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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
FACULDADE DE EDUCAÇÃO
CRISTINE DANTAS JORGE MADEIRA
ANÁLISE DA ABORDAGEM DA DIVISÃO DE
NÚMEROS NATURAIS EM UMA COLEÇÃO DE
LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
Trabalho apresentado à professora Denise
Alves de Araujo da disciplina Fundamentos
de Ensino de Matemática I – Números de
Contagem: surgimento, organização e
significados, Curso de Pós-Graduação,
Especialização Lato Sensu em Docência
na Educação Básica – Área de
Concentração em Educação Matemática.
Belo Horizonte
2009
1
ANÁLISE DA ABORDAGEM DA DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
EM UMA COLEÇÃO DE LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA
1. Introdução
Este trabalho tem como objetivo analisar a abordagem da divisão de números
naturais na coleção Fazendo e Compreendendo Matemática – 3º, 4º e 5º anos – de
Lucília Bechara Sanchez, Manhúcia Perelberg Liberman e Regina Lúcia da Motta
Wey (Saraiva, 2007). O foco dessa análise é verificar se a organização didática e
matemática, presentes nessa coleção, favorecem a compreensão e a aprendizagem
da operação de divisão através de atividades significativas. A análise será baseada
nos referenciais citados no final desse documento e na minha experiência como
professora de matemática e formadora1
de professores das séries iniciais.
2. Apresentação da coleção
Antes de descrever como a divisão é abordada, farei uma breve apresentação
indicando dados sobre as autoras e a organização da coleção.
1. Autoras:
 Lucília Bechara Sanchez – Licenciada e bacharel em Matemática pela
Universidade Católica de Campinas; sócia-fundadora da Sociedade
Brasileira de Educação Matemática (SBEM); Mestre em Didática da
Matemática pela Universidade de São Paulo (USP); Doutora pela USP em
Cultura e Organização Escolar; experiência no magistério do Ensino
Fundamental, Médio e Superior na rede oficial do estado de São Paulo e
na rede particular de ensino.
 Manhúcia Perelberg Liberman – Licenciada e bacharel em Matemática
pela FNF da Universidade do Brasil; sócia-fundadora da SBEM;
1
Em programas de formação continuada em serviço.
2
experiência no magistério do Ensino Fundamental e Médio na rede
particular e pública do estado de São Paulo.
 Regina Lúcia da Motta Wey – Licenciada em Letras pela Faculdade
Paulistana de Filosofia, Ciências e Letras (São Paulo); professora
normalista; experiência no magistério do Ensino Fundamental.
2. Organização da coleção: A coleção, editada em 2007 pela editora Saraiva, é
composta de três volumes organizados em unidades que abordam um
conteúdo de um dos quatro Blocos da Matemática1
,através de fichas de
trabalhos. De acordo com o Guia PNLD 2007:
As fichas centram-se em ações a serem realizadas pelos alunos,
como: Aplicando o que aprendemos, Resolvendo problemas,
Dividindo por estimativas. As aberturas das unidades relembram os
conhecimentos prévios dos alunos e incluem a seção Fique sabendo,
com os objetivos a serem desenvolvidos. Desafio, Lembre-se que, e
Troque idéias com seus colegas também são seções incluídas em
algumas das fichas; além de Aqui tem novidade ou Aprendendo
palavras novas, que contêm a sistematização dos conceitos e
procedimentos. Há, ainda, quatro seções Exercitando, que dividem
as unidades e marcam os bimestres. Orientações de leitura para os
alunos encontram-se no final de cada volume. (2006, p.86)
2. Distribuição dos fatos fundamentais na coleção
O trabalho com a divisão está distribuído nos três livros da coleção conforme mostra
a tabela 1.
Tabela 1: Distribuição do trabalho com a divisão na coleção do 3º ao 5º ano
ANO ORGANIZAÇÃO UNIDADE
3º 14 unidades – 239pp 13 – Divisão de números naturais
4º 12 unidades – 271pp 7 – Divisão
5º 13 unidades – 271pp 5 – Multiplicação e divisão de números naturais
3
3. Abordagem da divisão de números naturais na coleção
No início da Unidade 13 do livro do 3º ano, as autoras trabalham o conceito da
divisão a partir das ideias associadas a essa operação: repartição em partes iguais e
a ideia de formar grupos2
. São utilizadas diversas atividades que exploram essas
ideias, enfatizando as relações existentes entre a multiplicação e a divisão, o
desenvolvimento do cálculo mental e a resolução de problemas. São introduzidos
novos termos – resto, divisão exata e divisão não-exata – em atividades que levam o
aluno a compreender o resto da divisão e descobrir qual será o maior resto possível.
Ao longo da Unidade, são apresentados vários procedimentos de cálculo tendo
como apoio materiais de contagem, Material Dourado, notas e moedas do nosso
sistema monetário. A divisão como subtrações sucessivas, a decomposição do
dividendo e o processo de estimativa são explorados como procedimentos de
cálculo.
Na Unidade 7 do livro do 4º ano, o trabalho com o conceito da divisão é retomado a
partir das ideias associadas a essa operação em atividades que enfatizam o cálculo
mental, a estimativa de resultados, o uso da calculadora, a percepção de
regularidades e a resolução de problemas. São apresentados os termos da divisão –
dividendo, divisor, quociente e resto – e exploradas as relações existentes entre
eles. Há um destaque para a compreensão dos procedimentos de cálculos, através
da divisão como subtrações sucessivas, do processo de estimativa e da utilização
de diagramas. Além disso, o processo longo da divisão é introduzido.
Novamente são retomados o conceito e as técnicas operatórias da divisão com
números naturais na Unidade 5 do livro do 5º ano. As autoras reapresentam os
nomes dos termos das divisões exatas e não-exatas, acrescentam novos termos ---
aproximadamente e em média – e ampliam o conceito de divisor enquanto número
que divide exatamente outro número. Além disso, propõem uma série de problemas
que permitem ao aluno pensar e raciocinar logicamente enquanto aplica os
conceitos estudados.
2
A ideia de formar grupos está relacionada com a ideia de medida.
4
4. Análise de atividades propostas na coleção
Selecionei três sequências de atividades da coleção envolvendo a divisão com
números naturais, sendo uma de cada volume, para analisar segundo os
referenciais citados no final desse documento e a minha experiência como
professora de matemática e formadora de professores das séries iniciais.
1ª Sequência: Exploração das ideias associadas à divisão e apresentação de
diferentes procedimentos de cálculo
5
SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY
Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 3ºano.
São Paulo: Saraiva, 2007, p.188 e 200.
Nas duas páginas selecionadas, é possível verificar a exploração das duas ideias
associadas à divisão: repartir em partes iguais (atividades 1) e a ideia de formar
grupos (atividades 2). Essa preocupação das autoras em abranger as duas ideias
está presente em todos os livros dessa coleção. Em nenhum momento, elas exigem
que os alunos distingam essas ideias, mas os convida a buscar respostas para
perguntas do tipo “Quantos em cada grupo?” 3
ou “Quantos grupos?” 4
.
3
Pergunta associada à ideia de repartir em partes iguais.
4
Pergunta associada à ideia de formar grupos (ideia de medir).
6
Além disso, ao longo dos três livros da coleção, as autoras apresentam
gradualmente diversos procedimentos de cálculo, justificando que
O importante é valorizar todos os procedimentos que aparecem e
verificar a funcionalidade de cada um. Com isso, estaremos mostrando
ao aluno que ele pode descobrir seus próprios procedimentos de
cálculo e que seu raciocínio tem valor. (2007, p.465
)
No entanto, optam por um enfoque maior no processo de estimativa, porque
segundo elas,
(...) os alunos devem conhecer o processo de estimativa e utilizá-lo o
tempo todo, na 2ª série, porque esse é um processo que favorece a
compreensão do conceito da divisão, e não apenas a memorização
de procedimentos. A experiência tem mostrado que o aluno que
trabalha com esse processo desenvolve muito mais o cálculo mental,
o que, sem dúvida, é bastante vantajoso do ponto de vista da
formação do aluno. (2007, p.446
)
Concordo com essa perspectiva, pois, tendo como referência os PCN’s7
,
compreendo que o trabalho com as operações fundamentais deve propiciar o estudo
reflexivo das diversas técnicas operatórias.
2ª Sequência: Exploração do processo longo da divisão
5
Manual do Professor, 3º ano.
6
Manual do Professor, 3º ano.
7
Parâmetros Curriculares Nacionais
7
SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY
Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 4ºano.
São Paulo: Saraiva, 2007, p.164 e 166.
8
O processo longo da divisão é introduzido, no livro do 4º ano, com o apoio do
Material Dourado, através de atividades que possibilitam as trocas de cubos por
placas, de placas por barras e de barras por cubinhos. Essas trocas reforçam os
princípios do sistema de numeração decimal, pois propiciam a percepção do
desagrupamento dos milhares, centenas e dezenas, contribuindo assim para a
compreensão do processo longo da divisão. Nesse tipo de atividade, o aluno
intuitivamente usa a propriedade distributiva da divisão em relação à adição.
(TOLEDO & TOLEDO, 1997, p. 153)
3ª Sequência: Indicação das ordens dos quocientes
9
SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY
Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 5ºano.
São Paulo: Saraiva, 2007, p. 88 e 90.
Essa sequência explora um procedimento para estimar a ordem de grandeza do
quociente. Apesar da sua simplicidade, esse procedimento é muito eficiente para
evitar muitos tipos de erro, especialmente quando um dos algarismos do quociente é
o zero. (TOLEDO & TOLEDO, 1997, p. 153)
4. Considerações finais
A abordagem da divisão de números naturais na coleção Fazendo e
Compreendendo Matemática – 3º, 4º e 5º anos – de Lucília Bechara Sanchez,
Manhúcia Perelberg Liberman e Regina Lúcia da Motta Wey (Saraiva, 2007)
destaca-se pela proposta de uma construção significativa. As atividades trabalham
claramente o conceito de divisão, através da sua associação à ideia de repartir em
10
partes iguais e à ideia de formar grupos. Além disso, apresentam gradualmente os
termos ligados a esse conteúdo e os diversos procedimentos de cálculo,
possibilitando a percepção das propriedades envolvidas e preocupando-se com a
compreensão desses processos.
4. Referências
BRASIL, SECRETARIA DA EDUCAÇÃO BÁSICA. Guia do livro didático 2007: Matemática –
séries/anos iniciais do ensino fundamental. Brasília: Secretaria de Educação Básica, 2006,
262pp.
_____. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO BÁSICA. Guia de livros didáticos 2010:
Alfabetização Matemática e Matemática. Brasília: Secretaria de Educação Básica, 2009,
264pp.
_____. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática (1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental). Brasília: SEF/MEC, 1997,
142pp.
PREFEITURA Municipal de Belo Horizonte. Desafios da formação: Proposições Curriculares
do 3º Ciclo do Ensino Fundamental – Matemática. Secretaria Municipal de Educação, 2008.
SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY Regina Lúcia da Motta
de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 3º, 4º e 5º anos. São Paulo: Saraiva, 2007.
SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY Regina Lúcia da Motta
de. Fazendo e Compreendendo Matemática – Manual do Professor – 3º, 4º e 5º anos. São
Paulo: Saraiva, 2007.
TOLEDO, Marília & TOLEDO, Mauro. Didática da matemática: como dois e dois: a
construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997, 335pp.

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Análise da abordagem da divisão de números naturais em uma coleção de livros didáticos de matemática

  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS FACULDADE DE EDUCAÇÃO CRISTINE DANTAS JORGE MADEIRA ANÁLISE DA ABORDAGEM DA DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS EM UMA COLEÇÃO DE LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA Trabalho apresentado à professora Denise Alves de Araujo da disciplina Fundamentos de Ensino de Matemática I – Números de Contagem: surgimento, organização e significados, Curso de Pós-Graduação, Especialização Lato Sensu em Docência na Educação Básica – Área de Concentração em Educação Matemática. Belo Horizonte 2009
  • 2. 1 ANÁLISE DA ABORDAGEM DA DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS EM UMA COLEÇÃO DE LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA 1. Introdução Este trabalho tem como objetivo analisar a abordagem da divisão de números naturais na coleção Fazendo e Compreendendo Matemática – 3º, 4º e 5º anos – de Lucília Bechara Sanchez, Manhúcia Perelberg Liberman e Regina Lúcia da Motta Wey (Saraiva, 2007). O foco dessa análise é verificar se a organização didática e matemática, presentes nessa coleção, favorecem a compreensão e a aprendizagem da operação de divisão através de atividades significativas. A análise será baseada nos referenciais citados no final desse documento e na minha experiência como professora de matemática e formadora1 de professores das séries iniciais. 2. Apresentação da coleção Antes de descrever como a divisão é abordada, farei uma breve apresentação indicando dados sobre as autoras e a organização da coleção. 1. Autoras:  Lucília Bechara Sanchez – Licenciada e bacharel em Matemática pela Universidade Católica de Campinas; sócia-fundadora da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM); Mestre em Didática da Matemática pela Universidade de São Paulo (USP); Doutora pela USP em Cultura e Organização Escolar; experiência no magistério do Ensino Fundamental, Médio e Superior na rede oficial do estado de São Paulo e na rede particular de ensino.  Manhúcia Perelberg Liberman – Licenciada e bacharel em Matemática pela FNF da Universidade do Brasil; sócia-fundadora da SBEM; 1 Em programas de formação continuada em serviço.
  • 3. 2 experiência no magistério do Ensino Fundamental e Médio na rede particular e pública do estado de São Paulo.  Regina Lúcia da Motta Wey – Licenciada em Letras pela Faculdade Paulistana de Filosofia, Ciências e Letras (São Paulo); professora normalista; experiência no magistério do Ensino Fundamental. 2. Organização da coleção: A coleção, editada em 2007 pela editora Saraiva, é composta de três volumes organizados em unidades que abordam um conteúdo de um dos quatro Blocos da Matemática1 ,através de fichas de trabalhos. De acordo com o Guia PNLD 2007: As fichas centram-se em ações a serem realizadas pelos alunos, como: Aplicando o que aprendemos, Resolvendo problemas, Dividindo por estimativas. As aberturas das unidades relembram os conhecimentos prévios dos alunos e incluem a seção Fique sabendo, com os objetivos a serem desenvolvidos. Desafio, Lembre-se que, e Troque idéias com seus colegas também são seções incluídas em algumas das fichas; além de Aqui tem novidade ou Aprendendo palavras novas, que contêm a sistematização dos conceitos e procedimentos. Há, ainda, quatro seções Exercitando, que dividem as unidades e marcam os bimestres. Orientações de leitura para os alunos encontram-se no final de cada volume. (2006, p.86) 2. Distribuição dos fatos fundamentais na coleção O trabalho com a divisão está distribuído nos três livros da coleção conforme mostra a tabela 1. Tabela 1: Distribuição do trabalho com a divisão na coleção do 3º ao 5º ano ANO ORGANIZAÇÃO UNIDADE 3º 14 unidades – 239pp 13 – Divisão de números naturais 4º 12 unidades – 271pp 7 – Divisão 5º 13 unidades – 271pp 5 – Multiplicação e divisão de números naturais
  • 4. 3 3. Abordagem da divisão de números naturais na coleção No início da Unidade 13 do livro do 3º ano, as autoras trabalham o conceito da divisão a partir das ideias associadas a essa operação: repartição em partes iguais e a ideia de formar grupos2 . São utilizadas diversas atividades que exploram essas ideias, enfatizando as relações existentes entre a multiplicação e a divisão, o desenvolvimento do cálculo mental e a resolução de problemas. São introduzidos novos termos – resto, divisão exata e divisão não-exata – em atividades que levam o aluno a compreender o resto da divisão e descobrir qual será o maior resto possível. Ao longo da Unidade, são apresentados vários procedimentos de cálculo tendo como apoio materiais de contagem, Material Dourado, notas e moedas do nosso sistema monetário. A divisão como subtrações sucessivas, a decomposição do dividendo e o processo de estimativa são explorados como procedimentos de cálculo. Na Unidade 7 do livro do 4º ano, o trabalho com o conceito da divisão é retomado a partir das ideias associadas a essa operação em atividades que enfatizam o cálculo mental, a estimativa de resultados, o uso da calculadora, a percepção de regularidades e a resolução de problemas. São apresentados os termos da divisão – dividendo, divisor, quociente e resto – e exploradas as relações existentes entre eles. Há um destaque para a compreensão dos procedimentos de cálculos, através da divisão como subtrações sucessivas, do processo de estimativa e da utilização de diagramas. Além disso, o processo longo da divisão é introduzido. Novamente são retomados o conceito e as técnicas operatórias da divisão com números naturais na Unidade 5 do livro do 5º ano. As autoras reapresentam os nomes dos termos das divisões exatas e não-exatas, acrescentam novos termos --- aproximadamente e em média – e ampliam o conceito de divisor enquanto número que divide exatamente outro número. Além disso, propõem uma série de problemas que permitem ao aluno pensar e raciocinar logicamente enquanto aplica os conceitos estudados. 2 A ideia de formar grupos está relacionada com a ideia de medida.
  • 5. 4 4. Análise de atividades propostas na coleção Selecionei três sequências de atividades da coleção envolvendo a divisão com números naturais, sendo uma de cada volume, para analisar segundo os referenciais citados no final desse documento e a minha experiência como professora de matemática e formadora de professores das séries iniciais. 1ª Sequência: Exploração das ideias associadas à divisão e apresentação de diferentes procedimentos de cálculo
  • 6. 5 SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 3ºano. São Paulo: Saraiva, 2007, p.188 e 200. Nas duas páginas selecionadas, é possível verificar a exploração das duas ideias associadas à divisão: repartir em partes iguais (atividades 1) e a ideia de formar grupos (atividades 2). Essa preocupação das autoras em abranger as duas ideias está presente em todos os livros dessa coleção. Em nenhum momento, elas exigem que os alunos distingam essas ideias, mas os convida a buscar respostas para perguntas do tipo “Quantos em cada grupo?” 3 ou “Quantos grupos?” 4 . 3 Pergunta associada à ideia de repartir em partes iguais. 4 Pergunta associada à ideia de formar grupos (ideia de medir).
  • 7. 6 Além disso, ao longo dos três livros da coleção, as autoras apresentam gradualmente diversos procedimentos de cálculo, justificando que O importante é valorizar todos os procedimentos que aparecem e verificar a funcionalidade de cada um. Com isso, estaremos mostrando ao aluno que ele pode descobrir seus próprios procedimentos de cálculo e que seu raciocínio tem valor. (2007, p.465 ) No entanto, optam por um enfoque maior no processo de estimativa, porque segundo elas, (...) os alunos devem conhecer o processo de estimativa e utilizá-lo o tempo todo, na 2ª série, porque esse é um processo que favorece a compreensão do conceito da divisão, e não apenas a memorização de procedimentos. A experiência tem mostrado que o aluno que trabalha com esse processo desenvolve muito mais o cálculo mental, o que, sem dúvida, é bastante vantajoso do ponto de vista da formação do aluno. (2007, p.446 ) Concordo com essa perspectiva, pois, tendo como referência os PCN’s7 , compreendo que o trabalho com as operações fundamentais deve propiciar o estudo reflexivo das diversas técnicas operatórias. 2ª Sequência: Exploração do processo longo da divisão 5 Manual do Professor, 3º ano. 6 Manual do Professor, 3º ano. 7 Parâmetros Curriculares Nacionais
  • 8. 7 SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 4ºano. São Paulo: Saraiva, 2007, p.164 e 166.
  • 9. 8 O processo longo da divisão é introduzido, no livro do 4º ano, com o apoio do Material Dourado, através de atividades que possibilitam as trocas de cubos por placas, de placas por barras e de barras por cubinhos. Essas trocas reforçam os princípios do sistema de numeração decimal, pois propiciam a percepção do desagrupamento dos milhares, centenas e dezenas, contribuindo assim para a compreensão do processo longo da divisão. Nesse tipo de atividade, o aluno intuitivamente usa a propriedade distributiva da divisão em relação à adição. (TOLEDO & TOLEDO, 1997, p. 153) 3ª Sequência: Indicação das ordens dos quocientes
  • 10. 9 SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 5ºano. São Paulo: Saraiva, 2007, p. 88 e 90. Essa sequência explora um procedimento para estimar a ordem de grandeza do quociente. Apesar da sua simplicidade, esse procedimento é muito eficiente para evitar muitos tipos de erro, especialmente quando um dos algarismos do quociente é o zero. (TOLEDO & TOLEDO, 1997, p. 153) 4. Considerações finais A abordagem da divisão de números naturais na coleção Fazendo e Compreendendo Matemática – 3º, 4º e 5º anos – de Lucília Bechara Sanchez, Manhúcia Perelberg Liberman e Regina Lúcia da Motta Wey (Saraiva, 2007) destaca-se pela proposta de uma construção significativa. As atividades trabalham claramente o conceito de divisão, através da sua associação à ideia de repartir em
  • 11. 10 partes iguais e à ideia de formar grupos. Além disso, apresentam gradualmente os termos ligados a esse conteúdo e os diversos procedimentos de cálculo, possibilitando a percepção das propriedades envolvidas e preocupando-se com a compreensão desses processos. 4. Referências BRASIL, SECRETARIA DA EDUCAÇÃO BÁSICA. Guia do livro didático 2007: Matemática – séries/anos iniciais do ensino fundamental. Brasília: Secretaria de Educação Básica, 2006, 262pp. _____. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO BÁSICA. Guia de livros didáticos 2010: Alfabetização Matemática e Matemática. Brasília: Secretaria de Educação Básica, 2009, 264pp. _____. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental). Brasília: SEF/MEC, 1997, 142pp. PREFEITURA Municipal de Belo Horizonte. Desafios da formação: Proposições Curriculares do 3º Ciclo do Ensino Fundamental – Matemática. Secretaria Municipal de Educação, 2008. SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – 3º, 4º e 5º anos. São Paulo: Saraiva, 2007. SANCHEZ, Lucília Bechara; LIBERMAN, Manhúcia Perelberg & WEY Regina Lúcia da Motta de. Fazendo e Compreendendo Matemática – Manual do Professor – 3º, 4º e 5º anos. São Paulo: Saraiva, 2007. TOLEDO, Marília & TOLEDO, Mauro. Didática da matemática: como dois e dois: a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997, 335pp.