Termodinâmica conceitos básicos

Capítulo -1
CONCEITOS
FUNDAMENTAIS
1

Capítulo – 1 - Termodinâmica Aplicada - pág - 2
1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1.1 - Sistema Termodinâmico
Sistema termodinâmico consiste em uma quantidade de matéria ou região
para a qual nossa atenção está voltada. Demarcamos um sistema termodinâmico
em função daquilo que desejamos calcular. Tudo que se situa fora do sistema
termodinâmico é chamado MEIO ou VIZINHANÇA.
O sistema termodinâmico a ser estudado é demarcado através de uma
FRONTEIRA ou SUPERFÍCIE DE CONTROLE a qual pode ser móvel, fixa, real ou
imaginária.
Sistema Fechado - É o sistema termodinâmico no qual não há fluxo de
massa através das fronteiras que definem o sistema.
Volume de Controle - Ao contrário do sistema fechado, é o sistema
termodinâmico no qual ocorre fluxo de massa através da superfície de controle que
define o sistema.
Assim, dependendo da interação entre o sistema termodinâmico definido
para estudo, e a vizinhança, chamaremos a essa região de Sistema Fechado
(demarcado pela fronteira) ou Volume de Controle (demarcado pela superfície de
controle) conforme se verifique as definições acima citadas. Exemplos de Sistema
Fechado e Volume de Controle
A figura 1.1-1 é um sistema termodinâmico fechado, pois não há fluxo de
massa através das fronteiras do sistema, embora haja fluxo de calor.
A figura 1.1-2, por sua vez, constitui um volume de controle pois temos fluxo
de massa atravessando a superfície de controle do sistema.
Fig. 1.1-1 - Sistema fechado Fig. 1 .1-2 - Volume de controle
Sistema Isolado - Dizemos que um sistema termodinâmico é isolado quando não
existe qualquer interação entre o sistema termodinâmico e a sua vizinhança. (ou
seja, através das fronteiras não ocorre fluxo de calor, massa, trabalho etc. )
2

1.2 - Estado e Propriedades de uma Substância
Se considerarmos uma massa de água, reconhecemos que ela pode existir
sob várias formas. Se é inicialmente líquida pode-se tornar vapor após aquecida ou
sólida quando resfriada. Assim nos referimos às diferentes fases de uma
substância: uma fase é definida como uma quantidade de matéria totalmente
homogênea; quando mais de uma fase está presente, as fases se acham separadas
entre si por meio dos contornos das fases. Em cada fase a substância pode existir
a várias pressões e temperaturas ou, usando a terminologia da termodinâmica, em
vários estados. O estado pode ser identificado ou descrito por certas propriedades
macroscópicas observáveis; algumas das mais familiares são: temperatura,
pressão, volume, etc. Cada uma das propriedades de uma substância num dado
estado tem somente um valor definido e essa propriedade tem sempre o mesmo
valor para um dado estado, independente da forma pela qual a substância chegou a
ele. De fato, uma propriedade pode ser definida como uma quantidade que
depende do estado do sistema e é independente do caminho (isto é, da história)
pelo qual o sistema chegou ao estado considerado. Inversamente, o estado é
especificado ou descrito pelas propriedades.
Propriedades Termodinâmicas - As propriedades termodinâmicas podem
ser divididas em duas classes gerais, as intensivas e as extensivas.
Propriedade Extensiva - Chamamos de propriedade extensiva àquela que
depende do tamanho (extensão) do sistema ou volume de controle. Assim, se
subdividirmos um sistema em várias partes (reais ou imaginárias) e se o valor de
uma dada propriedade for igual à soma das propriedades das partes, esta é uma
variável extensiva. Por exemplo: Volume, Massa, etc.
Propriedade Intensiva - Ao contrário da propriedade extensiva, a
propriedade intensiva, independe do tamanho do sistema. Exemplo: Temperatura,
Pressão etc.
Propriedade Específica - Uma propriedade específica de uma dada
substância é obtida dividindo-se uma propriedade extensiva pela massa da
respectiva substância contida no sistema. Uma propriedade específica é também
uma propriedade intensiva do sistema. Exemplo de propriedade específica:
Volume específico , νν , νν ==
V
M
Energia Interna específica , u, u
U
M
==
onde: M é a massa do sistema, V o respectivo volume e U é a energia interna total
do sistema.
3

1.3 - Mudança de Estado de um Sistema Termodinâmico
Quando qualquer propriedade do sistema é alterada, por exemplo; Pressão,
Temperatura, Massa, Volume, etc. dizemos que houve uma mudança de estado no
sistema termodinâmico.
Processo - O caminho definido pela sucessão de estados através dos quais
o sistema passa é chamado processo.
Exemplos de processos:
- Processo Isobárico (pressão constante)
- Processo Isotérmico (temperatura constante)
- Processo Isocórico (isométrico) (volume constante)
- Processo Isoentálpico (entalpia constante)
- Processo Isoentrópico (entropia constante)
- Processo Adiabático (sem transferência de calor)
Ciclo Termodinâmico - Quando um sistema (substância), em um dado
estado inicial, passa por certo número de mudança de estados ou processos e
finalmente retorna ao estado inicial, o sistema executa um ciclo termodinâmico.
Deve ser feita uma distinção entre ciclo termodinâmico, descrito acima, e um
ciclo mecânico. Um motor de combustão interna de quatro tempos executa um ciclo
mecânico a cada duas rotações. Entretanto o fluido de trabalho não percorreu um
ciclo termodinâmico dentro do motor, uma vez que o ar e o combustível são
queimados e transformados nos produtos de combustão, que são descarregados
para a atmosfera.
1.4 - Lei Zero da Termodinâmica
Quando dois corpos tem a mesma temperatura dizemos que estão em
equilíbrio térmico entre si. Podemos definir a lei zero da termodinâmica como:
" Se dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro eles estão
em equilibrio térmico entre si ".
A lei zero da termodinâmica define os medidores de temperatura, os
TERMÔMETROS.
4

1.5 - Escalas de Temperatura
Para a maior parte das pessoas a temperatura é um conceito intuitivo
baseado nas sensações de "quente" e "frio" proveniente do tato. De acordo com a
segunda lei da termodinâmica, a temperatura está relacionada com o calor ficando
estabelecido que este, na ausência de outros efeitos, flui do corpo de temperatura
mais alta para o de temperatura mais baixa espontaneamente.
O funcionamento dos termômetros está baseada na lei zero da
termodinâmica pois são colocados em contato com um corpo ou fluido do qual se
deseja conhecer a temperatura até que este entre em equilíbrio térmico com o
respectivo corpo. A escala do aparelho foi construída comparando-a com um
termômetro padrão ou com pontos físicos fixos de determinadas substâncias.
Quatro escalas de temperatura são hoje usadas para se referir àtemperatura,
duas escalas absolutas e duas escalas relativas; são elas respectivamente: Escala
KELVIN (K) e RANKINE (°R) e escala Celsius (°C) e Fahrenheit (°F). A Fig. 1.5-1
mostra as quatro escalas de temperatura e a relação entre elas.
Figura 1.5-1 - As escalas de temperatura e sua inter-relação
Tipos de Termômetros
- Termômetro de Mercúrio em vidro (expansão volumétrica)
- Termômetro de Alcool em vidro (expansão volumétrica)
- Termômetro de Par Bimetálico (dilatação linear diferenciada)
- Termômetro de Termistores (variação da resistividade)
- Termômetro de Gás Perfeito (expansão volumétrica)
- Termômetro de Termopar (força eletromotriz)
- Pirômetro Ótico (cor da chama)
- etc.
5

Exemplo 1.5-1
Escreva a relação entre graus Celsius (o
C) e Fahrenheit (o
F)
Solução - Considere-se a escala dos dois Termômetros, Celsius
e Fahrenheit como mostrado na figura
Interpolando linearmente as escalas entre a referência de gelo
fundente e a referência de vaporização da água temos:
O O
C F−−
−−
==
−−
−−
0
100 0
32
212 32
→
O O
C F== −−
5
9
32( )
1.6 - Pressão
Pressão, uma propriedade termodinâmica, é definida como sendo a relação
entre uma força e a área normal onde está sendo aplicada a força. A Fig. 1.6-1
ilustra a definição dada pela equação 1.6 -1
P
A A
F
A
i
N
==
 →→
lim
δδ δδ
δδ
δδ
(1.6 -1)
Figura 1.6-1 - Definição de Pressão
6

Unidades de Pressão
Pascal, Pa =
N
m2 ,
Quilograma - força por metro quadrado, =
kgf
m2
Psig =
lbf
in2 , (manométrica) Psia =
lbf
in2 (absoluta)
bar = 10
5
Pascal
As pressões abaixo da pressão atmosférica e ligeiramente acima e as
diferenças de pressão (como por exemplo, ao longo de um tubo, medidas através
de um orifício calibrado) são obtidas freqüentemente com um manômetro em U que
contém como fluido manométrico: água, mercúrio, Alcool, etc. como mostra a Fig.
1.6-2
Figura 1.6-2 manômetro em U usado junto com um orifício calibrado
Pelos princípios da hidrostática podemos concluir que, para uma diferença de
nível, L em metros, em um manômetro em U, a diferença de pressão em Pascal é
dada pela relação :
∆∆P gL== ρρ
onde g é a aceleração da gravidade, em m/s
2
, ρρ é a densidade do fluido
manométrico, em kg/m
3
e L é a altura da coluna de líquido, em m (metros) .
OBS.
A pressão atmosférica padrão é definida como a pressão produzida por uma
coluna de mercúrio exatamente igual a 760 mm sendo a densidade do mercúrio de
13,5951 gm / cm
3
sob a aceleração da gravidade padrão de 9,80665 m / s
2
uma atmosfera padrão = 760 mmHg =101325 Pascal = 14,6959 lbf / in
2
7

Exemplo 1.6-1
Em uma análise para se obter o balanço térmico de um motor diesel é necessário
medir-se a vazão de ar admitido pelo motor. Um orifício calibrado é montado em uma caixa
de entrada junto com um manômetro em U na admissão do motor, como mostrado,
esquematicamente na figura. A vazão mássica do fluido escoando, m
••
, em kg/m3
está
relacionada, em um orifício calibrado, pela seguinte expressão, m AC PD
••
== 2ρρ ∆∆ , onde ∆∆P
é a diferença de pressão no manômetro em U ,
em Pascal, A é a área do orifício calibrado, em
metros quadrados, CD é o coeficiente de
descarga do orifício, cujo valor particular, para
este caso é 0,59, ρρ é a densidade do fluido em
escoamento. Determinar a vazão de ar para os
dados mostrados na figura. (Considere a
aceleração gravitacional local igual a 9,81 m/s2
,
a densidade do ar como sendo, ρρ = 1,2 kg/m3
e a
densidade da água do manômetro igual a 1000 kg/m3
)
Solução
- Cálculo da diferença de Pressão indicada no manômetro em U:
∆∆P g L Pa== == •• •• ==ρρ 1000 9 81 0 260 2550 6, , ,
- Calculo da área do orifício calibrado. Dos dados da figura temos
A
d
m== ==
••
==
ππ 2 2
2
4
314159 0 045
4
0 00159
, ( , )
,
- A vazão em massa de ar admitida pelo motor diesel, pela expressão será
m
kg
s
AR
••
== •• •• •• ==0 00159 0 59 2 1 2 2550 6 0 0734, , , . , ,
8

Exercícios
1-1) Um manômetro montado em um recipiente indica uma pressão de
1,25MPa e um barômetro local indica 96kPa. Determinar a pressão interna absoluta
do recipiente em: a) MPa , b) kgf/cm
2
, c) Psia e d) em milímetros de coluna de
mercúrio.
OBS.: Adote para o mercúrio a densidade de 13,6gm/cm
3
1-2) Um termômetro, de liquido em vidro, indica uma temperatura de 30
o
C.
Determine a respectiva temperatura nas seguintes escalas: a) em graus Fahrenheit
(
o
F) , b) em graus Rankine (
o
R) e c) em Kelvin (K).
1-3) Um manômetro contém um fluido com densidade de 816 kg/m
3
. A
diferença de altura entre as duas colunas é 50 cm. Que diferença de pressão é
indicada em kgf/cm
2
? Qual seria a diferença de altura se a mesma diferença de
pressão fosse medida por um manômetro contendo mercúrio (adote densidade do
mercúrio de 13,60 gm/cm
3
)
1-4) Um manômetro de mercúrio, usado para medir um vácuo, registra 731
mm Hg e o barômetro local registra 750 mm Hg. Determinar a pressão em kgf/cm
2
e
em microns.
9

Capítulo - 2
PROPRIEDADES
TERMODINÂMICAS
10

Capítulo - 2 - Termodinâmica Aplicada - pág. - 2
2 - PROPRIEDADES DE UMA SUBSTÂNCIA PURA
2.1 - Substância Pura
Substância pura é aquela que tem composição química invariável e
homogênea. Pode existir em mais de uma fase, mas a sua composição química é
a mesma em todas as fases. Assim água líquida e vapor d'água ou uma mistura
de gelo e água líquida são todas substância puras, pois cada fase tem a mesma
composição química. Por outro lado uma mistura de ar líquido e gasoso não é uma
substância pura, pois a composição química da fase líquida é diferente daquela da
fase gasosa.
Neste trabalho daremos ênfase àquelas substâncias que podem ser
chamadas de substância simples compressíveis. Por isso entendemos que efeitos
de superfície, magnéticos e elétricos, não são significativos quando se trata com
essas substâncias.
Equilíbrio de Fase Líquido - Vapor - Considere-se como sistema 1 kg de
água contida no conjunto êmbolo-cilindro como mostra a figura 2.1-1. Suponha
que o peso do êmbolo e a pressão atmosférica local mantenham a pressão do
sistema em 1,014 bar e que a temperatura inicial da água seja de 15 O
C. À medida
que se transfere calor para a água a temperatura aumenta consideravelmente e o
volume específico aumenta ligeiramente (Fig. 2.1-1b) enquanto a pressão
permanece constante.
Figura 2.1-1 - Representação da terminologia usada para uma substância pura à pressão P e
temperatura T, onde Tsat é a temperatura de saturação na pressão de saturação P.
Quando a água atinge 100 O
C uma transferência adicional de calor implica
em uma mudança de fase como mostrado na Fig. 2.1-1b para a Fig. 2.1-1c, isto é,
11

uma parte do líquido torna-se vapor e, durante este processo, a pressão
permanecendo constante, a temperatura também permanecerá constante mas a
quantidade de vapor gerada aumenta consideravelmente (aumentado o volume
específico), como mostra a Fig. 2.1-1c. Quando a última porção de líquido tiver
vaporizado (Fig. 2.1-1d) uma adicional transferência de calor resulta em um
aumento da temperatura e do volume específico como mostrado na Fig. 2.1-1e e
Fig. 2.1-1f
Temperatura de saturação - O termo designa a temperatura na qual se dá
a vaporização de uma substância pura a uma dada pressão. Essa pressão é
chamada “pressão de saturação” para a temperatura dada. Assim, para a água
(estamos usando como exemplo a água para facilitar o entendimento da definição
dada acima) a 100 o
C, a pressão de saturação é de 1,014 bar, e para a água a
1,014 bar de pressão, a temperatura de saturação é de 100 o
C. Para uma
substância pura há uma relação definida entre a pressão de saturação e a
temperatura de saturação correspondente.
Líquido Saturado - Se uma substância se encontra como líquido à
temperatura e pressão de saturação diz-se que ela está no estado de líquido
saturado, Fig.2.1-1b.
Líquido Subresfriado - Se a temperatura do líquido é menor que a
temperatura de saturação para a pressão existente, o líquido é chamado de líquido
sub-resfriado (significa que a temperatura é mais baixa que a temperatura de
saturação para a pressão dada), ou líquido comprimido, Fig. 2.1-1a, (significando
ser a pressão maior que a pressão de saturação para a temperatura dada).
Título (x) - Quando uma substância se encontra parte líquida e parte vapor,
vapor úmido, Fig. 2.1-1c, a relação entre a massa de vapor pela massa total, isto
é, massa de líquido mais a massa de vapor, é chamada título. Matematicamente:
x
m
m m
m
m
v
l v
v
t
=
+
= (2.1-1)
Vapor Saturado - Se uma substância se encontra completamente como
vapor na temperatura de saturação, é chamada “vapor saturado”, Fig. 2.1-1d, e
neste caso o título é igual a 1 ou 100% pois a massa total (mt) é igual àmassa de
vapor (mv), (freqüentemente usa-se o termo “vapor saturado seco”)
Vapor Superaquecido - Quando o vapor está a uma temperatura maior que
a temperatura de saturação é chamado “vapor superaquecido” Fig. 2.1-1e. A
pressão e a temperatura do vapor superaquecido são propriedades independentes,
e neste caso, a temperatura pode ser aumentada para uma pressão constante.
Em verdade, as substâncias que chamamos de gases são vapores altamente
superaquecidos.
A Fig. 2.1-1 retrata a terminologia que acabamos de definir para os diversos
estados termodinâmicos em que se pode encontrar uma substância pura.
12

Considerações importantes
1) Durante a mudança de fase de líquido-vapor à pressão constante, a
temperatura se mantém constante; observamos assim a formação de patamares
de mudança de fase em um diagrama de propriedades no plano T x v ou P x v,
como mostrado na Fig. 2.2-1. Quanto maior a pressão na qual ocorre a mudança
de Fase líquido-vapor maior será a temperatura.
2) Aumentando-se a pressão observa-se no diagrama que as linhas de
líquido saturado e vapor saturado se encontram. O ponto de encontro dessas duas
linhas define o chamado "Ponto Crítico". Pressões mais elevadas que a pressão
do ponto crítico resultam em mudança de fase de líquido para vapor superaquecido
sem a formação de vapor úmido.
Figura 2.2-1 diagrama T x v e diagrama P x v
3) A linha de líquido saturado é levemente inclinada em relação à vertical
pelo efeito da dilatação volumétrica (quanto maior a temperatura maior o volume
ocupado pelo líquido), enquanto a linha de vapor saturado é fortemente inclinada
em sentido contrário devido àcompressibilidade do vapor. A Fig. 2.2-1b mostra o
diagrama P -V no qual é fácil visualizar as linhas de temperatura constante e o
ponto de inflexão da isoterma crítica
Como exemplo, o ponto crítico para a água, é:
Pcrítica = 22,09 MPa
Tcrítica = 374,14 O
C
Vcritico = 0,003155 m3
/ kg
Ponto Triplo - Corresponde ao estado no qual as três fases (sólido, líquido
e gasosa) se encontram em equilíbrio. A Fig. 2.3-1 mostra um diagrama de fases
(P x T). Para qualquer outra substância o formato do diagrama é o mesmo.
13

Uma substância na fase vapor com pressão acima da pressão do ponto
triplo muda de fase (torna-se líquido) ao ser resfriada até a temperatura
correspondente na curva de pressão de vapor. Resfriando o sistema ainda mais
será atingida uma temperatura na qual o líquido irá se solidificar. Este processo
está indicado pela linha horizontal 1→2→3 na Fig. 2.3-1.
Para uma substância na fase sólida
com pressão abaixo da pressão do ponto
triplo ao ser aquecida observe que,
mantendo a pressão constante, será atingida
uma temperatura na qual ela passa da fase
sólida diretamente para a fase vapor, sem
passar pela fase líquida, como mostrado na
Fig. 2.3-1 no processo 4→5.
Como exemplo a pressão e a
temperatura do ponto triplo para a água
corresponde a 0,6113 kPa e 0,01 O
C
respectivamente.
Figura 2.3-1 Diagrama de fases para a
água (sem escala)
2.2 - Propriedades Independentes das Substâncias Puras
Uma propriedade de uma substância é qualquer característica observável
dessa substância. Um número suficiente de propriedades termodinâmicas
independentes constituem uma definição completa do estado da substância.
As propriedades termodinâmicas mais comuns são: temperatura (T),
pressão (P), e volume específico (v) ou massa específica (ρ). Além destas
propriedades termodinâmicas mais familiares, e que são diretamente mensuráveis ,
existem outras propriedades termodinâmicas fundamentais usadas na análise de
transferência de energia (calor e trabalho), não mensuráveis diretamente, que são:
energia interna específica (u), entalpia específica (h) e entropia específica (s).
Energia Interna (U) - é a energia possuída pela matéria devido ao
movimento e/ou forças intermoleculares. Esta forma de energia pode ser
decomposta em duas partes:
a - Energia cinética interna, a qual é devida àvelocidade das moléculas e,
b - Energia potencial interna, a qual é devida às forças de atração que
existem entre as moléculas. As mudanças na velocidade das moléculas são
identificadas macroscopicamente pela alteração da temperatura da substância
(sistema), enquanto que as variações na posição são identificadas pela mudança
de fase da substância (sólido, liquido ou vapor)
Entalpia (H) - na análise térmica de alguns processos específicos,
freqüentemente encontramos certas combinações de propriedades
termodinâmicas. Uma dessas combinações ocorre quando temos um processo a
14

pressão constante, resultando sempre uma combinação (U + PV). Assim
considerou-se conveniente definir uma nova propriedade termodinâmica chamada
“ENTALPIA”, representada pela letra H, determinada matematicamente pela
relação:
H = U + P V (2.2-1)
ou a entalpia específica,
h = u + P ν (2.2-2)
Entropia (S) - Esta propriedade termodinâmica representa, segundo alguns
autores, uma medida da desordem molecular da substância ou, segundo outros, a
medida da probabilidade de ocorrência de um dado estado da substância.
Matematicamente a definição de entropia é
dS
Q
T reversivel
==






δδ (2.2-3)
2.3 - Equações de Estado
Equação de estado de uma substância pura é uma relação matemática que
correlaciona pressão temperatura e volume específico para um sistema em
equilíbrio termodinâmico. De uma maneira geral podemos expressar de forma
genérica essa relação na forma da Eq. (2.3-1)
f(P, v, T) = 0 (2.3 -1)
Existem inúmeras equações de estado, muitas delas desenvolvidas para
relacionar as propriedades termodinâmicas para uma única substância , outras
mais genéricas, por vezes bastante complexas, com objetivo de relacionar as
propriedades termodinâmicas de várias substâncias.
Uma das equações de estado mais conhecida e mais simples é aquela que
relaciona as propriedades termodinâmicas de pressão, volume específico e
temperatura absoluta do gás ideal, que é;
P Tνν
_
== ℜℜ (2.3-2)
onde P, é a pressão absoluta (manométrica + barométrica), em Pascal, νν
_
, o
volume molar específico, em m3
/kmol, a constante universal do gás, que vale, ℜℜ =
8,314 kJ/kmol-K, e T a temperatura absoluta, em Kelvin. A Eq. (2.3-2) pode ser
escrita de várias outras formas. Uma forma interessante é escreve-la usando o
volume específico e a constante particular do gás, como na Eq. (2.3-3)
P RTνν == (2.3-3)
onde νν , é o volume específico do gás, em m3
/kg e R é a constante particular do
gás. O valor de R está relacionado à constante universal dos gases pela massa
molecular da substância (M). Isto é:
15

R
M
==
ℜℜ
(2.3-4)
Como sabemos, a Eq. (2.3-2) ou (2.3-3) só representa satisfatoriamente
gases reais a baixas pressões. Para gases reais a pressões um pouco mais
elevadas e gases poliatômicos os resultados obtidos com a equação do gás ideal
não é satisfatório, sendo necessário, para gás real, lançar mão de equações mais
elaboradas.
Exemplo 2.3-1
Considere o ar atmosférico como um gás ideal e determine o volume
específico e a densidade para a pressão atmosférica padrão na temperatura de
20 o
C. (adote a massa molecular do ar = 28,97 kg/kmol , ℜℜ = 8 314 J/ kmol-K)
Solução
Para a hipótese de gás ideal temos:
P v RT v
RT
P
== ⇒⇒ ==
A constante particular do gás é dada por:
R
M
==
ℜℜ
⇒⇒ R == ⇒⇒
8314
28 97,
R
J
kg Ka r ≅≅
••
287
logo, o volume específico será
a) v
m
kg
==
++
≅≅
287 27315 20
101325
0 8303
3
. ( , )
,
A densidade é o inverso do volume específico, assim;
b) ρρ == == ==
1 1
0 8303
1 204 3
v
kg
m,
,
A equação de estado para gás real mais antiga é a equação de van der
Waals (1873) e foi apresentada como uma melhoria semi-teórica da equação de
gases ideais, que na forma molar é;
P
T
b
a
==
ℜℜ
−−
−−
νν νν
_ _ 2 (2.3-5)
16

O objetivo da constante "b" na equação é corrigir o volume ocupado pelas
moléculas e o termo " a / νν
_ 2
" é uma correlação que leva em conta as forças
intermoleculares de atração das moléculas. As constantes "a " e "b " são
calculadas a partir do comportamento do gás. Estas constantes são obtidas
observando-se que a isoterma crítica (Fig. 2.2b) tem um ponto de inflexão no
ponto crítico e portanto nesse ponto a inclinação é nula [2]
Os valores das constantes " a " e " b " são determinados em função das
propriedades do ponto crítico, pressão crítica , PC, e temperatura crítica, TC, para
cada gás.
a
T
P
C
C
==
ℜℜ27
64
2 2
, b
T
P
C
C
==
ℜℜ
8
(2.3-6)
Uma outra equação, considerada mais precisa que a equação de van der
Waals e com o mesmo nível de dificuldade é a equação de Redlich - kwong (1949),
que para propriedades molares é:
P
T
b
a
b T
==
ℜℜ
−−
−−
++νν νν νν
_ _ _
( )
1
2
(2.3-7)
Esta equação é de natureza empírica, as constantes "a " e " b " valem;
a
T
P
C
0 4278
2 5
2
, , b
T
P
C
C
==
ℜℜ
0 08664, (2.3-8)
Constantes para as equações de estado de van der Waals e de Redlich-
Kwong para algumas substâncias são dadas na tabela 2.3 -1.
As constantes dadas na tabela (2.3-1) são para pressão, P, em bar, volume
específico molar, νν
_
, em m3
/ kmol e temperatura, T, em Kelvin
17

Tabela (2.3-1) van der Waals Redlich - Kwong
Substâncias a bar
m
kmol
, ( )
3
2
b
m
kmol
,
3
a bar
m
kmol
K, ( ) ,
3
2 0 5 b
m
kmol
,
3
Ar 1,368 0,0367 15,989 0,02541
Butano (C4H10) 13,860 0,1162 289,55 0,08060
Dióxido de carbono (CO2) 3,647 0,0428 64,43 0,02963
Monóxido de carbono (CO) 1,474 0,0395 17,22 0,02737
Metano (CH4) 2,293 0,0428 32,11 0,02965
Nitrogênio (N2) 1,366 0,0386 15,53 0,02677
Oxigênio (O2) 1,369 0,0317 17,22 0,02197
Propano (C3H8) 9,349 0,0901 182,23 0,06342
Refrigerante 12 10,490 0,0971 208,59 0,06731
Dióxido Sulfúrico (SO2) 6,883 0,0569 144,80 0,03945
Vapor Água (H2O) 5,531 0,0305 142,59 0,02111
Exemplo 2.3-2
Um tanque cilíndrico vertical contém 4,0 kg de monóxido de carbono gás à
temperatura de -50 O
C. O diâmetro interno do tanque é, D=0,2 m e o comprimento,
L=1,0 m. Determinar a pressão, em bar, exercida pelo gás usando:
a) O modelo de gás ideal, b) O modelo de van der Waals e c) O modelo de
Redlich - Kwong
Solução
Conhecemos: Tanque cilíndrico de dimensões conhecidas contendo 4,0 kg de
monóxido de carbono, CO, a - 50 O
C
Determinar: A pressão exercida pelo gás usando três
modelos diferentes.
Hipóteses:
1) Como mostrado na figura ao lado o
gás é adotado como sistema fechado
2) O sistema está em equilíbrio termodinâmico
Análise:
O volume molar específico do gás é necessário nos três modelos requeridos, assim
V
d L
m== == ==
ππ 2 2
3
4
3 14159 0 2 1
4
0 0314
, .( , ) .
,
o volume molar específico será:
18

νν νν
_
( ) ( )(
,
,
)( ) ,== == == ==M M V
m
m
kmol
kg
kmol
m
kg28
0 0314
4 0
0 2198
3 3
A equação de estado para o gás ideal resulta
P T P
T bar
Pa
barνν
νν
_
_
( )( , )
,
( ) ,== ℜℜ →→ ==
ℜℜ
==
−− ++
==
8314 50 27315
0 2198 10
84 415
Para a Equação de estado de van der Waals as constantes " a " e " b "
podem ser lidas diretamente da tabela 2.3-1, então;
a bar m
kmol== 1 474
3
2
, ( ) e b m
kmol== 0 0395
3
, ( ) substituindo,
P
T
b
a bar
Pa
bar==
ℜℜ
−−
−− ==
−− ++
−−
−− ==
νν νν
_ _
( )( , )
( , , )
( )
,
( , )
,2 5 2
8314 50 27315
0 2198 0 0395 10
1 474
0 2198
72 3
Também, para a equação de estado de Redlich-Kwong da tabela 2.3-1
obtemos; a bar
m K
kmol
== 17 22
6
2
1
2
, ( ) e b
m
kmol
== 0 02737
3
,
substituindo na respectiva equação temos;
P
T
b
a
b T
bar
Pa
==
ℜℜ
−−
−−
++
==
−− ++
−−
−−
νν νν νν
_ _ _
( )
( )( , )
( , , )
( )
,
( , )( , )( , )1
2
1
2
8314 50 27315
0 2198 0 02737 10
17 22
0 21980 0 24717 22315
5
P = 75,2 bar
Observação:
Comparando os valores calculados de Pressão, a equação do modelo de gás
ideal resulta em 11 % maior que a equação de van der Waals. Comparando o valor de
Pressão obtido pela equação de van der Waals com dados obtidos do diagrama de
compressibilidade (Shapiro [2]) este valor é 5% menor. O valor obtido pela modelo de
Redlich-Kwong é 1% menor que o valor obtido no diagrama de compressibilidade.
Um outro exemplo de equações de estado são as de Eq. (2.3-9) até (2.3-18)
que são usada para relacionar as propriedades termodinâmicas dos refrigerantes
hidrocarbonos fluorados (R-12, R-22,... etc.) [5]
P
RT
v b
=
−
+ [
( / )
( )
]
( / )
( ( )) ( )
A B T C EXP kT T
v b
A B T C EXP kT T
c EXP v EXP v
i i i c
i
i
c+ + −
−
+
+ + −
+=
∑
2
5
6 6 6
1 α α
(2.3-9)
19

u u
G
i
T T G
T T
A kT T C EXP kT T
i v b
i
i
i i i C i c
i
i
= + − − − +
+ + −
− −=
−
=
∑ ∑0
1
4
0 5
0
1
2
5
1 1 1
1
( ) ( ) [
( / ) ( / )
( )( )
]( ) +
+
+ + −A kT T C EXP kT T
EXP v
c c6 61( / ) ( / )
( )α α
(2.3-10)
h u Pv= + (2.3-11)
s s G T T
G
i
T T
G
T T
i
i
i i
= + +
−
− − − +
=
− −
∑0 1 0
2
4
1
0
1 5
2
0
2
1 2
1 1
ln( / )
( )
( ) ( )( ) ( )
+ −R v bln( ) −
− −
− −
−−
=
∑[
( / ) ( / )
( )( )
]( )
B k T C EXP kT T
i v b
i C i c
i
i 1 1
2
5
B k T C EXP kT T
EXP v
c c6 6− −( / ) ( / )
( )α α
(2.3-12)
ln ln ( )ln( )P F
F
T
F T F T F
T
T
Tsat = + + + +
−
−1
2
3 4 5
γ
γ
(2.3-13)
dP
dT
F
F F
T
F
T
F T
T
P
sat
sat





 = +
−
− −
−




4
3 5 2
2
5
2
γ γln( )
(2.3-14)
H T v
dP
dTlv lv sat= ( ) (2.3-15); s
H
Tlv
lv
= (2.3-16)
ρl i
i c
i
c c
D
T
T
D
T
T
D
T
T
= −





 + −





 + −






=
−
∑
1
5
1
3
6
1
2
7
2
1 1 1 (2.3-17)
v v vlv v l= − (2.3-18)
onde Ai , Bi ,Ci ,Di , Fi , Gi ,c, k, b, γγ, αα e Tc ,são constantes que dependem da
substância.
Muitos outros exemplos de Eqs. de estado, algumas mais simples outras
mais complexas poderiam se apresentadas. Entretanto, dado a complexidade das
equações de estado para correlacionar as propriedades termodinâmicas das
substâncias reais seria interessante que tivéssemos um meio mais rápido para
obter tais relações.
As tabelas de propriedades termodinâmicas, obtidas através das equações
de estado, são as ferramentas que substituem as equações.
20

Exercícios
2-1) - Determine o Volume molar de um gás ideal nas condições normais de
temperatura e pressão (as condições normais de temperatura e pressão, CNTP,
são 0 O
C e 101325 Pascal, respectivamente)
2-2) - Calcule a constante particular dos gases para o Oxigênio, Nitrogênio e
para o ar seco.
2-3) - Um balão esférico tem raio de 3m. A pressão atmosférica local é de
1,0 kgf/cm2
e a temperatura é de 25 O
C.
a) Calcular a massa e o número de moles (ou kmoles) de ar que o balão
desloca
b) Se o balão estiver cheio com Hélio (He) com pressão de 1,0 kgf/cm2
e a
temperatura for de 25 O
C, qual o número de moles (ou kmoles) e a massa de hélio?
2-4) - Uma quantidade de ar está contida num cilindro vertical equipado com
um êmbolo sem atrito, como mostrado na figura. A área seccional interna do
cilindro é de 450 cm2
e o ar está inicialmente a 2,0 kgf/cm2
de pressão e
temperatura de 430 O
C. O ar é então resfriado como
resultado da transferência de calor para o meio ambiente.
(adote o ar como gás ideal)
a) Qual a temperatura do ar no interior do cilindro
quando o êmbolo atinge os limitadores, em O
C
b) Se o resfriamento prosseguir até a temperatura
atingir 21 O
C qual será a pressão no interior do cilindro.
2-5) - Considere 10 kg de vapor de água àtemperatura de 400 O
C no interior
de um vaso de pressão cujo volume é de 1,512 m3
. Determine a pressão exercida
pelo vapor nestas condições.
a) através da equação de gás ideal
b) através da equação de van der Waals
c) através da equação de Redlich-kwong
d) Compare os resultados com dados da tabela de propriedades
superaquecidas para o vapor de água.
21

2.4 - Tabelas de Propriedades Termodinâmicas
Existem tabelas de propriedades termodinâmicas para todos as substâncias
de interesse em engenharia. Essas tabelas são obtidas através das equações de
estado, do tipo mostrado anteriormente. As tabelas de propriedades
termodinâmicas estão divididas em três categorias de tabelas, uma que relaciona
as propriedades do líquido comprimido (ou líquido subresfriado), outra que
relaciona as propriedades de saturação (líquido saturado e vapor saturado) e as
tabelas de vapor superaquecido. Em todas as tabelas as propriedades estão
tabeladas em função da temperatura ou pressão e em função de ambas como
pode ser visto nas tabelas a seguir. Para a região de liquido+vapor, (vapor úmido)
conhecido o título, x, as propriedades devem ser determinadas através das
seguintes equações:
u = uL + x(uv - uL) (2.4-1)
h = hL + x(hv - h L) (2.4-2)
v = vL + x(vv - vL) (2.4-3)
s = sL + x(sv - sL) (2.4-4)
As tabelas de (2.4-1) até (2.4-12) são exemplos de tabelas de propriedades
termodinâmicas de líquido comprimido, saturadas e superaquecidas de qualquer
substância. Observe nessas tabelas que para condições de saturação basta
conhecer apenas uma propriedade para obter as demais, que pode ser
temperatura ou pressão, propriedades diretamente mensuráveis. Para as
condições de vapor superaquecido e líquido comprimido é necessário conhecer
duas propriedades para ser obter as demais. Nas tabelas de propriedades
saturadas, aqui apresentadas, pode-se observar que para temperatura de 0,0 o
C e
líquido saturado (x = 0), o valor numérico de entalpia (h) é igual a 100,00 kcal/kg
para os refrigerantes R-12, R-22, e R-717, sendo igual a 200,00 kJ/kg para o R-
134a, e a entropia (S), vale 1,000 para todas as tabelas dadas independente das
unidades usadas. Estes valores são adotados arbitrariamente como valores de
referência e os demais valores de entalpia (h) e entropia (S), são calculados em
relação a esses valores de referência. Outros autores podem construir tabelas dos
mesmos refrigerantes com referências diferentes. Quando as referências são
diferentes, como dissemos, as propriedades têm outros valores nessas tabelas,
entretanto, a diferença entre mesmos estados é igual para qualquer referência
adotada.
Assim, o valor numérico da entalpia (h), e entropia (S) em diferentes tabelas
podem apresentar valores completamente diferentes para o mesmo estado
termodinâmico, sem contudo, modificar os resultados de nossas análises térmicas,
bastando para tanto que se utilize dados de entalpia e entropia de uma mesma
tabela, ou de tabelas que tenham a mesma referência. Para dados retirados de
duas ou mais tabelas com referências diferentes estes devem ser devidamente
corrigidos para uma única referência.
22

Exemplo 2.4-1
a) Determine o volume específico, a energia interna específica, a entalpia
específica, e a entropia específica para líquido e vapor saturado da água na
pressão de saturação de 2,5 MPa.
b) Determine o volume específico, a entalpia específica e a entropia
específica para a água com pressão de 10 bar e temperatura de 300 O
C.
Solução
a) Água Saturada
Da tabela de propriedades da água saturada para P = 25 bar
temos a correspondente temperatura de saturação, T = 224 O
C
As demais propriedades são:
Vl = 0,001973 m3
/kg, VV = 0,0800 m3
/kg
hl = 962,11 kJ/kg, hV = 2803,1 kJ/kg
Ul = 959,11 kJ/kg UV = 2603,1 kJ/kg
Sl = 2,5547 kJ/kg-K SV = 6,2575 kJ/kg-K]
b) Água na pressão de 10 bar e Temperatura de 300 O
C
Da tabela de propriedades saturadas para P = 10 bar temos
T = 179,9 O
C. Logo, a água a 300 O
C está superaquecida.
Da tabela de propriedades da água superaquecida (2.4-2) temos
VV = 0,2579 m3
/kg
hV = 3051,2 kJ/kg
SV = 7,1229 kJ/kg-K
Exemplo 2.4-2
Considere um sistema composto de 2 kg de água no estado líquido à
temperatura de 80 O
C e pressão de 50 bar. Determine o volume específico
e a entalpia para o sistema.
a) através da tabela de propriedades comprimidas da água
b) através da tabela de propriedades saturadas da água
c) comente os desvios dos valores obtidos pelas duas formas.
Solução
a) Da tabela (2.4-3) de líquido comprimido para a água a 50 bar e
23

temperatura de 80 O
C temos; (observe que a temperatura de satu-
ração correspondente àpressão de 50 bar é de 263,99 O
C)
V = 0,0010268 m3
/kg e h = 338,85 kJ/kg
b) Como podemos observar, a tabela disponível para propriedades saturadas,
não tem a temperatura de 80 O
C sendo necessário fazermos interpolações
lineares, que resulta em:
V = 0,0010291 m3
/ kg e h= 334,91 kJ /kg
C) Os desvios da tabela de líquido comprimido em relação àde saturação são:
δνδν ==
−−
== −−
0 0010268 0 0010291
0 0010268
100 0 22%
, ,
,
,x
δδh x==
−−
==
338 85 334 91
338 85
100 116%
, ,
,
,
Comentários:
Pelos resultados, observamos ser insignificantes os desvios dos valores das
propriedades obtidas pela tabela correta (liquido comprimido) e na forma aproximada, como
líquido saturado na temperatura em que se encontra a substância sem levar em conta a
pressão.(a pressão de saturação a 80 O
C é de 0,4739 bar, bem inferior aos 50 bar do líquido
comprimido)
Concluímos assim que, as propriedades de líquido comprimido são
aproximadamente iguais às de líquido saturado na mesma temperatura para substâncias que
podem ser admitidas como incompressíveis.(para qualquer substância incompressível)
Exemplo 2.4-3
Considere um cilindro de volume interno igual a 0,14 m3
, contendo 10 kg de
refrigerante R-134a. O cilindro é usado para fins de reposição de refrigerante em
sistemas de refrigeração. Em um dado dia a temperatura ambiente é de 26 O
C.
Admita que o refrigerante dentro do cilindro está em equilíbrio térmico com o meio
ambiente e determine a massa de refrigerante no estado líquido e no estado vapor
no interior do cilindro.
Solução:
Conhecemos: tanque cilíndrico de dimensões conhecidas contendo 10 kg
de refrigerante R-134a em equilíbrio térmico a 26 O
C
determinar: massa no estado líquido e massa no estado vapor
Hipótese: 1) O gás no interior do cilindro é o sistema termodinâmico fechado
2) O sistema está em equilíbrio termodinâmico
24

Análise:
Se no interior do cilindro tivermos de fato as duas fases: líqui-
do+vapor, então o sistema está na condição de vapor úmido
e podemos determinar o título, x, da mistura.
O volume específico da mistura, pela definição de volume específico é:
νν == == ==
V
m
m
kg
m
kg
0140
10 0
0 014
3 3
,
,
,
da equação (2.4-3) , que relaciona volume específico com título temos;
νν νν νν νν
νν νν
νν νν
== ++ −− →→ ==
−−
−−
l v l
l
v l
x x( )
( )
( )
da tabela de propriedades saturadas para o refrigerante R-134a
obtemos os valores de volume específico do líquido e do valor, que valem:
νν l
m
kg== 0 0008
3
, νν v
m
kg== 0 0300
3
,
substituindo na equação do título , obtemos;
x ==
−−
−−
0 0140 0 0008
0 0300 0 0008
, ,
, ,
⇒⇒ x == 0 452,
da definição de título, em que, x
m
m
v
t
== , obtemos
m x kgv == 0 452 10 0, , ⇒⇒ m kg de vaporv == 4 52,
pela conservação de massa
m m m m m m mt v l l t v l== ++ ⇒⇒ == −− ⇒⇒ == −− ⇒⇒10 0 4 52, , m kgl == 5 48,
2.5 - Diagramas de Propriedades Termodinâmicas
As propriedades termodinâmicas de uma substância, além de serem
apresentadas através de tabelas, são também apresentadas na forma gráfica,
chamados de diagramas de propriedades termodinâmicas. Estes diagramas
podem ter por ordenada e abcissa respectivamente T x ν (temperatura versus
volume específico), P x h (pressão versus entalpia específica), T x s (temperatura
versus entropia específica) ou ainda h x s (entalpia específica versus entropia
específica). O mais conhecido desses diagramas é o diagrama h x s conhecido
como diagrama de Mollier.
Uma das vantagem do uso destes diagramas de propriedades é que eles
apresentam numa só figura as propriedades de líquido comprimido, do vapor úmido
e do vapor superaquecido como está mostrado esquematicamente nas figuras
2.5-1, 2.5-2 e 2.5-3.
25

Figura 2.5 - 1 - Diagrama Temperatura versus Entropia Específica
Esses diagramas são úteis tanto como meio de apresentar a relação entre
as propriedades termodinâmicas como porque possibilitam a visualização dos
processos que ocorrem em parte do equipamento sob análise ou no todo.
As três regiões características dos diagramas estão assim divididas:
a) A região à esquerda da linha de liquido saturado (x=0) é a região de
líquido comprimido ou líquido sub-resfriado (aqui estão os dados referentes às
tabelas de líquido comprimido)
b) A região compreendida entre a linha de vapor saturado (x=1) e a linha de
líquido saturado (x = 0) é a região de vapor úmido. Nesta região, em geral os
diagramas apresentam linhas de título constante como esquematizadas nas
figuras.
c) A região à direita da linha de vapor saturado seco (x = 1) é a região de
vapor superaquecido. (nesta região estão os dados contidos nas tabelas de vapor
superaquecido)
Dado o efeito de visualização, é aconselhável, na análise dos problemas
termodinâmicos, representar esquematicamente os processos em um diagrama,
pois a solução torna-se clara. Assim, o completo domínio destes diagramas é
essencial para o estudo dos processos térmicos.
Figura 2.5 - 2 - Diagrama Entalpia Específica versus Entropia Específica
26

Figura 2.5 - 3 - Diagrama Pressão versus Entalpia Específica
As figuras 2.5-4 e 2.5-5 a seguir, são diagramas de Mollier para a água.
Diagramas mais completos e diagramas T x s para a água podem ser encontrados
na bibliografia citada. Para o estudo de sistemas de refrigeração é mais
conveniente apresentar as propriedades em diagramas que tenham como
ordenada a pressão absoluta e como abcissa a entalpia específica. A figura 2.5-6
é o diagrama para o refrigerante R-12, a Figura 2.5-7 é o diagrama para o
refrigerante R-22, a figura 2.5-8 é o diagrama para o refrigerante R-134a e a figura
2.5-9 é o diagrama P x h para a amônia, que pela classificação da ASHRAE
(American Society of Heating, Refrigerating, and Air-Conditioning Engineers.) é o
refrigerante R-717.
27

Figura 2.5 - 4 - Diagrama de Mollier (h x s) para a água
28

Figura 2.5-5 Parte do diagrama de Mollier para a água
29

Figura 2.5-6 - Diagrama P x h para o refrigerante R-12
30

Figura 2.5-7 - Diagrama P x h para o refrigerante R-22
31

Figura 2.5 - 8 - Diagrama P x h para o refrigerante R-134a
32

Figura 2.5 - 9 Diagrama P x h (sem a parte central) para o refrigerante R-717 (Amônia)
33

Exemplo 2.5-1
Vapor de água inicialmente a 4,0 MPa e 300
o
C (estado 1) está contido em um conjunto
êmbolo - cilindro. A água é então resfriada a volume constante até sua temperatura
alcançar
200
o
C (estado 2). A seguir a água é comprimida isotermicamente até um estado onde a
pressão é de 2,5 MPa (estado 3).
a) Determine o volume específico nos estados 1, 2 e 3, em m
3
/ kg e o título no estado 2
se o estado 2 for de vapor úmido.
b) Localize os estados 1, 2 e 3 e esquematize os processos em um diagrama T- v e P- v.
Solução: - Hipóteses:
- O vapor de água é o nosso sistema termodinâmico
- Em cada estado o sistema está em equilíbrio termodinâmico
Conhecido:
O estado inicial P= 40 bar e T= 300
o
C e os processos subseqüentes
a-1) da tabela de vapor saturado para a água na pressão de 40 bar a correspondente
temperatura de saturação é 250,4
o
C. Assim a água a 40 bar e 300
o
C está superaquecida. Da
tabela de vapor superaquecido temos v1 = 0,05884 m
3
/kg
a-2) Para determinarmos o estado 2 temos o volume específico que é igual ao volume
específico do estado 1, v2 = 0,05884 m
3
/kg e a temperatura de 200
o
C
da tabela de vapor saturado, para a temperatura de 200
o
C, a respectiva pressão de
saturação é 15,54 bar. O volume específico do líquido saturado vale; v2L = 0,0011565 m
3
/kg e
do vapor saturado seco, v2v = 0,1274 m
3
/kg. Como o volume específico do estado 2 está
entre o volume específico do líquido e do vapor saturado, então inferimos que o estado 2 é
de vapor úmido. Nos dois diagramas, o processo de 1→→ 2 é indicado através de uma linha
vertical desde o estado 1 até o estado 2 cuja temperatura é de 200
o
C e a pressão é de 15,54
bar, na região de vapor úmido.
a-3) O estado 3 cuja pressão é de 25 bar a temperatura é a mesma do estado 2, 200
o
C.
Como a pressão, 25 bar é maior que a pressão de saturação correspondente podemos
facilmente inferir do diagrama T x v que o estado é de líquido comprimido. O processo de 2
→→ 3 está indicado nas figuras do item b).
a-4) O volume do estado 1 e 2 são iguais, e seu valor lido da tabela de vapor
superaquecido, é 0,05884 m
3
/kg. O volume específico do estado 3 deve ser obtido em uma
tabela de líquido comprimido, cujo valor é, v3 = 0,0011555 m
3
/kg ou de forma aproximada, de
uma tabela de saturação na temperatura de 200
o
C, independentemente da pressão de
saturação correspondente, que é v3 = 0,0011565 m
3
/kg.
a-5) O título no estado 2 é obtido usando as relações matemáticas entre título e
volume específico, como já mostrado anteriormente, assim:
x
v v
v v
ouL
v L
2
2 2
2 2
0 05884 0 0011565
01274 0 0011565
0 457 45 7==
−−
−−
==
−−
−−
==
, ,
, ,
, , %
b) Representação dos estados e dos processos nos planos T x v e P x v
34

Exemplo 2.5-2
Em um equipamento de refrigeração industrial, cujo fluido de trabalho é a amônia,
(R-717) o dispositivo de expansão (válvula de expansão termostática) reduz a pressão do
refrigerante de 15,850 kgf/cm2
e líquido saturado (estado1) para a pressão de 1,940
kgf/cm2
e título, X = 0,212 (estado 2). Determinar:
a) O volume específico, a temperatura e a entalpia específica nos estados 1 e 2
b) Representar o processo de expansão na válvula nos diagramas h-s e P-h
c) A que processo ideal mais se aproxima o processo de expansão na válvula de
expansão termostática (isocórico, isotérmico, isentrópico, isentálpico, isobárico)
Solução:
a-1) da tabela de saturação para a amônia obtemos as propriedades do
líquido saturado na pressão de 15,850 kgf/cm
2
(estado 1)
T1= 40
0
C, V1= 0,0017257 m
3
/kg, h1=145,53 kcal/kg, S1=1,1539 kcal/kg-K
a-2) As propriedades do estado 2 devem ser determinadas utilizando-se a
definição de título. Assim, para a pressão de 1,940 kgf/cm
2
as proprie-
dades de líquido e vapor saturado são: T = - 20
o
C
V2 = V2L + X2 (V2V - V2L); V2L = 0,0015037 m
3
/kg, V2V = 0,6237 m
3
/kg
V2 = 0,0015037 + 0,212 (0,6237 - 0,0015037) →→ V2 = 0,1334 m
3
/kg
h2 = h2L + X2 (h2V - h2L); h2L= 78,17 kcal/kg, h2V = 395,67 kcal/kg
h2 = 78,17 + 0,212 (395,67 - 78,17) →→ h2 = 145,48 kcal/kg
S2 = S2L + X2 (S2V - S2L); S2L = 0,9173 kcal/kg-k, S2V = 2,1717 kcal/kg-K
S2 = 0,9173 + 0,212 (2,1717 - 0,9173) →→ S2 = 1,1832 kcal/kg-K
b) Representação do processo e dos estados termodinâmicos 1 e 2
c) O processo ideal mais próximo é o processo ISENTÁLPICO. (em qualquer
processo de estrangulamento o processo ideal é o processo a entalpia constate, o fluido
neste caso é acelerado, de forma que, o tempo de contato entre o fluido e a superfície
envolvente é extremamente pequeno não havendo tempo suficiente para a troca de calor,
então, h1 ≅≅ h2).
35

Exemplo 2.5-3
Uma turbina a vapor pode ser operada em condições de carga parcial
estrangulando-se o vapor que entra na turbina através de uma válvula. (o processo de
estrangulamento é um processo isentálpico) . As condições do vapor de água na linha de
alimentação são P1=10 bar e T1=300 O
C. O vapor deixa a turbina com pressão, P3 = 0,1
bar. Como hipótese simplificadora adotemos que a turbina é uma máquina adiabática
reversível. (processo de expansão isentrópico). Pede-se indicar
os processos em um diagrama h x S e obter os dados de h, s, x, T,
para:
a) Turbina operando a plena carga
b) Turbina operando em carga parcial com pressão saindo da
válvula de estrangulamento (V.R.P), P2 = 5,0 bar
SOLUÇÃO - Valores lidos do próprio diagrama de MOLLIER ,
portanto, valores aproximados.
36

Continuação do Exemplo 2.5-3 - Solução através das tabelas de propriedades.
caso a) - Neste caso, turbina operando a plena carga, significa que a válvula
controladora na entrada da turbina não opera (é o mesmo que não existir)
estado 1, P1 = 10 bar e T1 = 300 o
C como já sabemos, da solução
anterior, este é um estado de vapor superaquecido, assim da tabela de
vapor superaquecido, obtemos;
h1 = 3051,2 kJ / kg v1 = 0,2579 m3 /kg S1 = 7,1229 kJ /kg-K
Estado 3
Processo isentrópico do estado 1 ao estado 3, então, S3 = S1 = 7,1229 kJ/kg-K
(da solução anterior, também sabemos que o estado 3 é de vapor úmido
(se não tivéssemos a solução gráfica direta no diagrama de Mollier, teríamos
que verificar esta condição !) e pressão de P3 = 0,1 bar . Assim obtemos das
tabelas de saturação os valores para vapor saturado e para líquido saturado,
e com a equação que relaciona título com as demais propriedades na região
de vapor úmido podemos calcular o título pois sabemos o valor da entropia.
Assim;
hls = 191,83 kJ/kg, hvs = 2584,7 kJ/kg,
vls = 0,0010102 m3
/kg, vvs = 14,674 m3
/kg
Sls = 0,6493 kJ/kg-K, Svs = 8,1502 kJ/kg-K
S3 = Sls + X3(Svs - Sls) → %3,86ou863,0
6494,01502,8
6493,01229,7
SS
SS
X
lsvs
ls3
3 ==
−−
−−
==
−−
−−
==
logo:
h3= 191,83 + 0,863 (2584,7 - 191,83) = 2 256,9 kJ/kg
v3 = 0,0010102 + 0,863 (14,674 - 0,0010102) = 12, 664 m3
/kg
caso b)
Aqui, antes de ocorrer a expansão na turbina, ocorre o estrangula-
mento na válvula controladora da pressão de 10 bar para 5 bar. Como
o processo é isentálpico, a entalpia do estado 2 é igual àentalpia do
estado 1, e como sabemos, o estado 2 é de vapor superaquecido.
da tabela de vapor superaquecido para P2 = 5,0 bar e h2 = 3 051,2 kJ/kg,
interpolando na tabela, obtemos:
T2 = 293,6 o
C , v2 = 0,5164 m3
/kg, S2 = 7,4344 kJ/kg-K
O estado 3, como sabemos da solução anterior , é de vapor úmido, o
procedimento para se obter os dados é o mesmo do item a)
resultando: para P3 = 0,1 bar e S3 = S2
X3 = 90,46 %, h3 = 2356,35 kJ/kg, v3 = 13,2738 m3
/kg
Obs.
Assim, concluímos que a solução gráfica é bem mais rápida e significativa
37

Exercícios
2-6) Em que fase se encontra a água, contida em um recipiente de paredes
rígidas, em que a temperatura é de 100 o
C e a pressão é de a) 10 MPa, b) 20 kPa.
Obs.: Use a tabela de propriedades saturadas para inferir a resposta.
2-7) Em um gerador de vapor industrial a água entra com pressão de 10 bar
e temperatura de 150 o
C (estado 1). A água sai desse gerador após receber calor
em um processo isobárico àtemperatura de 250 o
C, (estado 2). Pede-se:
a) em que fase se encontram os estados 1 e 2 ?
b) Represente esquematicamente o processo de aquecimento da água nos
seguintes diagramas de propriedades:
b-1) Coordenadas h x s (Entalpia versus Entropia)
b-2) Coordenadas T x s (Temperatura versus Entropia)
b-3) Coordenadas P x h (Pressão versus Entalpia
2-8) Um tanque, cujo volume é de 0,053 m3
, contém freon 12, (R-12) a 40
o
C. O volume inicial de líquido no tanque é igual ao volume de vapor. Uma
quantidade adicional de Freon - 12 é forçada para dentro do tanque até que a
massa total dentro do tanque atinja 45 kg. Pede-se;
a) Qual o volume final de líquido no tanque admitindo-se que a temperatura seja
de 40 o
C?
b) Que quantidade de massa foi adicionada ao tanque?
2-9) Em uma geladeira domestica, o condensador, que é um trocador de
calor de convecção natural, (fica atrás da geladeira) é projetado para que o
refrigerante saia deste no estado de líquido saturado. Em particular, em uma
geladeira domestica cujo refrigerante é o R-134a, o condensador apresenta
problemas e o refrigerante sai com pressão de 1682,76 kPa e título de 0,15.
Determinar;
a) A temperatura e o volume específico do refrigerante neste estado.
b) Esquematizar o processo de resfriamento do refrigerante se este foi
resfriado isobaricamente da temperatura de 90 o
C até o estado final, em um
diagrama P-h (Pressão - Entalpia)
2-10) O compressor de um sistema frigorífico deve sempre aspirar vapor
superaquecido. Determinar as propriedades termodinâmicas do R-22 quando a
pressão de sucção for de 2,0 kgf/cm2
e estiver superaquecido de 15 o
C
2-11) Determine as propriedades termodinâmicas do R-12 à pressão de 10
kgf/cm2
e temperatura de 34 o
C. Em que região se encontra a substância
38

Capítulo 4 - Primeira Lei
PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
Sistemas fechados
A estrutura da termodinâmica assenta em duas leis
fundamentais.
Estas leis não se podem demonstrar; são axiomas. A sua
validade é estabelecida com base no facto de a experiência
não a contradizer, nem contradizer as consequências que dela
se podem deduzir.
A 1ª lei da termodinâmica é relativa ao princípio de
conservação de energia aplicado a sistemas fechados onde
operam mudanças de estado devido à transferência de
trabalho e de calor através da fronteira.
Permite calcular os fluxos de calor e de trabalho quando são
especificadas diferentes variações de propriedades.
Exemplos:Trabalho necessário para comprimir uma dado
fluido num compressor.
Ciclo necessário para produzir vapor a uma dada
pressão e temperatura numa caldeira
A 2ª lei da termodinâmica indica que quantidade de calor,
geralmente produzida por uma turbina, pode ser convertida
em trabalho (motor térmico, máquina térmica)
ou
indica que quantidade de trabalho deverá ser fornecida para
se extrair uma dada quantidade de calor (máquina frigorífica)
Termodinâmica
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
4.1
39

Permite concluir que é impossível converter todo o calor
fornecido a uma máquina térmica em trabalho; algum calor
terá de ser rejeitado.
Propriedades
pressão (p)
volume específico (v)
temperatura (t)
energia interna (u)
entalpia (h)
entropia (s)
Duas propriedades são seleccionadas para definir o estado do
sistema em equilíbrio.
As restantes quatro são consequência imediata e estão fixas.
Nota: cuidado com a escolha das propriedades independentes.
Exemplo 1: a massa e volume específicos não são
propriedades independentes; uma é o inverso da outra.
Exemplo 2: a pressão e a temperatura não são variáveis
independentes. Deve utilizar-se outro par de
propriedades para definir o estado, por exemplo, p e v.
Termodinâmica
4.2
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
40

Se se conhecer duas propriedades de um estado as restantes
podem ser determinadas através de expressões analíticas ou
de resultados experimentais.
Conhecendo, por exemplo, p e v, a terceira propriedade x, tal
que x=f(p,v).
Nalguns casos f é simples e conhece-se analiticamente
(pv=RT). Noutros casos conhecem-se tabelas experimentais.
1ª Lei da Termodinâmica ou Princípio de
Conservação de Energia.
A energia não pode ser criada ou destruída.
A energia pode ser:
Armazenada
Transformada de uma forma para outra
Transferida de um sistema par outro (ou para a
vizinhança)
A energia pode atravessar a fronteira sob duas formas –
Calor ou Trabalho
Termodinâmica
4.3
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
41

Calor e trabalho
Só o trabalho e o calor podem mudar o estado. O trabalho
atravessa a fronteira do sistema; transfere-se.
“Trabalho é algo que surge nas fronteiras quando o sistema muda o seu
estado devido ao movimento de parte da fronteira por acção de uma
força.”
“Não se pode afirmar que o sistema tem um dado trabalho”.
Formas mecânicas de trabalho
Força F constante. Força F qualquer
Realiza-se trabalho pelo sistema na vizinhança se o único
efeito sob algo externo ao sistema poder ser considerado
como elevação de um peso.
W > 0 → trabalho realizado pelo sistema
W < 0 → trabalho realizado sobre sistema
Cálculo de W ⇒ saber como F varia ao longo de s
O valor do integral depende do processo.
O trabalho W não é uma propriedade do sistema
Termodinâmica
4.4
∫
→→
⋅=
2
1
dsFW
→→
⋅= sFW
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
42

Potência – taxa de transferência de energia na forma de
trabalho.
Unidades: J/s =W, kW, MW
Trabalho de expansão ou de compressão
Força: F = pA, onde p é a pressão na interface
Trabalho realizado pelo sistema
δW= Fdx =pAdx = pdV
δW = p dV
dV > 0 ⇒ δW > 0 (Expansão)
dV < 0 ⇒ δW < 0 (Compressão)
onde δW não é um diferencial exacto
Termodinâmica
4.5
∫ ∫ ⋅==
t2
t1
2
1
12 ,dtVFdtWW
rr
&
W&
∫ ∫==
2
1
2
1
12 ,pdVδWW
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
43

Trabalho de expansão ou de compressão - processo quasi-
estático
Processo de quasi-equilíbrio –
sucessão de estados de equilíbrio.
O valor das propriedades intensivas é
uniforme
onde p é a pressão uniforme
Expansão: ∫>0 ⇒ W>0
Compressão: ∫<0 ⇒ W<0
A relação entre p-v pode ser dada
analiticamente
Processo politrópico → pvn = constante
n = 0 → p = constante processo → processo isobárico
n = ∞ → v = constante processo → processo isócoro
Termodinâmica
4.6
∫=
2
1
12 pdV,W
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
44

Trabalho de aceleração – energia cinética
2ª Lei de Newton: F=ma
O ∫Fsds - trabalho da força - é igual à variação de energia
cinética.
∆Ec= WFS.
A energia cinética é uma propriedade.
Trabalho gravitacional – energia potencial
Conhecido z1 e z2 pode calcular a energia potencial Ep1
e Ep2
A energia potencial é uma propriedade extensiva.
O trabalho de todas as forças (excepto o peso) é igual à
variação de energia potencial + energia cinética
Termodinâmica
4.7
→→→
+= sn FFF
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−==⇒= ∫∫ 2
V
2
V
mmVdVdsFmVdVdsF
2
1
2
2
2
1
2
1
ss
ds
dV
mV
dt
ds
ds
dV
m
dt
dV
mFs ===
( )2
1
2
2
2
1
c VVm
2
1
EFdz −=∆=∫
gmRF
rrr
−=
pc
z
z
2
1
z
z
c
2
1
∆E∆ERdz∆EmgdzRdzFdz
2
1
2
1
+=⇒=−= ∫∫ ∫∫
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
45

Fr aumenta z ou acelera o corpo ⇒ o W realizado é
transferido como energia para o corpo
A energia total mantêm-se constante.
Referencial de Energia cinética e Potencial:
Ec = 0 se v =0 em relação à terra.
Ep = 0 se o corpo se encontra num determinado nível de
referência.
Somente interessam diferenças de energia entre dois
estados
Trabalho de extensão de uma barra sólida
Termodinâmica
4.8
0∆EE0W0R pcR =+∆⇔=⇒=
pcR ∆E∆EW +=
r
B
FFrB =⇔=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
46

Trabalho e potência num veio velocidade angular ω
Espaço percorrido em n revoluções –
Potência transmitida
Trabalho de uma força elástica
Onde x1 e x2 são a posição inicial e final da mola
Termodinâmica
4.9
( )nr2s π=
r
B
FFrB =⇔=
( ) πnB2rn2
r
B
FsW === π
ωB
n
B2π
t
W
W
2π
ω
n ===⇒=
&
&&
n
n
( )2
1
2
2 xxk
2
1
kxdxWkxF
2
1
−−=−=⇒= ∫
x
x
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
47

Transferência de calor
Calor - Modo de transferência de energia resultante da
diferença de temperatura entre dois sistemas (ou um sistema
e a vizinhança).
O calor, tal como o trabalho, é uma quantidade transiente que
aparece na fronteira do sistema.
Não existe calor no sistema antes ou depois de um estado.
O calor atravessa a fronteira ⇒ a energia é transferida sob
a forma de calor do sistema para a vizinhança ou vice-versa.
Sentido da transferência – do corpo de maior temperatura
para o de menor temperatura – devido a um gradiente de
temperaturas.
Convenção de sinais:
Q > 0 calor transferido para o sistema
Q < 0 calor transferido do sistema para a vizinhança
Processo Adiabático: quando não ocorre transferência de
energia sob a forma de calor entre o sistema e a vizinhança.
Sistema isolado termicamente do
exterior.
Sistema e vizinhança à mesma
temperatura.
Termodinâmica
4.10
Sistema
adiabático
Q=0
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
48

Transferência de energia sob a forma de calor
entre dois estados
Q não é uma propriedade do sistema. Q depende do processo
Potência calorífica,
= constante ⇒
Fluxo de calor
A é a área da fronteira
Modos de transferência de calor
Condução
Convecção
Radiação térmica
Termodinâmica
4.11
21
2
1
Q-QQnuncaeδQQ == ∫
.
Q
.
Q
WQdeUnidadedtQQ
2
1
t
t
→→= ∫ &&
∫ ==
2
1
t
t
∆tQdtQQ &&
2
A
mWqdeUnidadedAqQ →→= ∫ &&&
.
q
49

Condução
Pode ocorrer em gases, líquidos ou sólidos
Taxa de transferência de energia ou potência calorífica
k – condutibilidade térmica W/m ºC
Bons condutores: cobre, prata, alumínio
Maus condutores ou isolantes: cortiça, lã,
poliestireno, etc.
ksólido >k líquido >k gases em geral
Radiação
Energia emitida por ondas electromagnéticas ou fotões.
Não necessita de matéria para se propagar.
Todas as superfícies sólidas, gases ou líquidos emitem,
absorvem ou transmitem radiação térmica
ε – emissividade 0<ε< 1; A - área da superfície(m2)
Tb – temperatura da superfície (K);
σ – constante de Boltzmann = 5,669x10-8 W/m2K4
Termodinâmica
4.12
Q&
→−=
.
x
x dx
dT
kAQ& Lei de Fourier
→=
.
4
be TεAσQ& Lei de Stefan- Boltzmann
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
50

Convecção
Efeito combinado de condução de calor e movimentação de
um fluido.
h – coeficiente de convecção –
W/m2 ºC
h não é uma propriedade e
depende de:
- do fluido
- do tipo de escoamento
- do tipo de superfície
Convecção
Forçada – movimento do fluido provocado por forças
exteriores -forças gravíticas, de pressão, etc.
Natural – movimento do fluido provocado por forças de
impulsão devido a diferenças de temperatura e consequente
diferenças de densidade
Termodinâmica
4.13
( ) →= fb T-TAhQ& Lei de Newton
Natural
Forçada
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
51

Unidade clássica de Calor
“quantidade de calor que é necessário fornecer à unidade de
massa da água para aumentar a sua temperatura de 1ºC, à
pressão atmosférica padrão” (definição de caloria)
Conclui-se, posteriormente, que a quantidade de calor
depende do ponto de temperatura escolhido.
kcal 14,4ºC - 15,5ºC
Btu 1 lbm de 1ºF
Celsius Heat Unit 1 lbm de 1ºC
Resumo
Nem o calor nem o trabalho são propriedades
Ambos são quantidades transientes que atravessam a
fronteira quando há mudança de estado.
O calor e o trabalho podem ser utilizados para descrever
um processo
Termodinâmica
4.14
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
52

Energia do Sistema
Primeira Lei da Termodinâmica:
Num sistema fechado o trabalho realizado, entre dois
estados num processo adiabático depende somente do
estado inicial e final e é independente dp processo
adiabático escolhido
O trabalho é igual em todos os processos adiabáticos.
Existe pelo menos uma propriedade
E – energia total. Só tem significado falar em variação de
energia
E – energia total → cinética + potencial + outras formas
energia.
Outras formas energia → energia interna U
A energia interna U é uma propriedade extensiva.
A variação global de energia é dada por
Termodinâmica
4.15
( ) ( ) ( ) UEEEouUUEEEEEE pc12p1p2c1c212 ∆+∆+∆=∆−+−+−=−
ad12 WEE −=−
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
53

Sistemas Fechados
Os sistemas fechados podem
interagir com o exterior através
de trabalho ou calor.
A experiência mostra que o
trabalho realizado nos processos
não adiabáticos é diferente dos
processos adiabáticos.
A variação de energia no processo adiabático é igual à dos
não adiabáticos
onde Q é a energia transferida sob a forma de calor.
Termodinâmica
4.16
B12A12ad12
adBadA
WEEWEEWEE
WWWW
−≠−∧−≠−⇒−=−
≠≠
( ) WQEEWEEQ 1212 −=−⇔+−=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
54

Balanço de Energia para Sistemas Fechados
O aumento ou redução de energia é igual ao saldo através da
fronteira.
A transferência de energia através da fronteira origina um
aumento de pelo menos uma das formas de energia: cinética,
potencial ou interno
Diferentes Formas da Equação de Balanço de Energia.
Diferencial:
Equação de Balanço sob a forma de Potência
Termodinâmica
4.17
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
tempode
intervaloodeterminadumdurante
trabalhodeformaasobfronteirada
atravéssistemadoexterioropara
atransferidenergiadeQuantidade
tempode
intervaloodeterminadumdurante
calordeformaasobfronteirada
atravéssistemadointerioropara
atransferidenergiadeQuantidade
tempode
intervaloodeterminadum
durantesistemadointerior
nocontidaenergiade
quantidadedaVariação
WQUEE pc −=∆+∆+∆
δW-δQdE =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ttt instantenotrabalhodeformaa
sobfronteiradaatravéssistema
doexterioroparaenergiade
ciatransferêndelíquidaTaxa
instantecalornodeformaa
sobfronteiradaatravéssistema
dointerioroparaenergiade
ciatransferêndelíquidaTaxa
instantenosistema
dointeriornocontida
energiadequantidade
davariaçãodeTaxa
W-Q
dt
dU
dt
dE
dt
dE
dt
dE pc &&=++=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
55

Simplificações para alguns processos (Revisão)
Processos isócoros (a volume constante)
Nestes processos tem-se W=0. Substituindo na equação de
energia resulta (a menos de um trabalho negativo dissipativo).
Processos isobáricos (a pressão constante)
Sendo o processo reversível tem-se . Como p
é constante, por integração resulta
Quando p é constante, tem-se
.
Termodinâmica
4.18
dupdv
m
dQ
=−
12 uu
m
Q
−=
dupdv
m
dQ
=−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= oTT
eRR
11
0
β
⇔+=⇔
⇔=−
dupdv
m
dQ
dupdv
m
dQ
dh
m
dQ
=⇔
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
56

sendo
a entalpia especifica do estado
Integrando obtêm-se
Processos politrópicos
Em processos politrópicos reais verifica-se a seguinte relação
sendo n o índice de expansão (ou compressão) e p e v, valores
médios do sistema.
Verifica-se que com:
n=0, reduz-se a p = const. (processo isobárico);
n=∞, reduz-se a v = const. (processo isócoro);
Termodinâmica
4.19
pvuh +=
12 hh
m
Q
−=
.constpvn
=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
57

Para processos politrópicos reversíveis tem-se:
Caso n=1
Caso n≠1
Termodinâmica
4.20
( )
( )
1)ncomreversívelopolitrópic
processoparaenergiade(eq.ln
lnlnln
1
12
1
2
11
1
2
11121111
11
11
2
1
2
1
=
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−∗
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⇔−===∗
=⇔=∗
∫∫
uu
v
v
vp
m
Q
v
v
vp
m
W
vvvpdv
v
vppdv
m
W
v
vp
ppvvp
v
v
v
v
( )
( )
1)ncomreversívelopolitrópic
processoparaenergiade(eq.
1
1
11
1
12
1122
1122
1
111
1
222
1
1
1
2
1111
2211
2
1
2
1
≠
−=
−
−
−∗
−
−
=⇔
⇔
−
−
=
−
−
===∗
⇔=∗
−−−−
∫∫
uu
n
vpvp
m
Q
n
vpvp
m
W
n
vvpvvp
n
vv
vpdv
v
vppdv
m
W
pvvpvp
nnnnnn
n
v
v
n
n
v
v
nnn
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
58

Processos adiabáticos
Num processo adiabático reversível não se verificam trocas
de calor através da fronteira do sistema, i.e., este está
termicamente isolado da vizinhança. Assim, como Q=0, a
equação de energia resulta
Num processo adiabático reversível tem-se dQ=0 (neste
processo s=const. e ds=0).
Assim, conhecido o estado inicial de um dado processo, basta
conhecer o valor de uma única propriedade do estado final
para além da entropia (que é constante), para determinar o
trabalho realizado ou a variação de energia interna do
sistema.
Processos isótermicos (a temperatura constante)
Num processo isotérmico, o calor e o trabalho são
transferidos de tal forma que a temperatura do sistema
permanece constante.
Como não há gradientes de temperatura, está implícita a
reversibilidade do processo.
Nota: por vezes designam-se por isotérmicos processos
irreversíveis em que apenas a temperatura média é
constante.
Termodinâmica
4.21
( )21 uu
m
W
−=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
59

Como em qualquer processo reversível,
ou
Também se verificam as relações e T=const ,
resultando
Pelo que o trabalho pode ser determinado a partir de
Nota Final
Em resumo tem-se para processos politrónicos
Processo isobárico (pressão constante): n=0;
Processo isotérmico (temperatura constante): n=1;
Processo isentrópico (entropia constante): n=γ;
Processo isócoro (volume constante): n=∞.
Outros processos podem ainda ser aproximados por um valor
apropriado do expoente n da politrópica.
Termodinâmica
4.22
dupdv
m
dQ
=− ( )12
2
1
uupdv
m
Q
v
v
−=− ∫
( )12 ssT
m
Q
−=
Tds
m
dQ
=
( )12
2
1
uupdv
m
Q
v
v
−=− ∫
.constpvn
=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
60

Sistemas abertos (regime estacionário)
Massa no instante t Massa no instante t+∆t (mi=0)
Por conservação da massa
ou
Termodinâmica
4.23
( )tmmm vci += ( )ttmmm vce ∆++=
( ) ( ) eivcvc mmtmttm −=−∆+
( ) ( )ttmmtmm vcevci ∆++=+
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
61

Em termos de taxa de tempo, vem
ou a taxa instantânea
Vem
Para n entradas e saídas
ou por palavras
Termodinâmica
4.24
( ) ( )
t
m
t
m
t
tmttm eivcvc
∆
−
∆
=
∆
−∆+
( ) ( )
dt
md
t
tmttm vcvcvc
t
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∆
−∆+
→∆ 0
lim
i
i
t
m
t
m &=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∆→∆ 0
lim
e
e
t
m
t
m &=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∆→∆ 0
lim
ei
vc
mm
dt
md
&& −=
∑∑ −=
e
e
i
i
vc
mm
dt
md
&&
Taxa de variação da
massa contida no
interior do volume de
controlo i
Caudal mássico
total em todas as
entradas no
instante i
Caudal mássico
total em todas as
saídas no instante
i
-=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
62

Diferentes formas da equação da conservação da massa
em termos das propriedades locais
Escoamento unidimensional
O escoamento é normal à fronteira nas secções de entrada e
de saída
Todas as propriedades - incluindo velocidade e massa
específica – são uniformes em cada secção de entrada ou
saída
Termodinâmica
4.25
( ) ( )eA neiA niVvc dAVmdAVmdVm ∫∫∫ === ρρρ &&
V∆tVn∆t
dA
( ) ( )∑ ∫∑ ∫∫ =
ei
-
A nA nV
dAVdAVdV
dt
d
ρρρ
v
AV
VAdAV
VV
dAVm
An
n
A n
===
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
∫
∫ ρρ
ρ
m&
&
- ∑∑∑∑ =−=
e e
ee
i i
ii
e
e
i
i
vc
v
VA
v
VA
mm
dt
md
&&
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
63

Escoamento unidimensional estacionário.
As propriedades num determinado ponto no interior do
volume de controlo não variam com o tempo
Para que o escoamento de um fluido possa ser estacionário o
caudal mássico deve ser constante e igual à entrada e saída,
e as propriedades do fluido em qualquer ponto do sistema não
devem variar no tempo, ou seja, todo o “elemento do fluido”
(δm) numa dada posição possui sempre o mesmo estado
mecânico e termodinâmico.
Quando o escoamento nas secções de entrada e saída é
unidimensional tem-se sendo A a área da secção e
V’ a velocidade do escoamento.
Considere a figura
Termodinâmica
4.26
0=−= ∑∑
e
e
i
i
vc
mm
dt
md
&&
∑∑ =
e
e
i
i mm &&
A
vV
m
'
=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
64

No intante t
Entre os instantes t e t+∆t,
mi entra no volume de controlo
me sai do volume de controlo
Durante este intervalo de tempo podem ocorrer trocas de Q
e W
Substituindo valores virá:
Equação de balanço de energia para o volume de controlo
em termos de taxa de tempo, vem
Termodinâmica
4.27
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++∆+=∆+ e
e
eevc gz
V
umttEttE
2
2
( ) ( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++= i
i
iivc gz
V
umtEtE
2
2
( ) ( ) WQtEttE −=−∆+
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++−=−∆+ e
2
e
eei
2
i
iivcvc gz
2
V
umgz
2
V
umWQtEttE
( ) ( )
t
gz
V
um
t
gz
V
um
t
W
t
Q
t
tEttE
e
e
eei
i
ii
vcvc
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
∆
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
∆
−
∆
=
∆
−∆+ 22
22
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
( ) ( ) WQgz
V
umtEgz
V
umttE i
i
iivce
e
eevc −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++∆+
22
22
65

Ou para valore instantâneos
O trabalho na unidade de tempo pode ser dividido em 2
parcelas
trabalho associado à pressão do fluido devido à entrada e
saída de massa.
outras contribuições - - tais como veios rotativos,
deslocamentos da fronteira, tensão superficial, etc
Trabalho associado à pressão do fluido:
Termodinâmica
4.28
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−= e
e
eei
i
ii
vc
gz
V
umgz
V
umWQ
dt
Ed
22
22
&&&&
W&
vcW&
Taxa de transferência de
energia por trabalho do volume
de controlo na saída.
( ) eee VAp=
( ) ( ) iiiieeeeiiieeevc vmVAvmVAVApVApWW &&&& ==−+= ;
( ) ( )iiieeevc vpmvpmWW &&&& −+=
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
66

Formas da equação de balanço
Fazendo h=u+pv:
Para n entradas e saídas:
Em conclusão depende
= sistemas fechados
transferência de energia associada à transferência de
massa
A equaA equaçção de energia pode ser escrita em termos deão de energia pode ser escrita em termos de
propriedades locaispropriedades locais
A equaA equaçção de balanão de balançço vemo vem
Termodinâmica
4.29
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++−= e
e
eeeei
i
iiiivc
vc
gz
V
vpumgz
V
vpumWQ
dt
Ed
22
22
&&&&
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−= e
e
eei
i
iivc
vc
gz
V
hmgz
V
hmWQ
dt
Ed
22
22
&&&&
∑∑ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−=
e
e
e
ee
i
i
i
iivc
vc
gz
V
hmgz
V
hmWQ
dt
Ed
22
22
&&&&
dtEd vc
vc
vc
W
Q
&
&
∫∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++==
VVvc dVgz
V
udVeE
2
2
ρρ
∑∫∑∫∫ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−=
e
A
e
n
i
A
i
nvcvcV
dAVgz
V
hdAVgz
V
hWQdVe
dt
d
ρρρ
22
22
&&
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
67

Resumindo:
Análise do volume de controlo em regime estacionário
Equação de balanço de energia
Para uma só entrada e uma só saída
Equação de balanço de energia
Ou energia por unidade de massa (kJ/kg)
Termodinâmica
4.30
∑∑ =
e
e
i
i mm && 0=
dt
Ed vc
∑∑ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++−==
e
e
e
ee
i
i
i
iivc
vc
gz
V
hmgz
V
hmWQ
dt
Ed
22
0
22
&&&&
∑∑ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
e
e
e
eevc
i
i
i
ii gz
V
hmWgz
V
hmQ
22
22
&&&&
mmm &&& == 21
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−+−= 21
2
2
2
1
21
22
0 zzg
VV
hhmWQ vcvc &&&
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−+−= 21
2
2
2
1
21
22
0 zzg
VV
hh
m
W
m
Q vcvc
&
&
&
&
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
68

Note-se que esta equação é válida se, se assumir que:
Caudais de massa, à entrada e saída são constantes e
iguais;
Propriedades constantes no tempo (ou periódicas);
Propriedades constantes nas secções de entrada e saída
(ou consideram-se os seus valores médios);
Trocas de calor e trabalho que existam, dão-se a taxas
constantes (ou admite-se a média em vários ciclos).
Termodinâmica
4.31
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
69

Tubeira ou Difusor:
Equação de balanço de Energia:
Turbina:
Turbina Adiabática:
Desprezando a variação de energia cinética.
Termodinâmica
4.32
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−+−= 21
2
2
2
1
21
22
0 zzg
VV
hh
m
W
m
Q vcvc
&
&
&
&
22
2
2
2
1
12
VV
hh −=−
( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−+−= 21
2
2
2
1
21
22
0 zzg
VV
hh
m
W
m
Q vcvc
&
&
&
&
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=
22
2
1
2
2
12
VV
hh
m
Wvc
&
&
( )12 hh
m
Wvc
−=
&
&
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
70

Compressor:
Compressor Adiabática:
Desprezando a variação de energia cinética.
Termodinâmica
4.33
( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−+−= 21
2
2
2
1
21
22
0 zzg
VV
hh
m
W
m
Q vcvc
&
&
&
&
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=
22
2
2
2
1
21
VV
hh
m
Wvc
&
&
( )21 hh
m
Wvc
−=
&
&
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
71

Permutadores de Calor:
Termodinâmica
4.34
( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−+−= 21
2
2
2
1
21
22
0 zzg
VV
hh
m
W
m
Q vcvc
&
&
&
&
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
72

Válvulas de laminagen:
Termodinâmica
4.35
( ) ( )⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−+−= 21
2
2
2
1
21
22
0 zzg
VV
hh
m
W
m
Q vcvc
&
&
&
&
mmm &&& == 21
22
2
2
2
2
1
1
V
h
V
h +=+
Eng. Ambiente
(Nocturno)
1º Ano
73

Capítulo - 4 - Fundamentos da Termodinâmica - pág. - 19
4.6 - Conservação de Massa
Na seção anterior consideramos o primeiro princípio da termodinâmica para
um sistema que sofre uma mudança de estado. Um sistema já foi definido como
tendo uma quantidade fixa de massa. Surge agora uma pergunta: variará a massa
do sistema quando houver variação de energia do sistema? Se isto acontecer, então
a nossa definição de sistema como tendo uma quantidade fixa de massa não mais
será válida, quando variar a energia do sistema.
Da teoria da relatividade, sabemos que a massa e a energia estão
relacionadas pela equação bastante conhecida
E mC== 2
(4.6-1)
onde C é a velocidade da luz, m a massa e E é a energia. Concluímos a partir
dessa equação que a massa de um sistema varia quando sua energia varia.
Calculemos a grandeza dessa variação de massa para um problema típico e
determinemos se essa variação é ou não significativa.
Consideremos um recipiente rígido que contém 1,0 kg de uma mistura
estequiométrica de um hidrocarboneto combustível (por exemplo, gasolina, C8H18)
e ar, que constitui o nosso sistema. Do nosso conhecimento do processo de
combustão, sabemos que após a realização desse processo, será necessário
transferir cerca de 2900 kJ de calor do sistema para o meio para que seja
restabelecida a temperatura inicial do sistema. Do primeiro princípio
1 2 2 1 1 2Q U U W== −− ++
como, 1W2 = 0, e 1Q2 = - 2 900 kJ , concluímos que a energia interna do sistema
decresceu de 2 900 kJ durante o processo de troca de calor. Calculemos, agora, a
diminuição de massa durante o processo, utilizando a Eq. 4.6-1. A velocidade da
luz é 2,9979x10
8
m/s. Portanto
2 900 000 (J) = m (kg) . (2,9979x10
8
(m/s))
2
→ m = 3,23 x10
-11
kg
Portanto, quando a energia do sistema varia de 2 900 kJ a redução de massa do
sistema será de 2,23 x 10
-11
kg.
Uma variação de massa dessa ordem de grandeza não pode ser detectada
pela balança analítica de maior precisão. Certamente, uma variação relativa de
massa dessa ordem de grandeza está além da precisão requerida essencialmente
para todos os cálculos da engenharia. Portanto se usarmos as leis de conservação
de massa e energia como leis independentes não introduziremos erros significativos
na grande maioria dos problemas termodinâmicos, e nossa definição de sistema,
tendo uma massa fixa, pode ser usado mesmo que haja variação de energia do
sistema.
74

4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle
Volume de controle é um espaço que nos
interessa para um estudo ou análise particular,
igualmente como foi definido anteriormente para o
sistema termodinâmico. O espaço é demarcado
pela superfície de controle, sendo esta uma
superfície fechada. Como para o sistema, o volume
de controle pode ter uma superfície de controle real
ou imaginária, fixa ou móvel rígida ou flexível.
Entretanto a superfície deve ser determinada em
relação a algum sistema de coordenadas.
A massa bem como o calor e o trabalho
podem atravessar a superfície de controle, e a
massa contida no interior do volume de controle, bem como suas propriedades,
podem variar no tempo.
A Fig. 4.7-1 mostra o esquema de um volume de controle com transferência
de calor, trabalho de eixo, acumulação de massa dentro do volume de controle e
movimento de superfície.
O princípio de conservação de massa para o volume de controle é introduzido
usando-se a Fig. 4.7-2, a qual mostra um sistema (linha contínua) constituído de
uma quantidade fixa de matéria , m, que ocupa diferentes regiões no tempo " t " e
no tempo " t+dt ". No seu interior temos o volume de controle, (delimitado pelas
linhas tracejadas). No tempo " t " a quantidade de massa dentro do sistema, m, sob
consideração é a soma
m m t mVC e== ++( ) δδ (4.7-1)
onde mVC(t) é a massa contida dentro do volume de controle e δδme é a massa
dentro da pequena região denominada " e " adjacente ao volume de controle como
mostrado na Fig. 4.7-2a . Analisemos, agora, o que ocorre com a quantidade fixa de
matéria " m " no decorrer do intervalo de tempo dt
Figura 4.7-2 - Ilustração usada para desenvolver o princípio da conservação de massa
para o volume de controle a) tempo " t " b) tempo " t+dt "
Figura 4.7-1 diagrama esquemático
de um volume de controle
75

No intervalo de tempo dt, toda massa na região " e " atravessa a superfície
do volume de controle, enquanto um pouco de massa , chamada de δδms,
inicialmente contida dentro do volume de controle, sai para encher a região
denominada " s " adjacente ao volume de controle como mostra a Fig. 4.7-2b. No
instante de tempo t+dt a quantidade de matéria sob consideração no sistema pode
ser expressa pela equação:
m m t dt mVC S== ++ ++( ) δδ (4.7-2)
Observe que as quantidades de massa nas regiões " e " e " s " não são
necessariamente iguais e que, a quantidade de matéria dentro do volume de
controle pode ter variado. Embora o sistema sob consideração ocupe diferentes
regiões no espaço em tempos diferentes, ele contém a mesma quantidade de
massa. Assim,
m t m m t dt mVC e VC s( ) ( )++ == ++ ++δδ δδ
ou rearranjando,
m t dt m t m mVC VC e s( ) ( )++ −− == −−δδ δδ (4.7-3)
A Eq. 4.7-3 é uma " contabilidade " do balanço de massa, a qual afirma que
a variação de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt é
igual à quantidade de massa que entra menos a quantidade de massa que sai do
volume de controle. A Eq. 4.7-3 pode ser expressa na base de taxa. Primeiro
dividindo-a por dt para obter:
m t dt m t
dt
m
dt
m
dt
VC VC e s( ) ( )++ −−
== −−
δδ δδ
(4.7-4)
O lado esquerdo desta equação é a taxa média no tempo da variação de
massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt. Os termos do
lado direito, envolvendo a massa que cruza a superfície de controle, são as taxas
médias no tempo do fluxo mássico durante o mesmo intervalo de tempo dt. A
equação para a taxa instantânea de massa é obtida tomando-se o limite de dt
tendendo para zero na Eq. 4.7-4. No limite o volume de controle e o sistema
coincidem. Assim, o limite do termo do lado esquerdo da Eq. 4.7-4 é:
lim
( ) ( )
dt
VC VC VCm t dt m t
dt
dm
dt→→
++ −−




 ==
0
Onde, dm
dt
VC é a taxa de variação de massa dentro do volume de controle no
tempo t. No mesmo limite, quando dt tende para zero, os termos do lado direito
da Eq. 4.7-4 tornam-se respectivamente;
76

lim
dt
e
e
m
dt
m
→→
••
==
0
δδ
, lim
dt
s
s
m
dt
m
→→
••
==
0
δδ
Nesta expressão me
••
e ms
••
, são as taxas instantâneas de escoamento de
massa na entrada e saída, respectivamente, no volume de controle. Em resumo a
Eq. 4.7-4 quando dt →→ 0 é,
dm
dt
m mVC
e s== −−
•• ••
(4.7-5)
Em geral podem existir várias localizações na superfície de controle através
das quais a massa pode entrar ou sair. Assim, a Eq. 4.7-5 é reescrita introduzindo-
se o somatório nos termos do lado direito da equação, como na Eq. 4.7-6
dm
dt
m mVC
e
e
s
s
== −−
•• ••
∑∑ ∑∑ ( 4.7-6)
A Eq. 4.7-6 constitui a expressão geral do balanço de massa para um
volume de controle, admitindo-se a hipótese de escoamento uniforme dos fluxos de
massa na entrada e saída do volume de controle.
Vamos considerar um outro aspecto do escoamento de massa através de
uma superfície de controle. Para simplificar, admitamos que um fluido esteja
escoando uniformemente no interior de um tubo ou duto como mostrado na Fig. 4.7-
3.
Desejamos examinar o escoamento em termos de quantidade de massa que
cruza a superfície, A durante o intervalo de tempo dt.
Conforme se observa na Fig. 4.7-3, o fluido se
move de uma distância dx durante esse intervalo, e
portanto o volume de fluido que cruza a superfície A é
Adx. Conseqüentemente a massa que atravessa a
superfície A é dada por
dm
Adx
==
νν
onde νν, é o volume específico do fluido, se agora, dividirmos ambos os membros
dessa expressão por dt e tomarmos o limite para dt→→ 0, o resultado será:
m
AV••
==
r
νν
(4.7-7)
onde
r
V é a velocidade. Deve-se observar que este resultado, a Eq. 4.7-7, foi
desenvolvido para uma superfície de controle estacionária A, e que, tacitamente
admitimos que o escoamento era normal à superfície e uniforme através da
superfície. Deve-se também considerar que a Eq. 4.7-7 se aplica a qualquer uma
das várias correntes de escoamento que entra e sai do volume de controle , sujeito
às hipóteses mencionadas.
Figura 4.7-3 - escoamento
através de uma superfície
de controle estacionária
77

Exemplo 4.7-1
Ar está escoando no interior de um tubo de 0,2 m de diâmetro àvelocidade
uniforme de 0,1 m/s. A temperatura e a pressão são 25
O
C e 150 kPa.
Determinar o fluxo de massa .
Solução
Da equação m
AV••
==
r
νν
, e usando o modelo de gás ideal para o ar, temos:
νν νν==
ℜℜ
==
++
→→ ==
M
T
P
m
kg
8314
28 97
25 27315
150000
0 5704
3
,
( , )
,
a área da seção transversal do tubo é: A
d
m== == ==
ππ ππ2 2
2
4
0 2
4
0 0314
( , )
,
portanto,
m
x
kg s
••
== ==
0 0314 01
0 5704
0 0055
, ,
,
, /
4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle
Já consideramos a primeira lei da termodinâmica para um sistema, que
consiste numa quantidade fixa de massa e mostramos que para um processo ela
pode ser representada pela Eq. 4.2-3, isto é
1 2 2 1 1 2∑∑ ∑∑== −− ++Q E E W (4.2-3)
Vimos também que, dividindo por dt, ela pode ser escrita em termos de uma
equação de fluxo médio num intervalo de tempo dt, como na Eq. 4.8-1
1 2 2 1 1 2Q
dt
E E
dt
W
dt
∑∑ ∑∑==
−−
++ (4.8-1)
A fim de escrever a primeira lei em termos de fluxo para um volume de
controle, procedemos de modo análogo ao usado para deduzir a equação da
conservação da massa em termos de fluxo. Na Fig. 4.8-1 vemos um sistema e um
volume de controle. O sistema é formado por toda a massa inicialmente contida no
volume de controle mais a massa δδme.
78

Consideremos as mudanças que ocorrem no sistema e volume de controle
durante o intervalo de tempo dt. Durante esse intervalo de tempo, dt a massa δδme
entra no volume de controle através da área discreta Ae e a massa δδms sai através
da área discreta As. Em nossa análise admitiremos que o incremento de massa δδme
tem propriedades uniformes, o mesmo ocorrendo com δδms. O trabalho total
realizado pelo sistema durante o processo, δδW, é o associado às massas δδme e
δδms cruzando a superfície de controle, que é
comumente chamado de trabalho de fluxo, e o
trabalho Wv.c que inclui todas as outras formas de
trabalho, tais como associadas com eixo que
atravessa a fronteira, forças de cisalhamento,
efeitos elétricos, magnéticos, ou superficiais,
expansão ou contração do volume de controle.
Uma quantidade de calor, δδQ, atravessa a fronteira
do sistema durante dt.
Consideremos agora cada termo da
primeira lei da termodinâmica escrita para sistema
e transformemo-lo numa forma equivalente,
aplicável ao volume de controle. Consideremos
primeiramente o termo E2 - E1.
Seja Et = energia do volume de controle no
instante t
Et+ dt = a energia no volume de controle no
instante t+dt
Então
E1 = Et + eeδδme = a energia do sistema no instante t
E2 = Et+ dt + esδδms = a energia do sistema no instante t+dt
Portanto,
E2 - E1 = Et+ δδt + esδδms - Et - eeδδme = (Et +δδt - Et) + (esδδms - eeδδme) (4-8-2)
O termo (esδδms - eeδδme) representa o fluxo de energia que atravessa a superfície de
controle durante o intervalo de tempo, dt, associado às massas δδms e δδme cruzando
a superfície de controle.
Consideremos com maior detalhe o trabalho associado às massas δδme e δδms
que cruzam a superfície de controle.
O trabalho é realizado pela força normal (normal àárea A) que age sobre a
δδme e δδms quando estas massas atravessam a superfície de controle. Essa força
normal é igual ao produto da tensão normal - σσn, pela área A. O trabalho realizado
é:
-σσn A dl = - σσnδδV = - σσnνν δδm (4.8-3)
Uma análise completa da natureza da tensão normal, σσn, para fluidos reais,
envolve a pressão estática, e efeitos viscosos e está fora do objetivo deste texto.
Admitiremos, neste texto, que a tensão normal, σσn, num ponto é igual à pressão
Figura 4.8-1 Diagrama esquemático
para a análise de um volume de
controle segundo a primeira lei mos-
trando calor, trabalho e massa atra-
vessando a superfície d e controle
79

estática, P, e simplesmente notaremos que esta hipótese é bastante razoável na
maioria das aplicações e que conduz a resultados de boa precisão.
Com essa hipótese, o trabalho realizado sobre a massa δδme para introduzi-la
no volume de controle é Peννeδδme e o trabalho realizado pela massa δδms ao sair do
volume de controle é Psννsδδms. Chamaremos a esses termos TRABALHO DE
FLUXO. Na literatura encontramos muitos outros termos, como escoamento de
energia, trabalho de introdução e trabalho de expulsão.
Então, o trabalho total realizado pelo sistema durante, dt, será;
δδ δδ νν δδ νν δδW W P m P mv c s s s e e e== ++ −−. ( ) (4.8-4)
dividamos, agora, as Eq. 4.8-2 e 4.8-4 por dt e substituamos na primeira lei
Eq. 4.8-1. Combinando os termos e rearranjando,
δδ δδ
νν
δδ
νν
δδδδQ
dt
m
dt
e P
E E
dt
m
dt
e P
W
dt
e
e e e
t t t s
s s s
v c
++ ++ ==
−−




 ++ ++ ++++
( ) ( ) .
(4.8-5)
Cada um dos termos de fluxo mássico dessa expressão pode ser rescrito na forma:
e P u P
V
gZ h
V
gZ++ == ++ ++ ++ == ++ ++νν νν
2 2
2 2
(4.8-6)
usando a definição de entalpia específica dada pela Eq. 2.2-2.
Deve ser ressaltado que o aparecimento da combinação (u + Pνν) sempre
que há fluxo de massa através de uma superfície de controle é a principal razão
para se definir a propriedade entalpia. A sua introdução antecipada relacionada
com o processo a pressão constante, foi feita para facilitar o uso das tabelas de
propriedades termodinâmicas naquela altura.
Utilizando-se a Eq. 4.8-6 para as massas entrando e saindo do volume de
controle, a Eq. 4.8-5 torna-se
δδ δδ δδ δδδδQ
dt
m
dt
h
V
gZ
E E
dt
m
dt
h
V
gZ
W
dt
e
e
e
e
t t t s
s
s
s
v c
++ ++ ++ ==
−−




 ++ ++ ++ ++++
( ) ( ) .
2 2
2 2
(4.8-7)
Para reduzir essa expressão a uma equação em termos de fluxo,
consideremos o que acontece a cada um dos termos da Eq. 4.8-7 quando dt tende
para zero. Os termos de calor trocado e do trabalho tornam-se quantidades
associadas àtaxa de transferência, como no caso visto na seção 4.3. Analogamente
as duas quantidades de massa tornam-se fluxos de massa, como na seção 4.7 e o
termo de energia torna-se a taxa de variação de energia com o tempo, no volume de
controle, de maneira análoga ao termo de massa na equação da conservação de
massa. Adicionalmente admitimos originalmente propriedades uniformes de massa
δme, que entra no volume de controle através da área Ae e fizemos uma hipótese
análoga relativamente a δδms, que sai do volume de controle através da área As.
Em conseqüência, ao tomarmos os limites acima mencionados as hipótese se
reduzem à restrição de propriedades uniformes ao longo das áreas Ae e As num
dado instante. Naturalmente as propriedades podem depender do tempo.
80

Ao se utilizar os valores limites para exprimir a equação do primeiro princípio
para um volume de controle em termos de fluxo, novamente incluímos os sinais de
somatório nos termos de escoamento para considera a possibilidade de haver
correntes de fluxo adicionais entrando ou saindo do volume de controle e diversos
pontos onde calor e trabalho são acrescidos ao volume de controle. Portanto o
resultado é:
Q m h gZ
dE
dt
m h gZ Wv c e e
V
e
v c
s s
V
s v c
e s
•• •• •• ••
∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑++ ++ ++ == ++ ++ ++ ++.
.
.( ) ( )
2 2
2 2 (4.8-8)
que é, para nossa finalidade, a expressão geral da primeira lei da termodinâmica.
Em outras palavras essa equação diz que a taxa líquida de transferência de calor
para o volume de controle, mais a taxa de energia que entra no mesmo como
resultado da transferência de massa, é igual àtaxa de variação da energia dentro do
volume de controle mais a taxa de energia que sai deste como resultado da
transferência de massa, e mais a potência líquida associada a eixo, cisalhamento,
efeitos elétricos e outros fatores que já foram mencionados.
A Eq. 4.8-8 pode ser integrada ao longo do tempo total de um processo para
se obter a variação total de energia que ocorre naquele período. Entretanto para se
fazer isto é necessário o conhecimento da dependência com o tempo dos vários
fluxos de massa e dos estados das massas que entram e saem do volume de
controle.
Um outro ponto que deve ser observado é que se não houver fluxo de massa
entrando ou saindo do volume de controle, aqueles termos da Eq, 4.8-8
simplesmente desaparecem da Eq. 4.8-8, que então se reduz àequação da primeira
lei para sistema fechado, em termos de fluxo, já discutida na seção 4.3, ou seja,
Q
dE
dt
W
•• ••
∑∑ ∑∑== ++ (4.3-3)
Como a abordagem pelo volume de controle é mais geral, e se reduz à expressão
usual da primeira lei para um sistema quando não há fluxo de massa através da
superfície de controle, usaremos como expressão geral da 1
a
lei, a Eq, 4.8-8.
4.9 - O processo em Regime Permanente
Nossa primeira aplicação das equações de volume de controle será no
desenvolvimento de um modelo analítico adequado para operações em regime
permanente de dispositivos como: Turbinas, Compressores, Bocais, Caldeiras,
Trocadores Calor etc. , ou seja, um grupo muito grande de problemas de interesse
na engenharia. Esse modelo não incluirá as fases transitória de entrada em
operação e parada de tais dispositivos, abordando apenas o período de tempo de
operação estável.
81

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