Este relatório descreve a lei da gravitação universal de Newton. A lei estabelece que a força gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. O relatório também discute como a lei da gravitação universal explica o movimento dos planetas, a aceleração da gravidade e a energia em sistemas gravitacionais.

1. E.E. PROF. BENEDICTO CALDEIRA
EZEQUIEL FAGUNDES (08)
NATHAN OLIVEIRA (25)
GRAVIDADE
Gravidade/Lei da Gravitação Universal
Osasco, Brasil – 1ºB
2014

2. EZEQUIEL FAGUNDES
NATHAN OLIVEIRA
GRAVIDADE
Gravidade/Lei da Gravitação Universal
Relatório final, apresentado a Escola
Benedicto Caldeira, como parte das
exigências para a obtenção do título de
Gravidade.
Osasco, 3 de Setembro de 2014.

3. Introdução
Analisando as leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam
ao longo da órbita em módulo e direção. Como a variação da velocidade é devida a
forças, Newton concluiu que os planetas e o Sol interagem a distância, com forças
chamadas gravitacionais. Uma tremenda capacidade de generalização e um
conhecimento profundo de Matemática permitiram a Newton descobrir que as forças
gravitacionais são funções do inverso do quadrado da distância e dependem da
massa de cada um dos planetas.

4. Conteúdo
Se M e m são as massas de dois pontos materiais e r é a distância que os separa, a
intensidade da força gravitacional é dada por:
F = (Gm1m2) / d2
Onde:
F: força de atração
G: constante de gravitação universal
m1 e m2: massas dos corpos estudados
d: distância entre os corpos
Se em vez de pontos materiais tivermos esferas homogêneas, a distância r a ser
considerada é entre seus centros.
A força gravitacional F é uma força de campo que atua a distância ao longo da reta
que une os centros dos corpos.
Na expansão anterior G = 6, 67.10-11 unidades do Sistema Internacional são uma
constante chamada constante de gravitação universal.
Ela não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer outro meio
interposto entre os corpos.
Como a constante G é muito pequena, a força F só tem intensidade apreciável se ao
menos uma das massas for elevada, como a de um planeta. Para corpos pequenos
(pessoas, objetos, veículos), a atração gravitacional F entre suas massas tem
pequena intensidade e é desprezível.
Esta lei estabelece duas relações importantes:
Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.
Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa.
Da figura acima temos que a força F1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é
maior que F2 porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor
que a distância na posição 2.
A relação com a aceleração da gravidade

5. Supomos agora que o corpo de massa M seja a Terra (Figura 2.1). E o corpo de
massa m se encontra sobre a sua superfície.
Desde que a Terra é muito grande em relação ao corpo, podemos considerar a
distância entre os mesmos como o próprio raio da Terra R.
Verifica-se que qualquer corpo próximo à superfície terrestre sofre uma aceleração
constante g (aceleração da gravidade, aproximadamente 9,81 m/s2). Ou seja, o seu
peso P é igual a mg. E deverá ser igual à força dada pela fórmula anterior. Assim:
mg = k M m / R2. Ou M = g R2 / k.
Portanto, conhecendo-se o raio da Terra, pode-se determinar a sua massa.
Energia de um sistema gravitacional
Consideramos, conforme Figura 3.1, dois corpos de massa M e m, sendo M muito
maior que m. O corpo de massa m descreve uma trajetória genérica, com velocidade
v em relação a M. É o caso típico da Terra e de um satélite.
A energia cinética do sistema será a soma da energia cinética de ambos os corpos.
Mas, considerando M como referência e dado que M>>m, ela pode ser representada
por:
Ec = m v2 / 2 (a demonstração desta igualdade não é aqui colocada, mas notar a
semelhança com a equação da energia cinética em Dinâmica II).
A variação infinitesimal da energia potencial é:
dEp = F dr = k M m dr / r2.
E a energia total será: E = Ec + Ep = m v2 / 2 - k M m / r.
A energia total tem relação com a trajetória de m conforme Figura 3.2
(demonstração não dada nesta página).
Se E>0, m percorre uma trajetória em forma de hipérbole.
Se E=0, m percorre uma parábola.
Se E<0, m percorre uma trajetória fechada, em forma de elipse.

6. Assim, para um corpo orbitar em torno de outro, a energia do sistema deve ser
negativa.
Velocidade de escape
Conforme Figura 4.1, consideramos o corpo de massa M como a Terra e desejamos
saber que velocidade ve deveria ser dada a um corpo de massa m sobre sua
superfície para este alcançar qualquer lugar no espaço ou, seja, o infinito. Esta é a
chamada velocidade de escape.
É lógico supor que a menor velocidade para escape deverá corresponder à energia
total nula. Assim:
E = m ve
2 / 2 - k M m / r = 0. Então, ve
2 = 2 k M / R.
Calculando para a Terra, o valor aproximado de Ve é 40700 km/h. É uma velocidade
bastante alta para os nossos padrões usuais e, assim, não é difícil imaginar quanta
energia é gasta para lançar satélites, naves e sondas espaciais.
Para uma idéia da ordem de grandeza dos números, a figura ao lado é uma
representação simples do conjunto de um ônibus espacial (space shuttle)
americano.
Observação: a escala da figura e todos os números indicados são aproximados.
No lançamento o conjunto é formado basicamente por: nave e propulsores de
combustível líquido (azul), tanque externo de combustível líquido (marrom) e dois
impulsores auxiliares de combustível sólido (vermelho). A massa total aproximada é
2050 toneladas.
A nave, com a carga máxima que pode levar, tem massa aproximada de 110
toneladas.
E, portanto, a massa útil levada ao espaço é apenas 5,4% do total de lançamento.

7. Conclusão
A gravidade é a força de atração mútua que os corpos materiais exercem uns sobre
os outros. Classicamente, é descrita pela lei de Newton da gravitação universal. Foi
descoberta primeiramente pelo físico inglês Isaac Newton e desenvolvida e
estudada ao longo dos anos.
Albert Einstein descreveu-a como consequência da estrutura geométrica do espaço-tempo.
Do ponto de vista prático, a atração gravitacional da Terra confere peso aos objetos
e faz com que caiam ao chão quando são soltos no ar (como a atração é mútua, a
Terra também se move em direção aos objetos, mas apenas por uma ínfima fração).
Ademais, a gravitação é o motivo pelo qual a Terra, o Sol e outros corpos celestiais
existem: sem ela, a matéria não se teria aglutinado para formar aqueles corpos e a
vida como a entendemos não teria surgido. A gravidade também é responsável por
manter a Terra e os outros planetas em suas respectivas órbitas em torno do Sol e a
Lua em órbita em volta da Terra, bem como pela formação das marés e por muitos
outros fenômenos naturais.