O documento discute a comunicação matemática nos registros escritos de alunos e a análise dos processos de pensamento matemático. Analisa registros de alunos realizando tarefas exploratórias sobre tabuadas e triângulos feitos de palitos, identificando processos como observação de padrões, formulação de conjecturas e generalizações. Argumenta que tais tarefas promovem a comunicação matemática e o desenvolvimento do pensamento investigativo dos alunos.

1. COMUNICANDO MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE DO PENSAMENTO
MATEMÁTICO EM REGISTROS ESCRITOS DOS ALUNOS.
Claudia Neves do M. F. de Lima1
EE ”Profa.Maria J. Moraes Sales” Bragança Pta-SP e Faculdade Chafic/SP
A comunicação matemática na sala de aula vem despertando a atenção nas
pesquisas de educadores matemáticos, e se fazendo presente nas orientações
curriculares atuais para o ensino da matemática. De acordo com Pontes et al (1999), a
comunicação matemática é um aspecto também importante do processo de ensino e
aprendizagem. É através da comunicação oral e escrita que os alunos dão sentido ao
conhecimento matemático que vai sendo construído.
Christiansen e Walther (1986, p.31), com base na teoria vygotskyana,
argumentam:
Nas palavras de Vygotsky: “aprender tem valor enquanto contribuir
para o desenvolvimento”. Os passos educacionais devem, de
acordo com o dito, ter como objectivo a aprendizagem real, os
quais através de cooperação orientada para objectos, reflexão e
comunicação servem como impulso para novas áreas de
actividade e de conhecimento.
O uso das tarefas exploratório-investigativas contempla os requisitos acima
expostos, no que diz respeito à comunicação matemática, uma vez que tais tarefas, na
maioria das vezes, são problemas abertos, propostos pelo professor; mas, uma vez
propostos, têm de ser interpretados pelo aluno e podem dar origem a atividades muito
diversas (ou nenhuma atividade), conforme a disposição do aluno e o ambiente de
aprendizagem. No decorrer da tarefa, por ser realizada em grupo, pressupõe a
interação entre os alunos, o registro das estratégias, a produção do relatório e a
apresentação e discussão com os demais colegas da classe.
Os processos de pensamento matemático
Em nossa análise identificamos registros escritos sobre as tarefas realizadas que,
no nosso entender, explicitam os processos matemáticos. Ao nos referirmos aos
“processos matemáticos” partilhamos das idéias de Frobisher (apud FONSECA, 2000,
p.28) para quem, esses “processos são os meios através dos quais os alunos põem a
1
Mestre em Educação, Linha de pesquisa : Matemática, Cultura e práticas pedagógicas.
E-mail: claudiamestrado@uol.com.br

2. funcionar conceitos, conhecimentos e capacidades”. Fonseca (2000) acrescenta que,
em matemática e, em particular, em investigação matemática, muitos são os processos
relevantes que podemos encontrar durante a realização das tarefas; contudo, não
existe uma lista pré-estabelecida e bem definida desses processos. A autora apresenta
em sua pesquisa as concepções de vários pesquisadores sobre os processos
matemáticos estabelecidos durante uma investigação; porém, daremos destaque em
nossa análise às classificações de Pirie (apud FONSECA, 2000, p.33) que tenta
“relacionar cada um dos processos que considera contribuir para o pensamento
matemático com os diferentes momentos em que surgem ao longo de uma
investigação”.
Pirie (1987) caracteriza as seguintes fases de uma tarefa: (1) fase do arranque
da tarefa; (2) fase do envolvimento na tarefa; (3) fase de reflexão.
A fase inicial – arranque da tarefa – se caracteriza como a seleção de uma
estratégia (processo de tentativa e erro, organização sistemática, manipulação de
materiais, representação através de diagramas, tabelas ou desenhos) pela qual o aluno
dará início à tarefa. A fase seguinte – de envolvimento na tarefa – é subdividida em
quatro fases: exploração, descoberta, confirmação e comunicação. Segundo a autora, o
registro pode estar presente em todas essas subfases. Assim, durante a exploração –
fase mais informal – o registro é uma forma de ajudar o aluno a não esquecer o que já
foi realizado; na subfase da descoberta, quando o aluno já começa a perceber alguma
regularidade, formular conjecturas, o registro é fundamental para ajudar a organizar as
estratégias escolhidas; na subfase da confirmação, as conjecturas confirmadas devem
ser registradas para serem submetidas a novas verificações. A comunicação perpassa
todas as demais subfases, pois está presente nas discussões aluno-aluno, nos relatos
orais e nos relatórios escritos. No que diz respeito ao relatório escrito Fonseca (2000,
p.34) esclarece:
A elaboração de um relatório escrito já pode ter como objectivo
apresentar aos outros o trabalho que foi feito. Para pôr os alunos a
criar e a compreender a matemática, é importante que escrevam
através das suas próprias palavras e dos seus próprios símbolos.
Os alunos devem ser encorajados a comunicar por meio de
gráficos, tabelas, modelos, diagramas, pois este tipo de
comunicação pode ajudar muito a explicar determinados assuntos.
Ainda, segundo a autora, a última fase – da reflexão – geralmente é esquecida
pelo aluno, mas é fundamental, uma vez que é o momento em que se reflete sobre o
trabalho realizado e pode contribuir para o emergir de novas conjecturas. Além disso,
quando o aluno produz o relatório escrito e o comunica a outras pessoas, ele também
produz reflexões sobre o seu trabalho, ou seja, “o aluno terá de pensar no modo de

3. organizar o seu raciocínio, decidir o que comunicar a quem vai ler o relatório e reflectir
sobre a forma como as idéias estão relacionadas” (FONSECA, 2000, p. 34).
Essa discussão reafirma a importância da comunicação matemática na sala de
aula, como a possibilidade do professor identificar os processos matemáticos, utilizados
pelos alunos durante a realização das tarefas propostas.
Com esses pressupostos, que apresentaremos um recorte da nossa pesquisa2
,
que teve como um dos objetivos de identificar e analisar os elementos que emergem
dos processos de comunicação de idéias nas produções escritas dos alunos quando da
realização das tarefas, com ênfase nos aspectos delineados acima.
Trata-se de uma pesquisa de abordagem qualitativa, baseada no estudo de caso,
tendo como sujeitos professor e alunos. Os dados foram coletados através de
audiogravações das discussões em pequenos grupos, produções escritas dos alunos e
registros feitos no diário de campo.
Traremos alguns registros dos alunos juntamente com a tarefa desenvolvida por
eles e, a análise com os principais resultados.
Os primeiros registros foram efetuados diante da tarefa “Tabuada”, pelos alunos
do 1ºD e 1ºA.3
TABUADA
1)OBJETIVOS: Desenvolver o pensamento matemático investigativo dos alunos,
através da análise de padrões e regularidades envolvendo números e operações
elementares.
2)ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DE TAREFAS:
a) As tarefas serão feitas por grupos de 3 ou 4 alunos;
b) O tempo para realização das tarefas será de 50 minutos partindo do ínicio da
atividade;
c) Os grupos deverão escolher para organização das tarefas:
_ 1 redator
_ 1 cronometrista
_ 1 orador
_ 1 coordenador
d) O redator deverá anotar toda a descrição durante a execução das tarefas,
poderão usar desenhos, esquemas, tabelas...
E ao final deverá resumir as anotações de forma clara e organizada;
e) Para exploração da tarefa vocês irão precisar de papel, caneta e papel craft
2
Pesquisa que foi desenvolvida junto ao Programa de Pós Graduação Scricto Sensu em Educação, USF,
Itatiba/SP, sob a orientação da Profª Drª Adair Mendes Nacarato.
3
Os alunos citados na pesquisa eram do 1º ano do Ensino Médio de uma Escola publica /SP.

4. TAREFAS
a) Construa a tabuada do 11. O que encontra de curioso nesta tabuada? Prolongue-a
calculando 11x11, 11x12, 11x13,... e formule algumas conjecturas.
b) Faça o relatório de todo o desenvolvimento da tarefa.
REGISTRO DOS ALUNOS
GRUPO 1 (composto por 4 alunos do 1o
A)
O registro inicial dos alunos nesta tarefa consistiu na montagem da tabuada do
11. Em seguida, escreveram a conclusão:
“Quando chega no 11x11, os resultados se dão a cada sucessor, ex: 11x11= 121,
11x12= 132 e assim por diante. Na unidade, ou seja, na ultima casa os números estão
seguindo naturalmente 0,1,2,3,4,5,... e na dezena, ou seja, na segunda casa os números
estão tendo o sucessor ex: 110 e 121. Na soma dos fatores, os finais dos números, na
multiplicação, somam-se formando a dezena do produto.
ex: 11x1+1= 121 , 11x1+2= 132”
GRUPO 2 (composto por 3 alunos do 1o
D)
“Deduzimos que do 11x1 ao 11x10, os últimos números sempre serão em escada, esta
seqüência é quebrada em 11x11, que é igual a 121, e a partir deste resultado começa
outra seqüência de números em escada, mas agora, a seqüência parte dos dois
primeiros números. Para obter o resultado seguinte basta acrescentar o nº 1 nos últimos
2 números do resultado”
Podemos dizer que, esses primeiros relatórios elaborados pelos alunos, de um
modo geral, não explicitam os processos matemáticos que emergiram durante a
realização da tarefa: são respostas curtas que, na realidade, resumem-se a conclusões
do que era pedido; nestes casos, os processos por eles usados, estão implícitos nessas
conclusões. No entanto, verificamos que eles tentaram explicar e justificar algumas
‘descobertas’.
Em todos os grupos, como dito anteriormente, havia, inicialmente, por parte dos
alunos, a organização dos dados com a montagem da tabuada do 11 e os
prolongamentos até 11x 20. A partir daí eles começavam a fazer suas observações.
A primeira percepção de regularidades, que está presente no registro dos alunos
do grupo 1, também aparece nos registros dos alunos dos grupos 2 , porém, cada um
usou uma forma ou estratégias diferentes para explicar que, no resultado da
multiplicação (produto), o algarismo da unidade é formado por números em ordem

5. crescente (0 até 9); o das dezenas também, porém, ‘salta’ um algarismo de 10 em 10
(99, 110, ... 209, 220). O algarismo da centena aumenta uma unidade a cada 9
números da seqüência.
Pode-se dizer, que os alunos do grupo 1 apresentaram um dos registros melhor
elaborados; eles tentam fazer as conexões matemáticas corretas, usam os termos
matemáticos (dezena, unidade), mostram exemplos e a seqüência dos números
naturais para explicar o que está acontecendo.
Os alunos do grupo 2 estabeleceram uma conexão com a tarefa anterior, a
“escada”, que foi usada para ambientá-los com aulas deste tipo. Essa tarefa “escada”
consiste de números que podem ser escritos, como a soma de números naturais
consecutivos. Por exemplo: 12 é um número em escada porque pode ser escrito na
forma: 3+4+5
Os alunos, implicitamente, relacionaram os produtos obtidos com os números
consecutivos; quando falam da seqüência quebrada fazem conexão com o ‘salto’ do
algarismo das dezenas de 10 em 10. Devemos acrescentar, com base no diário de
campo da professora, que esse grupo foi o que conseguiu explicar da melhor maneira
para a sala, esta regularidade encontrada.
Podemos afirmar que houve uma ampliação das estratégias utilizadas pelos
alunos, no que se refere à análise de padrões e regularidades envolvendo números;
passaram a ter um outro olhar para a tabuada e isto revela, de acordo com Fontana
(2000, p.87), a influência de informações e métodos na utilização dos conceitos
propostos pela professora. Ocorre aquilo que Vygotsky aponta: “movimento ascendente
do conceito espontâneo”, ou seja, os conceitos formais ou científicos modificam os
conceitos espontâneos que o aluno traz. Assim, a tabuada que antes era um fato
matemático automatizado pelo aluno (provavelmente tenha sido decorado em algum
momento da escolarização), passa agora a ter outros significados, há regularidades nos
números que representam os produtos. No entanto, para a produção desses novos
significados o aluno teve como ponto de partida aquilo que já era conhecido.
Embora sejam variadas as estratégias de escrita, é possível observar a
predominância, quanto à estrutura, de generalização dos conceitos estabelecidos por
todos os grupos diante da tarefa proposta.
No que se refere aos processos matemáticos , baseando em Pirie (apud
FONSECA,2000), verificamos através dos registros que os alunos , provavelmente
passam pelas quatro subfases descritas anteriormente.
Traremos agora, os registros de alunos do 1ºA e 1º D, efetuados durante a
realização da tarefa “Triângulos com palitos” nos quais observamos a emergência de
processos matemáticos.

6. TAREFAS
a) Com palitos de sorvete, construa um triângulo. Quantos palitos você usou?
Continue a formar outros triângulos, como na figura:
b) Prolongue as construções e análise à seqüência procurando descobrir quantos
palitos usaria para formar 10 triângulos?Quantos palitos usariam para formar um
número n de triângulos?Que outras observações vocês podem tirar dessa
seqüência?
REGISTRO DOS ALUNOS
GRUPO 2 (composto por 4 alunos do 1o
D)
“Nós utilizamos 21 palitos para formar 10 palitos. Notamos que a cada 5 triângulos
separados resultaram em 11 palitos mais 5 triângulos seria igual a 22 palitos , mas
quando se juntam só foram utilizados 21 palitos”.
“Chegamos à conclusão que para formar 65 triângulos foram usados 131 palitos”.
Os componentes do grupo 2 também partiram da referência encontrada na
seleção da estratégia: 10 triângulos, 21 palitos, porém, apresentam outro processo de
descoberta, feito exclusivamente, observando e manipulando as seqüências de
triângulos formadas com os palitos, deste modo
Aqui tem 11 Aqui tem 11
mais
Quando juntos ficam 21 (pois 1 palito sai)

7. Com a confirmação da regularidade encontrada, eles encontraram a solução
para 65 triângulos, ou seja, as experiências com a manipulação dos dados, a
manipulação dos materiais, desenhos vão se tornando conhecidos para os alunos e
lhes possibilitam fazer um trabalho mais especifico.
GRUPO 3 (composto por 3 alunos do 1o
A)
“Dez Triângulos dá 21 palitos; E 65 triângulos dá 131 palitos”
“O nº 100 dá 201 palitos”
“Para nós chegarmos a essa conclusão, tivemos que tirar um palito em cada dez
triângulos”
“E observando a figura você vai descobrir a quantidade de palitos que vai ter”
Se 10 triângulos têm 21 palitos, você colocando mais 5 vai descobrir pela tabela abaixo,
vai ver como chegamos em uma conclusão”
T P
65 → 131
35 → 71
100 → 201
No registro dos alunos desse grupo há mais uma estratégia diferente.
Assistimos ao relato, conforme o diário de campo, com o uso de vários recursos ou
modelos para chegar à conclusão, e consideramos que foi a turma que chegou mais
perto da generalização. Nesse sentido, concordamos com Pais (2000, p.3) “no
momento inicial da aprendizagem, os modelos funcionam como uma primeira forma de
representação dos conceitos geométricos”.
Num primeiro momento, eles usaram o desenho reproduzindo o que fizeram com
os palitos e logo depois completaram com a tabela, para argumentar sobre os
processos usados, chegando até à confirmação dos resultados. Eles partiram do
raciocínio de que para 10 triângulos são necessários 21 palitos, porém, foram
descobrindo as regularidades de 5 em 5, pois o valor que tinham que encontrar era
para 65, assim:
T P
10 → 21
15 → 31
mais

8. 20 → 41
▪
65 → 131
Pudemos perceber também, o conceito da razão da P.A.(razão 2) implícito no
processo. Se este grupo de alunos tivessem tido mais tempo para a realização da
tarefa, talvez chegassem às generalizações.
Os grupos, de um certo modo, exploraram essa tarefa usando os palitos e
encontraram o valor para 10 triângulos; a partir daí, então, selecionaram “uma
estratégia de partida” (PIRIE, 1987), utilizando o valor encontrado como referência, ou
seja, 10 triângulos contém 21 palitos; passam a fazer cálculos para encontrar novas
conjecturas, utilizam o processo de especialização, momento que trazem os cálculos e,
ao final, fazem a comunicação.
Diante da análise desses registros, percebemos a importância desse tipo de aula
no ensino da matemática, pois, a interação estabelecida nas tarefas, possibilitou
momentos importantes de aprendizagem e de comunicação de idéias matemáticas.
Para finalizar a análise , concordamos com Oliveira (2002) quando discute sobre
os processos estabelecidos em uma investigação matemática: o processo central é a
procura por regularidades que, conseqüentemente, motivam a conjecturação, a
especialização e a verificação. Com isso, a generalização e a prova não
desempenham papel algum. Isso ficou constatado em nossa análise, pois os alunos
não chegaram à generalizaração e/ou provas em nenhuma das tarefas.
Essa constatação nos suscita algumas hipóteses:
- a pouca vivência com tarefas dessa natureza. Isso implica na necessidade de se
questionar o currículo e a forma como se ensina matemática;
- a forma como deve ocorrer a intervenção pedagógica, possibilitando avanços nos
processos que emergem durante a realização da tarefa;
- a cultura de aula de matemática não tem valorizado o ‘fazer matemático’ e os alunos
chegam ao ensino médio sem ter desenvolvido processos de pensamento
fundamentais à área de conhecimento: a generalização e os processos de prova.
De um modo geral, evidenciou-se a importância da comunicação de idéias nas
aulas de matemática que, nesse caso, ocorreu com os registros escritos, demonstrando
as marcas da intervenção pedagógica, e também as justificativas matemáticas
encontradas pelos alunos, configurando-se em um recurso importante e necessário.

9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CHRISTIANSEN, B. e WALTHER, G. Task and activity. In: CHRISTIANSEN, B;
HOWSON, A. G. e OTTE, M. (Eds.) Perspectives on mathematics education.
Dordrecht: D. Reidel, 1986, p. 243-307. Tradução em português disponível em
<httt://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/sd/mestrado-bibliografia.htm>. Acesso em:
28 mai. 2005.
FONSECA, Helena. Os Processos Matemáticos e o discurso em atividades de
investigação em sala de aula. 2000, 208 p. Tese (Mestrado). Universidade de Lisboa,
Lisboa, Portugal.
FONTANA, Roseli A.Cação. Mediação Pedagógica na sala de aula. 3ª edição,
Campinas, SP: Autores Associados, 2000.(coleção ed. Contemporânea)
OLIVEIRA, Paulo. A investigação do professor, do matemático e do aluno: Uma
discussão epistemológica. 2002, 285p. Tese (Mestrado). Universidade de Lisboa,
Lisboa, Portugal.
PAIS, Luiz Carlos. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no
ensino da Geometria. 23a Reunião da Anped. Disponível em <www. anped. org.
br/23/textos/1919t. Pdf>. Acesso: 01out 2005
PONTE, João Pedro et al. Investigando as aulas de investigações matemáticas. In
ABRANTES P., PONTE, J.P.,FONSECA, H e BRUNHEIRA,L (Orgs.). Investigações
matemáticas na aula e no currículo. Lisboa, Projeto MPT e APM, 1999, p.133-150.
VIGOTSKI, L. S. A aprendizagem e desenvolvimento intelectual na idade escolar In
VIGOTSKI, L. S., LÚRIA, A.R., LEONTIEV, A.N. Linguagem, desenvolvimento e
aprendizagem. Tradução Maria da Penha Villalobos. São Paulo: Ícone,1988, p.103-
117.