bocais e difusores

1. Escoamento Compressível através de
Bocais, Difusores e Túneis de Vento
(capítulo 10 – Fundamentals of Aerodynamics – J. D. Anderson)
continuação
1) Escoamento em Bocais
Considere o duto mostrado na Fig.11.1. Considere também que o
escoamento é sônico na garganta, onde a área é A*. O número de Mach e a
velocidade na garganta são representados por M* e u*, respectivamente.
Fig 11.1: Geometria para o desenvolvimento da relação área-número de Mach

2. Uma vez que o escoamento é sônico na garganta M* = 1 e u* = a*. Em
qualquer outra seção do duto a área, o número de Mach e a velocidade são
representados por A, M e u respectivamente como mostrado na Fig. 11.1
Escrevendo a equação da continuidade entre as seções A e A*, temos
uAAu ρρ =*** (11.1)
Como u* = a* uAAa ρρ =*** (11.2)
u
a
u
a
A
A o
o
****
* ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
==
e considerando a densidade de estagnação ρo, definida anteriormente, sendo esta
constante ao longo de um escoamento isentrópico, podemos escrever a
Eq. (11.2) da seguinte forma
(11.3)
Das relações isentrópicas temos que (cap. 8 Fundamentals of Aerodynamics)
( )1
1
1
2* −






+
=
γ
γρ
ρ
o
(11.4)

3. (11.5)
e temos também que (ver cap. 8 Fundamentals of Aerodynamics)
( )1
1
2
2
1
1
−





 −
+=
γγ
ρ
ρ
Mo
Considere também a relação entre o números de Mach real M e o
número de Mach característico M* também definida anteriormente, dado por
( )[ ]
( )[ ] 2
2
2
2
2/11
2/1
*
* M
M
M
a
u
−+
+
==





γ
γ
(11.6)
Elevando os termos da Eq. (11.3) ao quadrado e substituindo valores
das Eqs. (11.4), (11.5) e (11.6) temos
2222
**
*


















=





u
a
A
A o
o ρ
ρ
ρ
ρ (11.7)

4. (11.8)
(11.9)
ou ainda
Simplificando algebricamente
( ) ( ) ( )[ ]
( )[ ] 







+
−+





 −
+





+
=




 −−
2
21
2
2
1
22
2/1
2/11
2
1
1
1
2
* M
M
M
A
A
γ
γγ
γ
γγ
( ) ( )
2
21
2
2
1
22
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
* M
MM
A
A





 −
+




 −
+





+





+
=




 −− γγ
γγ
γγ
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
* M
M
A
A −
+
−
+





 −
+





+
=




 γ
γ
γ
γ
γ
γ
(11.10)
(11.11)
A Eq. (11.11) é a famosa relação área - número de Mach.
1
1
2
2
2
2
1
1
1
21
*
−
+











 −
+





+
=




 γ
γ
γ
γ
M
MA
A

5. A Eq. (11.11) diz que M = f(A/A*), isto é,
“o número de Mach em qualquer posição do duto é uma função da
relação entre a área local do duto e a área da garganta”.
A solução da Eq. (11.11) está representada no gráfico da Fig. 11.2.
Fig. 11.2: Relação Área – Número de Mach

6. A Eq. (11.11) também fornece duas soluções para M, considerando uma
dada relação A/A* >1, isto é, um valor subsônico e um valor supersônico. Para o
caso do gás caloricamente perfeitos os resultados encontrados para A/A*, como
função de M, obtidos pela Eq. (11.11), são tabelados, como podemos ver no
Apêndice A do Livro Fundamentals – Anderson, para ambos escoamentos
subsônico e supersônico. Cada valor de M, relativo a cada caso, depende do
valor da pressão na entrada e na saída do duto, ou das condições de contorno,
como será explicado mais adiante.
Considere um dado bocal convergente-divergente, como esquematizado
na Fig 11.3. Assumimos que a relação de áreas na entrada Ai/A* é muito grande,
e que o escoamento na entrada é alimentado por um grande reservatório de gás,
onde este gás é essencialmente estacionário. A pressão e a temperatura de
reservatório são representados por po e To, respectivamente. Uma vez que a
relação Ai/A* é muito grande, o número de Mach subsônico na entrada é muito
pequeno, M ≈ 0. Logo a pressão e a temperatura na entrada do bocal são
essencialmente a pressão e a temperatura de estagnação, po e To,
respectivamente. A distribuição de área no bocal, A = A(x), é definida, logo a
razão de áreas Ai/A* é conhecida ao longo de de cada seção do bocal.

7. Fig. 11.3: Escoamento isentrópico supersônico através de um bocal
Eq. (11.11)

8. A área da garganta é representada por At, e a área de saída por Ae. O
número de Mach e a pressão estática na saída são chamadas de Me e pe,
respectivamente.
Vamos assumir que temos uma expansão isentrópica do gás através
deste bocal até um número de Mach supersônico Me = Me,6, na saída (o número 6
é uma convenção que será vista mais adiante). A pressão correspondente na
saída é pe,6. Para esta expansão, o escoamento é sônico na garganta, assim
M = 1 e At = A* na garganta.

9. As propriedades do escoamento através do bocal são função da razão de
áreas A/A* local e são obtidas da seguinte maneira:
1) O número de Mach é uma função de x e é obtido pela Eq. (11.11), ou mais
diretamente dos valores tabelados (como no Apêndice A). Para uma
distribuição de áreas especificada A = A(x), obtemos uma relação de áreas
correspondente Ai/A* = f(x). Então, com isto lemos o número de Mach
subsônico relativo, na porção convergente do bocal (Apêndice para M < 1),
e o número de Mach supersônico relativo na porção divergente do bocal
(Apêndice para M > 1). A distribuição no número de Mach ao longo do bocal
completo é então obtida e está esquematizada na Fig. 11.3 b.
2) Uma vez que a distribuição do número de Mach é conhecida, a variação de
temperatura, pressão e densidade correspondentes podem ser calculadas
através das ralações isentrópicas
respectivamente, ou diretamente pela tabela do Apêndice A.
(11.12)
(11.13)
(11.14)

10. Fig. 11.3: Escoamento isentrópico supersônico através de um bocal (repetida)
Eq. (11.11)

11. As distribuições de p/po e T/To são mostradas na Fig. 11.3 letras c e d
respectivamente.
Examinando as distribuições apresentadas na Fig. 11.3 vemos que:
1) O número de Mach cresce de zero, na entrada do bocal, até M = 1 na
garganta, e até o valor supersônico Me,6 na saída.
2) A pressão decresce de po na entrada do bocal até 0,528po na garganta e até
valores mais baixos pe,6 na saída.
3) A temperatura decresce da temperatura de estagnação To, na entrada do
bocal, até 0,833To, na garganta e até aos valores mais baixos Te,6 na saída.
Podemos ver que as propriedades do escoamento isentrópico,
mostradas na Fig. 11.3, através de um bocal, dependem somente da relação
de áreas A/A*.
Esta é a chave para a análise de escoamentos isentrópico, supersônico,
quasi-unidimensional através de um bocal.

12. Vamos considerar o bocal da Fig. 11.4 para analisar o escoamento no
seu interior quando pe/po não é exatamente igual ao valor isentrópico exato
tabelado ou calculado para Me,6, isto é, quando pe/po ≠ pe,6 /po.
Fig. 11.4: Escoamento isentrópico subsônico em um bocal
Se pe = po , não existe diferença de
pressão, logo não ocorre o escoamento
no interior do bocal.
Se reduzirmos pe para um valor
somente um pouco menor que po , como
por exemplo pe = 0,999po , esta pequena
diferença de pressão produzirá uma
velocidade subsônica muito baixa dentro
do bocal. O número de Mach crescerá
muito pouco através da porção
convergente do bocal, atingindo um valor
máximo na garganta, como mostra a
curva 1 da Fig. 11.4 (b). Este número de
Mach na garganta não será sônico, ao
invés disto terá um valor subsônico
pequeno. Depois da garganta este valor
de número de Mach diminuirá na parte
divergente, atingindo um valor muito
pequeno, mas finito, igual a Me,1 na saída.

13. Analogamente, a pressão na seção convergente, irá diminuindo
gradualmente de po na entrada até um valor mínimo na garganta e depois irá
gradualmente aumentar até um valor pe,1 na saída. Esta variação de pressão está
mostrada na curva 1 da Fig. 11.4 (c).
No caso das curvas de no
2 na Fig. 11.4, onde pe = pe,2, o escoamento se
move mais rápido através do bocal do que no caso da curva 1 e o número de
Mach aumenta na garganta mas continua menor que 1.
No caso das curvas de no
3 na Fig. 11.4, onde diminuímos o valor da
pressão na saída do bocal pe para um valor igual a pe,3. Este escoamento atinge as
condições sônicas na garganta, o número de Mach é 1, e a pressão na garganta é
0,528 po, mas o escoamento a jusante da garganta é subsônico.
Vamos comparar agora as Figs. 11.3 e 11.4. Vemos aqui uma importante
diferença física. Para uma dada geometria do bocal, existe somente uma solução
permissível de escoamento isentrópico para o caso supersônico, caso mostrado
na Fig. 11.3. Em contraste, existem inúmeras soluções possíveis para o
escoamento isentrópico subsônico, cada uma correspondendo a algum valor de
pressão de saída pe, onde po ≥ pe ≥ pe,3, sendo três delas mostradas na Fig . 11.4

14. Logo os fatores chave para a análise do escoamento puramente
subsônico no interior do bocal convergente-divergente são a razão de áreas A/A*
e pe/po.

15. m
0
Considere o escoamento de massa através do bocal convergente-
divergente. O escoamento de massa pode ser calculado aplicando a equação da
continuidade na garganta
ttt Aum ρ= (11.15)
Até atingirmos a pressão de saída pe,3, a medida que a pressão na saída
pe diminui, a velocidade do escoamento na garganta aumenta. Assim quando pe
diminui, ut aumenta e ρt diminui. Entretanto o percentual de aumento de ut é
muito maior do que a diminuição de ρt. Em conseqüência disto
aumenta, como mostra a Fig. 11.5.
Fig. 11.5: Variação do escoamento de massa com a pressão de saída
m

16. Quando pe = pe,3, o escoamento sônico é atingido na garganta e
tAuAum ***** ρρ == (11.16)
Agora se pe for reduzido para valores menores que pe,3 as condições na
garganta terão um novo comportamento, isto é, elas permanecerão sem se
alterar.
Neste caso:
- O número de Mach na garganta não pode exceder o valor 1.
- Assim, quando pe vai sendo reduzido M continuará igual a 1 na garganta.
- Logo a vazão mássica ou escoamento de massa permanece constante
enquanto pe é reduzido para valores abaixo de pe,3 como mostra a Fig. 11.5.
- Desta maneira o escoamento na garganta, bem como o escoamento a
montante dela permanecem constantes/congelados.
- Então, uma vez que o escoamento se torna sônico na garganta nenhuma
perturbação pode ocorrer no escoamento antes da garganta, isto é, na seção
convergente do bocal, mesmo que a pressão na saída continue a descer.
Esta situação, quando o escoamento se torna sônico na garganta e a
vazão mássica permanece constante, não importando o quanto a pressão pe está
sendo reduzida, é chamada de escoamento chocado.

17. Voltando ao escoamento subsônico, o
que acontece no interior do duto quando pe
é reduzida para valores abaixo de pe,3?
Na porção convergente nada acontece,
como vimos ainda agora, isto é, as
propriedades do escoamento permanecem
fixas nos valores das condições mostrados
no lado esquerdo da curva 3 (seção
convergente do duto) Fig. 11.4b e c.
Entretanto do lado direito (lado
divergente) muito acontece. Se a pressão
na saída do bocal for reduzida para um
valor abaixo de pe,3 mas ainda for
substancialmente mais alta do que o valor
da pressão na saída pe,6, que é
convencionado o valor da pressão na
saída para o escoamento completamente
isentrópico, uma onda de choque normal
se forma no interior do bocal a jusante da
garganta, como mostra a Fig. 11.6.
Fig. 11.6: Escoamento supersônico num bocal com uma
onda de choque normal no seu interior

18. Entre a garanta e a onda de choque as condições do escoamento são
dadas pela solução do escoamento isentrópico supersônico, como mostrado na
Fig. 11.6b e c. Atrás da onda de choque o escoamento é subsônico. Este
escoamento subsônico enxerga o duto divergente e isentropicamente reduz a sua
velocidade a medida que caminha para a saída. A localização da onda de choque,
indicada por d na Fig. 11.6a, é determinada pela aumento da pressão estática
através da onda de choque e mais o fato de que na parte divergente do
escoamento subsônico, atrás da onda de choque, a pressão atinge o valor pe,4 na
saída do bocal. Quando pe é reduzida mais um pouco, para um valor pe,5 < pe,4 a
onda de choque normal se move a jusante do escoamento para perto da saída do
bocal. Em um certo instante, o valor de pressão pe = pe,5 e a onda de choque
normal está localizada exatamente na saída. Isto está esquematizado na
Fig. 11.7a até c. Neste estágio, onde pe = pe,5, o escoamento ao longo de todo o
bocal é isentrópico. A pressão pB é a pressão do ambiente (back pressure).
Com relação a Fig. 11.7, temos:
Fig. 11.7(a), (b) e (c ) Onda de choque normal na saída do bocal (pB = pe,5)
Fig. 11.7(d) Bocal superexpandido = quando pe,6 < pB < pe,5
Fig. 11.7(e) Expansão isentrópica = quando pB = pe,6
Fig. 11.7(f) Bocal subexpandido = quando pe,6 > pB

19. Fig. 11.7: Escoamento supersônico num bocal com uma ondas de choque na saída do bocal

20. Escoamento Compressível através de
Bocais, Difusores e Túneis de Vento
2) Difusores
O conceito do difusor foi introduzido anteriormente, como um dispositivo usado
para desacelerar um escoamento supersônico para velocidades subsônicas,
onde este escoamento entra por uma seção convergente, sendo desacelerado
até M = 1, na garganta, e depois é ainda desacelerado até velocidades
subsônicas através de uma seção divergente, como mostra a Fig. 11.8
Fig. 11.8: Difusor supersônico
M > 1

21. Na realidade, no caso geral, podemos definir um difusor como sendo
qualquer duto projetado para diminuir a velocidade de um escoamento na sua
entrada, para velocidades mais baixas na sua saída.
O escoamento na entrada de um difusor pode ser subsônico ou
supersônico. No caso do escoamento de entrada subsônico temos como
exemplo os túneis de vento subsônicos, ilustrados na Fig. 11.9.
Fig. 11.9: Túnel de vento subsônicos. (a) aberto e (b) circuito fechado

22. No nosso caso vamos discutir o difusor com o escoamento de entrada
supersônico.
Antes, vamos lembrar o conceito de pressão total po, que pode ser definida
como:
“A pressão total de um gás escoando é a medida da capacidade deste
escoamento realizar trabalho útil / eficiente.”
Vamos considerar dois exemplos:
1) A pressão de um reservatório contendo ar “estagnado” a 10 atm.
2) Um escoamento supersônico com velocidade M = 2,16 e pressão p = 1 atm.
No caso 1, a velocidade do ar é zero, assim po = p = 10 atm. Agora imagine
que nós queremos usar o ar (que está no reservatório) para mover um pistão em
um dispositivo pistão-cilindro, onde um trabalho útil é executado por este
dispositivo pistão-cilindro em uma dada distância. O ar do reservatório pode ser
canalizado para dentro do cilindro, e assim como po = p = 10 atm, temos 10 atm
sobre o pistão e claramente podemos ver que uma certa quantidade de trabalho
útil é executado, que pode ser chamado de W1.

23. Entretanto no caso 2 o escoamento supersônico deve ser desacelerado
até velocidades mais baixas antes de podermos colocá-lo facilmente em uma
tubulação. Se este processo de desaceleração puder ser atingido sem perda da
pressão total, então a pressão na tubulação neste caso é também igual a 10 atm
(assumindo que V = 0), e a mesma quantidade de trabalho útil, W1, é executado.
Por outro lado, se assumirmos que no processo de desaceleração do
escoamento supersônico na entrada, teremos 3 atm de perda na pressão total, a
pressão na tubulação será somente de 7 atm, com a conseqüente geração de
trabalho útil W2, o qual é menor do que o gerado no primeiro caso, isto é W2 < W1.
A finalidade deste simples exemplo é de mostrar que a pressão total de um gás
escoando é realmente uma medida da sua possibilidade de executar trabalho útil.
Nestas bases, uma perda da pressão total é sempre uma ineficiência – uma perda
na capacidade de realização de trabalho.

24. Vamos agora então expandir a nossa definição de um difusor. Um
difusor é um duto projetado para desacelerar um escoamento de gás que
passa por sua entrada, até velocidades mais baixas, na sua saída, com a
menor perda possível na sua pressão total. Conseqüentemente um difusor
ideal poderia ser caracterizado por uma compressão isentrópica até velocidades
mais baixas; isto está esquematizado na Fig. 11.10a, onde o escoamento
supersônico entra no difusor com velocidade M1 > 1, é isentropicamente
comprimido em um duto convergente até Mach = 1, na garganta, onde a área é
A*, e depois é isentropicamente comprimido, em um duto divergente até um
baixo número de Mach subsônico, na sua saída.
Como o escoamento é isentrópico, s2 = s1, assim as pressões de
estagnação na entrada e na saída do duto são iguais, isto é, po,2 = po,1 (ver
capítulo 7 do livro Fundamental of Aerodynamics – J. D. Anderson Jr.).
Realmente o fato de po ser constante ao longo do difusor inteiro é uma
característica de que o escoamento é isentrópico.
Entretanto o bom senso nos diz que o difusor ideal da Fig. 11.10a não
pode ser obtido. É extremamente difícil desacelerar um escoamento supersônico
sem gerar ondas de choque durante o processo.

25. No mundo real, o escoamento é viscoso, tem um aumento de entropia
no interior da camada limite, que se forma sobre as paredes do difusor, o
escoamento supersônico na entrada do difusor (parte convergente) se volta sobre
ele mesmo gerando ondas de choque oblíquas, etc…. Resumindo, por todos estes
fenômenos mencionados, concluímos que o difusor ideal supersônico nunca
poderá ser construído.
Fig. 11.10: O difusor (isentrópico) ideal comparado com o de situação real

26. Um difusor supersônico real está esquematizado na Fig. 11.10b. Neste
difusor o escoamento na entrada é desacelerado por uma série de ondas de choque
oblíquas refletidas, primeiro na seção convergente, normalmente consistindo de
paredes retas, e depois em uma garganta de área constante. Devido à interação das
ondas de choque com o escoamento viscoso próximo às paredes, a onda de choque
refletida geralmente enfraquece, se tornando difusa, as vezes terminando em uma
onda de choque normal fraca no final da garganta de área constante.
Finalmente, o escoamento subsônico a jusante da garganta é desacelerado
ainda mais através da seção divergente na saída.
Podemos ver claramente que na saída s2 > s1, e por isso, po,2 < po,1 (ver
capítulo 8 do livro Fundamental of Aerodynamics – J. D. Anderson Jr.).
A arte do projeto de um difusor está em obter a menor perda de pressão
total possível, isto é, projetar as seções: convergente, divergente e a garganta de
seção constante tais que a razão po,2 / po,1 seja o mais próximo possível da unidade.

27. Fig. 11.11: Bocal aberto direto para a atmosfera
2) Túneis de Vento Supersônicos
Imagine que estamos querendo criar um escoamento uniforme com
velocidade Mach 2,5 no laboratório, com o propósito de testar o modelo de um
veículo supersônico, por exemplo, um cone.
Neste caso temos que projetar um bocal convergente-divergente, onde
a razão de áreas entre a da saída e a da garganta é A/A* = 2,637 (pela tabela do
Apêndice A). Além disto precisamos estabelecer a razão entre a pressão na
entrada e na saída do bocal é po/pe = 17,09, para se obter uma expansão livre de
choques de Me = 2,5 na saída.
po/pe =
17,09 atm

28. A primeira idéia é de se fazer um bocal aberto diretamente para a
atmosfera, como mostrado na Fig. 11.11. Neste caso o escoamento com número de
Mach = 2,5 escoa para fora como um jato livre (“free jet”). O modelo a ser testado é
colocado no escoamento a jusante da saída do bocal. Para termos certeza de que
este jato livre não formará ondas de choque ou de expansão a pressão de saída pe
deve ser igual a pressão de fundo pB como mostrado na Fig. 11.7 repetida aqui.
Como o bocal é aberto para a atmosfera, então pe = pB = 1 atm.

29. Fig. 11.12: Relação Área – Número de Mach
No exemplo anterior podemos ter problemas em obter a alta pressão no
reservatório, po= 17,09 atm. Será necessário termos um compressor ou cilindros de
ar comprimido (qualquer um do dois pode ser caro), quanto maior a pressão maior é
o custo.
Para diminuirmos o custo do projeto, ao invés de termos um bocal de jato
livre, podemos proceder da seguinte forma. Imagine que se tenha uma longa seção
de área constante a jusante da saída do bocal, como uma onda de choque normal
permanente no final desta seção de área constante, como mostrado na Fig. 11.12.
A pressão a jusante da onda de choque normal é p2 = pB = 1 atm. Para
Mach = 2,5 a razão de pressão estática através é p2/pe = 7,125. Assim a pressão a
montante da onda de choque é 0,14 atm.

30. Logo, para se obter então as condições adequadas para o escoamento
isentrópico através do bocal, o qual requer uma razão de pressão solicitada igual
a po/pe = 17,09, precisamos ter no reservatório uma pressão de somente 2,4 atm.
Isto é consideravelmente mais eficiente do que as 17,09 atm requeridas
anteriormente como mostra a Fig. 11.11. Assim podemos criar um escoamento
uniforme com velocidade Mach = 2,5 (no duto de área constante), com uma
considerável redução de custos.
Na Fig. 11.12, a onda de choque normal está atuando como um difusor,
desacelerando o ar, que está originariamente numa velocidade Mach = 2,5, para
uma velocidade subsônica de Mach = 0,513, imediatamente atrás do choque.
Assim com a adição deste difusor, chamado “difusor de choque normal”,
podemos produzir um escoamento uniforme com velocidade Mach = 2,5 com
mais eficiência.
Entretanto o difusor de choque normal apresenta alguns problemas:
1) O choque normal é o choque mais forte → grandes perdas de po.
2) É difícil manter a onda de choque estacionaria na saída do duto.
3) Com a introdução do modelo de teste no escoamento, são formadas ondas de
choque obliquas sobre o modelo, causando alterações no escoamento de teste.

31. Fig. 11.13: Esquema de um tunel de vento supersônico
Então vamos substituir a onda de choque normal da Fig. 11.12 pelo difusor de
ondas de choque obliqua, mostrado na Fig. 11.10. O resultado completo aparece
mostrado na Fig. 11.13. Observando o esquema temos:
1) Um bocal convergente-divergente.
2) Um duto de área constante, chamado de seção de teste (com escoamento
supersônico uniforme).
3) Difusor (que desacelera o escoamento de teste para velocidades subsônicas).
Esta montagem/dispositivo de teste é chamado de túnel de vento supersônico

32. O sistema de ondas de choque formado sobre o modelo se propaga a
jusante do escoamento e interage com as paredes do difusor. A razão de pressões
requerida para “rodar” o túnel é po/pB . Isto pode ser obtido fazendo po grande via uma
pressão alta no reservatório, na entrada do bocal, ou fazendo a pressão pB pequena
via uma fonte de vácuo na saída do difusor ou ainda combinando as duas
possibilidades.