Livro aprender mais_matematica_ens_medio3

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  1. 1. aprender mais ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA 9 A 5 B 3 W
  2. 2. Eduardo Henrique Accioly Campos GOVERNADOR DO ESTADO DE PERNAMBUCO Danilo Jorge de Barros Cabral SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO Nilton da Mota Silveira Filho CHEFE DE GABINETE Margareth Costa Zaponi SECRETÁRIA EXECUTIVA DE GESTÃO DE REDE Aída Maria Monteiro da Silva SECRETÁRIA EXECUTIVA DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO Cantaluce Lima GERENTE DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS DO ENSINO MÉDIO Rosinete Salviano CHEFE DE UNIDADE Maria Epifânia de França Galvão ValençaGERENTE DE AVALIAÇÃO E MONITORAMENTO DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS Elisângela Bastos de Melo Espíndola José de Arimatheia de Santana Regina Celi de Melo André ELABORAÇÃO - EQUIPE TÉCNICA DE ENSINO
  3. 3. APRESENTAÇÃO A Secretaria de Educação, ao assumir o compromisso de assegurar a todos(as) os(as)estudantes o direito à educação pública de qualidade social, vem desenvolvendo um conjuntode ações com vistas à melhoria da qualidade do ensino na rede pública, de forma a garantir oacesso, a permanência e a terminalidade nos diversos níveis e modalidades de ensino aos queneles ingressem, com resultados bem sucedidos. Nessa direção, uma das prioridades da Secretaria de Educação de Pernambuco éoferecer aos(as) estudantes novas oportunidades de ensino e aprendizagens para os queencontram dificuldades nesse processo. É com essa compreensão que essa Secretaria elaborou o PROJETO APRENDER MAIS,em consonância com a LDB – 9394/96 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, queestabelece como dever do Estado garantir padrões mínimos de qualidade do ensino e aobrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, paracasos de baixo rendimento escolar, como política educacional. O PROJETO APRENDER MAIS visa atender aos (as) estudantes da 4ª série/5º ano, 8ªsérie/9º ano do Ensino Fundamental e do 3º ano do Ensino Médio das escolas estaduais queapresentam defasagem e/ou dificuldades de aprendizagens em relação aos conteúdosministrados e prescritos no currículo escolar. Serão desenvolvidas ações de reensino, emhorários regulares e em horários complementares, de forma concomitante aos estudosrealizados no cotidiano da escola. Este Caderno contém um conjunto de ORIENTAÇÕES TEÓRICO METODOLÓGICASvisando contribuir com as práticas de docência, com foco nos descritores/conteúdoscurriculares estabelecidos pela Secretaria de Educação. É importante que você professor (a), ao identificar as dificuldades e possibilidades dosestudantes, organize as atividades pedagógicas desenvolvendo dinâmicas de sala de aula quepossibilitem ao (a) estudante construir o seu próprio conhecimento. A problematização desituações didáticas que estimulem a compreensão, interpretação, análise e síntese das novasaprendizagens, priorizando as diferentes linguagens devem ser desenvolvidas com dinâmicasdiversificadas, utilizando materiais existentes na escola – jogos didáticos, revista, livros, DVD eCD, entre outros. Considerando a complexidade desse processo, sabemos que os resultados em um grupode estudantes não são homogêneos. Essa realidade requer trabalhos e atendimentospedagógicos específicos aos que apresentam dificuldades, de modo a possibilitar oaperfeiçoamento do desempenho escolar. Há estudantes que necessitam de mais tempo ou deoutras formas e metodologia para aprender. A Escola tem o papel social de promover todas as formas de ensino para que o (a)estudante desenvolva aprendizagens bem sucedidas, e você professor (a) desempenha papelprimordial como mediador no processo de construção do conhecimento junto ao estudante. É importante envolver a família do (a) estudante nesse processo uma vez que aeducação é tarefa de todos. Bom trabalho! DANILO CABRAL Secretário de Educação do Estado
  4. 4. MATEMÁTICA | PROJETO APRENDER MAISORIENTAÇÕES Neste Guia de Atividades, o professor encontrará um conjunto de sugestõesque possibilitem um fazer pedagógico dinâmico e interativo, através da utilização de váriosinstrumentos e estratégias de ensino. Este material deve auxiliar o trabalho docente, nosentido de levar o estudante do ensino médio a perceber relações intertextuais por meio dediferentes linguagens, a compreender como os conteúdos estudados se manifestam no seucotidiano, na sociedade e no mundo contemporâneo, além de interpretar e vivenciarsituações que envolvem decisões e resoluções de problemas. Nosso objetivo com a elaboração deste material é subsidiar o professor paratrabalhar novas oportunidades de aprendizagens e consolidação dos conhecimentos, nasdisciplinas de Língua Portuguesa e Matemática à luz da Matriz de Referências do Sistemade Avaliação Educacional de Pernambuco (SAEPE). Dentre as sugestões encontram-se filmes, sites, livros, jogos e atividades didáticascom foco na leitura verbal e imagética, em métodos específicos de investigaçãomatemática, na pesquisa interativa que dialogue com as áreas de conhecimentos de formacontextualizada e interdisciplinar. Sugerimos também, a consulta aos documentos oficiaisdo currículo escolar, como as Orientações Teórico-Metodológicas e a Base CurricularComum, disponibilizados no site desta Secretaria, www.educacao.pe.gov.br no EspaçoProfessor, observando o que estes documentos propõem em relação ao ensino deMatemática e Língua Portuguesa para o Ensino Médio. O Projeto APRENDER MAIS reflete a compreensão de que os conhecimentos sãoapreendidos em processos contínuos, sistemáticos e de forma orgânica. E a cada novaoportunidade que a escola oferece o docente e o/a estudante ampliam e fortalecemconhecimentos em uma relação dialética e dialógica dos/as atores/as nele envolvidos/as. Pretendemos, portanto, que o estudante do ensino médio tenha novas oportunidadesde estudos para superar dificuldades de aprendizagens, consolide conhecimentos previstosnas unidades didáticas do 3º ano, assegurando a sua permanência na escola e conclusãoda etapa final da Educação Básica, e vislumbre o prosseguimento nos estudos epossibilidades de inserção no mundo do trabalho. 03
  5. 5. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS SUMÁRIOEIXO TEMÁTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS 07 Avião e velocidade média 08 A matemática na Culinária 09 Que peso? 10 A produção de uma máquina 11 Correndo no autódromo 12 A piscina 13 Densidade demográfica 14 Torneira com vazamento 15 A construção do cercado 16 Área de figuras geométricas planas 17 Piff geométrico 19EIXO TEMÁTICO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA 29 A conta de energia elétrica 30 Planeta água 31 Jogo com dados 35 Contando pela ordem e natureza 37EIXO TEMÁTICO: GEOMETRIA 39 Bingo trigonométrico 39 Encontre o par 56 Descubra o gráfico 60 Ponto de intersecção 61 Capturando pontos 62 É circunferência? 64EIXO TEMÁTICO: NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES 65 As camisas penduradas 66 Os triângulos com palitos 67 Os pães 69 O campeonato de futebol 69 O peso da penca de bananas 70 O preço do livro 72 Seqüências e funções 74 Para recordar funções 78 Progressão geométrica e função exponencial 85 Juros e Funções 86 Logaritmonencial 87 Sistemas lineares 93 05
  6. 6. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISEIXO TEMÁTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS As atividades sugeridas a seguir buscam favorecer o aprofundamento dos estudosque possibilitem os alunos do Ensino Médio a articular o ensino da matemática com outrasdisciplinas como Física e Química. Desta forma, são propostas atividades, de forma que osalunos possam resolver problemas que envolvam variações proporcionais, diretas ouinversas, entre grandezas. Em relação às grandezas geométricas recomendamos atividades em que os alunospossam resolver problemas envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma,pirâmide, cilindro, cone, esfera), relacionem diferentes poliedros ou corpos redondos comsuas planificações ou vistas, identifiquem a relação entre o número de vértices, faces e/ouarestas de poliedros expressa em um problema, resolvam problemas envolvendo perímetro eárea de figuras planas. Entendemos ser necessário o aprofundamento da compreensão do uso de fórmulas,assim como sobre conceitos relacionados às grandezas geométricas. Propomos que oprofessor utilize diversos recursos didáticos como jogos ou uso de material concreto(palitos, canudinhos, massa de modelar, embalagens), na composição e decomposição desólidos geométricos. É importante que seja oferecido aos alunos a oportunidade de identificar e fazer usode diferentes formas para realizar medidas. 07
  7. 7. ENSINO MÉDIOAVIÃO E VELOCIDADE MÉDIAObjetivoRelacionar conceitos como velocidade média e discutir grandezas diretas e inversas.Sugestões para o professorPode ser discutido com os alunos: a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? A velocidade média do avião é calculada dividindo-se a distância percorrida pelo tempo de viagem: 3h15min = 3,25h 1 de hora ou 0,25h 4 1 996 ~ Vm = 3,25 = 614 km/h Tempo (h) Distância 1 614 O avião percorre 614 km em 1 hora. A tabela ilustra como a distância 2 1 228 percorrida é função do tempo: 3 1 842 A lei de formação dessa função é s = 614 t distância tempo Se esse avião fosse para uma cidade distante 921 quilômetros do Rio de Janeiro, em quanto tempo faria a viagem? FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 35 08
  8. 8. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISA MATEMÁTICA NA CULINÁRIAObjetivoConhecer a equivalência de pesos e medidas e discutir grandezas diretas e inversas.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? Algumas receitas têm as quantidades expressas em xícaras, colheres, copos etc. Outras têm as quantidades em gramas, mililitros etc. Como adaptar essas medidas de uma forma para a outra? As xícaras variam de tamanho; as colheres e os copos também. Para isso, estima-se um valor médio que padronize essas medidas, de modo que as xícaras de açúcar possam ser transformadas em gramas, colheres de suco possam ser transformadas em mililitros e vice-versa. A tabela abaixo é uma exemplo disso. Observe as equivalências que ela apresenta e faça o exercício a seguir. Estúdio Sepia Equivalência de pesos e medidas Colheres Ingredientes Xícaras Sopa Chá 1 ½ 1/4 3/4 1/3 2/3 1 1 Líquidos ml 250 125 63 188 83 166 16 5 Farinha g 120 60 30 90 40 80 7 2 Açúcar g 170 85 43 128 57 113 10 3 Manteiga g 220 110 55 165 73 146 14 5 Fermento em pó g 10 3 Fermento seco g 10 3 Sal g 12 4 Leite em pó g 100 50 25 75 33 66 6 2 a) Aproximadamente, quantas xícaras de farinha correspondem a 500g de farinha? b) 8 colheres de sopa de óleo são mais ou menos que 1 copo de óleo (200mL)? c) 1kg de açúcar tem aproximadamente quantas xícaras de chá?FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escolae Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Mais ou menos quanto? Pág. 17 09
  9. 9. ENSINO MÉDIOQUE PESO?ObjetivoDiscutir grandezas diretas e inversas a partir do conceito de peso.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? No caso de uma mola feita de certo material, quando acoplamos a ela um peso P, ela sofre um alongamento x, que depende de P. Quando o peso P varia, o alongamento apresentado por essa mola também varia, como mostra a tabela abaixo. ALONGAMENTO x (cm) PESO P (kgf) 10 0,10 15 0,15 X 20 0,20 25 0,25 P 30 0,30 Os resultados obtidos nessa experiência nos levam a representar essa variação do alongamento da mola de acordo com o peso por um gráfico como o que está abaixo. Nesse caso, observamos que, para um acréscimo de 0,05 kg no peso, há sempre um acréscimo de 5 cm no alongamento da mola. Construa um gráfico que represente as variações entre o peso e o alongamento desta mola.FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Quando a álgebra e geometria se encontram. Pág. 18 10
  10. 10. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISA PRODUÇÃO DE UMA MÁQUINAObjetivoDiscutir o conceito de função crescente e de grandezas diretas e inversas.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? Uma máquina produz 4 metros de fio elétrico a cada minuto. Em seu caderno, faça uma tabela conforme o modelo, completando com valores de 30,40 e 50 minutos na coluna do tempo e calcule o comprimento respectivo a cada valor. Construa o gráfico e, a partir dele, responda: a) Como essas grandezas se relacionam? Escreva a sentença matemática que mostra essa Tempo (t) Comprimento (c) situação. (minutos) (metros) 10 40 b) Quantos metros de fio a máquina produz em 35 minutos 20 80 de funcionamento? c) Essa função é crescente?FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Gráficos: ler e interpretar. Pág. 3 11
  11. 11. ENSINO MÉDIOCORRENDO NO AUTÓDROMOObjetivo Aprofundar o conceito de velocidade média e a relação entre grandezas.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? O desenho ao lado é da pista do Autódromo de Interlagos, em São Paulo, onde é disputado o Grande Prêmio do Brasil de Fórmula 1. São 72 voltas de emoção, em que os pilotos percorrem 390 quilômetros num tempo máximo de 2 horas. a) Se a corrida tiver duração máxima, qual será a velocidade média do primeiro colocado? b) Que distância o primeiro colocado terá percorrido depois de 30 minutos de prova?FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 37 12
  12. 12. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISA PISCINAObjetivo Observar o volume de um paralelepípedo e a relação entre grandezas.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? A figura abaixo é um paralelepípedo. O volume de um paralelepípedo é dado por V = comprimento X largura X altura altura largura comprimento Uma empresa fabrica piscinas no formato de paralelepípedo, variando o comprimento e a largura conforme a figura abaixo. 3 (Medidas em metros) x x+2 O volume y de água que cabe na piscina é função da medida x indicada na figura. a) Escreva y em função de x. b) Quantos metros cúbicos de água serão necessários para encher a piscina se x for igual a 4m?FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 65 13
  13. 13. ENSINO MÉDIODENSIDADE DEMOGRÁFICAObjetivo Aprofundar o conceito de densidade demográfica e discutir a relação entre grandezas.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? A densidade demográfica é um dos instrumentos utilizados em geografia para estudar como se distribui uma população. Ela relaciona o número de habitantes de um país, Estado ou região com sua área, por meio de uma razão. número de habitantes Densidade demográfica = área em km 2 A densidade demográfica do Estado de Minas Gerais, por exemplo, era de 26,76 habitantes por quilômetro quadrado, de acordo com o Censo do IBGE (1996). a) Considerando que, neste mesmo Censo, a população de Minas era de 16,5 milhões de habitantes, calcule a área aproximada desse Estado. b) Aproveite o conceito de densidade demográfica para calcular a densidade populacional de sua classe, em número de alunos por metro quadrado. (Basta dividir o número de alunos pela área da classe em m 2 .)FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 184 e 185 14
  14. 14. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISTORNEIRA COM VAZAMENTOObjetivo Discutir grandezas direta e inversamente proporcionais a partir do desperdício deágua.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? Um vazamento de água a) Usando o exemplo anterior, calcule quantos litros de água serão Uma torneira lá em casa está com desperdiçados se o vazamento durar 30 vazamento - ela pinga sem parar. dias (1L = 1 000 mL). Verifique se em Coloquei um copo para recolher a água sua casa não há vazamento de água! desperdiçada, e, em uma hora, o copo Evite sempre o desperdício! estava cheio. A capacidade desse copo é de 200 ml. Então, fiz a tabela a seguir. b) Um cientista observou durante 3 dias o crescimento de uma população de micróbios. Anotou seus dados como se Tempo Quantidade de água segue. (horas) desperdiçada (mL) 1 200 Tempo Número de (dias) micróbios 2 400 1 3 24 4 800 2 9 Como as grandezas são diretamente proporcionais, determinei que em 1 dia 3 27 (24 horas) a torneira desperdiça 4 800 ml ou 4,8 litros de água. O tempo e o número de micróbios são Achei um absurdo! A torneira tem que grandezas proporcionais? Justifique sua ser consertada! resposta.FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola eCidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: O que é o que é? Pág. 12 15
  15. 15. ENSINO MÉDIOCONSTRUÇÃO DO CERCADOObjetivoEnvolver os conceitos de área, perímetro e função do 2º grau.Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muro já existente. as dimensões do cercado podem variar, desde que seu ‘‘perímetro’’ seja 36 m de tela. Dois cercados possíveis com 36 m de tela. a) Determine o comprimento da tela do cercado da planta ao lado. muro b) Determine a área A desse cercado. c) A é uma função de x, do 2º grau. x x Esboce o gráfico dessa função. d) O granjeiro quer o cercado que tenha maior área. Qual é essa área? Quanto medem os lados do cercado 36 - 2x nesse caso?FONTE: IMENES, Luiz Márcio Pereira e LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997. 8ª série, pág. 239. 16
  16. 16. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANASObjetivo Promover o entendimento do uso de fórmulas para o cálculo de área de figuras planas ediscutir o conceito de perímetro.Área do círculoO professor pode solicitar aos alunos que: • Utilizando o compasso desenhe um círculo com um diâmetro qualquer; • Recorte a figura; • Dobre o círculo ao meio, pinte cada metade de uma cor diferente , depois dobre ao meio novamente, novamente ao meio; outra vez ao meio, isto é, divida o círculo em 16 partes iguais, ou seja, 16 setores circulares. • Recorte cada uma das partes; • Cole numa fileira as partes da primeira metade do círculo; depois encaixe a outra metade formando um retângulo; • Escolha uma das dimensões da nova figura para base do retângulo. Qual a medida da altura correspondente a este lado tomado como base? Qual a medida da base do retângulo? Que expressão dará a medida da área do retângulo formado pelos setores circulares? Área de uma região retangular O professor pode solicitar aos alunos que: • Numa malha quadriculada desenhe uma figura retangular qualquer; • Conte quantos quadrados a figura possui no comprimento e quantos na largura; • Quantos quadradinhos no total? • Que resultado que você obtém ao multiplicar a quantidade de quadradinhos da largura pela quantidade de quadradinhos do comprimento da figura? • Observar a distinção entre área e perímetro. 17
  17. 17. ENSINO MÉDIOÁrea de uma região triangularO professor pode solicitar aos alunos que: • Desenhe um retângulo qualquer, escolha um lado para base e a altura corresponde a este lado; contorne com cores diferentes as dimensões. Recorte a figura; • Que expressão representa a medida da área desta figura? Trace uma diagonal; divida o retângulo em duas partes iguais utilizando a diagonal traçada; • Quantas e quais figuras você obteve? As figuras são congruentes? Que expressão representa a medida da área destas figuras? • Discuta como determinar a fórmula que expressa a área de uma região triangular qualquer. Área de um paralelogramo O professor pode solicitar aos alunos que: • Desenhe um paralelogramo não retângulo qualquer, escolha um lado para base e a altura corresponde a este lado; contorne com cores diferentes as dimensões. Pinte de cores diferentes as figuras que compõem o paralelogramo. Recorte a figura na altura traçada; Quais figuras você obteve? • Construa uma nova figura com as partes recortadas. Que expressão representa a medida da área desta figura? • Observe se os alunos relacionam o paralelogramo a uma região retangular. SUGESTÕES O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. O desafio do jogo consiste em compor as sete peças para formar uma região quadrada. Este jogo pode ser utilizado para o aprofundamento do conceito de área, através do uso de sobreposição das figuras. A série da TV Escola “Mão na Forma” também pode ser utilizada como recurso didático para o estudo de poliedros. 18
  18. 18. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISPIFF GEOMÉTRICO Esta atividade visa proporcionar uma visão mais ampla com relação à geometriaespacial reconhecendo as formas geométricas espaciais, suas fórmulas e aplicações no dia-a-dia.Objetivo Identificar a forma geométrica dos sólidos em objetos do cotidiano, desenvolvendo acompreensão de propriedades relacionadas a estes.Material necessário? • 108 cartas sendo distribuídas em 4 coringas. • 18 cartas com o desenho de sólidos geométricos (carta-figura). • 86 cartas contendo características ou exemplos destes sólidos (carta-característica).Sugestão de trabalho O professor deverá organizar os alunos em 3 ou 4 grupos.Distribuir 9 cartas para cada jogador. Este deverá ter como objetivo formar 3 trios, sendo queuma das cartas do trio, obrigatoriamente, é a carta-desenho e as outras duas contendocaracterísticas ou exemplos do mesmo (carta característica). O coringa substitui qualquer cartacom exceção dos desenhos. Em cada trio poderá ter somente um coringa. O jogador pega umacarta do “monte” e verifica se esta serve para seu jogo. Em caso afirmativo, troca por uma cartaque está em sua mão; caso contrário, joga-a fora e o próximo jogador faz sua jornada. Oganhador do jogo é aquele que primeiro formar os 3 trios. Durante a aplicação do jogo o professor deverá estar atento para as dificuldades dosalunos. As dificuldades apresentadas deverão sofrer intervenções, no sentido de seremsuperadas. Após a aplicação do jogo propomos que sejam realizadas atividades de aprofundamentosobre os conceitos envolvidos, através do uso de material concreto para montagem deplanificações dos sólidos ou desmontagem.Salientamos também a necessidade do cálculo do volume de sólidos que devem ser propostasna forma de situações-problema.LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA. Jogos matemáticos para o ensino médio. RS: UNIVATES, 2004. 19
  19. 19. ENSINO MÉDIOJogo 1: Piff GeométricoObjetivo Proporcionar uma visão mais ampla com relação a geometria espacial reconhecendo asformas geométricas espaciais, suas fórmulas e aplicações.Material 108 cartas sendo distribuídas em 4 coringas, 18 cartas com o desenho de sólidosgeométricos (carta-figura) e 86 cartas contendo características ou exemplos destes sólidos(carta-característica).Número de jogadores 2 ou mais.Regras Distribuir 9 cartas para cada jogador. Este deverá ter como objetivo formar 3 trios, sendoque uma das cartas do trio, obrigatoriamente, é a carta-desenho e as outras duas contendocaracterísticas ou exemplos do mesmo (carta-característica). O coringa substitui qualquercarta com exceção dos desenhos. Em cada trio poderá ter somente um coringa. O jogador pegauma carta do “monte” e verifica se esta serve para o seu jogo. Em caso afirmativo, troca poruma carta que está em sua mão; caso contrário, joga-a fora e o próximo jogador faz sua jogada.O ganhador do jogo é aquele que primeiro formar os 3 trios.Exemplos de cartas com desenho (carta-figura):Exemplo da carta- coringa: 20
  20. 20. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISExemplos de cartas contendo características dos sólidos (carta-característica): Faces laterais Copo plástico é usado para Cano de água. são trapézios. descartável. calcular colume.Sugestão de atividades que podem ser realizadas após o jogo:a) Qual a carta-figura que é mais fácil de combinar com as cartas-características?b) Se você tiver a seguinte carta-figura:Quais as cartas-características que podem ser combinadas com ela? 21
  21. 21. ENSINO MÉDIOc) João tem as seguintes cartas: Faces laterais são triangulares. Relação Pode ter base Tem apótema de Euler quadrada, D=a 3 lateral. F+V=A+2 hexagonal,...Ele pegou a seguinte carta do “monte”: A1 = 2ab + 2bc + 2acCitar algumas opções de jogo. 22
  22. 22. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Pode ter base Faces Sólido de Faces opostas quadrada, laterais são revolução. iguais. hexagonal,... retangulares.Tem apótema V = Ab . h 8 vértices. 12 arestas. da base. 2 ApresentaLata de azeite dado Ab = r 8 faces. 23
  23. 23. ENSINO MÉDIO 3 D=a 3 V=a d=a 2 At = r (g + r) 2 2 2 At = rg Casquinha de 2 2 2D= a +b +c g =h +r sorvete Número de Faces faces é sempre Tem apótema Chocolate laterais sãoigual ao número lateral. Toblerone triangulares. de vértices. 24
  24. 24. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Ab . h 2 bola V= Al = 4 r Al = 2 rh 3 é usado Faces lateraisCano de água Copo plástico para calcular são trapézio. descartável. volume.Relação de Euler Cesta de lixo At = 2ab + 2bc + 2ac 6 facesF+V=A+2 25
  25. 25. ENSINO MÉDIO 26
  26. 26. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Apresenta Caixa Chapéu Podem ser faces, arestasde fósforo. de bruxa. equiláteros. e vértices. 2 At = 2 r (h + r) 4 r3 At = 6a V= 3 27
  27. 27. ENSINO MÉDIO 28
  28. 28. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISEIXO TEMÁTICO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos quepossibilitem os alunos do Ensino Médio resolver problemas envolvendo informaçõesapresentadas em tabelas e/ou gráficos. Assim como associar informações apresentadas emlistas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam, e vice-versa. Também esperamos que os alunos possam ser capazes de resolver problemas queenvolva probabilidade de um evento. Para tanto propomos atividades experimentais para aconstrução deste conceito. A resolução de problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noçõesde permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples devem favorecer o devidoreconhecimento por parte dos alunos sobre a forma mais adequada de organizar números einformações com o objetivo de simplificar cálculos em situações reais envolvendo grandequantidade de dados e eventos. Ressaltamos a importância do trabalho sobre a busca por formas adequadas paradescrever e representar dados numéricos e informações de natureza social, econômica,política, científico-pedagógica ou abstrata. 29
  29. 29. ENSINO MÉDIOA CONTA DE ENERGIA ELÉTRICA Esta proposta de atividade foi elaborada para ser aplicada no Ensino Médio, permitindouma oportunidade de rever temas de estatística, em especial para aqueles alunos que, poralgum motivo, não foram apresentados a esses conteúdos. Deve ser explorada uma conta deenergia elétrica, sendo sugeridas atividades que enfatizem gráficos, tabelas, médias eoperações numéricas.Objetivo Ler e interpretar os dados de um gráfico ou tabela e realizar operações numéricasutilizando uma conta de energia elétricaConteúdos Matemáticos Estatística: gráficos, tabelas de freqüência, porcentagem, média aritmética.Material Conta de energia elétrica de vários meses de um ano. Manchetes de jornais ou revistascontendo gráficos.Sugestões para a atividade ? a turma em grupos de quatro a cinco alunos. Organizar ? de uma tabela com as médias de consumo diário nas contas de energia elétrica ?Construção dos meses do ano observado. ?entre o número de moradores da residência e o consumo de energia em kWh ?Relação (Quilowatts hora). ? sobre qual foi a média diária do consumo de energia elétrica nos meses de um ?Discussão período. ? gráfico da média diária de consumo de energia elétrica dos meses de um período ?Fazer um ? sobre em que mês houve o maior consumo de energia? E o menor? ?Discussão ?Em que mês houve o maior consumo diário médio de energia? E o menor? ? ? médio diário é o mesmo do dia-a-dia? O que faz a média do consumo diário ?O consumo variar? ?Com os dados da conta, solicitar o cálculo da média de consumo anual desta conta nos ? meses de _________ de ______ a ________________ de ________. ? do ICMS, se a alíquota fosse de 20%? Qual o valor ? de luz tem uma data de vencimento. Houve atraso no pagamento? Em caso A conta afirmativo, de quantos dias? Quanto se pagou de multa? ? no pagamento fosse de dez dias, qual seria o valor a ser pago? Se o atraso ? em jornais ou revistas os vários tipos de gráficos utilizados e o poder de Verificar visualização desses gráficos e a adequação para representação das informações.Referência: REORIENTAÇÃO CURRICULAR Matemática Materiais Didáticos Ensino Médio - Volume III- RJ, 2006. 30
  30. 30. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISPLANETA ÁGUAObjetivo Discutir a importância da estatística na apresentação adequada das informaçõesutilizando tabelas ou gráficos, bem como ferramenta que está a serviço de qualquer área doconhecimento, possibilitando um trabalho interdisciplinar. TABELAS DE TRABALHO Nº 1 | distribuição da água no mundo. Nº 2 | evolução do uso da água no mundo Nº 3 | consumo médio de água no mundo por faixa de renda Nº 4 | disponibilidade de água por habitante/região (100m3) Nº 5 | disponibilidade anual de água de água por pessoa. Nº 6 | distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população no Brasil. Nº 7 | desperdício evitável de água.1. ATIVIDADESQuais os dados das tabelas citadas não seriam bem apresentados em gráficos? Justifique.Qual da tabela pode apresentar seus dados em um gráfico de linhas? Execute esta tarefa.Qual da tabela pode apresentar seus dados em um gráfico de barras superpostas ouempilhadas? Execute esta tarefa.Apresentar os dados da tabela 10 em um gráfico de barras.2. TRABALHANDO COM A CONTA DE ÁGUAObserve a tabela com o consumo de água dos últimos 12 meses e o consumo médio em metroscúbitos do Senhor COMPESA. Média 23 23 18 31 32 30 24 24 25 21 20 31 26 • Calcular o consumo anual familiar • Calcular o consumo anual per capita • Calcular o consumo médio mensal familiar • Calcular o consumo médio familiar diário • Calcular o consumo médio diário por pessoa • Construir o gráfico de barras do consumo • Calcular as variações dos valores do consumo mensal em relação a média.Obs: atividade adaptada do livro Tratamento da Informação para o ensino Fundamental e Médio deCAZORLA, Irene Maurício. 31
  31. 31. ENSINO MÉDIOTABELA Nº 1 - distribuição da água no mundo em trilhões de toneladas e porcentagem DIVISÃO DA ÁGUA NO MUNDO QUANTIDADE PORCENTAGEMÁgua salgada e está nos mares e oceanos 1.235.000 97,300Água doce e está dividida em: 41.000 2,7000 • congeladas nas calotas polares e geleiras 30.750 75,000 • sub-solo entre 3.750m e 750m (lençóis profundos) 5.652 13,000 • sub-solo acima de 750m (lençóis superficiais) 4.424 10,800 • lagos e lagoas 123 0,300 • rios 12 0,30 • umidade do solo 25 0,060 • atmosfera na forma de vapor de água 14 0,035(*) utilizam-se três casas decimais para poder representar os valores pequenosTABELA Nº 2 - evolução do uso da água no mundo ANO HABITANTES USO DE ÁGUA M3 / HAB / ANO 1940 2,3 X 109 400 1990 5,3 X 109 800TABELA Nº 3 - consumo médio de água no mundo por faixa de renda GRUPO DE RENDA USO DE ÁGUA M3 / HAB / ANO baixa 386 média 453 alta 1.167 32
  32. 32. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISTABELA Nº 4 - disponibilidade de água por habitante / região (1000 m3) REGIÃO 1950 1960 1970 1980 2000 África 20,6 16,5 12,7 9,4 5,1 Ásia 9,6 7,9 6,1 5,1 3,3 América Latina 105,0 80,2 61,7 48,8 28,3 Europa 5,9 5,4 4,9 4,4 4,1 América do Norte 37,2 30,2 25,2 21,3 17,5 TOTAL 178,3 140,2 110,6 89,0 58,3TABELA Nº 5 - disponibilidade anual de água por pessoa (água renovável em m3 / ano) MELHORES PAÍSES PIORES PAÍSES 3 3POSIÇÃO PAÍS M / ANO POSIÇÃO PAÍS M / ANO 1º Groelândia 10.767.857 171º Cingapura 149 2º E.U.A 1.563.168 172º Malla 129 3º G. Francesa 812.121 173º Arábia Saudita 118 4º Islândia 609.319 174º Líbia 113 5º Goiana 316.689 175º Ilha Maldivas 103 6º Suriname 292.566 176º Qatar 94 7º Congo 275.679 177º Bahamas 66 8º Papua Nova Guiné 166.563 178º Emirado Árabe 58 9º Gabão 133.333 179º Faixa de Gaza 52 10º Ilhas Salomão 100.000 180º Kuwat 10 25º Brasil 48.314fonte: http//www.universiabrasil.com.br 33
  33. 33. ENSINO MÉDIOTABELA Nº 6 - distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população no Brasil (em % do total do país) REGIÃO RECURSOS HÍDRICOS SUPERFÍCIE POPULAÇÃO Norte 68,50 45,30 6,98 Centro-Oeste 15,70 18,80 6,41 Sul 6,50 6,80 15,05 Sudeste 6,00 10,80 42,65 Nordeste 3,30 18,30 28,91 TOTAL 100 100 100 fonte: http//www.moderna.com.brTABELA Nº 7 - desperdício evitável de água ATIVIDADE LITROS Descarga 10 Escovar os dentes 12 Deixar a torneira gotejando durante um dia 46 Ficar 15 minutos no chuveiro 135 Regar o jardim durante 10 minutos 186 Lavar o carro com mangueira durante 30 minutos 216 Um buraco de 2 milímetros no encanamento durante um dia 3.200 34
  34. 34. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISJOGO COM DADOS Apresentamos uma proposta para o ensino de probabilidade, utilizando-se um jogo dedados e a metodologia da resolução de problemas. O jogo proposto foi formulado por Game ofKasje, citado por Schuh (1968, p.181), através da utilização desse jogo, são formuladosvários problemas, cujas soluções e a adequada intervenção do professor, induzem os alunos aconstrução/ reconstrução de todos os conceitos básicos de probabilidade.Objetivo Introduzir o conteúdo de probabilidade a partir da utilização de um jogo, explorando aresolução de problemas.O Jogo Este jogo utiliza dois dados e é disputado por dois jogadores, João e Maria. Os resultadosabaixo valem os pontos indicados e resultados diferentes não são pontuados. (4; 1) ou (1; 4) – 1 ponto (4; 2) ou (2; 4) – 2 pontos (4; 3) ou (3; 4) – 3 pontos (4; 4) – 4 pontos (4; 5) ou (5; 4) – 5 pontos (4; 6) ou (6; 4) – 6 pontos Cada jogador poderá efetuar até dois lançamentos. Se não conseguir nenhuma face 4 noprimeiro lançamento, efetua o segundo lançamento com os dois dados. Se conseguiu pelomenos uma face 4 no primeiro lançamento, reserva este dado e decide se lança ou não o outrodado mais uma vez. Vence o jogo quem obtiver a maior pontuação. Caso os dois jogadoresobtenham a mesma pontuação o procedimento dado é repetido.Comentários sobre o jogo Num primeiro momento todos os alunos deverão jogar. Depois de realizado o jogo, oprofessor pode fazer os questionamentos abaixo. O jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento? O segundo jogador possui maior possibilidade de vencer o jogo? Estamos supondo a utilização de dados com faces equiprováveis. Se o jogador conseguir(4; 1) ou (1; 4) – 1 ponto no primeiro lançamento, é conveniente lançar o segundo dado maisuma vez, não existe neste caso possibilidade de piorar sua pontuação. Se o jogador obteve 3 pontos, (4; 3) ou (3; 4) no primeiro lançamento e decidir lançar osegundo dado mais uma vez, então ele terá uma chance em 6 de permanecer com a mesmapontuação, duas chances em 6 de piorar sua pontuação; ou seja; obter a face 1 ou face 2 nolançamento do segundo dado e possui três chances em 6 (faces 4, 5 ou 6) de melhorar suapontuação. O jogador poderá não marcar pontos ou ter pontuação zero, isto ocorre se nos seus doispossíveis lançamentos ele não conseguir nenhuma face 4. João é o primeiro jogador e efetua um ou dois lançamentos. Maria joga posteriormente eestá numa posição melhor de decidir se aproveita ou não o seu segundo lançamento, pois jáconhece a pontuação obtida por João. Para tornar o jogo mais justo deve existir uma alternânciaentre João e Maria para ser o primeiro a jogar. Para a resolução dos problemas, o trabalho deve ser realizado em grupo. Após a soluçãode cada problema, um grupo é escolhido para apresentar o resultado. No final, uma pequenaplenária pode ser realizada para discutir a solução apresentada, bem como outras soluçõesalternativas. 35
  35. 35. ENSINO MÉDIO2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO Os conceitos de Experimento Aleatório, espaço Amostral e Evento serão sistematizadosatravés das soluções dos problemas a seguir. Problema 1 Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior chance em conseguir 1 ponto ou 6 pontos? Justifique sua resposta. Problema 2 Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior chance em conseguir 5 ou 4 pontos? Justifique sua resposta.3. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Até o presente momento o termo probabilidade não foi mencionado, este conceito serásistematizado nesta seção. Entretanto, os conceitos de Espaço Amostral e Evento, jásistematizados anteriormente, podem e devem ser utilizados pelo professor. Problema 3 Se João obteve 1 ponto no primeiro lançamento ele deverá utilizar o segundo lançamento para melhorar sua pontuação? Justificar sua resposta. Problema 4 Se João obteve 3 pontos no primeiro lançamento, quais são suas chances em melhorar, piorar ou manter inalterada sua pontuação se utilizar o segundo lançamento? Problema 5 Qual a probabilidade de João não obter a face no primeiro lançamento? Problema 6 Se não obteve 4 pontos no primeiro lançamento, qual a probabilidade de aumentar, diminuir ou permanecer com esta pontuação se utilizar o segundo lançamento? 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36
  36. 36. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISCONTANDO PELA ORDEM E PELA NATUREZAObjetivo Favorecer que os alunos identifiquem os problemas que são de permutação, arranjo oucombinação.Sugestões para o professor Através dos problemas sugeridos abaixo, discuta a resolução destes sem/com o uso defórmulas.1) O professor de desenho pediu a seus alunos que pintassem os quatros abaixo, usando ascores rosas ou verde. Quantas são as possibilidades diferentes de pintá-los? 1º 2º 3º 4º2) De quantas formas podemos compor uma comissão de 6 pessoas, sendo três escolhidas deum conjunto de 5 homens e as outras três escolhidas de um conjunto de 6 mulheres?3) Tem-se 5 pontos sobre uma reta r e 10 pontos sobre uma reta s paralela a r. Calcule: a) Quantos triângulos com vértices em 3 desses 15 pontos existem? b) Quantos quadriláteros com vértices em 4 desses 15 pontos existem?4) Suponha-se que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenhadinheiro para assistir a apenas um evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer nosábado se os programas nunca são simultâneos?5) Se o exemplo anterior Carlos tiver dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro,quantos são os programas que ele pode fazer no Sábado?6) Cinco atletas participaram de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1ª, 2ª e 3ªlugar se dois ou mais atletas não podem chegar simultaneamente?7) Os sanduíches da padaria Regência são famosos, entre os três tipos de pão: pão forma, pãofrancês ou pão italiano. Para o recheio há quatro opções: salame, queijo, presunto oumortadela. Quantos tipos de sanduíches a padaria oferece usando: a) Um tipo de pão e um tipo de recheio? b) Um tipo de pão e dois tipos de recheio? 37
  37. 37. ENSINO MÉDIO8) O diagrama abaixo ilustra o mapa de uma cidade onde existem 5 avenidas na direção norte-sul e 4 avenidas na direção leste-oeste (avenidas adjacentes são paralelas e equidistantes). Dequantas formas pode uma pessoa ir do ponto A e dirigir-se ao ponto B, usando o menos caminhopossível? N B NO NE O L SO SE S A 38
  38. 38. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISEIXO TEMÁTICO: GEOMETRIA As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos quepossibilitem os alunos do Ensino Médio a resolver problema que envolva razões trigonométricasno triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). Propomos que além dos jogos sugeridos, oprofessor aprofunde os conceitos envolvidos em que possa se utilizar e interpretar modelos pararesolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distânciasinacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. O trabalho com a interpretação geométrica dos coeficientes da equação de uma reta,A identificação da equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de umponto e sua inclinação, a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com aresolução de um sistema de equações com duas incógnitas e o reconhecimento dentre asequações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências, são aspectos aserem aprofundados em geometria analítica. Destacamos a importância da articulação entre geometria e álgebra. Para que estaarticulação seja significativa para o aluno, o professor deve trabalhar o entendimento de figurasgeométricas, via equações, e o entendimento de equações, via figuras geométricas.BINGO TRIGONOMÉTRICOObjetivo Recordar cálculos relacionados a seno e cosseno e aprofundar com a resolução deproblemas.Participantes O número máximo de participantes é 36, correspondente ao número de cartelas porassuntos. Caso sejam constituídos grupos de dois ou mais alunos, o número de participantespoderá ser definido pelo professor.Material • 25 peças com questões envolvendo seno; • 25 peças com questões envolvendo cosseno; • 36 cartelas com resultados de questões envolvendo senos; • 36 cartelas com resultados de questões envolvendo cosseno.Regras As regras do jogo são as mesmas de um bingo tradicional. Cada participante recebe umaou mais cartelas e vai preenchendo os números que nelas aparecem, a partir da chamada feitapor uma pessoa que os sorteia. Especificamente para o Bingo Trigonométrico: - as peças sorteadas contém as questões propostas sobre cada assunto. - na cartela do aluno aparecem os resultados das questões propostas. O aluno deve resolver a questões sorteada, descobrir a resposta correta e procurá-la em sua cartela. Encontrando-a, deve marcá- la com uma pequena peça (grão de milho,feijão ou botão); - a pessoa que sorteia deve respeitar um tempo de resolução para cada questão. Cabe ao professor decidir o tempo mínimo e o máximo. 39
  39. 39. ENSINO MÉDIO 5 QUESTÕES COSSENO cos ð 4 3 2 1 cos ð cos 780° cos 540° cos 480° 6 7 8 9 cos ð cos ð cos ð cos 100 ðcos x = 0 10 11 12 13 cos x = - cos x = - cos x = -x x x 14 15 16 17cos x = -1 cos x = - cos x = 0 cos x = x x 18 19 20 21 cos x = cos x = cos x = 1 cos x = x x cos x = 22 23 24 cos x = 25 cos x = cos x = x x 40
  40. 40. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 5RESPOSTAS COSSENO 4 3 2 1 -1 - 6 7 8 9- 0 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 41
  41. 41. ENSINO MÉDIO 5 QUESTÕES SENO sen 4 3 2 1 sen 3330° sen 1485° sen 330° 6 7 8 9sen sen sen 40 ð sensen x = -1 10 sen x = 11 sen x = 12 sen x = 1 13sen x = 0 14 sen x = - 15 sen x = 16 sen x = - 17 xsen x = 0 18 sen x = 19 sen x = 20 sen x = 21x x x xsen x = 22 sen x = - 23 sen x = - 24 sen x = - 25 x x x x 42
  42. 42. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 5RESPOSTAS SENO - 4 3 2 1- 1 - 6 7 8 9 -1 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 43
  43. 43. ENSINO MÉDIO 1 1 COSSENO -0 - 2 COSSENO - 3 COSSENO -1 - 4 COSSENO 1 -1 5 COSSENO - 0 6 COSSENO - 44
  44. 44. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS -1 1 7 COSSENO - 8 COSSENO - 9 COSSENO -0 10 COSSENO 1 - - 11 COSSENO 0 12 COSSENO 45
  45. 45. ENSINO MÉDIO- 13 COSSENO -1 - -1 0 14 COSSENO- 15 COSSENO - 16 COSSENO 1 17 COSSENO 18 COSSENO 0 - 46
  46. 46. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS1 19 COSSENO- 20 COSSENO - - 1 21 COSSENO0 22 COSSENO - -1 23 COSSENO - 1 24 COSSENO 0 - 47
  47. 47. ENSINO MÉDIO 25 COSSENO - -1 1 26 COSSENO0 - 27 COSSENO - 28 COSSENO1 - 29 COSSENO -1 - 30 COSSENO 0 48
  48. 48. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS - 31 COSSENO-1 - - 32 COSSENO 0 33 COSSENO 1 34 COSSENO 0 35 COSSENO - -1 36 COSSENO- 49
  49. 49. ENSINO MÉDIO- 1 SENO 1 - -1 2 SENO - 0 3 SENO - 4 SENO 5 SENO - 1 0 -1 6 SENO 50
  50. 50. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS -1 7 SENO 1- 8 SENO - 9 SENO0 0 10 SENO - 11 SENO --1 - 1 12 SENO 51
  51. 51. ENSINO MÉDIO - 13 SENO-1 0 14 SENO - - 15 SENO1 16 SENO - - - 17 SENO -1 1 18 SENO 0 52
  52. 52. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS - 0 19 SENO 1 20 SENO 21 SENO - - -1 - 22 SENO 23 SENO - -1- 0 1 24 SENO 53
  53. 53. ENSINO MÉDIO 0 25 SENO 1- 26 SENO -1 - 27 SENO - - - 28 SENO 0 29 SENO-1 - 1 30 SENO 54
  54. 54. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 31 SENO 0 - 32 SENO- - 33 SENO -1 1 -1 34 SENO - 35 SENO 0 - 36 SENO 1 - 55
  55. 55. ENSINO MÉDIOENCONTRE O PARObjetivoAprimorar no aluno a compreensão das relações trigonométricas e desenvolver o cálculomental com expressões trigonométricas simples.ParticipantesDois ou trêsMaterialUma cópia de baralho de cartas (ver páginas seguintes) e do dado abaixo, montado, com osvalores dos ângulos em graus (0°, 15° E 30°), papel e lápis para registrar os cálculos.atõesenvolvendo cosseno.Regras • As cartas são embaralhadas e colocadas no centro de uma mesa (ou carteira) com as faces voltadas para baixo. • Os participantes decidem a ordem em que cada um irá jogar. • Em cada jogada, cada um dos participantes retira duas cartas do mente e joga o dado duas vezes, anotando os valores obtidos. • Cada jogador deve substituir os valores de x em suas cartas pelos valores dos ângulos obtidos no dado, escolhendo qual valor, entre os dois sorteados por ele, que colocar em cada carta. • Se o jogador, ao calcular o que se pede nas cartas, conseguir dois valores numericamente iguais, ele permanece com o par de cartas; caso contrário, ele devolve as cartas para um segundo monte sobre a mesa. Essas cartas não poderão mais ser utilizadas nas jogadas seguintes. • Após cada jogador conferir os cálculos dos demais, nova jogada é feita. • Quando acabarem as cartas do monte inicial, o jogo termina e ganha aquele que tiver o maior número de cartas. DADO 0° 15° 30° 15° 30° 0° 56
  56. 56. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISO valor de AB no triângulo O valor de AC no triângulo A área do triânguloretângulo ABC retângulo ABC retângulo ABC B B B x + 30º 3 60º - x 60º - x C 3 A C A C 2 AO valor de AB no triângulo O valor de AC no triângulo O valor de BC no triânguloretângulo ABC de altura retângulo ABC de altura retângulo ABC, sendo queAD = 1 AD = 1 AB mede 2 e é um diâmetro do semicírculo A A C 1 1 x + 30º x + 30º A 60º - x B B D C B D C 2O valor de AC no triângulo A altura BH do triângulo A área BH do triânguloretângulo ABC, sendo que ABC ABCAB mede 2 e é umdiâmetro do semicírculo B B C 2 1 x + 30º x + 30º A x + 30º B A C A C 2 H 4 4 57
  57. 57. ENSINO MÉDIO O valor de O valor de O valor de sen 3x + cos 3x sen (2x + 60) 2cos (45 - 3x) O valor de O valor de O valor de 2sen (30 + 2x) 3 - tg 2x 3tg (60º - x)A altura BH do triângulo A base do triângulo A altura BH do triânguloABC isósceles ABC isósceles ABC B B B 60º + 2x 60º - x 3 2 2 2 6 60º - x A H C A C A C 58
  58. 58. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS O valor da função O valor da função O valor da funçãof(x) = 2 - 3 sen2 3x f(x) = 2 cos 2x f(x) = 2 cos2 3x 59
  59. 59. ENSINO MÉDIODESCUBRA O GRÁFICOObjetivo Discutir a relação algébrica e gráfica de funções polinomiais do 1º e 2º graus. y=x y = -x y=x+1 y=x-1Sugestões para o professor a) Que semelhança(s) e que diferença(s) você observa entre os gráficos representados nos quadros M, N, e O? b) Que semelhança(s) e que diferença(s) você observa entre os gráficos representados nos quadros P, Q e R? c) A análise dos gráficos e a relação com uma das funções abaixo indicadas d) Ampliar a identificação algébrica dos gráficos. A) y B) y C) y x -2 +2 x 2 x -4 D) y E) y y F) 9 x -8 4 x x( ) y = x²- 4 ( ) y = x² + 4x + 4 ( ) y = (1/2) x2 + 9( ) y = 2x² ( ) y = - 2x² + 8x ( ) y = -x + 4 60
  60. 60. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISPONTO DE INTERSECÇÃOObjetivo Relacionar a determinação do ponto de intersecção de duas ou mais retas comaresolução de um sistema de equações com duas incógnitas.Sugestão Discutir com os alunos qual sistema de equações corresponde cada gráfico abaixo.Depois solicitar que determine a solução dos sistemas algebricamente. { { { { x x+y=4 x + y = -2 y = 2 +2 x+y=0 a) b) c) d) y-x=1 y = 2x + 1 x + y = -1 y-x=2 I. y II. y III. y x x x IV. y V. y x x 61
  61. 61. ENSINO MÉDIOCAPTURANDO PONTOSObjetivo Aprimorar a compreensão dos intervalos numéricos, identificar as propriedades dacircunferência, apropriar-se de sua equação e representar pontos no plano cartesiano, Tendocomo base um intervalo determinado, são os objetivos deste jogo.Organização Dividir os alunos em duplas.Material • moeda • lápis • compasso • um tabuleiro para cada jogador, feito com papel quadriculado conforme indicado.Regras 1. Cada jogador marca em seu tabuleiro 10 pontos sem que o seu adversário veja. Essespontos podem ficar em qualquer posição desde que dentro dos limites do tabuleiro, ou seja,pontos (x,y) com -10 ¡Ü ¡Ü e -10 ¡Ü ¡Ü e X º Y º Z. x 10 Z 10 2. Decide-se quem começa e os participantes jogam alternadamente 3. Na sua vez, o jogador lança a moeda e diz a equação de uma circunferência daseguinte forma: “(x-a)2 + (y – b )2 = r2 , onde r é 1 se a moeda tiver caído em cara e r é 2 se amoeda tiver caído coroa “.As coordenadas do centro (a,b) são escolhidos pelo jogador 4. O Adversário traça, então, a circunferência correspondente em seu tabuleiro eanuncia quantos de seus pontos o outro jogador capturou. 5. Os pontos serão capturados quando estiverem no interior da circunferência oupertencerem ela. 6. Ganha o jogo aquele que conseguir capturar primeiro os 10 pontos de seu oponente.EXPLORANDO O JOGO Está na vez de Júlio jogar. Ele diz a César a equação ( x – 1 )2 + ( y – 5 )2 = 4 . Este traçaa circunferência e anuncia que Júlio fez 5 pontos dos quais 3 pertencem á circunferência. Quais os possíveis pontos, atingidos por Júlio, que pertencem á circunferência? • Até quantos pontos podem ser capturados se a circunferência possuir raio 1 ?E se o raio for 2? • Liste todos os pontos que a circunferência de raio 2 e centro (-5;-5) pode atingir. 62
  62. 62. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS • Quero atingir o ponto (10;10). Tirei cara na moeda. Escreva alguns possíveis centros que posso escolher? • Lúcio obteve coroa ao lançar a moeda. Quer atingir o ponto (-10; 4). Escreva três centros que Lúcio pode escolher?IMPORTANTE Os alunos podem produzir uma lista de dicas para vencer o jogo, ou resolver problemas apartir do jogo, como, por exemplo: Das equações a seguir, qual(ais) delas atinge o ponto(9;-6)? a) (x-9)2+(y+4)2=4 b) (x-9)2+(y-4)2=1 c) (x+11)2+(y+6)2=4 d) (x-9)2+(y+5)2=1 e) (x-7)2+(y-6)2=4 Criar uma lista de exercício para serem resolvidos a partir do jogo e depois trocar com umcolega para que resolva a lista do outro. y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 63
  63. 63. ENSINO MÉDIOÉ CIRCUNFERÊNCIA?Objetivo Reconhecer dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representamcircunferências. a) x²+y²-8x+6y+1=0 b) x²+y²+xy+4x+6y-3=0 c) 2x²+y²+4x-2y+1=0 d) 3x²+3y²-12x-15y-6=0 e) 4x²-4y²=0 f) (x-5)²+(y-3)²=-5 g) x²-10x+25+y²=0 Escreva uma equação para cada circunferência de centro O: y y A) B) 0 0 x 0 x 0 y C) 0 x 0 64
  64. 64. MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAISEIXO TEMÁTICO: NÚMEROS E OPERAÇÕES / ÁLGEBRA E FUNÇÕES As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos quepossibilitem os alunos do Ensino Médio a resolver problemas envolvendo equação do 1º e 2ºgrau, reconhecer a expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela,possam analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos. Esperamos que os alunos possam reconhecer a representação algébrica de uma funçãodo 1º e 2º graus dado o seu gráfico, reconheçam o gráfico de uma função polinomial por meio deseus coeficientes ou vice-versa e resolvam problemas que envolvam os pontos de máximo ou demínimo de uma função polinomial do 2º grau. O ensino de funções, não deve descuidar de mostrar que o que está sendo aprendidopermite um olhar mais crítico e analítico sobre as situações descritas. As funções exponencial e logarítmica, por exemplo, são usadas para descrever avariação de duas grandezas em que o crescimento da variável independente é muito rápido,sendo aplicada em áreas do conhecimento como matemática financeira, crescimento depopulações, intensidade sonora, pH de substâncias e outras. Relembramos que a origem do conceito de função está intimamente ligado ànecessidade do homem de registrar regularidades observadas em fenômenos e generalizar leise padrões. As idéias essenciais envolvidas no conceito de função devem ser trabalhadas ao mesmotempo que as formas de representar funções. Nas atividades que se seguem, são trabalhadas as representações gráfica e analítica deuma função, a partir da discussão de uma função real, descrita verbalmente. O uso dalinguagem oral e escrita deverá auxiliar a passagem de uma dessas formas de representaçãopara a outra e a explicitação de noções como: dependência, domínio, variável e generalização.Todas as atividades propostas podem ser usadas como introdução à linguagem algébrica, deuma maneira mais significativa. A resolução de problemas envolvendo P.A./P.G. pode ser articulado com outrosconceitos matemáticos, a exemplo, com o ensino de funções A identificação da representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica,reconhecendo-a como inversa da função exponencial deve ser aprofundado. Assim como,identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) deve ser trabalhadono reconhecimento de propriedades. Entendemos que o estudo sobre os sistemas lineares necessitam de uma revisão sobre aresolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3. 65

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