O documento discute a radiação de multipolos em sistemas atômicos e nucleares. No limite dos grandes comprimentos de onda, os campos de multipolo elétricos estão relacionados à densidade de carga elétrica, enquanto os campos de multipolo magnético são determinados pelas densidades de momento magnético. Nas transições atômicas, as transições de dipolo elétrico são mais intensas, enquanto que nos núcleos as transições de dipolo magnético também podem ser importantes.

1. a exigência deas ondas serem emergentes no infinito faz com queA,"' = O na Eq.(16.37). Assim,
escolhemosfikr) = gdkr) = Irpl(kr) na Eq.(16.46) como a representaçáo de E e de B fora das
fontes. Em seguida, consideramos a representação de onda esférica (16.22) para a funçiío de
Green iia Eq.(16.87) e admitimos que o ponto x está fora de urna superfície esférica que envolve onde os rnoinentos de rnultipolo sáo
completamente as fontes. Entáo, nas integrações d a Eq.(16.87), r, = r', r, = r. A projeção da
onda esférica, necessária para a Eq.(16.47), é
Mediante esta projeçáo, vemos quecl,,il, />I) ndl, m ) são dados em termos dos integrandos na
e
Eq.(16.87) por
O momento e,,,,
aparece tendo a mesma Iòrrna que O momento de rnultipolo eletrostáti~oq~,,~,
Eq.(4.3). O ~nomcntoQ'~,,, rnoinento de rnultipolo elétrico indiizido devido à inagnetizac;ão.
é um
Em geral, é nienor que o momento normal Q,,,, pelo mcnos pelo fator kr. Pura o cocficienttt de
niultipolo magnéticoa,,,(l, m), a aproximação correspondente de grandes comprimentos de onda
é
As expressões na Eq.(16.89) dáo as intensidades dos diversos campos de rnultipolo na
regi50 externa às fontes, em termos das integrais sobre a s densidades J e A d a s fontes. Estas onde os momentos de miiltipolo magnético são
expressões podem ser transformadas em relações maisúteis, mediante as seguintes identiclades.
Seja A(x) urn campo vetorial bem comportado. Entáo,
Estas identidades são conseqüências da definiçiio (16.25) de L e de identidades vetoriais
simples. Com A = A primeira equação e A = J na segunda, a integral para adl, rn) na Eq.
na Em contraste com os momentos de multipolo elétrico Q,,, e Q',,,, para um sistema com
(16.89) fica magnetização intrínseca os momentos magnéticos M1, e MrI,, são, em geral, da mesma ordem de
grandeza.
No limite dos grandes comprimentos d e onda, vemos claramente que os campos de
1 i l a
JioI j l ( k r ) ~ [ v(rx&)+-ck2 v 2 ( r . J) ----r (rzp)] d3x
aE(l,m) = - 4"k3
- .
k ra
multipolo elétricos estão relacionados com a densidade de carga elétricap, enquanto os campos
de multipolo magnético são determinados pelas densidades de momento magnético, (r x Jjlk e
A.
onde tisarnos a Eq.(16.82) para exprimir V . J em termos de p. A integraçáo por partes no
segundo termo substitui V2 por -k" enquanto que uma integração radial por partes no terceiro 16.6 ~ a d i a ç ã o multipolo em sistemas atômicos e nucleares
de
termo transforma a derivada radial numa função esférica de Bessel. O resultado para o coefi-
ciente tie mirltipolo el6tric.o é .
4
Embora uma discussão completa exija um tratamento quântico apropriado dos estados
envolvidos, é possível apresentar, com argumentos simples. os traços essenciais da radiacao de
ni~iltipolonos átomos e nos núcleos.§ Da Eq.06.78) e dos coeficientes de multipolo (36.93) e
(16.95), a potência total irradiada por um multipolo de ordem (1, t71) é
A manipulação anlíloga com a segunda equação em (16.89) leva ao coclficierzte de multipolo
ttlagtiético,
Em termos quânticos, estamos interessados na probabilidade de transiçáo (inverso da msia-
vida), definida como a potência dividida pela energia de um fóton:
Estes resultados sáo expressões exatas, válidas para freqüências arbitrárias e dimensões da
fonte também arbitrárias.
Em muitas aplicações da física atômica e nuclear, a s dimensões da fonte sáo muito
pequenas em comparaçáo com um comprimento de onda (krma,<< 1). Então, os coeficientes de
multipolo podem ser consideravelmente simplificados. Podemos usar o limite (16.12) para
PVerBlart e Wcisskopf, págs. 597-599, para as definiçóes quânticas dos momentos de multipolo. Observe os fatores de 2
pequenos argumentos das funções esféricas de Bessel. Guardando somente as potências mais que estabelecem uma diferença entre os momentos que definirnos e os que lá são definidos, em virtude dasequac;óesr7.1) e
baixas em kr nos termos que envolvem p ou J e d , encontramos o coeficiente aproximado do (3.2) que estão na pág. 590 da obra, referentes as densidades das fontes, e que sáo diferentes das nossas, Eq. (16.80). Ver o
multipolo elétrico, Problema 9.1 sobre a relaçfio entre as formas fatorizadas na Eq. (16.80) e as fontes clássicas p(x, r), etc.

2. Uma vez que estamos preocupados apenas com estimativas de ordem de grandeza, vamos
f z = r o seguinte modelo esquemático da fonte. A densidade de carga oscilante é, por hipótese,
de modo que
Er.t:o, uma estimativa do momento de multipolo elétrico Ql, é Da Eq.(16.106), vemos que os multipolos sucessivos estarão na razão (Z,d137)*. A razão
Qim -- 3
1+ 3
ea'
entre as taxas de transição de multipolo magnético e as de multipolo elétrico pode ser estimada
pela Eq.(16.105). O fatorg é da ordem daunidade para elétrons. Com n = n,/Z,, = 137(ti/111cZ,J,
vemos que a taxa do I-ésimo multipolo magnético é menor, por um fator (Z,,4137)2, que a do
multipolo elétrico correspondente. Concluímos que, nas transições atõmicas, as de dipolo
independente de 171. Analogamente, para as divergências das magnetizações vamos admitir a elétrico serão mais intensas, e as de qiiadrupolo elétrico e de dipolo magnético serão mais fracas
foma esquemática por um fator (Z,,4137)2.Somente nas transições de raios X nos elementos mais pesados haverá
possibilidade de con~petição entre outros multipolos que não os elétricos de ordem mais baixa.
Voltainos agora a nossa atenção para as transições radiativas nos núcleos atômicos. Em
virtude de as energias das transições nucleares radiativas variarem fortemente (desde cerca de
10 keV até vários MeV), os valores de ka cobrem uma ampla faixa. Isto quer dizer que, para
uma dada ordem de multipolo, as probabilidades de transição (ou as meias-vidas) estarão numa
on2c g é o fator g efetivo para os momentos magnéticos das partículas no sistema atômico ou faixa de várias potências de 10, de acordo com a energia libertada, com superposições de
nuzlcar, eefilmc é odobro do magneton de Bohr para estas partículas. Assim, uma estimativa da multipolos em ambas as extremidades dos intervalos correspondentes. Apesar disto, as estima-
~ 0 . dos momentos de rnultipolo magnéticos é
~2 tivas redondas das Eqs.(l6.104) e (16.105) sáo úteis para catalogar as transições de multipolos
nucleares pois, para uma energia libertada fixa, as estimativas para os diferentes multipolos
são muito diferentes.
A Fig. 16.2 mostra um gráfico log-log da estimativa da Eq.(l6.104)para as meias-vidas das
Da definição Q',, Eq.(16.94), vemos que
Urr.2 vez que as energias das transições radiativas nos átomos e nos núcleos são sempre muito
pecctnas em comparação com as energias de repouso das partículas envolvidas, Q',, é sempre
corzyletamente desprezível em relação a Q,,.
Para as transições de multipolo elétrico de ordem I , a estimativa (16.100) leva a uma
probzbilidade de transiçáo (16.98):
A mcnos de fatores da ordem da unidade, a probabilidade de transição dos multipolos magnéti-
cos i. de acordo com a Eq.(16.102),
A presença do fator (ka)?' na probabilidade de transição (16.104) significa que, no limite dos
grandes comprimentos de onda (kn <c I), a taxa de transição cai rapidamente com o cresci-
menx da ordem do rnultipolo, sendo a freqüência fixa. Por isso, numa transição atômica ou
nuclmr, o multipolo mais baixo niio-nulo será, emgeral, oúnicoa ter importância. A razãoentre
as probabilidades de transição para ordens sucessivas dos multipolos elétrico ou magnético de
mesma frcqiiéncia é
onde oniitin~osfatores numiricos de ordem relativa (111).
Sos sistemas atomicos, são os elétrons as partículas envolvidas nos processos de rxiiação.
As d!.iiensões da fonte podern ser igiialatlas a n = (a,/Z,J onderro é o raio dc Bohr eZ,,é uma
cnrm nuclear efetiva (Z,,? 1 para transições dos elétrons de valência;Z,, 5 Z para transições de
I Para estimarka, observamos que aenergia da transição atômica é, em geral, da ordem
raios S . Fig. 16.2 Meias-vidas estimadas dos estados nucleares excitados contra a emissão de radiação de multi-
de polo, em função da energia do fóton, para 1 = 1, 2, 3 , 4.

3. transições de multipolo elétrico, utilizandoe corno a carga do próton eu = 5,6. 10-l3 cm. Este é
um raio nuclear apropriado a um número de massa A = 100. Vemos que, embora as curvas
tendam a convergir nas altas energias, as meias-vidas para diferentes niultipolos na mesma
energia diferem por fatores que sáo, nos casos típicos, da orderii de 10í. Isto quer dizer que os
irionientos de multipolo reais nas transições individuais podem desviar-se fortemente das
nossas estimativas grosseiras, sem que se perca a utilidade destas estimativas como guias para
determinar as ordens de rnultipolo. Experimentalmente,§ o diagrama de energia contra meia-
vida mostra faixas largas, porém bem definidas, nas vizinhanças das retas que aparecem na Fig.
16.2. Há urna tendência geral para usar a estimativa (16.104) como um limite inferior do
momento de inultipolo, enquanto que a Eq.(16.100) dá um limite superior; porém, para algurnas
transições de quadnipolo elétrico, denominadas "realçadas". as meias-vidaspodem ser até 100
vezes mais curtas que as dadas na Fig. 16.2.
Podem-se comparar os miiltipolos magnético e elétrico de mesrna ordem pela Eq.(16.105).
Para núcleons, o fator g efetivo é tipicamente da ordem de 3, em virtude dos seus momentos
magnéticos nn8n1nlos. Entáo, com urna estimativa das dimensões da fonte a = R =
1,2A ' I 3 . I O-IJ cm, eticontrarnos
Os fatores numiricos vão de 4.10-l2 até 0,8.10-"ara 20<A<250. Podemos assim prever Fig. 16.3 Antena linear, com alimentação central.
que, para uma dada ordem de inultipolo, as transições elétricas serão de 25 a 120 vezes mais
intensas que as transições magnéticas. Para a maior parte dos multipolos, isto é, em geral,
verdadeiro. Porém, para I = 1, existem circunstâncias especiais nos núcleos (forças intensas, solução direta para os campos, no caso em que a distribuição de corrente era senoidd. Isto
atrativas, independentes das cargas) que inibem as transições de dipolo elétrico (pelo menos nas servirá de base de comparaçáo para testar a convergência da expansão de rnultipolo. -amos
energias baixas). Então, a estimativa da Eq.(16.109) não funciona; as transições de dipolo admitir que a antena esteja no eixo dosz, no intervalo -(d/?) < z 6 (d/2),e tenha uma pzquena
magnético são nestes L ~ S O Smuito mais comuns, e táo intensas quanto as transiçóes de dipolo fenda central, de modo que possa ser convenientemente excitada. A corrente ao longo da antena
elétrico. é nula nos pontos terminais, e é uma função par dez. Não vamos, por enquanto, especiticá-Ia
Na Seção 16.3, discutimos a paridade e as regras de seleção do momento angular, e ~
mais detalhadamente, e escreveremos apenas
mencionamos que poderia ocorrer, nas transições entre dois estados quânticos, uma mistura de
+
multipolos, como, por exemplo, de multipolos magnéticos I, (I 2). ... e multipolos elétricos I(z, t) = I(]z 1) e-'"',
(I + I), (I + 3), ... No limite dos comprimentos de onda grandes, basta considerar o multipolo de
ordem mais baixa em cada tipo. As razões (16.105)e (16.106) podem ser combinadas para dar as
taxas relativas de transição do multipolo elétrico (I + 1) para o multipolo magnético1 (usada mais Uma vez que a corrente flui radialmente, (r x J) = O. Além disto, náo há magne?ização
comumente para I = I), intrínseca. Por isso, todos os coeficientes de multipolo magnético, a,,(/, nz), seráo nulos. Para
calcular o coeficiente de multipolo elétrico a E (1, nz), Eq.(16.91), necessitamos de expressões
para as densidades de carga e de corrente. A densidade de corrente J é uma corrente ~ d i a l ,
confinada no eixo dosz. Em coordenadas esféricas, esta densidade de corrente pode ser escrita,
para r < (d/2), como
ondeE é a energia do fóton, em MeV. Para as transições energéticas nos elementos pesados, a
rrniplitrrde do quadrupolo elétrico é da ordem de 5% da amplitude do dipolo magnético. Porém, J(X) = E ,
I(r)
-[ ~ ( C OoS- I) - ~ ( C O S i)]
e+
se houver um reforço do momento de quad~upoloefetivo por um fator de 10, como ocorre 2rr2
realmente nos núcleos das terras raras e dos elementos transurânicos, a transição do quadrupolo
elétrico compete favoravelmente com a transição do dipolo magnético. onde as funçóes delta determinam que a corrente tenha o fluxo somente para cima (ou para
Parauma misturade niultipolo magnético (1 + 1) e multipolo elétricol, a raz- entre as taxas
ao baixo) ao longo do eixo dosz. Da equação da continuidade (16.82), verificamos que a dens:dade
de transiçáo é de carga é
Mesmo em transições energéticas, um multipolo magnético (I + 1) nunca se aproxima competi- Estas expressões para J e para p podem ser inseridas na Eq.(16.91) para dar
tivamente de um multipolo elétrico I.
16.7 Radiação de uma antena linear com alimentação central
Como ilustração do uso de um desenvolvimento de multipolo para uma fonte cujas dimen-
sões são comparáveis a um comprimento de onda, vamos considerar a radiação de uma antena
delgada, linear, com alimentação central, conforme está na Fig. 16.3. Já vimos, no Cap. 9, uma A integral sobre os ângulos é
- -
$Ver as Figs. 1 e 2 do artigo de M. Goldhaber e J . Weneser, Annual Review of Nuclear Science, Vol. 5 , J . G. Beckerley
J' d n = ~TS~,~[Y,~(O)
- Y,(T)I
(ed.), Annual Revieas. Stanford (1955). pág. 1-24.

4. mostrando que ocorrem somente multipolos com tn = O. Este fato é óbvio pela simetria
cilíndrica da antena. Os polinômios de Legendre são pares (ímpares) em torno de 0 = r12 para1
par (ímpar). Portanto, os únicos multipolos não-nulos são os que têm I ímpar. Então, a integral
sobre os ângulos tem o valor-.
Com uma pequena manipulaçáo, a Eq.(16.115) pode escrever-se
Com estes fatores angulares, a Eq.(16.121) fica
Para estimar a Eq.(l6.118), devemos especificar a corrente I(z) ao longo da antena. Se não
hout.esse radiação, a variação senoidal no teriipo, com a freqiiência o,implicaria uma variação onde o fator A é igual a 1 para a antena de meia-onda, e a (n2/4)para a antena de onda inteira. O
senoidal no espaço, com o número de onda k = olc. Porérii, conforme se discutiu na Seção coeficiente de (5 cosZ0 - I) na Eq.(16.123) é 0,0463 e 0,304 para a antena de meia-onda e para a
9.qb), a emissão de radiaçáo modifica a distribuição de corrente, a menos que a antena seja antena d e onda inteira, respectivamente.
infinitamente delgada. A corrente corretaI(z) s6 pode ser encontrada resolvendo-se um compli- Do Cap. 9, sabe-se que as distribuições angulares exatas (para correntes motrizes senoi-
cado problema de condições de contorno. Uma vez que o nosso objetivo é comparar o dais) são
desenvolvimento em multipolo com unia forma fechada de solução para urna distribuição
co~il~eciiia corrente, fazemos sobre I(z) a mesma hipótese que fizemos na Seção 9.4(a), ou
seja. que
de cos2 ;( cos 8)
' kd= n
dP- f senZ 8
COS< (;cor e)
, kd=2rr
onde I é a corrente de pico, e a fase foi escolhida de modo que a corrente se anule nas sen2 e
extremidades da antena. Com uma corrente senoidal, a segunda parte do integrando na (16.1 18)
se anula. A primeira parte é uma diferencial exata. Por isso, obtemos imediatamente, coml(z)
vindo da Eq.(16.119),
41 47~(21+1)
~ ) = ~ [ ~ ] ~ " [ ( ~ ) ~ j í ímpar ) ] ,
~ ( ~
De vez que queremos verificar a expansl-io em multipolos quando as dimensões da fonte são
comparáveis a um comprimento de onda, vamos analisar os casos especiais de uma antena de
meia-onda (kcf = v) e uma antena de onda inteira (kd = 2 ~ ) Para estes dois valores de kd, o
.
coeficiente para 1 = 1 está tabelado, juntamente corn os valores relativos para 1 = 3 e 5. Da
tabela, é evidente que(u) os coeficientes diminuem rapidamente em m6dulo quando1 cresce, e
(h) quanto maiores a s dimensões da antena, mais importantes são os coeficientes 1 mais
elevados. Porém, mesmo para a antena de onda inteira é possivelmente adequado manter
somente1 = 1 e1 = 3 na distribuição angular, e é certamente adequado paraa potência total (que
envolve os quadrados dos coeficientes).
Com apenas os termos de dipolo e de octopolo na distrib;iição angular, vemos que a
potência irradiada por unidade de ângulo sólido (16.74) é
(a) kd = n (b) kd = 27r
Flg. 16.4 Comparação entre as configurações de radiação exatas (curvas cheias) para antenas de meia-
onda (kd = r)e de onda inteira (kd = 2n),com alimentação central, e os desenvolvimentosem multipolos,
com dois termos (curvas tracejadas). Mostra-se também, na configuraçãode meia-onda, a aproximaçãode
dipolo (curva pontilhada). A concordinciaentre a configuraçãoexatae a daaproximação dos dois termosde
Os diversos fatores no quadrado do módulo são multipolos é excelente, especialmente para kd = n-.

5. Uma comparação gráfica das distribuições angulares exata e aproximada aparece na Fig. 16.4.
As curvas cheias são os resultados exatos, as curvas pontilhadas são os desenvolvimentos em
multipolos, com dois termos. No caso da meia-onda (Fig. 16.4a), o resultado com apenas o
dipolo [primeiro termo na Eq.(16.123)] também aparece como curva pontilhada. A expansão em
multipolo com dois termos é quase indistinguível do resultado exato para kd = rr. Mesmo a
aproximação de ordem mais baixa não está, neste caso, muito longe da exatidão. Para a antena
de onda inteira (Fig. 16.46), a aproximação de dipolo é, evidentemente, muito ruim. Porém, a Para determinar os coeficientes a,(l, m) e b,(l, m), utilizamos a ortogonalidade dos harmô-
expansão em multipolo com dois termos é razoavelmente boa, diferindo em menos de 5% na nicos esféricos vetoriais X,,. Apenas para termos uma referência, resumimos a seguir a relação
regi50 de radiação apreciável. básica (16.44), além de outras relações úteis:
A potência total irradiada é, de acordo com a Eq.(16.79),
I b ( r ) ~ i ~ . , ] * [g[(r)Xi.] da=fT8
1
811.6.~~
Para a antena de meia-onda, os coeficientes na tabela estampada anteriormente mostram que a
potência irradiadaé maior, por um fator 1,00245,que a d o resultado do dipolo, (12Z2/rr2c).Paraa
antena de onda inteira, a potência é 1,114 vezes maior que a forma do dipolo, (312/c).
16.8 Desenvolvimento em ondas esféricas de uma onda plana vetorial
Na discussão do espalhamento ou da absorção de radiação eletromagnética por objetos
esféricos, ou por sistemas localizados em geral, é útil ter um desenvolvimento de uma onda Nestas relações, fdr) e gdr) são combinações lineares de funções esféricas de Bessel que
eletromagnética plana em ondas esféricas. satisfazem à Eq.(16.5). A segunda e a terceira relações podem ser provadas mediante a
Para um campo escalar +(x) que satisfaça à equação de onda, a expansão necessária pode identidade operacional (16.49), a representação
ser obtida usando-se as propriedades de ortogonalidade da solução esférica básica jl(kr) Yl,
( O , + ) . uma dedução alternativa utiliza a expansão em onda esférica, Eq.(16.22), da função de
v,!2-i r x L
rar r
Green [exp(ikR)/4rrR]. Vamos fazer Ix'l tender param nos dois membros da Eq.(16.22). Então,
podemos fazer I - x'l = r ' - n .x no primeiro membro, onde n é um vetor unitário na direção de
x para o operador nabla, e a equação diferencial radial (16.5).
x'. NO segundo membro, r, = r' e r, = r. Além disto, podemos usar a forma assintótica Para determinar os coeficientes a,(l, m) e b,(l, m), tomamos o produto escalar dos dois
(16.13) para h{l' (kr'). Então, encontramos membros daEq.(16.13 1) porXS,, e integramos sobre os ângulos. Então, a primeira e a segunda
relações de ortogonalidade na Eq.(16.132) levam a
eikr' e'"'
, ,-e-"""= i k p
4 (-i)'"h(kr) YL(B', 4') yIm(g,4 )
Cancelando o fator exp(ikr1)lr' em ambos os membros e tomando o complexo conjugado, temos
r?'
o desenvolvimento de uma onda plana,
Com a (16.130) para o campo elétrico, a (16.133) fica
onde k é o vetor de onda com coordenadas esféricas k, O ' , $I'. O teorema da adição (3.62) pode
ser usado para tornar a equação mais compacta,
onde os operadores L, são definidos por (16.26), e os resultados das suas operaçóes por (16.28).
Assim, obtemos
onde y é oângulo k e x. Com a Eq.(3.57) paraP, cos(y), esta expressão pode também ser escrita
como
Se inserirmos o desenvolvimento (16.129) para exdikz), a ortogonalidade de Y,, leva, eviden-
Queremos agora fazer um desenvolvimento equivalente para uma onda plana circular- temente, ao resultado
mente polarizada, incidente ao longo do eixo dos z,
Das Eq~(16.134)e (16.130), é claro que
Uma vez que uma onda plana é finita em todos os pontos, podemos escrever a sua expansão em
multipolos (16.46) envolvendo somente as funções radiais regulares jdkr): Então, a expansão da onda plana (16.130) em multipolos é
594 595

6. podem ser escritas I
Para tal onda circularmente polarizada, os valores de m correspondentes a +- I têm a interpreta-
,
ção óbvia de 1 unidade de momento angular por fóton paralelo à direção de propagação. Isto Aqui, n é uma normal externa na direção radial, E,,,e B,,, são dados pela Eq.(16.141), enquanto
já foi estabelecido nos Problemas 7.20 e 7.21. E e B são a soma dos campos de onda plana (16.139). e dos campos espalhados (16.141). Nestas
equações, entram somente as partes transversais dos campos. Já sabemos que XI,, é transversal.
16.9 Espalhamento de ondas eletromagnéticas por uma esfera O outro tipo de termo nas Eqs.(l6.139) e (16.141) é
Se uma onda plana de radiação eletromagnética incide sobre um obstáculo esférico,'
conforme o esquema da Fig. 16.5, ela é espalhada de modo que, nos pontos distantes do centro
difusor, os campos sejam representados por uma onda plana mais ondas esféricas emergentes.
Poderá haver absorção pelo obstáculo, além de espalhamento. Então, o fluxo total de energia
para longe do obstáculo será menor que o fluxo total de energia que incide sobre ele, sendo onde f, é qualquer função esférica de Bessel de ordem 1 que satisfaz à (16.5). Quando os
absorvida a diferença entre os dois. O nosso objetivo é analisar o exemplo simples do espalha- desenvolvimentos dos campos em multipolos são inseridos nas Eqs.(16.142) e (16.1431, aparece
mento por uma esfera de raio n e condutividade infinita; vamos, porém, de início, manter o uma soma dupla sobre 1 e 1' de diversos produtos escalares da forma X& .X,,,,, XI*, .(nxXlrmt) e
problema em termos mais gerais. (n xX],) .(nxXItmt). integraçiio sobre os ângulos reduz a soma dupla a uma soma simples, em
A
virtude das relações de ortogonalidade (16.132). Cada termo da soma envolve produtos de
funções esféricas de Bessel e derivadas de funções esféricas de Bessel. O uso dos wronskianos
(16.15) permite a eliminação de todas as funções de Bessel e leva as seguintes expressões para as
seçóes totais de espalhamento e de absorção (a potência espalhada ou absorvida dividida pelo
fluxo incidente, c/4n):
Onda
incidente
A seçáo total, ou seção de extinção, é a soma de a,,, e cr,,,.
Fig. 16.5 Espalhamento de radiação por um objeto localizado.
Os campos externos à esfera podem ser escritos como uma soma de ondas incidente e Não é surpresa que estas expressões das seções dos processos sejam bastante semelhantes aos
espalhada, desenvolvimentos ondulatórios parciais do espalhamento quântico.9
A seçáo diferencial de espalhamento é obtida calculando-se a potência irradiada num dado
elemento d a de ângulo sólido ou, de forma equivalente, tomando-se o quadrado absoluto da
amplitude de espalhamento normalizada f, Eq.(9.188). Usando o resultado do Problema
16,l ](a), concluímos que a seção de espalhamento para a polarização incidente (E, +1 i )eé
onde E,,, e B,,, sáo dados pela Eq.(16.139). Uma vez que os campos espalhados são ondas
emergentes no infinito, as suas expansões devein ter a forma
A radiação espalhada é, em geral, elipticamcntc polarizada. Somente quando adl) = P-.[l) para
todos os 1, ela seria circularmente polarizada. Isto quer dizer que, se a radiação incidente for
linearmente polarizada, a radiação espalhada será elipticamente polarizada; se a radiação
incidente não for polarizada, a radiaçiio espalhada terá uma polarização parcial, dependendo do
ângulo de observação. No Cap. 9 (ver as Figs. 9.6 e 9.7), descrevemos estes efeitos no limite dos
grandes comprimentos de onda.
Os coeficientes adl) e PJl) na Eq.(16.14 1) sáo determinados pelas condições de contorno
dos campos em r = a. Normalmente, isto envolveria a solução das equações de Maxwell no
OScoeficicntes a,(/) pJ/) serão determinados pelas con&ões de contorno sobre a superfície
c interior da esfera e o acoplamento apropriado das soluções através d e r = a . Porém, se o difusor
e
dodifusor. A priori, é preciso manter uma soma completa sobret?~ sobre1 naEq.(l6. 141),mas, for uma esfera de raio a , cujas propriedades eletromagnéticas possam ser descritas por uma
para a classe restrita de problemas com simetria esférica que estamos analisando, somente
ocorrém os valores i~ 1 para r u . rd
8 0 s nossos resultados não sáo completamente gerais. Se se incluísse a soma sobre rn na Eq.(16.141), a seção de
Podem-se deduzir expressks formais para a potência total espalhada e absorvida eni espalhamcnto teria uma soma sobrei e m com os quadrados absoluios de 41, m) e Hl, fn). A seçáo total ficariacomo está,
termos dos coeficientes 4 )e Byl) a partir dos campos espalhado e total sobre a superfície de uma
1 com a(/) 4 , rn = +. 112) e p(1) -P B(I. rn = -C 1/2), dependendo do estado de polan7ação da onda incidente (16.130). A
-+ 1
esfera de raioa em torno do difusor, conforme as expressões (9.184)e (9.185). Estas expressões seçáo de absorção pode ser reduzida fazendo-se a difercric;a entre u e o ,
, ,,

7. impedância superficialZ, (para isto, a variação radial dos campos na parte interna da superficie quando 2, = O (esfera perfeitamente condutora) e 61 t 6'1 para Z , t m.
,
deve ser rápida em comparação com o raio), então as condições de contorno assumem a forma A segunda observação é a de que a Eq,(l6.150) pode ser simplificada nos limites de baixa e
relativamente simples alta freqüência. Para ka <<i, as funções esféricas de Bessel podem ser aproximadas de x o r d o
com a Eq.(16.12). Obtemos, então, a aproximação dos grandes comprimentos de o n h
onde E e B são estimados na parte imediatamente externa da superfície esférica. Das Eqs.
(16.139), (16.141) e (16.144), temos
t;,
e a mesma forma para &(i), com ( ~ 2 ~ 1substituído pelo seu inverso. Para ka >> i, usamos a
4~)
Eq.(16.13) e obtemos
com Pdl) = -adl) mediante a substituição usual. No limite dos grandes comprimentos dc onda,
os coeficientes de espalhamento a,(/) e pdl) ficam rapidamente muito pequenos q~ando 1
ondex = ka é o argumentox de todas as funções esféricas de Bessel. A condição de contorno cresce, independentemente do valor de 2,. Usualmente, para cada série de multipolos. basta
guardar o termo de ordem mais baixa (1 = 1). No limite oposto, ka >> 1, a Eq.(16.154)nostra
(16.148) exige que, para cada valor de I e para cada termo Xl, e n x Xl,, separadamente, os
que, parai << ka, os coeficientes sucessivos têm módulos comparáveis, mas fases que futuam
coeficientes de E,,, e de n x B sejam proporcionais, de acordo com
i amplamente. Para1 da ordem de irna,= ka, há uma região de transição e , para i >> i,,,. vale a
Eq.(16.153). O uso de um desenvolvimento em multipolos ou em ondas parciais paraum r.úmero
i(%)!. I X ( j , + y
O
4-r x d x
(16.149)
i
d
v+
tão grande de termos é uma questão complicada, exigindo computadores digiuis ou
esquemas de aproximação como os que foram discutidos na Seção 9.13.
Vamos particularizar agora a análise para o limite dos grandes comptimentos de o ~ d (ka
a
<< 1) com uma esfera perfeitamente condutora (2, = O e deixar para os problemas os ex:mplos
)
com complexidade ligeiramente maior. Somente os termos em I = 1, na Eq.(16.147, são
Mediante a relação 2j1 = h,(" + hi2),os coeficientes adl) e pdl) podem escrever-se importantes. Da Eq.(16.153), encontramos
-1 2i
a.(l) =2 &(I)= -- (ka)'
3
,Neste limite, a seção de espalhamento é
~ ' ( k a )(Xl..I 2 i n x X , . ~ J '
~ ~
com Pdl) tendo a mesma forma, porém comcZ,/4~ substituído pelo seu inverso. Notamos que, da 3
com a condição de contorno da impedância superficial, os coeficientes são os mesmos para
Da tabela apresentada na Seção 16.4, obtemos os quadrados dos módulos
ambos os estados de polarização circular.
Para uma dada impedânciaz,, todos os coeficientes de multipolo são determinados, e, pelo 3
menos em princípio, o espalhamento é conhecido. Tudo o que resta é colocar os números. Antes I ~= ~ = - e)
I I I X X ~ , ~ , ~x ~ , ~ ~ ~ (I+COS~ (16.156)
1 6 ~
de passarmos para um limite determinado, faremos algumas observaçóes. Em primeiro lugar, se
2, for um imaginário puro (ausência de dissipação) ou seZ, = O ou 2, -+ @, então [a& -t 11 e
[PJl) + 11são números com módulo unitário. Istoque dizer que adi) e Pd1) podem ser escritos Os termos mistos podem ser calculados com facilidade:
como -3
[ i(nxX,,,,)*
f Xi,,,]=-
8rr
cos 8 (16.157)
onde os ângulos de fase 61 e 6'1 são denominados os deslocamentos de fase do espalhamento. Assim, no limite de grandes comprimentos de onda, a seção diferencial de espalhame~io
é
Especificamente, têm-se
independente do estado de polarização da radiação incidente. A distribuição angular da radia-
ção espalhada aparece na Fig. 16.6, na forma de um diagrama polar equivalente ao da Fig. 3.7. O
espalhamento é predominantemente para trás. A assimetria acentuada que aparece nãs vizi-
nhanças de 90° é provocada pelo termo da interferência dipolo elétrico-dipolo magnétko.
A seção total no limite dos grandes comprimentos de onda é

8. No final do Cap. 9, citaram-se diversos livros sobre antenas e também sobre o espalhamento. Nenhum
deles, no entanto, discute com rigor os desenvolvimentos em multipolos.
O espalhamento de radiação por uma esfera perfeitamente condutora está tratado resumidamente em
Morse e Feshbach, págs. 1882-1886,
Panofsky e Philiips, Seção 12.9.
Discussões muito mais completas, com propriedades dielétricas e condutoras arbitrárias para a esfera, são
as de
Born e Wolf, Seção 13.5,
Stratton, Seção 9.25.
A informação matemática sobre as funções de Bessel, etc. encontra-se em
Morse e Feshbach, págs. 1573-6.
Outras referências sobre o espalhamento já foram citadas no final da Seção 16.9.
PROBLEMAS
16.1 Três cargas estão localizadas ao longo do eixo dosz. Uma carga +2q está na origem, e duas outras -q
estão em z = t a cos d.Determinar os momentos de multipolo não-nulos, de ordem mais baixa, a
distribuição angular da radiação e a potência total irradiada. Admitir que ka é muito menor que 1.
16.2 Uma superfície quase esférica, definida pela equaçgo
Fig. 16.6 Distribuição angular da radiação espalhada poruma esfera perfeitamente condutora no limite dos
grandes comprimentos de onda (ka << 1).
tem iio seu interior uma distribuição volumar de carga uniforme e totalizandoQ. O pequeno parárnetro
/3 varia harmonicamente com o tempo, com afrequência o.istocorresponde a ondas superficiais numa
esfera. Calcular os momentos de multipolo não-nulos, a distribuição angular de radiação e a poténcia
total irradiada, guardando somente os termos de ordem mais baixa em /3, e fazendo a aproximação dos
Este é u m resultado bastante conhecido, obtido pela primeira vez por Mie e Debye (1908-1909), grandes comprimentos de onda.
e já discutido de u m ponto de vista diferente na Seção 9 . q ~ ) . 16.3 Substitui-se a densidade uniforme de carga do Problema 16.2 por uma densidade uniforme de magneti-
zaçáo intrínseca, paralela ao eixo dos z e tendo um momento magnético total M . Com as mesmas
O problema geral d o espalhamento d e ondas eletromagnéticas por esferas c o m proprieda- aproximações que antes, calcular a radiação dos momentos de multipolo não-nulos, a distnbuiçáo
d e s elétricas e magnéticas arbitrárias, quando ka não é pequeno, é complicado. Foi atacado de angular de radiação e a potência total irradiada.
maneira sistemática pela primeira vez por Mie e Debye, em 1908-1909. Até hoje, há centenas de 16.4 Umaantenaé constituída por um aro metálico circular, de raioa. localizado no planoxy, com o centro
artigos publicados sobre o assunto. O s detalhes d e muitos aspectos deste importante problema na origem. A corrente no condutor é
podem ser encontrados nos livros d e Kerker, King e WU,Bol.r,rnan,Senior e Uslenghi, além de
outras fontes citadas no final do capítulo. O livro d e Bowman, Senior e Uslenghi discute o . I = 1, cos o t = Re Ioe-'"'
espalhamento por outros corpos de formas regulares, além dos esféricos.
Para difusores diferentes d e esferas, cilindros, etc., há muito pouco d e teona formal. (a) Calcularas expressões de E e de B na.zona de radiação sem aproximações quanto i grandeza de ka.
Recentemente, houve um progresso interessante no desenvolvimento d e u m esquema d e Determinar a potência irradiada por unidade de ângulo sólido.
(b) Qual é o momento de multipolo de ordem mais baixa e não-nulo (Q,,, M,,,)? Estimar este
ou
aproximação por Purcell e Pennypacker, no qual s e substitui um difusor com forma e proprie- momento no limite ka << 1.
dades eletromagnéticas arbitrárias por uma rede grosseira d e difusores dipolares elementares, 16.5 Dois dipolos elétricos fixos, de momento de dipolop, estão localizados num plano, separados pela
cujas propriedades reproduzem a s d o difusor. Procura-se uma solução coerente para os campos distância 2a, tendo os eixos paralelos entre si e perpendiculares ao plano, mas os momentos em
no interior e no exterior d o "difusor" mediante métodos numéricos com computadores digitais direções opostas. Os dipolos giram, com velocidade angular constante w , em torno de um eixo
rápidos. Este trabalho está citado nas sugestões para leitura no final d o Cap. 9. paralelo, localizado a meia distSncia entre eles (o<< cla).
(a) Calcular as componentes do momento de quadrupolo.
(b) Mostrar que a distribuição angular de radiaçáo é proporcional a
16.10 Problemas de contorno com campos de multipolos
O espalhamento d a radiaçáo por uma esfera condutora é um exemplo d e u m problema de
contorno com campos d e multipolo. Outros exemplos sã8 a s oscilações livres d e uma esfera e que a potência total irradiada é
condurora, a cavidade ressonante esférica e o espalhamento por uma esfera dielétrica. A
possibilidadede perdas resistivas nos condutores aduz novos problemas, como o s dos valores(!
das cavidades e d a s seções de absorçáo, que j á mencionamos antes. A s técnicas gerais para
enfrentar estes problemas são a s mesmas que já encontramos na Seção 16.9 e no Cap. 8. O
instrumental matemático necessário foi desenvolvido neste capítulo. Deixamos para o s pro-
16.6 No limite dos grandes comprimentos de onda, calcular todos os momentos de multipolo elétrico
blemas no final d o capítulo a discussão destes exemplos. não-nulos para a distribuição de carga
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E SUGESTÓES PARA LEITURA
e determinar a distribuição angular e a potência total irradiada para cada multipolo. Esta distribuição
A teona dos harmônicos esféricos vetoriais e dos campos vetoriais de multipolo está discutida com de carga é apropriada para uma transição entre os estados n = 3 , l = 2 ( 3 4 e n = 2,l = 1 (2p) no átomo
profundidade em de hidrogênio.
Blatt e Weisskopf, Apêndice B, 16.7 Os campos que representam uma onda magnética transversal se propagando num guia de onda
hlorse e Feshbach, Seção 13.3. cilíndrico, de raio R , são
As aplicações à radiação de multipolo nuclear estão dadas em
Blatt e Weisskopf. Cap. XII,
Siegbahn, Cap. X111, p0r.S. A. Moszkowski e Cap. XVJ (ll), por M. Goldhaber e A. W. Sunyar.

9. 16.14 Analisar o espalhamento de uma onda plana por uma esfera não-permeável, de raioa e boa, mas não
perfeita, condutora. Admitir que ka << 1 e que a profundidade de penetração S é menor que a .
(a) Mostrar, com a análise da Seção 8.1, que
onde rn é o índice que determina a dependência angular, /3 é a constante de propagação, = kZ- P2
(k = olc), onde y é tal que J,(y R) = O. Calcular a razão entre a componente z do momento angular (b) No limite dos grandes comprimentos de onda, mostrar que, para1 = 1, os coeficientes adl) e Pdl)
eletromagnético e a energia do campo. Pode ser vantqjoso efetuar algumas integraçóes por partes e da Eq.(16.149) são
usar a equação diferencial satisfeita por E, para simplificar os cálculos.
16.8 Um orifício esférico de raioa num meio condutor pode funcionar como uma cavidade eletromagnética
ressonante.
(a) Admitindo uma condutividade infinita, determinar as equaçóes transcendentes para as frequên-
cias caractensticas o,, da cavidade, para os modos TE e TM.
(b) Calcular os valores numéricos para o comprimento de onda A, em unidades do raio a , para os
,
quatro modos mais baixos das ondas TE e TM.
(C) Calcular explicitamente os campos elétrico e magnético no interior da cavidade para o modo TE
mais baixo e para o modo TM mais baixo.
16.9 A cavidade ressonante esférica do Problema 16.8 tem paredes não-permeáveis de condutividade
grande, porém finita. Fazendo a aproximação de a profundidade de penetração 6 ser pequena em
relação ao raio a da cavidade, mostrar que o Q da cavidade, definido pela Eq.(8.86), é dado por (c) Escrever explicitamente a seção diferencial de espalhamento, correta até aprimeira ordem em
Sla e na ordem mais baixa em ka.
Q=!
(d) Estimar, usando a Eq.(16.145), a seção de absorção. Mostrar que, na primeira ordem em 6, ela
para todos os modos TE vale
6'
e por
I(ltl)), para todos os modos TM Como será esta seção se 6 = a ?
onde
para os modos TM.
16.10 Discutir os modos normais de oscilação de uma esfera maciça perfeitamente condutora, com o raioa,
no vácuo. (Este problema foi resolvido por J. J. Thomson, na década de 1880.)
(a) Determinar as equações características para as autofrequências dos modos de oscilação TE e
TM. Mostrar que as raízes para o têm sempre uma parte imaginária negativa, admitindo uma
dependência com o tempo da forma exp(-i&).
(b) Calcular as autofrequências para I = 1 e I,.: 2 dos modos TE e TM. Tabelar o comprimento de
onda (definido em termos da parte real da frequencia) em unidades do raio a e o tempo de decaimento
(definido como o intervalo de tempo necessário para a energia cair a I/e do seu valor inicial) em
unidades do tempo de trânsito (alc) para cada um dos modos.
16.11 (a) Mostrar que, paraa ondaespalhada(l6.141), aampitude de e~~aihamentonormaizada (9.188) 6
onde o vetor polarização da onda incidente é (r, -c i r z ) / S
(b) Deduzir uma expressão para a seção total crt a partir do teorema óptico (9.189) e da expressão
mencionada para f.
16.12 Uma onda plana circularmente polarizada, de radiação com a freqüência o = ck, incide sobre uma
esfera condutora, não-permeável, de raio a.
(a) Admitindo que a condutividade da esfera seja infinita, escrever expressões explícitas para 0s
campo: elétrico e magnético nas vizinhanças da esfera e na sua superfície, no limite dos grandes
compnmentos de onda, ka << 1.
(b) Usando as técnicas do Cap. 8, calcular a potência da onda incidente absorvida pela esfera,
admitindo que a condutividade seja grande, porém finita. Exprimir o resultado como uma seção de
absorção em termos do número de onda k , do raio a e da profundidade dè penetração S. Admitir ka
<< 1.
16.13 Discutir O espalhamento de uma onda plana de radiação eletromagnética por uma esfera dielétnca,
não-permeável, de raio a e constante dielétrica é.
(a) Determinar os coeficientes de multipolo na onda espalhada mediante O cálculo d ~ campos no
s
interior da esfera e o acoplamento destes campos A onda incidente mais a onda espalhada no exterior
da esfera. Definir os deslocamentos de fase apropriados ao problema.
(b) Considerar0 limite dos grandes comprimentos de onda (ka << I), e determinar explicitamente as
seçóes diferencial e total de espaihamento. Comparar os resultados com os da Seção 9.6(b).
(C) No limite c -+ m, comparar os resultados com os de uma esfera perfeitamente condutora.

10. isto finalmente ocorra, as discussões quânticasatuais estão assoberbadas por dificuldades ainda
mais complicadas que as clássicas. Um dos triunfos dos anos mais recentes (- 1948-1950) foi o
de que os conceitos da covariância de Lorentz e da invariância de calibre puderam ser explora-
dos com suficiente habilidade de forma a evitar estas dificuldades da eletrodinâmica quântica,
possibilitando assim o cálculo de efeitos radiativos niuito pequenos, com precisão muito alta e
em completa concordância com os resultados e.perimentais. De um ponto de vista fundamen-
tal, porém, as dificuldades ainda subsistem. Neste capítulo. consideraremos somente os aspec-
tos clássicos, mas indicaremos, de passagem. algumas analogias quânticas.
Amortecimento Radiativo, A pergunta sobre o motivo de tantos problemas poderem ser, aparentemente, tratados com
o desprezo dos efeitos radiativos tem a resposta óbvia de que os efeitos devem ter importância
pequeníssima. Para ver, qualitativamente, quando isto ocorre, e obter estimativas semiquanti-
Campos Próprios de uma tativas dos intervalos de parâmetros para os quais os efeitos radiativos são ou náo são importan-
tes, precisamos de um critério simples. Um deles pode ser obtido através da análise da energia.
Se, num campo de forças externo, uma partícula de carga e é acelerada até uma grandeza de
Partícula, Espalhamento e ordem típica u , durante um período de tempo T. a energia ii-r5diada é da ordem de
Absorção de Radiaçao por conforme a fórmula de Larmor, Eq. (14.22). Se esta energia, perdida como radiação. for
um Sistema Ligado desprezível em comparaçáo com a energia E, relevante para o problcrna. podemos esperar que
os efeitos radiativos sejam desprezíveis. Mas, seE,,,,$E,. os efeitos da reação de i-adiaçãoserão
apreciáveis. O critério para o ponto em que os efeitos radiativos principiam a ter importância
pode, assim, ser expresso por
A especificaçio da energia relevante E. exige um certo cuidado. Vamos distinguir duas
situações aparentemente diferentes, uma delas em que a partícula está inicialmente em repouso
e é atuada por uma força, aplicada somente durante urn intervalo de tempo finito T , e outra na
17.1 Considerações iniciais qual a partícula sofre uma aceleração contínua. por exemplo, o movimento quase-periódico a
unia freqüência característica a . Para a partícula inicialmente em repouso, uma energia típica
,
Nos capítulos anteriores. os problemas da eletrodinâmica foram divididos em duas classes; é, evidentemente, a sua energia cinktica depois da aceleração. Assim.
numa delas, as fontes de carga e de corrente eram especificadas e os campos eletromagnéticos
resultantes eram então calculados: na outra, especificavam-se os campos eletromagnéticos
externos e calculavam-se os movimentos das partículas carregadas ou das correntes. Exemplos
do primeiro tipo de problemas são os guias de onda, as cavidades e a radiaçáo de fontes O critério (17.2) fica entáo
determinadas de multipolos, enquanto o segundo tipo é exemplificado pelo movimento de
cargas em campos elétrico e magnitico e pelos fenomenos de perda de energia. Ocasional-
mente. como na discussáo da radiação de frcnamento, combinaram-se os dois problemas. O
---
2 e2a2T i n a 2 ~ 2
3 c'
tratamerito, no entanto, foi gr:idunl -em primeiro lugar, determinava-se o movimento de uma
pnr!ícula num campo externo, desprezando-se o emissao de r;idiação; depois, calculava-se a
radiação a partir da trajetória, como se cstri fosse umii drida distribuição de fontes.
E evidente que esta maneira de abord~iros problemas da eletrodinâmica só pode ter
validade aproximada. O movimento de partícul:is carregadas em campos externos envolve
nccessari:in~entea emissáode radiaçrio seriipre que as cargas sáoacelerndas. A radiação emitida
transporta energia, momento linear e niorncnto angular, e por issodeve influenciar o movin~ento É conveniente definir o tcn~po
crir-uctcrístico nesta relação como
subseqüente das partículas carregadas. Portanto, o iiiovin~entodas fontes de radiação é deter-
minado. em parte, pela fornin de ernissáo d a rndiaçáo. Um tratamento correto deve incluir a
reação da radiiiçáo sobre o movimento das fontcs.
Por que entáo levamos tanto tempo para, na nossa análise da eletrodinâmica, encarar este
fato:' Por que muitas das respostas, cnlculadns desta forma aparentemente errônea, concordam Assim, a conclusão é a de que, para intervalos de tempo T longos em relaç5o a 7, OS efeitos
trio bem com a experiência? Uma resposta parcial da primeira pergunta está contida na segunda. radiativos náo são importantes. Somente quando a força é aplicada de maneira tão súbita e
E.ristem muitos problemas na eletrodinâmica que podem ser incluídos, com erro desprezív.el, durante um intervalo de tempo táo curto que T-7. OS efeitos rridiativos modificar50 apreciavel-
numa das dii:is categorias mencionadas no primeiro parágrafo. Por isso, vale a pena discuti-los mente o movimento. É útil observar que o tempo caracten'stico mais longo para as partículas
sem as complicaçóes adicionais e desnecessárias decorrentes da inclusáo dos efeitos da reação. carregadas é o dos elétrons, e que o seu valoré ;=6,26. 10-"S. Este intervalo de tempo é da
A pai-te qlJe fiiltii para responder à primeira questão 6 a de que riáo existe unl tratamento ordem d e grandeza do necessário para a luz percorrer a distância de lO-I3 c n ~ Somente nos
.
completamente satisfritório dos efeitos reativos da r2idi;içáo. As dificuldades apresentadas por fenómenos que envolvem estas distâncias ou estes intervalos de tempo, podemos esperar que os
este problema a1canç:irn um dos aspectos niais fundamentais da física, o da natureza de uma efeitos radiativos tenham importância clccisivo.
partíciila elemcntrir. Embora se possam forniular soluc;ões parciais, tratáveis em Areas limita- Se o movimento da partícula carregada é quase-periódico, com uma amplitude típica d e
das, o problema básico permanece insolúvel. Podia-se esperar que a tr;insiçáo da abordagem uma freqüência característica w,, a energia mecânica do movimento pode ser identificada com
clássica para a quâritica removesse as dificuldades. Embora ainda existam esperanças de que E,, e é d a ordem de

11. As acelerações são, tipicamente, a-wo2d, e os intervalos de tempo, T-(llw,). por isso, o
critério (17.2) é A segunda integral pode ser feita por partes, e da
Se o movimento for periódico, ou for tal que (v.v)=O em r=t, e em t =i,, podemos escrever
onde7 é dado por (17.3). Uma vez quemo-' é o intervalo de tempo apropriado para o movimento
mecAnico, vemos de novo que, se o intervalo de tempo que tem relevância mecânica for longo Assim, é possível identificar a força da reação radiativa como
em comparação com o tempo caractenstico~dado pela Eq. (17.3), os efeitos da reação radiativa
sobre o movimento não terão importância. 2 C2
Frad = - -e 3 V = m ~ v
Os exemplos dos dois últimos parágrafos mostram que os efeitos reativos da radiaçáo sobre
o movimento de uma partícula carregada serão, possivelmente, importantes se as forças
externas forem capazes de provocar modificações apreciáveis do movimento em intervalos de A equação do movimerito modificada fica, então,
tempo da ordem de r OU sobre distâncias da ordem de CT.Este é um critério geral nos quadros da
eletrodinâmica clássica. Para movimentos menos violentos, os efeitos reativos são bastante m(v-TV)= F,., (17.9)
pequenos para que tenham efeito desprezível sobre o movimento em intervalos curtos. Os
efeitos cumulativos, a longo prazo, podem ser estimados de forma aproximada, conforme A Eq. (17.9) é denominada, as vezes, equação do movimento de Abraham-Lorentz. Pode
veremos imediatamente. ser considerada como uma equação que inclui, de forma aproximada e promediada no tempo, os
efeitos reativos da emissão de radiação. A equação pode ser criticada pelo fato de ser de
17.2 Força da reação radiativa a partir da conservação da energia segunda ordem no tempo, em lugar de ser de primeira ordem e estar, assim, ao revés das
exigências bastante conhecidas para uma equação dinâmica do movimento. Esta dificuldade se
Agora temos o problema de saber como incluir os efeitos reativos da radiação nas equações manifesta imediatamente nas chamadas soluções "divergentes". Se a força externa for zero, é
do movimento de uma partícula carregada. Principiamos com uiii argumento simplesmente evidente que a Eq. (17.9) terá duas soluções possíveis:
plausível, baseado na conservação da energia para uma partícula carregada não-relativística. .
Uma dedução mais fundamental e a incorporação de efeitos relativísticos serão transferidas
para seções mais adiante.
Desprezando-se a emissão de rediação, uma partícula carregada de massa m e carga e,
sobre que atua uma força externa FeXt,movimenta-se de acordo com a equação do movimento onde a é a aceleração no instante t=0. Somente a primeira solução é razoável. O método de
de Newton: dedução mostra que a segunda solução é inaceitável, pois ( v . v ) f O em t, e r,. É claro que a
equação só é útil no domínio em que o termo reativo é uma pequena correção. Então a reação
radiativa pode ser tratada como uma perturbação que produz modificações lentas ou pequenas
no,estado do movimento da partícula. O problema das soluções "divergentes" pode ser evitado
Uma vez que a partícula está acelerada, ela emite radiação a uma taxa dada pela fórmula da pela substituição da Eq. (17.9) por uma equação íntegro-diferencial (ver a Seção 17.6).
potência de Larmor, Eq. (14.22): Para ilustrar o uso da Eq. (17.9) na explicação de efeitos radiativos pequenos, vamos
analisar uma partícula em movimento num campo de forças centrais, conservativo e atrativo.
Na ausência de reação de radiação, a energia e o momento angular da partícula conservam-se e
determinam o movimento. A emissão de radiação provoca modificações destas quantidades.
Desde que as acelerações não sejam muito violentas, a energia e o momento angular modificar-
Para levar em conta esta perda de energia radiativa e o seu efeito sobre o movimento da se-ão apreciavelmente apenas durante um intervalo de tempo que seja longo em comparação
partícula, modificaremos a equação de Newton (17.5) pela adição de uma força de reação com o período caractenstico do movimento. Assim, o movimento será, instantaneamente,
radiativa Frad: essencialmente o mesmo que na ausência da reação da radiaçáo. As modificações em intervalos
longos podem ser descritas por médias sobre a órbita não-perturbada da partícula.
rnv = F,,, +Frnd (17.7) Num campo de força central conservativo, descrito por um potencial V(r). a aceleração,
desprezando-se efeitos reativos, é dada por
Embora Frad nâo esteja, nesta altum, determinada, podemos perceber algumas condições a que
ela "deve" satisfazer:
Frad "deve" (1) anular-se para v = 0, pois nesse caso não haverá radiação;
(2) ser proporcional a e2, pois (a) a potência irradiada é proporcional a e2e
(b) o sinal da carga não pode entrar nos efeitos radiativos; Pela conservação da energia, a taxa de variação da energia total da partícula é dada pelo
(3) envolver, na realidade, o tempo característico r (17.3), pois é este negativo da potência de Larmor:
aparentemente o único parâmetro significativo disponível.
Determinaremos a forma desta força, Frad. exigindo que o trabalho realizado por elasobre
a partícula, no intervalo de tempo tl<t<t2, seja igual ao negativo da energia irradiada neste
intervalo de tempo. Então a energia será conservada, pelo menos no intervalo ( t l , tz). Com o
resultado (17.6) de Larmor, esta exigência escreve-se Com a definição (17.3) de r, esta fórmula pode ser escrita

12. carga p ( x ) nitidamente localizada no referencial de repouso da partícula. A partícula está nos
campos eletromagnéticos externos E,,,(x,t) e B,,,(x.t). Vimos. nas Seções 6.8 e 12.10, que a taxa
devariaçãodomomento mecânico maiso momento eletromagnético. nuni dadovolume, se anula
CTma que a modifícação de energia é, por hipótese. pequena num ciclo da órbita, o segundo
vez desde que não haja fluxo de momento para dentro ou para fora do volume. Abraham e Lorentz
membro pode ser substituído pelo seu valor médio no tempo, em termos da órbita newtoniana. propuseram que o momento aparentemente mecãnico de uma partícula carregada tivesse, na
Obtém-se, assim, realidade, uma origem eletromagnética. Entáo, a lei da conservação do momento pode ser
parafraseada como
-- - ( ,
dG
dt
A variação secular do momento angular pode ser encontrada pela consideração do produto
vetorial da Eq.(17.9) pelo raio votor r. Uma vez que o momento angular é L = mr x v, ou, equivalente, em termos da densidade da força de Lorentz, Eq.(12.121).
encontramos
Como a força externa é central, o torque aplicado se anula. Porém, o termo do torque radiativo Nesta equação, os campos são os campos totais e a integração se efetua sobre o volume da.
como
.pode sei L,.,--~?sso partícula.
Para que a Eq.(17.17) assuma a forma da equação do movimento de Newton,
O momento angular, por hipótese, modifica-se lentamente com o tempo, com toda a certeza
quando o tempo estiver sendo medido em unidades r. Por isso, é coerente omitir, na Eq.(17.15), vamos decompor os campos totais em campos externos e campos próprios E,, e B,, que são
a derivada segunda de L em relação a r e substituir v pelo valor dado na equação do movimento provenientes das densidades de carga e de corrente da própria partícula, p e J:
sem perturbação (17.1 I). Então, a taxa de variação do momento angular pode escrever-se como
onde se calculou a média sobre o tempo. na órbita instantânea, como na Eq.(17.13). Entáo, a Eq.(17.17) pode ser escrita como as equações do movimento de Newton, com a força
As Eqs.(l7.13) e (17.16)determinam como a órbita da partícula varia em função do tempo externa dada por
em virtude da reação da radiação. Embora o comportamento detalhado dependa da lei especí-
fica da força, podemos fazer alguns juízos qualitativos. Se a freqüência característica do
movimento for w,, o valor médio na Eq.(17.16) pode ser escrito como
1(L
m rdr
07-T m
mo"2 = Wo2T e a taxa de variaçáo do moniento da partícula dada por
com um coeficiente numérico adirnensional da ordem da unidade. Isto mostra que o tempo
característico durante o qual o momento angular se modifica é da ordem de l/(w,r)w,. Este
intervalo de tempo é muito longo em comparaçáo com o período orbital 2rrlw0, desde que
Desde que os campos externos variem apenas ligeiramente sobre 3s dimensões da partícula, a
w07<<.1. Argumentos seme1h;tntes podem ser usados em torno das equações da energia.
força externa(l7.19) transfoi-ma-sena força de Lorentz comum sobre uma partículade cargae e
Estas equações incluindo efeitos radiativos podem ser usadas para discutir problemas velocidade v .
práticos como os da tempo de moderação de um múon ou de um rnéson pi no processo de
Para calcular af0rç.a própria [airitegral do segundo membro da Eq.(17.20)]. é necessário ter
cascatear de uma órbita de número quântico muito grande, em torno de um núcleo, até uma
um modelo da uartícula carregada. Vamos admitir, por simplicidade, que:
órbita de ordem baixa. Durante a maior pai-te do tempo, os números quânticos são suficiente- w
(a) A partícula está instantaneamente em repouso;
mente grandes para que a descrição cl,?ssicu do movimento em forma contínua seja uma ( b ) A distribuição de carga é rígida e esferossirnétrica.
aproximação adequada. Deixamos para os problemas a discussão de exemplos desta espécie. Os nossos resultados serão, portanto. restritos necessariamente aos movimentos não-
relativísticos e não terio as propriedades transformativas de Lorentz. Estas deficiências pode-
17.3 Cálculo de Abraham-Lorentz para a força própria rão ser remediadas mais tarde.
Para uma partícula que está instantaneamente em repouso, a Eq.(17.20) fica
A dedução que fizemos na seçáo anterior da força da reação da,radiação,embora plausível,
não é, com toda a certeza, nem rigorosa nem fundamental. O problema consiste em explicar
satisfatoriamente.a reação que, sobre a partícula, exerce o seu próprio campo de radiação.
Assim, qualquer discussáo sistemática deve levar em contaaestruturadacarga da partícula e os
seus campos próprios. Abraham (1903) e Lorentz (1904) fizeram a primeira tentativa de O campo próprio pode ser expresso em termos dos potenciais próprios, A e 4>. de modo que
estabelecer um modelo puramente eletromagnético para uma partícula carregada. A nossa
discussáo está moldada segundo a de Lorentz, no seu livro Theory of Electrons, Nota 18, pág.
252.
Consideremos uma única partícula carregada. com a carga total e e com uma densidade de
*=
1
dt
p(x, 1) [v<P(x, r)+; $ (x, t ) ] d 3 x

13. Os potenciais são dados por A" = (4,A): Se a distribuição d e c;irg;i for esferossimétrica, a única direçáo relevante no problema; a de v(().
Por isso, na integraçáo sobre d:l~ d:'xl, Sobrevive somente a componente da Eq.(17.26) na
e
direçáo de v(!). Daí a Eq.(17.26) ser equivalente a
com .im ( c p , J ) e K = x - x' .
=
Na I;q.(17.23), :i qu:iclricorrente deve sei. calculada no instante retardado t ' . Este difere do
instante I por um intervalo Af da ordem de (nlc), ondc ( I é a diiiiensão da partícula. Para uma AIPm disto, todas as direçóes de R são igiialmente prováveis. Isto quer dizer cliic o e:undo
distribiiiçio de carga riiiiito localizada. ebte intcrvalo de tempo é cxtrernamente curto. Iliirnnte termo na expressáo aciinn pode ser siibstituído pclo sei1 valor mcdio 113. Corn isto sc chcgaa
este curto intervalo de tempo. o movimento da partícula modifica-se, por hipótese, apenas forma final simples para as chaves que aparecem na Eq.(17.25):
ligeiramente. Poi'isso, é natural fazer um desenvolviniento eni série de Taylor na Eq.(17.23), em
torno do instantcr' = r. Uma vez que [ I,,, rignifica calcular no instante I' = 1 - (Rlc), qualquer
grziiideza retardada tcin o dcsenvolvimento
Com ;i Eq.(17.27) na Eq.(17.25). n força pr<ípria sc torna, desprezando-sc termos não-linear-c
[
- (-1)" R "a"
arn
l r e [ = ~ , - ~ - ( ~ ) ltrZt
nas derivadas de v crn relnçáo ao teinpo (que aparecem para ri r 4),
Com este descnvolviriientoapliciido àqiiadricorrcnte retaríiada(17.23). a expressão (17.22) fica
Pnra coriipreender o significado da Eq.(17.28). considerenios os pi-iriieiros termos d o
desenvolviincnto:
Consideremos os termos cm 11 = O e ti = I no potencial escalar do segundo membro (o primeiro
termo entre colchetes). Pnra ti = O, o termo é proporcional a
Esta é exatamente a força própria eletrostática. Para uma distribuição de carga esferossimé-
trica, ela se anula. O termo com tl = I é idcnticamente nulo, pois envolve VRn-I. Assim, a
primeira contribuiçáo náo-nula da parte do potencial escalar provém de r1 = 2. Isto quer dizer
qiie podemos modificar os índices de somação, de modo que a soma agora fica Na terceira expressáo, ( I é um comprimento característico da extensáo da distribuição de crirga
da partícula. Observamos que, para ti r 2, os termos na expansão anulam-se no limite dc un-ia
partícula puntiforme (c1 -+ O). Assim. para distribuições de carga muito localizadas, precisamos
considerar somente a s contribuições de n = O e n = I . ,O termo em 11 = 1 exatamente a f~r;;f
4 da
reação de radiação que já encontramos na Eq.(17:9). E independente da estrutura da partícula e
onde depende somente da sua carga total. A nossa dedução de agora pode ser considerada como uma
justificativa muito mais fundamental do que a realizada na Seção 17.2.
O termo em n = O, na Eq.(17.29), merece uma atenção especial. A integral dupla é
proporcional a auto-energia eletrostática U da distribuição de carga,
Com a equação da continuidade para as densidades de carga e de corrente, as chaves que
aparecem na expressáo ( 17.25) podem ser escritas
Por isso, o termo em t2 = O pode ser expresso como
S a integral sobre c l : ! ~ 'podemos resolver o segundo termo por partes. Temos, então,
,
Esta expressão tem a forma geral esigida de uma taxa de variação de momento. A auto-erergia
eletrostática, dividida porcZ,pode ser identificada com a massa eletromagnética da partícula:
Isto quer dizer que a expresslio entre cha.es na Eq.(17.25) é efetivamente igual a
Então, a equação do movimento, de Newton, para o modelo de Xbraham-Lorentz assume a
forma,
Para uma distribuição rígida de carga. a corrente é
desde que se desprezem os termos de ordem mais elevada no desenvolvimento (17.28). Esta