No mundo, para
e e
ele, n˜o haveria lugar para matem´tica feia. Depreende-se de sua afirma¸ao que, al´m da
a a c˜ e
busca pela verdade, pelo conhecimento da prova de um resultado, o matem´tico tamb´m
a e
persegue a beleza. Uma bela prova de um resultado dif´ ´ o sonho de todo matem´tico.
ıcil e a
1.2 Provas diretas
H´ basicamente dois tipos de demonstra¸oes: as que s˜o diretas e aquelas em que se
a c˜ a
recorre ao m´todo da redu¸ao ao absurdo. Em uma demonstra¸ao direta mostramos
e c˜ c˜
que, a partir das informa¸oes fornecida(s) pela(s) hip´tese(s), podemos concluir a tese.
c˜ o
Isso em geral ´ obtido atrav´s de rela¸oes entre os fatos que est˜o sendo admitidos na(s)
e e c˜ a
3

6. 4 CAP´
ITULO 1. TIPOS DE PROVAS
hip´tese(s) e fatos que s˜o conhecidos previamente. Veremos nos exemplos a seguir alguns
o a
exemplos desse tipo de demonstra¸ao.
c˜
1. Imagine a seguinte afirma¸ao: Se um aluno est´ matriculado na turma de Matem´tica
c˜ a a
Elementar ent˜o ele ´ paraibano. Essa afirma¸˜o ´ falsa pois temos alunos na
a e ca e
turma que nasceram em outros estados. Basta um aluno que satisfa¸a a hip´tese
c o
dessa afirma¸ao mas que n˜o satisfa¸a a tese dessa afirma¸ao para torn´-la falsa.
c˜ a c c˜ a
Agora analisemos a outra afirma¸˜o: Se um aluno est´ matriculado na turma de
ca a
Matem´tica Elementar ent˜o ele ´ brasileiro. Como n˜o temos alunos estrangeiros
a a e a
matriculados no curso, somos levados a concluir que todos s˜o brasileiros. Tamb´m
a e
poder´
ıamos ter perguntado, aluno por aluno, qual a sua nacionalidade e ver´
ıamos
que todos s˜o brasileiros. Isso ´ uma demonstra¸ao direta desse fato.
a e c˜
2. Se m e n s˜o n´meros pares ent˜o a soma m + n ´ um n´mero par. Vamos
a u a e u
demonstrar esse fato. Em primeiro lugar, vamos identificar claramente o nosso
objetivo. Queremos provar que um certo n´mero ´ par. Muito bem! Mas o que
u e
siginfica um n´mero ser par? Aqui precisamos recordar a defini¸ao. Um n´mero
u c˜ u
inteiro b ser´ chamado par se puder ser escrito na forma b = 2a, onde a ´ um
a e
n´mero inteiro. A senten¸a que assumimos como verdadeira ´ que m e n s˜o
u c e a
n´meros inteiros pares. Isso quer dizer que m = 2p e que n = 2q, com p e q sendo
u
inteiros. Portanto, m + n = 2p + 2q = 2 (p + q) , pela propriedade distributiva da
multiplica¸˜o com rela¸ao ` adi¸ao. Como p + q tamb´m ´ um n´mero inteiro,
ca c˜ a c˜ e e u
podemos cham´-lo de r. Da´ temos que m + n = 2r, o que comprova ser m + n um
a ı,
n´mero par.
u
3. Se n ´ um n´mero inteiro ent˜o n2 +n ´ um n´mero inteiro par. Inicialmente vamos
e u a e u
supor que n seja um inteiro par. Ent˜o n = 2k, onde k ´ um inteiro. Portanto,
a e
n2 + n = (2k)2 + 2k = 4k 2 + 2k = 2k (2k + 1) = 2m,
onde m = k (2k + 1) , de modo que n2 + n ´ par.
e
Suponhamos agora que n ´ ´
e ımpar. Ent˜o n = 2k +1, onde k ´ um inteiro. Portanto,
a e
n2 + n = (2k + 1)2 + (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 + 2k + 1 = 2 2k 2 + 3k + 1 = 2m,
onde m = 2k 2 + 3k + 1, de modo que n2 + n ´ par, tamb´m nesse caso.
e e
x y
4. Seja M = uma matriz triangular superior 2 × 2 e suponha que x, y e z
0 z
s˜o inteiros. Vamos demonstrar que as seguintes afirma¸oes s˜o equivalentes.
a c˜ a

7. ¸˜
1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 5
(a) det M = 1,
(b) x = z = ±1,
(c) x + z = ±2 e x = z.
O que se afirma nesse resultado ´ que a ↔ b, a ↔ c, b ↔ c. Para isso, dever´
e ıamos
provar que a → b, b → a, a → c, c → a, b → c e c → b. Na pr´tica n˜o fazemos
a a
assim. A id´ia ´ usar uma certa transitividade que existe nas implica¸oes e provar,
e e c˜
por exemplo, que a → b → c → a. Poder´
ıamos provar tamb´m que a → c, c → b e
e
que b → a. Tamb´m poder´
e ıamos, alternativamente, provar que a → c, c → a, a → b
e b → a. O que ´ fundamental na escolha da seq¨ˆncia ´ que ela traduza o fato de
e ue e
que as senten¸as sejam equivalentes entre si.
c
Vejamos ent˜o a prova de que a → b, b → c e c → a.
a
Vamos provar que a → b. Suponha que det M = 1. Da´ temos que xz = 1. Como
ı,
x e z s˜o n´meros inteiros, devemos ter x = 1 = z ou x = −1 = z.
a u
Provemos agora que b → c. Suponha que x = z = ±1. Primeiro vamos supor que
x = z = 1. Ent˜o x + z = 2. Suponhamos agora que x = z = −1. Ent˜o x + z = −2.
a a
Da´ x = z e x + z = ±2.
ı
Provemos agora que c → a. Como x + z = ±2, devemos ter (x + z)2 = 4. Assim,
x2 + 2xz + z 2 = 4. Como x = z, devemos ter x2 = z 2 . Dessa forma, 4 = 4xz, ou
seja, xz = 1. Como det M = xz, conclu´
ımos que det M = 1.
1.3 Provas por redu¸˜o ao absurdo
ca
Vejamos agora como se processa uma demonstra¸ao por redu¸ao ao absurdo ou por
c˜ c˜
contradi¸˜o. Vamos supor que estamos interessados em provar um determinado fato.
ca
Se n˜o soubermos como fazˆ-lo diretamente, como nos exemplos acima, ent˜o podemos
a e a
supor que tal fato n˜o ocorra. Usamos ent˜o a hip´tese - que ´ admitida como verdadeira
a a o e
- e essa informa¸ao adicional, a nega¸ao do que se est´ tentando demonstrar. Atrav´s
c˜ c˜ a e
de uma sucess˜o de argumentos usando fatos conhecidos e esses fatos novos, chega-se a
a
algo contradit´rio, absurdo, como por exemplo a nega¸˜o da hip´tese ou a viola¸˜o de
o ca o ca
uma verdade anteriormente aceita. Veremos a seguir trˆs exemplos de demonstra¸oes por
e c˜
redu¸ao ao absurdo.
c˜
1. Se m2 ´ um n´mero par, vamos demonstrar que m ´ um n´mero par. Vamos negar
e u e u
a tese, isto ´, supor tamb´m que n seja ´
e e ımpar. Aqui precisamos da defini¸ao. Um
c˜

8. 6 CAP´
ITULO 1. TIPOS DE PROVAS
n´mero inteiro b ´ dito ´
u e ımpar quando ele puder ser escrito na forma b = 2a+1, sendo
a um n´mero inteiro. Assim, assumindo que m ´ ´
u e ımpar, temos que m = 2a + 1,
para algum inteiro a. Logo,
m2 = 4a2 + 4a + 1 = 2 2a2 + a + 1.
Mas 2a2 + a ´ um inteiro. Chamando-o de p, temos que m2 = 2p + 1, ou seja,
e
m2 ´ um n´mero ´
e u ımpar. Mas a hip´tese era de que m2 era par. Logo isso que
o
obtivemos ´ uma contradi¸˜o, um absurdo. E de onde veio esse absurdo? Veio do
e ca
fato de supormos que m era ´
ımpar. Logo, ele n˜o pode ser ´
a ımpar e portanto ser´
a
necessariamente par.
2. Vamos provar que o n´mero log10 3 ´ irracional. Aqui cabe uma pergunta: o que
u e
´ um n´mero irracional? Uma resposta meio evasiva poderia ser: um n´mero
e u u
irracional aquele que n˜o ´ racional. E um n´mero racional ´ aquele que pode ser
a e u e
m
escrito na forma n
, com m e n sendo n´meros inteiros e n = 0. Portanto, vamos
u
supor que log10 3 seja racional, isto ´ o mesmo que dizer que existem n´meros
e u
m
inteiros m, n tais que log10 3 = n
. Usando as propriedades dos logar´
ıtmos, temos
m
10 n = 3. Elevando ambos os membros a n, temos 10m = 3n . Nessa igualdade temos
algo impossvel de acontecer, pois o n´mero 10m ´ par, enquanto que o n´mero 3n
u e u
´´
e ımpar. Esse absurdo veio de supormos que o n´mero log3 10 era racional. Como
u
s´ existem duas possibilidades para ele e, ele n˜o pode ser racinal, ele s´ pode ser
o a o
irracional.
3. Vamos mostrar que n˜o existem n´meros inteiros ´
a u ımpares a, b, c, d, e, f tais que:
1 1 1 1 1 1
+ + + + + = 1.
a b c d e f
Suponhamos, por absurdo, que existam os tais n´meros. Ent˜o usando as pro-
u a
priedades de soma de fra¸oes, temos que:
c˜
bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde
= 1,
abcdef
ou seja,
bcdef + acdef + abdef + abcef + abcdf + abcde = abcdef.
Agora vamos olhar para os dois lados dessa igualdade. Do lado esquerdo cada
parcela ´ um n´mero ´
e u ımpar, pois ´ igual a um produto de n´meros ´
e u ımpares. Como

9. ¸˜
1.3. PROVAS POR REDUCAO AO ABSURDO 7
s˜o seis parcelas, a sua soma resultar´ num n´mero par. Do lado direito, temos
a a u
um produto de n´meros ´
u ımpares, cujo resultado ´ um n´mero ´
e u ımpar. Aqui temos
uma contradi¸ao: um n´mero que ´ ao mesmo tempo par e ´
c˜ u e ımpar. Como essa
contradi¸˜o surgiu? Surgiu do fato de termos afirmado a existˆncia dos n´meros
ca e u
´
ımpares satisfazendo aquela propriedade. Portanto, os tais n´meros n˜o existem.
u a
√ √
4. Vamos mostrar que 2 ´ um n´mero irracional. Negar que
e u 2 seja um n´mero
u
irracional ´ dizer que ele ´ racional. Sendo ent˜o ele racional, existem m e n in-
e e a
√
teiros tais que 2 = m . Esse ser´ o ponto de partida que nos conduzir´ a uma
a a
√n
contradi¸˜o. Como 2 = m , podemos supor que os fatores comuns de m e de n
ca n
j´ foram cancelados. Isso ´ absolutamente plaus´
a e ıvel, uma vez que estamos lidando
com fra¸˜es. Vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Feito isso, teremos
co
m2
2= n2
, ou seja, m2 = 2n2 . Essa ultima igualdade nos diz que m2 ´ par. Como
´ e
vimos acima, isso acarreta que m tamb´m ´ par, ou seja, m = 2p, para algum
e e
inteiro p. De volta aquela igualdade, vemos que m2 = 4p2 = 2n2 , ou seja, 2p2 = n2 ,
`
o que acarreta que n2 ´ par e pelo mesmo motivo, n ´ par. Agora vemos que tanto
e e
m como n s˜o ambos pares, ou seja possuem um fator primo em comum. Mas isso
a
√
est´ em contradi¸˜o a nossa hip´tese. Logo, 2 n˜o pode ser racional, ou seja, ele
a ca ` o a
´ irracional.
e
5. Sejam m e n inteiros. Vamos provar que mn ´ ´
e ımpar se e somente se ambos m e n
s˜o ´
a ımpares. Como se trata de uma equivalˆncia, ´ interessante identificarmos as
e e
duas senten¸as que a comp˜em. Uma delas diz que: se m e n s˜o ´
c o a ımpares ent˜o
a
mn ´ um n´mero ´
e u ımpar. A outra diz que: se mn ´ ´
e ımpar ent˜o m e n s˜o ´
a a ımpares.
Comecemos pela primeira delas. Suponhamos que m e n sejam ´
ımpares. Ent˜o
a
m = 2p + 1 e n = 2q + 1, onde p e q s˜o n´meros inteiros. Agora note que
a u
mn = (2p + 1) (2q + 1) = 4pq + 2p + 2q + 1 = 2 (2pq + p + q) + 1 = 2r + 1,
onde r = 2pq + p + q. Da´ podemos concluir que mn ´ um n´mero ´
ı e u ımpar.
Suponhamos agora que o produto mn ´ ´
e ımpar. Vamos supor, por absurdo, que pelo
menos um deles - m ou n - ´ par. Digamos que m seja par (se fosse n o racioc´
e ınio
seria an´logo). Ent˜o m = 2k, onde k ´ um n´mero inteiro. Logo
a a e u
mn = 2kn = 2r,
onde r = kn. Assim, mn ´ um n´mero par. Mas isso ´ uma contradi¸ao, pois
e u e c˜

10. 8 CAP´
ITULO 1. TIPOS DE PROVAS
estamos supondo que o produto ´ ´
e ımpar. Logo, nenhum dos dois - m e n - pode
ser par, donde ambos s˜o ´
a ımpares, como quer´
ıamos.

11. Cap´
ıtulo 2
Conjuntos
2.1 Introdu¸˜o
ca
O termo conjunto n˜o ser´ definido. Para n´s ele ser´ um sinˆnimo de cole¸ao ou
a a o a o c˜
agrupamento de objetos. Esses objetos ser˜o chamados os seus elementos. A natureza
a
dos elementos de um conjunto pode ser bastante diversa. Podemos ter conjuntos de
canetas, cores, bolas, n´meros, fun¸oes, matrizes, etc. Um dos pioneiros no estudo
u c˜
dos conjuntos foi o matem´tico alem˜o Georg Cantor (1845-1918) que fez relevantes
a a
contribui¸˜es ` Teoria dos Conjuntos quando estava estudando s´ries trigonom´tricas.
co a e e
9

12. 10 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Observa¸˜o 2.1.1 O ponto de vista aqui usado ´ chamado de ingˆnuo, pois n˜o se
ca e e a
faz uso de axiomas para construir uma teoria. O outro ponto de vista ´ o axiom´tico,
e a
onde se enunciam axiomas para se construir de modo rigoroso toda a teoria. Dentre os
modos axiom´ticos de tratar a teoria dos conjuntos, destacamos o modelo axiom´tico de
a a
Zermelo-Fraenkel desenvolvido pelos matem´ticos Ernest Zermelo (1871-1953) e Adolf
a
Fraenkel (1891-1965).
2.2 Defini¸oes B´sicas
c˜ a
Introduziremos agora uma s´rie de termos e defini¸oes que encontraremos pela frente no
e c˜
decorrer do curso. Sejam A um conjunto e a um objeto. Se a for um elemento de A
escreveremos a ∈ A para simbolizar esse fato. Caso o elemento a n˜o seja um elemento
a
de A, escreveremos a ∈ A, para simbolizar isso.
Para repesentarmos um conjunto podemos escrever todos seus elementos entre chaves,
quando isso for poss´
ıvel. Tamb´m podemos descrever um conjunto por uma propriedade
e
comum que todos os seus elementos possuam. Uma outra representa¸˜o muito util dos
ca ´
conjuntos ´ feita atrav´s dos chamados Diagramas de Venn criados pelo l´gico inglˆs
e e o e
John Venn (1834-1923). Um Diagrama de Venn ´ uma curva fechada no plano, tendo
e

13. ¸˜ ´
2.2. DEFINICOES BASICAS 11
em seu interior os elementos do conjunto, conforme o conjunto da figura a seguir. No
conjunto M est˜o representadas as vogais.
a
Vamos discutir agora alguns exemplos.
Exemplo 2.2.1 Seja A o conjunto das letras da palavra Atordoado. Ent˜o podemos
a
escrever simplesmente
A = {a, t, o, r, d} .
Exemplo 2.2.2 Existem quatro conjuntos num´ricos que estudamos desde os primeiros
e
anos na escola. S˜o eles o conjunto dos n´meros naturais, representado por
a u
N = {1, 2, 3, ...} .
O conjuntos dos n´meros inteiros, representado por
u
Z = {... − 2, −1, 0, 1, 2, ...} .
O conjunto dos n´meros racionais, representado por
u
m
Q= ; m, n ∈ Z com n = 0 .
n
E finalmente o conjunto dos n´meros reais, simplesmente representado por R.
u
Exemplo 2.2.3 Seja A o conjunto dos n´meros reais maiores ou iguais a 2. Evident-
u
mente n˜o podemos listar todos os elementos de A como foi feito no exemplo precedente.
a
Por´m, podemos escrever
e
A = {x ∈ R; x ≥ 2} .

14. 12 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Na nota¸˜o acima utilizamos a propriedade comum aos elementos de A para, ao inv´s
ca e
de listar os seus elementos, darmos um crit´rio de quando um elemento pertence ou n˜o
e a
ao dito conjunto. Mais especificamente: para que um n´mero real perten¸a ao conjunto
u c
A, ´ preciso que ele seja maior que ou igual a 2.
e
Observa¸˜o 2.2.1 Existe um conjunto muito importante em Matem´tica que ´ o con-
ca a e
junto que n˜o possui elemento algum. Este conjunto ser´ chamado de conjunto vazio
a a
e ser´ representado por ∅ que ´ uma letra do alfabeto norueguˆs. Podemos descrever
a e e
o conjunto vazio atrav´s de uma propriedade que n˜o ´ satisfeita por qualquer objeto.
e a e
Por exemplo, o conjunto {x ∈ R; x > x + 1} ´ vazio, uma vez que essa propriedade n˜o
e a
´ satisfeita por nenhum n´mero real.
e u
2.3 Inclus˜o
a
Uma importante rela¸˜o entre conjuntos ´ a rela¸˜o de inclus˜o que veremos a seguir.
ca e ca a
Dados dois conjuntos A e B, diremos que A ´ um subconjunto de B se todo elemento
e
ımbolo A ⊆ B para denotar este fato.
de A for tamb´m elemento de B. Usaremos o s´
e
Simbolicamente podemos escrever:
A ⊆ B quando (∀x) (x ∈ A → x ∈ B )
Uma maneira de visualizar a inclus˜o de conjuntos utilizando os diagramas de Venn est´
a a
mostrada abaixo. Na figura temos A ⊂ B.

15. ˜
2.3. INCLUSAO 13
Quando A n˜o for um subconjunto de B, simbolizaremos isso por A ⊆ B. Isso siginifica
a
que existe pelo menos um elemento de A que n˜o pertence a B.
a
Observa¸˜o 2.3.1 Existem na literatura outros termos que tamb´m significam que A ´
ca e e
um subconjunto de B. Diz-se tamb´m que A est´ contido em B, que A ´ uma parte
e a e
de B, que B ´ um superconjunto de A, ou que B cont´m A.
e e
Observa¸˜o 2.3.2 A nota¸˜o A ⊂ B, no nosso curso indicar´ o fato de que A ´ um
ca ca a e
subconjunto de B mas que ´ diferente dele. Diz-se nesse caso que A ´ um subconjunto
e e
pr´prio de B.
o
ca ´
Observa¸˜o 2.3.3 E preciso ter bastante cuidado no uso dos s´mbolos ∈ e ⊆ . Em alguns
ı
casos um conjunto pode ser, ele mesmo, elemento de um outro conjunto.
Veremos agora alguns exemplos.
Exemplo 2.3.1 Sejam A e B conjuntos dados respectivamente por A = {1, 3} e B =
{1, 2, 3, 4} . Temos que A ⊂ B e que B ⊆ A.
Exemplo 2.3.2 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} . Nesse caso n˜o temos nem A ⊆ B
a
nem B ⊆ A.
Exemplo 2.3.3 Seja A = {a, b, c} . As afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas ver-
co a
dadeiras. Agora, se A = {{a} , b, c} , ent˜o as afirma¸˜es a ∈ A e {a} ⊆ A s˜o ambas
a co a
falsas.
Veremos agora algumas propriedades da inclus˜o de conjuntos.
a
Teorema 2.3.1 Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o valem as seguintes propriedades:
a a
(i) A ⊆ A,
(ii) ∅ ⊆ A,
(iii) Se A ⊆ B e B ⊆ C, ent˜o A ⊆ C,
a
Demonstra¸˜o: A primeira propriedade decorre imediatamente da defini¸ao de in-
ca c˜
clus˜o.
a
Provemos a segunda. Ela equivale a provar que se a ∈ ∅ ent˜o a ∈ A. Como uma
a
implica¸ao deste tipo ser´ sempre verdadeira, uma vez que a hip´tese nunca acontece,
c˜ a o

16. 14 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
somos levados a concluir que vale a propriedade (ii).
Para mostrar que A ⊆ C, devemos mostrar que, dado a ∈ A, temos que a ∈ C. Ora, mas
dado a ∈ A, segue que a ∈ B, por hip´tese e, tamb´m por hip´tese, segue que a ∈ C,
o e o
como quer´
ıamos.
Surge agora uma importante pergunta: Quando dois conjuntos s˜o iguais? A resposta
a
mais simples ´ dizer que eles s˜o iguais quando tiverem os mesmos elementos. Para os
e a
nossos prop´sitos usaremos uma defini¸ao que ´ bem mais f´cil de se trabalhar que ´ a
o c˜ e a e
seguinte: Dados dois conjuntos A e B diremos que ele s˜o iguais e representamos isso
a
por A = B, se A ⊆ B e B ⊆ A.
Exemplo 2.3.4 Os conjuntos A = {a, t, o, r, d} e B = { letras da palavra atordoado }
s˜o iguais.
a
Exemplo 2.3.5 Os conjuntos A = {x ∈ R|x2 − 5x + 6 < 0} e B = {x ∈ R|2 < x < 3}
s˜o iguais. De fato, seja x ∈ A. Assim, x2 −5x+6 < 0. Mas x2 −5x+6 = (x − 2) (x − 3) .
a
Assim, se x ∈ A, ent˜o (x − 2) (x − 3) < 0. Portanto, devemos ter
a
1. (x − 2) > 0 e (x − 3) < 0 ou
2. (x − 2) < 0 e (x − 3) > 0.
No primeiro caso, devemos ter x > 2 e x < 3, ou seja, 2 < x < 3. No segundo caso,
devemos ter x − 2 < 0 e x − 3 > 0. Como n˜o existem n´meros satisfazendo as essas duas
a u
condi¸˜es simultaneamente, esse caso n˜o pode ocorrer. Logo, devemos ter 2 < x < 3,
co a
ou seja, x ∈ B.
Seja x ∈ B. Ent˜o x − 2 > 0 e x − 3 < 0, donde x2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3) < 0, ou
a
seja, x ∈ A.
Observa¸˜o 2.3.4 A defini¸˜o de igualdade entre conjuntos possui interessantes pro-
ca ca
priedades, a saber: Se A, B e C s˜o conjuntos ent˜o vale o seguinte
a a
1. A = A,
2. se A = B ent˜o B = A,
a
3. se A = B e B = C ent˜o A = C.
a

17. ¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 15
Como vimos anteriormente, um conjunto pode ser elemento de um outro conjunto. Vamos
nos aprofundar um pouco mais nessa id´ia e definirmos um importante conjunto cujos
e
elementos s˜o conjuntos. Seja A um conjunto. Definimos o Conjunto das Partes de A
a
como sendo o conjunto cujos elementos s˜o os subconjuntos de A. Vamos represent´-lo
a a
por ℘ (A) . Em s´
ımbolos:
℘ (A) = {X|X ⊆ A} .
Exemplo 2.3.6 Se A = {a} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a}} .
a
Exemplo 2.3.7 Se A = ∅, ent˜o ℘ (∅) = {∅} .
a
Exemplo 2.3.8 Se A = {a, b} ent˜o ℘ (A) = {∅, {a} , {b} , {a, b}} .
a
Observa¸˜o 2.3.5 O conjunto ℘ (A) nunca ´ vazio pois o conjunto vazio ´ subconjunto
ca e e
de todo conjunto.
Observa¸˜o 2.3.6 Se o conjunto A tiver n elementos ent˜o o conjunto ℘ (A) ter´ 2n
ca a a
elementos. N˜o vamos provar isso agora. Primeiro vamos entender o que significa ter
a
n elementos. Isso ficar´ para breve quando estivermos falando de conjuntos finitos e
a
infinitos.
2.4 Opera¸˜es com conjuntos
co
A nossa id´ia agora ´ formar novos conjuntos a partir de outros. A forma¸˜o desses novos
e e ca
conjuntos usar´ fortemente os termos e, ou e n˜o vistos na disciplina de Argumenta¸ao
a a c˜
em Matem´tica.
a
Sejam A e B conjuntos. A uni˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que pertencem a
a e
pelo menos um dos dois conjuntos A ou B. Vamos represent´-la por A ∪ B. Em s´
a ımbolos
temos
A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Em outras palavras, o conjunto A ∪ B ´ o conjunto contendo todos os elementos que
e
est˜o em A, em B ou em ambos. Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∪ B
a c˜
em um diagrama de Venn. Nessa figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U
a
denominado Conjunto Universo.

18. 16 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Sejam A e B conjuntos. A interse¸˜o de A e B ´ o conjunto dos elementos que
ca e
pertencem a ambos os conjuntos A e B. Vamos represent´-la por A ∩ B. Em s´
a ımbolos
temos
A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Na figura a seguir temos uma representa¸ao de A ∩ B em um diagrama de Venn. Nessa
c˜
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo.
a
Exemplo 2.4.1 Sejam A = {x, y, z, p} e B = {x, q} . Ent˜o A ∪ B = {x, y, z, p, q} e
a
A ∩ B = {x} .
Exemplo 2.4.2 Sejam A = {p ∈ N|p ´ um n´mero par} e B = {p ∈ N|p ´ um n´mero ´
e u e u ımpar} .
Ent˜o A ∪ B = N e A ∩ B = ∅.
a
Observa¸˜o 2.4.1 Vemos imediatamente da defini¸˜o que A, B ⊆ A ∪ B e que A ∩ B ⊆
ca ca
A, B.
Observa¸˜o 2.4.2 Se A e B s˜o conjuntos tais que A ∩ B = ∅, diremos que A e B s˜o
ca a a
Conjuntos disjuntos.

19. ¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 17
Reuniremos no Teorema a seguir as principais propriedades das Uni˜o e da Interse¸ao de
a c˜
conjuntos:
Teorema 2.4.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades:
a
1. Se X ⊆ A e X ⊆ B ent˜o X ⊆ A ∩ B,
a
2. Se A ⊆ Y e B ⊆ Y ent˜o A ∪ B ⊆ Y,
a
3. Comutatividade A ∪ B = B ∪ A, e A ∩ B = B ∩ A,
4. Associatividade (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) , e (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ,
5. Distributividade A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩
(A ∪ C)
6. Identidade A ∪ ∅ = A e A ∩ ∅ = ∅,
7. Idempotˆncia A ∪ A = A e A ∩ A = A,
e
8. Absor¸˜o Se A ⊆ B ent˜o A ∪ B = B e A ∩ B = A,
ca a
9. Monotonicidade Se A ⊆ B ent˜o A ∪ C ⊆ B ∪ C e A ∩ C ⊆ B ∩ C.
a
Demonstra¸˜o: Todas as propriedades decorrem das defini¸˜es. Vamos provar uma
ca co
das igualdades da propriedade (5), ficando outra igualdade e as demais como exerc´
ıcio
para o leitor. Seja x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Ent˜o x ∈ A e x ∈ B ∪ C. Assim, x ∈ B ou
a
x ∈ C. No primeiro caso, temos que x ∈ A ∩ B, enquanto que no segundo, temos que
x ∈ A ∩ C. Em qualquer dos casos teremos ent˜o x ∈ (A ∩ B) ou x ∈ (A ∩ C) , ou seja,
a
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , provando que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Seja agora
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) . Ent˜o x ∈ A ∩ B ou x ∈ A ∩ C. No primeiro caso, temos que
a
x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ B, segue que x ∈ B ∪ C. Portanto, do primeiro caso, con-
ımos que x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Por um racioc´
clu´ ınio totalmente an´logo conclu´
a ımos que,
ocorrendo o segundo caso, teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) . Portanto, em qualquer dos casos
teremos x ∈ A ∩ (B ∪ C) , mostrando que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C) . Portanto,
a igualdade est´ provada.
a
Observa¸˜o 2.4.3 Os adjetivos dados a algumas das propriedades acima vˆm dos mes-
ca e
mos adjetivos dados a propriedades an´logas que os n´meros e as opera¸˜es com eles
a u co

20. 18 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
definidas possuem. Apenas a t´tulo de curiosidade, vamos atentar para a propriedade
ı
distributiva do produto com rela¸˜o ` adi¸˜o que nos diz que se x, y e z s˜o n´meros
ca a ca a u
reais, ent˜o
a
x · (y + z) = x · y + x · z.
Perceba a analogia existente entre essa propriedade e aquela que ´ v´lida para conjuntos.
e a
Sejam A e B conjuntos. A Diferen¸a entre A e B ´ o conjunto dos elementos que
c e
pertencem ao conjunto A mas que n˜o pertencem ao conjunto B. Vamos represent´-la
a a
por A − B. Em s´
ımbolos temos
A − B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A − B em um diagrama de Venn. Nessa
ca
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U denominado Conjunto Universo.
a
Exemplo 2.4.3 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Ent˜o A − B =
a
{1, 2, 3} . Tamb´m vemos que B − A = {7, 8, 9, 10} .
e
Exemplo 2.4.4 Se A = N e B = {x ∈ N|x > 10} . Ent˜o A−B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
a
Nesse caso, B − A = ∅, uma vez que B ⊂ A.
Vejamos agora as principais propriedades da diferen¸a de conjuntos.
c
Teorema 2.4.2 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as seguintes propriedades:
a
1. A − B ⊆ A,
2. (A − B) ∩ B = ∅,
3. A − B = ∅ ↔ A ⊆ B,

21. ¸˜
2.4. OPERACOES COM CONJUNTOS 19
4. Se A ⊆ B, ent˜o A − C = A ∩ (B − C) ,
a
5. Se A ⊆ B, ent˜o C − B ⊆ C − A,
a
6. C − (A ∪ B) = (C − A) ∩ (C − B) e C − (A ∩ B) = (C − A) ∪ (C − B) ,
Demonstra¸˜o: Vamos provar apenas uma das igualdades da parte (6), deixando a
ca
outra e as demais propriedades como exerc´ para o leitor. Seja x ∈ C −(A ∪ B) . Ent˜o
ıcio a
x ∈ C e x ∈ A∪B. Assim conclu´
ımos que x ∈ A e x ∈ B. Como x ∈ C e x ∈ A, temos que
x ∈ (C − A) . Analogamente, x ∈ C e x ∈ B, da´ x ∈ (C − A) ∩ (C − B) , acarretando
ı,
que C − (A ∪ B) ⊆ (C − A) ∩ (C − B) . Suponha agora que x ∈ (C − A) ∩ (C − B) .
ımos que x ∈ C − A e que x ∈ C − B. Logo, x ∈ C e x ∈ A e x ∈ B. Assim,
Conclu´
x ∈ C −(A ∪ B) . Isso acarreta que (C − A)∩(C − B) ⊂ C −(A ∪ B) , donde a igualdade
est´ provada.
a
Observa¸˜o 2.4.4 A propriedade (6) ´ conhecida como as Leis de De Morgan, em
ca e
homenagem ao matem´tico Augustus de Morgan.
a
A existˆncia de um conjunto de todos os conjuntos, ou um conjunto universo leva a
e
algumas contradi¸oes na Teoria dos Conjuntos. Entretanto, tomando-se o devido cuidado,
c˜
podemos assumir essa hip´tese sem problemas. Faremos isso a seguir para definirmos
o
um importante conjunto. Suponha que U seja um conjunto universo e que A ⊆ U. O
Complementar de A com rela¸˜o a U ´ o conjunto U − A. Vamos represent´-lo por
ca e a
A . Na figura a seguir temos uma representa¸˜o de A em um diagrama de Venn. Nessa
ca
figura A e B est˜o contidos num conjunto maior U .
a
Supondo que A e B estejam contidos em um conjunto universo U, podemos dar algumas
propriedades dos complementares:

22. 20 CAP´
ITULO 2. CONJUNTOS
Teorema 2.4.3 Sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo U. Ent˜o valem as
a
seguintes propriedades:
1. A − B = A ∩ B ,
2. (A ) = A,
3. ∅ = U e U = ∅,
4. A ∩ A = ∅ e A ∪ A = U,
5. A ⊆ B ↔ B ⊆ A ,
6. (A ∪ B) = A ∩ B ,
7. (A ∩ B) = A ∪ B .
Demonstra¸˜o: A demonstra¸˜o ´ feita usando as defini¸˜es e o Teorema (2.4.2). Deix-
ca ca e co
amos para o leitor como exerc´
ıcio.

23. Cap´
ıtulo 3
Fam´
ılias indexadas de conjuntos
Vamos supor que I seja um conjunto n˜o-vazio e que, a cada i ∈ I, esteja associado um
a
conjunto Ai . O conjunto F cujos elementos s˜o os conjuntos Ai ´ chamado de Fam´
a e ılia
de conjuntos indexada pelo conjunto I. O conjunto I ´ chamado de Conjunto de
e
ındices. Em geral usa-se a nota¸ao {Ai }i∈I para se representar a fam´ F. Uma outra
´ c˜ ılia
nota¸ao ´ F = {Ai |i ∈ I} .
c˜ e
Se F ´ uma fam´ indexada por I, diremos que A ∈ F se existir i ∈ I de tal modo que
e ılia
A = Ai .
Exemplo 3.0.5 A fam´lia A1 = {1, 2} , A2 = {2, 4} , ..., An = {n, 2n} , ... ´ uma fam´lia
ı e ı
de conjuntos indexada pelo conjunto N.
Exemplo 3.0.6 A fam´lia A∂ = ∅, A = N, A∞ = Z, A = Q e A = R ´ uma fam´lia
ı e ı
indexada pelo conjunto I = {∂, , ∞, , } .
Veremos agora como definir a uni˜o e a interse¸˜o de elementos em uma fam´
a ca ılia. Seja F
uma fam´ indexada pelo conjunto I. Definimos a Uni˜o dos conjuntos de F como
ılia a
sendo o conjunto
Ai = {x|x ∈ Ai , para algum i ∈ I} .
i∈I
A Interse¸˜o dos conjuntos de F ´ o conjunto
ca e
Ai = {x|x ∈ Ai , para todo i ∈ I} .
i∈I
Exemplo 3.0.7 Seja F = {[−n, n] |n ∈ N} . Ent˜o
a
An = R
n∈N
21

24. 22 CAP´
ITULO 3. FAM´
ILIAS INDEXADAS DE CONJUNTOS
e
An = [−1, 1] .
n∈N
Exemplo 3.0.8 Para cada n ∈ N, considere a fam´lia
ı
1 1
F= − , |n ∈ N .
n n
Ent˜o
a n∈N Cn = [−1, 1] e n∈N Cn = {0} .
Reuniremos agora no Teorema abaixo as principais propriedades de uni˜es, interse¸oes e
o c˜
diferen¸as entre fam´
c ılias de conjuntos:
Teorema 3.0.4 Sejam I um conjunto n˜o-vazio, {Ai }i∈I uma fam´lia de conjuntos in-
a ı
dexada por I, e B um conjunto. Ent˜o:
a
1. i∈I Ai ⊆ Ak , para todo k ∈ I. Se B ⊆ Ak , para todo k ∈ I, ent˜o B ⊆
a i∈I Ai ,
2. Ak ⊆ i∈I Ai , para todo k ∈ I. Se Ak ⊆ B, para todo k ∈ I, ent˜o
a i∈I Ai ⊆ B,
3. Lei distributiva B ∩ i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) ,
4. Lei distributiva B ∪ i∈I Ai = i∈I (B ∪ Ai ) ,
5. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) ,
6. Lei de De Morgan B − i∈I Ai = i∈I (B − Ai ) .
Demonstra¸˜o: Provaremos apenas a parte (3), deixando as demais como exerc´
ca ıcio.
Seja x ∈ B ∩ i∈I Ai . Ent˜o x ∈ B e x ∈
a i∈I Ai . Assim, x ∈ Ak para algum
k ∈ I. Assim, x ∈ B ∩ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) , pela parte (1). As-
sim B ∩ i∈I Ai ⊆ i∈I (B ∩ Ai ) . Agora seja x ∈ i∈I (B ∩ Ai ) . Assim, x ∈ B e
x ∈ Ak . Dessa forma, x ∈ i∈I Ai pela parte (1). Assim, x ∈ B ∩ i∈I Ai . Portanto,
i∈I (B ∩ Ai ) ⊆ B ∩ i∈I ımos que B ∩
Ai . Da´ conclu´
ı i∈I Ai = i∈I (B ∩ Ai ) .

25. Cap´
ıtulo 4
Rela¸˜es
co
4.1 Pares ordenados
Sejam A e B conjuntos e a ∈ A e b ∈ B. O Par ordenado cujo primeiro elemento ´
e
a e o segundo elemento ´ b ´, por defini¸ao, o conjunto {{a} , {a, b}} . Vamos denot´-
e e c˜ a
lo por (a, b) . A principal propriedade dos pares ordenados ´ aquela que diz respeito a
e `
igualdade entre dois deles. Sendo mais espec´
ıficos, temos o seguinte
Teorema 4.1.1 (a, b) = (c, d) se e somente se a = c ∧ b = d.
Demonstra¸˜o: De fato, se a = c e b = d ent˜o (a, b) = (c, d) , imediatamente. Suponha
ca a
agora que (a, b) = (c, d) . Ent˜o os conjuntos {{a} , {a, b}} e {{c} , {c, d}} s˜o iguais. Da´
a a ı
conclu´
ımos que a = c e que b = d.
Observa¸˜o 4.1.1 Daqui por diante e, em praticamente toda a sua vida, vocˆ s´ vai
ca e o
utilizar o s´
ımbolo (a, b) para falar do par ordenado cujo primeiro elemento ´ a e o segundo
e
´ b.
e
4.2 Produto cartesiano
Sejam A e B conjuntos. O Produto cartesiano de A por B, denotado por A × B, ´ o
e
conjunto dos pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo
elemento pertence ao conjunto B. Em s´
ımbolos:
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} .
23

26. 24 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Exemplo 4.2.1 Se A = {a, b} e B = {1, 2, 3} , ent˜o
a
A × B = {(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , (b, 1) , (b, 2) , (b, 3)} .
Exemplo 4.2.2 Se A = {1, 3, 5} , ent˜o
a
A × A = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 5) , (3, 1) , (3, 3) , (3, 5) , (5, 1) , (5, 3) , (5, 5)} .
Algumas das principais propriedades do produto cartesiano de dois conjuntos est˜o lis-
a
tadas no Teorema a seguir. Vamos provar apenas uma e deixar o restante como exerc´
ıcio.
Teorema 4.2.1 Sejam A, B e C conjuntos. Ent˜o valem as propriedades:
a
1. Se A ⊆ B ∧ C ⊆ D ent˜o A × C ⊆ B × D,
a
2. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) ,
3. (B ∪ C) × A = (B × A) ∪ (C × A) ,
4. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) ,
5. (B ∩ C) × A = (B × A) ∩ (C × A) ,
6. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) .
Demonstra¸˜o: Vamos provar a propriedade (2) . Seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Ent˜o
ca a
a ∈ A e b ∈ B ∪ C. Assim, b ∈ B ou b ∈ C. No primeiro caso, teremos (a, b) ∈ A × B ⊆
A×B ∪A×C. No segundo teremos (a, b) ∈ A×C ⊆ A×B ∪A×C. Portanto, em qualquer
dos casos teremos A × (B ∪ C) ⊆ A × B ∪ A × C. Seja agora (a, b) ∈ A × B ∪ A × C.
Ent˜o h´ dois casos: (a, b) ∈ A × B ou (a, b) ∈ A × C. Se ocorrer o primeiro caso, ent˜o
a a a
a ∈ A e b ∈ B ⊂ B ∪ C, ou seja (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Se ocorrer o segundo caso, ent˜o
a
(a, b) ∈ A × C. Da´ a ∈ A e b ∈ C ⊆ B ∪ C, ou seja, (a, b) ∈ A × (B ∪ C) . Portanto,
ı,
qualquer que seja o caso, temos A × B ∪ A × C ⊆ A × (B ∪ C) .
Observa¸˜o 4.2.1 Em geral A × B = B × A. Dˆ um exemplo para ilustrar isso.
ca e
Observa¸˜o 4.2.2 Se B = A ent˜o A × B ser´ denotado por A2 ou B 2 .
ca a a
Observa¸˜o 4.2.3 Pode-se definir o produto cartesiano sem necessariamente se fazer
ca
men¸˜o a pares ordenados. Esse ponto de vista ser´ abordado quando formos definir
ca a
produtos cartesianos de uma quantidade infinita de conjuntos. Isso ser´ feito no curso
a
de Matem´tica Elementar II.
a

27. ¸˜
4.3. RELACOES 25
4.3 Rela¸˜es
co
Sejam A e B conjuntos. Uma Rela¸˜o bin´ria
ca a de A em B ou simplesmente uma
Rela¸˜o
ca de A em B ´ qualquer subconjunto de A × B.
e
Observa¸˜o 4.3.1 Se B = A ent˜o diremos que
ca a ´ uma rela¸˜o em A ou sobre A.
e ca
Observa¸˜o 4.3.2 Se (x, y) ∈
ca , escreveremos x y. Caso contr´rio, isto ´, se (x, y) ∈
a e
, escreveremos x y, para simbolizar isso.
Exemplo 4.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {x, y, z} e = {(1, y) , (1, z) , (2, y)} ´ uma
e
rela¸˜o de A em B.
ca
Exemplo 4.3.2 Sejam A = B = R e = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1} . Ent˜o
a ´ uma
e
rela¸˜o de R em R ou simplesmente uma rela¸˜o em R. Geometricamente ela pode ser
ca ca
representada por um c´rculo de centro na origem e raio 1, conforme a figura a seguir.
ı
Exemplo 4.3.3 Sejam A = B = R e definida por x y ↔ x + 2y = 1. Geometrica-
mente podemos represent´-la por uma reta no plano.
a
Exemplo 4.3.4 Seja X = {1, 2, 3} . Em A = ℘ (X) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}
podemos definir a seguinte rela¸˜o: P Q ↔ P ⊆ Q. Observe que ∅ X, qualquer que seja
ca
X ⊂ {1, 2, 3} . Temos {1} {1, 2} e {2} {1, 3} .
Exemplo 4.3.5 Podemos definir em A = Z a seguinte rela¸˜o
ca
a b ↔ a − b ´ divis´vel por 5.
e ı
Observe que 8 − 2, −4 6 e 3 9. Esa rela¸˜o ser´ estudada bastante por n´s em dois
ca a o
momentos. O primeiro quando estudarmos Rela¸˜es de Equivalˆncia e o segundo, quando
co e
estudarmos Teoria dos N´meros.
u

28. 26 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Exemplo 4.3.6 Seja A = M2×2 (R) , o conjunto das matrizes quadradas 2 × 2. Em A
definimos a seguinte rela¸˜o:
ca
X Y ↔ x11 + x22 = y11 + y22 .
Exemplo 4.3.7 Seja A o conjunto das retas no plano. Em A, podemos definir a seguinte
rela¸˜o:
ca
r s ↔ r ´ paralela a s.
e
Observa¸˜o 4.3.3 Observe que em quase todos os exemplos acima n˜o dissemos quem
ca a
eram explicitamente os pares ordenados que pertenciam ` rela¸˜o. Ao inv´s disso, disse-
a ca e
´
mos quando dois elementos se relacionam. E muito importante que vocˆ se conven¸a de
e c
que isso que fizemos ´ equivalente a dar os pares ordenados da rela¸˜o.
e ca
4.4 Dom´
ınio e Imagem
Seja uma rela¸ao de A em B. O conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares
c˜
ordenados que pertencem a ´ chamado de Dom´
e ınio da rela¸˜o
ca e representado por
D ( ) ou por Dom ( ) . Em s´
ımbolos
D ( ) = {a ∈ A| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ }.
A Imagem de , por sua vez, ´ o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares
e
ordenados que pertencem a . Vamos denot´-la por I ( ) ou Im ( ) . Em s´
a ımbolos
I ( ) = {b ∈ B| Existe a ∈ A tal que (a, b) ∈ }.
Exemplo 4.4.1 No caso do exemplo (4.3.1), temos que D ( ) = {1, 2} e I ( ) = {y, z} .
Exemplo 4.4.2 No caso do exemplo (4.3.2), temos que D ( ) = [−1, 1] e I ( ) =
[−1, 1] .
Exemplo 4.4.3 No caso do exemplo (4.3.3), temos que D ( ) = I ( ) = R.
4.5 Rela¸˜o Composta e Rela¸˜o Inversa
ca ca
Sejam A, B e C conjuntos e R uma rela¸ao de A em B e S uma rela¸ao de B em C. A
c˜ c˜
Rela¸˜o Composta de S e R ´ rela¸˜o de A em C, denotada por S ◦ R, e definida por
ca e ca
S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ S} .
Vejamos agora alguns exemplos:

29. ¸˜ ¸˜
4.5. RELACAO COMPOSTA E RELACAO INVERSA 27
Exemplo 4.5.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} , B = {x, y, z, w} e C = {5, 6, 7, 8} e as rela¸˜es
co
R de A em B e S de B em C definidas, respectivamente, por
R = {(1, x) , (1, y) , (2, x) , (3, w) , (4, w)}
e
S = {(y, 5) , (y, 6) , (z, 8) , (w, 7)} .
Ent˜o
a
S ◦ R = {(1, 5) , (1, 6) , (3, 7) , (4, 7)} .
Exemplo 4.5.2 Sejam A = B = C = R e as rela¸˜es em A definidas por
co
R = (x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1
e
S = (y, z) ∈ R2 |2y + 3z = 4 .
Se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ S, ent˜o
a
x2 + y 2 = 1
e
2y + 3z = 4.
4 − 3z 16 − 24z + 9z 2
Portanto, y = o que acarreta y 2 = . Logo,
2 4
16 − 24z + 9z 2
x2 + = 1,
4
ou seja,
4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0
e da´
ı
S ◦ R = (x, z) ∈ R2 |4x2 − 24z + 9z 2 + 12 = 0 .
Sejam A e B conjuntos e uma rela¸ao de A em B. A Rela¸˜o Inversa de
c˜ ca ´ a rela¸ao
e c˜
−1
de B em A, denotada por e definida por
−1
= {(b, a) ∈ B × A| (a, b) ∈ }.
Vejamos alguns exemplos

30. 28 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Exemplo 4.5.3 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b} e considere a rela¸˜o de A em B
ca
definida por
= {(1, a) , (1, b) , (1, c)} .
Ent˜o, por defini¸˜o segue que
a ca
−1
= {(a, 1) , (b, 1) , (a, 3)} .
Exemplo 4.5.4 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por
ca
= (x, y) ∈ R2 |y = 2x .
Vemos que
−1
= (y, x) ∈ R2 |y = 2x = (x, y) ∈ R2 |x = 2y .
Exemplo 4.5.5 Sejam A = B = R e considere a rela¸˜o em A definida por
ca
= (x, y) |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 .
Ent˜o vemos que
a
−1
= (y, x) ∈ R2 |x2 + (y − 2)2 ≤ 1 ,
ou seja,
−1
= (x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 ≤ 1 .
Observa¸˜o 4.5.1 Se
ca ´ uma rela¸˜o de A em B ent˜o valem as seguintes pro-
e ca a
priedades:
−1
1. D ( ) = Im ( ),
−1
2. I ( ) = D( )
−1 −1
3. ( ) = .
Todos esses fatos seguem das defini¸˜es. Para treinar no uso delas sugerimos que vocˆ
co e
prove-os como exerc´cio.
ı

31. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 29
4.6 Rela¸˜es de Equivalˆncia
co e
H´ dois tipos muito importantes de rela¸oes: as Rela˜es de Ordem e as Rela¸oes de
a c˜ o c˜
Equivalˆncia. Aqui vamos estudar as Rela¸oes de Equivalˆncia. Para isso, definiremos
e c˜ e
alguns termos.
Defini¸˜o 4.6.1 Seja A um conjunto e
ca uma rela¸˜o em A. Diremos que
ca ´ uma
e
rela¸˜o:
ca
• Reflexiva Se para todo x ∈ A, tivermos (x, x) ∈ A. Em outros termos, ´ uma
e
rela¸˜o reflexiva se, para todo x ∈ A, tivermos x x.
ca
• Sim´trica Se (x, y) ∈
e implicar (y, x) ∈ . Em outros termos, ´ uma rela¸˜o
e ca
sim´trica se x y ⇒ y x.
e
• Transitiva Se (x, y) ∧ (y, z) ∈ implicar (x, z) ∈ . Em outros termos, ´ uma
e
rela¸˜o transitiva se x y ∧ y z ⇒ x z.
ca
Veremos agora v´rios exemplos.
a
Exemplo 4.6.1 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por
ca = {(1, 1) , (2, 4) , (3, 3) , (4, 1) ,
Observe que:
1. n˜o ´ reflexiva pois (2, 2) ∈ .
a e
2. n˜o ´ sim´trica pois (4, 1) ∈
a e e , mas (1, 4) ∈ .
3. n˜o ´ transitiva pois (2, 4) ∈
a e e (4, 1) ∈ mas (2, 1) ∈ .
Exemplo 4.6.2 Sejam A = R e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x < y. Observe
ca
que:
1. n˜o ´ reflexiva pois 1
a e 1.
2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2
a e e 1.
3. ´ transitiva pois se x, y, z ∈ R e x < y e y < z, ent˜o x < z.
e a
Exemplo 4.6.3 Sejam X = {1, 2, 3} e A = ℘ (X) . Defina em A a rela¸˜o P Q ↔ P ⊆
ca
Q. Observe que:
1. ´ reflexiva pois, para cada P ∈ A, teremos P P uma vez que todo conjunto est´
e a
contido em si mesmo.

32. 30 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
2. n˜o ´ sim´trica pois ∅ {1} mas {1}
a e e ∅.
3. ´ transitiva pois se P Q e Q T ent˜o teremos P ⊆ Q e Q ⊆ T e da´ P ⊆ T,
e a ı
ou seja, P T.
Exemplo 4.6.4 Sejam A = N e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x ´ divisor de y.1 Observe
ca e
que:
1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x ´ divisor de x.
e e
2. n˜o ´ sim´trica pois 1 2 mas 2
a e e 1.
3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o y = k1 x e z = k2 y. Logo z = k1 k2 x, donde
e a
x z.
Exemplo 4.6.5 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o em A definida por
ca = {(1, 3) , (4, 2) , (2, 4) , (2, 3) ,
Observe que:
1. n˜o ´ reflexiva pois (1, 1) ∈ .
a e
2. n˜o ´ sim´trica pois (2, 3) ∈
a e e mas (3, 2) ∈ .
3. n˜o ´ transitiva pois (1, 3) ∈
a e e (3, 1) ∈ mas (1, 1) ∈ .
Exemplo 4.6.6 Sejam A = N e a rela¸˜o em A definida por x y ↔ x + y = 8.
ca
Observe que
1. n˜o ´ reflexiva pois 3
a e 3.
2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x + y = 8 = y + x, logo y x.
e e a
3. n˜o ´ transitiva pois 2 6 e 6 2 mas 2
a e 2.
Exemplo 4.6.7 Sejam A = {a, b, c} e a rela¸˜o em A por
ca = {(a, b) , (c, b) , (b, a) , (a, c)} .
Observe que:
1. n˜o ´ reflexiva pois (a, a) ∈ .
a e
2. n˜o ´ sim´trica pois (c, b) ∈
a e e mas (b, c) ∈ ,
3. n˜o ´ transitiva pois (a, b) ∈
a e e (b, a) ∈ mas (a, a) ∈ .
1
Lembre que x ser divisor de y significa que existe um k ∈ N tal que y = kx.

33. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 31
Agora podemos definir o que entendemos por uma Rela¸˜o de Equivalˆncia.
ca e
Defini¸˜o 4.6.2 Sejam A um conjunto e
ca uma rela¸˜o em A. Diremos que
ca ´ uma
e
Rela¸˜o de Equivalˆncia se ela for reflexiva, sim´trica e transitiva.
ca e e
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 4.6.8 Sejam A = Z e a rela¸˜o definida em A por x y ↔ x−y ´ divis´vel por 5.
ca e ı
Observe que:
1. ´ reflexiva pois, para cada x ∈ A, temos que x − x = 0 e 0 ´ divis´vel por 5.
e e ı
2. ´ sim´trica pois se x y ent˜o x − y ´ divis´vel por 5. Mas isso siginifica que
e e a e ı
x − y = 5k para algum k ∈ Z. Logo, y − x = −5k = 5 (−k) = 5p, donde conclu´mos
ı
que y x.
3. ´ transitiva pois se x y e y z ent˜o x − y = 5k1 e y − z = 5k2 , com k1 , k2 ∈ Z.
e a
Da´ x − z = 5 (k1 − k2 ) = 5p, ou seja, x z.
ı
Exemplo 4.6.9 Sejam A o conjunto dos triˆngulos do plano e
a a rela¸˜o em A definida
ca
por S T ↔ S ´ congruente a T. Observe que
e ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A.
e ca e
Exemplo 4.6.10 Sejam A = Q, o conjunto dos n´meros racionais e R a rela¸˜o definida
u ca
p s
em A por ↔ pt = sq. Observe que:
q t
1. ´ reflexiva pois pq = pq.
e
p s s p
2. ´ sim´trica pois se
e e ent˜o pt = sq. Mas isso acarreta que
a .
q t t q
p s s u
3. ´ transitiva pois se
e e ent˜o pt = sq e sv = tu. Logo pv
a = uq, ou seja,
q t t v
p u
.
q v
Exemplo 4.6.11 Sejam A o conjunto dos segmentos orientados do plano ou do espa¸o e
c
a rela¸˜o em A definida por u v ↔ u e v tˆm o mesmo m´dulo, mesma dire¸˜o e mesmo sentido.
ca e o ca
Observe que a rela¸˜o
ca ´ de equivalˆncia.
e e
Ap´s os exemplos, vamos definir alguns termos.
o
Defini¸˜o 4.6.3 Sejam A um conjunto,
ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a ∈
ca e
A. O conjunto dos elementos de A que se relacionam com a ´ chamado Classe de
e
Equivalˆncia do elemento a e ser´ representado por [a] . Em s´mbolos:
e a ı
[a] = {b ∈ A|a b} .

34. 32 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 4.6.12 Sejam A = {1, 2, 3, 4} e a rela¸˜o de equivalˆncia definida em A
ca e
por
= {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4, 4) , (1, 2) , (2, 1)} .
Ent˜o:
a
1. [1] = {1, 2} ,
2. [2] = {1, 2} = [1] ,
3. [3] = {3} ,
4. [4] = {4} .
Exemplo 4.6.13 No exemplo (4.6.8) observe que:
1. [0] = {..., −15, −10, −5, 0, 5, 10, 15, ...} ,
2. [1] = {..., −14, −9, −4, 1, 6, 11, 16, ...} ,
3. [2] = {..., −13, −8, −3, 2, 7, 12, 17, ...} ,
4. [3] = {..., −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, ...} ,
5. [4] = {..., −11, −6, −1, 4, 9, 14, 19, ...} ,
Vamos agora provar uma importante propriedade das classes de equivalˆncia
e
Teorema 4.6.1 Sejam A um conjunto, uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e a, b ∈ A,
ca e
dois elementos quaisquer. As seguintes condi¸˜es sobre a e b s˜o equivalentes:
co a
1. a b,
2. a ∈ [b] ,
3. b ∈ [a] ,
4. [a] = [b] .
Demonstra¸˜o:
ca
(1)→(2) Suponha que a b. Ent˜o, pela defini¸ao de [b] , segue que a ∈ [b] .
a c˜

35. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 33
(2)→(3) Suponha que a ∈ [b] . Ent˜o a b. Como
a ´ sim´trica, temos que b a. Da´
e e ı,
b ∈ [a] .
(3)→(4) Suponha que b ∈ [a] e seja x ∈ [b] . Ent˜o temos que b a e x b. Como
a ´
e
sim´trica, segue que a b e b x. Pela transitividade de
e segue que a x. Novamente
usando a simetria de , segue que x a, e da´ x ∈ [a] . Logo [b] ⊆ [a] . Seja x ∈ [a] .
ı
Da´ x a. Como b ∈ [a] e
ı ´ sim´trica, temos que x b, ou seja, x ∈ [b] . Portanto
e e
[a] ⊆ [b] .
(4)→(1) Como ´ reflexiva, segue que a ∈ [a] = [b] . Portanto, a b.
e
O teorema anterior traz algumas interessantes conclus˜es:
o
Corol´rio 4.6.1 [a] = [b] ⇔ a b.
a
Corol´rio 4.6.2 [a] ∩ [b] = ∅ ⇒ [a] = [b] .
a
Defini¸˜o 4.6.4 Sejam A um conjunto e
ca uma rela¸˜o de equivalˆncia em A. O con-
ca e
junto cujos elementos s˜o as classes de equivalˆncia de
a e ´ chamado de Conjunto
e
Quociente da rela¸˜o
ca e ´ representado por A/ . Em s´mbolos
e ı
A/ = {[a] |a ∈ A} .
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 4.6.14 No exemplo (4.6.8) temos A/ = {[0] , [1] , [2] , [3] , [4]} .
Exemplo 4.6.15 No exemplo (4.6.12) temos A/ = {[1] , [3] , [4]} .
Observa¸˜o 4.6.1 Do Teorema (4.6.1) tiramos importantes conclus˜es acerca das classes
ca o
de equivalˆncia:
e
1. Toda classe de equivalˆncia ´ n˜o vazia, isto ´, para todo a ∈ A, temos [a] = ∅,
e e a e
2. Duas classes de equivalˆncia distintas s˜o disjuntas, isto ´, [a] = [b] ⇒ [a] ∩ [b] = ∅.
e a e
3. A uni˜o de todas as classes de equivalˆncia ´ igual ao conjunto A, isto ´,
a e e e a∈A [a] =
A.
Por causa das propriedades acima, diremos que o conjunto quociente de uma rela¸˜o de
ca
equivalˆncia
e num conjunto A ´ uma parti¸˜o do conjunto A.
e ca

36. 34 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES
Defini¸˜o 4.6.5 Seja A um conjunto n˜o vazio. Um subconjunto A ⊆ ℘ (A) ´ dito uma
ca a e
Parti¸˜o do conjunto A se satisfizer as seguintes condi¸˜es:
ca co
P1 - X = ∅ para todo X ∈ A,
P2 - Quaisquer que sejam X, Y ∈ A, vale X = Y ⇒ X ∩ Y = ∅,
P3 - X∈A = A.
Exemplo 4.6.16 Seja A = {1, 2} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o:
a ´ co a
1. A1 = {A} ,
2. A2 = {{1} , {2}} .
Exemplo 4.6.17 Seja A = {1, 2, 3} . Ent˜o as unicas parti¸˜es de A s˜o:
a ´ co a
1. A1 = {A} ,
2. A2 = {{1} , {2} , {3}} ,
3. A3 = {{1} , {2, 3}} ,
4. A4 = {{2} , {1, 3}} ,
5. A5 = {{3} , {1, 2}} .
Exemplo 4.6.18 Seja A = N e considere A = {A1 , A1 }, onde A1 = { naturais pares }
e A2 = { naturais ´mpares } . Vemos que A ´ uma parti¸˜o de A.
ı e ca
Se tivermos definida em um conjunto A uma rela¸˜o de equivalˆncia ent˜o o conjunto
ca e a
quociente fornece uma parti¸˜o de A. Isso foi o que vimos anteriormente. O que provare-
ca
mos agora ´ que dada uma parti¸˜o de um conjunto A podemos definir uma rela¸ao de
e ca c˜
equivalˆncia em A e o conjunto quociente desta rela¸ao ´ justamente a parti¸˜o dada.
e c˜ e ca
Teorema 4.6.2 Seja A um conjunto n˜o vazio e seja A uma parti¸˜o de A. Defina em
a ca
A a seguinte rela¸˜o
ca
x y ⇔ x, y pertencem ao mesmo conjunto da parti¸˜o.
ca
Ent˜o
a ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em A e A/
e ca e = A.

37. ¸˜ ˆ
4.6. RELACOES DE EQUIVALENCIA 35
Demonstra¸˜o: Vejamos a reflexividade. Dado x ∈ A temos, pela defini¸ao de parti¸ao,
ca c˜ c˜
que ele pertence a algum membro, digamos X de A. Da´ x x, portanto,
ı ´ reflexiva.
e
Vejamos agora a simetria. Suponha que x y. Ent˜o x, y est˜o no mesmo membro da
a a
parti¸ao, ou seja, y x. Suponha agora que x y e que y z. Ent˜o x e y pertencem ao
c˜ a
mesmo membro da parti¸ao e y e z tamb´m. Como dois membros quaisquer da parti¸ao
c˜ e c˜
n˜o se interceptam, segue que x e z pertencem ao mesmo membro da parti¸ao. Assim
a c˜
´ de equivalˆncia. Vamos provar agora a ultima afirma¸ao. Seja X ∈ A. Ent˜o dado
e e ´ c˜ a
x ∈ X, temos que [x] = X, portanto X ∈ A/ , ou seja A ⊆ A/ . Seja agora a ∈ A e
considere a classe de equivalˆncia determinada por a. Ent˜o, pela defini¸˜o da rela¸ao
e a ca c˜ ,
a classe de equivalˆncia [a] coincide com o conjunto ao qual a pertence. Logo, [a] ∈ A.
e
Portanto A/ ⊆ A.
.
Exemplo 4.6.19 Considere A o conjunto dos alunos de nossa sala de aula. Se agrupar-
mos os alunos em conjuntos formados por alunos que nasceram no mesmo ano, teremos
uma parti¸˜o do conjunto A. A rela¸˜o de equivalˆncia associada a essa parti¸˜o ´: o
ca ca e ca e
aluno x est´ relacionado com o aluno y quando x e y tiverem nascido no mesmo ano.
a
Exemplo 4.6.20 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e A = {{1, 2}, {3, 5}, {4, 6, 7}}. Essa
parti¸˜o de A induz uma rela¸˜o de equivalˆncia
ca ca e em A dada por
= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 3), (5, 5), (4, 4), (4, 6), (4, 7), (6, 4), (6, 6), (6, 7), (7, 4), (7, 6)
Exemplo 4.6.21 Encontre as rela¸˜es de equivalˆncia associadas `s parti¸˜es dadas nos
co e a co
exemplos (4.6.16),(4.6.17) e (4.6.18).

38. 36 CAP´ ¸˜
ITULO 4. RELACOES

39. Cap´
ıtulo 5
Fun¸˜es
co
5.1 Defini¸oes e nomenclatura
c˜
Defini¸˜o 5.1.1 Sejam A e B conjuntos e f uma rela¸˜o de A em B. Diremos que f ´
ca ca e
uma fun¸˜o de A em B se, para cada a ∈ A, existir um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f.
ca ´
Observa¸˜o 5.1.1 Se f ´ uma fun¸˜o de A em B usaremos a nota¸˜o f : A → B para
ca e ca ca
denotarmos isso.
Exemplo 5.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . Nesse
caso, f ´ uma fun¸˜o de A em B.
e ca
Exemplo 5.1.2 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e g = {(1, 5) , (2, 4) , (1, 6)} . Nesse
caso, g n˜o ´ uma fun¸˜o de A em B pois n˜o existe b ∈ B de modo que (3, b) ∈ f. Al´m
a e ca a e
disso, temos (1, 5) ∈ f e (1, 6) ∈ f.
Exemplo 5.1.3 Sejam C o conjunto das cidades, P o conjunto dos pa´ses e
ı
h = {(c, p) ∈ C × P | a cidade c est´ no pa´s p} .
a ı
Como cada cidade pertence a exatamente um pa´s, temos que h ´ uma fun¸˜o de C em
ı e ca
P.
Exemplo 5.1.4 Sejam P o conjunto das pessoas e i = {(p, q) ∈ P × P | A pessoa p ´ genitor(a) da pess
e
Observe que como existem pessoas que n˜o s˜o genitores ent˜o i n˜o ´ fun¸˜o. Al´m do
a a a a e ca e
mais, existem pessoas que s˜o genitoras de mais de uma pessoa.
a
37

40. 38 CAP´ ¸˜
ITULO 5. FUNCOES
Exemplo 5.1.5 Sejam P o conjunto das pessoas e seja
d = {(p, x) ∈ P × ℘ (P ) |x ´ conjunto de todos os filhos de p} .
e
Nesse caso, d ´ uma fun¸˜o de P em ℘ (P ) .
e ca
Exemplo 5.1.6 Sejam A um conjunto n˜o-vazio e iA = {(a, a) ∈ A × A|a ∈ A} . Nesse
a
caso, iA ´ uma fun¸˜o de A em A conhecida como fun¸˜o identidade em A.
e ca ca
Exemplo 5.1.7 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |y = x2 } . Nesse caso temos que
f ´ uma fun¸˜o de R em R, pois o dado x ∈ R, o seu quadrado assume apenas um valor.
e ca
Exemplo 5.1.8 Sejam A = B = R e f = {(x, y) ∈ R2 |x = y 2 } . Nesse caso temos que
f n˜o ´ uma fun¸˜o de R em R. De fato, (1, 1) ∈ f e (1, −1) ∈ f. Al´m disso, n˜o existe
a e ca e a
b ∈ R tal que (−1, b) ∈ f, j´ que o quadrado de qualquer n´mero real ´ positivo.
a u e
Observa¸˜o 5.1.2 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Ent˜o dado a ∈ A, a
ca ca a
defini¸˜o de fun¸˜o atesta que existe um unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. Este unico b ´
ca ca ´ ´ e
chamado de Valor de f em a ou imagem de a por f ou resultado de aplicar f
em a ou apenas f de a. Vamos represent´-lo de uma forma bem sugestiva, por f (a)) .
a
A rela¸˜o mais importante entre a e f (a) ´
ca e
(a, b) ∈ f ⇔ b = f (a) .
Observa¸˜o 5.1.3 Em geral uma fun¸˜o f : A → B ´ dada especificando um modo que
ca ca e
permita obter, de maneira unica f (a) a partir de a. Essa maneira pode ser atrav´s
´ e
de
• Uma F´rmula, como nos cursos de C´lculo, no ensino m´dio.
o a e
• Uma Tabela, como nas copiadoras, padarias, etc.
• Um Gr´fico, como nos eletrocardiogramas.
a
Tanto ´ assim que temos a seguinte defini¸˜o alternativa de fun¸ao que tamb´m ´ bastante
e ca c˜ e e
utilizada, principalmente no ensino m´dio e na maioria dos cursos universit´rios.
e a
Defini¸˜o 5.1.2 Dados os conjuntos A e B, uma fun¸˜o de A em B (simbolizada por
ca ca
f : A → B) ´ uma regra (uma maneira, um modo, um procedimento) que permite associar
e
a cada elemento a ∈ A, um unico elemento do conjunto B.
´

41. 5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS 39
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 5.1.9 Sejam A o conjunto de todos os triˆngulos do plano, B = R e f a regra
a
que associa cada triˆngulo ` sua ´rea. Essa regra determina una fun¸˜o de f : A → B.
a a a ca
Exemplo 5.1.10 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano, ∆ o conjunto das
retas desse mesmo plano e g a regra que associa cada segmento ` sua mediatriz (i.e. a
a
reta que passa pelo seu ponto m´dio e ´ perpendicular a ele). Essa regra determina uma
e e
fun¸˜o g : A → ∆.
ca
Exemplo 5.1.11 Sejam A = M2×2 (R), B = R e det a regra que associa cada matriz ao
seu determinante. Essa regra determina uma fun¸˜o det : A → B.
ca
Exemplo 5.1.12 Sejam A = B = R e j a regra que associa cada n´mero x ao seu
u
quadrado x2 . Essa regra determina uma fun¸˜o j : A → B.
ca
Defini¸˜o 5.1.3 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. O conjunto A ´ chamado de
ca ca e
Dom´
ınio da fun¸˜o f e o conjunto B de Contra-dom´
ca ınio da fun¸˜o f .
ca
Defini¸˜o 5.1.4 Sejam f : A → B e g : A → B duas fun¸˜es. Diremos que elas s˜o
ca co a
iguais e representaremos isso por f = g, se f (a) = g (a) para todo a ∈ A.
5.2 Imagens diretas e inversas
Defini¸˜o 5.2.1 Seja f : A → B uma fun¸˜o e P ⊆ A. A Imagem direta do con-
ca ca
junto P pela fun¸˜o f ´ o conjunto representado por f (P ) e definido por
ca e
f (P ) = {f (p) |p ∈ P } = {b ∈ B|b = f (p) para algum p ∈ P } .
Em palavras, a imagem direta de um conjunto P por uma fun¸˜o f ´ o conjunto formado
ca e
pelos valores assumidos por f quando olhamos para a fun¸ao restrita ao conjunto P.
c˜
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 5.2.1 Sejam A = {a, b, c} , B = {1, 2, 3} e f : A → B dada por f (a) =
1, f (b) = 2 e f (c) = 1. Ent˜o:
a
• P = {a, b} ⇒ f (P ) = {f (a) , f (b)} = {1, 2} ,
• P = {b, c} ⇒ f (P ) = {f (b) , f (c)} = {2, 1} = {1, 2} ,

42. 40 CAP´ ¸˜
ITULO 5. FUNCOES
• P = {a, c} ⇒ f (P ) = {f (a) , f (c)} = {1} .
Exemplo 5.2.2 Sejam A = B = R e f : A → B dada por f (x) = x2 . Ent˜o:
a
• P = {−2, −1, 0, 1, 2} ⇒ f (P ) = {0, 1, 4} .
• P = {x ∈ R|1 < x < 2} ⇒ f (P ) = {x|1 < x < 4} = (1, 4) .
• P = R ⇒ f (P ) = [0, +∞) = R+ .
Defini¸˜o 5.2.2 Seja f : A → B uma fun¸˜o de A em B. O conjunto f (A) ´ chamado
ca ca e
de Imagem da fun¸˜o f. Vamos denot´-la por I (f ) .
ca a
Exemplo 5.2.3 Sejam A = B = R e f : A → B a fun¸˜o definida por f (x) = x2 + 1.
ca
Veja que I (f ) = [1, +∞) . Para provarmos isso, seja y ∈ [1, +∞). Queremos encontrar
x ∈ R tal que f (x) = y. Vamos ver quem deveria ser um x nessas condi¸˜es. Precisamos
co
resolver a equa¸˜o f (x) = y, ou seja, descobrir um x que a satisfa¸a. Mas isso equivale a
ca c
descobrir pelo menos um x ∈ R tal que x2 + 1 = y. Com isso temos que, x2 = y − 1 e da´
ı
√
x = ± y − 1. Observe que x ∈ R, j´ que y ∈ [1, +∞). Isso nos mostra que f (x) = y.
a
Na realidade encontramos dois valores para x para os quais f (x) = y. Mas isso n˜o ´
a e
problema, j´ que dois elementos distintos no dom´nio podem ter a mesma imagem.
a ı
Exemplo 5.2.4 Seja f : R2 → R2 dada por f (x, y) = (x + y, x − y) . Ent˜o I (f ) = R2 .
a
´
De fato, podemos provar esse fato usando argumentos de Algebra Linear, mas preferire-
mos fazer essa prova de uma maneira mais construtiva. Seja (a, b) ∈ R2 . Queremos
encontrar um par (x, y) ∈ R2 tal que f (x, y) = (a, b). Para fazer isso, devemos encontrar
um par (x, y) tal que x + y = a e x − y = b. Isso equivale a resolver o sistema:
x + y = a
x − y = b
que ´ um sistema poss´vel e determinado. Sendo assim, existe um par (x, y) tal que
e ı
f (x, y) = (a, b) e, portanto, I(f ) = R2 .
Defini¸˜o 5.2.3 Seja f : A → B uma fun¸˜o e Q ⊆ B. A Imagem inversa de Q pela
ca ca
fun¸˜o f ´ o conjunto representado por f −1 (Q) e definido por
ca e
f −1 (Q) = {a ∈ A|f (a) ∈ Q} .

43. 5.2. IMAGENS DIRETAS E INVERSAS 41
Em palavras, a imagem inversa de um conjunto Q pela fun¸˜o f ´ o conjunto formado
ca e
pelos elementos do dom´ cuja imagem pertence ao conjunto Q. Vejamos alguns exem-
ınio
plos:
Exemplo 5.2.5 No exemplo (5.2.1) temos f −1 ({1}) = {a, c} e f −1 ({2, 3}) = {b} .
Exemplo 5.2.6 No exemplo (5.2.2) temos:
• f −1 ({−9}) = ∅,
• f −1 ({4, 9}) = {−2, 2, −3, 3} ,
• f −1 ({x ∈ R|x ≤ 0}) = ∅,
• f −1 ({x ∈ R|4 ≤ x ≤ 25}) = f −1 ([4, 25]) = [−5, −2] ∪ [2, 5] ,
Vamos agora enunciar algumas propriedades das imagens diretas e inversas de uma
fun¸ao.
c˜
Teorema 5.2.1 Sejam f : A → B uma fun¸˜o, X, Y ⊆ A e Z, W ⊆ B. Ent˜o valem as
ca a
seguintes propriedades:
1. f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ) .
2. f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y ) .
3. X ⊆ Y ⇒ f (X) ⊆ f (Y ) .
4. f (∅) = ∅.
5. f −1 (Z ∪ W ) = f −1 (Z) ∪ f −1 (W ) .
6. f −1 (Z ∩ W ) = f −1 (Z) ∩ f −1 (W ) .
7. f −1 (A ) = (f −1 (A)) , onde a indica o complementar.
8. Z ⊆ W ⇒ f −1 (Z) ⊆ f −1 (W ) .
9. f −1 (∅) = ∅.
Demonstra¸˜o:
ca

44. 42 CAP´ ¸˜
ITULO 5. FUNCOES
1. Seja b ∈ f (X ∪ Y ) . Ent˜o b = f (a) , com a ∈ X ∪ Y. H´ ent˜o dois casos: a ∈ X
a a a
ou a ∈ Y. Se a ∈ X ent˜o, como b = f (a) , segue que b ∈ f (X) ⊂ f (X) ∪ f (Y ) .
a
Se a ∈ Y ent˜o, como b = f (a) , segue que b ∈ f (Y ) ⊆ f (X) ∪ f (Y ) . Portanto,
a
f (X ∪ Y ) ⊆ f (X) ∪ f (Y ) . Seja agora b ∈ f (X) ∪ f (Y ) . Ent˜o h´ dois casos:
a a
b ∈ f (X) ou b ∈ f (Y ) . Se b ∈ f (X) , ent˜o b = f (a) , com a ∈ X. Como a ∈ X
a
acarreta a ∈ X ∪ Y, segue que b = f (a) , com a ∈ X ∪ Y, ou seja, b ∈ f (X ∪ Y ) . Se
b ∈ f (Y ) ent˜o b = f (a) com a ∈ Y. Como a ∈ Y acarreta a ∈ X ∪ Y, segue que
a
b = f (a) , com a ∈ X ∪Y, ou seja, b ∈ f (X ∪ Y ) . Assim f (X)∪f (Y ) ⊆ f (X ∪ Y ) .
2. Seja b ∈ f (X ∩ Y ). Ent˜o b = f (a), com a ∈ X ∩ Y. Como a ∈ X, temos que
a
b ∈ f (X) e, como a ∈ Y, segue que b ∈ f (Y ). Logo, b ∈ f (X) ∩ f (Y ).
3. Seja b ∈ f (X). Ent˜o b = f (a), onde a ∈ X. Como X ⊆ Y, segue que a ∈ Y, e da´
a ı
b ∈ f (Y ).
4. Se f (∅) = ∅, ent˜o existiria b ∈ f (∅). Assim, b = f (a), com a ∈ ∅. Mas o conjunto
a
∅ n˜o possui elementos e isso ´ uma contradi¸˜o. Logo f (∅) = ∅.
a e ca
5. Seja b ∈ f −1 (Z ∪ W ). Ent˜o f (b) ∈ Z ∪ W. Da´ f (b) ∈ Z ou f (b) ∈ W. Se ocorrer
a ı
o primeiro caso, temos que b ∈ f −1 (Z) e se ocorrer o segundo, b ∈ f −1 (W ), de
modo que, em qualquer dos casos, temos que b ∈ f −1 (Z) ∪ f −1 (W ). Agora tome
b ∈ f −1 (Z) ∪ f −1 (W ). Ent˜o b ∈ f −1 (Z) ou b ∈ f −1 (W ). Se ocorrer o primeiro
a
caso, temos que f (b) ∈ Z ⊆ Z ∪ W, o que acarreta b ∈ f −1 (Z ∪ W ). Se ocorrer
o segundo caso, temos que f (b) ∈ W ⊆ Z ∪ W, o que acarreta b ∈ f −1 (Z ∪ W ).
Assim, em qualquer dos dois casos, temos que b ∈ f −1 (Z ∪ W ).
6. Seja b ∈ f −1 (Z ∩ W ). Ent˜o f (b) ∈ Z ∩ W. Da´ f (b) ∈ Z e f (b) ∈ W. Assim, temos
a ı
que f (b) ∈ Z ∩ W e, dessa forma, temos que b ∈ f −1 (Z) ∩ f −1 (W ). Agora tome
b ∈ f −1 (Z) ∩ f −1 (W ). Ent˜o b ∈ f −1 (Z) e b ∈ f −1 (W ). Dessa forma temos que
a
f (b) ∈ Z e f (b) ∈ W, o que acarreta f (b) ∈ Z ∩ W e, portanto, b ∈ f −1 (Z ∩ W ).
7. Seja b ∈ f −1 (A ). Da´ f (b) ∈ A , o que significa que f (b) ∈ A, o que significa ainda
ı,
que f (b) ∈ A , o que nos permite concluir que b ∈ (f (A)) .
8. Seja b ∈ f −1 (Z). Ent˜o f (b) ∈ Z. Como Z ⊂ W, temos que f (b) ∈ W, o que
a
acarreta b ∈ f −1 (W ).
9. Se f −1 (∅) = ∅, existiria b tal que f (b) ∈ ∅. Mas isso ´ absurdo. Logo f −1 (∅) = ∅.
e

45. ¸˜
5.3. FUNCOES INJETORAS, SOBREJETORAS E BIJETORAS 43
5.3 Fun¸˜es injetoras, sobrejetoras e bijetoras
co
Defini¸˜o 5.3.1 Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Diremos
ca ca
que f ´ Injetora se elementos diferentes em A tiverem imagens diferentes em B. Em
e
s´
ımbolos,
f : A → B ´ injetora ⇔ (a, b ∈ A) (a = b) ⇒ (f (a) = f (b)) .
e
Observa¸˜o 5.3.1 Se f : A → B ´ injetora, tamb´m usam-se os termos: Injetiva ou
ca e e
um-a-um para dizer isso.
Observa¸˜o 5.3.2 Uma maneira mais pr´tica de provar que uma dada fun¸˜o ´ injetora
ca a ca e
´ provar que
e
(a, b ∈ A) (f (a) = f (b)) ⇒ (a = b) .
Defini¸˜o 5.3.2 Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Diremos
ca ca
que f ´ Sobrejetora se todo elemento de B for imagem de pelo menos um elemento de
e
A. Em s´
ımbolos,
f : A → B ´ sobrejetora ⇔ (∀b ∈ B) (∃a ∈ A) (b = f (a)) .
e
Observa¸˜o 5.3.3 Se f : A → B ´ sobrejetora, tamb´m usam-se os termos: Sobreje-
ca e e
tiva ou Sobre para dizer isso.
Defini¸˜o 5.3.3 Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma fun¸˜o de A em B. Diremos
ca ca
que f ´ Bijetora se f for injetora e sobrejetora.
e
Vamos revisitar agora diversos exemplos vistos anteriormente.
Exemplo 5.3.1 Sejam A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} e f = {(1, 5) , (2, 4) , (3, 5)} . A
fun¸˜o f n˜o ´ injetora nem sobrejetora.
ca a e
Exemplo 5.3.2 Sejam C = { conjunto de todas as cidades } , N = { conjunto de todos os pa´
ıses}
e
h = {(c, n) ∈ C × N | a cidade c est´ no pa´s n} .
a ı
Essa fun¸˜o n˜o ´ injetora, mas ´ sobrejetora.
ca a e e
Exemplo 5.3.3 Sejam P o conjunto das pessoas e
d = {(p, x) ∈ P × ℘ (P ) |x = { conjunto de todos os filhos naturais de p}} .
A fun¸˜o d n˜o ´ injetora nem sobrejetora.
ca a e

46. 44 CAP´ ¸˜
ITULO 5. FUNCOES
Exemplo 5.3.4 Sejam A o conjunto de todos os triˆngulos do plano, B = R e f : A →
a
B a regra que associa cada triˆngulo ` sua ´rea. Essa fun¸˜o n˜o ´ injetora mas ´
a a a ca a e e
sobrejetora.
Exemplo 5.3.5 Sejam S o conjunto dos segmentos de reta do plano e ∆ o conjunto
das retas do mesmo plano. A fun¸˜o que associa cada segmento ` sua mediatriz n˜o ´
ca a a e
injetora e ´ sobrejetora.
e
Exemplo 5.3.6 Seja f : Z → R definida por f (x) = 2x + 3. A fun¸˜o f ´ injetora mas
ca e
n˜o ´ sobrejetora pois n˜o existe elemento x ∈ Z que satisfaz f (x) = π. Por outro lado,
a e a
se considerarmos g : R → R definida por g (x) = 2x + 3, ent˜o g ´ injetora e sobrejetora
a e
e, portanto, bijetora.
2x
Exemplo 5.3.7 A fun¸˜o f : R − {1} → R dada por f (x) =
ca ´ injetora, mas n˜o
e a
x+1
´ sobrejetora.
e
5.4 Fun¸˜o Inversa
ca
Em geral, mesmo que uma dada rela¸˜o seja fun¸ao, pode n˜o acontecer o mesmo
ca c˜ a
com a sua rela¸˜o inversa. Por exemplo, se A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d} e f =
ca
{(1, a) , (2, a) , (3, c) , (4, d)} . A rela¸ao f ´ uma fun¸ao de A em B. Agora note que
c˜ e c˜
˜ e
f −1 = {(a, 1) , (a, 2) , (c, 3) , (d, 4)} , NAO ´ uma fun¸˜o de B em A. Um interessante
ca
resultado que estabelece quando a rela¸ao inversa de uma fun¸˜o tamb´m ´ fun¸˜o ´ o
c˜ ca e e ca e
seguinte:
Teorema 5.4.1 Sejam A e B conjuntos e f : A → B uma fun¸˜o bijetora. Ent˜o f −1
ca a
´ uma fun¸˜o de B em A. Al´m disso, f −1 ´ bijetora.
e ca e e
Demonstra¸˜o: Primeiro vamos provar que f −1 ´ uma fun¸ao de B em A. Para isso,
ca e c˜
seja b ∈ B. Devemos mostrar que existe um unico a ∈ A tal que (b, a) ∈ f −1 . Vamos
´
l´. Como f ´ sobrejetora, existe a ∈ A tal que b = f (a) . Da´ (a, b) ∈ f e, portanto,
a e ı
(b, a) ∈ f −1 . Mostraremos agora que esse a ´ unico. Suponha que (b, a1 ) ∈ f −1 e que
e ´
(b, a2 ) ∈ f −1 . Logo, (a1 , b) ∈ f e (a2 , b) ∈ f. Assim, f (a1 ) = b = f (a2 ) . Como f ´
e
injetora, segue que a1 = a2 . Portanto, f −1 ´ fun¸ao.
e c˜
Agora vamos provar que f −1 ´ uma fun¸˜o bijetora. Come¸amos mostrando que ela
e ca c
´ injetora. Suponha que f −1 (a) = f −1 (b) . Digamos que esse valor comum seja c, ou
e
seja,f −1 (a) = c = f −1 (b) . Portanto, (a, c) ∈ f −1 e (b, c) ∈ f −1 . Da´ (c, a) ∈ f e
ı,

47. ¸˜ ¸˜
5.5. COMPOSICAO DE FUNCOES 45
(c, b) ∈ f. Como f ´ fun¸˜o, devemos ter a = b, o que mostra que f −1 ´ injetora.
e ca e
Mostremos agora que f −1 ´ sobrejetora.
e Seja a ∈ A. Ent˜o, b = f (a) ´ tal que
a e
(a, b) = (a, f (a)) ∈ f. Portanto, (b, a) ∈ f −1 , ou seja, f −1 (b) = a e da´ f −1 ´ sobre-
ı e
jetora.
Observa¸˜o 5.4.1 Quando f : A → B ´ bijetora, a fun¸˜o f −1 : B → A ´ chamada de
ca e ca e
Fun¸˜o Inversa de f .
ca
5.5 Composi¸˜o de Fun¸oes
ca c˜
Como as fun¸oes s˜o casos particulares de rela¸˜es ent˜o faz sentido falarmos na composta
c˜ a co a
de duas fun¸oes. O fato mais importante agora ´ que a composta de duas fun¸oes ´ uma
c˜ e c˜ e
fun¸ao. De fato, se f : A → B e g : B → C s˜o duas fun¸oes, a rela¸ao composta de g e
c˜ a c˜ c˜
f ´ a rela¸ao de A em C definida por
e c˜
g ◦ f = {(a, c) ∈ A × C| Existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ f ∧ (b, c) ∈ g} .
Para provarmos que ela ´ uma fun¸˜o, precisamos provar duas coisas:
e ca
1. Todo elemento de A se relaciona com algum elemento de C.
De fato, seja a ∈ A. como f ´ fun¸ao de A em B temos que existe b ∈ B tal que
e c˜
(a, b) ∈ f. Por outro lado, g : B → C ´ fun¸ao e da´ existe c ∈ C tal que (b, c) ∈ g.
e c˜ ı,
Logo, pela defini¸˜o de composta, (a, c) ∈ g ◦ f.
ca
2. Todo elemento de A se relaciona com um unico elemento de C.
´
Suponha que (a, c1 ) ∈ g ◦ f e (a, c2 ) ∈ g ◦ f. Ent˜o, por defini¸˜o, existem b1 ∈ B
a ca
tais que (a, b1 ) ∈ f e (b1 , c1 ) ∈ C, bem como b2 ∈ B tal que (a, b2 ) ∈ f e (b2 , c2 ) ∈ g.
como f ´ fun¸ao, devemos ter b1 = b2 . Como g ´ fun¸ao, devemos ter c1 = c2 .
e c˜ e c˜
Agora sim, podemos definir a Fun¸˜o Composta de g e f definida como sendo a
ca
rela¸ao composta de g e f. Pelo que provamos acima ela de fato ´ uma fun¸ao.
c˜ e c˜
Exemplo 5.5.1 Considere A = {a, b, c, d} , B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {x, y, z, w, t} e as
fun¸˜es f : A → B e g : B → C definidas respectivamente por f = {(a, 1) , (b, 1) , (c, 4) , (d, 5)}
co
e g = {(1, x) , (2, y) , (3, y) , (4, w) , (d, x)} . Ent˜o g◦f ´ dada por g◦f = {(a, x) , (b, x) , (c, w) , (d, x)} .
a e
Observa¸˜o 5.5.1 Se f : A → B e g : B → C s˜o fun¸˜es dadas por regras ent˜o g ◦ f
ca a co a
´ definida pela regra g ◦ f (x) = g (f (x)) , para cada x ∈ A.
e

48. 46 CAP´ ¸˜
ITULO 5. FUNCOES
Exemplo 5.5.2 Se f : R → R ´ dada por f (x) = x + 1 e g : R → R por g (x) = x2 ,
e
ent˜o g ◦ f (x) = g (f (x)) = (x + 1)2 e f ◦ g (x) = f (g (x)) = x2 + 1.
a
Recordamos que, dado um conjunto A = ∅, a fun¸ao iA : A → A dada por i (x) = x ´
c˜ e
conhecida como fun¸˜o identidade de A.
ca
Teorema 5.5.1 Suponha que f : A → B ´ uma fun¸˜o. Ent˜o f ´ bijetora se e somente
e ca a e
se, existe uma fun¸˜o g : B → A tal que
ca
g ◦ f = idA e f ◦ g = idB .
Demonstra¸˜o: Suponhamos que f : A → B seja bijetora. Vamos mostrar que a fun¸ao
ca c˜
g = f −1 satisfaz g ◦ f = idA e f ◦ g = idB . Vamos l´. Seja x ∈ A. Ent˜o (x, f (x)) ∈ f.
a a
Da´ (f (x) , x) ∈ f −1 . Logo, por defini¸ao,
ı c˜
g (f (x)) = f −1 (f (x)) = x,
donde segue que g ◦ f = idA . Seja agora y ∈ B. Ent˜o (y, f −1 (y)) ∈ f −1 . Logo
a
(f −1 (y) , y) ∈ f. Portanto, f −1 (f (y)) = f (g (y)) = y. Portanto f ◦ g = idB .
Suponha agora que exista g : B → A tal que g ◦ f = idA e f ◦ g = idB . Vamos
provar primeiro que f ´ injetora. Para isso, sejam a, b ∈ A tal que f (a) = f (b) . Logo
e
g (f (a)) = g (f (b)) , ou seja, a = b. Portanto f ´ injetora. Mostremos agora que f ´
e e
sobrejetora. Seja b ∈ B. Ent˜o sabemos que f (g (b)) = b. Se fizermos g (b) = a teremos
a
f (a) = b e, portanto, f ´ sobrejetora.
e

49. Cap´
ıtulo 6
Cardinais
Estudaremos neste texto a no¸˜o de n´mero cardinal de um conjunto. Para conjuntos
ca u
finitos ele corresponde ao que esperamos: o n´mero cardinal de um conjunto finito ´ a
u e
sua quantidade de elementos. Para conjuntos infinitos isso j´ muda. O n´mero cardinal
a u
n˜o ser´ definido. Diremos apenas quando dois conjuntos tˆm o mesmo n´mero cardinal.
a a e u
A partir disso podemos comparar n´meros cardinais e fazermos opera¸oes aritm´ticas
u c˜ e
entre eles.
6.1 Defini¸oes e alguns exemplos
c˜
Defini¸˜o 6.1.1 Sejam A e B conjuntos. Diremos que A e B tˆm a mesma cardi-
ca e
nalidade ou que s˜o equivalentes ou que tˆm o mesmo n´ mero cardinal se existe
a e u
uma fun¸˜o bijetora f : A → B. Denotaremos isso por A ∼ B.
ca
Exerc´
ıcio 1 Sejam A, B e C conjuntos. Prove que:
1. A ∼ A,
2. Se A ∼ B ent˜o B ∼ A,
a
3. Se A ∼ B e B ∼ C ent˜o A ∼ C.
a
Observa¸˜o 6.1.1 Na defini¸˜o acima n˜o est´ dito o que ´ n´mero cardinal de um
ca ca a a e u
conjunto. O que est´ dito ´ quando dois conjuntos possuem o mesmo n´mero cardinal.
a e u
Observa¸˜o 6.1.2 Logo mais ser´ conveniente tratar o n´mero cardinal de um con-
ca a u
junto A como um n´mero no sentido em que entendemos. Portanto, ser´ conveniente
u a
adotarmos uma nota¸˜o para ele. A mais usada ´ |A|.
ca e
47

50. 48 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 6.1.1 Sejam A = {1, 2, 3} e B = { , , } . Observe que os conjuntos A e
B tˆm o mesmo cardinal. Nesse caso, bem como no caso de qualquer conjunto finito,
e
podemos interpretar o n´mero cardinal como sendo o n´mero de elementos do conjunto.
u u
Assim, podemos dizer que |A| = 3, onde o s´mbolo 3 tem o significado de que qualquer
ı
conjunto equivalente ao conjunto A possui essa mesma quantidade de elementos. Por
um racioc´nio an´logo, o conjunto {1, 2, ..., n} tem n´mero cardinal igual a n. Faremos
ı a u
a conven¸˜o de que |∅| = 0. Trataremos dos conjuntos com n´mero cardinal finito mais
ca u
detalhadamente na pr´xima se¸˜o.
o ca
Exemplo 6.1.2 Seja A = N ∪ {0} = {0, 1, 2, ...} e B = N = {1, 2, 3, ...} . Aqui as coisas
come¸am a ficar diferentes porque aparentemente o conjunto A tem mais elementos que
c
o conjunto B, j´ que ele tem o elemento 0 a mais. Entretanto, a fun¸˜o f : A → B dada
a ca
por f (x) = x − 1 ´ bijetora . Assim A e B tˆm o mesmo cardinal.
e e
Exerc´
ıcio 2 Prove que a fun¸˜o do exemplo anterior ´ bijetora
ca e
Exemplo 6.1.3 Em seu livro ”Di´logo sobre duas novas ciˆncias”o cientista italiano
a e
Galileu Galilei j´ discutia acerca de conjuntos com a mesma cardinalidade. O seguinte
a
di´logo foi extra´do da tradu¸˜o [2]:
a ı ca
Salviati: ...Portanto se digo que todos os n´meros, compreendendo os quadrados e os
u
n˜o-quadrados, s˜o mais [numerosos] que os simples quadrados, enunciarei uma proposi¸˜o
a a ca
verdadeira, n˜o ´ assim?
a e
Simpl´
ıcio: N˜o se pode dizer de outro modo.
a
Salviati: Se pergunto a seguir, quantos s˜o os n´meros quadrados, pode-se responder
a u
com certeza que s˜o tantos quanto s˜o as ra´zes, posto que cada quadrado tem sua raiz,
a a ı
cada raiz tem seu quadrado, nem existe quadrado que possua mais que uma s´ raiz, nem
o
raiz com mais que um s´ quadrado.
o
Simpl´
ıcio: Assim ´.
e
Salviati: Mas se pergunto quantas s˜o as ra´zes, n˜o se pode negar que elas s˜o tantas
a ı a a
quanto os n´meros, visto que n˜o existe nenhum n´mero que n˜o seja raiz de algum
u a u a
quadrado. Sendo assim, ´ conveniente dizer que temos tantos n´meros quadrados quanto
e u
n´meros, porque s˜o tantos quanto suas ra´zes, e as ra´zes s˜o todos os n´meros.
u a ı ı a u
Em uma terminologia moderna, Galileu estabelece que o conjunto dos n´meros naturais
u

51. ´
6.2. NUMEROS CARDINAIS FINITOS 49
N = {1, 2, 3, ...} e o conjunto dos quadrados S = {1, 4, 9, 16, ...} tˆm o mesmo n´mero
e u
cardinal. O argumento de Galileu ´ precisamente o mesmo que usamos, ou seja, a fun¸˜o
e ca
h : N → S dada por h(n) = n2 para todo n ∈ N ´ bijetora. Isso segue do fato de que
e
√
k : S → N dada por k(n) = n para todo n ∈ S, ´ a inversa de h.
e
Exemplo 6.1.4 Os conjuntos N e Z tˆm o mesmo n´mero cardinal. De fato, a fun¸˜o
e u ca
f : N → Z dada por
n
2
, se n ´ par,
e
f (n) =
− n−1 ,
2
se n ´ ´mpar.
eı
´ bijetora.
e
Exerc´
ıcio 3 Prove que a fun¸˜o definida no exemplo anterior ´ bijetora.
ca e
Exemplo 6.1.5 Sejam [a, b] e [c, d] dois intervalos fechados em R, com a < b e c < d.
Ent˜o [a, b] ∼ [c, d]. Seja g : [a, b] → [c, d] dada por
a
d−c
g(x) = (x − a) + c,
b−a
para todo x ∈ [a, b]. N˜o ´ dif´cil mostrar que a fun¸˜o g ´ bijetora. Um argumento
a e ı ca e
semelhante mostra que intervalos abertos da forma (a, b) e (c, d) tˆm o mesmo n´mero
e u
cardinal.
Exerc´
ıcio 4 Prove que a fun¸˜o g do exemplo anterior ´ bijetora.
ca e
Exerc´
ıcio 5 Prove que:
1. [c, +∞) ∼ [a, b],
2. (−∞, c] ∼ [a, b],
3. (−1, 1) ∼ R.
6.2 N´ meros Cardinais Finitos
u
Veremos agora um importante tipo de n´mero cardinal que ´ aquele associado aos conjun-
u e
tos finitos. J´ possu´
a ımos contato com ele desde pequenos quando efetuamos contagens.
Seja n ∈ N. Vamos denotar por In o conjunto dos n´meros naturais entre 1 e n, ou seja,
u
In = {1, ..., n} = {x ∈ N; 1 ≤ x ≤ n} . Assim, I1 = {1} , I2 = {1, 2} , etc.

52. 50 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Defini¸˜o 6.2.1 Diremos que um conjunto A ´ finito se A = ∅ ou se existir n ∈ N tal
ca e
que A ∼ In . Um conjunto que n˜o ´ finito ser´ chamado de infinito.
a e a
Exemplo 6.2.1 O conjunto N ´ infinito. De fato, seja f : N → In , onde n ∈ N.
e
Usaremos o seguinte truque para mostrarmos que f n˜o pode ser bijetora: suporemos
a
que ela ´ sobrejetora e mostraremos que ela n˜o pode ser injetora. Vamos l´. Como
e a a
f ´ sobrejetora, existem x1 , x2 , ..., xn ∈ N tais que f (x1 ) = 1, f (x2 ) = 2, ..., f (xn ) = n.
e
Como o conjunto {x1 , ..., xn } ´ finito, ele possui maior elemento, digamos xk . Como
e
xk + 1 > xk , segue que xk + 1 ∈ {x1 , ..., xn } . Agora note que f (xk + 1) ∈ {1, 2, ..., n} . Da´
ı,
f (xk + 1) = f (xj ), mas xk + 1 = xj , donde conclu´mos que f n˜o ´ injetora. Portanto
ı a e
ela n˜o pode ser bijetora. Da´, N ´ infinito.
a ı e
Observa¸˜o 6.2.1 Se A ´ um conjunto finito n˜o vazio ent˜o, por defini¸˜o, existe uma
ca e a a ca
bije¸˜o entre In e A para algum n ∈ N. Essa bije¸˜o pode ser pensada como uma contagem
ca ca
dos elementos de A. Podemos perguntar: Pode existir m ∈ N, com m = n de modo que
exista uma bije¸˜o entre Im e A? Dito de outra maneira: Ser´ que duas contagens dos
ca a
elementos de A podem fornecer diferentes resultados? Bom, caso as contagens tenham
e ˜
sido feitas corretamente a resposta a essa pergunta ´ NAO e a demonstra¸˜o ser´ dada
ca a
logo adiante. Portanto, o n´mero n que aparece na defini¸˜o anterior ´ unico para cada
u ca e´
conjunto A e ser´ chamado o seu N´mero de elementos.
a u
Observa¸˜o 6.2.2 Denotaremos por n o n´mero cardinal de um conjunto finito com n
ca u
elementos.
Observa¸˜o 6.2.3 Se A for um conjunto finito, ent˜o tanto existe uma bije¸˜o entre
ca a ca
In e A como uma entre A e In . No que segue sempre usaremos esse fato sem maiores
coment´rios.
a
O Teorema a seguir ser´ muito importante para o restante de nossa discuss˜o.
a a
Teorema 6.2.1 Sejam m e n n´meros naturais com m > n e f : Im → In uma fun¸˜o.
u ca
Ent˜o f n˜o ´ injetora.
a a e
Demonstra¸˜o: Usaremos indu¸ao em n. O que queremos provar ´ que, para todo
ca c˜ e
n´mero natural m > n, se f : Im → In ´ uma fun¸ao, ent˜o f n˜o ´ injetora. Comecemos
u e c˜ a a e
com o caso n = 1. Temos que se m > 1 ent˜o f : Im → {1} ´ tal que f (1) = f (m) = 1.
a e
Como m = 1, temos que f n˜o ´ injetora. Suponhamos agora que o resultado seja v´lido
a e a

53. ´
6.2. NUMEROS CARDINAIS FINITOS 51
para n e vamos prov´-lo para n + 1. Seja f : Im → In+1 uma fun¸ao, com m > n + 1.
a c˜
Suponhamos, por absurdo, que f seja injetora. Considere k, com 1 ≤ k ≤ m, o unico
´
n´mero para o qual f (k) = n + 1. Defina ent˜o a seguinte fun¸ao g : Im → In+1 por:
u a c˜

 f (x) , se x = k, m


g (x) = n + 1, se x=m


 f (m) se x=k
Veja que a unica diferen¸a entre f e g ´ nos valores em k e em m. Como m > n + 1, temos
´ c e
que m − 1 > n e podemos definir uma fun¸˜o h : Im−1 → In por h (x) = g (x) . Note que
ca
h ´ injetora, pois g o ´. Mas isso ´ uma contradi¸ao. Logo f n˜o pode ser injetora e o
e e e c˜ a
resultado est´ provado.
a
Veremos agora algumas conseq¨ˆncias desse resultado.
ue
Corol´rio 6.2.1 Se f : Im → In ´ injetora ent˜o m ≤ n.
a e a
Demonstra¸˜o: Imediatamente a partir do Teorema 1. Pois se m > n ent˜o f n˜o
ca a a
pode ser injetora, um absurdo.
Corol´rio 6.2.2 Se f : Im → In ´ sobrejetora ent˜o m ≥ n.
a e a
Demonstra¸˜o: Suponha que n˜o, isto ´, que m < n. Como f ´ sobrejetora, podemos
ca a e e
definir g : In → Im da seguinte maneira g (x) = y, onde y ´ algum elemento de Im cujo f
e
vale x. A fun¸˜o g ´ injetora porque se g (a) = g (b) = c, ent˜o pela defini¸ao de g segue
ca e a c˜
que a = f (c) = b. Mas o que encontramos foi uma fun¸ao injetora de In em Im com
c˜
n > m. Isso ´ um absurdo pelo Teorema 1.
e
Corol´rio 6.2.3 Se f : Im → A e g : In → A s˜o bije¸˜es ent˜o m = n.
a a co a
ca ´
Demonstra¸˜o: E imediata a partir dos dois corol´rios anteriores.
a
Corol´rio 6.2.4 Se f : A → B ´ bije¸˜o e um dos dois conjuntos for finito, o outro
a e ca
tamb´m o ser´.
e a
Demonstra¸˜o: Suponha que A seja finito e que f : A → B seja uma bije¸ao. Como
ca c˜
A ´ finito, existe uma bije¸˜o g : In → A. Ent˜o f ◦ g : In → B ´ uma bije¸˜o pois ´
e ca a e ca e
composta de bije¸˜es. Logo B ´ finito. Se B for finito, usa-se o mesmo argumento para
co e
mostrar que A tamb´m ´ finito.
e e

54. 52 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Teorema 6.2.2 Se B ⊂ A e A ´ finito, ent˜o B ´ finito.
e a e
Demonstra¸˜o: Primeiro vamos provar no caso particular de A ser algum In . O que
ca
queremos provar ´ que se B ⊂ In ent˜o B ´ finito. Se B = ∅, ent˜o ele ´ finito por
e a e a e
defini¸ao. Suponhamos ent˜o que B = ∅. Vamos provar que B ´ finito por indu¸ao em n.
c˜ a e c˜
Comecemos pelo caso n = 1. Se n = 1 ent˜o I1 = {1} e, como B = ∅, temos que B = I1 ,
a
sendo, portanto, finito. Suponhamos agora o resultado v´lido para n e vamos prov´-lo
a a
para n + 1. Seja B ⊂ In+1 , n˜o-vazio. Se n + 1 ∈ B, segue que B ⊂ In e ´ finito, pela
a / e
hip´tese de indu¸˜o. Se n + 1 ∈ B, ent˜o B − {n + 1} ⊂ In sendo, pois, finito. Assim,
o ca a
existe f : Ik → B − {n + 1} , para algum k. Defina agora a fun¸ao g : Ik+1 → B por:
c˜
f (x) se x=k+1
g (x) =
n+1 se x=k+1
´ a
E f´cil ver que a fun¸˜o g ´ uma bije¸ao. Logo o resultado vale para n + 1 e pelo princ´
ca e c˜ ıpio
de indu¸ao, ele vale para todo n ∈ N. Suponha agora que A n˜o seja necessariamente
c˜ a
In . Como A ´ finito, existe f : A → In bijetora. Ent˜o se considerarmos g como sendo a
e a
restri¸ao de f a B, vemos que g : B → I (g) ´ bijetora. Como I (g) ⊂ In , segue que ele ´
c˜ e e
finito. Logo, pelo Corol´rio anterior temos que B ´ finito.
a e
Teorema 6.2.3 Sejam A um conjunto finito e B ⊂ A com B = A, n˜o pode existir
a
bije¸˜o entre A e B.
ca
Demonstra¸˜o: Comecemos como antes, provando no caso particular de A = In . Se
ca
B = ∅, ent˜o n˜o existe nenhuma fun¸˜o entre In e B, muito menos alguma que seja
a a ca
bijetora. Vamos provar por indu¸˜o em n. Aqui um detalhe, a indu¸ao come¸a em n = 2.
ca c˜ c
Observe que B ⊂ I2 e B = I2 . Como B ´ finito, existe uma bije¸ao entre B e I1 e portanto,
e c˜
se houver uma bije¸˜o entre B e I2 , teremos encontrado uma bije¸˜o entre I1 e I2 , o que
ca ca
n˜o ´ poss´ pelo Corol´rio (3). Assim, provamos o caso n = 2. Suponhamos agora o
a e ıvel a
resultado v´lido para n e vamos prov´-lo para n + 1. Seja ent˜o B ⊂ In+1 e suponhamos,
a a a
por absurdo, que exista f : In+1 → B, bijetora. Aqui h´ dois casos a considerar:
a
1. Se n + 1 ∈ B, temos que B − {n + 1} ⊂ In e B − {n + 1} = In . Seja k ∈ In+1 tal
que f (k) = n + 1. Defina g : In+1 → B por:

 f (x)
 se x = n + 1, k

g (x) = f (n + 1) , se x=k


 n + 1, se x=n+1

55. ´
6.2. NUMEROS CARDINAIS FINITOS 53
Observe que essa constru¸ao continua consistente, mas desnecess´ria, para o que
c˜ a
vem em seguida se f (n + 1) = n + 1. A fun¸ao g s´ difere da f nos pontos k e
c˜ o
n + 1. Agora defina h : In → B − {n + 1} , como sendo a restri¸ao de g a In . Vemos
c˜
que g ´ bijetora e, conseq¨entemente h. Portanto, acabamos de violar a hip´tese
e u o
de indu¸ao, ocasionando um absurdo.
c˜
2. Se n + 1 ∈ B, ent˜o B ⊂ In , mas j´ n˜o podemos afirmar que eles s˜o diferentes.
/ a a a a
Se eles forem iguais, temos que f ´ uma bije¸ao entre In e In+1 , o que ´ absurdo.
e c˜ e
Ent˜o podemos trabalhar sossegados com a hip´tese de que B ⊂ In e B = In .
a o
Considere ent˜o k = f (n + 1) , e defina h : In → B − {k} , como sendo a restri¸˜o
a ca
de f a In . Como h ´ a restri¸˜o de f que estamos supondo bijetora, segue que h
e ca
tamb´m o ´. Assim, outra vez a hip´tese de indu¸˜o foi violada.
e e o ca
Logo, como em ambos os casos temos uma contradi¸˜o, n˜o podemos ter f uma bije¸ao,
ca a c˜
donde o resultado est´ provado para n + 1 e, ent˜o ele vale para todo n ∈ N.
a a
Suponhamos agora que A n˜o seja necessariamente In . Como ele ´ finito, existe uma
a e
bije¸ao f entre A e algum In . Sendo B ⊂ A, com B = ∅, vamos supor, por absurdo, que
c˜
exista uma bije¸˜o h entre B e A. Como B ´ um subconjunto pr´prio de A, segue que I (g)
ca e o
´ um subconjunto pr´prio de In , onde g ´ a restri¸˜o de f a B. Da´ f ◦h◦g −1 : I (g) → In
e o e ca ı,
´ uma bije¸ao, o que ´ imposs´
e c˜ e ıvel, pelo que provamos antes . Logo, n˜o pode existir a
a
bije¸ao h como afirmado. Portanto, o resultado est´ provado.
c˜ a
Observa¸˜o 6.2.4 O Teorema anterior nos d´ um crit´rio muito bom para dizer quando
ca a e
um conjunto ´ infinito: basta que sejamos capazes de exibir uma bije¸˜o entre ele e uma
e ca
parte pr´pria sua. Checar se um conjunto ´ infinito apenas usando a nega¸˜o da defini¸˜o
o e ca ca
de conjunto finito ´ algo por vezes dif´cil. Tente, por exemplo, sem recorrer ao referido
e ı
teorema, mostrar que Z ´ infinito.
e
Observa¸˜o 6.2.5 O matem´tico alem˜o Julius Dedekind, baseado no resultado acima,
ca a a
definiu conjunto infinito como sendo aquele que possui uma bije¸˜o com uma parte pr´pria
ca o
sua. Para ver como a teoria se desenvolve a partir dessa defini¸˜o, consulte [3].
ca
Exemplo 6.2.2 N ´ infinito. De fato, basta ver que f : N → P dada por f (n) = 2n ´
e e
uma bije¸˜o, onde P ´ o conjunto dos n´meros naturais pares.
ca e u
Exemplo 6.2.3 Z ´ infinito. De fato, considere a fun¸˜o dada pelo exemplo 6.1.4.
e ca

56. 54 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Exerc´
ıcios
1. Se A ´ finito e b ∈ A, prove que A ∪ b ´ finito.
e / e
2. Se A e B s˜o conjuntos finitos, prove que A ∪ B ´ finito e encontre uma f´rmula
a e o
para o seu n´mero cardinal.
u
3. Se A e B s˜o conjuntos finitos, prove que A × B ´ finito.
a e
4. Suponha que f : A → B ´ uma fun¸ao injetora e que B ´ finito. Prove que A
e c˜ e
tamb´m ´ finito. Vale a rec´
e e ıproca desse resultado ?
5. Suponha que f : A → B ´ uma fun¸˜o sobrejetora e que A ´ finito. Prove que B
e ca e
tamb´m ´ finito. Vale a rec´
e e ıproca desse resultado ?
6. A ideia agora ´ generalizar o exerc´ 2. Prove que a uni˜o de uma quantidade
e ıcio a
finita de conjuntos finitos tamb´m ´ um conjunto finito. Pesquise sobre uma f´rmula
e e o
para o n´mero cardinal dessa uni˜o.
u a
7. Se A ´ um conjunto finito prove que f : X → X ´ injetora se e somente se ´
e e e
sobrejetora.
6.3 N´ meros cardinais infinitos
u
Na se¸ao anterior definimos os conjuntos finitos e denotamos o n´mero cardinal associado
c˜ u
ao conjunto In , ou a qualquer conjunto a ele equivalente, por n. Galileu Galilei em seu
trabalho ”Discurso sobre duas novas ciˆncias”, postulou que todos os conjuntos infinitos
e
teriam o mesmo n´mero cardinal, conforme o trecho abaixo extra´ de [2]:
u ıdo
Salviati: N˜o vejo que se possa chegar a outra conclus˜o: que infinitos s˜o todos os
a a a
n´meros, infinitos os quadrados, infinitos suas ra´
u ızes, que a quantidade dos quadrados
n˜o ´ menor que aquela de todos os n´meros, nem esta maior que aquela; e finalmente,
a e u
que os atributos de maior, menor e igual n˜o se aplicam aos infinitos, mas apenas as
a `
quantidades finitas. Desse modo, quando o Sr. Simpl´
ıcio me prop˜e linhas desiguais
o
e me pergunta como pode acontecer que nas maiores n˜o existem mais pontos que nas
a
menores, respondo-lhe que n˜o existem nem mais, nem menos, nem outros tantos, mas
a
infinitos em cada uma. Se sinceramente respondesse que os pontos de uma linha s˜o tan-
a
tos quanto s˜o os n´meros quadrados, que noutra linha maior s˜o tantos quanto todos
a u a
os n´meros, e que na menor tantos quanto s˜o os n´meros cubos, n˜o estaria dando uma
u a u a

57. ´
6.3. NUMEROS CARDINAIS INFINITOS 55
resposta satisfat´ria.
o
Galileu estava essencialmente dizendo que todos os conjuntos infinitos tˆm o mesmo
e
n´mero cardinal. Um dos principais feitos do grande matem´tico alem˜o Georg Cantor
u a a
foi perceber que, na categoria dos conjuntos infinitos, existem aqueles que possuem difer-
entes n´meros cardinais, como, por exemplo N e R. Provaremos esse fato mais adiante.
u
Introduziremos agora um novo n´mero cardinal. Ele vai estar associado ao conjunto dos
u
n´meros naturais e a todos os conjuntos a ele equivalentes.
u
Defini¸˜o 6.3.1 Diremos que um conjunto ´ enumer´vel quando for finito ou, no caso
ca e a
de ser infinito, existir uma bije¸˜o entre ele e N.
ca
Exemplo 6.3.1 Por defini¸˜o In ´ enumer´vel, pois ´ finito. Tamb´m s˜o enumer´veis
ca e a e e a a
N e Z. Veremos logo mais outro exemplo importante de conjunto enumer´vel, a saber,
a
Q.
Observa¸˜o 6.3.1 O n´mero cardinal do conjunto N ser´ denotado por ℵ0 , que lemos
ca u a
alef-zero. Assim, o n´mero cardinal de qualquer conjunto infinito e enumer´vel ser´
u a a
ℵ0 .
Observa¸˜o 6.3.2 Dois fatos ser˜o usados aqui repetidas vezes.
ca a
Fato 1 Se f : A → B ´ uma fun¸˜o injetora ent˜o f : A → f (A) ´ bijetora. Lembre:
e ca a e
f (A) indica a imagem do conjunto A por f.
Fato 2 Se f : A → B ´ uma fun¸˜o sobrejetora ent˜o existe uma fun¸˜o injetora g :
e ca a ca
B → A.
Veremos agora algumas importantes propriedades dos conjuntos enumer´veis. Doravante,
a
para evitar trivialidades, suporemos que os nossos conjuntos enumer´veis ser˜o sempre
a a
infinitos. Quando n˜o for assim, chamaremos a aten¸ao.
a ` c˜
Teorema 6.3.1 Todo conjunto X cont´m algum subconjunto infinito enumer´vel.
e a
Demonstra¸˜o: Vamos definir uma fun¸ao injetora f : N → X. Se fizermos isso, ´ s´
ca c˜ e o
lembrar do fato 1 e ver que entre f (N) e N vai existir uma bije¸ao. A´ pronto, f (N) ser´
c˜ ı a
o nosso conjunto procurado. Ent˜o vamos l´. Como X ´ infinito, existe um elemento
a a e
x1 ∈ X. Defina f (1) = x1 . Como X ´ infinito, X − {x1 } ´ infinito. Ent˜o existe um
e e a
x2 ∈ X − {x1 } . Defina f (2) = x2 . Agora ´ s´ prosseguir. De uma maneira geral, o
e o

58. 56 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
conjunto X − {x1 , ..., xn } ´ infinito e portanto existe xn+1 ∈ X − {x1 , ..., xn }. Definimos
e
ent˜o f (n + 1) = xn+1 . Veja que essa fun¸˜o ´ injetora, pois se m, n ∈ N, com m = n,
a ca e
devemos ter necessariamente f (m) = f (n) . De fato, se m = n, ent˜o, digamos, m > n.
a
Da´ na hora de encontrar o xm , vamos escolhˆ-lo no conjunto X − {x1 , ..., xn , ..., xm−1 } .
ı, e
Da´ n˜o h´ perigo em coincidirem os valores de xn e xm pois este ultimo vai ser escolhido
ı, a a ´
num conjunto onde o primeiro n˜o est´. Como f (n) = xn e f (m) = xm , segue que
a a
f (n) = f (m) , e a demonstra¸˜o acabou.
ca
Teorema 6.3.2 Todo subconjunto de N ´ enumer´vel
e a
Demonstra¸˜o: Seja X ⊂ N. Se X for finito, ent˜o por defini¸˜o ele ser´ enumer´vel e
ca a ca a a
acabou a demonstra¸˜o. Se ele for infinito, vamos definir uma fun¸˜o bijetora f : N → X.
ca ca
Como X =, existe, pelo (PBO) o menor elemento de X. Defina f (1) como sendo
o menor elemento de X. Como X − {f (1)} = ∅, pelo (PBO), ele possui menor ele-
mento. Defina f (2) como sendo o menor elemento de X − {x1 } . Como X − {x1 , x2 } =
∅, pelo (PBO), ele possui menor elemento. Defina f (x3 ) como sendo o menor ele-
mento de X − {x1 , x2 } . Agora ´ s´ prosseguir. De uma maneira geral, o conjunto
e o
X − {x1 , ..., xn } = ∅ e portanto possui menor elemento. Defina f (n + 1) como sendo
o menor elemento de X − {x1 , ..., xn } . Vamos provar agora que essa fun¸˜o ´ bijetora.
ca e
Como f (1) < f (2) < f (3) < ... ent˜o f ´ injetora. Agora,vamos ver que ela tamb´m
a e e
´ sobrejetora. Suponha que n˜o seja. Ent˜o existe k ∈ N que n˜o pertence a imagem
e a a a `
de f. Da´ temos k > f (1) , k > f (2) , ... ou seja k > f (n) , para todo n ∈ N. Mas o
ı
conjunto N possui uma propriedade muito importante que diz que um subconjunto de N
´ infinito se e somente se ele n˜o possuir cotas superiores. Logo, o que n´s encontramos
e a o
com o n´mero k foi uma cota superior para um conjunto de n´meros naturais infinito.
u u
N˜o pode pela propriedade que acabamos de citar! Conclus˜o: um tal k n˜o existe e,
a a a
portanto, f ´ sobrejetora. Logo, X ´ enumer´vel.
e e a
Teorema 6.3.3 Se f : A → B ´ injetora e B ´ enumer´vel, ent˜o A tamb´m o ´.
e e a a e e
Demonstra¸˜o: Se B ´ enumer´vel, ent˜o existe g : B → N bijetora. Logo, g ◦ f :
ca e a a
A → N ´ injetora. Portanto, pelo fato (1), g ◦ f : A → g ◦ f (A) ´ uma bije¸ao. Mas
e e c˜
g ◦ f (A) ⊂ N, logo ´ enumer´vel, donde conclu´
e a ımos que A tamb´m ´ enumer´vel.
e e a
Teorema 6.3.4 Se f : A → B ´ sobrejetora e A ´ enumer´vel, ent˜o B tamb´m o ´.
e e a a e e

59. ´
6.3. NUMEROS CARDINAIS INFINITOS 57
Demonstra¸˜o: Comece lembrando do Fato 2. Agora veja que temos uma fun¸˜o inje-
ca ca
tora de B em A. Use agora a propriedade anterior, trocando A por B. Acabou.
Exemplo 6.3.2 Vamos mostrar neste exemplo que N × N ´ enumer´vel. Considere a
e a
fun¸˜o f : N × N → N dada por f (m, n) = 2m 3n . N˜o ´ dif´cil mostrar1 que f ´ injetora.
ca a e ı e
Logo, pelo teorema 6.3.3 temos que N × N ´ enumer´vel.
e a
Teorema 6.3.5 Se A e B s˜o enumer´veis ent˜o A × B tamb´m o ´.
a a a e e
Demonstra¸˜o: Como A e B s˜o enumer´veis, existem f : N → A e g : N → B
ca a a
ambas bijetoras. Agora considere a fun¸ao F : N × N → A × B, dada por F (m, n) =
c˜
(f (m) , g (n)) . Observe que F ´ sobrejetora, pois f e g o s˜o. Logo, pelo teorema 6.3.4,
e a
temos que A × B ´ enumer´vel.
e a
Exemplo 6.3.3 J´ vimos que Z ´ enumer´vel. N˜o ´ dif´cil mostrar que Z∗ tamb´m ´
a e a a e ı e e
enumer´vel. Pelo teorema 6.3.5, temos que Z × Z tamb´m ´ enumer´vel. Agora defina
a e e a
f : Z × Z → Q por f (m, n) = m/n. Veja que f ´ sobrejetora. Logo, pelo teorema 6.3.4,
e
temos que Q ´ enumer´vel.
e a
Teorema 6.3.6 Seja {Ai }i∈N uma fami´lia de conjuntos enumer´veis indexada por N.
ı a
∞
Ent˜o
a i=1 Ai ´ enumer´vel.
e a
Demonstra¸˜o: Para cada m ∈ N temos que existe uma fun¸ao bijetora, em particular
ca c˜
∞
sobrejetora, fm : N → Am . Defina f : N×N → i=1 Ai por f (m, n) = fm (n) . Essa fun¸ao
c˜
∞
´ sobrejetora. De fato, seja x ∈
e i=1 Ai . Ent˜o x ∈ Am para algum m ∈ N. Logo, como
a
fm ´ sobrejetora, segue que fm (n) = x, para algum n ∈ N. Assim, f (m, n) = fm (n) = x.
e
∞
Assim, como N × N ´ enumer´vel, o teorema 6.3.4 nos garante que
e a i=1 Ai tamb´m o
e
ser´.
a
Exemplo 6.3.4 Vamos ver outra prova da enumerabilidade de Q. Considere os conjun-
tos A1 = {0/1} , A2 = {1/1, −1/1} , A3 = {1/2, 2/1, −1/2, −2/1} , A4 = {1/3, 3/1, −1/3, −3/1} , A5 =
{1/4, 2/3, 3/2, 4/1, −1/4, −2/3, −3/2, −4/1} . De uma maneira mais geral,
Ar = {1/ (r − 1) , 2/ (r − 2) , ..., (r − 1) /1 e seus negativos } ,
1
N˜o mesmo!
a

60. 58 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
de onde exclu´mos o 1 e o −1 pois eles j´ aparecem em A2 . Observe duas coisas. A
ı a
primeira ´ que qualquer n´mero racional pertence a algum dos Ai . A segunda ´ que cada
e u e
∞
Ai ´ finito, sendo, portanto, enumer´vel. Logo, temos Q =
e a i=1 Ai e, pelo teorema 6.3.6,
temos que Q ´ enumer´vel.
e a
Exemplo 6.3.5 O conjunto R n˜o ´ enumer´vel. Para provarmos isso, suponhamos que
a e a
R o fosse. Ent˜o ter´amos uma fun¸˜o bijetora f : N → R. Denotando por f (n) = xn ,
a ı ca
temos que R pode ser representado por uma lista, ou seja, R = {x1 , x2 , x3 , ...} . Agora
seja I1 um intervalo fechado que n˜o contenha x1 . Agora seja I2 um intervalo fechado
a
que n˜o contenha x2 e que esteja contido em I1 . Seja agora I3 um intervalo fechado que
a
n˜o cont´m x3 e que esteja contido em I2 . Agora continuamos com esse processo. Vamos
a e
encontrar um n´mero real que n˜o est´ na lista acima, logo ela n˜o poder´ conter todos
u a a a a
∞
os n´meros reais. Vamos olhar para a interse¸˜o dos intervalos In . Observe que
u ca n=1 In
n˜o pode conter nenhum dos n´meros da lista acima, porque xn ∈ In j´ que eles foram
a u a
∞
escolhidos assim. Ent˜o nenhum dos xn pode pertencer `
a a n=1 In . Mas existe em R a
seguinte propriedade, cuja demonstra¸˜o foge um pouco ao n´vel do nosso curso:2
ca ı
Teorema 6.3.7 Para cada n ∈ N, suponha que sejam dados intervalos fechados In =
[an , bn ] , que satisfazem ` propriedade de que In+1 ⊂ In . Ent˜o a interse¸˜o dessa fam´lia
a a ca ı
de intervalos ´ n˜o vazia.
e a
∞
Logo, pela propriedade acima, n=1 In ´ n˜o vazia e, pelo que vimos, cont´m um elemento
e a e
que n˜o est´ na lista dos n´meros reais. Mas isso ´ um absurdo, porque supomos que
a a u e
esta lista continha todos os n´meros reais. Logo, R n˜o pode ser enumer´vel.
u a a
Exerc´
ıcios
1. Suponha que f : A → B ´ uma fun¸˜o injetora e que A ´ infinito. Prove que B
e ca e
tamb´m ´ infinito. Vale a rec´
e e ıproca desse resultado ?
2. Suponha que f : A → B ´ uma fun¸ao sobrejetora e que B ´ infinito. Prove que A
e c˜ e
tamb´m ´ infinito. Vale a rec´
e e ıproca desse resultado ?
3. Seja Aum conjunto e suponha que B ´ um subconjunto infinito de A. Prove que A
e
tamb´m ´ infinito.
e e
4. Sejam A, um conjunto infinito, B, um conjunto finito e f : A → B uma fun¸ao.
c˜
Prove que existe b ∈ B tal que f −1 ({b}) ´ infinito.
e
2
Veja a demonstra¸˜o no Curso de An´lise, volume 1, de Elon Lages Lima.
ca a

61. ´
6.3. NUMEROS CARDINAIS INFINITOS 59
5. Se A ∪ B ´ infinito, prove que pelo menos um deles deve ser infinito.
e
6. Se B ⊂ A, com B finito e A infinito, mostre que A − B ´ infinito. Se B for infinito
e
esse resultado ainda continua v´lido ?
a
7. Prove que Q, R e o intervalo (a, b) , com a < b, s˜o conjuntos infinitos.
a
8. Prove que se A ´ infinito, ent˜o A × A tamb´m ´ infinito.
e a e e
9. Pode a interse¸ao de uma quantidade infinita de conjuntos infinitos ser um conjunto
c˜
finito, mesmo se essa interse¸ao for n˜o-vazia ?
c˜ a
10. Prove que se A ´ um conjunto infinito e B ´ um conjunto finito, existem f : A → B
e e
sobrejetora e g : B → A injetora.
11. Sejam A um conjunto infinito e enumer´vel e B ⊂ A um conjunto finito. Mostre
a
a ´
que A − B ´ infinito e enumer´vel. E poss´
e ıvel, nas condi¸˜es anteriores, termos
co
A − B infinito e enumer´vel se B fosse infinito ?
a
12. Sejam A um conjunto n˜o enumer´vel e B ⊂ A um conjunto infinito e enumer´vel.
a a a
a ´
Mostre que A − B ´ n˜o-enumer´vel. E poss´
e a ıvel, nas condi¸˜es anteriores, termos
co
A − B n˜o-enumer´vel se B fosse n˜o-enumer´vel ?
a a a a
13. Mostre que C ´ n˜o-enumer´vel.
e a a
14. Mostre que o conjunto das fun¸oes de N em {0, 1} ´ n˜o-enumer´vel.
c˜ e a a
15. Mostre que se f : A → B uma bije¸ao. Mostre que se um dos conjuntos for
c˜
enumer´vel o outro tamb´m ser´. Se trocarmos a palavra enumer´vel pela express˜o
a e a a a
n˜o-enumer´vel chegamos ` mesma conclus˜o ?
a a a a
16. Mostre que existe uma bije¸ao entre ℘ (N) e o conjunto das fun¸˜es f : N → {0, 1} .
c˜ co
O que se pode dizer a respeito da enumerabilidade do primeiro ?
17. Mostre que o conjunto de todos os intervalos n˜o degenerados de R ´ n˜o-enumer´vel.
a e a a
18. Descubra o erro na seguinte demonstra¸ao de que o conjunto da quest˜o anterior ´
c˜ a e
enumer´vel: Denotemos por {x1 , x2 , x3 , ...} o conjunto dos n´meros racionais e seja
a u
I qualquer intervalo n˜o degenerado. Cada I cont´m infinitos n´meros racionais
a e u
xn , por´m entre eles haver´ aquele que fornecer´ o menor ´ndice n. Definamos uma
e a a ı
fun¸ao f definida no conjunto dos intervalos n˜o-degenerados em N por f (I) = n,
c˜ a

62. 60 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
onde xn ´ o n´mero racional com menor ´
e u ındice no intervalo I. Esta fun¸ao ´ injetora
c˜ e
e, portanto, o conjunto dos intervalos de R ´ enumer´vel.
e a
6.4 Mais exemplos de n´ meros cardinais
u
No que segue, denotaremos o n´mero cardinal de um conjunto A por |A|.
u
Exemplo 6.4.1 Um n´mero complexo z ser´ dito alg´brico se for raiz de um polinˆmio
u a e o
p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ,
onde an , an−1 , ..., a0 ∈ Z e an = 0. Um n´mero que n˜o ´ alg´brico ´ chamado de
u a e e e
Transcendente. N˜o ´ dif´cil verificar que todo n´mero racional ´ alg´brico (prove
a e ı u e e
√ √ √
como exerc´ ıcio). Alguns irracionais como 2 ou 2 + 3 s˜o alg´bricos (prove
a e
como exerc´
ıcio). Entretanto nem todos os irracionais s˜o alg´bricos. Pode-se mostrar,
a e
veja [1], que e e π s˜o transcendentes. Nosso prop´sito nesse exemplo ´ mostrar que
a o e
o conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel e, portanto, tem cardinal ℵ0 . Para
u e e a
isso, vamos introduzir a defini¸˜o de altura de um polinˆmio com coeficientes inteiros.
ca o
Seja p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 . Definimos a sua altura como sendo
h (p) = |an | + |an−1 | + ... + |a1 | + |a0 | + n. Por exemplo calcule a altura dos polinˆmios
o
p (x) = 2x3 + 5x2 e p (x) = x2 − 2, para vocˆ se familiarizar com a no¸˜o. Agora observe
e ca
que dado k ∈ N, existe uma quantidade finita de polinˆmios de altura k. Para ver isso
o
vocˆ come¸a observando que um polinˆmio de altura k tem que ter o grau menor que k.
e c o
Agora observe que, pelo teorema fundamental da ´lgebra qualquer polinˆmio de grau n
a o
tem exatamente n ra´zes complexas. Pronto, agora estamos quase l´. Vamos chamar de
ı a
An o conjunto das ra´zes de todos os polinˆmios de altura n. Note que An ´ um conjunto
ı o e
finito, pois s´ existe uma quantidade finita de polinˆmios de altura n e cada um s´ possui
o o o
uma quantidade finita de ra´zes. Agora o passo final. O conjunto dos n´meros alg´bricos
ı u e
∞
´ igual a
e n=1 An . Isso porque qualquer n´mero alg´brico est´ em algum dos An s e por-
u e a
tanto estar´ na sua uni˜o e, todo elemento de cada um dos An s ´ um n´mero alg´brico.
a a e u e
Como a uni˜o enumer´vel de conjuntos enumer´veis ´ um conjunto enumer´vel segue que
a a a e a
o conjunto dos n´meros alg´bricos ´ enumer´vel, como quer´amos. Portanto, o conjunto
u e e a ı
dos n´meros alg´bricos tem cardinal ℵ0 .
u e
Exemplo 6.4.2 Sabemos que o conjunto R ´ n˜o enumer´vel. Portanto, |R| = |N|. O
e a a
cardinal de R ser´ denotado por c, de continuum. Outros conjuntos com cardinal igual a
a

63. ´
6.4. MAIS EXEMPLOS DE NUMEROS CARDINAIS 61
c s˜o o conjunto dos n´meros irracionais, o conjunto dos n´meros reais transcendentes,
a u u
R × R e ℘ (N) . Vamos provar essas afirma¸˜es no decorrer do texto.
co
Exemplo 6.4.3 Vamos agora conhecer um novo cardinal. Seja F o conjunto das fun¸˜es
co
f : (0, 1) → R. Vamos provar que o cardinal de F ´ diferente de c. De fato, suponha, por
e
absurdo, que |F | = c. Assim, F e R s˜o equivalentes. Como (0, 1) e R s˜o equivalentes
a a
tamb´m, segue que F e (0, 1) tamb´m o s˜o. Assim, para cada n´mero real r ∈ (0, 1) ,
e e a u
existe uma unica fun¸˜o, que denotaremos por fr , em F. Ou seja, cada uma das fun¸˜es
´ ca co
de F ´ uma das fr com r ∈ (0, 1) . Vamos construir uma fun¸˜o de F que ´ diferente de
e ca e
todas as fr s. De fato, defina g : (0, 1) → R apenas exigindo que g (r) = fr (r) . Em termos
mais claros, a fun¸˜o g pode ser definida de qualquer modo, desde que, no ponto r ela
ca
tenha um valor diferente da fr calculada naquele ponto. Pronto, essa g n˜o ´ nenhuma
a e
das fr s e portanto n˜o pode haver bije¸˜o entre F e (0, 1) e, conseq¨entemente, |F | = c.
a ca u
O cardinal de F ser´ denotado por f.
a
Observa¸˜o 6.4.1 Conhecemos at´ agora quatro tipos de cardinais. O primeiro foi n
ca e
que ´ o cardinal dos conjuntos finitos que possuem n elementos. O segundo foi ℵ0 que ´ o
e e
cardinal dos conjuntos equivalentes a N, ou seja, dos conjuntos infinitos e enumer´veis.
a
O terceiro foi c, que ´ o cardinal de R e o quarto foi f, que ´ o cardinal do conjunto das
e e
fun¸˜es de (0, 1) em R.
co
Vamos provar um resultado importante.
Teorema 6.4.1 Sejam M um conjunto infinito e A um subconjunto enumer´vel de M.
a
3
Se o conjunto M − A ´ infinito ent˜o ele possui o mesmo cardinal de M.
e a
Demonstra¸˜o: Suponha que M seja infinito e que A ⊂ M seja enumer´vel. Vamos
ca a
denotar M − A por R. Assim M = A ∪ R, com esta uni˜o sendo disjunta. Como
a
R ´ infinito ele possui um subconjunto infinito e enumer´vel que denotaremos por A.
e a
Denotando R − A por R, temos que R = A ∪ R e, portanto, M = A ∪ R = A ∪ A ∪ R,
com esta uni˜o novamente sendo disjunta. Como A ∪ A e A s˜o infinitos e enumer´veis,
a a a
eles s˜o equivalentes, ou seja, existe uma bije¸˜o entre eles. Vamos denotar por f uma
a ca
fun¸ao bijetora de A ∪ A em A e vamos definir uma fun¸ao g : A ∪ A ∪ R → A ∪ R da
c˜ c˜
seguinte maneira
f (x) se x ∈ A ∪ A
g (x) =
x se x ∈ R
3
isto ´, o complementar de A em M.
e

64. 62 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Note que a fun¸ao g ´ bijetora. Assim o cardinal de A ∪ A ∪ R ´ o mesmo de A ∪ R. Mas
c˜ e e
A ∪ A ∪ R = M e A ∪ R = R, donde o cardinal de M ´ o mesmo de R.
e
Exemplo 6.4.4 De posse desse resultado podemos concluir que os n´meros irracionais
u
e o conjunto dos n´meros reais transcendentes tˆm cardinal igual a c. Al´m disso, os
u e e
intervalos (0, 1] , [0, 1] e [0, 1) todos tˆm cardinal igual a c.
e
Veremos agora mais alguns exemplos de cardinais.
Exemplo 6.4.5 Vamos provar que o conjunto (0, 1)×(0, 1) ´ equivalente a (0, 1) . Recorde-
e
mos que cada x ∈ (0, 1) possui uma representa¸˜o decimal infinita unica como x =
ca ´
0, a1 a2 a3 ..., onde ai ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . No caso de 1/4 usamos a representa¸˜o
ca
0, 2499999... De forma an´loga tratamos aqueles que possuem uma representa¸˜o decimal
a ca
finita. Defina ent˜o a fun¸˜o f : (0, 1) × (0, 1) → (0, 1) por
a ca
f (x, y) = f (0, x1 x2 x3 ..., 0, y1 y2 y3 ...) = 0, x1 y1 x2 y2 ....
Vamos provar que ela ´ bijetora. Come¸amos pela injetivitdade. Suponha que f (x, y) =
e c
f (z, w) . Ent˜o
a
0, x1 y1 x2 y2 ... = 0, z1 w1 z2 w2 ...
Como a representa¸˜o ´ unica, temos que x1 = z1 , x2 = z2 , ..., xn = zn , ... e y1 = w1 , y2 =
ca e ´
w2 , ..., yn = wn , ..., ou seja, (x, y) = (z, w) . Vamos provar agora a sobrejetividade. Seja
r = 0, r1 r2 r3 ... ∈ (0, 1) . Considere x = r1 r3 r5 ...r2n+1 ... e y = r2 r4 r6 ...r2n ... Ent˜o vemos
a
que f (x, y) = 0, r1 r2 r3 r4 r5 r6 ... = r, ou seja, f ´ sobrejetiva. Da´ f ´ bije¸˜o. Portanto
e ı e ca
| (0, 1) × (0, 1) | = c.
Exemplo 6.4.6 Seja A um conjunto n˜o-vazio. Vamos denotar por 2A o conjunto das
a
fun¸˜es f : A → {0, 1} . Os conjuntos ℘ (A) e 2A s˜o equivalentes, consequentemente, tˆm
co a e
o mesmo cardinal. Para ver isso, defina Φ : 2A → ℘ (A) por Φ (f ) = {x ∈ A; f (x) = 1} .
Pode-se mostrar que Φ ´ uma bije¸˜o.
e ca
Exemplo 6.4.7 Sejam A e B conjuntos n˜o vazios tais que |A| = |B|. Pode-se mostrar
a
que |℘ (A) | = |℘ (B) |. Para ver isso, seja f : A → B uma bije¸˜o. Defina Ψ : ℘ (A) →
ca
℘ (B) por Ψ (X) = f (X) , onde f (X) indica a imagem de X por f. Pode-se provar que
Ψ ´ bije¸˜o.
e ca

65. ¸˜ ´
6.5. COMPARACAO DE NUMEROS CARDINAIS 63
Exemplo 6.4.8 Uma outra maneira de ver que o intervalo semi-fechado (0, 1] e o inter-
valo (0, 1) s˜o equivalentes, sem usar o teorema 6.4.1 ´ definir uma bije¸˜o entre eles. A
a e ca
constru¸˜o a seguir ´ muito curiosa. Seja S = {x1 , x2 , x3 , ...} um subconjunto enumer´vel
ca e a
contido em (0, 1) . Defina a fun¸˜o f de
ca (0, 1) em (0, 1] por

 1
 se x = x1

f (x) = x se x = xn+1 , ∀n ≥ 1
 n
se x ∈ (0, 1) − S.

 x
Pode-se mostrar que essa fun¸˜o ´ bijetora. Logo (0, 1) e (0, 1] s˜o equivalentes, ou, o
ca e a
que d´ no mesmo, possuem o mesmo n´mero cardinal.
a u
Exerc´
ıcios
1. Investigue o n´mero cardinal do conjunto dos pontos de um retˆngulo com lados
u a
medindo 1 e 2 unidades.
2. Determine o n´mero cardinal do conjunto dos n´meros complexos.
u u
3. Determine o n´mero cardinal do conjunto dos n´meros irracionais alg´bricos.
u u e
4. Determine o n´mero cardinal do conjunto das potˆncias nm onde n, m ∈ N.
u e
5. Seja n o n´mero cardinal do conjunto {1, 2, ..., n} . Mostre que n
u ℵ0 .
6. Seja A um conjunto infinito. Mostre que ℵ0 |A|. Em outras palavras N tem o
menor cardinal infinito.
7. Sejam A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B. Mostre que |A| |B|.
8. Sejam A, B e C conjuntos tais que A ⊂ B ⊂ C e |A| = |C|. Mostre que |A| = |B|.
9. Seja A um conjunto enumer´vel. Mostre que o conjunto ℘ (A) ´ n˜o-enumer´vel.
a e a a
10. Determine o n´mero cardinal do conjunto de retas y = c1 x + c2 com c1 , c2 ∈ R.
u
6.5 Compara¸˜o de n´ meros cardinais
ca u
Defini¸˜o 6.5.1 Sejam A e B conjuntos. Diremos que o cardinal de A ´ menor ou
ca e
igual que o cardinal de B e simbolizamos isto por |A| |B|, quando existir uma fun¸˜o
ca
injetora de A em B.

66. 64 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Exemplo 6.5.1 1. n ℵ0 , para todo n,
2. ℵ0 c,
3. c f.
Destacamos a seguir algumas propriedades desta rela¸˜o.
ca
(P1) |A| |A|,
(P2) Se |A| |B| e |B| |A| ent˜o |A| = |B|,
a
(P3) Se |A| |B| e |B| |C| ent˜o |A|
a |C|.
Vamos provar (P1) e (P3). A propriedade (P1) vale pois a aplica¸˜o identidade ´
ca e
injetora. A propriedade (P3) ´ v´lida pois, se f : A → B e g : B → C s˜o fun¸˜es
e a a co
injetoras, ent˜o g ◦ f : A → C ´ tamb´m injetora pois ´ a composta de fun¸oes injetoras.
a e e e c˜
A propriedade (P2) tem uma prova mais delicada. Ela inicialmente foi conjecturada
por Cantor e posteriormente provada, de forma independente, por F. Bernstein e E.
Schr¨der. Em vista disso ela ficou conhecida como Teorema de Schr¨der-Bernstein.
o o
H´ diversas provas, mas escolhemos uma devida a G. Birkhoff e S. MacLane. Suponha
a `
que f : A → B e g : B → A sejam fun¸oes injetoras. Queremos construir uma fun¸ao
c˜ c˜
bijetora F : A → B. Podemos supor que nem f nem g s˜o sobrejetoras. De fato, se
a
f : A → B fosse sobrejetora, como ela j´ ´ injetora, segue que ela tamb´m seria bijetora
ae e
e tomamos F para ser f. Caso g fosse sobrejetora, ent˜o g ´ bijetora e consideramos a
a e
sua inversa g −1 : A → B que tamb´m seria bijetora. Agora tomamos F para ser g −1 .
e
Assim, em ambos os casos, o trabalho estaria terminado. Vamos considerar as inversas
de f e de g definidas respectivamente em f (A) e em g (B) . A id´ia ´ tentar decompor A
e e
e B em termos de uma rela¸˜o de ”ancestralidade”entre seus elementos que passaremos
ca
ıvel, aplicamos a ele a fun¸ao g −1 e obtemos um
agora a definir. Seja a ∈ A. Se for poss´ c˜
elemento g −1 (a) ∈ B, que ser´ chamado o primeiro ancestral de a. Novamente, se for
a
poss´ aplicamos a g −1 (a) a fun¸˜o f −1 obtendo o elemento f −1 (g −1 (a)) ∈ A que ser´
ıvel ca a
chamado o segundo ancestral de a. Outra vez, se pudermos aplicar g −1 ao elemento
f −1 (g −1 (a)) obteremos o elemento g −1 (f −1 (g −1 (a))) ∈ B que ser´ chamado o terceiro
a
ancestral de a. Nesse processo h´ trˆs possibilidades:
a e
1. a tem infinitos ancestrais e n´s denotaremos por Ai o conjunto dos elementos de A
o
que possuem infinitos ancestrais,

67. ¸˜ ´
6.5. COMPARACAO DE NUMEROS CARDINAIS 65
2. a tem um n´mero par de ancestrais. Isso significa que a tem um ultimo ancestral
u ´
que pertence a A. Vamos denotar o conjunto desses elementos por Ae .
3. a tem un n´mero ´
u ımpar de ancestrais. Isso significa que a tem um ultimo ancestral
´
e que pertence a B. Vamos denotar o conjunto desses elementos por por Ao .
Esses trˆs conjuntos formam uma parti¸˜o do conjunto A. Por um racioc´
e ca ınio an´logo
a
podemos particionar o conjunto B em Bi , Be e Bo . Agora vamos provar alguns fatos
curiosos acerca dessa situa¸ao:
c˜
Afirma¸˜o 6.5.1 Se a ∈ Ai ent˜o f (a) ∈ Bi .
ca a
Demonstra¸˜o: Seja a1 = g −1 (a) , a2 = f −1 (g −1 (x)) , ... a seq¨ˆncia infinita dos ances-
ca ue
trais de a. Queremos mostrar que a seq¨ˆncia b1 , b2 , ..., dos ancestrais de f (a) tamb´m
ue e
´ infinita. Observe que b1 = f −1 (f (a)) = a, b2 = g −1 (b1 ) = g −1 (a) = a1 , b3 = f −1 (b2 ) =
e
f −1 (g −1 (a)) = a2 , ..., bn+1 = an , ... ou seja, a seq¨ˆncia dos ancestrais de f (a) ´ infinita,
ue e
ımos que f (a) ∈ Yi .
donde conclu´
Afirma¸˜o 6.5.2 Se b ∈ Bi ent˜o existe a ∈ Ai tal que f (a) = b.
ca a
Demonstra¸˜o: Como b ∈ Bi faz sentido considerar f −1 (b) . Ponha a = f −1 (b) . Pelo
ca
fato de que b ∈ Bi segue que a ∈ Xi . Ademais, pela escolha de a temos que f (a) = b.
Afirma¸˜o 6.5.3 Se a ∈ Ae ent˜o f (a) ∈ Bo .
ca a
Demonstra¸˜o: De fato, sejam
ca
a1 = g −1 (a) , a2 = f −1 g −1 (a) , ..., a2k = f −1 g −1 f −1 ... f −1 g −1 (a) ...
a seq¨ˆncia dos ancestrais de a que possui um n´mero par de elementos, no caso, 2k.
ue u
Agora, denotando por b1 , b2 , ... a seq¨ˆncia dos ancestrais de f (a) , temos que
ue
b1 = f −1 (f (a)) = a, b2 = g −1 (b1 ) = g −1 (a) = a1 , b3 = f −1 (b2 ) = f −1 g −1 (a) = a2 , ...,
ou seja, b2k+1 = a2k e, portanto, o conjunto dos ancestrais de f (a) tem um n´mero ´
u ımpar
ımos que f (a) ∈ Bo .
de elementos, ou seja, 2k + 1, donde conclu´
Afirma¸˜o 6.5.4 Se b ∈ Bo ent˜o existe a ∈ Ae tal que f (a) = b.
ca a
Demonstra¸˜o: Como b ∈ Bo faz sentido considerar f −1 (b) . Ponha a = f −1 (b) . Pelo
ca
fato de que b ∈ Bo segue que a ∈ Ae . Ademais pela escolha de a temos que f (a) = b.

68. 66 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Afirma¸˜o 6.5.5 Se a ∈ Ao ent˜o g −1 (a) ∈ Be .
ca a
Demonstra¸˜o: De fato, sejam
ca
a1 = g −1 (a) , a2 = f −1 g −1 (a) , ..., a2k+1 = g −1 f −1 g −1 f −1 ... f −1 g −1 (a) ... ,
a seq¨ˆncia dos ancestrais de a que possui um n´mero ´
ue u ımpar de elementos, no caso,
2k + 1. Agora, denotando por b1 , b2 , ... a seq¨ˆncia dos ancestrais de g −1 (a) , temos que
ue
b1 = f −1 g −1 (a) = a2 , b2 = g −1 (b1 ) = g −1 f −1 g −1 (a) = a3 , ...,
ou seja, o conjunto dos ancestrais de g −1 (a) tem um n´mero par de elementos donde
u
ımos que g −1 (a) ∈ Be .
conclu´
Afirma¸˜o 6.5.6 Se b ∈ Be ent˜o existe a ∈ Ao tal que g −1 (a) = b.
ca a
Demonstra¸˜o: Se b ∈ Be podemos tomar a = g (b) . Vemos que g −1 (a) = b e que
ca
a ∈ Ao .
Agora definimos a fun¸ao F : Ai ∪ Ae ∪ Ao → Bi ∪ Be ∪ Bo por
c˜
A B
f (x) se x ∈ Ai ∪ Ae
F (x) = −1
g (x) se x ∈ Ao
Observe que F ´ sobrejetora pois ´ obtida atrav´s de uma colagem de fun¸˜es sobrejetoras,
e e e co
pelas afirma¸oes 2,4 e 6. Como f e g −1 s˜o injetoras, segue que F tamb´m ´ injetora.
c˜ a e e
Portanto, F ´ bijetora e a propriedade (P2) est´ provada.
e a
Observa¸˜o 6.5.1 As propriedades (P1),(P2) e (P3) nos dizem que a rela¸˜o
ca ca ´
e
uma ordem parcial. Vermos posteriormente, com o aux´lio do Lema de Zorn, que essa
ı
rela¸˜o de ordem tamb´m ´ total.
ca e e
Defini¸˜o 6.5.2 Sejam A e B conjuntos. Diremos que o cardinal de A ´ estritamente
ca e
menor que o cardinal de B, e representaremos isso por |A| |B|, quando |A| |B| mas
|A| = |B|.
Por exemplo, n ℵ0 c f. Provaremos agora um importante resultado devido `
a
Cantor
Teorema 6.5.1 (Cantor) Seja A um conjunto. Ent˜o |A|
a |℘ (A) |.

69. ¸˜ ´
6.6. OPERACOES COM NUMEROS CARDINAIS 67
Demonstra¸˜o: Suponha que A = ∅. Ent˜o nesse caso temos |A| = 0 < 1 = |℘ (A) |.
ca a
Suponha agora que A = ∅. Primeiro vamos mostrar que |A| |℘ (A) |. Defina g : A →
℘ (A) por g (x) = {x} . Se g (a) = g (b) ent˜o {a} = {b} e da´ a = b e portanto g ´
a ı e
injetora. Logo |A| |℘ (A) |. Suponha agora que exista uma fun¸ao f : A → ℘ (A) que
c˜
seja bijetora. Considere o conjunto P = {x ∈ A; x ∈ f (x)} . Pode muito bem acontecer
que F = ∅. Como f ´ bijetora, existe y ∈ A tal que f (y) = P. H´ dois casos a considerar:
e a
y ∈ P e y ∈ P. Vejamos o primeiro. Se y ∈ P, ent˜o y ∈ f (Y ) = P, ou seja, y ∈ P
a
e y ∈ P, um absurdo. Agora suponha que y ∈ P. Ent˜o y ∈ f (y) , ou seja, y ∈ P,
a
ou seja, y ∈ P e y ∈ P, outro absurdo. Logo n˜o pode existir tal fun¸˜o e, portanto,
a ca
|A| |℘ (A) |, como quer´
ıamos.
Observa¸˜o 6.5.2 Uma das conseq¨ˆncias mais importantes do Teorema de Cantor ´
ca ue e
mostrar que podemos formar uma seq¨ˆncia crescente de n´meros cardinais, ou seja:
ue u
|A| |℘ (A) | |℘ (℘ (A)) | |℘ (℘ (℘ (A))) | ...
6.6 Opera¸˜es com n´ meros cardinais
co u
Defini¸˜o 6.6.1 Sejam A e B conjuntos disjuntos tais que |A| = a e |B| = b. Definimos
ca
a soma cardinal de a e b como sendo |A ∪ B|. Vamos representar a soma cardinal de
a e b por a + b.
Duas observa¸oes sobre a defini¸ao acima devem ser feitas
c˜ c˜
Observa¸˜o 6.6.1 Se A e B s˜o conjuntos n˜o necessariamente disjuntos ent˜o existem
ca a a a
conjuntos disjuntos A e B tais que |A | = |A| e |B | = |B|. De fato, vamos tomar
A = {(a, 0) ; a ∈ A} e B = {(b, 1) ; b ∈ B} . Observe que A ∩ B = ∅ pois os pares
ordenados de A possuem segundo elemento igual a 0 enquanto que os elementos de B
possuem segundo elemento igual a 1, logo n˜o pode haver interse¸˜o entre eles. N˜o ´
a ca a e
dif´ verificar que as fun¸˜es f : A → A e g : B → B dadas, respectivamente, por
ıcil co
f (a) = (a, 0) e g (b) = (b, 1) s˜o bijetoras acarretando pois que |A | = |A| e |B | = |B|.
a
Portanto na defini¸˜o acima podemos exigir que os conjuntos sejam disjuntos, sem perda
ca
de generalidade.
Observa¸˜o 6.6.2 Se A e B s˜o dois conjuntos disjuntos tais que |A | = |A| e |B | =
ca a
|B| ent˜o |A ∪ B| = |A ∪ B |. De fato, como |A | = |A| existe f : A → A bijetora. Como
a

70. 68 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
|B| = |B | existe g : B → B bijetora. Defina h : A ∪ B → A ∪ B dada por
f (x) se x∈A
h (x) =
g (x) se x∈B
Isso quer dizer que a defini¸˜o de soma cardinal ´ boa, isto ´, independe dos conjuntos
ca e e
que escolhermos para calcul´-la.
a
Vejamos agora alguns exemplos
Exemplo 6.6.1 Vamos calcular 4 + 3. Sabemos que A = {1, 2, 3, 4} e B = {∂, ⊗, }
s˜o tais que |A| = 4, |B| = 3 e A ∩ B = ∅. Logo
a
4 + 3 = |A ∪ B| = | {1, 2, 3, 4, ∂, ⊗, } | = | {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} | = 7.
Exemplo 6.6.2 Calcule ℵ0 +ℵ0 . Sejam A = {2, 4, 6, ...} o conjunto dos n´meros naturais
u
pares e B = {1, 3, 5, ...} o conjunto dos n´meros naturais ´mpares. Vemos que |A| = ℵ0 =
u ı
|B| e A ∩ B = ∅. Assim
ℵ0 + ℵ0 = | {2, 4, 6, ...} ∪ {1, 3, 5, ...} | = |N| = ℵ0 .
Exemplo 6.6.3 Calcule ℵ0 + c. Sejam A = N e B = (0, 1) . Vemos que |A| = ℵ0 , |B| =
c e A ∩ B = ∅. Assim, ℵ0 + c = |N ∪ (0, 1) |. Mas note que (0, 1) ⊂ (0, 1) ∪ N. Portanto,
| (0, 1) | |N ∪ (0, 1) |. Por outro lado, N ∪ (0, 1) ⊂ R. Logo |N ∪ (0, 1) | |R| = c. Assim,
pelo Teorema de Schr¨der-Bernstein, temos que ℵ0 + c = c.
o
Veremos agora algumas propriedades da soma cardinal. Sejam A, B e C conjuntos dis-
juntos tais que |A| = a, |B| = b e |C| = c. Ent˜o:
a
1. a + b = b + a,
2. a + 0 = a,
3. (a + b) + c = a + (b + c) ,
Demonstra¸˜o: Temos que a + b = |A ∪ B| = |B ∪ A| = b + a, isso prova (1). Como
ca
|A ∪ ∅| = |A|, vale a propriedade (2). Deixamos a (3) como exerc´
ıcio.
Observa¸˜o 6.6.3 N˜o ´ poss´vel definir uma subtra¸˜o de cardinais. Com efeito,
ca a e ı ca
maneira mais natural de fazer isso seria: dados A, B com B ⊂ A, |A| = a e |B| = b,
ıamos definir a − b como sendo |A − B|. Entretanto isso n˜o conduziria a resultados
poder´ a
unicos conforme nos mostra o exemplo a seguir, onde tomamos A = {1, 2, 3, ...} .
´

71. ¸˜ ´
6.6. OPERACOES COM NUMEROS CARDINAIS 69
Seja Ent˜o
a Conclus˜o
a
B = {1, 2, 3, ...} A−B =∅ ℵ0 − ℵ0 = |A − A| = |∅| = 0
B = {2, 3, ...} A − B = {1} ℵ0 − ℵ0 = |A − B| = | {1, } | = 1,
B = {3, 4, ...} A − B = {1, 2} ℵ0 − ℵ0 = |A − B| = | {1, 2} | = 2,
B = {2, 4, ...} A − B = ℵ0 − ℵ0 = |A − B| = |A| = ℵ0 ,
{1, 3, ...}
Defini¸˜o 6.6.2 Sejam A e B conjuntos tais que |A| = a e |B| = b. Definimos o pro-
ca
duto cardinal de a e b como sendo |A × B|. Vamos representar o produto cardinal de
a e b por ab.
Observa¸˜o 6.6.4 Seja A e B conjuntos tais que |A| = |A | e |B| = |B |. Vamos
ca
mostrar que |A × B| = |A × B |. Como |A| = |A | e |B| = |B | existem f : A → A e g :
B → B ambas bijetoras. Defina h : A × B → A × B por h (a, b) = (f (a) , g (b)) . N˜o
a
´ dif´cil mostrar que h ´ bijetora. Logo |A × B| = |A × B |. Isso mostra, como no caso
e ı e
da soma, que a defini¸˜o de produto cardinal ´ boa, isto ´, independe dos conjuntos que
ca e e
usamos para clacul´-lo.
a
Vejamos algumas propriedades do produto cardinal. Veremos agora algumas propriedades
do produto cardinal. Sejam A, B e C conjuntos tais que |A| = a, |B| = b e |C| = c.
Ent˜o:
a
1. 1a = a,
2. 0a = 0,
3. ab = ba,
4. a (bc) = (ab) c,
5. a (b + c) = ab + ac.
Deixamos a prova como exerc´
ıcio. Vejamos alguns exemplos
Exemplo 6.6.4 Calcule cℵ0 . Sabemos que
cℵ0 = | (0, 1) × N| | (0, 1) × R| = | (0, 1) × (0, 1) | = c.
Por outro lado, a fun¸˜o f : (0, 1) → (0, 1) × N definida por f (x) = (x, 1) ´ injetora.
ca e
Portanto, c = | (0, 1) | | (0, 1) × N| = cℵ0 . Logo, pelo Teorema de Schr¨der-Bernstein,
o
temos que cℵ0 = c.

72. 70 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
Exemplo 6.6.5 Calcule ℵ0 ℵ0 . Observe que ℵ0 ℵ0 = |N × N| = |N| = ℵ0 , j´ que N × N ´
a e
enumer´vel.
a
Exemplo 6.6.6 Calcule nc. Sabemos que
nc = | {1, 2, ..., n} ∪ (0, 1) | = | {1} × (0, 1) ∪ {2} × (0, 1) ∪ ... ∪ {n} × (0, 1) |.
Agora note que a fun¸˜o f : (0, 1) → {1} × (0, 1) ∪ {2} × (0, 1) ∪ ... ∪ {n} × (0, 1) definida
ca
por f (x) = (1, x) ´ injetora e, portanto,
e
c = | (0, 1) | | {1} × (0, 1) ∪ {2} × (0, 1) ∪ ... ∪ {n} × (0, 1) | = nc.
Agora, por outro lado,
nc = | {1}×(0, 1)∪{2}×(0, 1)∪...∪{n}×(0, 1) | | [−n, n]×(0, 1) | = | (0, 1)×(0, 1) | = c,
donde pelo Teorema de Schr¨der-Bernstein, nc = c.
o
Exemplo 6.6.7 Calcule cc. Temos cc = | (0, 1) × (0, 1) | = | (0, 1) | = c.
Observa¸˜o 6.6.5 A divis˜o de cardinais tamb´m n˜o faz sentido uma vez que n˜o
ca a e a a
conduz a resultados unicos. De fato, pelos exemplos anteriores dever´amos ter c ÷ c =
´ ı
c, c ÷ c = n e c ÷ c = ℵ0 .
Defini¸˜o 6.6.3 Sejam A e B conjuntos tais que |A| = a e |B| = b = 0. Definimos a
ca
potˆncia cardinal de base a e expoente b como sendo |AB |, onde AB denota o conjunto
e
das fun¸˜es de B em A. Vamos representar a potˆncia cardinal de base a e expoente b
co e
por ab .
Observa¸˜o 6.6.6 A primeira coisa a se provar ´ a boa defini¸˜o da potˆncia cardinal.
ca e ca e
Sejam A, A , B e B conjuntos tais que |A| = |A | e |B| = |B | = 0. Ent˜o existem fun¸˜es
a co
bijetoras f : A → A e g : B → B . Agora definimos a fun¸˜o Φ : AB → A B por
ca
Φ (h) = f ◦ h ◦ g −1 .
Vamos provar que essa fun¸˜o ´ bijetora. Suponha que Φ (h1 ) = Φ (h2 ) . Ent˜o f ◦
ca e a
h1 ◦ g −1 = f ◦ h1 ◦ g −1 . Aplicando f −1 a ambos os membros dessa igualdade temos que
h1 ◦ g −1 = h2 ◦ g −1 . Calculando essa igualdade em g temos h1 = h2 o que mostra que Φ ´
e
injetora. Seja agora m ∈ B A . Considere a fun¸˜o h : B → A dada por h = f −1 ◦ m ◦ g.
ca
Calculando Φ (h) ficamos com Φ (h) = f ◦ (f −1 ◦ m ◦ g) ◦ g −1 = f ◦ f −1 ◦ m ◦ g ◦ g −1 = m,
donde conclu´mos que Φ ´ sobrejetora. Portanto, Φ ´ bijetora. Portanto, |AB | = |A B .
ı e e

73. ¸˜ ´
6.6. OPERACOES COM NUMEROS CARDINAIS 71
Vejamos alguns exemplos
Exemplo 6.6.8 Vamos calcular 23 . Sejam A = {1, 2} e B = {1, 2, 3} . Ent˜o 23 =
a
|AB | = 8.
Exemplo 6.6.9 Pela observa¸˜o anterior temos que se |A| = |B| ent˜o 2|A| = 2|B| .
ca a
Vamos usar esse fato para provarmos que 2ℵ0 = c. Primeiro mostraremos que c 2ℵ0 .
Com efeito, defina f R → ℘ (Q) por f (a) = {x ∈ Q; x < a} , para cada a ∈ R. Vamos
mostrar que essa fun¸˜o ´ injetora. De fato, sejam a, b ∈ R, com a = b. Sem perda,
ca e
digamos que a < b. Pode-se provar que existe r ∈ Q tal que a < r < b. Assim sendo,
r ∈ f (b) , mas r ∈ f (a) . Assim, f (a) = f (b) e portanto f ´ injetora. Portanto c
e 2ℵ0 .
Agora vamos provar a desigualdade contr´ria. Defina Ψ : 2N → (0, 1) por
a
Ψ (f ) = 0, f (1) f (2) f (3) ... .
Observe que se Ψ (f ) = Ψ (g) ent˜o
a
0, f (1) f (2) f (3) ... = 0, g (1) g (2) g (3) ... .
Como a representa¸˜o decimal infinita ´ unica, temos que f (1) = g (1) , f (2) = g (2) , ...
ca e´
e da´ f = g. Assim, Ψ ´ injetora e da´ |2N | = 2ℵ0
ı e ı c, o que encerra a prova.
Veremos agora algumas propriedades da exponencia¸ao cardinal.
c˜
Propriedade 1 Sejam A, B e C conjuntos tais que |A| = a, |B| = b e |C| = c. Ent˜o
a
vale ab ac = ab+c .
Demonstra¸˜o: Suponhamos que B e C sejam disjuntos. Provaremos a propriedade
ca
se conseguirmos estabelecer uma fun¸ao bijetora entre AC × AB e AB∪C . Defina ent˜o
c˜ a
Ψ (f, g) = f ⊗ g, onde f ⊗ g : B ∪ C → A ´ definida por
e
f (x) se x∈B
f ⊗ g (x) =
g (x) se x∈C
Vamos provar que Ψ ´ bijetora. Primeiro mostramos que ela ´ injetora. Suponha que
e e
Ψ (f1 , g1 ) = Ψ (f2 , g2 ) . Assim, f1 ⊗ g1 = f2 ⊗ g2 , ou seja, se x ∈ B ent˜o f1 (x) = f2 (x)
a
ımos que f1 = f2 . Analogamente, se x ∈ C ent˜o g1 (x) = g2 (x) donde con-
donde conclu´ a
clu´
ımos que g2 = g2 , e, portanto, (f1 , g1 ) = (f2 , g2 ) . Provemos agora que ela ´ sobrejetora.
e
Suponha que m ∈ AB∪C . Assim m ´ uma fun¸ao definida em B ∪ C e tomando valores
e c˜
em A. Como B ∩ C = ∅ ent˜o vamos chamar de mB a restri¸˜o da fun¸ao m ao conjunto
a ca c˜

74. 72 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS
B e de mC a restri¸ao de m ao conjunto C. Ent˜o, por constru¸˜o, Ψ (mB , mC ) = m.
c˜ a ca
Logo Ψ ´ sobrejetora, sendo, pois, bijetora.
e
c
Propriedade 2 Sejam A, B e C conjuntos como na Propriedade 1. Ent˜o vale ab
a =
bc
a .
Demonstra¸˜o: A propriedade estar´ provada se conseguirmos estabelecer uma fun¸ao
ca a c˜
C
bijetora entre AB×C e AB . Dada f ∈ AB×C . Seja f ∈ AB×C . Ent˜o f associa a cada
a
par ordenado (x, y) ∈ B × C um unico elemento de A. Agora, a partir dessa f vamos con-
´
struir uma fun¸ao g : C → AB , do seguinte modo: para cada x ∈ C, defina gx : B → A
c˜
C
por gx (y) = f (x, y) . A correspondˆncia que associa f ∈ AB×C a g ∈ AB
e ` ´ bijetora.
e
Deixamos a prova como exerc´
ıcio. Portanto, vale a propriedade.
Propriedade 3 Sejam A, B e C conjuntos como na Propriedade 1. Ent˜o vale (ab)c =
a
ac b c .
Demonstra¸˜o: Novamente a prova dessa propriedade estar´ completa se conseguirmos
ca a
estabelecer uma bije¸ao entre os conjuntos (A × B)C e AC × B C . Seja f : C → A × B.
c˜
A partir dessa f constru´
ımos duas fun¸oes: uma de C em A, que denotaremos por fA
c˜
e outra de C em B, que denotaremos por fB . Essas fun¸˜es nada mais s˜o do que as
co a
proje¸oes na primeira vari´vel e na segunda, respectivamente. Assim definimos uma
c˜ a
fun¸ao Ψ : (A × B)C → AC × B C , definida por Ψ (f ) = (fA , fB ) . Deixamos ao leitor a
c˜
agrad´vel tarefa de mostrar que essa fun¸ao ´ bijetora.
a c˜ e
Exerc´
ıcios
1. Prove que
(a) x + 0 = x,
(b) x + y = y + x,
(c) x + (y + z) = (x + y) .
2. Seja n um n´mero cardinal finito qualquer. Prove que n + ℵ0 = ℵ0 e que n + c = c,
u
onde c denota o n´mero cardinal de (0, 1) .
u
3. Prove que c + c = c, onde c denota o cardinal de (0, 1) .

75. ¸˜ ´
6.6. OPERACOES COM NUMEROS CARDINAIS 73
4. Se x y ent˜o x + z
a y + z. Se trocarmos por essa afirma¸ao continua v´lida
c˜ a
?
5. Sejam x, y, z n´meros cardinais quaisquer. Prove que
u
(a) xy = yx
(b) (xy) z = x (yz) ,
(c) x (y + z) = xy + xz.
6. Se x, y s˜o n´meros cardinais quaisquer tais que x
a u y, prove que xz yz.
7. Demonstre ou refute com um contra-exemplo a seguinte afirma¸ao: Se x, y e z s˜o
c˜ a
n´meros cardinais tais que x
u y e z = 0, ent˜o xz
a yz.
8. Seja n um cardinal finito, n = 0. Prove que nℵ0 = ℵ0 .
9. Sejam x e y n´meros cardinais. Prove que
u
(a) Se xy = 0 ent˜o x = 0 ou y = 0,
a
(b) Se xy = 1 ent˜o x = 1 e y = 1.
a
10. Seja a um n´mero cardinal arbitr´rio. Prove que a1 = a, 0a = 0. Nesse ultimo caso,
u a ´
pedimos que a = 0.
11. Prove que a 2a para todo n´mero cardinal a.
u
12. Sejam a, b, x, y n´meros cardinais tais que a
u bex y. Prove que ax by .
13. Prove que cℵ0 = c = cn , para qualquer 1 n finito.
14. Prove que nℵ0 = c = ℵℵ0 , para todo 2
0 n finito.

76. 74 CAP´
ITULO 6. CARDINAIS

77. Cap´
ıtulo 7
Ordinais
7.1 Introdu¸˜o
ca
Quando consideramos conjuntos com uma estrutura de ordem entre seus elementos a
no¸ao de n´mero cardinal n˜o ´ mais suficiente para diferenciarmos dois conjuntos. Isso
c˜ u a e
porque, como veremos adiante, dois conjuntos podem ter o mesmo n´mero cardinal mas
u
com estruturas ordenadas diferentes. Para esse fim vamos introduzir novos objetos que
ser˜o os tipos ordinais e os n´meros ordinais.
a u
7.2 Conjuntos parcialmente ordenados
Sejam A um conjunto arbitr´rio e
a uma rela¸˜o sobre A, isto ´,
ca e ´ um subconjunto
e
de A × A. Diremos que ´ uma Rela¸˜o de Ordem Parcial em A se ela possuir as
e ca
seguintes propriedades:
O1. ´ reflexiva, isto ´, a a para todo a ∈ A,
e e
O2. ´ anti-sim´trica, isto ´, se a b e b a ent˜o a = b,
e e e a
O3. ´ transitiva, isto ´, se a B e b c ent˜o a c.
e e a
Se ´ uma rela¸ao de ordem parcial num conjunto A, usaremos a nota¸˜o a
e c˜ ca b para
simbolizar que a b. Quando tivermos a b, diremos que a ´ menor ou igual a b ou
e
que a precede b. Um conjunto A no qual est´ definida uma ordem parcial
a ´ dito
e
Parcialmente Ordenado e a nota¸˜o usada para representar um conjunto parcial-
ca
mente ordenado com sua ordem ´ (A, ) . Vejamos agora alguns exemplos de conjuntos
e
parcialmente ordenados.
75

78. 76 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
Exemplo 7.2.1 Os conjuntos N, Z, Q e R com suas ordens usuais s˜o conjuntos par-
a
cialmente ordenados.
Exemplo 7.2.2 Sejam X um conjunto n˜o-vazio e ℘ (X) o conjunto das partes de X.
a
Se definirmos em A = ℘ (X) a rela¸˜o
ca
P Q se e somente se P ⊆ Q,
vemos que (℘ (X) , ) ´ um conjunto parcialmente ordenado.
e
Exemplo 7.2.3 Seja N o conjunto dos n´meros naturais e, em N defina a rela¸˜o
u ca
a b se e somente se a ´ divisor de b.
e
Vamos mostrar que ´ uma rela¸˜o de ordem parcial em N. Inicialmente vamos recordar
e ca
a defini¸˜o de divisor. Dados dois n´meros naturais a e b dizemos que a ´ um divisor
ca u e
de b se existe um n´mero natural c tal que b = ac. Passemos agora ` prova propriamente
u a
dita. Seja a ∈ N. Como a = 1a, segue que a ´ um divisor de a e, portanto, a
e a. Sejam
a, b ∈ N tais que a beb a. Ent˜o a ´ divisor de b e b ´ divisor de a, ou seja, existem
a e e
naturais c1 e c2 tais que b = c1 a e a = c2 b. Portanto, a = c2 c1 a e da´ c1 c2 = 1. Como
ı
c1 e c2 s˜o n´meros naturais, devemos ter c1 = c2 = 1. Logo a = b. Suponha agora que
a u
a b e que b c. Ent˜o a ´ divisor de b e b ´ divisor de c. Assim existem n´meros
a e e u
naturais c1 e c2 tais que b = c1 a e c = c2 b. Logo c = c2 c1 a = c3 a, ou seja, a ´ divisor
e
de c e, portanto, a c. Observe que com essa ordem, acontecem coisas diferentes em N
como, por exemplo 3 4e4 3. Tamb´m ocorre 5
e 12.
Exemplo 7.2.4 Seja A = {a, b, c, d, e, f, g} e considere o seguinte diagrama:
A a ]` @ f ^a
ÒÒÒ ``` ÒÒ aaa
ÒÒ `` ÒÒ aa
ÒÒ `` ÒÒÒ aa
Ò Ò
b ^aa c g
aa Ñ@ ^aaa
aa ÑÑÑ aa
aa ÑÑÑ aa
a
Ñ
d e
Este diagrama induz uma rela¸˜o de ordem parcial em X da seguinte maneira: x
ca y
se e somente se x = y ou se pudermos nos deslocar de x para y sempre nos movendo
no sentido ascendente. Assim, por exemplo, temos b a, d a, c a, e a. Com
essa ordem o conjunto X ´ parcialmente ordenado. O diagrama acima ´ conhecido como
e e
Diagrama de Hasse e ´ muito util para dar exemplos e contra-exemplos.
e ´

79. 7.3. CONJUNTOS TOTALMENTE ORDENADOS 77
ıcio 6 Seja A = {a, b, c} e defina em ℘ (A) a rela¸˜o de ordem parcial X
Exerc´ ca Y ↔
X ⊆ Y. Fa¸a o diagrama de Hasse dessa rela¸˜o de ordem.
c ca
Exemplo 7.2.5 Tomando X = Z e definindo x y ↔ x ≡ ymod5, vemos que n˜o ´
a e
anti-sim´trica e, portanto, n˜o ´ uma rela¸˜o de ordem em Z.
e a e ca
Exemplo 7.2.6 Seja X o conjunto das palavras em l´ngua portuguesa. No conjunto X
ı
defina a seguinte rela¸˜o: p q ↔ p = q ou, se existir um n´mero natural n tal que as
ca u
n − 1 primeiras letras de p s˜o iguais `s n − 1 primeiras letras de q e a n−´sima letra
a a e
de p vem antes da n−´sima letra de q. Essa rela¸˜o ´ uma rela¸˜o de ordem parcial no
e ca e ca
conjunto X e ´ conhecida como Ordem Lexicogr´fica.
e a
Exerc´
ıcio 7 Tomando X como sendo o conjunto das retas do plano, verifique se a
rela¸˜o r s ↔ r ´ perpendicular a s ´ uma rela¸˜o de ordem parcial em X.
ca e e ca
Exerc´
ıcio 8 Desenhe o diagrama de Hasse da ordem do exemplo (7.2.3) no conjunto
X = {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} .
Exerc´
ıcio 9 Dar um exemplo de uma rela¸˜o em R que ´ transitiva e anti-sim´trica
ca e e
mas que n˜o ´ nem sim´trica nem reflexiva.
a e e
Exerc´
ıcio 10 Seja A um conjunto n˜o-vazio e
a uma rela¸˜o em A. Suponha que
ca
´ sim´trica e anti-sim´trica. Prove que qualquer elemento de A est´ relacionado, no
e e e a
m´ximo, com ele mesmo.
a
7.3 Conjuntos totalmente ordenados
Seja (X, ) um conjunto parcialmente ordenado. Se, para todos x, y ∈ X tivermos x y
ou y x, diremos que o conjunto (X, ) ´ um conjunto Totalmente Ordenado e a
e
ordem ser´ dita uma Ordem Total em X. Vamos analisar quais dos conjuntos listados
a
nos exemplos anteriores s˜o totalmente ordenados.
a
Exemplo 7.3.1 Em geral a ordem parcial definida no exemplo (7.2.2) n˜o ´ total. Por
a e
exemplo, considere X = {a, b, c} . Temos que ℘ (X) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}} .
Note que {a} {b} e {b} {a} .
Exerc´
ıcio 11 Dˆ um exemplo de um conjunto X onde a ordem do exemplo (7.2.2) seja
e
total.

80. 78 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
Exemplo 7.3.2 Os conjuntos do exemplo (7.2.1) s˜o todos totalmente ordenados.
a
Exemplo 7.3.3 O conjunto do exemplo (7.2.3) n˜o ´ totalmente ordenado pois 3
a e 5e
5 3.
Exerc´
ıcio 12 Existe algum subconjunto do conjunto do exemplo (7.2.3) que seja total-
mente ordenado?
Exemplo 7.3.4 O conjunto do exemplo (7.2.4) n˜o ´ totalmente ordenado pois nem
a e
b c nem c b.
Exerc´
ıcio 13 Determinar todas as rela¸˜es de ordem parcial sobre o conjunto A =
co
{a, b, c} e dizer quais delas s˜o totais.
a
ıcio 14 Seja ≤ a ordem habitual sobre o conjunto N dos n´meros naturais. Mostre
Exerc´ u
que a rela¸˜o R sobre N × N definida por:
ca
(a, b) R (c, d) ↔ a ≤ c e b ≤ d
´ uma ordem parcial que n˜o ´ total.
e a e
Exerc´
ıcio 15 Com as mesmas nota¸˜es do exerc´cio anterior, mostre que que a rela¸˜o
co ı ca
S definida por
(a, b) S (c, d) ↔ a < c, ou, a = c e b < d
´ uma ordem parcial que ´ total.
e e
7.4 Um pouco mais de nomenclatura
Sejam (A, ) um conjunto parcialmente ordenado e Y ⊆ A um subconjunto n˜o-vazio.
a
Diremos que
1. a ∈ Y ´ o Primeiro Elemento de Y se a
e ´
y para todo y ∈ Y. E comum tamb´m
e
chamarmos o primeiro elemento de Elemento M´
ınimo ou Menor Elemento de
Y.
e ´
2. b ∈ Y ´ o Ultimo Elemento de Y se y ´
b para todo y ∈ Y. E tamb´m costume
e
chamarmos o ultimo elemento de Elemento M´ximo ou Maior Elemento de Y.
´ a
3. a ∈ A ´ uma Cota Superior ou um Majorante de Y se y
e a, para todo y ∈ Y.

81. 7.4. UM POUCO MAIS DE NOMENCLATURA 79
4. b ∈ A ´ uma Cota Inferior ou um Minorante de Y se b
e y, para todo y ∈ Y.
5. c ∈ A ´ o Supremo de Y se ele for o menor elemento do conjunto das cotas
e
ımbolos, c ∈ A ´ supremo de Y se e somente se
superiores de Y. Em s´ e
a ∈ A ∧ a cota superior de Y → c a.
6. d ∈ A ´ o Infimo de Y se ele for o maior elemento do conjunto das cotas inferiores
e
ımbolos, d ∈ A ´ ´
de Y. Em s´ e ınfimo de Y se e somente se
a ∈ A ∧ a cota inferior de Y → a d.
7. a ∈ Y ´ um Elemento Maximal de Y se x ∈ Y, a
e x, a → a = x.
8. b ∈ Y ´ um Elemento Minimal de Y se x ∈ Y, x
e b → b = x.
Vamos ver agora alguns exemplos.
Exemplo 7.4.1 Sejam A = R e Y = (0, 1], onde A est´ munido da ordem usual. Assim
a
temos:
1. O conjunto das cotas superiores de Y ´ [1, +∞),
e
2. O conjunto das cotas inferiores de Y ´ (−∞, 0],
e
3. O elemento m´ximo de Y ´ 1,
a e
4. O conjunto Y n˜o tem elemento m´nimo,
a ı
5. O supremo do conjunto Y ´ 1,
e
6. O ´nfimo de Y ´ 0,
ı e
7. 1 ´ o unico elemento maximal de y,
e ´
8. Y n˜o tem elementos minimais.
a
ıcio 16 Considere A = {2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} ,munido da ordem da divisibilidade,
Exerc´
conforme o exemplo (7.2.3), e Y = {6, 10} . Fa¸a o diagrama de Hasse dessa ordem e
c
descubra quem s˜o cotas superiores, inferiores, supremo, ´nfimo, elementos maximais e
a ı
minimais de Y.

82. 80 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
ıcio 17 Considere A = {{a} , {b} , {a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, c, d} , {a, b, c, d, e}} , or-
Exerc´
denado pela inclus˜o. Fa¸a o diagrama de Hasse dessa ordem e descubra quem s˜o
a c a
cotas superiores, inferiores, supremo, ´nfimo, elementos maximais e minimais de Y =
ı
{{a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, c, d}} .
ıcio 18 Seja Y = {x ∈ Q; 0 ≤ x2 ≤ 2} , um subconjunto de Q, onde est´ definida
Exerc´ a
a rela¸˜o de ordem habitual. Determinar as cotas superiores e inferiores, ´nfimo e o
ca ı
supremo de Y.
ıcio 19 Seja A = N × N e defina em A a rela¸˜o :
Exerc´ ca
(a, b) (c, d) ↔ a|c1 e b ≤ d.
Mostre que essa rela¸˜o ´ uma ordem parcial em A. Sendo Y = {(2, 1), (1, 2)} , encontre
ca e
as cotas superiores, inferiores, ´nfimo, supremo, m´ximo e m´nimo de Y.
ı a ı
Exemplo 7.4.2 Seja X = {a, b, c, d} ordenado pelo diagrama de Hasse mostrado abaixo
a _b @b
bb ÐÐ
bb ÐÐ
bb Ð
b ÐÐÐ
cO
d
Podemos ver que X possui primeiro elemento, no caso, d, mas n˜o possui ultimo el-
a ´
emento. Podemos ainda ver que a e b s˜o elementos maximais e d ´ minimal. Se
a e
olharmos para o conjunto Y = {a, b, c} , vemos que ele possui cota inferior, no caso c
mas n˜o possui cota superior. Portanto ele possui ´nfimo, mas n˜o possui supremo.
a ı a
Exemplo 7.4.3 Seja A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} ordenado pelo diagrama de Hasse mostrado
abaixo
1
a divide c.

83. 7.4. UM POUCO MAIS DE NOMENCLATURA 81
a
? _ccc
 cc
 cc
  c
@ b ^b d
Ð@ ^bbb
ÑÑ bbb ÐÐ bb
ÑÑÑ bb Ð bb
ÑÑ bb ÐÐÐ b
Ñ Ð
c ^a @ e ^aa @
g
aa ÑÑ aa ÑÑ
aa Ñ aa ÑÑ
aa ÑÑ aa ÑÑÑ
a ÑÑÑ Ñ
f ^a @ h
aa ÑÑ
aa ÑÑ
aa Ñ
a ÑÑÑ
i
Se considerarmos X = {b, c, d, e, f, g, h} , vemos que b e d s˜o elementos maximais, f e h
a
s˜o elementos minimais, i ´ cota inferior e ´nfimo, a ´ cota superior e m´ximo, X n˜o
a e ı e a a
tem maior nem menor elemento.
ıcio 20 Seja A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} ordenado pelo diagrama de Hasse mostrado
Exerc´
abaixo
h iO j
ÒA ^``` ÒA O
ÒÒ `` ÒÒ
ÒÒ `` ÒÒ
ÒÒ ` ÒÒÒ
Ò
eVF f g
FF ÑÑ@ O
FF ÑÑ
FF ÑÑ
FF ÑÑ
FF c O d
Ð@ O
FF ÐÐ
FF ÐÐÐ
ÐÐ
a b
Em cada letra extraia, se poss´vel, um subconjunto X ⊆ A, satisfazendo ` propriedade
ı a
pedida:
1. X n˜o tem menor elemento,
a
2. X n˜o tem maior elemento,
a
3. X n˜o tem cota inferior,
a
4. X n˜o tem cota superior,
a
5. X n˜o tem elemento minimal,
a
6. X n˜o tem elemento maximal,
a

84. 82 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
7. X tem supremo, mas n˜o ´nfimo,
a ı
8. X tem ´nfimo, mas n˜o supremo,
ı a
9. X tem elemento maximal, mas n˜o tem minimal,
a
10. X tem elemento minimal, mas n˜to tem maximal,
a
Exemplo 7.4.4 Seja X um conjunto n˜o-vazio e ℘ (X) ordenado pela inclus˜o, con-
a a
forme o exemplo 1. O conjunto ℘ (X) tem primeiro elemento, a saber, ∅ e ultimo ele-
´
mento, a saber, o pr´prio X.
o
ıcio 21 Prove que Y ⊆ N possui ultimo elemento se e somente se Y ´ finito.
Exerc´ ´ e
ıcio 22 Dˆ exemplo2 de um conjunto X e subconjunto Y ⊆ ℘ (X) tais que
Exerc´ e
1. Y n˜o possua primeiro elemento, mas possua ultimo elemento,
a ´
2. Y possua primeiro elemento, mas n˜o possua ultimo elemento,
a ´
3. Y possua primeiro elemento e ultimo elemento,
´
4. Y n˜o possua primeiro nem ultimo elemento.
a ´
Exemplo 7.4.5 Considere R com a ordem usual e tome Y = {x ∈ R; 0 < x < 1} . Pode-
mos ver que Y n˜o tem nem primeiro nem ultimo elemento.
a ´
ıcio 23 Seja (A, ) um conjunto parcialmente ordenado e Y ⊆ A. Mostre que,
Exerc´
quando Y possuir maior ou menor elementos, eles s˜o unicos.
a ´
ıcio 24 Seja B = {a, b, c, d, e} ordenado conforme o diagrama de Hasse abaixo:
Exerc´
a
Ð? _ccc
ÐÐ cc
ÐÐ cc
ÐÐÐ c
b ^aa
O cO
aa
aa
aa
d e ^a
aa
aa
aa
a
f
Encontre os elementos minimais e maximais de B. Ser´ que B possui elemento m´nimo
a ı
? e m´ximo ?
a
2
busque exemplos inteligentes, evite trivialidades

85. 7.4. UM POUCO MAIS DE NOMENCLATURA 83
ıcio 25 Seja M = {2, 3, 4, 5, ...} e considere em M × M a seguinte rela¸˜o
Exerc´ ca
(a, b) R (c, d) ↔ a ´ divisor de c e b ´ um m´ltiplo de d.
e e u
1. Mostre que R ´ uma ordem parcial em M × M,
e
2. R ´ uma ordem total ?
e
3. Ache todos os elementos minimais de M × M,
4. Ache todos os elementos maximais de M × M.
ıcio 26 Seja A um conjunto parcialmente ordenado e B ⊂ A. Coloque (V) para
Exerc´
verdadeiro ou (F) para falso. Para aquelas que forem verdadeiras, exiba uma prova e para
aquelas que forem falsas, exiba um contra-exemplo:
1. Se B possui apenas um elemento maximal ent˜o ele ´ elemento m´ximo de B,
a e a
2. Se B ´ totalmente ordenado, ele pode possuir mais de um elemento maximal,
e
3. Uma cota superior de B pode ser um elemento m´ximo de B,
a
4. Um elemento maximal de B tamb´m ´ cota superior dele,
e e
5. Uma cota superior que perten¸a ao conjunto B tamb´m ´ elemento maximal dele,
c e e
ıcio 27 Mostre que se A ´ um conjunto parcialmente ordenado e B ⊂ A que
Exerc´ e
possua elemento m´ximo M e elemento m´nimo m, ent˜o eles s˜o unicos.
a ı a a ´
ıcio 28 Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , ordenado conforme o diagrama de Hasse
Exerc´
abaixo:
1 ^aa 2
aa Ñ@
aa ÑÑ
a ÑÑ
ÑÑ
3
Ñ@ ^aaa
ÑÑÑ aa
ÑÑ aa
Ñ
4 ^aa 5
aa Ñ@ ^aaa
aa ÑÑÑ aa
a ÑÑÑ aa
6 ^aa 7
aa Ñ@
aa ÑÑÑ
a ÑÑÑ
8
Para os conjuntos a seguir determine, as cotas (superiores e inferiores), os elementos
maximais e minimais, o(s) elemento(s) m´ximo e m´nimo, caso existam.
a ı

86. 84 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
1. B = {4, 5, 7} ,
2. C = {2, 3, 6} ,
3. D = {1, 2, 4, 7} .
7.5 Conjuntos Bem Ordenados
Seja (X, ) um conjunto parcialmente ordenado. Diremos que (X, ) ´ Bem Ordenado
e
se todo subconjunto n˜o-vazio Y ⊆ X possui primeiro elemento. Nesse caso a ordem
a
parcial ´ chamada uma Boa Ordem. Vejamos alguns exemplos.
e
Exemplo 7.5.1 O conjunto do exemplo 5 n˜o ´ bem ordenado pois o conjunto
a e
Y = {{c} , {a, b} , {a, c}}
n˜o possui menor elemento.
a
Exemplo 7.5.2 Pelo que vimos anteriormente R, com a ordem usual, n˜o ´ bem orde-
a e
nado.
Exemplo 7.5.3 O conjunto Z com a ordem usual n˜o ´ bem ordenado pois o conjunto
a e
{..., −3, −2, −1, 0} n˜o possui menor elemento. Assim esse exemplo tamb´m mostra que
a e
Nem todo conjunto totalmente ordenado ´ bem ordenado.
e
Exemplo 7.5.4 Seja N = {1, 2, ...} com a sua ordem usual. Munido dessa ordem, qual-
quer subconjunto Y ⊆ N possui primeiro elemento. Isso pode ser provado com a ajuda do
Princ´
ıpio da Indu¸˜o Finita. De fato, vamos supor, por contradi¸˜o que exista um con-
ca ca
junto Y ⊂ N tal que Y n˜o possua menor elemento. Vamos provar que Y = ∅. Considere
a
a propriedade P (n) dada por:
Nenhum n´mero ≤ n pertence a Y.
u
A nossa estrat´gia ser´ mostrar que P (n) ´ verdadeira para todo n. Mostrando isso,
e a e
teremos mostrado que Y = ∅. Ent˜o vamos l´. Veja que P (1) ´ verdadeira, pois, se
a a e
fosse falsa, ent˜o 1 ∈ Y, o que acarretaria que 1 seria o menor elemento de Y, o que ´
a e
absurdo. Logo P (1) ´ verdadeira. Suponhamos agora que P (n) ´ verdadeira para algum
e e
n ≥ 1. Vamos provar que P (n + 1) tamb´m ´ verdadeira. Suponha que P (n + 1) seja
e e
falsa. Ent˜o n + 1 ´ o unico natural menor que ou igual a n + 1 que pode pertencer a
a e ´

87. 7.6. CONJUNTOS SEMELHANTES E TIPOS ORDINAIS 85
Y pois os demais n˜o podem pertencer, por hip´tese de indu¸˜o. Assim n + 1 ∈ Y e,
a o ca
portanto, n + 1 ´ o menor elemento de Y, o que se constitui num absurdo, pois Y n˜o
e a
possui menor elemento. Portanto P (n + 1) ´ verdadeira e, portanto, Y = ∅. Entretanto,
e
nem todo subconjunto Y ⊆ N possui ultimo elemento, por exemplo, Y pode ser o conjunto
´
dos n´meros pares.
u
Defini¸˜o 7.5.1 Seja (A, ), um conjunto parcialmente ordenado. A Ordem Inversa
ca
em A, denotada por i, ´ definida por:
e
x i y⇔y x.
Exemplo 7.5.5 Seja (N, ≤) o conjunto dos n´meros naturais com a sua ordem usual.
u
O conjunto (N, i) n˜o ´ bem ordenado, pois n˜o possui menor elemento.
a e a
Observa¸˜o 7.5.1 A rec´proca da afirma¸˜o contida no exemplo acima ´ verdadeira, ou
ca ı ca e
seja, se (X, ) ´ um conjunto bem ordenado ent˜o ele tamb´m ´ totalmente ordenado.
e a e e
De fato, sejam x, y ∈ X e considere o conjunto Y = {x, y} . Pelo fato de X ser bem
ordenado, o subconjunto Y possui menor elemento. Se esse menor elemento for x ent˜o
a
teremos x y. Se esse elemento for y ent˜o teremos y
a x. Em qualquer dos casos
teremos x y ou y x, provando assim que (X, ) ´ totalmente ordenado.
e
Exerc´
ıcio 29 Considere N com a seguinte ordem: n m se e somente se n ´ par e m ´
e e
´mpar ou ambos s˜o pares e n ≤ m ou ambos s˜o ´mpares e n ≤ m. Prove que
ı a a ı ´ uma
e
rela¸˜o de ordem parcial em N. Com essa ordem, N ´ bem ordenado ?
ca e
3
Exerc´
ıcio 30 Prove que se X ´ um conjunto finito totalmente ordenado ent˜o ele
e a
tamb´m ´ bem ordenado.
e e
1
ıcio 31 Mostre que o conjunto dos n´meros racionais da forma m − n com m, n ∈
Exerc´ u
N, munido da ordem usual de Q, ´ bem ordenado.
e
7.6 Conjuntos semelhantes e tipos ordinais
Sejam (X, X) e (Y, Y) conjuntos parcialmente ordenados. Diremos que eles s˜o semel-
a
hantes se existir uma fun¸ao bijetora f : X → Y com a seguinte propriedade
c˜
x X y se e somente se f (x) Y f (y) .
3
Agrade¸o ao Thiago por essa sugest˜o.
c a

88. 86 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
A fun¸˜o f ´ conhecida como Semelhan¸a. A propriedade acima diz que a fun¸ao f
ca e c c˜
preserva ordem. A rela¸ao de semelhan¸a definida acima ´ uma rela¸ao de equivalˆncia
c˜ c e c˜ e
entre conjuntos parcialmente ordenados. Quando dois conjuntos estiverem na mesma
classe de equivalˆncia diremos que eles tˆm o mesmo Tipo Ordinal. Ou seja, dois
e e
conjuntos parcialmente ordenados possuem o mesmo tipo ordinal se e somente se forem
semelhantes. Conjuntos com o mesmo tipo ordinal possuem o mesmo n´mero cardinal.
u
A rec´
ıproca disso ´ falsa conforme veremos mais adiante. Assim, cada tipo ordinal possui
e
associado a ele um n´mero cardinal que ´ o n´mero cardinal de qualquer conjunto que
u e u
possua aquele tipo ordinal. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplo 7.6.1 Considere X = N = {1, 2, 3, ...} e Y = N = {2, 4, 6, ...} , ambos com
suas ordens usuais. A fun¸˜o f : X → Y dada por f (x) = 2x ´ uma semelhan¸a e asim
ca e c
X e Y possuem o mesmo tipo ordinal.
Exemplo 7.6.2 Sejam X = {1, 2, 6, 8} parcialmente ordenado pela rela¸˜o
ca
x y se e somente se x ´ um divisor de y
e
e Y = {a, b, c, d} ordenado pela ordem do diagrama de Hasse:
a _b b
bb Ð@
bb ÐÐ
bb ÐÐ
b ÐÐÐ
cO
d
Se definirmos f : X → Y por f (1) = d, f (2) = c, f (6) = b e f (8) = a vemos que f ´
e
uma semelhan¸a e assim X e Y possuem o mesmo tipo ordinal.
c
Para introduzirmos mais algunsm exemplos de tipos ordinais vamos precisar de uma
defini¸ao e de algumas propriedades da rela¸˜o de semelhan¸a. Seja (X, ) um conjunto
c˜ ca c
parcialmente ordenado.
Proposi¸˜o 7.6.1 Sejam (X,
ca X) e (Y, Y) conjuntos parcialmente ordenados com o
mesmo tipo ordinal. Ent˜o se um deles possuir primeiro (ou ultimo) elemento, o outro
a ´
tamb´m o possuir´.
e a
Demonstra¸˜o: Suponha que a ∈ X seja o primeiro elemento de X. Ent˜o a
ca a X x,
para todo x ∈ X. Como f preserva ordem temos que f (a) Y f (x) para todo x ∈ X.

89. 7.6. CONJUNTOS SEMELHANTES E TIPOS ORDINAIS 87
Como f ´ sobrejetora, temos que dado y ∈ Y, existe um unico x ∈ X tal que f (x) = y.
e ´
Assim, f (a) Y f (x) = y, para todo y ∈ Y. Logo f (a) ´ o primeiro elemento de Y.
e
Analogamente provamos as demais afirma¸oes.
c˜
Podemos dar agora um exemplo de conjuntos com o mesmo cardinal mas que n˜o possuem
a
o mesmo tipo ordinal.
Exemplo 7.6.3 Considere X = N, munido de sua ordem usual e Y = N munido da
ordem inversa. Ent˜o X n˜o tem o mesmo tipo ordinal de Y pois X possui menor
a a
elemento, ao passo que Y n˜o possui. Ainda mais, Y possui maior elemento e X n˜o
a a
possui.
Exerc´
ıcio 32 Se (X, X) ´ um conjunto parcialmente ordenado e Y ´ um conjunto tal
e e
que existe uma fun¸˜o bijetora f : X → Y ent˜o podemos definir uma ordem parcial em
ca a
Y de modo que ele possua o mesmo tipo ordinal de X. Sugest˜o: Pense na inversa de
a
f e veja o que deve acontecer para que eles sejam semelhantes, ou seja, tenham o mesmo
tipo ordinal.
Exerc´
ıcio 33 Sejam (X, X) e (Y, Y) conjuntos parcialmente ordenados e finitos, com
o mesmo n´mero cardinal. Prove que eles possuem o mesmo tipo ordinal. Sugest˜o:
u a
Tente argumentar como no Exerc´cio 7.
ı
Um pouco de nota¸ao. vamos denotar por:
c˜
• n o tipo ordinal de qualquer conjunto finito parcialmente ordenado cujo n´mero
u
cardinal seja n,
• ω o tipo ordinal do conjunto dos n´meros naturais N com sua ordem usual,
u
• η o tipo ordinal do conjunto dos n´meros racionais Q com sua ordem usual,
u
• λ o tipo ordinal do conjunto dos n´meros reais R com sua ordem usual,
u
• µ∗ o tipo ordinal de um conjunto parcialmente ordenado com a ordem inversa.
Exerc´
ıcio 34 Prove que N e Z n˜o possuem o mesmo tipo ordinal.
a
Exerc´
ıcio 35 Considere N com a ordem usual. A proposi¸˜o 1 nos garante que ´ poss´vel
ca e ı
reorden´-lo de modo que ele e Z possuam o mesmo tipo ordinal. Encontre algumas reor-
a
dena¸˜es poss´veis de N.
co ı

90. 88 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
Exerc´
ıcio 36 Considere Z com a ordem usual. A proposi¸˜o 1 nos garante que ´ poss´vel
ca e ı
reorden´-lo de modo que ele e N possuam o mesmo tipo ordinal. Encontre algumas
a
reordena¸˜es poss´veis de Z.
co ı
Exerc´
ıcio 37 Os conjuntos X = (0, 1] e Y = [0, 1) possuem o mesmo tipo ordinal se
estiverem munidos da norma usual? Caso sua resposta seja negativa, reordene algum
deles de modo que isso ocorra.
ıcio 38 Os conjuntos N = {1, 2, 3, ...} e T = {10, 20, 30, ..., 11, 21, 31, ..., 19, 29, 39, ...}
Exerc´
possuem o mesmo tipo ordinal? A ordem adotada ´ a usual, no caso de N, e a ordem na
e
seq¨ˆncia em que aparecem, no caso de T.
ue
ıcio 39 Prove que η ∗ = η e que λ∗ = λ.
Exerc´
7.7 Opera¸˜es com tipos ordinais
co
Vamos definir duas opera¸˜es com tipos ordinais: a adi¸ao e a multiplica¸ao. Comecemos
co c˜ c˜
com a adi¸ao. Sejam α e β dois tipos ordinais. Portanto existem dois conjuntos parcial-
c˜
mente ordenados e disjuntos (A, A) e (B, B) cujos tipos ordinais s˜o, respectivamente,
a
α e β. A adi¸˜o dos tipos ordinais α e β, denotada por α + β, ´ o tipo ordinal do conjunto
ca e
A ∪ B munido da ordem parcial A∪B definida por:
• Se a, b ∈ A prevalece a ordem de A, ou seja a A∪B b⇔a A,
• Se a, b ∈ B prevalece a ordem de B, ou seja a A∪B b⇔a B,
• Se a ∈ A e b ∈ B ent˜o, por defini¸ao, a
a c˜ A∪B .
Exerc´
ıcio 40 Sejam α e β dois tipos ordinais. Mostre que existem dois conjuntos par-
cialmente ordenados e disjuntos (A, A) e (B, B) cujos tipos ordinais s˜o, respectiva-
a
mente, α e β. Sugest˜o: Busque a inspira¸˜o no caso da adi¸˜o de cardinais.
a ca ca
Exerc´
ıcio 41 Suponha que (A, A) e (A , A ) tˆm o mesmo tipo ordinal, (B,
e B) e
(B , B ) tˆm o mesmo tipo ordinal, A ∩ B = ∅ e A ∩ B = ∅ ent˜o A ∪ B e A ∪ B
e a
munidos das ordens parciais A∪B e A ∪B possuem o mesmo tipo ordinal. Em outras
palavras, a defini¸˜o de adi¸˜o de tipos ordinais independe dos conjuntos escolhidos para
ca ca
calcul´-la.
a

91. ¸˜
7.7. OPERACOES COM TIPOS ORDINAIS 89
Vejamos agora alguns exemplos:
Exemplo 7.7.1 Vamos calcular 1 + ω. Escolha A = {0} e B = N. Ent˜o 1 + ω ´ o tipo
a e
ordinal de N0 = {0, 1, 2, 3, ...} munido da ordem acima definida. Ademais, o tipo ordinal
de N0 ´ ω. De fato, a fun¸˜o f : N0 → N dada por f (n) = n + 1 ´ uma semelhan¸a.
e ca e c
Verifique os detalhes. Portanto, 1 + ω = ω.
ıcio 42 Vamos calcular agora ω + 1. Escolha A = {0} e B = N. Ent˜o ω + 1 ´
Exerc´ a e
o tipo ordinal do conjunto N1 = {1, 2, ..., 0} munido da ordem acima. Note que N1 e N0
com suas ordens, n˜o s˜o semelhantes pois N1 tem ultimo elemento, enquanto que N0
a a ´
n˜o tem.
a
Observa¸˜o 7.7.1 Dos exemplos anteriores podemos concluir que a adi¸˜o ordinal n˜o
ca ca a
´, em geral, comutativa.
e
Exerc´
ıcio 43 Se α, β e γ s˜o tipos ordinais ent˜o vale a propriedade α + (β + γ) =
a a
(α + β) + γ.
Exemplo 7.7.2 Vamos calcular ω ∗ +ω. Escolha A para ser oconjunto dos n´meros natu-
u
rais pares e B para ser o conjunto dos n´meros naturais ´mpares, sendo que A deve estar
u ı
munido da ordem inversa da ordem usual! Ent˜o ω ∗ + ω ´ o tipo ordinal do conjunto
a e
N2 = {..., 6, 4, 2, 1, 3, 5, ...} . Observe que a fun¸˜o f : Z → Z2 definida por
ca
2n + 1 se n>0
f (n) =
−2n se n≤0
´ uma semelhan¸a. Verifique essa afirma¸˜o.
e c ca
Exerc´
ıcio 44 Mostre que n + ω = ω, para todo tipo ordinal finito n.
Exerc´
ıcio 45 Mostre que ω + n = n + ω, para todo ordinal finito n.
Exerc´
ıcio 46 Com a ordem usual (a, b) , tem o mesmo tipo ordinal de R, ou seja, λ.
Exemplo 7.7.3 Em virtude do exemplo anterior, os conjuntos [0, 1) , (0, 1] e [0, 1] , quando
munidos da ordem usual, possuem tipos ordinais iguais a 1 + λ, λ + 1 e 1 + λ + 1. Detalhe
os tipos ordinais dos trˆs s˜o distintos dois a dois.
e a

92. 90 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS
Vejamos agora a multiplica¸ao. Sejam α e β tipos ordinais. Portanto existem conjuntos
c˜
parcialmente ordenados (A, A) e (B, B) cujos tipos ordinais s˜o α e β respectivamente.
a
A multipli¸ao dos tipos ordinais α e β, denotada por αβ, ´ o tipo ordinal do conjunto
c˜ e
B × A munido da ordem lexicogr´fica (a ordem do dicion´rio)
a a definida por:
(b1 , a1 ) (b2 , a2 ) ⇔ b1 B b2 ou b1 = b2 e a1 A a2 .
Exerc´
ıcio 47 Suponha que (A, A) e (A , A ) tˆm o mesmo tipo ordinal, (B,
e B) e
(B , B ) tˆm o mesmo tipo ordinal. Ent˜o B×A e B ×A munidos da ordem lexicogr´fica
e a a
possuem o mesmo tipo ordinal. Em outras palavras, a defini¸˜o de multipli¸˜o de tipos
ca ca
ordinais independe dos conjuntos escolhidos para calcul´-la.
a
Vejamos agora alguns exemplos.
Exemplo 7.7.4 Vamos calcular 2ω. Tome A = {a, b} , ordenado por a b, e B = N,
com a ordem usual. Da´, 2ω ´ o tipo ordinal do conjunto B×A = {(1, a) , (1, b) , (2, a) , (2, b) , ...} ,
ı e
munido da ordem lexicogr´fica. Com essa ordem B × A tem tipo ordinal igual a ω. De
a
fato, se definirmos f : N → B × A por f (2n − 1) = (n, a) e f (2n) = (n, b) , essa fun¸˜o
ca
´ uma semelhan¸a. Verifique essa afirma¸˜o. S´ h´ um caso trabalhoso que ´ quando m
e c ca o a e
e n tˆm paridades diferentes. Mas basta trabalhar com eles sendo consecutivos. Em sala
e
discutiremos mais.
Exemplo 7.7.5 Vamos calcular ω2. Tomamos A = N e B = {a, b} , ordenados como no
exemplo anterior. Da´ ω2 ´ o tipo ordinal do conjunto
ı e
B × A = {(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , ..., (b, 1) , (b, 2) , (b, 3) , ...} ,
munido da ordem lexicogr´fica. Observe que o seu tipo ordinal ´ ω + ω, pois ´ obtido
a e e
”colando”duas c´pias de N com a ordem usual. Logo, ω2 = ω + ω.
o
Observa¸˜o 7.7.2 Note que 2ω = ω = ω + ω = ω2, assim o produto de tipos ordinais
ca
n˜o ´, em geral, comutativo.
a e
Exerc´
ıcio 48 Mostre que se α ´ um tipo ordinal ent˜o α2 = α + α.
e a
Exerc´
ıcio 49 Sejam α, β e γ tipos ordinais. Prove que valem as seguintes propriedades:
α (β + γ) = αβ + αγ e α (βγ) = (αβ) γ.

93. ¸˜
7.7. OPERACOES COM TIPOS ORDINAIS 91
Observa¸˜o 7.7.3 N˜o vale, em geral, a propriedade (α + β) γ = αγ + βγ. De fato,
ca a
(ω + 1) 2 = ω + 1 + ω + 1 = ω + (1 + ω) + 1 = ω + ω + 1 = ω2 + 1.
Por outro lado,
ω2 + 1 · 2 = ω2 + 2.
Esses tipos ordinais s˜o diferentes, pois o primeiro ´ o tipo ordinal do conjunto
a e
{(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , ..., (b, 1) , (b, 2) , (b, 3) , ..., c}
ao passo que o segundo ´ o tipo ordinal do conjunto
e
{(a, 1) , (a, 2) , (a, 3) , ..., (b, 1) , (b, 2) , (b, 3) , ..., e, f } .
Agora note que o ultimo elemento do segundo conjunto possui um antecessor imediato,
´
ao passo que o ultimo elemento do primeiro conjunto n˜o o tem. Logo eles n˜o podem
´ a a
ser semelhantes, conseq¨entemente possuem tipos ordinais diferentes.
u
Observa¸˜o 7.7.4 Pode-se definir outras opera¸˜es com tipos ordinais mas n˜o faremos
ca co a
isso. Quem tiver interesse pode dar uma olhada no livro Introduci`n a la teor´ de
o ıa
conjuntos y fundamentos de las matematicas de autoria de Carlos Augusto de
Prisco ou em outros livros mais avan¸ados de Teoria dos Conjuntos.
c

94. 92 CAP´
ITULO 7. ORDINAIS

95. Referˆncias Bibliogr´ficas
e a
[1] Figueiredo, Djairo. N´meros irracionais e transcendentes. IMPA/SBM.
u
[2] Galilei, Galileu. Duas novas ciˆncias. Nova Stella.
e
[3] Sampaio, Jo˜o Carlos Vieira. Introdu¸˜o ` teoria dos conjuntos. Notas de aula.
a ca a
93